Resolução exercício dos cubos - DAINFtacla/logica/slides/LP-02-Sistemas... · Dedução Natural:...
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Sistemas Dedutivos
UTFPR/Curitiba Prof. Cesar A. Tacla http://www.pessoal.utfpr.edu.br/tacla
15/06/2015 22:47
Fundamentos
CONSEQUÊNCIA SEMÂNTICA c é uma consequência semântica das premissas, se toda interpretação que satisfaz todas as premissas satisfaz também a conclusão c.
p1, p2, …, pn ⊨ c
pi são premissas, c é a conclusão do argumento
Fundamentos
Sobre o símbolo de consequência semântica
No slide anterior, foi usado para falar sobre o que é um argumento válido em lógica clássica juntamente com símbolos não-lógicos (p1, p2, c) e linguagem natural. Observar que não foi feita nenhuma referência ao procedimento para se demonstrar que o argumento é válido.
Este símbolo é utilizado para se falar sobre argumentos válidos em lógicas, então diz-se que é um símbolo metalógico.
⊨
Fundamentos
SISTEMAS DEDUTIVOS ou SISTEMAS DE INFERÊNCIA ou MÉTODOS DE PROVA Procedimento para cálculo de consequência lógica pela aplicação de regras de inferência
Idéia fundamental: raciocínio é manipulação de símbolos
i.e. dada uma teoria Γ={p1, …, pn} um sistema dedutivo permite deduzir que uma fórmula A é consequência lógica de Γ por uma sequência de aplicações de regras de inferência.
Fundamentos
Γ ⊢ A
Se há uma sequência de regras de inferência que permite concluir A de uma teoria Γ então escreve-se
antecedente TEORIA
consequente ou conclusão TEOREMA
Sequente
B1, …, Bn ⊢ A1, …, An
Formulação genérica de sequente
conjunção disjunção
(diz-se A é dedutível de Γ)
Fundamentos
MÉTODO CORRETO DE PROVA (CORRETUDE) diz-se que um método de prova é correto se somente produz
conclusões que são consequências semânticas:
p1, p2, …, pn ⊢ c sse p1, p2, …, pn ⊨ c
Fundamentos
MÉTODO COMPLETO DE PROVA (COMPLETUDE) diz-se que um método de prova é completo se consegue encontrar
uma sequência de aplicações de regras de inferência para toda conclusão válida
p1, p2, …, pn ⊨ c sse p1, p2, …, pn ⊢ c
Fundamentos
*Fonte: Guilherme Bittencourt, http://www.das.ufsc.br/~gb/pg-md/tra-mad-prova.pdf
Métodos de prova corretos e completos (entre outros):
Axiomático (ou de Frege ou de Hilbert): método que pelo uso de um conjunto de axiomas e de regras de inferência (Modus Ponens - MP, Modus Tolens - MT) alcança o teorema (a fórmula a ser demonstrada). Dedução Natural: conjunto de regras para lógica proposicional (inclusão e eliminação para cada conectivo lógico) Método de Tableaux. Por refutação, porém, analítico (em oposição aos de resolução). Lida diretamente com as fórmulas sem recorrer a formas normais. * Resolução: método por refutação (Robinson, 1965) -utilizado pelo PROLOG. Usa as formas normais.
AXIOMATIZAÇÃO TEM 2 ELEMENTOS
AXIOMAS: fórmulas com status de verdade básica (da onde vêm os axiomas? De verdades experimentais? São simples convenções?)
REGRAS DE INFERÊNCIA: que permitem deduzir novas fórmulas a partir de outras já deduzidas.
Axiomatização
Axiomatização
Hilbert busca uma fundamentação para a geometria Euclidiana, i.e. axiomas completos (permitem a dedução de todas as proposições sobre objetos que denominou de pontos, retas e planos) que sejam o mais simples possível (conjunto mínimo de axiomas). Hilbert pretendia demonstrar que os axiomas escolhidos não são contraditórios (corretude) – isto é, que não permitem demonstrar um teorema e a sua negação.
Sistemas axiomáticos datam principalmente do fim do século XIX (Hilbert – 1889 – Fundamentos da Geometria) e início do XX (C.I. Lewis – Lógicas de 1ª. ordem)
Fonte: Gênios da Ciência: Matemáticos, Luiz Carlos P. Marin (ed)., 2ª ed., SP, Duetto Editorial, 2012
Ex. de teorema: o centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o ponto de intersecção das mediatrizes desse triângulo.
Axiomatização: o que são axiomas? Ernst Zermelo em 1908 fundou sua teoria de conjuntos sobre os axiomas abaixo
De Extensionalidade: dois conjuntos são idênticos sse possuem os mesmos elementos Do Conjunto vazio: existe um conjunto que não contém nenhum elemento denominado de conjunto vazio e representado por Do par ... Da união ... De separação ... Do conjunto infinito ... Das partes ... Da substituição ... De fundação (acrescentado por J. Von Neumann em 1929): nenhum conjunto é um dos seus próprios elementos (nenhum conjunto contém a si próprio para evitar paradoxos autorreferenciais)
Axiomatização: ideia básica
Na construção axiomática de uma lógica, o criador da lógica procura selecionar o mínimo de axiomas e de regras de inferência que reflitam suas ideias sobre que princípios de raciocínio devam ser incluídos na lógica. (Girle, R. Possible Worlds, 2003, pg. 31)
Axiomatização: ideia básica
Exemplo: vamos supor que transitividade é um princípio importante para implicação lógica. Portanto, um argumento que apresenta a forma (estrutura) abaixo é válido na lógica do criador da lógica:
P → q q → r Logo, p → r
P → q q → r Logo, p → r
Portanto, o tal criador coloca um axioma na lógica que reflete este princípio:
⊢ (p → q) (q → r) (p → r)
Instanciação de uma fórmula
Exemplo: dado o axioma A = p → (q → p)
a fórmula (r s) → ((t v) → (r s))
é uma instância do axioma A pela substituição dos átomos por fórmulas
i) p por (r s) A[p:= (r s)]
ii) q por (t v) A[q:= (t v)]
Axiomatização
Alguns axiomas da lógica proposicional clássica
(→1) p →(q → p)
(→2) (p →(q → r))→((p → q)→(p→r))
(1) p →(q →(p q))
(2) (p q) → p
(3) (p q) → q
(1) p → (p q)
(2) q → (p q)
(3) (p → r) → ((q → r) → ((p q) → r))
(1) (p → q) → ((p → q) → p)
(2) p → p
Axiomatização Regra de inferência
Modus Ponens
A → B, A
B
Axiomatização: dedução
Então, utilizamos os axiomas e as regras de inferência para fazer deduções. Um Sistema Dedutivo permite deduzir as consequências semânticas de uma teoria.
Logo, uma fórmula A é dedutível de uma teoria Γ: se há uma sequência de fórmulas A1, ..., An que produzem A, tal que, cada fórmula Ai da dedução: 1. É uma fórmula Ai de Γ ou 2. É uma instância de um axioma do sistema lógico ou 3. É obtida de fórmulas anteriores por Modus Ponens (regra de inferência)
Axiomatização: teorema
Um teorema A é uma fórmula, tal que existe uma dedução A1, ..., An que produz A.
Representa-se um teorema por:
⊢ A ⊢ A AX OU
Identifica o método de inferência
Axiomatização: teorema da dedução
A é uma fórmula da teoria e B a fórmula a ser demonstrada
Γ, A⊨B sse Γ⊨ A→B
OU
Γ⊨ A→B sse Γ, A⊨B
No contexto do sistema dedutivo de axiomatização, o teorema fica:
Γ ⊢ A→ B sse Γ, A ⊢ B AX AX
Axiomatização na computação
Em termos computacionais, o método da axiomatização é de pouca utilidade, pois é difícil construir um algoritmo que: • Identifique qual axioma utilizar; • Defina a ordem de utilização dos axiomas; • faça as substituições mais adequadas – que conduzam à prova do
teorema/fórmula (substituir átomos por fórmulas)
DEDUÇÃO NATURAL
Sistemas dedutivos: referência
HUTH M. e RYAN M.. Lógica em Ciência da Computação. LTC Livros Técnicos e Científicos Editora, 2008.
Dedução Natural
Criada por Gentzen (1969) e refinada por Prawitz (1965).
Gentzen notou que o pequeno número de axiomas do Sistema de Axiomatização e de regras de inferência (só uma de fato, a Modus Ponens) dificulta o uso deste sistema de prova na prática.
Então, Gentzen propôs um método que se aproximasse mais da maneira como as pessoas raciocinam – daí o nome, dedução natural – permite introduzir/descartar hipóteses e há regras de inferência de introdução/eliminação para cada conectivo lógico.
Dedução Natural
É um método formal de inferência baseado nos princípios: 1) Inferências são realizadas por regras de inferências
em que hipóteses introduzidas na prova devem ser descartadas para a consolidação da prova;
2) Para cada conectivo lógico, há duas regras de inferência: a) uma para inserção do conectivo e b) outra para a remoção do conectivo da prova
Dedução Natural Regras de eliminação dos conectivos
(E)
A B A
B
(I)
A inserção da hipótese
…
B__
A B
(I)
(I)
A B
A B
(E)
A B (e1)
A
A B (e2)
B
(I)
A__
A B
B__
A B
(E)
A B
C
(I2)
(I1)
( I)
A__
A
( E)
A
A
Regras de introdução dos conectivos
A ... C
B ... C
Dedução Natural
MODUS TOLLENS
A B B
A
Não é uma regra primitiva da D.N., mas pode ser derivada de outras regras!
Dedução Natural
Ao fazer introduzir uma implicação lógica, siga as regras: 1. Para concluir A → B, a “caixa” deve iniciar com a hipótese A e terminar com a dedução B; 2. As fórmulas dentro da “caixa” podem ser usadas apenas dentro da caixa, somente dentro do escopo; 3. Qualquer fórmula concluída anteriormente à abertura da caixa pode ser usada dentro da caixa, desde que não pertença a alguma caixa que já foi fechada. 4. A conclusão de A → B é independente da interpretação da hipótese. Por isso, a conclusão é escrita fora da caixa
“caixa”: segundo a notação de Huth e Ryan
Introdução de implicação (I)i
Tableaux Analíticos
É um método de prova baseado em refutação. É correto, completo, decidível em LP* e não-determinístico.
*Tableaux-analíticos não são decidíveis para LPO (lógica de primeira ordem)
Tableaux Analíticos
para provar Γ ⊢ A mostra-se que Γ U {¬A} ⊢ ⊥ i.e. que Γ U {¬A} é insatisfazível.
PROVA POR REFUTAÇÃO
exemplos com tabelas-verdade para entender o conceito
Tableaux Analíticos
Γ = {p → q, p} // p = é criança, q = estuda no ensino fundamental
A = q Provar que Γ ⊢ A vem a ser
PROVA POR REFUTAÇÃO: EXEMPLO 1
PROVA POR REFUTAÇÃO Provar que Γ U {¬A} ⊢ ⊥ (p → q p q) é insatisfazível
FOI PROVADO FOI PROVADO
PROVA PELA IMPLICAÇÃO (p → q) p → q) é válida
Tableaux Analíticos
Γ = {p}, A = q
PROVA POR REFUTAÇÃO: EXEMPLO 2
PROVA POR REFUTAÇÃO Provar que Γ U {¬A} ⊢ ⊥ vem a ser provar que (p q) é INSATISFAZÍVEL
PROVA PELA IMPLICAÇÃO provar que (p → q) é VÁLIDA
NÃO FOI PROVADO NÃO FOI PROVADO
Tableaux Analíticos
É um procedimento de decisão – portanto decidível: capaz de demonstrar conclusões que são consequências lógicas de uma teoria e também aquelas que não são (assim como as tabelas-verdade são capazes).
Dedução natural e axiomatização são completos (capazes de demonstrar todas as consequências lógicas de uma teoria), porém, não são decidíveis. *Tableaux analíticos são decídiveis para LÓGICA PROPOSICIONAL (porém, são decidíveis para Lógica de Primeira Ordem - LPO)
DECIDÍVEL
Tableaux Analíticos
Não-determinístico: o algoritmo possui (pelo menos) dois pontos onde deve haver uma escolha guiada por uma estratégia – escolher qual regra (alfa ou beta) e em qual fórmula aplicá-la.
As tabelas-verdade, em contraposição, são determinísticas. Não há pontos de escolhas heurísticas.
Tableaux Analíticos
MÉTODO: FÓRMULAS MARCADAS
Marcam-se as fórmulas com T ou F Exemplo de marcação: TA significa que a fórmula A foi assumida como verdadeira) FB significa que a fórmula B foi assumida como falsa) Cuidado!!! T A → B a fórmula como um todo é verdadeira (e não apenas A)
Tableaux Analíticos
Dado um sequente B1 , …,Bn ⊢ A1 ,…,Am cria-se o tableau inicial (uma árvore):
MÉTODO: passo 1 – MARCAR AS FÓRMULAS COM T ou F
TB1 … TBn FA1 … FAm
Antecedente é marcado com T
Consequente é marcado com F
Tableaux Analíticos
Regras α: geram um vértice na árvore de prova Regras β : geram uma bifurcação, logo 2 vértices na árvore
MÉTODO: passo 2 - UTILIZAR REGRAS DE EXPANSÃO α E β
α em 1
α em 1
1.
2.
3.
Aplicação de uma regra α
1.
β em 1
Aplicação de uma regra β
Tableaux Analíticos
1. Somente fórmulas do tipo alfa ou beta podem ser expandidas; 2. Uma fórmula só pode ser expandida uma vez por ramo; 3. Um ramo está SATURADO quando não há mais fórmulas a serem expandidas. 4. Como as regras alfa e beta sempre geram fórmulas menores, em algum
momento todas as fórmulas serão atômicas e todos os ramos estarão saturados - logo o processo de expansão sempre termina.
MÉTODO: passo 3 – EXPANDIR CADA RAMO ATÉ SATURAÇÃO
α em 1
α em 1
1.
2.
3.
Exemplo de ramo saturado
Tableaux Analíticos
• Um ramo está FECHADO se possuir um par de fórmulas conjugadas TA e FA • Não é necessário estar saturado para estar fechado!
• Um tableau está FECHADO se todos os ramos estão fechados
• Um sequente B1 , …,Bn ⊢ A1 ,…,Am foi DEDUZIDO pelo método dos tableaux
analíticos se existir um tableau FECHADO para ele;
• Uma dedução de um teorema ⊢ A neste método corresponde a construir um tableau fechado para FA
MÉTODO: passo 4 – tableau está fechado?
Tableaux Analíticos
O ramo aberto contém uma valoração que impede a prova (contra-exemplo): v(p)=1 v(r)=0 v(q)=0
O
Tableaux Analíticos
Sistema dedutivo COMPLETO: se Γ ⊨ 𝐴 então Γ ⊢ 𝐴
Tableaux analíticos para LP são corretos e completos
Sistema dedutivo CORRETO:
se Γ ⊢ 𝐴 então Γ ⊨ 𝐴
Tableaux Analíticos Exercício 1: Construa um sequente em Lógica Proposicional e, se for possível, demonstre, usando o sistema de tablôs analíticos que o objeto descrito é um cubo. - Faça a demonstração completa na forma de árvore indicando com
X os ramos fechados e com O, os abertos. - Escreva se demonstrou ou não o consequente e justifique sua
resposta (se conseguiu, explique o porquê, se não foi possível demonstrar, dê TODOS os contraexemplos indicando as valorações dos átomos);
- Na árvore de prova, indique os pontos de indeterminação do método de tablôs analíticos e qual é a indeterminação.
PROPOSIÇÕES Se CUBO então TEM SEIS FACES. Se PIRÂMIDE DE BASE TRIANGULAR então TEM QUATRO FACES. TEM SEIS FACES.
Tableaux Analíticos Exercício 2: Acrescente uma proposição com implicação lógica ao exercício anterior (com exceção de É UM CUBO) que permita deduzir que o objeto em questão é um cubo. Faça a demonstração por tableaux analíticos.
PROPOSIÇÕES Se CUBO então TEM SEIS FACES. Se PIRÂMIDE DE BASE TRIANGULAR então TEM QUATRO FACES. TEM SEIS FACES.
Tableaux Analíticos Exercício 3: Uma das maneiras de resolver o exercício anterior é utilizando a bi-implicação ou bicondicional. Faça as regras tableau para este conectivo (vide exercício 2.12, pg. 10 de Silva, Finger e Melo) e aplique-as na prova.
Tableaux Analíticos
Algoritmo
Ent: sequente A1, ..., An ⊢ B1, …, Bn Saí: verdadeiro, se A1, ..., An ⊨ B1, …, Bn ou um contra-exemplo
1. Criar um ramo inicial TA1,…,TAn, FB1, FB1,…, FBn
2. Enquanto existir um ramo ABERTO faça
3. Escolher um ramo aberto W
4. Se o ramo W está saturado então
5. encontrar todos os átomos marcados de W
6. retornar a valoração destes átomos marcados
7. Fim se
8. Escolher R (uma das regras aplicáveis em W)
9. Expandir o tableau aplicando R sobre W
10. Verificar se W ou seus sub-ramos fecharam
11.Fim enquanto
12.Retornar verdadeiro
Algoritmo é não-determinístico: onde estão os pontos de indeterminação?
Tableaux Analíticos
Como resolver as escolhas não-determinísticas? Com estratégias... de escolha de ramos e de escolha de regras
Algoritmo é não-determinístico: onde estão os pontos de indeterminação?
Tableaux Analíticos
ESTRATÉGIAS PARA ESCOLHA DE RAMOS Profundidade: expandir uma ramo até a saturação (fechado ou saturado) - Ao aplicar uma regra β, a busca continua no ramo contendo β1 - Caso o ramo seja fechado, prossegue-se a busca por β2. Largura: expande-se em sequência cada um dos ramos abertos. Todos os ramos abertos terão mesmo comprimento.
Algoritmo é não-determinístico: onde estão os pontos de indeterminação?
Busca em profundidade é mais eficiente: menos memória e menor tempo (tipicamente menos nós gerados)
Tableaux Analíticos
ESTRATÉGIAS PARA ESCOLHA DE REGRAS • Regras α primeiro (é uma regra universal)
• Regras β – diversas possibilidades:
• Ordem direta: 1ª. fórmula β do ramo • Ordem reversa: última fórmula β do ramo • Menor tamanho: escolher a menor das fórmulas β • Contém subf: escolher uma fórmula que contenha subfórmulas
presentes no ramo • Combinação das regras anteriores
Algoritmo é não-determinístico: onde estão os pontos de indeterminação?
Formas Normais
• Diversos algoritmos assumem que as fórmulas estão na forma normal que pode ser
– conjuntiva (FNC) ou
– disjuntiva (FND)
• Ex. colocar as fórmulas na FNC é requisito para aplicar o método de prova por resolução – usada por algoritmos SAT em geral
SAT = satisfabilidade
Forma Normal Conjuntiva (FNC)
• FNC: transformar as fórmulas em uma conjunção de disjunções
(¬q p r) (s ¬r) (p) {[¬q, p, r], [s, ¬r], [p]}
Notação clausal (q p r) (r s) p
Forma Normal Conjuntiva (FNC)
FNC: Nomenclatura
{[¬q, p, r], [s, ¬r], [p]}
Literal: é uma fórmula atômica p ou sua negação p Literal positivo: p Literal negativo : q
Cláusula: é uma disjunção de literais. Ex. [¬q, p, r] Cláusula unitária: cláusula com um só literal. Ex. [p] Cláusula vazia: sem literais, é igual a constante falsa ⊥
Forma Normal Conjuntiva
forma geral
⋀ k=1
m
L1 L2 ... Ln k
ATENÇÃO: não confundir fórmula com uma cláusula vazia com fórmula sem cláusula.
Uma fórmula com zero cláusula é igual a constante T por convenção (k=0) Uma cláusula vazia (n=0) é igual a constante falsa ⊥
Forma Normal Conjuntiva
Teorema: para toda fórmula B da lógica proposicional clássica, há uma fórmula
A na FNC que é equivalente a B
Algoritmo: ENT: uma fórmula B SAI: uma fórmula A na FNC tal que A B Para todas as subfórmulas de X,Y,Z de B faça Redefinir → em termos de e Empurrar as negações para o interior por leis de Morgan Eliminar a dupla negação Aplicar a distributividade de sobre Fim para A fórmula A é obtida quando não mais substituições possíveis
(Silva, Finger e Melo, 2006, pg. 79)
Problema SAT
SATISFABILIDADE Uma fórmula proposicional é satisfazível se existe uma valoração para seus átomos que a torne verdadeira.
PROBLEMA SAT Dada uma fórmula, provar que existe uma valoração para seus átomos que a torne verdadeira ou provar que não existe tal valoração e que, portanto, a fórmula é insatisfazível.
Cláusulas de Horn
Exemplo (2 cláusulas):
((p q) → r) ((q s) → t) equivalente à (na FNC): (p q r) (q s t)
São cláusulas com no máximo um literal positivo (uso: PROLOG)
Horn
LP
Cláusulas de Horn
Fatos: são cláusulas unitárias em que há um único literal e este é positivo. Ex.: p
Regras: são cláusulas na forma (p1 ⋁ ... ⋁ pn ⋁ q) equivalente à (p1 ⋀ ... ⋀ pn → q)
Consultas ou restrições: são cláusulas de Horn sem átomo positivo (p1 ⋁ ... ⋁ pn)
Tipos de cláusulas
<corpo da regra> → <cabeça>
T→ <cabeça>
<corpo> → ⊥
Cláusulas de Horn: SAT
Propriedades que tornam a manipulação das cláusulas de Horn mais simples do que cláusulas genéricas
LEMA 1 Se C é um conjunto de cláusulas de Horn sem nenhum fato, então C é satisfazível. (considere a situação onde todos os átomos são F)
LEMA 2 C é um conjunto de cláusulas de Horn que contém um fato p. C’ são cláusulas obtidas a partir de C removendo-se o literal p do corpo de todas as cláusulas e todas as cláusulas que contém o literal p (i.e. assume-se que p é true) Então C C’.
Cláusulas de Horn: SAT
Algoritmo de verificação de satisfabilidade em LP
Algoritmo: HornSAT(C) ENT: conjunto de cláusulas C SAI: Verdadeiro se C é satisfazível, Falso, caso contrário. // Casos base 1. Se ⊥ C retorne falso // se cláusula vazia pertence ao cjto C
2. Se C não contém fatos então retorne verdadeiro
// Passos redutores – levam aos casos base 3. Escolha um p C, sendo p um fato (assume-se que p é TRUE) 4. C’ é obtida de C
4.1 removendo-se o literal p de suas cláusulas e 4.2 todas as cláusulas onde o literal p aparece
5. retorne HornSAT(C’)
(Silva, Finger e Melo, 2006)
Cláusulas de Horn: SAT
• Complexidade
– Se n é o número de átomos em C (conjunto de cláusulas) então HornSAT(C) será chamado recursivamente n vezes no máximo
– Portanto, é um algoritmo linear
• Enquanto as tabelas-verdade são exponenciais em função de n: 2n
Problema 2SAT
K-SAT: quando as cláusulas da FNC tem no máximo K literais 2-SAT: podem ser resolvidos em tempo polinomial
Algoritmo 2SAT Algoritmo: 2SAT(C) ENT: conjunto de cláusulas C SAI: Verdadeiro se C é satisfazível, Falso, caso contrário. 1. C := Simplifica(C) 2. Enquanto ⊥ ∉ C e C de faça 2.1 Escolha um átomo p qualquer em C 2.2 C’ := Simplifica (C ⊔ {[p]}) 2.3 Se ⊥ C’ então 2.3.1 C := Simplifica(C ⊔ {[p]}) 2.4 se não 2.4.1 C:=C’ 3. Se ⊥ C então 3.1 retorne FALSO 4. se não 4.2 retorne VERDADEIRO
(Silva, Finger e Melo, 2006) pg. 84
Algoritmo 2SAT
Algoritmo: Simplifica(C) ENT: conjunto de cláusulas C (na notação clausal) SAI: Um conjunto de cláusulas C’ C sem cláusulas unitárias 1. C’ := C 2. Enquanto existe uma cláusula unitária [u] C’ faça 2.1 C’ := C’ – {[c], tal que u é um literal em [c]} // eliminar as cláusulas inteira s contendo u
2.2 Para toda cláusula c =[ u, c’] faça 2.2.1 C’ := C’ ⊔ {[c’]} – {c} // eliminar o literal u de todas as cláusulas
3. Retorne C’
(Silva, Finger e Melo, 2006) pg. 85
Simplificação conhecida como BCP = boolean constraint propagation Para que C seja satisfeito u deve ser satisfeito, portanto C é simplificado em: 2.1 eliminando-se todas as cláusulas contendo u de C (pois já estão satisfeitas) 2.3.1 apagando-se u das demais cláusulas pois u é falso
Problemas >=3SAT
3-SAT: NP-COMPLETO (busca em tempo exponencial em f do tamanho da instância)
Suponha, uma fórmula com n átomos (literais diferentes) que figuram l vezes (negados ou não), então um algoritmo ‘inocente’ que faz todas as valorações possíveis roda em O(2n * l)
2n = número de valorações possíveis para cada um dos literais l = verificar cada valoração de um literal l vezes
Plano
• Resolução em lógica proposicional (LP)
– método de prova por refutação
• Completude e decidibilidade
MÉTODO DA RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO Método de resolução é feito por redução ao absurdo ou por refutação.
Γ ⊢ sse Γ U { } não é satisfazível
RESOLUÇÃO EM LÓGICA PROPOSICIONAL
Procedimento para lógica proposicional para verificar a se alga é consequência lógica da teoria (Γ ⊢ )
• a teoria Γ aqui será umconjunto de cláusulas na FNC • a ordem dos literais dentro das cláusulas não é importante • a ordem das cláusulas também não é importante
1. Colocar Γ U { } na forma normal conjuntiva (clausal)
2. Verificar se é possível derivar a cláusula ⊥ aplicando-se as regras de resolução
3. Caso seja possível, prova-se por refutação que Γ ⊢
Regras de Resolução • Facilmente entendível pegando-se Modus Ponens
{[p, q], [p]}
{[q]} resoluta: cláusula inferida pela regra
resolventes: cláusulas de entrada REGRA DE RESOLUÇÃO
(p q) (p) conclui-se q em FNC {[p, q], [p]} pode ser resolvida/simplificada para {[q]}
Regras de Resolução • Utilizadas no método de prova por refutação
{[w, q, r], [w, s, r]}
{[w, q, s]} resoluta: cláusula inferida pela regra
resolventes: cláusulas de entrada
{[r], [r]}
{[ ]}
Importante: neste caso, a resoluta é igual [ ] ou ⊥, ou seja, as cláusulas resolventes são insatisfazíveis
regra de RESOLUÇÃO
{[w, w, r]}
{[w, r]}
regra de CONTRAÇÃO
EXEMPLO
a. fund //está no ensino fund.
b. fund criança c. criança masc menino d. jardim criança e. criança fem menina f. fem
Γ ⊢ ? sendo = menina
Γ
1. {[fund], 2. [fund , criança], 3. [criança , masc, menino], 4. [jardim , criança] 5. [criança , fem menina], 6. [fem], 7. [menina]}
Γ U {} na FNC
[fund] [fund , criança]
[criança] [criança, fem, menina]
[fem, menina] [fem]
[menina] [menina]
[ ]
1
5
2
6
7
a cláusula vazia foi derivada, então é deduzível da teoria Γ
RESOLUÇÃO EM LÓGICA PROPOSICIONAL
Método utilizado pelo PROLOG e por provadores de teorema (ex. OTTER) pela simplicidade
Desafios computacionais do método: 1. não-determinístico: é preciso escolher os resolventes a cada passo de
resolução. Qual estratégia? sempre utilizar um resolvente unitário = resolução unitária
2. diminuição do espaço de busca: descartar fórmulas que subsumem outras (englobam). [a, b, c] [a, p] [b, p]
[a, b]
[a, b] está contida em [a,b,c] então [a,b,c] pode ser eliminada diminuindo o espaço de busca para {[a, p], [b, p], [a, b]}
COMPLETUDE
O procedimento de resolução é completo e correto se restrito à refutação, i.e. a derivação da cláusula vazia [ ].
Não é completo se não usarmos refutação, pois é possível demonstrar que uma conclusão é consequência lógica de Γ embora não se consiga derivar a partir de Γ utilizando as regras de resolução.
COMPLETUDE
Exemplo: p ⊢ p q Não é possível aplicar a regra de resolução somente a cláusula [p], mas é trivial ver que [p, q] é consequência lógica de [p]. Sempre que v(p)=1, v(p v q) = 1. Daí, para fins de completude do método de resolução, a idéia de se fazer prova por refutação {[p], [p], [q]} ⊢ [ ]