Resistencia de Materiales I Introducción, Cap.1, Cap.2.
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Transcript of Resistencia de Materiales I Introducción, Cap.1, Cap.2.
Julián Portocarrero Hermann
2014
RESISTENCIA DE
MATERIALES
RESISTENCIA DE
MATERIALES
Cargas Internas: Son las cargas y momentos resultantes que actúan dentro del cuerpo y que son necesarias para mantener unido cuerpo cuando este es sometido a fuerzas externas. A pesar que la distribución interna de la carga puede ser desconocida, se pueden determinar mediante las ecuaciones de equilibrio.
3 Julián Portocarrero H.
Fuerza Normal (N): Fuerza perpendicular al área. Se presenta cuando las fuerzas externas tienden a estirar o comprimir el elemento. Fuerza Cortante (V): Fuerza que actúa sobre el área. Se presenta cuando las fuerzas externas tienden a hacer que los segmentos internos del cuerpo deslicen uno sobre el otro. Momento Torsionante o Torque (T): Se presenta cuando las fuerzas externas tienden a torcer un segmento del cuerpo respecto del otro. Momento Flexionante o Momento Flector (M): Se presenta cuando las fuerzas externas tienden a fletar el cuerpo respecto a un eje o fibra neutra.
4 Julián Portocarrero H.
Resistencia Mecánica: Es la capacidad de un cuerpo para resistir frente a diferentes acciones externas como pueden ser la tensión, la compresión y el corte, sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo. Es la forma en que un material soporta fuerzas aplicadas, incluyendo fuerzas de tensión, compresión, de impacto, cíclicas o de fatiga, o fuerzas a altas temperaturas. Es la relación entre la fuerza aplicada y el área.
5 Julián Portocarrero H.
F F F
Resistencia Mecánica: Esfuerzo es la resistencia que ofrece un área unitaria (A) del material del que está hecho un miembro para una carga aplicada externa (fuerza, F):
𝝈 =𝑭
𝑨
Donde: F: Fuerza Aplicada A: Área sobre la que se analiza el efecto de la fuerza
6 Julián Portocarrero H.
F F F
Esfuerzo de Tensión: Es la fuerza por unidad de área en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un medio continuo. La definición anterior se aplica tanto a fuerzas localizadas como fuerzas distribuidas, uniformemente, que actúan sobre una superficie. El esfuerzo mecánico de tensión mecánica se expresa en unidades de presión es decir, fuerza dividida entre área
7 Julián Portocarrero H.
F F F
𝝈𝑻 =𝑭
𝑨
Esfuerzo de Compresión: El esfuerzo de compresión es la resultante de las tensiones o presiones que existen dentro de un solido deformable o medio continuo, caracterizada porque tiende a una reducción de volumen o un acortamiento en determinada dirección. El esfuerzo mecánico de tensión mecánica se expresa en unidades de presión es decir, fuerza dividida entre área
8 Julián Portocarrero H.
𝝈𝑪 =𝑭
𝑨
F F F
Rigidez: Se conoce como rigidez a aquello que posee la particularidad de ser rígido (es decir, que no puede ser doblado o que resulta riguroso, inflexible y severo). En el sentido físico, la idea de rigidez está asociada a la falta de elasticidad o capacidad de movimiento. La rigidez es la capacidad de un objeto sólido para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos, en otras palabras es la capacidad de un cuerpo para resistir una fuerza sin deformarse.
9 Julián Portocarrero H.
Tipos de Carga:
Carga Estática. Se aplica gradualmente desde en valor inicial cero hasta su máximo valor. Carga Dinámica. Se aplica a una velocidad determinada. Pueden ser:
Carga Súbita: Cuando el valor máximo se aplica instantáneamente; Carga de Choque Libre: Cuando está producida por la caída de un cuerpo sobre un elemento resistente Carga de Choque Forzado: cuando una fuerza obliga a dos masas que han colisionado a seguir deformándose después del choque.
10 Julián Portocarrero H.
Tipos de Carga:
Carga Cíclicas o de Fatiga. Se aplica los materiales bajo cargas dinámicas cíclicas (fuerzas repetidas aplicadas sobre el material), estas producen que el material falle ante cargas inferiores a las cargas estáticas que producirían la rotura. La fatiga es una forma de rotura que ocurre en estructuras sometidas a tensiones dinámicas y fluctuantes (puentes , automóviles etc.).
11 Julián Portocarrero H.
F F F
Por aplicación de carga
F1 (Tensión) y F2
(Compresión)
Tiempo, t
máx
Esfu
erz
o,
a
mín
a
m
f
Esfuerzo Normal:
Esfuerzo producto de fuerzas perpendicular al área
12 Julián Portocarrero H.
Los esfuerzos normales axiales por lo general ocurren en elementos como cables, barras o columnas sometidos a fuerzas axiales (que actúan a lo largo de su propio eje), las cuales pueden ser de tensión o de compresión.
𝝈 =𝑭
𝑨
13 Julián Portocarrero H.
Esfuerzo Cortante:
Esfuerzo producto de tangenciales o de cizalladura al área
Los cortantes por lo general ocurren en elementos sometidos a efectos de cizalladura, también se presentan por efectos de otros tipos de cargas como torsión.
𝝉 =𝑭
𝑨
14 Julián Portocarrero H.
15 Julián Portocarrero H.
Puntos y conceptos:
1.Límite de elasticidad (E). Es la máxima tensión que se puede producirse sin que haya deformación permanente. 2.Límite de proporcionalidad (P). Es la máxima tensión que se puede producir en la zona donde la tensión es una función lineal. Suele coincidir con el anterior. 3.Límite de fluencia (B), también llamado límite aparente de elasticidad. Es una medida arbitraria tomada por acuerdo internacional. Surge a partir del punto donde se produce una deformación de 0,2%. 4.Carga de rotura (R) o límite de rotura. Es la carga máxima por unidad de sección que resiste el material antes de romperse. 5.Rotura efectiva (U). Punto donde rompe la probeta. 6.Alargamiento de rotura. Es el alargamiento que sufre el material antes de romperse. 7.Estricción. Es la reducción de la sección que sufre la probeta en la zona de rotura. El alargamiento y la estricción se usan para ver el grado de ductibilidad de los materiales.
16 Julián Portocarrero H.
A
F
F
F
F
FF
Concentradores de Esfuerzos
mtmax k
17 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentradores de Esfuerzos
18 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentradores de Esfuerzos
Circulo de Mohr para
esfuerzos Triaxiales
19 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentradores de Esfuerzos
20 Julián Portocarrero H.
mtmax k
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentradores de Esfuerzos
mtmax k
21 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentradores de Esfuerzos
mtmax k
22 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentradores de Esfuerzos
mtmax k
23 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentradores de Esfuerzos
mtmax k
24 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentradores de Esfuerzos
mtmax k
25 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentradores de Esfuerzos
mtmax k
26 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
A
P
Esfuerzos de Cizallamiento
A
27 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
0 FAF
Esfuerzos de Cizallamiento
28 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
F
F
F
F
F
A
F
AA
F
A
Esfuerzo de Cizallamiento para un pasador o tornillo y una junta simple
Esfuerzos de Cizallamiento
29 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
F
F
A
F
A
4
2d
A
2
4
d
F
Esfuerzo de Cizallamiento para un pasador o tornillo y una junta simple
Esfuerzos de Cizallamiento
30 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
F
F
A
4
2d
A
Esfuerzo de Cizallamiento para dos pasadores o tornillos y una junta simple
F F
F F
F F
Cada pasador o
tornillo soporta la
mitad de la carga
A
F2
2
2
d
F
Esfuerzos de Cizallamiento
31 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
A
4
2d
A
Esfuerzo de Cizallamiento para n pasadores o tornillos y una junta simple
F F
Cada pasador o tornillo soporta la
enésima parte de la carga n
Fpasador por Carga
2
4
dn
F
2
4
d
nF
02 FAF
Esfuerzos de Cizallamiento
32 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
AA A
F
2
A
Esfuerzo de Cizallamiento para un pasador o tornillo y una junta doble
2F
2F
F
F
2F
2FA
2F
F A
2F
Esfuerzos de Cizallamiento
33 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
A
4
2d
A
Esfuerzo de Cizallamiento para n pasadores o tornillos y una junta doble
F F
Cada pasador o
tornillo soporta una
enésima parte de la
carga que soporta
junta doble
2
2
dn
F
2
2
4
d
nF
2F
2F
F
A
nF
2
A
PK
St tdKwA
Esfuerzos de Cizallamiento
Placa cargada a tensión con pasador en agujero transversal. Cuando haya holgura
auméntese Kt en 35 35 a 50% 34 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Ensayo de Tracción
Máquina de Ensayo de Tracción
El ensayo destructivo más importante es el ensayo de tracción, consiste en someter una probeta normalizada a esfuerzos progresivos y crecientes de tracción en la dirección de su eje hasta que llegue a la deformación y a la rotura correspondiente; en donde se coloca una probeta en una máquina de ensayo consistente de dos mordazas, una fija y otra móvil y se procede a medir la carga mientras se aplica el desplazamiento de la mordaza móvil.
35 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción La máquina de ensayo impone la deformación desplazando el cabezal móvil a una velocidad seleccionable.
La celda de carga conectada a la mordaza fija entrega una señal que representa la carga aplicada, las máquinas grafican en un eje el desplazamiento y en el otro eje la carga leída.
Curva Fuerza-Deformación de
un Acero de bajo Carbono
36 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción Estados de tensión: Tensión normal, tensión de cortadura y
tensión hidrostática
Tensión normal: la fuerza actúa en dirección perpendicular a la
superficie. Puede ser de tracción (positiva) o de compresión
(negativa)
0A0A
0L
fLfL
0L
37 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo
de
Tracción
38
Julián Portocarrero H. 39
𝜎 =𝐹
𝐴 𝜎 = 𝐸 ∙ 휀
𝜎𝑥𝑥 = 𝐸 ∙ 휀 𝑥𝑥
fL
0L
휀 =𝐿𝑓 − 𝐿0
𝐿0=
𝛿
𝐿0
휀 𝑥𝑥 =𝜎𝑥𝑥𝐸
𝑥
𝑦
𝑧
휀 𝑦𝑦 = 휀 𝑧𝑧 = −𝑣𝜎𝑥𝑥𝐸
Ensayo de Tracción
Tensión normal: Intensidad de fuerza normal por unidad de
superficie
Deformación normal: respuesta del material a la aplicación de la
tensión. Se mide como el cambio relativo de longitud en la
dirección de aplicación de la fuerza (lo que se estira o se encoge)
0A
F Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa)
Psi (lb/in2)
0
0f
L
LL
40 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción Probetas:
Son generalmente barras de sección regular y cte., casi siempre
circulares.
Sus extremidades son de mayor sección, para facilitar la fijación
de la probeta a la maquina de
tracción.
En las probetas se hacen dos marcas entre las cuales se mide la
longitud l (puntos calibrados).
Para que los resultados sean comparables, las probetas deben
ser geométricamente semejantes, así bajo mismas cargas, se
obtendrá deformaciones proporcionales.
Es decir existirá la siguiente relación:
Según norma K = 5,65.
00 AKL
41 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción Probetas:
42 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción Diagrama fuerza deformación:
43 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción
Forma de la probeta al inicio, al momento de llegar a la carga máxima y
luego de la ruptura.
Estricción
44 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción
Forma de la probeta al inicio, al momento de llegar a la carga máxima y
luego de la ruptura.
45 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción Deformación:
Forma de la probeta al inicio, y luego de la ruptura.
0f LLL Deformación:
Diagrama fuerza deformación
46 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción
Comparación entre el diagrama fuerza-deformación y el diagrama
esfuerzo-deformación
47 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Material
Frágil
Material
Dúctil
Material
Dúctil
Ductilidad y Fragilidad
Ensayo de Tracción
Ductilidad del material, es la capacidad para fluir, es decir, la capacidad para
alcanzar grandes deformaciones sin romperse. La fragilidad se define como la
negación de la ductilidad. Un material poco dúctil es frágil. Tenacidad: Área bajo la
curva diagrama vs. , capacidad de adsorber energía de deformación.
48 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Elástico perfecto
Sy
Plástico perfecto
Sy
Sy
Elasto-plástico perfecto
Elasto-plástico con incremento
Ensayo de Tracción
49 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Los diagramas esfuerzo-deformación de diversos materiales
varían ampliamente y diferentes ensayos de tensión con el
mismo material pueden producir resultados diferentes de
acuerdo con la temperatura de la probeta y la velocidad de
carga.
Sin embargo, es posible distinguir algunas características
comunes a los diagramas de varios grupos de materiales y
dividirlos en dos amplias categorías:
materiales dúctiles
materiales frágiles
Ensayo de Tracción
50 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción
Diagrama de tracción de algunos metales.
51 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción
Deformación elástica y deformación permanente (plástica).
52 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Curvas vs.
Efecto de la Temperatura y la velocidad de deformación
T
v
Regla empírica: ½ Tf TR ²/3 Tf
Ensayo de Tracción
53 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Curvas vs.
Ensayo de Tracción
54 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Curvas vs.
Ensayo de Tracción
55 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción Fenómeno de fluencia:
Diagrama de tracción del acero
fenómeno de fluencia. Diagrama de tracción del acero
SAE 1030.
56 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción Limite elástico:
Si la curva - del material no presenta claramente dónde termina la zona elástica y comienza la zona plástica, se define como punto de fluencia al correspondiente a una deformación permanente del 0,2%.
Cobre policristalino. Región elástica y región
plástica inicial que muestra el límite de fluencia
para una deformación permanente de 0,2% para.
E E
002,0
y
Elástico Plástico
57 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción Deformación elástica. Ley de Hooke:
La deformación inicial de la mayoría de los sólidos es elástica.
Eso quiere decir que la deformación es reversible al dejar de
aplicar la tensión, es decir, que el sólido recupera su forma inicial.
En la mayoría de los casos, la relación tensión-deformación en el
régimen elástico es lineal, es decir:
(Ley de Hooke) E
Donde
E: módulo de Young (Unidades: [Pa] y [psi])
58 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción
E
nk
A
P
0
L
LL
L
L
dL
0
n
0
0
L
LL
Sy
SUT
Ruptura
A0 L0
P
P
SP
Rango Elástico (proporcional) :
Rango Plástico:
Deformación Real:
59 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Ensayo de Tracción Deformación Permanente – Endurecimiento por deformación
plástica:
Durante el ensayo de tracción, si se descarga la probeta, luego de alcanzar la
zona plástica, pero antes de producirse la ruptura, la curva - cambia de
forma. La longitud de la probeta tiende a recuperarse, pero no alcanza la
longitud inicial, quedando con un longitud mayor, que se denomina
deformación permanente.
Deformación Permanente
60 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
ENSAYO DE TENACIDAD
Ensayo Charapy
Tenacidad: energía necesaria que es preciso suministrar a un
material para romperlo
Tg Ensayo Izod
61 Julián Portocarrero H.
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
ENSAYO DE TENACIDAD
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
ENSAYO CHARPY
62 Julián Portocarrero H.
ENSAYO DE TENACIDAD
INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES
Tenacidad GC (kJ/m2)
KIC (MPa√m) GC= KC
2/ E CRITERIO DE FRACTURA
KIC= σ·Y√(π·a)
Tensión aplicada
Tamaño de la grieta
Factor adimensional
f(geometría)
63 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Las fuerzas aplicadas en
cada punto de un cuerpo
se pueden descomponer
en sus componentes
ortogonales.
64 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Convención:
“Tensor de
Esfuerzos”
Cara Dirección
Cara positiva,
Dirección
positiva
65 Julián Portocarrero H.
xy
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Convención:
“Tensor de
Deformaciones”
Cara Dirección
Cara positiva,
Dirección
positiva
66 Julián Portocarrero H.
xy
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
EEE
zzyyxxxx
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Respuesta isotrópica
Ley Generalizada de Hooke
EEE
zzxxyyyy
EEE
yyxxzzzz
67 Julián Portocarrero H.
yzyz
xzxz
xyxy
G2
1
G2
1
G2
1
Estado de Esfuerzos
Ley Generalizada de Hooke para esfuerzo plano
xyyE
1
yxxE
1
yxz σσ
E
νε
G
xy
xy
12
EG
yxx1
E
xyy1
E
xyxy G
68 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Esfuerzos de Torsión
J
cTmax
69 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax Sk
Concentración Esfuerzos de Torsión
70 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax Sk
Concentración Esfuerzos de Torsión
71 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax Sk
Concentración Esfuerzos de Torsión
72 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax Sk
Concentración Esfuerzos de Torsión
73 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax Sk
Concentración Esfuerzos de Torsión
74 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Líneas horizontales se
vuelven curvas
Las líneas verticales permanecen
rectas, pero giran Antes de la deformación
I
cM f
f
Esfuerzos de Flexión
75 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Concentración de esfuerzos a Flexión
76 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax k I
cM f
m
Concentración de esfuerzos a Flexión
77 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax k Concentración de esfuerzos a Flexión
78 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax k Concentración de esfuerzos a Flexión
79 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax k Concentración de esfuerzos a Flexión
80 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax k Concentración de esfuerzos a Flexión
81 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax k Concentración de esfuerzos a Flexión
82 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax k Concentración de esfuerzos a Flexión
83 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
mtmax k Concentración de esfuerzos a Flexión
84 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Esfuerzo Cizallante Transversal
tI
QVf
85 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Esfuerzos Combinados
86 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Esfuerzos Combinados
87 Julián Portocarrero H.
2
xy
2
xmax 3 Teoría de la Máxima Energía de Distorsión
(Von Misses) y Mohr
2
xy
2
xmax 4 Teoría de la Esfuerzo Máximo Cizallante
(Tresca) y Mohr
2S yy
Teoría de la Máxima Energía de Distorsión
(Von Misses) 3S yy
Teoría de la Esfuerzo Máximo Cizallante
(Tresca)
RESISTENCIA DE MATERIALES
Materiales Dúctiles
Materiales Frágiles
1max Teoría del Esfuerzo Máximo Normal
Estado de esfuerzos
en el plano
Esfuerzos Combinados
88 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
F1 = 800lb
F2 = 500 lb
14 in
10 in
500 lb
800lb
11200 lbin
8000 lbin
7000 lbin
d = 1,5 in
RESISTENCIA DE MATERIALES
Esfuerzos Combinados
89 Julián Portocarrero H.
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para esfuerzo plano
y
x x
y
y
x
yx
xy
xy
yx
y
x
Estado de esfuerzos en el plano Estado de esfuerzos en el plano
girado el elemento un ángulo
90 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para esfuerzo plano
y
x
y
x
yx
xy
Estado de esfuerzos en el plano
(elemento en forma de cuña)
girado el elemento un ángulo
y
x
x A 0
yx A 0 tan
xy A 0
y A 0 tan
Estado de fuerzas en el plano
(elemento en forma de cuña)
girado el elemento un ángulo
91 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para esfuerzo plano
Ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano
θ2senτθ2cos2
σσ
2
σσσ xy
yxyxx1
θ2cosτθ2sen2
σσxy
yxyx 11
92 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para esfuerzo plano
Ecuaciones del circulo de Mohr
θsenτθσσσσ
σ xy
yxyx
x 22cos22
1
θτθsenσσ
xy
yx
yx 2cos22
11
2
2
2xy
yxτ
σσR
θsenτθsenτθσσ
θσσσσ
σ xyxy
yxyxyx
x 222cos2
22cos22
222
22
1
θτθτθsenσσ
θsenσσ
xyxy
yxyx
yx 2cos2cos22
222
)(222
2
2
11
2
2
2
11
2
122
xy
yx
yx
yx
x τσσ
τσσ
σ
22
11
2
12
Rτσσ
σ yx
yx
x
93 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para esfuerzo plano
2xy
2
yxmáx τ
2
σσR
y
xx
y
y
x
yx
xy
xy
yx
y
xx
y
y
x
yx
xy
xy
yx
2xy
2
yxyx1 τ
2
σσ
2
σσσ
yy1
x1x1
y1
y1
x1
y1 x1x1 y1
y1 x1
x
x1 y1
yy1
x1x1
y1
y1
x1
y1 x1x1 y1
y1 x1
x
x1 y1
1xσ
11 yxτ
0
C
xyτ
yσmáxτ
1σ
2σ
2
yx σσ
xσ
1xσ2
yx σσ
xyτ
11 yxτ
12 P
2
2
2xy
2
yxyx2 τ
2
σσ
2
σσσ
94 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para esfuerzo plano
1xσ0 C
2
R
2
yx σσ
Esfuerzos cortantes horarios
Esfuerzos cortantes antihorarios
95 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para deformación unitaria
2sen2
2cos22
xyyxyx1x
2cos2
2sen22
xyyx1y1x
yx
xyP2tan
Ecuaciones de transformación para la deformación unitaria
Deformaciones Unitarias Principales
2
xy
2
yxyx2,1
222
2
xy
2
yxmáx
222
Deformaciones Unitarias Cortantes Máximas
96 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para deformación unitaria
1x
2
11 yx
0
C
2
xy
ymáx
1
2
2
yx
x
1x2
yx
xy
11 yx
12 P
2
2
2xy
2
yxmáx
2R
2xy
2
yxyx1
22
2xy
2
yxyx2
22
97 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Esfuerzos Combinados
Circulo de Mohr para esfuerzo plano
2xy
2
yxmáx τ
2
σσR
y
xx
y
y
x
yx
xy
xy
yx
y
xx
y
y
x
yx
xy
xy
yx
2xy
2
yxyx1 τ
2
σσ
2
σσσ
yy1
x1x1
y1
y1
x1
y1 x1x1 y1
y1 x1
x
x1 y1
yy1
x1x1
y1
y1
x1
y1 x1x1 y1
y1 x1
x
x1 y1
1xσ
11 yxτ
0
C
xyτ
yσmáxτ
1σ
2σ
2
yx σσ
xσ
1xσ2
yx σσ
xyτ
11 yxτ
12 P
2
2
2xy
2
yxyx2 τ
2
σσ
2
σσσ
98 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Esfuerzos Triaxiales
99 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Ley de Hooke para esfuerzos Triaxiales
zy
xx
EE
zx
y
yEE
yx
z
zEE
zyxx
E
1
211
xzyy
E
1
211
yxzz
E
1
211
100 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para esfuerzos Triaxiales
2
yx
zmáx
σσ
2
31 σσmáx
2
zy
xmáx
σσ
2
zx
ymáx
σσ
1σ
σ
τ
0
C
máxτ
3σ
2σ
101 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr para esfuerzos Triaxiales
1σ
σ
τ
máxτ
3σ
2σ
O
1σ1σ
3σ
3σ
2σ
2σ
1σ1σ
3σ
3σ
2σ
2σ
2
31 σσmáx
1σ
σ
τ
máxτ
3σ
2σ
O
2
31 σσmáx
1σ1σ
3σ
3σ
1σ
σ
τ
máxτ
3σ
O
02 σ
2
31 σσmáx
102 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos Circulo de Mohr para esfuerzos Triaxiales
1σ
σ
τ
máxτ
0σσ 32
O
1σ1σ 1σ1σ
3σ
3σ
2σ
2σ
2
31 σσmáx
σ
2
31 σσmáx
3σ
3σ
3σ
σ
τ
máxτ
O
021 σσ
2
31 σσmáx
1σ
τ
máxτ
23 σσ
O
103 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Estado de Esfuerzos
Circulo de Mohr 2D y 3D
2
212.
σσDmáx
2
313.
σσDmáx
1σ1σ
3σ
3σ
1σ
σ
τ
máxτ
2σ
O
1σ
σ
τ
máxτ
2σ
O
03 σ
DmáxDmáx 3.2.
Circulo de Mohr 3D Circulo de Mohr 2D
104 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Esfuerzos Combinados
Circulo de Mohr para esfuerzos Triaxiales
2
yx
zmáx
σσ
2
31 σσmáx
2
zy
xmáx
σσ
2
zx
ymáx
σσ
1σ
σ
τ
0
C
máxτ
3σ
2σ
105 Julián Portocarrero H.
RESISTENCIA DE MATERIALES