Resistência à Compressão Perfis H
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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
RRREEESSSIIISSSTTTÊÊÊNNNCCCIIIAAA ÀÀÀ CCCOOOMMMPPPRRREEESSSSSSÃÃÃOOO DDDEEE PPPEEERRRFFFIIISSS HHH LLLAAAMMMIIINNNAAADDDOOOSSS DDDEEE AAABBBAAASSS PPPAAARRRAAALLLEEELLLAAASSS
Cristiane Amélia de Brito Gomes
Ouro Preto, agosto de 2006.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Minas – Departamento de Engenharia Civil
Dissertação apresentada ao programa
de pós-graduação do Departamento de
Engenharia Civil da Escola de Minas
da Universidade Federal de Ouro
Preto, como parte integrante dos
requisitos para obtenção do título de
Mestre em Engenharia Civil, área de
concentração: Construção Metálica
Catalogação: [email protected]
G633r Gomes, Cristiane Amélia de Brito. Resistência à compressão de perfis H laminados de abas paralelas [manuscrito]. / Cristiane Amélia de Brito Gomes. - 2006. xvii, 149 f.: il. color.; graf.; tabs. Orientador: Prof. Dr. Geraldo Donizetti de Paula. Área de concentração: Construção Metálica. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil. 1. Análise numérica - Teses. 2. Resistência de materiais - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. II. Título. CDU: 539.4
ii
iii
A porta da verdade estava aberta, mas só deixava passar meia pessoa de cada vez. Assim não era possível atingir toda a verdade, porque a meia pessoa que entrava só trazia o perfil de meia verdade. E sua segunda metade voltava igualmente com meio perfil. E os meios perfis não coincidiam. Arrebentaram a porta. Derrubaram a porta. Chegaram ao lugar luminoso onde a verdade esplendia seus fogos. Era dividida em metades diferentes uma da outra. Chegou-se a discutir qual a metade mais bela. Nenhuma das duas era totalmente bela. E carecia optar. Cada um optou conforme seu capricho, sua ilusão, sua miopia. Verdade – Carlos Drummond de Andrade. À minha família, sempre presente.
iv
AAAGGGRRRAAADDDEEECCCIIIMMMEEENNNTTTOOOSSS
A Deus, sempre presente e tão necessário em minha vida;
À minha mãe, pelas orações e dedicação;
A meu pai, pelo apoio e carinho;
Aos meus irmãos, Wanderson e Adriana, pela paciência;
Às minhas tias queridas, Pilar, Maria do Carmo e Conceição, pelas orações e palavras de
incentivo;
A meus colegas de mestrado, especialmente de minha turma, Alexandre, Fabiano, Flávio e
Paulo;
Aos amigos Bruno, Helba, Rodrigo e Silvana, pela amizade e companheirismo, sentirei
saudades;
Aos professores, especialmente ao Prof. Jaime e ao Prof. Ernani pelos conselhos;
Ao meu orientador, Geraldo Donizetti de Paula, pela assistência.
Ao meu co-orientador Luis Fernando Loureiro Ribeiro, pela ajuda quando foi possível.
Aos funcionários, especialmente a Rovia e ao Prof. Dornelas pela eficiência e dedicação;
À Dona Iraci, pela alegria e carinho;
À Patrícia e Tatiana, pela ajuda;
A CAPES pelo apoio financeiro;
À Escola de Minas, pela minha formação.
v
RRREEESSSUUUMMMOOO
O presente trabalho apresenta uma avaliação numérica do efeito das imperfeições
geométricas iniciais e das tensões residuais na resistência de elementos comprimidos
compostos por perfis H laminados, admitindo a flexão em torno dos eixos principais de
inércia. A análise numérica via Método dos Elementos Finitos foi realizada utilizando o
programa computacional ANSYS versão 10.0, o modelo numérico foi construído em
elemento finito de casca (SHELL181) com imperfeição inicial igual a L/1000 e um
diagrama tensão-deformação obtido através de um padrão teórico de distribuição de
tensões residuais. Os resultados obtidos numericamente foram tratados a fim de obter uma
curva de flambagem referente à média dos valores da força normal reduzida, ρ, para cada
um dos eixos principais de inércia, considerando o índice de esbeltez reduzido,λ , na faixa
correspondente a 0,2 ≤ λ ≤ 2,4. As curvas de flambagem obtidas foram utilizadas para
verificar se as recomendações da norma NBR 8800/86 e do Eurocode 3 (2002) são
aplicáveis aos perfis H laminados (GERDAU-AÇOMINAS) produzidos no Brasil.
Palavras-chave: análise numérica, resistência à compressão, perfis laminados.
vi
AAABBBSSSTTTRRRAAACCCTTT
The presented study presents one numerical evaluation of the effect of the initial geometric
imperfections and of the residual stresses on the strength of compressed elements
composed by rolled profiles H, accepting the bending around the main axis of inertia. The
numerical analysis through the Method of the Finite Elements is carried on, using the
software ANSYS 10.0. The numerical model was built in finite element of shell
(SHELL181) with initial imperfection equal to L/1000 and one diagram stress-deformation
gotten through one theoretical standard of distribution of residual stresses. The numerical
results was treated in order to having one curve of buckling referred to the average of
normal reduced force , ρ, to each one of the main axis of inertia , when it has been
considered the index of reduced thinness, λ , in the correspondent range to 0,2 ≤ λ ≤ 2,4.
The obtained buckling curves are used to verify if the recommendations of the standard
NBR 8800/86 and of the Eurocode 3 (2002) have been applicable to the rolled profiles H
(GERDAU-AÇOMINAS) produced in Brazil.
Key-words: numerical evaluation, strength to the compression, rolled profiles H.
vii
ÍÍÍNNNDDDIIICCCEEE
RESUMO ..............................................................................................................................v
ABSTRACT .........................................................................................................................vi
LISTA DE FIGURAS ...........................................................................................................x
LISTA DE TABELAS ......................................................................................................xvii
1. INTRODUÇÃO ...........................................................................................................01
1.1. Objetivo ..................................................................................................................02
1.2. Justificativa .............................................................................................................02
1.3. Descrição dos capítulos ..........................................................................................03
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...................................................................................05
2.1. Aspectos gerais .......................................................................................................05
2.2. Flambagem elástica ................................................................................................05
2.3. Flambagem inelástica .............................................................................................08
2.3.1. Teoria do módulo tangente ..........................................................................08
2.3.2. Teoria do módulo reduzido ou duplo módulo .............................................10
2.3.3. Teoria de Shanley ........................................................................................11
2.4. Fatores que alteram a resistência de colunas comprimidas ....................................12
2.4.1. Imperfeições mecânicas ou físicas...............................................................13
2.4.1.1. Seções laminadas a quente ..................................................................14
2.4.2. Curvatura inicial ..........................................................................................30
2.4.3. Efeito combinado das tensões residuais e curvatura inicial ........................33
2.5. Curvas de flambagem ............................................................................................36
2.5.1. Curvas de flambagem do ECCS – “European Convention
for Constructional Steelwork”. ...................................................................36
2.5.2. Curvas de flambagem da NBR 8800/86 .....................................................44
3. MODELAGEM NUMÉRICA ..................................................................................46
3.1. Aspectos gerais .....................................................................................................46
3.2. Critérios da análise numérica ...............................................................................46
viii
3.2.1. Imperfeição geométrica ...............................................................................47
3.2.2. Imperfeição física ........................................................................................48
3.2.2.1.Padrão de distribuição de tensões residuais ..........................................50
3.2.2.2.Diagrama tensão-deformação ...............................................................51
3.3. Construção dos modelos numéricos ......................................................................52
3.3.1. Elemento finito adotado ..............................................................................53
3.3.2. Características do material envolvido .........................................................53
3.3.3. Geometria dos modelos numéricos .............................................................54
3.3.4. Malha de elementos finitos .........................................................................58
3.3.5. Restrições dos nós .......................................................................................59
3.3.6. Aplicação de carga ......................................................................................59
3.4. Parâmetros de solução ...........................................................................................60
3.5. Análise não-linear geométrica ...............................................................................61
3.6. Análise não-linear física ........................................................................................62
3.7. Análise não-linear física-geométrica .....................................................................63
4. RESULTADOS DA ANÁLISE NUMÉRICA ..........................................................64
4.1. Aspectos gerais ......................................................................................................64
4.2. Apresentação dos resultados ..................................................................................65
4.2.1. Resultados da análise não-linear geométrica ..............................................65
4.2.2. Resultados da análise não-linear física .......................................................66
4.2.3. Resultados da análise não-linear física-geométrica ....................................67
4.3. Ajuste das curvas de flambagem ...........................................................................77
4.4. Análise comparativa das curvas de flambagem .....................................................82
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS .....................................................................................86
5.1. Considerações gerais .............................................................................................86
5.2. Considerações com relação ao modelo numérico ..................................................87
5.3. Considerações com relação à análise comparativa
das curvas de flambagem ........................................................................................87
5.4. Sugestões para futuras análises .............................................................................88
ix
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................89
ANEXO I .......................................................................................................................93
ANEXO II ....................................................................................................................115
ANEXO III ..................................................................................................................140
x
LLLIIISSSTTTAAA DDDEEE FFFIIIGGGUUURRRAAASSS
CAPÍTULO 2
Figura 2.1 - Coluna de Euler. Adaptado: Steel Structures Design and Behavior,
C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996. …………….........…………………………....6
Figura 2.2 - Hipérbole de Euler. – Adaptado:Araújo – 1993. ..............................................7
Figura 2.3 - Teoria do módulo tangente. – Adaptado: Steel Structures
Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson,1996. ……….………..………9
Figura 2.4 - Teoria de Shanley. - Adaptado: Paula -1994. .................................................11
Figura 2.5 - Processo de resfriamento de um perfil I laminado a quente.
Adaptado: Theory and Design of Steel Structures, G. Balio e
F. M. Mazzolani, 1983. …………………….……………..……………………….14
Figura 2.6 - Distribuições de tensões residuais. – Adaptado: Theory and
Design of Steel Structures, G. Balio e F. M. Mazzolani, 1983. ………..............…17
Figura 2.7 - Modelo de distribuição de tensões residuais adotado pelo ECCS.
Adaptado: Theory and Design of Steel Structures, G. Balio e
F. M. Mazzolani, 1983. ...........................................................................................18
Figura 2.8 - Distribuição de tensões residuais em perfis jumbo laminados.
Adaptado: Theory and Design of Steel Structures, G. Balio e
F. M. Mazzolani, 1983. …………………………………………………………19
Figura 2.9 - Eixos de distribuição das tensões residuais para os flanges e a alma.
Adaptado: “A new distribution for hot-rolled I-shaped sections”
J. Sazalai e F. Papp, 2005. .......................................................................................21
Figura 2.10 - Modelo de seção transversal adotado.
Adaptado: “A new distribution for hot-rolled I-shaped sections”
J. Sazalai e F. Papp, 2005. .......................................................................................22
Figura 2.11 – Padrão de distribuição de tensões do perfil HEA 220
Adaptado: Étude de la resistance dês barres
comprimées - Flambement simple, H. Djalaly, 1977. .............................................24
xi
Figura 2.12 - Influência da forma do diagrama de distribuição e da magnitude
das tensões residuais para a flambagem com relação ao eixo de
menor inércia. – Adaptado: Étude de la resistance dês barres
comprimées - Flambement simple, H. Djalaly, 1977...............................................25
Figura 2.13- Distribuição de tensões residuais numa seção
transversal de um perfil H laminado. Adaptado: Residual
stress and compressive strength of steel,
Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954. ……………………………….…….…………..26
Figura 2.14 - Influência da tensão residual na média da curva
tensão-deformação - Adaptado: Residual stress and compressive
strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954. ………………….…….……..27
Figura 2.15 - Comportamento da coluna perfeita e imperfeita
Adaptado: Guide to Stability Design Criteria for Metal Strucutures,
T. V. Galambos,1976. ..............................................................................................31
Figura 2.16 - Influência da curvatura inicial para a flambagem com relação
ao eixo de maior inércia. – Adaptado: Étude de la resistance
dês barres comprimées - Flambement simple, H. Djalaly, 1977. ............................32
Figura 2.17 - Influência da curvatura inicial para a flambagem com relação
ao eixo de menor inércia. – Adaptado: Étude de la resistance
dês barres comprimées - Flambement simple, H. Djalaly, 1977. ............................32
Figura 2.18 - Distribuição de tensão residual em perfis laminados.
Adaptado: Guide to Stability Design Criteria for Metal Strutctures,
T. V. Galambos, 1976. ...................................................................................33
Figura 2.19 - Curvas de carga crítica para colunas sem curvatura inicial
comparadas com as curvas de resistência máxima
para colunas com curvatura inicial (Perfis laminados)
Adaptado: Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures,
T. V. Galambos,1976. .............................................................................................34
Figura 2.20 - Efeito da curvatura inicial vo com e sem tensões residuais.
Adaptado: Theory and Design of Steel Structures,
G. Balio e F. M. Mazzolani, 1983. ..........................................................................35
xii
Figura 2.21 - Múltiplas Curvas de resistência, recomendadas pela ECCS,
baseadas numa curvatura inicial de L001,0o =δ .
Adaptação: Guide toStability Design Criteria for Metal Strutctures,
T. V. Galambos, 1976. .............................................................................................38
Figura 2.22 - Comparação entre as proposições 1 e 2.
Adaptado: Formulations d’ Ayrton - Perry pour flambement
de barres métalliques, Rondal, J.; Maquoi, R. 1979. ...............................................41
Figura 2.22 - Curvas de flamabagem da NBR 8800/86. ....................................................44
CAPÍTULO 3
Figura 3.1 - Modelo teórico do elemento comprimido na posição deformada.
Adaptado: Paula -1994. ...........................................................................................48
Figura 3.2 - Efeito da tensão residual na força normal última de colunas
bi-apoiadas. - Adaptado: “A new distribution for hot-rolled
I-shaped sections” J. Sazalai e F. Papp, 2005. …………………………….……....49
Figura 3.3 - Padrão de distribuição de tensões residuais perfil W150x37,. .......................51
Figura 3.4 - Diagrama tensão-deformação perfil HP250x85,0. .........................................52
Figura 3.5 - Elemento SHELL181. – Adaptado: biblioteca ANSYS 10.0. .......................53
Figura 3.6 - Modelo teórico do elemento comprimido na posição
deslocada e posição deslocada simplificada. ...........................................................55
Figura 3.7 - Esboço dos modelos numéricos apresentando a curvatura inicial
(a) para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia e
(b) para a maior inércia. ...........................................................................................56
Figura 3.8 - Construção do modelo - Menor inércia. .........................................................56
Figura 3.9 - Seção transversal composta por uma única camada de elementos
de casca (SHELL181). .............................................................................................58
Figura 3.10 - Restrições ao deslocamento. .........................................................................59
Figura 3.11 - Modelo com as extremidades carregadas. ...................................................60
Figura 3.12 - Diagrama elasto-plástico perfeito.................................................................61
Figura 3.13 - Diagrama tensão-deformação do perfil W150x37,1. ...................................62
xiii
CAPÍTULO 4
Figura 4.1 - Resultado da análise não-linear geométrica. .................................................66
Figura 4.2 - Resultados da análise não-linear física. ........................................................66
Figura 4.3 - Resultados da análise-não-liear física-geométrica. .......................................67
Figura 4.4 – Resultados das análises não-linear geométrica, física e
física-geométrica......................................................................................................68
Figura 4.5 – Deslocamentos devido a flambagem com relação ao eixo de
menor inércia. ..........................................................................................................69
Figura 4.6 – Curvas da média aritmética para a flambagem com relação
aos eixos principais de inércia e envoltórias inferior e superior. .............................72
Figura 4.7 –Deformada do perfil W150x22,5, 1° subpasso de carga
(escala 1:10). ............................................................................................................73
Figura 4.8 -Deformada do perfil W150x22,5, 8° subpasso de carga
(escala 1:10). ............................................................................................................74
Figura 4.9 –Deformada do perfil W150x22,5, 73° subpasso de carga
(escala 1:10). ............................................................................................................74
Figura 4.10 –Deformada do perfil W150x22,5, 135° passo de carga
(escala 1:10). ............................................................................................................75
Figura 4.11 – Variação do re em função de kL para o perfil W150x22,5. .........................77
Figura 4.12 - Média menor inércia e as Curvas 1 ( 353,0ef =α )e
2 ( 260,0ef =α ). ......................................................................................................79
Figura 4.13 - Média maior inércia e Curvas 3 ( 261,0ef =α )e
4 ( 195,0ef =α ). ......................................................................................................81
Figura 4.14 - Comparação entre as curvas da NBR 8800/86
e a Curva 1 ( 353,0=α ). ..........................................................................................82
Figura 4.15 - Comparação entre as curvas de flambagem do Eurocode 3,
a Curva 1 e a curva para o perfil HEA 220 (menor inércia). ..................................83
Figura 4.16 – Comparação entre as curvas de flambagem da NBR 8800
e a Curva 3. .............................................................................................................83
xiv
Figura 4.17 – Comparação entre as curvas de flambagem do Eurocode 3,
Curva 3 e a curva para o perfil HEA 220 (maior inércia). .....................................84
Figura 4.18 – Diagrama força normal versus deslocamento, para a flambagem
com relação ao eixo de menor inércia para 0,1=λ . ................................................85
Figura 4.19 – Diagrama força normal versus deslocamento, para a flambagem
com relação ao eixo de maior inércia para 0,1=λ . .................................................85
ANEXO I
Figura I.1 - Distribuição de tensões em condições de equilíbrio instável
(Teoria do duplo módulo). - Adaptado: Steel Structures Design
and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson,1996. ………………………......…...93
Figura I.2 - Elemento dz ao longo do eixo da coluna na posição de
equilíbrio instável. - Adaptado: Steel Structures Design and
Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996. …………..……………………….94
Figura I.3 - Teoria de Shanley- Adaptado: Paula -1994. ..................................................96
Figura I.4 - Influência das tensões residuais na resistência à compressão
de um perfil estrutural de aço. Adaptado: Steel Structures
Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996. ……………………....99
Figura I.5 - Distribuição de tensões residuais para perfis I laminados de aço,
de abas planas, caso elasto-plástico. ). Adaptado: Steel Structures
Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996. ……………..………101
Figura I.6 - Curvas de flambagem para um perfil com e
sem tensões residuais. Adaptado: Steel Structures Design
and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996. ..............................................103
Figura I.7 - Elemento com uma curvatura inicial. - Adaptado: Paula -1994. ..................104
Figura I.8 – Representação da distância y ao eixo x. - Adaptado: Paula -1994. ..............107
Figura I.9 – Curvas de flambagem para perfil de seção H com
tensão residual de compressão nas extremidades dos flanges.
Adaptado: Steel Structures Design and Behavior,
C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996. .....................................................................109
xv
ANEXO II
Figura II.1 - Distribuição de tensões residuais numa seção
transversal de um perfil H laminado.
Adaptado: Residual stress and compressive
strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954. ..............................................115
Figura II.2 - Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado
- Flanges parcialmente escoados. Adaptado: Residual stress
and compressive strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954. .................116
Figura II.3 – Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado
- Flanges parcialmente escoados e alma começando a escoar.
Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel,
Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954. ..........................................................................118
Figura II.4 - Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado
- Flanges e alma parcialmente escoados.
Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel,
Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954. ..........................................................................120
Figura II.5 - Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado
- Flanges completamente escoados e alma parcialmente escoada.
Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel,
Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954. …......................................................................122
Figura II.6 - Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado
- Seção completamente escoada. Adaptado: Residual stress
and compressive strength of steel, Huber, A.W.;
Beedle, L.S., 1954. ………………………………………………………………124
xvi
LLLIIISSSTTTAAA DDDEEE TTTAAABBBEEELLLAAASSS
CAPÍTULO 2
Tabela 2.1 – Distribuições típicas de tensões residuais para perfis
de seção I laminados. Adaptado: Theory and Design of
Steel Structures, G. Balio e F. M. Mazzolani,1983. ...............................................16
Tabela 2.2 – Dimensões e propriedades geométricas do perfil HEA 220.
Catálogo online de perfis de abas paralelas.
site: www. metalica .com.br.....................................................................................23
Tabela 2.3 - Classificação das seções para as curvas de flambagem
do Eurocode 3.Adaptado: Eurocode 3 (2002). ........................................................43
Tabela 2.4 - Classificação das seções para as curvas de flambagem
da NBR 8800/86. Adaptado: NBR 8800/86. ...........................................................45
CAPÍTULO 3
Tabela 3.1 - Dimensões dos perfis laminados. ...................................................................54
Tabela 3.2 - Características geométricas dos perfis laminados. .........................................54
Tabela 3.3 - Coordenadas para a construção dos modelos
(menor inércia). .......................................................................................................57
Tabela 3.4 - Coordenadas para a construção dos modelos
(maior inércia). ........................................................................................................57
CAPÍTULO 4
Tabela 4.1 – Comparação entre as forças críticas das análises não-linear
geométrica, não-linear física e não-linear física-geométrica,
para os perfis W150x37,1 e HEA 220. ....................................................................70
Tabela 4.2 – Valores de ρ para a faixa de esbeltez de 4,22,0 ≤λ≤ ,
para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia. .............................71
xvii
Tabela 4.3 - Valores de ρ para a faixa de esbeltez de 4,22,0 ≤λ≤ ,
para a flambagem com relação ao eixo de maior inércia. .......................................71
Tabela 4.4 – Propriedades estatísticas da curva média aritmética. .....................................72
Tabela 4.5 – Tensões críticas de flambagem ( 2,0=λ ) e os raios de giração. ...................76
Tabela 4.6 - Flambagem local. ...........................................................................................78
Tabela 4.7 - Valores da soma do quadrado da diferença. ...................................................79
Tabela 4.8- Valores da soma do quadrado da diferença. ....................................................80
ANEXO I
Tabela I.1 - Valores da tensão crítica f para um perfil I de aço A36. ..............................102
CAPÍTULO 1
IIINNNTTTRRROOODDDUUUÇÇÇÃÃÃOOO
Ao longo das últimas décadas, a crescente necessidade de tornar mais
econômicas as estruturas através da redução do peso e consumo de materiais sem,
contudo, diminuir a sua segurança e durabilidade, tem sido o principal objetivo da
engenharia. Devido a esse objetivo, novos materiais e ferramentas gráficas e numéricas
foram desenvolvidos através de pesquisas, tornando as estruturas cada vez mais leves, e
conseqüentemente mais esbeltas.
À medida que um elemento estrutural se torna mais esbelto o seu mecanismo de
colapso pode sofrer significativas mudanças qualitativas. Em uma coluna curta, por
exemplo, o colapso pode ocorrer ao se atingir o limite de resistência do material. Tem-
se então colapso por esmagamento, fissuração, plastificação, etc. O dimensionamento
deste tipo de elemento estrutural é feito através de um critério de resistência (von
Misses, por exemplo), e a capacidade de carga da estrutura, segundo os critérios, para
materiais dúcteis, depende apenas do limite de resistência do material, sendo que o
limite de resistência independente do comprimento e da geometria da estrutura. Já para
as colunas esbeltas, a perda de estabilidade ocorre devido ao fenômeno de flambagem, o
que faz com que a ruína ocorra devido à presença de grandes deslocamentos laterais.
As normas de cálculo e projeto de estruturas de aço, inclusive a brasileira - NBR
8800 (1986), adotam para a determinação da resistência última à compressão dos perfis
I e H laminados, a mesma curva de flambagem adotada para os perfis I e H soldados,
Capítulo 1 Introdução
2
que apresentam distribuição de tensões residuais ao longo da seção transversal diferente
da distribuição dos perfis I e H laminados, essa diferença é devida ao processo de
fabricação.
E em razão da não realização de uma investigação mais aprofundada a este
respeito, a norma NBR 8800 (1986) adotou as curvas de flambagem utilizadas no ECCS
- “European Convention for Constructional Steelwork” (1978), obtidas, entretanto, para
perfis com relações dimensionais e propriedades mecânicas diferentes das apresentadas
pelos perfis produzidos no Brasil.
1.1. Objetivo
O objetivo principal desta pesquisa é a determinação da resistência última de
elementos comprimidos de aço compostos por perfis I laminados de abas paralelas, por
meio de uma análise numérica utilizando o programa computacional ANSYS.
Com o objetivo especifico pretende-se verificar a curva de flambagem adotada
pela norma brasileira NBR 8800: 1986 e pelo Eurocode 3 (2002), para classificar os
perfis laminados de abas paralelas, fabricados pela Siderúrgica Brasileira GERDAU -
AÇOMINAS.
1.2. Justificativa
Por ser um produto relativamente novo, os perfis laminados produzidos pela
GERDAU-AÇOMINAS não possuem um estudo a respeito da influência das
imperfeições físicas (tensões residuais) e geométricas (curvatura inicial) na resistência
última à compressão.
Capítulo 1 Introdução
3
1.3. Descrição dos capítulos
No Capítulo 2 apresenta-se a revisão bibliográfica, descrevendo-se inicialmente
o fenômeno de flambagem elástica, apresentando-se os conceitos desenvolvidos por
Euler. Em seguida, aborda-se a flambagem inelástica, mostrando-se o trabalho
desenvolvido por F. Engesser e A. Considère (1889) para o módulo de elasticidade
tangente. A teoria do módulo de elasticidade reduzido é apresentada resumidamente
juntamente com o trabalho desenvolvido por Von Kárman. Em seguida apresenta-se o
modelo matemático desenvolvido por Shanley. Apresentam-se os fatores que alteram a
resistência à compressão, apresenta-se um relato a respeito das causas do aparecimento
das tensões residuais nos perfis laminados a quente, os vários padrões de distribuição
teóricos desenvolvidos para representá-las entre os quais está o padrão desenvolvido por
Sazalai e Papp (2005) utilizado neste trabalho. Em seguida mostra-se a formulação
teórica, para a obtenção do diagrama tensão-deformação, desenvolvida por Huber e
Beedle (1954), também utilizada neste trabalho. Por fim, apresentam-se os métodos
práticos utilizados para a determinação das tensões residuais. Na seqüência, apresenta-
se a imperfeição geométrica, mais especificamente a curvatura inicial, apresentando a
influência de vários valores da curvatura inicial na força normal reduzida (ρ ) em
função do índice de esbeltez reduzido ( λ ). Fechando os fatores que alteram a resistência
à compressão com o efeito combinado das tensões residuais e da curvatura inicial. No
final do Capítulo 2, são apresentadas as curvas de flambagem do ECCS, descrevendo a
formulação desenvolvida por Rondal e Maquoi (1978 e 1979). E as curvas de
flambagem da norma brasileira NBR 8800 (ABNT 1986).
No Capítulo 3 apresentam-se os critérios adotados na análise numérica, primeiro
a imperfeição geométrica (curvatura inicial) e a imperfeição física. Em seguida,
apresenta-se a construção dos modelos numéricos, o elemento finito adotado, as
características do material envolvido, a geometria, a malha de elementos finitos, a
aplicação das condições de contorno e o carregamento e os parâmetros de solução
adotados. As imperfeições físicas e geométricas adotadas nas análises não-linear
geométrica, física e física-geométrica são apresentados no final deste capítulo.
Capítulo 1 Introdução
4
No Capítulo 4 apresenta-se os resultados das análises não-lineares. Inicialmente
apresentam-se as análises não-lineares física, geométrica e física-geométrica feitas para
estudos do modelo numérico adotado, através da comparação com os resultados obtidos
por Djalaly (1977). Em seguida, são apresentados os resultados da análise não-linear
física-geométrica. Neste capítulo também apresenta-se o ajuste das curvas de
flambagem referentes a cada um dos eixos principais de inércia para a posterior
comparação com as curvas de flambagem da NBR 8800/86, do Eurocode 3 e com os
resultados obtidos por Djalaly (1977).
As considerações finais e recomendações para futuras pesquisas são
apresentadas no Capítulo 5.
No Anexo I apresenta-se o desenvolvimento do módulo de elasticidade reduzido,
( rE ), a obtenção da força normal para o modelo desenvolvido por Shanley (1947), o
efeito das tensões residuais no diagrama tensão-deformação, o efeito das imperfeições
iniciais e o modelo de segunda espécie e por fim, as curvas de flambagem do CRC –
“Column Research Council”, do AISC/ASD – “American Institute of Steel Construction
/ Allowable Stress Design” , do SSRC – “Structural Stability Research Council”, do
CSA – “Canadian Standards Association” e do AISC/LRFD – “American Institute of
Steel Construction / Load and Resistence Factor Design”.
No Anexo II apresenta-se a dedução das equações de tensão do diagrama tensão-
deformação apresentada no Capítulo 2 (Huber e Beedle,1954), os padrões de
distribuição de tensões residuais para cada um dos perfis adotados utilizando a
formulação desenvolvida por Sazalai e Papp (2005) e por fim, os diagramas tensão-
deformação para cada perfil adotado na análise, obtidos pelas equações apresentadas no
Capítulo 2 (Huber e Beedle, 1954) e cuja dedução é apresentada no início deste mesmo
anexo.
No Anexo III apresentam-se as tabelas contendo as forças normal críticas para as
curvas de flambagem das normas NBR 8800/86 e Eurocode 3 para a flambagem com
relação aos eixos de menor e maior inércia, a força normal numérica, obtida na análise
não-linear física-geométrica para cada um dos perfis adotados, os comprimentos de
flambagem com relação aos eixos x e y, os índices de esbeltez com relação aos eixos x e
y e o índice de esbeltez reduzido.
CAPÍTULO 2
RRREEEVVVIIISSSÃÃÃOOO BBBIIIBBBLLLIIIOOOGGGRRRÁÁÁFFFIIICCCAAA
2.1. Aspectos Gerais
Nenhum outro campo de estudo da resistência dos materiais tem uma história
tão variada como a teoria da resistência a flambagem de elementos comprimidos em
estruturas de aço. Apesar das numerosas investigações nas últimas décadas, algumas
pesquisas nesse campo especializado procuram definir o comportamento real das
colunas através de análises experimentais e numéricas
Este capítulo faz um apanhado das pesquisas relativas ao estudo dos
elementos comprimidos, apresentando os fatores que alteram a resistência à
compressão, as imperfeições físicas e geométricas, além de apresentar um quadro
resumido sobre a evolução das curvas de flambagem contidas nas normas técnicas,
utilizadas neste trabalho.
2.2. Flambagem Elástica
A teoria de flambagem de colunas tem seu início em 1774 com a publicação
do primeiro trabalho de L. Euler. Neste trabalho, foi determinado o limite elástico
útil para uma coluna perfeita devido aos grandes deslocamentos sob a carga crítica
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
6
22cr LBN π= , onde o termo B foi inicialmente definido como sendo a elasticidade
absoluta, depois, em 1775, como o momento rigidez. Apenas em seu terceiro trabalho,
em 1778, Euler finalmente introduziu a fórmula clássica e definiu o termo B como
sendo a rigidez à flexão (EI), onde E é o módulo de elasticidade ou módulo de Young e
I é momento de inércia da seção transversal.
De acordo com as hipóteses de Euler, para uma coluna perfeita, bi-articulada e
carregada axialmente, todas as fibras permaneceram elásticas até ocorra a flambagem, a
Figura 2.1 mostra a posição deslocada da coluna.
Figura 2.1 - Coluna de Euler1.
A uma distância z qualquer, o momento de flexão, zM , em relação ao eixo
principal x é:
yNM z ×= (2.1)
sendo que
EI
M
dz
yd z2
2
−= (2.2)
então, a equação diferencial fica:
0yEI
N
dz
yd2
2
=+ (2.3)
Como EINk 2 = , a solução dessa equação diferencial de segunda ordem pode ser
expressa por
)kzcos(B)kz(Aseny += (2.4)
Aplicando as condições de contorno,
(a) y = 0 e z = 0; 1 Adaptado: Steel Structures Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996.
z
y
N N
z
L
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
7
(b) y = 0 e z = L
Para a condição (a) obtém-se, B = 0 e para a condição (b),
)kL(Asen0 = (2.5)
Para satisfazer a Equação (2.5) poderemos ter três situações:
- A = 0 ⇒ A solução é trivial, ou seja, não ocorrerá flambagem;
- kL = 0 ⇒Não há carga aplicada na estrutura;
- kL = n ⇒π A solução é não trivial, para que ocorra flambagem.
Então,
2
22
L
EInN
EI
N
L
n π=⇒=
π (2.6)
O modo fundamental de flambagem irá ocorrer quando n = 1; Desta forma, a
carga crítica de Euler para uma coluna com as extremidades articuladas será dada por:
2
2
crL
EIN
π= (2.7)
ou em termos dos valores médios da tensão de compressão, usando 2g rAI =
( )2
2
g
crcr
rL
E
A
Nf
π== (2.8)
A Figura 2.2 mostra a hipérbole de Euler, com base na Equação (2.8).
Figura 2.2 – Hipérbole de Euler2.
2 Adaptado:Araújo – 1993.
f
LongaMédiaCurta
L/ro
fp
fy
Limite de Estabilidade
Limite de Resistência
Hipérbole de Euler
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
8
A equação de Euler foi abandonada juntamente com a linha de raciocínio da qual
se derivou quando os resultados experimentais demonstraram discrepâncias com
resultados obtidos teoricamente para as colunas curtas e médias. Essas discrepâncias se
devem ao fato do limite elástico ter sido excedido antes que a flambagem ocorresse.
Naturalmente, não foi levado em consideração pela teoria de Euler em sua forma
original.
Em 1845, E. Lamarle estabeleceu o limite elástico como o limite de validade da
equação de Euler. Segundo Salmon (1996), Lamarle mostrou que se a coluna ideal
fletir, o material da fibra mais externa ultrapassará o limite elástico imediatamente. A
carga de Euler pode ser vista, então, como a carga correspondente ao primeiro
deslocamento, mas também como a carga de colapso da coluna. Além disso, se a carga
do limite elástico for inferior à carga de Euler, a coluna ideal não entrará em colapso por
flexão e sim por compressão simples. Essa condição determina o valor de L/r abaixo do
qual a fórmula de Euler não é aplicável.
2.3. Flambagem Inelástica
2.3.1. Teoria do módulo tangente
A equação de Euler não foi aplicável até 1889, quando A. Considère e F. Engesser
perceberam a possibilidade de utilizá-la na zona inelástica da flambagem através da
introdução de um módulo de elasticidade variável.
Neste mesmo ano, Engesser publicou a teoria do módulo tangente, segundo a qual
a coluna permanece reta até o momento do colapso, sendo o módulo de elasticidade no
colapso dado pela tangente da curva tensão-deformação. De acordo com a Figura 1.3,
que numa determinada tensão, ( gcrcr ANf = ), a coluna poderá adquirir uma
configuração instável que é governada pelo módulo tangente ε= ddfE t . Com base
neste estudo a equação de Euler foi modificada para:
2t
2
tL
IEN
π= (2.9)
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
9
onde tN é a carga do módulo tangente, tE é o módulo tangente de elasticidade na
tensão crf .
Figura 2.3 – Teoria do módulo tangente3.
Esse procedimento foi criticado por Considère (1889) e Jasinski (1895), que
apontaram a necessidade de se levar em consideração o descarregamento elástico
através da introdução de um “módulo efetivo” que rege o comportamento da coluna. O
módulo efetivo apresenta um valor entre o módulo de elasticidade (E) e ao módulo
tangente ( tE ). Durante a flambagem, devido o deslocamento lateral, algumas fibras
3 Adaptado: Steel Structures Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996.
Ângulo de deformação devido a flambagem
Seção A - A
θ =
AA
d
d/2Mudança de tensão da carga do Módulo Tangente
Tensão da carga do Módulo Tangente
( )2t
2
g
tcr
r/kL
IE
A
Nf
π==
=crf
tN
tN
tEθ
δ
tCurva tensão - deformação
N
Curva carga - flechaδ
N
cr df
f
Ε
f
E de Nt cr
t
ε
dε
Ε = dεdf
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
10
sofrem um aumento de tensão e seguem a relação não linear ε= ddfE t , enquanto que
outras passam por um processo de alívio de parte das tensões e seguem a relação linear
tensão-deformação.
2.3.2. Teoria do módulo reduzido ou duplo módulo
Em 1895, Engesser apresentou uma solução aperfeiçoada do problema de
flambagem de colunas no campo inelástico, que levava em consideração as questões
apontadas por Considère e Jasinski, na qual o “módulo efetivo” foi definido como
“módulo reduzido” ou “duplo módulo”.
Nenhum progresso adicional foi feito até 1908, quando T. H. von Kárman
levantou novamente essa questão, reapresentou a teria do módulo reduzido de Engesser
e com base nos resultados dos testes feitos por Meyer, provou que os princípios da
teoria convencional de flexão também permaneciam válidos após a tensão exceder o
limite proporcional.
Em 1910, von Kárman executou uma série de testes em colunas curtas de seção
retangular, tornando possível determinar o módulo reduzido, ( rE ), para algumas
seções:
� Para seções retangulares
( )2t
tr
EE
EE4E
+= (2.10)
� Para seções I simétricas
EE
EE2E
t
tr
+
+= (2.11)
Mais tarde, o autor apontou a influência da forma da seção transversal (efeito da
forma) no fenômeno da flambagem.
No Anexo I apresenta-se dedução do módulo reduzido ou duplo módulo, rE .
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
11
2.3.3. Teoria de Shanley
F. R. Shanley, em 1947, demonstrou através de ensaios que a flexão da coluna
ocorrerá simultaneamente ao aumento de carga axial, e que existe um espectro contínuo
de possibilidades de configurações deslocadas correspondentes aos valores de maxN
entre a carga do módulo reduzido e a carga do módulo tangente ( )rmaxt NNN << .
Nestes ensaios o deslocamento lateral inicia-se sob uma carga que se aproxima do valor
teórico obtido pela teoria do módulo tangente, porém em nenhum dos casos, essa carga
atingiu o valor da carga obtida pela teoria do módulo reduzido.
As discrepâncias observadas por Shanley entre os resultados dos ensaios e a teoria
basearam o modelo matemático por ele proposto para explicar o comportamento pós-
flambagem de um elemento no regime inelástico. Este modelo é constituído por dois
elementos infinitamente rígidos, ligados por uma rótula plástica, conforme ilustra-se na
Figura 2.4, onde 1ε e 2ε são as deformações ocorridas após o início da flexão devido
ao acréscimo de forças de compressão 1N e tração 2N .
Figura 2.4 - Teoria de Shanley.4
4 Adaptado: Paula -1994.
θ
Ag/2
Ag/2E1
E2
Barra infinitamente rígida
ε1ε2
b
b
o
N1 N2
N
N
vo
θ
L/2
L
L/2
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
12
No lado côncavo da coluna a deformação devido à compressão aumenta
rapidamente após a carga do módulo tangente ser excedida e quem comanda é o módulo
tangente ( )t1 EE = enquanto que no lado convexo a deformação começa a reduzir
lentamente e quem comanda é o módulo de elasticidade ( )EE 2 = .
Considerando o modelo matemático, Shanley deduziu analiticamente (Anexo I)
uma expressão para a carga crítica, como sendo:
( )( )
ϕ−
ϕ++
+=
1
1
v2
b
11NN
o
t (2.12)
onde E
E t=ϕ .
A aplicação da teoria de Shanley, que representa o ponto da chegada da
tendência começada por Euler, parece ser justificada pela possibilidade de se fazer uma
análise das imperfeições estruturais (tensões residuais; distribuição não homogênea das
propriedades mecânicas) que caracterizam os perfis de aço produzidos industrialmente.
2.4. Fatores que alteram a resistência de colunas comprimidas
O comportamento real das colunas de aço é sempre diferente do obtido
teoricamente. Essa diferença se deve principalmente às chamadas imperfeições
geométricas e físicas.
As imperfeições geométricas e físicas apresentam-se como defeitos inevitáveis.
A primeira pode ser decorrente da falta de retilinidade da coluna (imperfeição ou
curvatura inicial), da falta de paralelismo dos flanges e ou da assimetria da seção
transversal. Essas imperfeições podem ser causadas pelo desvio do ponto idealizado de
aplicação de carga devido às imperfeições nas conexões (excentricidade de
carregamento) e pela falta de verticalidade do membro. As imperfeições físicas são
devidas às tensões residuais ou da distribuição não homogênea das características
mecânicas através da seção transversal.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
13
Todas estas imperfeições agem simultaneamente e seu efeito na resistência
última à compressão depende da intensidade individual e da esbeltez da coluna. Em
colunas esbeltas ou delgadas as imperfeições geométricas possuem maior influência do
que as imperfeições físicas, o contrário ocorre com as colunas curtas ou robustas, em
que as imperfeições físicas, principalmente a distribuição não homogênea das
características mecânicas através da seção transversal, afetam a resistência à
compressão.
2.4.1. Imperfeições mecânicas ou físicas
As imperfeições mecânicas ou físicas dos perfis de aço decorrem substancialmente
devido à:
• presença das tensões residuais;
• distribuição não homogênea das características mecânicas através da seção
transversal.
As tensões residuais representam um estado de tensões internas auto-equilibrado
nos perfis de aço como conseqüência dos processos de produção industrial. Elas
ocorrem em corpos que sofrem deformações plásticas não uniformes. Se nenhuma força
externa se opuser, as tensões residuais serão sempre elásticas. A condição de
deformação não homogênea, que cria as tensões residuais nas seções de aço, é devida
aos processos industriais térmicos (laminação, soldagem e corte a maçarico) e
mecânicos (laminação a frio, desempeno).
A distribuição não homogênea das características mecânicas através das seções
transversais nos perfis de aço é também devido a sua técnica de produção. Entre as
várias características mecânicas, o comportamento estrutural de uma coluna é
profundamente influenciado pela variação da tensão de escoamento.
As mais recentes tendências na avaliação da carga última de membros de aço
concordam na necessidade de se levar em conta as imperfeições físicas. A hipótese da
coluna ideal perfeitamente reta composta de materiais homogêneos livres de tensões
internas foi abandonada, por que essas barras não existem na prática. Para uma
interpretação realista de sua natureza física, elas foram substituídas pelas barras
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
14
industriais com suas imperfeições inevitáveis e aleatórias (mecânicas e geométrica)
devido ao processo de fabricação.
As tensões residuais que devem ser consideradas são as tensões longitudinais,
porque agem no mesmo sentido que as tensões devido ao carregamento externo. Tais
superposições quase sempre reduzem a carga última de barras sujeitas ao fenômeno de
flambagem.
2.4.1.1. Seções laminadas a quente
Nas seções laminadas a quente, as tensões residuais são, normalmente, de
natureza térmica, e se devem ao processo de resfriamento, no entanto, a sua distribuição
pode ser mais tarde modificada pelo processo mecânico de desempeno.
Figura 2.5 – Processo de resfriamento de um perfil I laminado a quente.5
No processo de resfriamento de perfil I laminado a quente (Figura 2.5 - a), a
temperatura ao final da laminação (To) é igual a 600°C diferenças na temperatura nas
várias partes da seção transversal começam a aparecer. As partes mais expostas
(extremidades dos flanges e meio da alma) resfriam mais rapidamente do que as outras
partes (encontro dos flanges com a alma), que estão mais protegidas termicamente.
Numa fase intermediária do resfriamento (T1), como a tendência das áreas mais frias de
5 Adaptado: Theory and Design of Steel Structures, G. Balio e F. M. Mazzolani, 1983.
TT2T1To
(d)(c)(b)(a)
c
c
cc
c
t
t
tt
t
ccc
tt
c
tt
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
15
encurtar é impedida pelas áreas mais mornas, uma distribuição tensão residual
longitudinal surge como mostra a Figura 2.5 - b.
Neste ponto, as áreas mornas sofrem deformação plástica devido à tensão de
compressão imposta a elas pela contração das áreas que resfriaram mais rapidamente.
Isso reduz a tensão residual induzida, como mostra a Figura 2.5 - c para a temperatura
intermediária (T2).
O completo resfriamento das áreas mais expostas previne a contração das fibras
ainda mornas, que, portanto, sofrem deformação plástica. Conseqüentemente, uma vez
o resfriamento esteja completo, as áreas, que primeiro se resfriaram estarão
comprimidas, enquanto que as áreas que se resfriaram por últimos estarão tracionadas,
como mostra a Figura 2.5 - d.
A magnitude da distribuição das tensões residuais em perfis laminados à quente
depende do tipo da seção transversal, da temperatura de laminação, das condições de
resfriamento, dos procedimentos de desempeno dos perfis, e das propriedades do metal.
A Tabela 2.1 apresenta as distribuições típicas de tensões residuais para seções I
laminadas.
No caso de seções I, experiências mostram que a tensão residual longitudinal
devido ao resfriamento dos flanges e da alma, está intimamente relacionada com as
seguintes relações geométricas:
� fb
h;
h
t f ;f
f
b
t;
h
t w e f
w
b
t,
onde h é a altura da seção transversal, bf é o comprimento dos flanges , tw é a
espessura da alma e tf a espessura dos flanges.
Na realidade, a densidade de cada seção transversal, que pode ser definida pelos
parâmetros acima, influencia obviamente na radiação térmica das várias superfícies, e
conseqüentemente no gradiente de temperatura através da seção durante o resfriamento
e na distribuição final de tensão residual. Daí o fato das seções robustas com 2,1bh f <
serem afetadas pelas tensões residuais de tração no meio dos flanges e de compressão
nas extremidades, enquanto as tensões residuais no meio da alma podem ser tanto de
tração como de compressão, dependendo das relações das espessuras e das dimensões
globais. Os perfis esbeltos, pelo contrário, possuem 5,1bh f > , e na distribuição a
predominância é das tensões residuais de tração na junta da alma com os flanges.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
16
Tabela 2.1 – Distribuições típicas de tensões residuais para perfis de seção I laminados.6
Tensões residuais
fb
h Perfil
alma flanges h
t w f
w
b
t
h
t f f
f
b
t
h twtf
bf
C
C
T
C
TT
0,032
a
0,040
0,032
a
0,040
0,045
a
0,061
0,045
a
0,080
T
CC
T
0,075
a
0,100
0,078
a
0,112
0,091
a
0,162
0,093
a
0,182
2,1≤
0,062
a
0,068
0,068
a
0,073
0,104
a
0,114
0,113
a
0,121
C
C
T
C 0,031
a
0,032
0,042
a
0,048
0,048
a
0,051
0,062
a
0,080
2,1>
7,1<
0,030 0,046 0,051 0,077
T
T
C
C
T
C
7,1≥
C
T
T
T
0,018
a
0,028
0,039
a
0,056
0,025
a
0,043
0,063
a
0,085
6 Adaptado: Theory and Design of Steel Structures, G. Balio e F. M. Mazzolani, 1983.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
17
O problema de definir um modelo de tensões residuais tem sido estudado por
vários autores em vários países, com diferentes resultados incluindo aqueles mostrados
na Figura 2.6, como exemplo, podemos citar o modelo americano (Galambos) com uma
distribuição bi - triangular nos flanges e uma tensão constante na alma, o modelo
britânico (Young) possui distribuição parabólica tanto na alma quanto nos flanges e o
modelo australiano (Massey) possui tensão constante nos flanges, mas triangularmente
variável ao longo da espessura.
+
+
-
AUSTRÁLIA
-
++
-
-
-
-+
+
-
-+
+
-
-INGLATERRA ESTADOS UNIDOS
+
Figura 2.6 – Distribuições de tensões residuais.7
Um modelo similar ao britânico, adotado pela CECM-ECCS, é caracterizado
pela distribuição nas extremidades e uma parabólica no meio dos flanges e da alma
Figura 2.7. A distribuição é definida pelos seguintes valores:
⇒1,rcf tensão residual de compressão nas extremidades dos flanges;
⇒2,rcf tensão residual de compressão no meio da alma;
⇒1,rtf tensão residual de tração no encontro da alma com os flanges.
Os máximos valores testados devem ser assumidos para 1,rcf e 2,rcf . Os valores
para 1,rtf pode ser determinado por que a distribuição global está em equilíbrio, como
garantido pela seguinte Equação (2.13):
( ) ( ) ( )2
2,rc1,rc2,rc2
1,rc
1,rt2
2,rc2
1,rc2
1,rt1,rc2,rc3
1,rt
ff4ff6
ff8f2ff5,1f16f83
χ+β
=χ+β−χ+β+β+χ (2.13)
onde:f
w
t
t=χ e
f
f
th
b
−=β
7 Adaptado: Theory and Design of Steel Structures, G. Balio e F. M. Mazzolani, 1983.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
18
Figura 2.7 – Modelo de distribuição de tensões residuais adotado pelo ECCS.8
Valores máximos (em N.mm-2) caracterizam a distribuição proposta por Young
(modelo britânico) Figura 2.5, então temos:
β
χ−=
4,21165f 1,rc (2.14)
β
χ+=
4,25,1100f 2,rc (2.15)
β
χ+=
27,0100f 1,rt (2.16)
As Equações (2.14), (2.15) e (2.16) satisfazem o equilíbrio para a hipótese de
uma distribuição parabólica tanto nos flanges quanto na alma, contanto que a tensão de
escoamento não seja excedida.
8 Adaptado: Theory and Design of Steel Structures, G. Balio e F. M. Mazzolani, 1983.
Modelo adotado
Campo experimental
f rt f rc,2
f rc,1
f rt
tw
tf
bf
h
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
19
Figura 2.8 – Distribuição de tensões residuais em perfis jumbo laminados.9
Os resultados de pesquisas experimentais para a determinação de tensões
residuais em seções jumbo laminadas mostraram uma grande dispersão através da
espessura dos flanges (Figura 2.8). A máxima tensão de compressão ( 1,rcf ) dada por
Alpsten, pode ser obtida por meio das seguintes equações empíricas (2.17), (2.18) e
(2.19) (valores expressos em N.mm-2):
Perfis esbeltos 53ht
tb180f
f
wf1,rc −=⇒ (2.17)
Perfis médios 58ht
tb290f
f
wf1,rc −=⇒ (2.18)
Perfis jumbos 23ht
tb450f
f
wf1,rc −=⇒ (2.19)
Em 2005, J. Sazalai e F. Papp apresentaram um padrão teórico de distribuição de
tensões residuais que, como as outras distribuições teóricas já apresentadas, satisfaz às
seguintes condições de equilíbrio:
9 Adaptado: Theory and Design of Steel Structures, G. Balio e F. M. Mazzolani, 1983.
N/mm2
50
0
50
100
100
N/mm2
+
-
4 in
50
0
50
+
-
100
Externo
Interno
2 in
100
N/mm2
N/mm
50
0
50
100
+
-
50
0
50+
-
100
2
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
20
0dAfNA
z == ∫ (2.20)
0ydAfMA
zx == ∫ (2.21)
0xdAfMA
zy == ∫ (2.22)
onde N, xM e yM são, respectivamente, a resultante da força normal e os momentos de
flexão com relação aos eixos principais, zf é a tensão residual normal agindo ao longo
da seção transversal e A é a área da seção.
Segundo Sazalai e Papp (2005), as distribuições de tensões residuais baseadas
em resultados teóricos e/ou experimentais funcionam bem para os problemas de
flambagem por flexão em colunas. Entretanto, quando a coluna tem um deslocamento
torcional, em geral no caso de flambagem lateral com torção, essa distribuição pode não
satisfazer às equações de equilíbrio ligadas à torção e ao empenamento. Para que a nova
distribuição satisfaça o equilíbrio torcional foram adicionadas as seguintes condições:
0wdafMA
zw == ∫ (2.23)
0z
θKT z
w =∂
∂= (2.24)
onde wM é o bimomento, como resultante das tensões normais de empenamento, w é a
coordenada setorial da seção transversal, zθ é a rotação com relação ao eixo
longitudinal, wT é o momento de torção como uma conseqüência do efeito de Wagner,
isto é, a mudança na direção das tensões normais de empenamento devido a torção da
seção na qual:
( ) ( ) tdSf]yyxx[tdSfaK zS
2o
2o
Sz
2∫∫ −+−== (2.25)
K é chamado de coeficiente de Wagner, onde “a” é a distância entre um ponto
arbitrário da seção (x,y) e o centro de cisalhamento ( oo y,x ), e t é a espessura . Como a
seção H apresenta dupla simetria, admitindo-se uma distribuição de tensões residuais
também simétrica, a resultante do bimomento será nula, satisfazendo assim à Equação
2.23. Para que a Equação (2.25) também seja satisfeita o coeficiente de Wagner deverá
ser nulo.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
21
Considerando uma distribuição de tensões residuais na forma parabólica, sendo
contínua e possuindo parâmetros suficientes para a calibração. A forma geral que se
segue foi escolhida de acordo com os eixos de distribuição de tensões residuais
apresentados na Figura 2.9:
2ff xac)x(f += (2.26)
2ww yac)y(w += (2.27)
onde f(x) e w(y) são as funções de distribuição de tensões nos flanges e na alma,
respectivamente, y e z são os eixos de acordo com a Figura 2.9, fc , fa , wc e a w são os
parâmetros a serem calibrados.
Figura 2.9 – Eixos de distribuição das tensões residuais para os flanges e para a alma.10
Substituindo as Equações (2.26) e (2.27) nas equações (2.20) e (2.25), obtém-se:
( ) ( ) 0dyywtdxxft22oh
2oh
w
2fb
2fb
f =+ ∫∫−−
(2.28)
∫∫−−
=+
+
2oh
2oh
2w
2fb
2fb
22
of 0dy)y(wytdx)x(fx
4
ht2 (2.29)
Considerando ainda as condições de que a tensão na conexão da alma com os
flanges é a mesma e que a tensão nas extremidades dos flanges foi adotada como sendo
igual a yfα , onde yf é a tensão de escoamento, então:
10 Adaptado: “A new distribution for hot-rolled I-shaped sections” J. Sazalai e F. Papp, 2005.
f(x)x
yw(y)
f(x)
x
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
22
( )
=
2
hw0f o (2.30)
yf f
2
bf α−=
(2.31)
Figura 2.10 – Modelo de seção transversal adotado.11
Resolvendo esse sistema obtém-se os coeficientes em função das dimensões da
seção transversal (Figura 2.10) e da tensão definida nas extremidades dos flanges:
( )w
3of
2off
3f
2o
2fff
yfththb8tb2
h4b3tbfc
++
+α= (2.32)
( )w3
of2
off3f
2f
w3
of2
off3f
yfththb8tb2b
th4thb48tb20fa
++
++α−= (2.33)
( )( )w
3of
2off
3fwo
w3
owo2ff
3fff
ywththb8tb2th2
th2thb3tb8tbfc
++
++α−= (2.34)
( )( )w
3of
2off
3fw
3o
w3
owo2ff
3fff
ywththb8tb2th
th10thb9tb8tb2fa
++
++α= (2.35)
11 Adaptado: “A new distribution for hot-rolled I-shaped sections” J. Sazalai e F. Papp, 2005.
tf
ho
bf
h
tw
y
x
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
23
As tensões residuais exercem uma grande influência na resistência última das
colunas no domínio elasto-plástico. Esta influência depende da forma da seção
transversal, mas também do diagrama de distribuição e da magnitude das tensões.
Em 1977, H. Djalaly, fez inicialmente um estudo sobre a influência da forma do
padrão de distribuição de tensões residuais na resistência última de colunas
comprimidas. Estes estudos foram desenvolvidos para o perfil HEA 220, cujas
dimensões encontram-se na Tabela 2.2.
Tabela 2.2 – Dimensões e propriedades geométricas do perfil HEA 220.12
Dimensões Espessura x-x
)mm(d 210,0 )cm(I 4x 12196,9
)mm(h 207,8 )cm(W 3x 515,0
)mm(h o 208,9 )cm(rx 9,2
)mm(b f 220,0 Espessura y-y
)mm(t w 7,0 )cm(I 4y 1980,5
)mm(t f 11,0 )cm(W 3y 178,0
)cm(A 2g 64,3 )cm(ry 5,5
Djalaly (1977) utilizou em suas análises um padrão parabólico e linear de
tensões residuais,ilustrado na Figura 2.11. Estes padrões apresentam tensão residual de
compressão nas extremidades dos flanges, rcf , é igual a 20% e 30% da tensão de
escoamento ( 0,24f y = kN/cm2 ) e a tensão residual de compressão no meio da alma,
rwf , é em função das dimensões do perfil e também da tensão de escoamento, a
curvatura inicial utilizada neste estudo é igual a uma semi-onda de seno com amplitude
máxima igual a L/100.000.
12 Catálogo online de perfis de abas paralelas - site: www. metalica .com.br
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
24
Figura 2.11 – Padrão de distribuição de tensões do perfil HEA 220.13
A Figura 2.12 apresenta os resultados obtidos por Djalaly (1977) do estudo da
influência da forma do diagrama de distribuição e da magnitude das tensões residuais
para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia.
13 Adaptado: Étude de la resistance dês barres comprimées - Flambement simple, H. Djalaly, 1977.
frc
rwf
b
h h
f
ft
tw
ofrwx
y
- -
- -
- -
++
+ +++
rcf
d
yrc fγf =
ff
wo
o
yrw
tb
hta
a1
1
:onde
ff
=
+=φ
φ=
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
25
Figura 2.12 – Influência da forma do diagrama de distribuição e da magnitude das
tensões residuais para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia.14
Huber e Beedle (1954) investigaram a influência das tensões residuais no
diagrama tensão-deformação e na resistência à compressão de perfis metálicos. Essa
influência baseia-se numa distribuição de tensões residuais conhecidas (ou adotadas) e
na tensão de escoamento ( yf ), desde que a condição de equilíbrio das forças na direção
axial da coluna seja satisfeita:
dy.y.ftdx.x.ft2dAf2oh
2oh
rw
2fb
2fb
rf
A
r ∫∫∫−−
+= (2.36)
Estes autores consideraram duas hipóteses:
• Os flanges escoam completamente antes da alma começa a escoar;
• A alma permanece elástica até que os flanges comecem a escoar.
Com base na segunda hipótese, desenvolveram equações para a determinação
dos pontos (f,ε) do diagrama tensão-deformação, através de um padrão teórico de
distribuição de tensões residuais. Na Figura 2.13 apresenta-se a nomenclatura utilizada
para a obtenção das tensões e deformações do diagrama tensão-deformação a partir de
uma distribuição de tensões residuais numa seção transversal de um perfil H laminado.
14 Adaptado: Étude de la resistance dês barres comprimées - Flambement simple, H. Djalaly, 1977.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 λ
ρ
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
f rc = φf y
φ = 0,2φ = 0,3
φ = 0,2φ = 0,3
f rc = φf y
_
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
26
Figura 2.13 – Distribuição de tensões residuais numa seção transversal
de um perfil H laminado.15
Onde:
⇒rcf tensão residual de compressão nas extremidades dos flanges;
⇒rof tensão residual de tração no meio do flange;
⇒rtf tensão residual de tração nas extremidades da alma;
⇒rwf tensão residual de compressão no meio da alma;
⇒orxf tensão residual de compressão no ponto oz ;
⇒ox distância do centro da área elástica dos flanges até a área plástica;
⇒oryf tensão residual de compressão no ponto oy ;
⇒oy distância do centro da área plástica da alma até a área elástica.
Assumindo a aplicabilidade do conceito do módulo tangente. A tensão limite
proporcional ( pf ) nas extremidades dos flanges é dada por:
15 Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954.
b
h h
f
ft
tw
+ -
+-
frt
yoo
fry
fryo
frw
f rc
f ro
f
fo
y
o
y
x
x
x
rx
rx
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
27
rcyp ffA
Nf −== (2.37)
A deformação correspondente ao limite proporcional é igual a:
( )rcyp ffE
1−=ε (2.38)
De acordo com o estudo de Huber e Beedle (1954), numa seção transversal as
extremidades dos flanges começam a escoar e à medida que a tensão for aumentando
devido ao carregamento, se aproximando-se da tensão de escoamento, mais porções da
seção entram em escoamento até que toda a seção esteja completamente submetida à
tensão de escoamento, como mostra a Figura 2.14, na qual os cinco pontos (f, ε) são
obtidos pelas equações a seguir:
Figura 2.14 - Influência da tensão residual da curva tensão-deformação.16
• Ponto 1:
dxfA
t4f
A
Af
A
Nf
2fb
ox
rzf
orxe
y1 ∫−−== (2.39)
16 Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel,Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954.
frt
f rwf rc
fro
1 2 3 4 5
fp
deformação
tensão
f1
f2
f3f4
fy
εp ε ε ε ε1 2 3 4 yε
1
2
3
45
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
28
• Ponto 2:
dxfA
t4f
A
Af
A
Nf
2fb
ox
rxf
rwe
y2 ∫−−== (2.40)
• Ponto 3:
dyfA
t2dxf
A
t4f
A
Af
A
Nf
oy
0
ryw
2fb
ox
rxf
orxe
y3 ∫∫ −−−== (2.41)
• Ponto 4:
dyfA
t2dxf
A
t4f
A
Af
A
Nf
oy
o
ryw
2fb
ox
rxf
orxe
y4 ∫∫ −−−== (2.42)
• Ponto 5:
y5 ff = (2.43)
E a deformação pode ser obtida através do módulo tangente da curva ( tE ):
εd
dx
dx
df
εd
dfE o
ot == (2.44)
e pela diferenciação da Equação (2.39), obtém se:
( )o
orxowof
o
1
dx
dfhtxt4
A
1
dx
df+= (2.45)
A deformação é dada pela Equação (2.46):
( )oy frxfE
1ε −= (2.46)
e fazendo a diferenciação dessa equação, têm-se:
o
o
o dx
dfrx
E
1
dx
εd= (2.47)
Substituindo-se as Equações (2.45) e (2.47) em (2.44), obtém-se:
( )A
AEhtxt4
A
EE e
owoft =−= (2.48)
Para obter a deformação nos pontos de 1 a 5 da Figura 2.14, tem-se:
A
AE
ffE e
1ii
1iit =
ε−ε
−=
−
− , onde i = 1,2, 3, 4 e 5 (2.49)
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
29
O Anexo II apresenta a dedução das equações das tensões (pontos de 1 a 5) do
diagrama tensão-deformação.
A determinação das tensões residuais não é uma tarefa fácil, por isso, vários
métodos experimentais foram desenvolvidos, entre eles podemos citar resumidamente:
• Remoção de camadas: esse método consiste na retirada sucessiva de
camadas do material da barra, relacionando a curvatura que
conseqüentemente a barra apresentaria com a tensão residual presente na
camada retirada;
• Seccionamento e trepanação: esse método baseia-se no alívio da tensão
residual pela introdução de uma ou mais novas superfícies, sendo o
primeiro mais utilizado no estudo das tensões residuais em barras e
perfis;
• Difração por raio-x: o fundamento para a determinação das tensões
residuais por esse método é que, existindo um estado de tensões na
superfície de um material, a deformação associada à direção está
diretamente relacionada à deformação da rede cristalina, que pode ser
determinada pela difração do raio-x;
• Métodos acústicos: estes se baseiam no fato da velocidade de
propagação do som no metal variar aproximadamente de forma linear
com o nível de tensão ao qual um metal está submetido, comumente
conhecido como efeito elasto-acústico;
• Métodos fotomecânicos: utilizam se de ferramentas clássicas da análise
experimental de tensões – fotoelasticidade e camada frágil. São métodos
que em geral são aplicados de forma quantitativa na determinação do
estado de tensões residuais;
• Método da furação instrumentada: esse método consiste na introdução
de pequenos furos numa peça contendo tensões residuais que faz com
que ocorra uma redistribuição do seu campo de tensões, devido às
tensões normal e tangencial na superfície do furo terem que ser
necessariamente iguais a zero. Pode-se então relacionar o campo de
deformações gerado pela introdução do furo com o estado de tensões
presente anteriormente na peça.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
30
Os métodos experimentais para a determinação das tensões residuais citados
anteriormente são pouco utilizados ou por serem destrutivos, como é o caso dos
métodos de seccionamento e remoção de camadas, ou por terem limitações, como é o
caso da difração por raio-x, por isso, os métodos teóricos, muitos deles baseados em
medições experimentais, são os mais utilizados na prática.
2.4.2. Curvatura inicial
A presença de imperfeições geométricas, como a curvatura inicial, nas colunas
transforma o problema de flambagem em um problema do tipo carga-deslocamento,
opondo-se ao problema de bifurcação do equilíbrio.
Na Figura 2.15 apresenta-se o comportamento de uma coluna perfeita e
imperfeita. Analisando a Figura 2.15 (b) nota-se que, para a coluna perfeita, uma
configuração de equilíbrio estático poderá ocorrer quando a carga aplicada for igual à
carga de Euler, mesmo na presença de deslocamento lateral, desde que a carga
permaneça constante (Figura 2.15 (b) linha OAB), no entanto, se a coluna apresentar
uma curvatura inicial e/ou uma excentricidade de carga, a carga máxima aproximará
assintoticamente da carga de Euler, enquanto a coluna permanecer na fase elástica
(Figura 2.15 (b) curva C). Quando o material começa a escoar, a rigidez sofre uma
redução em virtude da não-linearidade do material ou do escoamento da seção
transversal nos pontos de tensão residual de compressão.
A Figura 2.15 (c) mostra o comportamento pós-flambagem da coluna perfeita e
imperfeita. No Ponto D a flambagem por bifurcação acontecerá na carga de “módulo
tangente” ( 2t
2t LIEN π= ), porém um deslocamento lateral adicional só será possível
se houver aumento de carga. Caso a rigidez não sofra degradação devido à plastificação,
a carga aproximará assintoticamente da carga do “módulo reduzido”(Curva E),
( 2r
2r LIEN π= ), com grande deslocamento lateral. A Curva G mostra o
comportamento da coluna na presença das imperfeições geométricas. A carga máxima
será função destas imperfeições.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
31
Figura 2.15 – Comportamento da coluna perfeita e imperfeita.17
A configuração real da curvatura inicial de uma coluna pode ser mais
complicada, pois freqüentemente ela se apresenta como uma curvatura simultânea com
relação aos dois eixos principais da seção transversal.
A magnitude da curvatura inicial é limitada pelas especificações de fabricação
dos perfis de aço estrutural, normalmente como uma fração do comprimento do
membro. Então, para os perfis de flanges largos, necessariamente, ela é menor do que a
máxima curvatura de L/960, que por conveniência, é normalmente adotado como
L/1000. Segundo Galambos (1976), as medições que estão disponíveis mostram que
muitos perfis tendem a valores máximos, aproximadamente igual a L/1500.
As Figuras 2.165 e 2.17 mostram o segundo estudo feito por H.Djalaly (1977),
para o perfil HEA 220, a análise da influência da curvatura inicial isoladamente para a
flambagem com relação aos eixos de maior e menor inércia, respectivamente.
17 Adaptado: Guide to Stability Design Criteria for Metal Strucutures, T. V. Galambos, 1976.
NtNE
(c)(b)(a)
Nmax
Nmax
Nr
FN
D
E
G
0 ∆i ∆
∆
∆i
∆∆i0
C
BA
N
N
N
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
32
Figura 2.16– Influência da curvatura inicial para a flambagem com relação ao eixo de
maior inércia.18
Figura 2.17 – Influência da curvatura inicial para a flambagem com relação ao eixo de
menor inércia.19
18 e 19 Adaptado: Étude de la resistance dês barres comprimées - Flambement simple, H. Djalaly, 1977.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
ρ
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
δo/L = 1/4000
δo/L = 1/2000
δo/L = 1/1500δo/L = 1/1000
δo/L = 1/750
δo/L = 1/500
δo/L = 0,003
N
N
δo L
x x
λ
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
ρ
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
δo/L = 1/4000
δo/L = 1/2000δo/L = 1/1500
δo/L = 1/1000
δo/L = 1/750
δo/L = 1/500
N
N
δo L
y y
λ
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
33
2.4.3. Efeito combinado das tensões residuais e curvatura inicial
Na Figura 2.18 são mostrados exemplos de distribuições de tensões residuais
resultantes do resfriamento de perfis de flanges largos que não passaram por nenhum
processo de desempeno .As tensões residuais medidas nos flanges de perfis fabricados
de forma similar com diferentes classes de aços mostram padrões de distribuição e
magnitude semelhantes às apresentadas pelos perfis da Figura 2.18.
Figura 2.18- Distribuição de tensão residual em perfis laminados.20
Segundo Galambos (1976), as análises para a determinação da resistência
máxima à compressão de colunas para as seções mostradas na Figura 2.18 foram feitas
relacionando as tensões residuais apresentadas por esses perfis e uma curvatura inicial
de amplitude L/1000 (Padrão A6 ASTM), através de análises numéricas. A Figura 2.19
mostra as curvas de resistência máxima juntamente com as curvas de carga crítica
obtidas para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia relacionando os efeitos
das tensões residuais e da curvatura inicial.
As curvas com círculos sólidos representam a análise da resistência máxima,
desconsiderando a alma, apresentada por Batterman e Johnston (1967), para uma tensão
residual máxima de 13 ksi (≈89,635 Mpa), que é a média máxima da escala para as
20 Guide to Stability Design Criteria for Metal Strutctures, T. V. Galambos, 1976.
I 102x20 I 203x47 I 203x101 I 305x98 PERFIL
TENSÃO RESIDUAL NA ALMA
TENSÃO RESIDUAL NA MESA
I 356x639
– 138 – 69 0 69 138
C T MPa
C
T 138
69
0
– 69
– 138
MPa
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
34
cinco seções mostradas na Figura 2.18, junto com uma tensão de escoamento de 36 ksi
(≈248,22 MPa).
Figura 2.19 – Comparação entre as curvas de carga crítica para colunas sem curvatura
inicial e as curvas de resistência máxima para colunas com curvatura inicial.21
Embora os perfis e as distribuições de tensões residuais sejam diferentes, os
resultados obtidos mostram uma boa correlação entre as duas análises desenvolvidas
independente uma da outra. Esta constatação foi confirmada por Bjorhovde (1972), que
analisou a resistência e o comportamento de um grande número de perfis laminados. Os
resultados obtidos por Batterman e Johnston (1967) e Bjorhovde (1972) demostram que:
• Os efeitos da tensão residual e da curvatura inicial não devem ser sobrepostos
para se obter uma boa aproximação do efeito combinado na resistência máxima
da coluna. Para algumas relações de esbeltez, os efeitos combinados são
menores do que a soma dos efeitos calculados separadamente (razões médias de
esbeltez e baixas tensões residuais). Para outras relações de esbeltez ocorre o
contrário.
21 Guide to Stability Design Criteria for Metal Strutctures, T. V. Galambos, 1976.
y
cr
N
N
y
max
N
N
E
f
r
kL2y
π=λ
Curvas de carga crítica
Curva Perfil
Curvas de resistência máxima
)001,0L( o =δ
Batterman e Johnston (1967)
Curva de Euler
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
35
• A variação da curvatura inicial é a principal responsável pela variação da
resistência máxima, enquanto que a variação das tensões residuais é
relativamente pequena e influência pouco na variação da resistência máxima.
• Certas forças são ignoradas quando se adota a hipótese de que a curvatura inicial
na forma de uma semi-onda de seno permanece inalterada após o carregamento.
• A redução na resistência da coluna causada pela variação da forma das
distribuições de tensão residual é menor para colunas com curvatura inicial do
que para colunas inicialmente retas.
As curvas mostradas na Figura 2.20 correspondem a uma curvatura inicial igual
a L/2000, L/1000 e L/500 para seções I de flanges largos sem (linha cheia) e com (linha
tracejada) tensões residuais. Segundo Balio e Mazzolani (1983), a influência da
curvatura inicial diminui devido à presença das tensões residuais e que sua máxima
influência ocorre próximo do índice de esbeltez reduzido igual a 1,0 se não existirem
tensões residuais e será próximo a 1,3 se elas estiverem presentes.
Figura 2.20 – Efeito da curvatura inicial vo com tensões residuais e sem tensões
residuais.22
22 Adaptado: Theory and Design of Steel Structures, G. Balio e F. M. Mazzolani, 1983
Euler
L/500
L/1000
L/2000
f cr = 0
f cr = 0,5 f y
L/500
L/1000L/2000
L
NN vo
ρ
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
λ1,8 −1,61,41,21,00,80,60,40,20 2,0
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
36
2.5. Curvas de flambagem
2.5.1. Curvas de flambagem do ECCS – “European Convention for Constructional
Steelwork”
A partir de 1960, a ECCS - “European Convention for Constructional
Steelwork” tentou elaborar uma recomendação para cálculo e projeto de construções
metálicas, utilizando como base os diversos códigos em vigor na Europa. Esta tentativa
foi rapidamente abandonada já que os diversos códigos apresentavam divergências e
dispersões inaceitáveis, além do fato de que todas as normas eram fundamentadas no
conceito de tensões admissíveis, com coeficientes de segurança arbitrados e variáveis
conforme a esbeltez da barra.
A ECCS decidiu organizar uma vasta campanha de ensaios (em sete países
europeus: Alemanha, Bélgica, França, Grã-Bretanha, Itália, Holanda e Iugoslávia)
conduzida por Sfintesco. Nesses ensaios foram utilizados perfis de diferentes seções sob
os mais diversos índices de esbeltez e diferentes processos de fabricação, escolhidos
aleatoriamente dentro da produção industrial dos países participantes, seguindo-se os
princípios preconizados por J. Dutheil:
• As barras deveriam possuir as imperfeições normalmente produzidas durante o
processo de fabricação (falta de retilinidade e excentricidade de carga, variações
nas dimensões das seções, tensões residuais, etc);
• As barras deveriam ser ensaiadas em número suficiente para permitir a
determinação estatística das cargas de flambagem.
Para limitar o número de testes, foi estudada a influência da esbeltez em um
perfil por tipo de seção, enquanto a pesquisa da influência da forma da seção baseou-se
nos vários tipos de seções para alguns índices de esbeltez.
A análise numérica utilizada foi baseada num procedimento incremental e
iterativo onde o equilíbrio é estabelecido para cada nível de carga e deslocamento.
Adotou-se uma curvatura inicial na forma senoidal com amplitude máxima de 1/1000
do comprimento da barra, e a restrição de extremidade com relação à rotação foi
desconsiderada, além de se adotar padrões simplificados e valores arbitrários de tensões
residuais ao invés de valores reais tomados em ensaios.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
37
Três curvas iniciais foram desenvolvidas baseando-se no comportamento de três
formas representativas de perfis utilizados na prática. A Curva dos Tubos (a) foi
calculada para os tubos circulares, a Curva dos Perfis Caixa (b), correspondendo à carga
de flambagem dos perfis caixa soldados de seção retangular, e a Curva dos Perfis I (c)
refere-se aos perfis I laminados a quente com flambagem em torno do eixo de menor
inércia.
A proposição dessas três curvas de flambagem recebeu principalmente duas
críticas:
• A primeira, referindo-se à parte das curvas que cobre os baixos valores de
esbeltez. O fato de se negligenciar o efeito do encruamento numa faixa de
esbeltez em que ele é importante, requer que as curvas apresentem um platô
( 1=ρ ) para 2,0≤λ .
• A segunda crítica, reside no fato das curvas a, b, c terem sido estabelecidas para
aços cujo limite elástico está próximo ao limite elástico utilizado normalmente
para os perfis cujas espessuras dos flanges não excedam 40 mm. Porém, nos
dias de hoje, o uso de aços com limite elástico mais elevado e perfis "jumbo "
com flanges com espessuras acima de 40 mm, não é raro. É importante, então,
que uma concepção moderna do fenômeno de flambagem leve em conta estes
dois fatores.
Seguindo este critério, a ECCS finalmente adotou, em 1976, duas novas curvas.
A curva oa representa o comportamento das colunas com presença pequena das tensões
residuais, como os perfis termicamente tratados para alívio de tensões, formados com
aço de alta resistência ( MPa430f y = ), e a curva d representa as colunas com fortes
valores de tensões residuais, como por exemplo os perfis H “jumbo”, com espessura
maior que 40 mm, laminados ou soldados UM.
A Figura 2.21, mostra as cinco curvas de flambagem recomendadas pelo ECCS,
para uma curvatura inicial igual a L001,0o =δ .
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
38
Figura 2.21 - Múltiplas Curvas de resistência, recomendadas pela ECCS, baseadas
numa curvatura inicial de L001,0o =δ .23
Em 1978, Rondal e Maquoi propuseram uma nova formulação para as curvas de
flambagem européias, procurando qual a melhor formulação matemática que resultasse
na aproximação teórica que melhor descrevesse o fenômeno de flambagem. Essa
aproximação é atribuída a Ayrton-Perry, dada por:
( )( ) ffffff crrcr η=−− (2.50)
É possível escrever a fórmula de Ayrton-Perry sob a seguinte forma:
( )y
cr
y
cr
f
f1
f
fηρ=ρ−
ρ− (2.51)
23 Adaptação: Guide toStability Design Criteria for Metal Strutctures, T. V. Galambos, 1976.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
39
onde:yf
f=ρ
Se cr
y2
f
f=λ então, dividindo por
y
cr
f
ftemos:
( ) ηρ=ρ−
λρ− 11
2 (2.52)
ou:
011222
=+
+η+λρ−ρλ (2.53)
Então finalmente, temos:
2
2222
2
411
λ
λ−
λ+η+−λ+η+
=ρ (2.54)
Na Equação (2.54), η é chamado de fator de imperfeição generalizada. Esse
fator leva em consideração todas as imperfeições na coluna real quando esta flamba, ou
seja, imperfeições geométricas, excentricidade na aplicação da carga e tensões
residuais. As propriedades inelásticas não são consideradas porque elas possuem
influência somente em colunas curtas. As diversas proposições, avaliadas por Rondal e
Maquoi, quanto ao fator η devem satisfazer às seguintes condições:
• Fornecer 1=ρ para 2,0=λ , a fim de representar o platô;
• Fornecer 0=η , isto é o limite superior, para um valor nulo do parâmetro
utilizado, a fim de permitir que a degeneração da forma Euleriana alcance um
máximo para uma imperfeição nula;
As proposições analisadas são as seguintes:
1. ( )2,011 −λα=η (2.55)
2. 04,02
22 −λα=η (2.56)
Essas duas equações constituem uma generalização da proposição de Robertson,
contendo o caráter adimensional e o platô. Para 0=α , o limite superior é encontrado.
3. ( )233 2,0−λα=η (2.57)
4.
−λα=η 04,0
244 (2.58)
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
40
As Equações (2.57) e (2.58) generalizam a proposição de Dutheil, por conter o
platô, elas fornecem o limite superior para 0=α .
5.
−λρα=η 04,0
255 (2.59)
6. ( )
−ρ+λα=η 08,01
266 (2.60)
A Equação (2.59) é devido a Barta; o mesmo aplica-se à Equação (2.60) que
nada mais é que as Equações (2.57) e (2.58). Barta, entretanto não dá os valores a serem
usados para os coeficientes 5α e 6α . As Equações de (2.55) a (2.60) satisfazem
igualmente o limite superior para 0=α .
7. ( )2,07 −λαρ=η (2.61)
Essa relação conduz ao limite superior se 0=α e à fórmula de Euler para
0≠α , se λ tender para o infinito.
Para cada uma das sete formas de η , foi determinado o valor de α que minimiza a soma dos quadrados das diferenças, comparados aos valores dados pelo ECCS:
( ) valormínimo
235
1i calculadoECCS
2
ii ⇒
−=ρ∆ ∑ ρρ
=
(2.62)
para: ( ) ( )351i1i1,02,0i →=⇒−+=λ
A partir dos valores obtidos para α, foram calculadas também as diferenças máximas:
i
ii
.ECCS
calculado.ECCS100ρ
ρρ −
(2.63)
A Equação (2.55) foi adotada pelo ECCS e os valores de α são os seguintes:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
=α
"d"Curva573,0
"c"Curva375,0
"b"Curva262,0
"a"Curva157,0
"a"Curva093,0 o
Os valores de α foram refinados para a faixa de esbeltez das colunas mais
utilizadas na prática, ou seja 1,26,0 <λ< .
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
41
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
=α
"d"Curva587,0
"c"Curva384,0
"b"Curva281,0
"a"Curva158,0
"a"Curva093,0 o
As diferenças máximas, obtidas pela Equação 2.40, encontram-se nas seguintes
faixas: Curva %53,0"a" o ± ; Curva %48,0"a" ± ; Curva %60,2"b" ± ; Curva %81,1"c" ± ;
e Curva %89,1"d" ± .
Em 1979, Rondal e Maquoi reavaliaram o fator de imperfeição generalizada η .
Na Figura 2.22 mostra-se que as duas proposições conduzem a curvas muito próximas,
exceto na região de pequenos índices de esbeltez reduzida (λ ). A proposição 1,
Equação (2.55), conduz, realmente, a uma curva onde os valores de ρ são levemente
inferiores aos valores dados pela proposição 2, Equação (2.56), na região de 2,0o =λ
(índice de esbeltez reduzida para o qual os valores de ρ alcança o máximo, 1=ρ ).
Figura 2.22– Comparação entre as proposições 1 e 2.24
24 Adaptado: Formulations d’ Ayrton - Perry pour flambement de barres métalliques, Rondal, J.; Maquoi,
R. 1979.
ρ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4
Curva ao - Prop. 1
Curva ao - Prop. 2
Curva a - Prop. 1
Curva a - Prop. 2
Curva b - Prop. 1
Curva b - Prop. 2
Curva c - Prop. 1
Curva c -Prop. 2
Curva d - Prop.1
Curva d - Prop. 2
λ
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
42
Segundo Rondal e Maquoi (1979), pela comparação feita na Figura 2.22, que a
proposição 1 é mais representativa do comportamento do material do tipo 1 (aço)
enquanto a proposição 2 representa melhor o material do tipo 2 (alumínio). Nos dois
casos, os coeficientes devem ser determinados para prover uma boa precisão com em
relação aos valores numérico publicados pelo ECCS.
Com base na proposição 1, os valores de α são os seguintes:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
=α
"d"Curva756,0
"c"Curva489,0
"b"Curva339,0
"a"Curva206,0
"a"Curva125,0 o
O Eurocode 3 adotou as curvas “ao”, “a”, “b”, “c” e “d” desenvolvidas pela
ECCS, utilizando, porém, uma equação um pouco diferente para o fator de imperfeição
Q. As equações são as seguintes:
00,1
1
21
22
≤
λ−+
=ρ (2.64)
onde,
( )
λ+−λα+=
22,015,0Q (2.65)
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
=α
"d"Curva76,0
"c"Curva49,0
"b"Curva34,0
"a"Curva21,0
"a"Curva13,0 o
A Tabela 2.3 mostra a classificação das seções nas curvas de flambagem do
Eurocode 3/2002.
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
43
Tabela 2.3 - Classificação das seções para as curvas de flambagem do Eurocode
3/2002.25
Seção transversal Limites Flambagem em relação ao eixo
Curva de flambagem
2,1b/h > y - y a
mm40t f ≤ z -z b
y - y b mm100tmm40 f ≤<
z -z c
2,1b/h ≥ y - y b
mm40t f ≤ z -z c
y - y d
Seções I e H Laminadas
t f
b
h
z
z
yy
mm100t f > z -z c
mm40tf ≤ zz
yy
−
−
c
b
Seções I soldadas
t f
z
z
yyy y
z
z
ft
mm40t f > zz
yy
−
−
d
c
Laminada a quente qualquer a
Formada a frio (usando ybf ) qualquer b
Tubos
Formada a frio (usando yaf ) qualquer c
Geral (exceto como abaixo) qualquer b Seções Caixa soldada
h
b
t w
y
ft
z
z
y
Paredes finas e
30t/h
30t/h
w
f
<
<
zz
yy
−
−
d
c
U, L, T e seções sólidas
qualquer c
25 Eurocódigo 3- Projecto de estructuras de acervo. Parte 1-1: Reglas generales y reglas para edificación.
Bruxelles, CEN. (2002).
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
44
2.5.2. Curvas de flambagem da NBR 8800/86
A NBR 8800 adotou para o dimensionamento de perfis solicitados à compressão
axial e sujeitos aos fenômenos de flambagem por flexão ou por flexo-torção, incluindo-
se a possibilidade da interação destes modos com a flambagem local as curvas de
flambagem “a”, “b”, “c” e “d” adotadas pelo ECCS (Rondal e Maquoi, 1978). A
formulação adotada para representar as curvas de flambagem, é apresentada pelas
seguintes equações:
22 1
λ−β−β=ρ (2.66)
onde:
λ+η+
λ=β
2
21
2
104,0
2−λα=η⇒ ;
E
f
r
kL2
y
π=λ
⇒
⇒
⇒
⇒
=α
"d"Curva572,0
"c"Curva384,0
"b"Curva281,0
"a"Curva158,0
A Tabela 2.4 mostra a classificação das seções nas curvas de flambagem da
NBR 8800, e a Figura 2.23 mostra as curvas “a”, “b”, “c” e “d” da NBR 8800/86.
Figura 2.23 – Curvas de flamabagem da NBR 8800/86.
ρ
λ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Euler
Curva "a"
Curva "b"
Curva "c"
Curva "d"
Capítulo 2 Revisão Bibliográfica
45
Tabela 2.4 - Classificação das seções para as curvas de flambagem da NBR 8800/86.26
Seção transversal Flambagem em
torno do eixo
Curva de
flambagem
Perfil tubular
x – x
y – y a
b/t < 30 x – x Soldas de
grande
espessura d/t2 < 30 y – y
c
Perfil caixão soldado
Outros casos x – x
y – y b
d/b > 1,2
t ≤ 40mm
x – x
y – y
a
b (a)
d/b ≤ 1,2
t ≤ 40mm
x – x
y – y
b (a)
c (b)
Perfis “I” ou “H” laminados
t > 40mm x – x
y – y
d
d
ti ≤ 40mm x – x
y – y
b
c
Perfis “I” ou “H” soldados
ti > 40mm x – x
y – y
c
d
“U”, “L”, “T” e perfis de seção cheia
x – x
y – y c
As curvas de flambagem indicadas entre parênteses podem ser adotadas para aços de alta resistência, com
fy > 430MPa.
26 NBR 8800/86 - Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios.
CAPÍTULO 3
MMMOOODDDEEELLLAAAGGGEEEMMM NNNUUUMMMÉÉÉRRRIIICCCAAA
3.1. Aspectos Gerais
Na determinação da carga crítica elasto-plástica de uma coluna simplesmente
comprimida, a idéia da coluna perfeita deve ser abandonada e substituída pela coluna
real com suas imperfeições inevitáveis e inerentes ao processo de produção industrial.
O modelo numérico adotado para representar tais colunas deve levar em
consideração a presença das imperfeições geométricas (curvatura inicial) e físicas
(tensões residuais), de modo que o resultado obtido esteja o mais próximo da realidade.
O presente capítulo apresenta os parâmetros adotados e as hipóteses que foram
consideradas nas análises de resistência máxima à compressão.
3.2. Critérios da Análise Numérica
No processo de análise numérica incremental e iterativa realizado para a
determinação da carga crítica, utilizando o programa computacional ANSYS versão
10.0, visou-se obter o equilíbrio entre os esforços internos e externos à medida que a
carga aplicada recebia pequenos acréscimos (passos de carga).
As seguintes hipóteses foram adotadas na análise:
• as tensões residuais são constantes ao longo do comprimento da coluna e
uniforme através da espessura;
Capítulo 3 Modelagem Numérica
47
• a tensão de escoamento é constante tanto na seção transversal quanto ao
longo do comprimento;
• as seções originalmente planas permanecem planas após a deformação
em toda a faixa de esbeltez considerada.
Os parâmetros utilizados na análise foram descritos nos itens a seguir.
3.2.1. Imperfeição Geométrica
A falta de retilinidade tem um papel importante na resistência última das colunas
comprimidas. Normalmente, ela é expressa como uma curvatura inicial com relação a
um dos eixos principais de inércia. A influência da excentricidade da carga axial
também se mostra prejudicial, porém em menor grau que a curvatura inicial, exceto
quando a curvatura inicial está no sentido oposto à flexão. Consideramos o caso mais
desfavorável, onde a curvatura devido à flexão está no sentido da curvatura inicial.
Adotou-se uma curvatura inicial ( ( )yv ) conforme recomenda a literatura, na
forma de uma semi-onda senoidal com amplitude máxima 1000/Lvo = , como mostra a
Figura 3.1. Para cada valor de λ variando de 0,2 em 0,2, a curvatura foi determinada
por meio da Equação (3.1).
)Ly(senv)y(v 0 π= (3.1)
Onde L é o comprimento total da coluna e v0 é a curvatura inicial.
Capítulo 3 Modelagem Numérica
48
Figura 3.1 - Modelo teórico do elemento comprimido na posição deformada.27
3.2.2. Imperfeição Física
A resistência de colunas carregadas axialmente livres das tensões residuais é
dada pela teoria do módulo tangente. Para aplicar essa teoria é necessário apenas ter
informações da relação tensão-deformação na compressão para se obter a curva
completa da tensão versus o índice de esbeltez reduzido. Porém, quando as tensões
residuais estão presentes, a relação tensão-deformação deixará de ser linear devido ao
aumento da deformação acarretada pelo escoamento parcial da seção transversal sob a
tensão uniformemente aplicada (inferior a tensão de escoamento, yf ) na parte da seção
transversal que permanece elástica. Este fato implicará na redução da carga última da
coluna. Na Figura 3.2 mostra-se a curva força normal – deslocamento para uma coluna
com imperfeição geométrica e com a presença de tensões residuais (linha tracejada) e
sem a presença de tensões residuais (linha cheia).
27 Adaptado: Paula (1994).
L
N
N
L/2
vo
L/2Posição Deslocada
x
y
Capítulo 3 Modelagem Numérica
49
Figura 3.2 – Efeito da tensão residual na força normal última de colunas bi-apoiadas.28
Os modelos teóricos de distribuição de tensões residuais foram desenvolvidos
para facilitar a inclusão das tensões residuais nas análises, devido às dificuldades em se
obter dados a respeito da distribuição e magnitude das tensões residuais ao longo das
seções transversais. Muitos dos métodos teóricos, alguns descritos no Capítulo 2, são
baseados em medições experimentais e os resultados obtidos através destes métodos
para os vários tipos de perfis, apesar das incertezas inerentes a cada caso, demonstram
alguns aspectos em comum:
• A mais importante influência na distribuição e magnitude das tensões
residuais, considerando processos de fabricação idênticos, é a forma do
perfil;
• No caso de perfis I e H laminados sempre ocorrerá compressão nas
extremidades dos flanges, e geralmente tração na conexão da alma com
os flanges;
• As tensões formam um sistema em equilíbrio ao longo da seção
transversal;
• O grau de simetria da distribuição de tensões residuais é tão importante
quanto a forma da distribuição ao longo da seção transversal.
28 Adaptado: “A new distribution for hot-rolledI-shaped sections” J. Sazalai e F. Papp, 2005.
sem tensões residuais
u
N - força normal
u - deslocamento lateral
Nu,ctr
Nu,str
com tensões residuais
Capítulo 3 Modelagem Numérica
50
3.2.2.1. Padrão de distribuição de tensões residuais
Inicialmente, para a introdução do efeito das tensões residuais na análise não-
linear física-geométrica, pensou-se em utilizar o comando ISTRESS disponível no
programa ANSYS na fase de solução. Este comando define um conjunto de tensões
residuais (tensões iniciais) a serem aplicadas em cada elemento finito que constitui a
seção transversal. No entanto, para a sua utilização seria necessário conhecer o estado
de tensão em cada elemento ou faixa de elementos. Este estado de tensão pode ser
obtido através dos métodos práticos já mencionados, porém devido à impossibilidade de
se realizar análises experimentais , optou-se pela utilização de um padrão teórico de
distribuição de tensões residuais.
Adotou-se o padrão de distribuição de tensões residuais desenvolvido por J.
Sazalai e F. Papp (2005) e descrito mais detalhadamente no Capítulo 2.
Este padrão de distribuição tem a forma parabólica e tem as seguintes funções de
distribuição:
2ff yac)y(f += (3.2)
2ww zac)z(w += (3.3)
Os parâmetros fc , fa , wc e wa foram definidos, como apresentado no Capítulo
anterior, em função da tensão de escoamento ( yf ) e das dimensões dos perfis adotados.
Vale salientar que, o parâmetro α , Equação (2.31), foi adotado para todos os
perfis igual a 0,3, ou seja, a tensão na extremidade dos flanges foi tomada como sendo
30% da tensão de escoamento, de acordo com a literatura.
Com a definição dos parâmetros ( fc , fa , wc e wa ) foi possível determinar uma
distribuição parabólica das tensões residuais para cada um dos perfis adotados nesta
análise. Os padrões de distribuição de tensões residuais de cada perfil e as respectivas
funções de distribuição são apresentados no Anexo II.
Na Figura 3.3 apresenta-se o padrão de distribuição de tensões residuais obtido
para o perfil W150x37,1 e suas funções de distribuição.
Capítulo 3 Modelagem Numérica
51
Figura 3.3 – Padrão de distribuição de tensões residuais perfil W150x37,1.
3.2.2.2. Diagrama tensão-deformação
Utilizou-se a metodologia desenvolvida por Huber e Beedle (1954) para a
obtenção do diagrama tensão-deformação teórico.
Segundo Huber e Beedle (1954) é possível determinar teoricamente o pontos
(f, ε) do diagrama tensão-deformação a partir de uma distribuição de tensões residuais
conhecidas (ou adotadas) e da tensão de escoamento, yf .
Distribuição de tensões residuais nos flanges
-10,35
-6,05
-1,75
2,56
6,86
-7,7 -3,85 0 3,85 7,7
f(x)
x
( ) 8560,6x2902,0xf 2 +−=
Distribuição de tensões residuais na alma
-7,53
-3,765
0
3,765
7,53
-8,35 -4,55 -0,75 3,06 6,86
y
w(y
)
( ) 3514,8y2682,0yw 2 −=
Capítulo 3 Modelagem Numérica
52
Então através das Equações (2.39) a (2.44), apresentadas no Capítulo 2 cuja
dedução é apresentada no Anexo II, determinou-se o diagrama teórico de tensão-
deformação para cada um dos perfis apresentados na Tabela 3.1.
A Figura 3.4 apresenta o diagrama tensão-deformação obtido para o perfil
HP250x85,0 através do padrão de distribuição das tensões residuais (Anexo II).
Figura 3.4 – Diagrama tensão-deformação perfil HP250x85,0.
3.3. Construção dos modelos numéricos
Todos os modelos foram construídos diretamente no software ANSYS versão
10.0, seguindo as etapas abaixo:
• escolha do elemento finito utilizado;
• definição das características do material envolvido;
• montagem da geometria do modelo;
• preparação da malha de elementos finitos;
• definição das condições de contorno do modelo;
• aplicação do carregamento.
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006
fp 24,15 εεεεp 0,001150
f1 24,26 εεεε1 0,001155
f2 27,08 εεεε2 0,001335
f3 30,21 εεεε3 0,001606
f4 34,22 εεεε4 0,003918 f5 34,50 εεεε5 0,003931
f6 34,50 εεεε6 0,005431
f
ε
Capítulo 3 Modelagem Numérica
53
3.3.1. Elemento finito adotado
O elemento finito utilizando foi o SHELL181 (biblioteca ANSYS) que é um
elemento de casca que apresenta quatro nós, e seis graus de liberdade por nó
(translações e rotações com relação aos eixos x, y e z) (Figura 3.5).
Figura 3.5 – Elemento SHELL181.29
Esse elemento combina automaticamente os efeitos da tração, da compressão, da
flexão, do cisalhamento e da torção, e é o mais indicado para análises não-lineares
realizadas neste trabalho.
3.3.2. Características do material envolvido
Nas análises foram utilizadas as seguintes características materiais para o aço:
• Tensão de escoamento, 2y cm/kN5,34f = ;
• Tensão limite de ruptura a tração, 2u cm/kN0,45f =
• Módulo de elasticidade, 2cm/kN000.21E = .
Neste trabalho, como já havia sido mencionado, foi utilizado um diagrama
tensão-deformação, determinado em função da geometria do perfil e da tensão de
escoamento. 29 Adaptado: biblioteca ANSYS versão 10.0.
1
X
1
Y
Z
6
5
I
2
J
21
6
4
s
L
θS1
4
N S2
t
8
5
7K3
Capítulo 3 Modelagem Numérica
54
3.3.3. Geometria dos modelos numéricos
Para as análises foram adotados os perfis H laminados da GERDAU-
AÇOMINAS. A Tabela 3.1 apresenta as dimensões e a Tabela 3.2 as propriedades
geométricas dos perfis adotados na análise de resistência última.
Tabela 3.1 - Dimensões dos perfis laminados.
Perfil d
(mm) fb
(mm)
wt
(mm) ft
(mm)
h
(mm) oh
(mm)
d'
(mm) gA
(cm2)
W150x22,5 152 152 5,8 6,6 139 146 119 29,0
W150x37,1 162 154 8,1 11,6 139 151 119 47,8
W200x46,1 203 203 7,2 11,0 181 192 161 58,6
HP200x53,0 204 207 11,3 11,3 181 192 161 68,1
W250x80,0 256 255 9,4 15,6 225 241 201 101,9
HP250x85,0 254 260 14,4 14,4 225 239 201 108,5
W250x89,0 260 256 10,7 17,3 225 242 201 113,9
W310x107,0 311 306 10,9 17,0 277 294 245 136,4
W310x117,0 314 307 11,9 18,7 277 296 245 149,9
W360x122,0 363 257 13,0 21,7 320 342 288 155,3
Tabela 3.2 - Características geométricas dos perfis laminados.
Eixo x-x Eixo y-y
Perfil Ix
(cm4) Wx
(cm3) rx
(cm)
Zx
(cm3)
Iy
(cm4) Wy
(cm3) ry
(cm) Zy
(cm3)
W150x22,5 1229,0 161,7 6,51 179,6 387,0 50,9 3,65 77,9
W150x37,1 2244,0 277,0 6,85 313,5 707,0 91,8 3,84 140,4
W200x46,1 4543,0 447,6 8,81 495,3 1535,0 151,2 5,12 229,5
HP200x53,0 4977,0 488,0 8,55 551,3 1673,0 161,7 4,96 248,6
W250x80,0 12550,0 980,5 11,10 1088,7 4313,0 338,3 6,51 513,1
HP250x85,0 12280,0 966,9 10,64 1093,2 4225,0 325,0 6,24 499,6
W250x89,0 14237,0 1095,1 11,18 1224,4 4841,0 378,2 6,52 574,3
W310x107,0 24839,0 1597,3 13,49 1768,2 8123,0 530,9 7,72 806,1
W310x117,0 27563,0 1755,6 13,56 1952,6 9024,0 587,9 7,76 893,1
W360x122,0 36599,0 2016,5 15,35 2269,8 6147,0 478,4 6,29 732,4
Capítulo 3 Modelagem Numérica
55
Para a construção dos modelos numéricos foi necessário determinar do
comprimento de cada modelo para cada índice de esbeltez reduzido ( λ ) de 0,2 em 0,2,
na a faixa de 4,22,0 ≤λ≤ , considerando a flambagem com relação aos eixos de maior
inércia e menor inércia.
Estes comprimentos foram determinados através das Equações (3.4) e (3.5) e são
apresentados no Anexo III:
E
Qf2
yxx
πλ=λ (3.4)
E
Qf2
yyy
πλ=λ (3.5)
nas quais:
x
xxx r
Lk=λ e
y
yyy r
Lk=λ
A partir destes comprimentos, para facilitar a construção, cada coluna foi
dividida em quatro semi-alturas e com o auxílio da Equação (3.1) foi determinado o
valor da curvatura (v(y)) para cada uma das semi-alturas (y) como exemplifica a Figura
3.6.
Figura 3.6 - Modelo teórico do elemento comprimido na posição deslocada e posição
deslocada simplificada.
y
N
N
L
v(y)
Posição Deslocada
Posição Deslocada Simplificada
vo
2
3
4
5
y
x1
Capítulo 3 Modelagem Numérica
56
Para introduzir a curvatura inicial, as coordenadas dos pontos, para as posições
2, 3 e 4, foram acrescidas do valor do deslocamento v(y). A Figura 3.7 apresenta o
esboço dos modelos numéricos construídos com curvatura inicial (a) para a flambagem
com relação ao eixo de menor inércia e (b) para a maior inércia.
Figura 3.7 – Esboço dos modelos numéricos
Na Figuras 3.8 (a) apresentam-se os pontos para a construção do modelo, na
Figura 3.8 (b) (c) mostra-se a geração das áreas que constituem a seção e a Figura 3.8
(c) mostra-se as áreas já “coladas”, isto é, as áreas passam a partir deste momento a
compartilhar os pontos e as linhas que as constitui, apesar de continuarem a serem
entidades individuais.
Figura 3.8 – Construção do modelo - Menor inércia
1
23
4
56
7
89
10
11
1213
14
15
1617
18
1920
21
22
2324
25
2627
28
29
3031
32
3334
35
1
23
4 56
7
89
10
11 1213
14
1516
17
18 1920
21
22
2324
25 2627
28
29
3031
32 3334
35
y
x
z
yx
z
(a) (b)
(a) (b) (c)
Capítulo 3 Modelagem Numérica
57
Nas Tabelas 3.3 e 3.4 apresentam-se os pontos utilizados para a construção dos
modelos para o perfil W150x37,1 ( 0,1=λ ), para a flambagem com relação ao eixo de
menor inércia ( cm0,282L y = ) e para a maior inércia ( cm0,504L x = ),
respectivamente.
Tabela 3.3 - Coordenadas para a construção dos modelos (menor inércia).
Seções y (cm) ov Mesa início v(y)
Mesa meio
Mesa final
Meio alma
Alma final
1 0,0 0,282 0,000 7,600 15,200 7,280 14,560
2 70,5 0,282 0,199 7,799 15,399 7,280 14,560
3 141,0 0,282 0,282 7,882 15,482 7,280 14,560
4 211,5 0,282 0,199 7,799 15,399 7,280 14,560
5 282,0 0,282 0,000 7,600 15,200 7,280 14,560
Tabela 3.4 - Coordenadas para a construção dos (maior inércia).
Seções y (cm) ov Mesa início
Mesa meio
Mesa final
Alma início
v(y)
Meio alma
Alma final
1 0,0 0,504 0,000 7,600 15,200 0,000 7,280 14,560
2 126,0 0,504 0,000 7,600 15,200 0,356 7,636 14,916
3 252,0 0,504 0,000 7,600 15,200 0,504 7,784 15,064
4 378,0 0,504 0,000 7,600 15,200 0,356 7,636 14,916
5 504,0 0,504 0,000 7,600 15,200 0,000 7,280 14,560
Os modelos foram construídos admitindo-se como referência os eixos dos
flanges e da alma dos perfis, formando elementos de casca. A seção transversal foi
delimitada por sete pontos que introduziram a largura ( fb ) e a altura (h) para cada semi-
altura (y).As espessuras da alma e dos flanges foram atribuídas como reais constantes,
que para o caso do elemento finito SHELL181, representa a espessura da camada de
elementos de casca que constituem a seção transversal, a Figura 3.9.
Capítulo 3 Modelagem Numérica
58
Figura 3.9 – Seção transversal composta por uma única camada de elementos de casca
(SHELL181).
3.3.4. Malha de elementos finitos
Neste trabalho, a malha de elementos finitos utilizada foi a mais uniforme
possível com a razão entre a largura e a altura de cada elemento aproximadamente igual
a 1,0, exceto para as colunas curtas, neste caso a razão entre a largura e a altura variou
entre 21 e 31 , dentro dos limites de nós do programa e das dimensões máximas do
elemento finito SHELL181. Os elementos que constituem os flanges tinham
aproximadamente as mesmas dimensões dos elementos da alma.
3.3.5. Restrição dos nós
A partir dos nós gerados na malha de elemento finitos aplicou-se as restrições
aos deslocamentos em cada extremidade do modelo.
Nos modelos, para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia, foram
introduzidas restrições com relação à translação nas direções dos eixos de menor inércia
(z – z) e de maior inércia (x – x), deixando livre o deslocamento em y, nas extremidades
inferior e superior do modelo, além de restringir a rotação em torno do eixo y (vínculo
de garfo). Introduziu-se também, um nó central no modelo para restringir o
deslocamento vertical, na direção do eixo y.
Além das restrições acima os modelos, para a flambagem com relação ao eixo de
maior inércia, tiveram o deslocamento com relação ao eixo de menor inércia (z – z)
restringido em toda a alma e na ligação da alma com os flanges.
1 2 3
4
5 6 7
z
xElemento finito SHELL181
Capítulo 3 Modelagem Numérica
59
A Figura 3.10 mostra as restrições ao deslocamento impostas aos modelos para a
flambagem em relação ao eixo de menor inércia, (a), e para a maior inércia, (b).
Figura 3.10 – Restrições ao deslocamento.
3.3.6. Aplicação de carga
O carregamento introduzido nos nós, em cada extremidade do modelo,
corresponde à carga crítica de flambagem (carga crítica de Euler) acrescida de 20% e
obtida através da Equação (3.6).
( )22
EkL
EIN
π= (3.6)
Adotou-se um coeficiente de flambagem (k = 1,0) para a determinação do comprimento
efetivo de flambagem utilizado foi igual a k = 1,0 (coluna com extremidades rotuladas).
A carga aplicada em cada nó é dada pela Equação (3.7):
ltransversaseçãodanósn
N2,1N E
apl°
= (3.7)
(a) (b)
x z
y
Capítulo 3 Modelagem Numérica
60
A Figura 3.11 mostra o carregamento aplicado.
Figura 3.11 – Modelo com as extremidades carregadas.
3.4. Parâmetros de solução
Todas as análises não-lineares foram feitas para grandes deslocamentos.
O ponto de término da análise foi adotado como sendo o primeiro ponto limite,
exceto no caso das colunas curtas em que foi utilizado o limite de deslocamento na
direção da flambagem (UX - menor inércia e UZ - maior inércia).
O “solver” utilizado foi escolhido pelo programa Ansys (“default”), baseado nas
características do problema. O método de Newton-Raphson foi também utilizado
(“default”) juntamente com o método do comprimento de arco (os raios máximo e
mínimo foram adotados igual a 1,0 e 0,001, respectivamente), para facilitar o processo
de convergência.
Todas as “pressões” referentes aos passos de carga e subpassos de carga serão
registradas em um arquivo de saída juntamente com os deslocamentos na direção do
eixo y.
A resistência (força) referente a cada deslocamento foi obtida através da
Equação (3.8):
nósdenNpN aplnum °××= (3.8)
onde:
⇒p é a “pressão” referente ao passo ou subpasso de carga;
Capítulo 3 Modelagem Numérica
61
⇒aplN é a carga aplicada por nó;
3.5. Análise não-linear geométrica
Essa análise foi realizada para avaliar o modelo numérico adotado e também o
efeito isolado da curvatura inicial na resistência à compressão do perfil W150x37,1.
Adotou-se uma curvatura inicial igual a uma semi-onda de seno com amplitude igual a
L/1000 e um diagrama tensão-deformação elasto-plástico perfeito (Figura 3.12).
A tensão de escoamento, assim como o modulo de elasticidade e o coeficiente de
Poisson ( )3,0=ν , foram introduzidos na equação constitutiva “Bilinear Isotropic
Hardening Plastic” (BISO) que define o comportamento elasto-plástico perfeito do
material.
Figura 3.12 – Diagrama elasto-plástico perfeito.
Para essa análise foram gerados dez (10) modelos para a flambagem com relação
ao eixo de menor inércia de acordo com os passos de construção apresentados
anteriormente.
Os resultados obtidos serão comparados (Capítulo 4 – item 4.2.1) com os resultados
obtidos por Djalaly (1977), para a verificação do modelo numérico adotado.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035
Capítulo 3 Modelagem Numérica
62
3.6.Análise não-linear física
A análise não-linear física foi realizada com o objetivo de verificar o padrão de
distribuição de tensões residuais e avaliar o efeito isolado das tensões residuais na
resistência à compressão. O diagrama de distribuição de tensões residuais utilizado foi
calculado com base nas dimensões do perfil W150x37,1 e na tensão de escoamento, yf ,
e uma curvatura inicial, fisicamente nula, igual a L/100.000, para iniciar a flambagem.
Os pontos (f, ε) do diagrama tensão-deformação foram introduzidos na função
“Multilinar Isotropic Hardening Plastic” (MISO) do software ANSYS, que define o
comportamento elasto-plástico do material de acordo com os parâmetros determinados
pelo usuário.
Figura 3.13 – Diagrama tensão-deformação do perfil W150x37,1.
Os resultados obtidos serão comparados (Capítulo 4 – item 4.2.2) com os
resultados de Djalaly (1977) para o perfil HEA 220 e o padrão de distribuição de
tensões residuais parabólico com γ igual a 30% da tensão de escoamento.
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007
fp 24,15 εεεεp 0,001150
f1 24,19 εεεε1 0,001152
f2 26,30 εεεε2 0,001290
f3 29,87 εεεε3 0,001606
f4 34,28 εεεε4 0,004914
f5 34,50 εεεε5 0,004925
f
ε
Capítulo 3 Modelagem Numérica
63
3.7.Análise não-linear física-geométrica
Inicialmente foram gerados, para a análise não-linear física-geométrica, dez (10)
modelos para flambagem com relação ao eixo de menor inércia. O objetivo desta análise
é avaliar a eficiência do modelo numérico com o padrão de distribuição teórico de
tensões residuais adotado e determinar a resistência máxima à compressão na presença
da curvatura inicial e das tensões residuais. O diagrama tensão-deformação adotado é o
mesmo da análise não-linear física para o perfil W150x37,1 e a curvatura inicial é igual
L/1000.
Em uma segunda fase, serão analisados os modelos gerados para os perfis da
Tabela 3.1 para a flambagem com relação aos eixos principais de inércia.
O objetivo desta análise é obter a força normal crítica para cada perfil, para a
flambagem com relação aos eixos principais de inércia, para uma posterior investigação
das recomendações da NBR 8800 (1986) e do Eurocode 3 (2002).
Para esta análise os modelos foram construídos de acoordo com as etapas
descritas no item 3.3 deste capítulo. Para os perfis da Tabela 3.1, foram gerados dez
(10) modelos para a flambagem com relação ao eixos de menor inércia e mais dez, para
o de maior inércia, num total de duzentos e quarenta (240) modelos.
O padrão de distribuição de tensões residuais foi obtido para os perfis da Tabela
3.1 utilizando o estudo feito por Sazalai e Papp (2005). Os padrões foram utilizados
para obter as tensões e deformações, que foram introduzidas no diagrama tensão-
deformação (função MISO), do diagrama tensão-deformação, cuja formulação faz parte
do estudo feito por Huber e Beedle (1954) a respeito da influência das tensões residuais
na resistência última. A curvatura inicial adotada foi igual a L/1000.
Os resultados serão também comparados (Capítulo 4 – item 4.2.3) com os
obtidos por Djalaly (1977) para o mesmo padrão de distribuição de tensões adotado na
análise não-linear física e uma curvatura iniical igual a L/1000.
CAPÍTULO 4
RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS DDDAAA AAANNNÁÁÁLLLIIISSSEEE NNNUUUMMMÉÉÉRRRIIICCCAAA
4.1. Aspectos Gerais
Neste capítulo apresentam-se os resultados obtidos nas análises não-lineares
baseadas nos procedimentos e hipóteses descritos no capítulo anterior.
Na primeira parte deste estudo são apresentados os resultados referentes às
análises não-linear geométrica, não-linear física e não-linear física-geométrica, para a
flambagem com relação ao eixo de menor inércia, para o perfil W150x37,1, cujas
dimensões e propriedades geométricas já foram apresentadas no Capítulo 3 (Tabela 3.1
e Tabela 3.2, respectivamente).
O objetivo desta análise foi verificar se o modelo numérico adotado é adequado
ao estudo em questão. Para tal, foram gerados trinta (30) modelos, dez para cada uma
das análises e os resultados obtidos foram comparados com os resultados apresentados
por Djalaly (1977) para o perfil HEA 220.
Na segunda parte, são apresentados os resultados da análise não-linear física-
geométrica para a flambagem com relação aos eixos principais de inércia. As análises
foram realizadas para os perfis laminados cujas dimensões da seção transversal e
propriedades geométricas foram apresentadas nas Tabelas 3.1 e 3.2.
Para cada um dos perfis adotados foram gerados dez (10) modelos para a
flambagem com relação ao eixo de menor inércia e mais dez para o de maior inércia.
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
65
O objetivo deste estudo é investigar se as recomendações da norma NBR
8800/86 e do Eurocode 3 (2002) para o cálculo da resistência máxima de colunas
comprimidas axialmente são justificadas e apropriadas aos perfis H laminados
produzidos no Brasil pela GERDAU-AÇOMINAS.
A NBR 8800/86 adota para perfis com mm40t f ≤ , 2,1b/d f ≤ e
MPa430f y < , para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia, a curva “c”, já
para a maior inércia, a curva recomendada é a curva “b”,
O Eurocode 3 adota para perfis com espessura mm40t ≤ e 2,1b/d f ≤ , para a
flambagem com relação ao eixo de menor inércia a curva “c” e para a maior inércia a
curva “b”.
4.2. Apresentação dos resultados
Neste item, inicialmente, apresentaremos e discutiremos os resultados obtidos
para as análises não-linear geométrica, física e física-geométrica realizadas para a
validação do modelo numérico.
Em seguida apresentaremos os resultados da análise não-linear física-geométrica
para os modelos gerados para cada um dos perfis adotados.
4.2.1. Resultados da análise não-linear geométrica
A análise não-linear geométrica foi realizada para avaliar o modelo numérico
adotado e o efeito isolado da curvatura inicial na resistência à compressão.
Com base na Figura 4.1 pode-se notar que a curva gerada para o perfil
W150x37,1 encontra-se muito próxima da curva obtida por Djalaly (1977) para o perfil
HEA 220, exceto para valores de 0,1λ ≥ , onde a curva para o perfil W150x37,1
encontra-se abaixo da curva para o perfil HEA220.
Este fato demonstra que o modelo numérico está bem ajustado, uma vez que a
curvatura inicial e o diagrama elasto-plástico perfeito adotados são os mesmos para as
duas análises.
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
66
Figura 4.1 – Resultado da análise não-linear geométrica.
4.2.2. Resultados da análise não-linear física
A análise não-linear física foi realizada com o objetivo de verificar o padrão de
distribuição de tensões residuais e o efeito das tensões residuais na resistência última.
Pode-se notar que as curvas apresentam uma boa correlação para valores de
0,1≤λ , porém para valores 0,1>λ apresentam diferenças devido ao padrão de
distribuição de tensões residuais, baseados nas dimensões dos perfis e na tensão de
escoamento, que são diferentes.
Figura 4.2 – Resultados da análise não-linear física.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
W150X37,1
HEA 220
Euler
λ
ρ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
W150x37,1
HEA 220
Euler
λ
ρ
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
67
As diferenças entre as dimensões da seção transversal dos perfis W150x37,1 e
HEA 220 só influenciam nos resultados obtidos da força normal crítica devido ao fato
dos padrões adotados de distribuição de tensões residuais serem baseados nessas
dimensões. Pois, segundo Balio e Mazzolani (1983), as dimensões das seções I e H não
influenciam significativamente na resistência última.
Além disto, apesar dos padrões de distribuição de tensões residuais serem
parabólicos, no perfil HEA 220 a maior tensão residual encontra-se no meio da alma,
rwf . Já no perfil W150x37,1 a maior tensão residual aparece nas extremidades dos
flanges, rcf , ou seja, à medida que vão sendo dados os passos de carga, o perfil HEA
220 começa a escoar primeiro na alma e o perfil W150x37,1, nas extremidades dos
flanges.
4.2.3. Resultados da análise não-linear física-geométrica
Pode-se notar que a curva gerada para o perfil W150x37,1 aproxima-se da curva
gerada para o perfil HEA 220 para baixos valores de λ , entretanto, para médios e altos
valores de λ a curva gerada para o perfil W150x37,1 apresenta-se ligeiramente acima
da curva gerada para o perfil HEA 220. A diferença entre elas encontra-se abaixo de
10% em grande parte dos resultados.
Figura 4.3 – Resultados da análise não-linear física-geométrica.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
W150x37,1
HEA 220
Euler
ρ
λ
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
68
Na Figura 4.4, apresentam-se as curvas obtidas por meio das análises não-linear
geométrica, física e física-geométrica, pode-se notar que a resistência última para as
análises não-linear física e não-linear geométrica é superior à resistência para a análise
não-linear física-geométrica. Comparando os deslocamentos apresentados na Figura 4.5
percebe-se que a soma dos deslocamentos para a análise não-linear física e da análise
não-linear geométrica não correspondem aos deslocamentos da análise não-linear física-
geométrica, o que foi demonstrado por Batterman e Johnston (1967) e Bjorhovde
(1972). Segundo estes autores, os efeitos da tensão residual e da curvatura inicial não
podem ser sobrepostos para se obter uma boa aproximação do efeito combinado na
resistência máxima.
Figura 4.4 – Resultados das análises não-linear geométrica, física e física-geométrica.
λ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Euler
A. não-linear geométrica - W150x37,1
A. não-linear física - W150x37,1
A. não linear física e geométrica - W150x37,1
ρ
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
69
Figura 4.5– Deslocamentos devido a flambagem com relação
ao eixo de menor inércia, (deslocamentos em cm).
A Tabela 4.1 apresenta a comparação entre as forças críticas para as três
análises. Nota-se que a diferença entre os resultados das análises feitas para o perfil
W150x37,1 e os resultados obtidos por Djalaly (1977) para o perfil HEA 220 encontra –
se abaixo de 10% para a maioria dos modelos analisados.
Os resultados obtidos demonstram que o modelo adotado nestas análises pode
ser utilizado para a análise não-linear física-geométrica a ser desenvolvida para os perfis
apresentados na Tabela 3.1 (Capítulo 3).
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
70
Tabela 4.1 – Comparação entre as forças críticas das análises não-linear geométrica,
não-linear física e não-linear física-geométrica, para os perfis W150x37,1 e HEA 220.
Análise não-linear geométrica Análise não-linear física Análise não-linear física-
geométrica λ
W150x37,1 HEA 220
Erro% W150x37,1 HEA 220
Erro% W150x37,1 HEA 220
Erro%
0,2 1630,96 1543,20 5,38 1645,80 1543,20 6,23 1649,10 1543,20 6,42
0,4 1629,31 1521,60 6,61 1645,80 1543,20 6,23 1607,87 1520,05 5,46
0,6 1583,14 1472,21 7,01 1607,87 1481,47 7,86 1490,79 1412,03 5,28
0,8 1508,93 1405,86 6,83 1550,15 1404,31 9,41 1357,21 1253,08 7,67
1,0 1378,65 1270,05 7,88 1459,45 1311,72 10,12 1221,98 1118,82 8,44
1,2 1147,77 1080,24 5,88 1291,25 1199,07 7,14 1038,93 929,01 10,58
1,4 902,06 890,43 1,29 1076,86 1030,86 4,27 839,39 768,51 8,44
1,6 704,17 720,67 -2,34 821,25 787,03 4,17 667,89 609,56 8,73
1,8 562,34 546,29 2,85 623,36 601,85 3,45 537,61 490,74 8,72
2,0 453,50 449,07 0,98 493,08 478,39 2,98 437,01 391,97 10,31
Em um segundo momento foi realizado um estudo da resistência máxima à
compressão dos perfis apresentados na Tabela 3.1, com base nos procedimentos e
hipóteses apresentados no Capítulo 3.
Foram geradas 20 curvas de flambagem com relação aos eixos principais de
inércia. A partir dos resultados obtidos da força crítica numérica ( numN ) foram
determinados os valores da força normal reduzida (ρ) para tal foi utilizada a
Equação.(4.1):
y
num
N
N=ρ (4.1)
onde:
ygy fAN = .
As Tabelas 4.2 e 4.3 apresentam os valores de ρ para a faixa de 4,22,0 ≤λ≤ ,
para a flambagem com relação aos eixos de menor inércia e maior inércia,
respectivamente.
A Tabela 4.4 mostra as médias dos valores de ρ para flambagem com relação aos
eixos principais de inércia, a média aritmética, o desvio padrão e os percentis.
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
71
Tabela 4.2 – Valores de ρ para a faixa de esbeltez de 4,22,0 ≤λ≤ , para a flambagem
com relação ao eixo de menor inércia.
λ
W15
0X22
,5
W15
0X37
,1
W20
0X46
,1
HP
200X
53,0
W25
0x80
,0
HP
250X
85,0
W25
0X89
,0
W31
0X10
7,0
W31
0X11
7,0
W36
0x12
2,0
0,2 0,933 0,975 0,945 0,955 0,958 0,970 0,958 0,945 0,956 0,945
0,4 0,836 0,904 0,829 0,875 0,875 0,920 0,910 0,910 0,912 0,913
0,6 0,760 0,823 0,776 0,795 0,820 0,819 0,848 0,799 0,820 0,833
0,8 0,697 0,741 0,702 0,721 0,695 0,733 0,721 0,720 0,722 0,746
1,0 0,605 0,630 0,611 0,620 0,606 0,626 0,616 0,614 0,615 0,637
1,2 0,496 0,509 0,500 0,508 0,500 0,510 0,501 0,513 0,501 0,517
1,4 0,400 0,405 0,403 0,405 0,401 0,405 0,400 0,400 0,401 0,428
1,6 0,323 0,326 0,323 0,326 0,324 0,322 0,321 0,321 0,323 0,328
1,8 0,264 0,265 0,263 0,264 0,264 0,263 0,262 0,262 0,263 0,266
2,0 0,217 0,219 0,219 0,219 0,219 0,218 0,218 0,218 0,219 0,220
2,2 0,183 0,184 0,184 0,180 0,184 0,187 0,184 0,184 0,184 0,185
2,4 0,152 0,158 0,152 0,153 0,157 0,157 0,157 0,157 0,153 0,158
Tabela 4.3– Valores de ρ para a faixa de esbeltez de 4,22,0 ≤λ≤ , para a flambagem
com relação ao eixo de maior inércia.
λ
W15
0X22
,5
W15
0X37
,1
W20
0X46
,1
HP
200X
53,0
W25
0x80
,0
HP
250X
85,0
W25
0X89
,0
W31
0X10
7,0
W31
0X11
7,0
W36
0x12
2,0
0,2 0,960 0,995 0,975 0,981 0,996 0,997 0,999 0,984 0,996 0,996
0,4 0,870 0,940 0,853 0,960 0,960 0,955 0,940 0,960 0,945 0,947
0,6 0,790 0,865 0,810 0,820 0,865 0,834 0,865 0,825 0,835 0,872
0,8 0,708 0,758 0,723 0,740 0,708 0,750 0,734 0,736 0,735 0,769
1,0 0,640 0,660 0,645 0,658 0,634 0,656 0,635 0,633 0,640 0,672
1,2 0,524 0,544 0,532 0,547 0,534 0,539 0,525 0,530 0,531 0,552
1,4 0,423 0,438 0,429 0,436 0,431 0,432 0,427 0,430 0,431 0,438
1,6 0,339 0,350 0,345 0,348 0,346 0,346 0,344 0,345 0,347 0,349
1,8 0,276 0,285 0,281 0,282 0,282 0,280 0,279 0,279 0,281 0,284
2,0 0,228 0,235 0,230 0,231 0,232 0,231 0,230 0,230 0,232 0,234
2,2 0,191 0,197 0,193 0,193 0,195 0,193 0,193 0,193 0,194 0,194
2,4 0,161 0,167 0,164 0,164 0,166 0,165 0,163 0,164 0,165 0,164
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
72
Tabela 4.4 – Propriedades estatísticas da curva média aritmética.
Percentis λ
Média Menor inércia
Média Maior inércia
Média Aritmética
0,0 2,5 50,0 97,5 100,0
Coeficiente de Variação
0,2 0,954 0,988 0,971 0,933 0,939 0,973 0,998 0,999 0,022
0,4 0,888 0,933 0,911 0,829 0,832 0,913 0,960 0,960 0,046
0,6 0,809 0,838 0,824 0,760 0,768 0,822 0,869 0,872 0,037
0,8 0,720 0,736 0,728 0,695 0,696 0,728 0,764 0,769 0,028
1,0 0,618 0,647 0,633 0,605 0,605 0,634 0,666 0,672 0,030
1,2 0,506 0,536 0,521 0,496 0,498 0,521 0,550 0,552 0,034
1,4 0,405 0,432 0,418 0,400 0,400 0,425 0,438 0,438 0,036
1,6 0,324 0,346 0,335 0,321 0,321 0,334 0,350 0,350 0,035
1,8 0,264 0,281 0,272 0,262 0,262 0,271 0,285 0,285 0,033
2,0 0,219 0,231 0,225 0,217 0,217 0,224 0,235 0,235 0,030
2,2 0,184 0,194 0,189 0,180 0,181 0,189 0,196 0,197 0,028
2,4 0,155 0,164 0,160 0,152 0,152 0,160 0,167 0,167 0,031
Na Figura 4.6 mostram-se as curvas de média aritmética para a flambagem com
relação aos eixos de maior e menor inércia, respectivamente, e as envoltórias inferior e
superior. A envoltória superior é constituída dos maiores valores de ρ e a envoltória
inferior dos menores valores de ρ.
Figura 4.6 – Curvas da média aritmética para a flambagem com relação aos eixos
principais de inércia e envoltórias inferior e superior.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Euler
Média - Maior inércia
Média - Menor inércia
Envoltória superior
Envoltória inferior
ρ
λ
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
73
Nota-se que as maiores diferenças de resistência ocorrem na faixa de baixos e
médios valores de esbeltez, devido à maior influência das tensões residuais nessa faixa
de esbeltez.
Durante as análises pode-se constatar que no caso das colunas curtas o colapso
ocorre devido ao fenômeno de flambagem por torção e não por flexão, como é o caso
das colunas médias e longas. Para as colunas curtas o efeito do empenamento da seção
transversal deve ser levado em consideração. Esse efeito é conhecido como efeito
Wagner (1929), que foi o primeiro a estudar o fenômeno da torção em seções em que o
centro de gravidade coincide com o centro de cisalhamento.
Na Figuras 4.7 apresenta-se a deformada da coluna curta ( 2,0=λ ) do perfil
W150x22,5. A seção média da coluna começa a deslocar no primeiro passo de carga
(primeiro subpasso).
Entretanto, à medida que mais passos de carga vão sendo dados, a coluna ao
invés de fletir, começa a torcer, conforme se mostra nas Figuras 4.8 a 4.10.
Figura 4.7 –Deformada do perfil W150x22,5, 1° subpasso de carga (escala 1:10).
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
74
Figura 4.8 -Deformada do perfil W150x22,5, 8° subpasso de carga (escala 1:10).
Figura 4.9 –Deformada do perfil W150x22,5, 73° subpasso de carga (escala 1:10).
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
75
Figura 4.10 –Deformada do perfil W150x22,5, 135° passo de carga (escala 1:10).
Na Tabela 4.5 apresentam-se os valores da tensão crítica de flambagem
(segundo os eixos x, y, e z), obtidas através das Equações (4.2), (4.3) e (4.4), para os
perfis apresentados na Tabela 3.1. As equações são as seguintes:
( )2xx
2
exr/Lk
Ef
π= (4.2)
( )2yy
2
eyr/Lk
Ef
π= (4.3)
( )
π+=
2z
w2
t2og
ezLk
ECGI
rA
1f (4.4)
A Equação (4.4) também pode ser escrita na seguinte forma:
( )2e
2
ezr/L
Ef
π= (4.5)
onde re é o raio de giração equivalente que é expresso pela seguinte equação:
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
76
2og
w2
og
2t
erA
C
rA
LI039,0r +=
Tabela 4.5 – Tensões críticas de flambagem ( 2,0=λ ) e os raios de giração.
Perfil xr
(cm) L
(cm)
exf
(kN/cm2)
yr
(cm)
eyf
(kN/cm2)
2or
(cm)2
ezf
(kN/cm2)
er
(cm)
W150X22,5 6,51 57,0 2703,53 3,65 849,88 55,70 830,06 0,93
W150X37,1 6,85 60,0 2701,45 3,84 848,94 61,67 836,33 1,23
W200X46,1 8,81 80,0 2513,57 5,12 848,94 103,83 781,54 1,34
HP200X53,0 8,55 78,0 2490,36 4,96 838,09 97,70 832,78 1,43
W250x80,0 11,10 102,0 2454,51 6,51 844,27 165,59 771,33 1,80
HP250X85,0 10,64 98,0 2443,15 6,24 840,30 152,15 831,63 1,81
W250X89,0 11,18 102,0 2490,02 6,52 846,86 167,50 787,39 1,91
W310X107,0 13,49 120,0 2619,27 7,72 857,81 241,58 796,37 2,04
W310X117,0 13,56 122,0 2560,46 7,76 838,54 244,09 783,91 2,16
W360x122,0 15,35 98,0 5084,91 6,26 845,70 274,81 944,32 1,87
Nota-se, na Tabela 4.5, que o menor valor da tensão crítica de flambagem é a
tensão de flambagem por torção ( ezf ) isto justificaria o fato das colunas curtas
analisadas torcerem.
Bleich (1952) analisou os perfis I com dupla simetria e demonstrou que, somente
para colunas curtas, o raio de giração equivalente ( er ) será inferior aos raios de giração
para os eixos x e y. O mesmo fato pode ser notado na Tabela 4.5.
A Figura 4.11 mostra a variação do raio de giração equivalente em função de kL,
para o perfil W150x22,5.
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
77
Figura 4.11 – Variação do re em função de kL para o perfil W150x22,5.
4.3.Ajuste das curvas de flambagem
A partir dos valores da média da força normal reduzida para os eixos principais
de inércia determinou-se um valor para o fator de imperfeição α , através da utilização
da formulação de Ayrton-Perry proposta por Rondal e Maquoi (1978), apresentada no
Capítulo 2. Esse fator de imperfeição foi determinado de tal forma que a curva de
flambagem gerada, a partir desse valor de ( α ), seja a mais próxima possível da curva
que representa a média dos valores de ρ para a flambagem com relação ao eixos de
menor inércia e maior inércia, respectivamente.
Para a determinação do fator de imperfeição α utilizou-se a Equação (4.6),
então teremos:
0,112
2 ≤λ
−β−β=ρ (4.6)
onde:
λ+η+
λ=β
2
21
2
1
⇒π
=λE
Qf
r
kL2
y índice de esbeltez reduzido;
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
51,6rx =
65,3ry =
( )mmr
( )cmkL
er
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
78
⇒= sa QQQ fator que leva em consideração a flambagem local nas paredes da seção
transversal. A Tabela 4.6 mostra o estudo da ocorrência da flambagem local nas seções
analisadas.
Tabela 4.6 - Flambagem local
57,13f
E55,0
y= 27,36
f
E47,1
y
= 57,13f
E55,0
y= 27,36
f
E47,1
y
=
Perfil
f
ff t2
b=λ
wf t
'd=λ
Perfil
f
ff t2
b=λ
wf t
'd=λ
W150x22,5 11,52 20,48 HP250x85,0 9,03 13,97 W150x37,1 6,64 14,67 W250x89,0 7,40 18,82 W200x46,1 9,23 22,36 W310x107,0 9,00 22,48 HP200x53,0 9,16 14,28 W310x117,0 8,21 20,55 W250x80,0 8,17 21,36 W360x122,0 5,92 22,12
Em todas as análises, o fator que leva em consideração a flambagem local, Q = 1,0.
Flambagem com relação ao eixo de menor inércia.
O valor do fator de imperfeição otα para a faixa de esbeltez entre
4,22,0 ≤λ≤ será:
• Para a formulação adotada pela NBR 8800/86: 246,0ot =α ;
• Para a formulação adotada pelo Eurocode 3 (2002): 308,0ot =α .
Entretanto, as colunas utilizadas na prática encontram-se numa faixa de esbeltez
menor, aproximadamente entre 4,14,0 ≤λ≤ , teremos os seguintes valores de efα
• Para a formulação adotada pela NBR 8800/86 : 260,0ef =α ;
• Para a formulação adotada pelo Eurocode 3 (2002): 353,0ef =α .
A Tabela 4.7 apresenta os valores da soma do quadrado da diferença, ( )2ρ∆ ,
(Equação 2.57) entre as curvas de flambagem das normas Eurocode 3 e NBR 8800 e as
curvas para a faixa de esbeltez entre 4,22,0 ≤λ≤ ( otα ) e para a faixa de esbeltez entre
4,14,0 ≤λ≤ ( efα ). Observa-se a soma do quadrado da diferença apresenta seu menor
valor para a faixa de esbeltez entre 4,14,0 ≤λ≤ .
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
79
Tabela 4.7 - Valores da soma do quadrado da diferença.
4,22,0 ≤λ≤ ( otα ) 4,14,0 ≤λ≤ ( efα ) Curva
Eurocode 3 NBR 8800 Eurocode 3 NBR 8800
a 0,012333 0,01175 0,01147 0,01100
b 0,00064 0,00249 0,00060 0,00184
c 0,02171 0,02710 0,01996 0,02531
d 0,09835 0,10731 0,08991 0,10056
Em função desta avaliação, para a formulação adotada pelo Eurocode 3 (2002),
será adotado o fator de imperfeição 353,0=α e denomina a curva gerada como Curva
proposta 1, ou simplesmente Curva 1, e para a formulação adotada pela NBR 8800/86,
adotou-se o fator de imperfeição 260,0=α e denominando de Curva proposta 2, ou
Curva 2, a curva gerada para esse fator de imperfeição.
A Figura 4.12 mostra a comparação entre as Curvas 1 e 2 e média dos valores
de ρ para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia (média menor inércia).
Figura 4.12 - Média menor inércia e as Curvas 1 ( 353,0ef =α )e 2 ( 260,0ef =α ).
Observa-se uma boa correlação entre a curva da média dos valores de ρ para a
flambagem com relação ao eixo de menor inércia e as Curvas 1 e 2.
λ
ρ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Euler
Média menor inércia
Curva 1 - Eurocode 3/2002
Curva 2 - NBR 8800/86
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
80
Flambagem com relação ao eixo de maior inércia.
O valor do fator de imperfeição otα para a faixa de esbeltez entre
4,22,0 ≤λ≤ será:
• Para a formulação adotada pela NBR 8800/86: 163,0ot =α ;
• Para a formulação adotada pelo Eurocode 3 (2002): 205,0ot =α .
E para efα , para a faixa de esbeltez entre 4,14,0 ≤λ≤ será:
• Para a formulação adotada pela NBR 8800/86: 195,0ef =α ;
• Para a formulação adotada pelo Eurocode 3 (2002): 261,0ef =α .
A Tabela 4.8 apresenta os valores da soma do quadrado da diferença, ( )2ρ∆ ,
entre as curvas de flambagem das normas Eurocode 3 e NBR 8800 e curva da média dos
valores de ρ para a flambagem com relação ao eixo de maior inércia, para a faixa de
esbeltez entre 4,22,0 ≤λ≤ ( otα ) e para a faixa de esbeltez entre 4,14,0 ≤λ≤ ( efα ).
Tabela 4.8- Valores da soma do quadrado da diferença.
4,22,0 ≤λ≤ ( otα ) 4,14,0 ≤λ≤ ( efα ) Curva
Eurocode 3 NBR 8800 Eurocode 3 NBR 8800
a 0,00338 0,00350 0,00316 0,00326
b 0,00613 0,00883 0,00568 0,00743
c 0,04008 0,04579 0,03693 0,04282
d 0,13418 0,14255 0,12293 0,13365
Verifica-se que os menores valores da soma do quadrado da diferença encontra-
se na faixa de esbeltez entre 4,14,0 ≤λ≤ , por isso será adotado o fator de imperfeição
261,0=α e denomina a curva gerada como Curva proposta 3, ou Curva 3, e adota o
fator de imperfeição 195,0=α e denomina de Curva proposta 4, ou Curva 4, a curva
gerada para esse fator de imperfeição.
A Figura 4.13 mostra a comparação entre as Curvas 3 e 4 e a curva da média dos
valores de ρ para a flambagem com relação ao eixo de maior inércia.
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
81
Figura 4.13 - Média maior inércia e Curvas 3 ( 261,0ef =α )e 4 ( 195,0ef =α ).
Nota-se que a tanto a Curva 3 quanto a Curva 4 apresentam boa correlação com
os valores apresentados pela curva da média dos valores de ρ para a flambagem com
relação ao eixo de maior inércia (média maior inércia).
As Curvas 1 e 2 (flambagem com relação ao eixo de menor inércia) como as
Curvas 3 e 4 ( flambagem com relação ao eixo de maior inércia) apresentam valores de
ρ muito próximos, exceto na região de baixa esbeltez, onde as Curvas 2 e 4, baseadas
na formulação adotada pela NBR 8800/86, apresentam valores de ρ levemente
inferiores as Curvas 1 e 3, baseadas na formulação adotada pelo Eurocode 3 (2002).
Esse fato se deve a equação adotada para a imperfeição generalizada η .
A NBR 8800/86 adota 04,02
−λα=η , enquanto que o Eurocode 3 (2002)
adota ( )2,0−λα=η . Essas equações foram propostas por Rondal e Maquoi (1978).
Porém, em 1979, Rondal e Maquoi reavaliaram o fator de imperfeição generalizada η ,
demonstrando que a equação posteriormente adotada pela NBR 8800/86 é mais
representativa para o comportamento do alumínio, enquanto a equação adotada pelo
Eurocode 3 (2002) é mais indicada para representar o comportamento do aço.
Portanto, para a análise comparativa utilizou-se apenas os valores do fator de
imperfeição, α , obtidos pela formulação adotada pelo Eurocode 3. Ou seja, adotou-se a
Curva proposta 1 ( 261,0=α ) para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia e
a Curva proposta 3 ( 353,0=α ) para a flambagem com relação ao eixo de maior inércia.
λ
ρ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Euler
Média maior inércia
Curva 3 - Eurocode 3/2002
Curva 4 - NBR 8800/86
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
82
4.4. Análise comparativa das curvas de flambagem
Neste item faz-se uma comparação entre as Curvas propostas 1 e 3 com as
curvas de flambagem das normas NBR 8800/86 e Eurocode 3 (2002).
Flambagem com relação ao eixo de menor inércia.
Na Figura 4.14 apresenta-se uma comparação da Curva proposta 1 e as curvas de
flambagem da NBR 8800.
Figura 4.14– Comparação entre as curvas da NBR 8800/86 e a Curva 1 ( 353,0=α ).
Pode-se notar que a Curva 1 ajusta-se a curva de flambagem “b”, exceto na
região de baixos valores de λ .
A Figura 4.15 apresenta a comparação dos resultados obtidos por Djalaly (1977)
para o perfil HEA 220 e a Curva 1, juntamente com as curvas de flambagem do
Eurocode 3.
Nota-se que a Curva 1 e a curva para o perfil HEA 220 (menor inércia)
praticamente se coincidem, exceto nos baixos valores de esbeltez em que ocorre uma
pequena diferença, devida aos padrões de tensões residuais adotados.
λ
ρ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Euler
Curva "a"
Curva "b"
Curva "c"
Curva "d"
Curva 1
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
83
Figura 4.15 - Comparação entre as curvas de flambagem do Eurocode 3, a Curva 1 e a
curva para o perfil HEA 220 (menor inércia).
Flambagem com relação ao eixo de maior inércia.
A Figura 4.16 apresenta a comparação entre as curvas de flambagem da NBR
8800 e a Curva 3, nota-se que a Curva 3 aproxima-se da curva “a” para baixos valores
de λ e para altos valores de λ , a Curva 3 tangencia a curva “b”.
Figura 4.16 – Comparação entre as curvas de flambagem da NBR 8800 e a Curva 3.
A Figura 4.17 apresenta a comparação entre as curvas de flambagem do
Eurocode 3, a Curva 3 e a curva para o perfil HEA 220 (maior inércia).
λ
ρ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Euler
Curva "ao"Curva "a"
Curva "b"Curva "c"Curva "d"Curva 1HEA 220
λ
ρ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Euler
Curva "a"
Curva "b"
Curva "c"
Curva "d"
Curva 3
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
84
Figura 4.17– Comparação entre as curvas de flambagem do Eurocode 3, Curva 3 e a
curva para o perfil HEA 220 (maior inércia).
Pode-se notar que a Curva 3 apresenta valores de ρ próximos a média dos
valores de ρ das curvas “a” e “b” e a curva obtida por Djalaly (1977) para o perfil HEA
220 aproxima-se da curva “a” para 0,1>λ e da curva “b” para 0,1<λ , como mostra a
Figura 4.17. Ao comparar as duas curvas nota-se que apresentam valores de ρ muito
próximos para 0,1<λ , o mesmo não acontece para 0,1>λ , devido às diferenças nos
padrões de tensões residuais adotados.
Em se estudo, Djalaly (1977) não apresenta uma conclusão definitiva a respeito
de qual curva de flambagem deve ser adotada para a flambagem com relação ao eixo de
maior inércia, para a curvatura igual a L/1000, porém, para uma curvatura igual a
L/4000 e um padrão parabólico de distribuição de tensões residuais a curva indicada é a
“c” .
As Figuras 4.18 e 4.19 apresentam os diagramas força normal x deslocamento
para os modelos, com 0,1=λ , pertencentes aos perfis adotados, admitindo a flambagem
com relação aos eixos principais de inércia. Para os demais modelos, os valores
numéricos da força normal crítica de compressão encontram-se nas tabelas do Anexo
III.
Apresentam-se também nas tabelas do Anexo III os comprimentos efetivos de
flambagem e seus correspondentes índices de esbeltez
λ
ρ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
Euler
Curva "ao"
Curva "a"
Curva "b"
Curva "c"
Curva "d"
Curva 3
HEA 220
Capítulo 4 Resultados da Análise Numérica
85
Figura 4.18 – Diagrama força normal versus deslocamento, para a flambagem
com relação ao eixo de menor inércia para 0,1=λ .
Figura 4.19 – Diagrama força normal versus deslocamento, para a flambagem
com relação ao eixo de maior inércia para 0,1=λ .
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45
W150x22,5 W150x37,1
W200x46,1 HP200x53,0
W250x80,0 HP250x85,0
W250x89,0 W310x107,0
W310x117,0 W360x122,0
)cm(δ
)kN(N
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
W150x22,5 W150x37,1
W200x46,1 HP200x53,0
W250x80,0 HP250x85,0
W250x89,0 W310x107,0
W310x117,0 W360x122,0
)kN(N
)cm(δ
CAPÍTULO 5
CCCOOONNNSSSIIIDDDEEERRRAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS FFFIIINNNAAAIIISSS
Este capítulo apresenta as considerações finais sobre o trabalho realizado.
Primeiro, as considerações gerais nas quais apresentam-se as conclusões a respeito da
influência das imperfeições físicas e geométricas na resistência última e as hipóteses
adotadas que se mostraram em desacordo com a realidade. Depois, passou-se às
considerações com relação ao modelo numérico e em seguida, as considerações com
relação à análise comparativa e finalmente apresentamos as sugestões para futuras
análises.
5.1 Considerações gerais
As análises demonstraram que o efeito das imperfeições físicas (tensões
residuais) e geométricas (curvatura inicial) tem sua maior influência na região de média
esbeltez, fato demonstrado pelas diferenças apresentadas pelas envoltórias inferior e
superior (Figura 4.9) e também nas análises não-linear física e geométrica. À medida
que a esbeltez aumenta, menor é a influência das imperfeições na resistência última.
As análises demonstraram também que no caso das colunas curtas o fenômeno
de flambagem por torção deve ser analisado, levando-se em conta o efeito do
empenamento da seção transversal.
Capítulo 5 Considerações finais
87
5.2 Considerações com relação ao modelo numérico
Os resultados das análises não-linear física e física-geométrica demonstram que
o padrão de tensões residuais adotado, no qual o diagrama de tensão-deformação
utilizado foi baseado, é eficaz e pode ser utilizado nas análises não-linear física-
geométrica.
Quanto ao modelo adotado podem ser feitas as seguintes considerações:
• As restrições aos deslocamentos impostos aos modelos, tanto para a
flambagem com relação ao eixo de menor inércia quanto ao eixo de
maior inércia, apresentam comportamento muito próximo ao
comportamento das restrições reais (vínculo de garfo);
• A carga aplicada uniformemente nos nós que constituem a seção
transversal extrema (nós da malha de elementos finitos) se mostrou
eficaz, impedindo que o modelo sofresse os efeitos da excentricidade de
carga e também da flambagem local.
5.3 Considerações com relação à análise comparativa
Para colunas de seção I laminada com:
• 2,1b/d f < ;
• mm40t f ≤ ;
• 2y cm/kN0,43f <
As seções apresentadas na Tabela 3.1 encaixam-se nestas condições, então para
estas seções a NBR 8800/86 e o Eurocode 3 (2002) adotam a curva de flambagem “c”
para a flambagem com relação ao eixo de menor inércia e a curva de flambagem “b”
para a flambagem com relação ao eixo de maior inércia.
Os resultados apresentados na análise comparativa demonstraram que a curva a
ser adotada para o cálculo da resistência máxima de colunas comprimidas é a curva “b”,
indiferente do eixo com relação ao qual ocorre a flambagem.
Capítulo 5 Considerações finais
88
Pode-se, inicialmente, afirmar que as recomendações da NBR 8800/86 e do
Eurocode 3 (2002) são conservadoras para a flambagem com relação ao eixo de menor
inércia, e justificadas para a flambagem com relação ao eixo de maior inércia.
Entretanto, vale lembrar que este estudo é apenas um primeiro trabalho que deverá ser
levado adiante através de análises experimentais e novas análises numéricas para a
confirmação ou não dos resultados aqui apresentados.
5.4 Sugestões para futuras análises
Os resultados obtidos derivam de um padrão teórico de distribuição de tensões
residuais. Seria interessante, para efeito de comparação e confirmação dos resultados da
análise não-linear física-geométrica, que sejam realizar ensaios (furação instrumentada
ou seccionamento) para a obtenção do estado de tensão em vários pontos da seção
transversal para a utilização do comando ISTRESS (ANSYS versão 10.0). Seria
importante ressaltar a necessidade de ensaios de compressão simples para comparação
dos resultados de resistência última.
Sugere-se, que seja feito um levantamento das imperfeições geométricas reais
dos perfis laminados, para comparar com as recomendações da norma e limitações
impostas pelo fabricante com relação à curvatura inicial, falta de paralelismo dos
flanges e curvatura inicial da alma, etc.
Por último, sugere-se que seja realizado um estudo que leve em consideração as
restrições de extremidade, provocadas pelas ligações entre colunas e vigas,
aproximando mais o modelo teórico da realidade.
RRREEEFFFEEERRRÊÊÊNNNCCCIIIAAASSS BBBIIIBBBLLLIIIOOOGGGRRRÁÁÁFFFIIICCCAAASSS
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AAANNNEEEXXXOOOSSS
Anexo I
93
III...111 TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDOOO DDDUUUPPPLLLOOO---MMMÓÓÓDDDUUULLLOOO
Para o processo de flexão à medida que o equilíbrio se torna instável, para as
tensões além do limite de proporcionalidade, foram consideradas as seguintes hipóteses:
� Os deslocamentos serão muito pequenos em comparação com as dimensões da
seção transversal da coluna;
� A seção transversal permanece plana e normal à linha central depois da flexão;
� A relação tensão-deformação em qualquer fibra longitudinal será obtida através
do diagrama tensão-deformação do material;
� O plano de flexão é o plano de simetria da seção da coluna.
Figura I.1 – Distribuição de tensões em condições de equilíbrio instável (Teoria do
duplo módulo)30
Com base nessas hipóteses, considere uma pequena coluna comprimida por uma
carga N aplicada axialmente e também que A/Nf = excede o limite proporcional.
Então, a carga aplicada receberá pequenos acréscimos de carga até que a coluna alcance
a condição de equilíbrio instável, nesta condição a coluna flete ligeiramente. A tensão f
desenvolvida antes do deslocamento devido à flexão permanece constante. A direita da
linha n-n (lado “1”) as tensões serão acrescidas pela flexão, e a taxa de acréscimo será
proporcional a εdfdE t = como pode ser deduzido pela Figura I.1. (b). Et é o módulo
30 Adaptado: Steel Structures Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson,1996.
Tangente
Fibra carregada
d
δC
f2
f1 f
f 1
1
y
2
2
y
dd
dA2 dA1
n
n
Curva tensão - deformação
∆ε
∆εε
f
ε
dεdf
Fibra descarregada max
1
max2
Anexo I
94
tangente da curva tensão-deformação do material na tensão f. À esquerda da linha n-n
(lado “2”) ocorrerá uma redução da tensão f devido a união das tensões de flexão com o
alívio de deformação (deformação reversa) e a lei de proporcionalidade da tensão e
deformação com o módulo de elasticidade E permanecerá a mesma.
Usando os símbolos mostrados na Figura I.1., o equilíbrio entre as tensões
internas e a carga externa N necessita de
0dAfdAf 1
1d
o1
2d
o22 =− ∫∫ (I.1-a)
e
( ) ( ) NydAdfdAdf 11
1d
o122
2d
o2 =δ+−δ+ ∫∫ (I.1-b)
O deslocamento y é tomado com relação ao eixo centroidal da coluna. Para a
Figura I.1. deduzimos que 22
max2
2 yd
ff = e 1
1
max1
1 yd
ff = .
Figura I.2. – Elemento dz ao longo do eixo da coluna na posição de equilíbrio instável.31
A Figura I.2., na qual a rotação relativa de duas seções transversais
infinitesimalmente próximas uma da outra, pela qual pode-se concluir que θ=∆ dddz 2 ,
e como E
dzfdz
max2=∆ , teremos
2
max2
Ed
f
dz
d=
θ e
1t
max1
dE
f
dz
d=
θ. Desta forma, para pequenas
31 Adaptado: Steel Structures Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson,1996.
n
n
2d 1d
∆dz
dz
Fibra carregada
dθ
1maxf
maxfFibra descarregada 2
Anexo I
95
deformações 2
2
dz
yd
dz
d=
θ, com a qual finalmente obtemos
2
2
2max2
dz
ydEdf = e
2
2
1tmax
1dz
yddEf = .
Então a Equação (I.1- a) fica
0dAydz
ydEdAy
dz
ydE
1d
o112
2
t
2d
o222
2
=− ∫∫
ou
0SEES 1t2 =−
onde S1 e S2 é o momento estático da seção dividida pelas áreas à direita e esquerda do
eixo n-n, com relação a este eixo. Esta equação e a relação ddd 12 =+ determina a
posição do eixo n-n.
A segunda condição (I.1-b) fornece a equação
NydAyEdAyEdz
yddAyEdAyE
dz
yd 1d
o11t2
2d
o22
21d
o1
21t2
2d
o
222
2
=
+δ+
+ ∫∫∫∫
Devido à Equação (I.1) a segunda expressão desaparece, e obtemos
( ) NyIEEIdz
yd1t22
2
=+
onde I1 e I2 representam os momentos de inércia das áreas da seção transversal
separadas pelo eixo n-n, com relação a este eixo.
Introduzindo
1t2r IEEIIE += (I.2)
finalmente obtemos
0Nydz
ydIE
2
2
r =+ (I.3)
em que
I
IE
I
IEE 1
t2
r += (I.4)
I é o momento de inércia da seção transversal com relação ao centro de gravidade C
(Figura I.1)
Anexo I
96
A Equação (I.4) representa a equação diferencial da linha central no estado de
equilíbrio instável. Er é chamado de “duplo módulo” ou “módulo reduzido”. Este valor
dependerá da seção do perfil e das propriedades do material.
III...222 MMMOOODDDEEELLLOOO DDDEEE SSSHHHAAANNNLLLEEEYYY
Figura I.3. - Teoria de Shanley.32
Considerando o modelo da Figura I.3., temos:
2
Lvo θ= (I.5)
Por geometria, obtêm-se o ângulo θ.
( )21b
1ε+ε=θ (I.6)
Das equações (I.5) e (I.6), obtém-se:
( )21o b2
Lv ε+ε= (I.7)
O momento externo no ponto O será:
32 Adaptado: Paula -1994.
Barra Infinitamente Rígida
L
L / 2
L / 2
N
N
N2 N1
ε1 ε2
E2
E1
Ag / 2
Ag / 2
b θ
θ
v0
b
o
Anexo I
97
( )21oe b2
NLNvM ε+ε== (I.8)
Da resistência dos materiais, ou seja, através da formulação para deslocamentos
para o alongamento de uma barra solicitada por uma força axial constante, obtém-se a
força axial em cada flange:
( )b
2AE2N g11
1ε
= (I.9)
( )b
2AE2N
g222
ε= (I.10)
O momento interno no ponto O é:
21int N2
bN
2
bM += (I.11)
Substituindo as equações (I.9) e (I.10) em (I.11), rearranjando, tem-se:
( )2211g
int EE2
AM ε+ε= (I.12)
Por equilíbrio dos momentos, equações (I.8) e (I.12), obtém-se:
ε+ε
ε+ε=
21
2211g EE
L
AN (I.13)
Ocorre um aumento da tensão de compressão no elemento 1 e uma diminuição
no elemento 2. Portanto, substituindo-se 1E e 2E por tE e E ,respectivamente.
ε+ε
ε+ε=
21
2t1g EE
L
AN (I.14)
Considerando que:
E
E t=ϕ (I.15)
Da equação (I.7), tem-se:
2o
1 L
bv2ε−=ε (I.16)
Pela análise do módulo tangente, tem-se:
t21 EEE == (I.17)
Logo,
Anexo I
98
L
bEAN
tgt = (I.18)
Substituindo a equação (I.16) em (I.14) e considerando as equações (I.15) e (I.18),
obtém-se:
−
ϕ
ε+= 1
1
bv2
L1NN
o
2t (I.19)
Após atingir a carga crítica referente ao módulo tangente, é possível aumentar a
força normal de compressão. Este aumento é devido à diferença entre as forças N1 e N2.
NNN t ∆+= (I.20)
21 NNN +=∆ (I.21)
Das equações (I.8), (I.9) e (I.11), obtém-se:
b
AEN
gt11
ε= (I.22)
b
EAN
g22
ε= (I.23)
Das equações (I.15), (I.16), (I.22) e (I.23), obtém-se N∆ :
ε
ϕ+−=− 2
otg21
11
L
bv2
b
EANN (I.24)
Substituindo a equação (I.24) na equação (I.20) e considerando a equação (I.18), obtém-
se:
ϕ+
ε−+=
11
b
L
b
v21NN
22o
t (I.25)
Isolando 2ε das equações (I.19) em (I.25), tem-se:
−
ϕ+
−
ϕ
=ε
11
b
L1
1
v2
L
1v2
o
o2 (I.26)
Substituindo a equação (I.26) em (I.19) e rearranjando, obtém-se:
( )( )
ϕ−
ϕ++
+=
1
1
v2
b
11NN
o
t (I.27)
Anexo I
99
III...333 EEEFFFEEEIIITTTOOO DDDAAASSS TTTEEENNNSSSÕÕÕEEESSS RRREEESSSIIIDDDUUUAAAIIISSS
A Figura I.4 mostra a influência das tensões residuais na resistência à
compressão de um perfil de aço estrutural, bem como a tensão numa fibra situada a uma
distância y do eixo neutro à flexão.
Figura I.4 - Influência das tensões residuais na resistência à compressão de um perfil estrutural de aço.33
A contribuição da fibra, situada à distância y do eixo neutro, ao momento fletor
pode ser expressa, como:
( ) y dA y E dM gTθ= (I.28)
Considerando toda a seção, a Equação (I.28) resulta em:
g2
gA
Tg2
gA
T dAy E dA y E M ∫∫ θ=θ= (I.29)
Da resistência dos materiais, tem-se:
33 Adaptado: Steel Structures Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996.
sem tensões residuais
Eixo neutro de flexão (tomado coincidente com o eixo de gravidade para flexão infinitesimal)
Limite proporcional
(a)
Méd
ia d
as te
nsõe
s,f
pf
Deformações, ε
εy
yf
E =t
θ
Distância à fibra extrema
f = E yθt
(b)
y
Elástico
ε
E
dεdf
Et
(c)
f =e
E2π2(kL/r)
tcrf =
2
(kL/r)
2π E(kL/r)
com tensões residuaisf
Anexo I
100
( ) I E
M
I E
M
ef ′==θ (I.30)
Onde: (EI)ef = rigidez efetiva à flexão.
Substituindo a Equação (I.30) em (I.29) e rearranjando, tem-se:
g
gA
2T dA y E
I
1E ∫=′ (I.31)
Denomina-se E' por módulo efetivo e pode-se considerar este na equação
et
2t
2
t NE
E
L
IEN =
π= como um valor equivalente para Et.
Caso seja considerada a curva tensão-deformação elasto-plástica idealizada,
curva tracejada da Figura I.4, a resistência à flexão das partes escoadas torna-se nula.
Para a parte que permanece elástica, a Equação (I.31) resulta em:
I
I EdA y
I
EE e
g
gA
2 ==′ ∫ (I.32)
onde: ∫=
gA
g2
e dA y I é o momento de inércia da parte da seção que permanece
elástica.
Substituindo a Equação (I.32) em 2
t2
tE
fλ
π= , tem-se:
( )2
e2
I I E f
λ
π= (I.33)
Para o modelo de distribuição de tensões residuais, dado na Figura I.5, e a flexão
em torno do eixo de menor inércia, desprezando-se a contribuição da alma, obtém-se a
relação (Ie / I) apresenta na equação (I.34):
( )3
30
3
3 0e
b
y 8
tb 2
12
12
t y 2 2
I
I=
= (I.34)
Substituindo a Equação (I.34) em (I.33), tem-se:
( )2
30
2 b y E 8f
λ
π= (I.35)
Anexo I
101
Pode-se representar a força resultante durante o estágio elasto-plástico,
correspondente à área hachurada do diagrama de tensões da Figura I.5 (b), pela
equação:
Figura I.5 - Distribuição de tensões residuais para perfis I laminados de aço, de abas
planas, caso elasto-plástico. 34
−
−
−= t b
b
y
2
1
3
f 2f
2
1 2t b f 2N 0y
(I.36)
Por semelhança de triângulos, tem-se:
2
b
f 3
2
b b
y
2
1
3
f 2f y
0
y
=
−
− (I.37)
34 Adaptado: Steel Structures Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996.
(b) Caso Elasto-plástico → f > 2fy / 3
fy 3 f +
fy 3
fy 2fy
3 f – 2fy 3
2fy 3
N Ag f =
b 2
2y0
y0 b
b 1 2
(a) Caso Elástico → f < 2fy / 3
b
fy 3
N Ag f =
fy 3 f +
variável dependendo de f
Anexo I
102
Isolando f na Equação (I.38), tem-se:
−= f
3
4
b
y1 f y
0 (I.38)
Substituindo a Equação (I.38) em (I.37) e rearranjando, tem-se:
20
yg b
y
3
41 f AN
−= (I.39)
Dividindo-se a Equação (I.39) pela área gA , tem-se:
−=
20
y b
y
3
41 ff (I.40)
Determina-se a tensão elástica, por meio da Equação (I.41).
2
2Ef
λ
π= (I.41)
A partir das Equações (I.39) e (I.40), obtém-se os valores da tensão crítica f no
regime de comportamento inelástico para o aço A36 com fy = 250 MPa e E = 205000
MPa, conforme apresentados na Tabela I.1. Salienta-se que a redução da tensão f no
regime inelástico ocorre devido apenas à presença de tensões residuais.
Atribui-se valores de y0/b na Equação (I.40) e obtém-se a tensão f,
posteriormente, substituindo-se f e y0/b na Equação (I.40), tem-se a esbeltez λ.
Tabela I.1 - Valores da tensão crítica f para um perfil I de aço A36
y0 / b f f (MPa) λ
0,50 0,67 fy 166,68 110,18
0,45 0,73 fy 182,50 89,90
0,40 0,79 fy 196,75 72,56
0,35 0,84 fy 209,25 57,59
0,30 0,88 fy 220,00 44,57
0,25 0,92 fy 229,25 33,21
0,20 0,95 fy 236,75 23,39
0,10 0,99 fy 246,75 8,10
O trecho AB’ da curva 2 apresentada no gráfico da Figura I.6 foi obtido a partir
dos valores ilustrado na Tabela I.1, representando um material com tensões residuais.
Anexo I
103
Os trechos AB e BB’ da curva 1 representam o comportamento de um material sem
tensões residuais. O trecho B’C representa o comportamento elástico do material.
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200
A B
B’
C
f (MPa)
λ
curva 1 (ABB’C) curva 2 (AB’C)
Figura I.6 – Curvas de flambagem para um perfil com e sem tensões residuais.35
III...444 EEEFFFEEEIIITTTOOO DDDAAASSS IIIMMMPPPEEERRRFFFEEEIIIÇÇÇÕÕÕEEESSS GGGEEEOOOMMMÉÉÉTTTRRRIIICCCAAASSS IIINNNIIICCCIIIAAAIIISSS
A partir da existência de tais imperfeições não será mais possível considerar a
hipótese de elementos estruturais perfeitamente retos, ou seja, o problema de bifurcação
do equilíbrio transforma-se num problema do tipo força-deslocamento. Admite-se a
situação apresentada na Figura I.7, no regime elástico, para verificar este fenômeno.
35 Adaptado: Steel Structures Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996.
Anexo I
104
Figura I.7 - Elemento com uma curvatura inicial.36
Em 1807, Young propôs representar a curvatura inicial como uma função
senoidal, tal como:
( ) L x senvv 0 π= (I.42)
Admitindo o equilíbrio do elemento na posição deslocada, obtém-se o momento
num ponto qualquer:
v NM = (I.43)
Considerando da resistência dos materiais que ( ) vv I E M 0′′−′′−= e
substituindo este valor na Equação (I.43), tem-se:
( ) vv I Ev N 0′′−′′−= (I.44)
Substituindo a derivada segunda da Equação (I.42) em (I.44), obtém-se:
( ) ( ) I E L x sen L vv Nv I E 22 0 ππ−=+′′ (I.45)
Admitindo I E Nk 2 = e substituindo na Equação (I.45), tem-se:
( ) ( ) L x senL v vkv 220
2 ππ−=+′′ (I.46)
A Equação (I.46) é a equação diferencial que rege o problema, cuja solução
geral é:
π
π−
++= L
x sen
L k1
vx kcosBx Asenkv
2
22
0 (I.47)
As condições de contorno são: v = 0 para x = 0 e x = L, respectivamente.
36 Adaptado: Paula -1994.
(a) (b)
v0 v
x
N
N
M = EI (v” – v0”)
x
N
v (x)
v0 (x)
v0
N
y
posição deslocada
posição inicial
L
Anexo I
105
Substituindo as condições de contorno na Equação (I.47) e rearranjando os
termos, obtém-se:
π
π−
=L
x sen
L k1
vv
2
220 (I.48)
Reescrevendo a Equação (I.48), obtém-se:
( )
π
−=
L
x sen
N N1
vv
e
0 (I.49)
Considerando x = L / 2 na Equação (I.49), obtém-se a expressão do deslocamento
lateral total (flecha ampliada) no meio do vão:
−=
e0t N N1
1 vv (I.50)
Substituindo a Equação (I.50) em (I.43), obtém-se a equação para o momento de
segunda ordem:
( )
−=
N N 1
1 NM
e (I.51)
A Equação (I.51) da flecha ampliada (vt) tornou-se importante para a
determinação dos parâmetros que regem as curvas de resistência à compressão.
MMMOOODDDEEELLLOOO DDDEEE SSSEEEGGGUUUNNNDDDAAA EEESSSPPPÉÉÉCCCIIIEEE
Para análise de um modelo de 2ª espécie, pode-se admitir a verificação da
resistência na seção mais solicitada de um elemento comprimido na sua configuração
deformada.
Admitindo que a máxima tensão num elemento comprimido seja igual à tensão
de escoamento do material fy, tem-se a expressão da flexo-compressão, definida como:
yg
fW
M
A
N=+ (I.52)
Substituindo a Equação (I.50) em (I.51) e introduzindo Ag, obtém-se:
ye
0g
g
gf
N N1
1 v
A
A
W
N
A
N=
−
+ (I.53)
Rearranjando a Equação (I.53), tem-se:
Anexo I
106
yegg
fN N1
1
A
N
A
N=
−η+ (I.54)
Onde:
W
v A 0g=η (I.55)
Reescrevendo a Equação (I.55), tem-se:
−
−=
η
egy
g N
N1
A
Nf
A
N (I.56)
Dividindo os dois termos da Equação (I.56) por fy e reescrevendo, tem-se:
( )( )eN N1 N1 N −−=η (I.57)
Onde:
ρ=== NN
N
f A
N
yyg (I.58)
Rearranjando a Equação (I.57), obtém-se:
( )( )2 N1 N1 N λ−−=η (I.59)
Onde:
e
y
e
y
e f
f
N
N
N
Nρ=ρ= (I.60)
2
2
eE
fλ
π= (I.61)
y
2
p f
E π
=λ (I.62)
pλ
λ=λ (I.63)
A Equação (I.59) é conhecida como fórmula adimensional de “Ayrton-Perry”.
Rearranjando esta, obtém-se:
( ) ( ) 01 1 2 22 =+ρλ+η+−ρλ (I.64)
O valor de ρ possibilita o cálculo da força normal crítica, cuja solução é:
( ) ( )2
2222
2
4 1 1
λ
λ−+η+λ±+η+λ=ρ (I.65)
Anexo I
107
Deve-se desprezar a solução positiva, para obter-se a menor força normal crítica
de compressão, ou seja:
λ−
+η+λ−
+η+λ
λ=ρ
2222
2411
2
1 (I.66)
O parâmetro η representa matematicamente a influência das imperfeições geométricas
iniciais e os efeitos das tensões residuais.
Determina-se a partir do parâmetro η, um coeficiente γ que representa um
número definido em função do tipo da seção transversal e dos eixos considerados.
Dividindo o segundo termo da Equação (I.55) por y / y, obtém-se:
( ) W y y
v A 0g=η (I.67)
Define-se y como a distância da fibra mais comprimida em relação ao eixo
considerado, conforme o esquema da Figura I.8.
Figura I.8 – Representação da distância y ao eixo x.37
Considerando-se que Iy.W = tem-se da Equação (I.67):
y I
v A 0g=η (I.68)
Substituindo gA I r = na Equação (I.68), obtém-se:
y r
v2
0=η (I.69)
O fator v0 representa as imperfeições geométricas iniciais, o qual pode ser
expresso em função de uma imperfeição padrão.
37 Adaptado: Paula -1994.
y
z
Anexo I
108
γ=
Lv0 (I.70)
Onde γ é um número definido para cada tipo de seção e dos eixos considerados.
Substituindo a Equação (I.70) na equação (I.71), tem-se:
( )y r
L2γ
=η (I.72)
Admitindo por definição λ = L / r e rearranjando a Equação (I.72), tem-se:
( ) y r γ
λ=η (I.73)
Isolando γ na Equação (I.73), tem-se:
( ) y r η
λ=γ (I.74)
Substituindo (I.62) e (I.63) na Equação (I.74) e rearranjando, obtém-se:
( )( ) y r
f E y
η
πλ=γ (I.75)
Considerando o índice de esbeltez reduzido λ a partir do patamar de
escoamento,
0,1ρ = para 0λ≤λ , a Equação (I.75) resulta em:
( )( )y r
f E y0
η
πλ−λ=γ (I.76)
Substituindo η da Equação (I.76) por ( )0λ−λα=η , tem-se:
( )y r α
f E πγ
y= (I.77)
III...555 CCCUUURRRVVVAAA DDDEEE FFFLLLAAAMMMBBBAAAGGGEEEMMM DDDOOO CCCRRRCCC ––– “““CCCooollluuummmnnn RRReeessseeeaaarrrccchhh
CCCooouuunnnccciiilll”””
A curva do CRC – “Column Research Council” atual SSRC – “Structural
Stability Research Council”, foi publicada em 1960, e foi utilizada em muitas
Anexo I
109
especificações de projeto na América do norte e em outros países. Essa curva tem por
base a teoria do módulo tangente, modificada para perfis de aço com tensões residuais.
A Equação 2.19 parabólica proposta por F.Bleich (1952) foi utilizada como base
para a curva do CRC:
−
π−=
2
y
ry
2r
ycr r
kL
f
ff
E
f1ff (I.78)
Na Figura I.9, a Equação I.78 é comparada com outras curvas que fazem
distinção entre os padrões de tensões residuais e o eixo de flexão. Os resultados da
curva do CRC concordam com os das curvas para o eixo de menor inércia para seções
H, porém para a distribuição parabólica de tensões residuais os resultados são mais
representativos do que para a distribuição linear.
Figura I.9 – Curvas de flambagem para perfil de seção H com tensão residual de
compressão nas extremidades dos flanges.38
38 Adaptado: Steel Structures Design and Behavior, C. G. Salmon e J. E. Johnson, 1996.
2
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0 1,0 2,0
Eixo de menor inércia - padrão linear
Eixo de menor inércia - padrão parabólico
Eixo de maior inércia - padrão parabólico
Eixo de maior inércia - padrão linear
Curva de Euler
Curva do CRC
E
f
r
kL2
y
π=λ
ρ
Anexo I
110
Nota-se que a Figura I.9 introduz o índice de esbeltez reduzida 2=λ que
corresponde ao ponto de transição entre o regime elástico e inelástico, considerando que
a máxima tensão residual de compressão da seção transversal, rf , seja igual a yf5,0 .
A Equação I.78 assume, para E
f
r
kL2
y
π=λ , a seguinte forma:
2para
2para
1
41
f
f
2
2
y
cr
>λ⇒
≤λ⇒
λ
λ−
==ρ (I.79)
III...666 CCCUUURRRVVVAAA DDDEEE FFFLLLAAAMMMBBBAAAGGGEEEMMM DDDOOO AAAIIISSSCCC///AAASSSDDD ---“““AAAmmmeeerrriiicccaaannn IIInnnssstttiiitttuuuttteee
ooofff SSSttteeeeeelll CCCooonnnssstttrrruuuccctttiiiooonnn /// AAAllllllooowwwaaabbbllleee SSStttrrreeessssss DDDeeesssiiigggnnn”””
A partir de 1961, o AISC/ASD – “American Institute of Steel Construction/
Allowable Stress Design” passou a utilizar a curva de flambagem do CRC, pórem
devido à presença inevitável das imperfeições geométricas, adotou se um fator de
segurança que representasse a redução, devido a essas imperfeições, na resistência
máxima, dado por:
3
28
1
28
3
3
5FS
λ−
λ+= (I.80)
Esse fator de segurança divide a equação da curva de flambagem para 2≤λ ,
já para a equação da curva de flambagem que corresponde a 2>λ , que é basicamente
a equação de Euler, o fator de segurança (Equação I.80) será dado para 2=λ .
Então, a curva de flambagem do AISC/ASD ficará da seguinte forma:
Anexo I
111
2para
2para
23
12
28
1
28
3
3
5
25,01
f
f
2
3
2
y
cr
>λ⇒
≤λ⇒
λ
λ−
λ+
λ−
==ρ (I.81)
III...777... CCCUUURRRVVVAAASSS DDDEEE FFFLLLAAAMMMBBBAAAGGGEEEMMM DDDOOO SSSSSSRRRCCC ––– “““SSStttrrruuuccctttuuurrraaalll SSStttaaabbbiiillliiitttyyy
RRReeessseeeaaarrrccchhh CCCooouuunnnccciiilll”””
R. Bjorhovde, em 1972, apresentou uma análise da resistência máxima
executada nos bancos de dados disponíveis na literatura para uma estruturação
cuidadosa dos testes executados na Universidade de Lehigh, nos quais foi demonstrado
que o método de análise numérica fornecia um prognóstico exato dos testes. Em
seguida, um conjunto de 112 curvas de flambagem foi gerado para as colunas das quais
a distribuição das tensões residuais era conhecida, assumiu-se que a curvatura inicial
seria da forma senoidal com amplitude máxima de 1/1000 do comprimento da coluna e
que a restrição das extremidades seria nula. Estes perfis incluem o maior perfil usado
para colunas, inclusive perfis laminados e soldados, “leves” e “pesados”. As curvas de
flambagem obtidas representam essencialmente um espectro completo do
comportamento das colunas de aço.
Observou-se que existiam agrupamentos definidos entre as curvas e três
subgrupos foram identificados e para cada subgrupo foi obtida uma curva “média”. As
três curvas resultantes são conhecidas como as curvas de flambagem do SSRC 1, 2, e 3.
As representações algébricas das três curvas de flambagem foram obtidas pelo
ajuste da curva, e as equações resultantes são dadas pelas equações abaixo:
Anexo I
112
� Curvas do SSRC (deterministicas) (I.82)
Curva expressões esbeltez
(1) 00,1=ρ 15,000,0 ≤λ≤
2
36,0122,099,0 λ−λ+=ρ 20,115,0 ≤λ≤
2
801,0051,0 λ+=ρ 80,120,1 ≤λ≤
2
942,0008,0−
λ+=ρ 80,280,1 ≤λ≤
2−
λ=ρ λ≤80,2
(2) 00,1=ρ 15,000,0 ≤λ≤
2
222,0202,0035,1 λ−λ−=ρ 00,115,0 ≤λ≤
21
087,0636,0111,0−−
λ+λ+−=ρ 00,200,1 ≤λ≤
2
877,0009,0−
λ+=ρ 60,300,2 ≤λ≤
2−
λ=ρ λ≤60,3
(3) 00,1=ρ 15,000,0 ≤λ≤
λ−=ρ 622,0093,1 80,015,0 ≤λ≤
21
102,0707,0128,0−−
λ−λ+−=ρ 20,280,0 ≤λ≤
2
792,0008,0−
λ+=ρ 00,520,2 ≤λ≤
2−
λ=ρ λ≤00,5 Estas expressões podem ser representadas também por uma única equação, com
pequenos desvios da ordem de 2,1 % a 3,6%:
( ) 00,14QQ2
1 222
≤λ−−λ
=ρ (I.83)
onde ( ) 215,01Q λ+−λα+=
e ⇒=α 103,0 Curva 1
⇒=α 293,0 Curva 2
⇒=α 622,0 Curva 3
Baseado nas análises probabilísticas da resistência da coluna, Bjorhovde (1972)
também desenvolveu múltiplas curvas de flambagem para uma curvatura inicial no
meio do vão é igual a 1/1470 do comprimento da coluna .
As equações matemáticas que descrevem estas curvas são dadas pelas equações
abaixo:
Anexo I
113
� Curvas do SSRC (probabilísticas) (I.84)
Curva expressões esbeltez
(1P) 00,1=ρ 15,000,0 ≤λ≤
2423,0205,0979,0 λ−λ+=ρ 20,115,0 ≤λ≤
2842,0030,0 −λ+=ρ 80,120,1 ≤λ≤
2881,0018,0 −λ+=ρ 60,280,1 ≤λ≤
2−λ=ρ λ≤ 60,2
(2P) 00,1=ρ 15,000,0 ≤λ≤
2206,0158,0030,1 λ−λ−=ρ 00,115,0 ≤λ≤
21 056,0803,0193,0 −− λ+λ+−=ρ 80,100,1 ≤λ≤
2815,0018,0 −λ+=ρ 20,380,1 ≤λ≤
2 −λ=ρ λ≤ 20,3
(3P) 00,1=ρ 15,000,0 ≤λ≤
λ−=ρ 608,0091,1 80,015,0 ≤λ≤
21 066,0385,0021,0 −− λ+λ+=ρ 00,280,0 ≤λ≤
2900,0005,0 −λ+=ρ 50,400,2 ≤λ≤
2 −λ=ρ λ≤ 50,4
III...888 CCCUUURRRVVVAAASSS DDDEEE FFFLLLAAAMMMBBBAAAGGGEEEMMM DDDAAA CCCSSSAAA ––– “““CCCaaannnaaadddiiiaaannn SSStttaaannndddaaarrrdddsss
AAAssssssoooccciiiaaatttiiiooonnn”””
A CSA – “Canadian Standards Association” adotou o uso da SSRC Curva 2
como a curva de flambagem básica no CSA Standard S16.1-74 “Steel Structures for
Buildings – Dimensionamento pelo Estados Limites”. Em 1980, CSA também adotou a
Anexo I
114
SSRC Curva 1 para seções estruturais tubulares, perfis formados a frio e tensões
aliviadas .
III...999 CCCUUURRRVVVAAA DDDEEE FFFLLLAAAMMMBBBAAAGGGEEEMMM DDDOOO AAAIIISSSCCC///LLLRRRFFFDDD --- “““AAAmmmeeerrriiicccaaannn
IIInnnssstttiiitttuuuttteee ooofff SSSttteeeeeelll CCCooonnnssstttrrruuuccctttiiiooonnn /// LLLoooaaaddd aaannnddd RRReeesssiiissstttaaannnccceee FFFaaaccctttooorrr DDDeeesssiiigggnnn”””
No desenvolvimento do “Load and Resistance Factor Design”, o AISC deciciu
continuar a utilizar apenas uma curva de flambagem .Uma única equação que ajustasse
a Curva 2P foi estabelecida para refletir uma curvatura inicial igual a L/1500.
Para colunas longas, a equação de Euler é multiplicada por um fator de
segurança ( 877,092,167,1FS == )
A curva de flambagem é dada pela seguinte equação:
5,1para
5,1para
877,0
e
f
f
2
2419,0
y
cr
>λ⇒
≤λ⇒
λ
==ρ
λ−
(I.85)
Anexo II
115
IIIIII...111 DDDEEESSSEEENNNVVVOOOLLLVVVIIIMMMEEENNNTTTOOO DDDAAASSS EEEQQQUUUAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS DDDAAASSS TTTEEENNNSSSÕÕÕEEESSS DDDOOO
DDDIIIAAAGGGRRRAAAMMMAAA TTTEEENNNSSSÃÃÃOOO---DDDEEEFFFOOORRRMMMAAAÇÇÇÃÃÃOOO
Neste anexo, as equações apresentadas no Capítulo 2 serão deduzidas, de acordo
com o trabalho de Huber e Beedle (1954).
Com base na nomenclatura apresentada na Figura II.1.
Figura II.1 - Distribuição de tensões residuais numa seção transversal de um perfil H
laminado.39
De acordo com a Figura II.1, temos:
⇒rcf Tensão residual de compressão nas extremidades dos flanges;
⇒rof Tensão residual de tração no meio do flange;
⇒rtf Tensão residual de tração nas extremidades da alma;
⇒rwf Tensão residual de compressão no meio da alma;
⇒orxf Tensão residual de compressão no ponto ox ;
⇒ox Distância do centro da área elástica dos flanges até a área plástica;
⇒oryf Tensão residual de compressão no ponto oy ;
⇒oy Distância do centro da área plástica da alma até a área elástica.
39 Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954.
b
h h
f
ft
tw
+ -
+-
frt
yoo
fry
fryo
frw
f rc
f ro
f
fo
y
o
y
x
x
x
rx
rx
Anexo II
116
IIIIII...111...111 PPPRRRIIIMMMEEEIIIRRROOO EEESSSCCCOOOAAAMMMEEENNNTTTOOO
Figura II.2 – Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado – Flanges
parcialmente escoados.40
Sendo a carga aplicada na seção transversal igual a:
almap
flangese
flangesp NNNN ∆+∆+∆=
onde:
( ) ( )dxfft4dxt4ffN2fb
ox
rxyff
2fb
ox
rxyflangesp ∫∫ −=−=∆
( )orxyof
flangese ffxt4N −=∆
40 Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954.
ox
o
wt
tf
f
hh
b
y
x
x
yf
f
yf
ab
c dorx(f - f )y
rtf
rwf
rt
yf
f
yf
rxf
orxf
f rc
f ro
Tensão aplicada
Tensões residuais
Deformação Total
Anexo II
117
( )oxyw
almap frfhtN −=∆
A carga aplicada será:
( ) ( ) ( )orxyworxyof
2b
ox
rxyf ffhtffxt4dxfft4N −+−+−= ∫
Dividindo a equação acima por (A),
( ) ( )( ) ( )Affhtxt4dxfft4Norxywof
2b
ox
rxyf ÷−+−= ∫
teremos:
( ) ( )( )orxy
eA
wof2fb
ox
rxyf
1 ffA
htxt4dxff
A
t4
A
Nf −
++−== ∫
44 844 76
Ae é a área que permanece elástica.
A equação abaixo representa a tensão total quando as extremidades dos flanges
estão parcialmente escoadas.
orxe
2fb
ox
rxf
y1 fA
Adxf
A
t4ff −−= ∫
Anexo II
118
IIIIII...111...222 SSSEEEGGGUUUNNNDDDOOO EEESSSCCCOOOAAAMMMEEENNNTTTOOO
Figura II.3 – Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado – Flanges
parcialmente escoados e alma começando a escoar.41
Sendo a carga aplicada na seção transversal igual a:
almap
flangese
flangesp NNNN ∆+∆+∆=
onde:
( ) ( )dxfft4dxt4ffN2fb
ox
rxyff
2fb
ox
rxyflangesp ∫∫ −=−=∆
( )wyofflangese frfxt4N −=∆
41 Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954.
yf
f
rtf
rwf
rt
yf
f
yf
x
ox
x
o
wt
tf
f
hh
b
y
yf
a
b
c d
orxf
rxf
f rc
f roTensões residuais
Deformação Total
Tensão aplicada
Anexo II
119
( )wywalmap frfhtN −=∆
A carga aplicada será:
( ) ( ) ( )rwywrwyof
2fb
ox
rxyf ffhtffxt4dxfft4N −+−+−= ∫
Dividindo a equação acima por (A),
( ) ( )( ) ( )Affhtxt4dxfft4N rwywof
2fb
ox
rxyf ÷−++−= ∫
teremos,
( ) ( ) ( )rwy
eA
wof2fb
ox
rxyf
2 ffA
htxt4dxff
A
t4
A
Nf −
++−== ∫
44 844 76
Ae é a área que permanece elástica.
A equação abaixo representa a tensão total quando as extremidades dos flanges
estão parcialmente escoadas e a alma começa a escoar.
rwe
2fb
ox
rxf
y2 fA
Adxf
A
t4ff −−= ∫
Anexo II
120
IIIIII...111...333 TTTEEERRRCCCEEEIIIRRROOO EEESSSCCCOOOAAAMMMEEENNNTTTOOO
Figura II.4 - Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado – Flanges e alma
parcialmente escoados.42
Sendo a carga aplicada na seção transversal igual a:
almae
almap
flangese
flangesp NNNNN ∆+∆+∆+∆=
onde:
( ) ( )dxfft4dxt4ffN2fb
ox
rxyff
2fb
ox
rxyflangesp ∫∫ −=−=∆
( )orxyof
flangese ffxt4N −=∆
( )( )orxyow
almap ffy2htN −−=∆
42 Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954.
yf
f
rtf
rwf
rt
yf
f
x
y
ox
x
orxf
rxf
rof
rcf
ooy
-+
wt
tf
f
hh
b
y
y
yf
cd
e f
fryo
fry
f
Tensões residuais
Deformação Total
Tensão aplicada
Anexo II
121
( ) ( )dyfft2dyt2ffNoy
o
ryyww
oy
o
ryyalmae ∫∫ −=−=∆
A carga aplicada será:
( ) ( ) ( )[ ]( )orxyowof
oy
0
ryyw
2fb
ox
rxyf ffy2htxt4dyfft2dxfft4N −−++−+−= ∫∫
Dividindo a equação acima por (A),
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )Affy2htxt4dyfft2dxfft4Norxyowof
oy
0
ryyw
2fb
ox
rxyf ÷−−++−+−= ∫∫
teremos,
( ) ( ) ( )[ ]( )orxy
eA
owofoy
0
ryyw
2fb
ox
rxyf
3 ffA
y2htxt4dyff
A
t2dxff
A
t4
A
Nf −
−++−+−== ∫∫
4444 84444 76
Ae é a área que permanece elástica.
A equação abaixo representa a tensão total quando as extremidades dos flanges e
a alma estão parcialmente escoadas.
( )orx
eoy
0
ryyw
2fb
ox
rzf
y3 fA
Adyff
A
t2dxf
A
t4ff −−−−= ∫∫
Anexo II
122
IIIIII...111...444 QQQUUUAAARRRTTTOOO EEESSSCCCOOOAAAMMMEEENNNTTTOOO
Figura II.5 - Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado – Flanges
completamente escoados e alma parcialmente escoada.43
Sendo a carga aplicada na seção transversal igual a:
almae
almap
flangesp PPPP ∆+∆+∆=
onde:
( ) ( )dxfft4dxt4ffN2fb
0
rxyff
2fb
0
rxyflangesp ∫∫ −=−=∆
( )( )oyowalmap frfy2htN −−=∆
43 Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954.
yf
f
rtf
rwf
rt
yf
frof
rcf -+
y
o
oy
wt
tf
f
hh
b
yf
yf
c d
e f
fryo
fry
y
x
Tensões
residuais
Deformação Total
Tensão aplicada
Anexo II
123
( ) ( )dyfrft2dyt2frfNoy
0
yyww
oy
0
yyalmae ∫∫ −=−=∆
A carga aplicada será:
( ) ( ) ( )( )oyow
oy
0
yyw
2fb
0
rzyf frfy2htdyfrft2dzfft4N −−+−+−= ∫∫
Dividindo a equação acima por (A),
( ) ( ) ( )( ) ( )Afrfy2htdyfrft2dzfft4N oyow
oy
0
yyw
2fb
0
zyf ÷−−+−+−= ∫∫
teremos,
( ) ( ) ( )[ ]( )roy
eA
owoy
0
ryyw
2fb
0
rxyf
4 ffA
y2htdyff
A
t2dxff
A
t4
A
Nf −
−+−+−== ∫∫
44 844 76
Ae é a área que permanece elástica.
A equação abaixo representa a tensão total quando as extremidades dos flanges
estão completamente escoadas e a alma parcialmente escoada.
( ) roe
oy
0
ryyw
2fb
0
rxf
y4 fA
Adyff
A
t2dxf
A
t4ff −−−−= ∫∫
Anexo II
124
IIIIII...111...555 QQQUUUIIINNNTTTOOO EEESSSCCCOOOAAAMMMEEENNNTTTOOO
Figura II.6 - Distribuição de tensões e deformações no perfil laminado – Seção
completamente escoada.44
A equação abaixo representa a tensão total quando a seção transversal está
completamente escoada.
y5 ff =
44 Adaptado: Residual stress and compressive strength of steel, Huber, A.W.; Beedle, L.S., 1954.
yf
f
rtf
rwf
rt
yf
frof
rcf -+
yf
o
wt
tf
f
hh
byf
x
y
Tensões residuais
Deformação Total
Tensão aplicada
Anexo II
125
IIIIII...222 DDDEEESSSEEENNNVVVOOOLLLVVVIIIMMMEEENNNTTTOOO DDDAAASSS EEEQQQUUUAAAÇÇÇÕÕÕEEESSS DDDAAASSS TTTEEENNNSSSÕÕÕEEESSS
WWW111555000xxx222222,,,555
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 8266,6x2974,0xf 2 +−=
( ) 3375,7y2672,0yw 2 −=
-10,35
-6,05
-1,75
2,56
6,86
-7,7 -3,85 0 3,85 7,7
f(x)
x
-7,53
-3,765
0
3,765
7,53
-8,35 -4,55 -0,75 3,06 6,86
y
w(y
)
Anexo II
126
WWW111555000xxx333777,,,111
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 8560,6x2902,0xf 2 +−=
( ) 3514,8y2682,0yw 2 −=
-10,35
-6,05
-1,75
2,56
6,86
-7,7 -3,85 0 3,85 7,7
f(x)x
-7,53
-3,765
0
3,765
7,53
-8,35 -4,55 -0,75 3,06 6,86
y
w(y
)
Anexo II
127
WWW222000000xxx444666,,,111
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 0116,7x1685,0xf 2 +−=
( ) 4392,9y1785,0yw 2 −=
-10,35
-6,01
-1,67
2,67
7,01
-10,15 -5,075 0 5,075 10,15
f(x)x
-9,6
-4,8
0
4,8
9,6
-9,44 -5,33 -1,22 2,90 7,01
y
w(y
)
Anexo II
128
HHHPPP222000000xxx555333,,,000
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 8802,6x1608,0xf 2 +−=
( ) 1114,7y1513,0yw 2 −=
-10,35
-6,01
-1,67
2,67
7,01
-10,35 -5,175 0 5,175 10,35
f(x)x
-9,6
-4,8
0
4,8
9,6
-9,44 -5,33 -1,22 2,90 7,01
y
w(y
)
Anexo II
129
WWW222555000xxx888000,,,000
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 0529,7x1070,0xf 2 +−=
( ) 1326,10y1187,0yw 2 −=
-10,35
-6,01
-1,67
2,67
7,01
-13 -6,5 0 6,5 13
f(x)x
-12
-6
0
6
12
-12,00 -6,00 0,00 6,00 12,00
y
w(y
)
Anexo II
130
HHHPPP222555000xxx888555,,,000
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 9171,6x1022,0xf 2 +−=
( ) 2426,7y0988,0yw 2 −=
-10,35
-6,01
-1,67
2,67
7,01
-13 -6,5 0 6,5 13
f(x)x
-12
-6
0
6
12
-12,00 -6,00 0,00 6,00 12,00
y
w(y
)
Anexo II
131
WWW222555000xxx888999,,,000
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 0309,7x1061,0xf 2 +−=
( ) 8563,9y1150,0yw 2 −=
-10,35
-6,01
-1,67
2,67
7,01
-13 -6,5 0 6,5 13
f(x)x
-13
-6,5
0
6,5
13
-12,00 -6,00 0,00 6,00 12,00
y
w(y
)
Anexo II
132
WWW333111000xxx111000777,,,000
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 9590,6x0739,0xf 2 +−=
( ) 2714,9y0751,0yw 2 −=
-10,35
-6,01
-1,67
2,67
7,01
-15,5 -7,75 0 7,75 15,5
f(x)x
-15
-9
-3
3
9
15
-12,00 -6,00 0,00 6,00 12,00
y
w(y
)
Anexo II
133
WWW333111000xxx111111777,,,000
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 9524,6x0734,0xf 2 +−=
( ) 2758,9y0742,0yw 2 −=
-10,35
-6,01
-1,67
2,67
7,01
-15,5 -7,75 0 7,75 15,5
f(x)x
-15,0
-9,0
-3,0
3,0
9,0
15,0
-12,0 -6,0 0,0 6,0 12,0
y
w(y
)
Anexo II
134
WWW333666000xxx111222222,,,000
Distribuição de tensões residuais nos flanges
Distribuição de tensões residuais na alma
( ) 9393,5x0986,0xf 2 +−=
( ) 8887,4y0371,0yw 2 −=
-10,35
-6,01
-1,67
2,67
7,01
-13,0 -6,5 0,0 6,5 13,0
f(x)x
-18,0
-9,0
0,0
9,0
18,0
-6,0 -3,0 0,0 3,0 6,0
y
w(y
)
Anexo II
135
IIIIII...333... DDDIIIAAAGGGRRRAAAMMMAAA TTTEEENNNSSSÃÃÃOOO---DDDEEEFFFOOORRRMMMAAAÇÇÇÃÃÃOOO
WWW111555000xxx222222,,,555
WWW111555000xxx333777,,,111
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006
fp 24,15 εεεεp 0,001150
f1 25,52 εεεε1 0,001219
f2 27,05 εεεε2 0,001316
f3 29,96 εεεε3 0,001543
f4 34,09 εεεε4 0,003538
f5 34,50 εεεε5 0,003557
f6 34,50 εεεε6 0,005057
ε (cm/cm)
f (kN/cm2)
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007
fp 24,15 εεεεp 0,001150
f1 24,19 εεεε1 0,001152
f2 26,30 εεεε2 0,001290
f3 29,87 εεεε3 0,001606
f4 34,28 εεεε4 0,004914
f5 34,50 εεεε5 0,004925
f6 34,50 εεεε6 0,006425
f (kN/cm2)
ε (cm/cm)
Anexo II
136
WWW222000000xxx444666,,,111
HHHPPP222000000xxx555333,,,000
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008
fp 24,15 εεεεp 0,001150
f1 24,38 εεεε1 0,001161
f2 25,42 εεεε2 0,001230
f3 28,87 εεεε3 0,001505
f4 34,28 εεεε4 0,005855
f5 34,50 εεεε5 0,005866
f6 34,50 εεεε6 0,007366
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006
fp 24,15 εεεεp 0,001150
f1 25,60 εεεε1 0,001220
f2 27,14 εεεε2 0,001317
f3 28,94 εεεε3 0,001453
f4 34,21 εεεε4 0,004384
f5 34,50 εεεε5 0,004398
f6 34,50 εεεε6 0,005898
f (kN/cm2)
f (kN/cm2)
ε (cm/cm)
ε (cm/cm)
Anexo II
137
WWW222555000xxx888000,,,000
HHHPPP222555000xxx888555,,,000
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
fp 24,15 εεεεp 0,001150
f1 24,25 εεεε1 0,001155
f2 24,33 εεεε2 0,001160
f3 27,90 εεεε3 0,001412
f4 34,30 εεεε4 0,007140
f5 34,50 εεεε5 0,007150
f6 34,50 εεεε6 0,008650
f (kN/cm2)
ε (cm/cm)
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006
fp 24,15 εεεεp 0,001150
f1 24,26 εεεε1 0,001155
f2 27,08 εεεε2 0,001335
f3 30,21 εεεε3 0,001606
f4 34,22 εεεε4 0,003918
f5 34,50 εεεε5 0,003931
f6 34,50 εεεε6 0,005431
ε (cm/cm)
f (kN/cm2)
Anexo II
138
WWW222555000xxx888999,,,000
WWW333111000xxx111000777,,,000
ε 0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007
fp 24,150 εεεεp 0,001150
f1 25,378 εεεε1 0,001212
f2 25,573 εεεε2 0,001224
f3 30,434 εεεε3 0,001712
f4 34,275 εεεε4 0,004777
f5 34,500 εεεε5 0,004788
f6 34,500 εεεε6 0,006288
f (kN/cm2)
ε (cm/cm)
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008
fp 24,15 εεεεp 0,00115
f1 24,32 εεεε1 0,00116
f2 25,12 εεεε2 0,00121
f3 30,24 εεεε3 0,00170
f4 34,34 εεεε4 0,00572
f5 34,50 εεεε5 0,00573
f6 34,50 εεεε6 0,00723
f (kN/cm2)
ε (cm/cm)
Anexo II
139
WWW333111000xxx111111777,,,000
WWW333666000xxx111222222,,,000
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
fp 24,150 εεεεp 0,00115
f1 25,819 εεεε1 0,00123
f2 29,285 εεεε2 0,00146
f3 30,902 εεεε3 0,00161
f4 34,229 εεεε4 0,00338
f5 34,500 εεεε5 0,00339
f6 34,50 εεεε6 0,00489
f (kN/cm2)
ε (cm/cm)
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007
fp 24,15 εεεεp 0,00115
f1 24,76 εεεε1 0,00118
f2 25,58 εεεε2 0,00123
f3 30,48 εεεε3 0,00173
f4 34,30 εεεε4 0,00495
f5 34,50 εεεε5 0,00496
f6 34,50 εεεε6 0,00646
f (kN/cm2)
ε (cm/cm)
Anexo III
140
III.1. TABELAS
Nas tabelas a seguir apresentam-se as cargas críticas teóricas obtidas através das
curvas de flambagem recomendadas pela NBR8800/86 e o Eurocode 3, os comprimentos
efetivos de cada modelo estudado com seus respectivos índices de esbeltez e também as
cargas críticas numéricas obtidas nas análises para a flambagem com relação aos eixos
principais de inércia.
WWW111555000XXX222222,,,555
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 1000,50 1000,50 1000,50 1000,50 57,0 15,6 933,47 102,0 15,7 960,48
0,4 897,77 926,54 866,67 898,38 113,0 30,9 836,42 202,0 31,0 870,44
0,6 785,78 837,48 769,39 816,66 169,0 46,3 760,38 302,0 46,4 790,40
0,8 662,49 724,82 660,39 714,25 225,0 61,6 697,35 402,0 61,7 708,35
1,0 540,21 597,32 546,81 595,49 282,0 77,3 605,30 504,0 77,4 640,32
1,2 433,99 478,37 443,47 480,95 340,0 93,2 496,25 604,0 92,8 524,26
1,4 349,39 381,89 358,67 385,74 396,0 108,5 400,20 704,0 108,1 423,21
1,6 284,36 308,06 292,43 311,87 452,0 123,8 323,16 806,0 123,8 339,17
1,8 234,63 252,18 241,36 255,55 508,0 139,2 264,13 906,0 139,2 276,14
2,0 196,28 209,57 201,83 212,42 566,0 155,1 217,11 1008,0 154,8 228,11
2,2 166,32 176,59 170,89 178,99 622,0 170,4 183,09 1108,0 170,2 191,10
2,4 142,58 150,66 146,36 152,68 678,0 185,7 152,08 1210,0 185,9 161,08
Anexo III
141
WWW111555000XXX333777,,,111
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 1638,75 1638,75 1638,75 1638,75 60,0 15,6 1597,78 108,0 15.8 1630,56
0,4 1470,48 1517,60 1419,54 1471,48 118,0 30,7 1481,43 212,0 30,9 1540,43
0,6 1287,05 1371,73 1260,21 1337,64 178,0 46,3 1348,69 316,0 46,1 1417,52
0,8 1085,11 1187,20 1081,68 1169,89 238,0 61,9 1214,31 424,0 61,9 1242,17
1,0 884,83 978,37 895,64 975,37 298,0 77,6 1032,41 532,0 77,7 1081,58
1,2 710,84 783,53 726,37 787,76 358,0 93,2 834,12 638,0 93,1 891,48
1,4 572,28 625,51 587,48 631,82 418,0 108,8 663,69 744,0 108,6 717,77
1,6 465,77 504,58 478,98 510,82 476,0 123,9 534,23 852,0 124,4 573,56
1,8 384,31 413,06 395,33 418,57 536,0 139,6 434,27 958,0 139,8 467,04
2,0 321,50 343,25 330,58 347,94 596,0 155,2 358,89 1064,0 155,3 385,11
2,2 272,43 289,24 279,91 293,17 656,0 170,8 301,53 1170,0 170,8 322,83
2,4 233,53 246,78 239,73 250,07 714,0 185,9 258,92 1276,0 186,3 273,67
Anexo III
142
WWW222000000xxx444666,,,111
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 2021,70 2021,70 2021,70 2021,70 80,0 15,6 1910,51 138,0 15,7 1971,16
0,4 1814,11 1872,24 1751,26 1815,35 158,0 30,8 1675,99 272,0 30,9 1724,51
0,6 1587,81 1692,28 1554,70 1650,23 238,0 46,5 1568,84 408,0 46,3 1637,58
0,8 1338,68 1464,63 1334,45 1443,28 318,0 62,1 1419,23 544,0 61,7 1461,69
1,0 1091,59 1207,00 1104,93 1203,30 398,0 77,7 1235,26 680,0 77,2 1304,00
1,2 876,95 966,63 896,11 971,85 478,0 93,4 1010,85 818,0 92,8 1075,54
1,4 706,02 771,68 724,77 779,47 556,0 108,6 814,75 954,0 108,3 867,31
1,6 574,61 622,49 590,91 630,19 636,0 124,2 653,01 1090,0 123,7 697,49
1,8 474,11 509,59 487,71 516,38 716,0 139,8 531,71 1226,0 139,2 568,10
2,0 396,62 423,47 407,83 429,24 794,0 155,1 442,75 1364,0 154,8 464,99
2,2 336,09 356,83 345,32 361,68 874,0 170,7 371,99 1500,0 170,3 390,19
2,4 288,11 304,44 295,75 308,51 954,0 186,4 307,30 1636,0 185,7 331,56
Anexo III
143
HHHPPP222000000xxx555333,,,000
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 2349,45 2349,45 2349,45 2349,45 78,0 15,7 2243,72 134,0 15,7 2304,81
0,4 2108,21 2175,76 2035,17 2109,64 154,0 31,0 2055,77 264,0 30,9 2255,47
0,6 1845,22 1966,63 1806,74 1917,75 230,0 46,4 1867,81 396,0 46,3 1926,55
0,8 1555,70 1702,07 1550,79 1677,26 306,0 61,7 1693,95 528,0 61,7 1738,59
1,0 1268,56 1402,68 1284,06 1398,37 384,0 77,4 1456,66 660,0 77,2 1545,94
1,2 1019,12 1123,33 1041,39 1129,40 460,0 92,7 1193,52 792,0 92,6 1285,15
1,4 820,47 896,78 842,27 905,84 538,0 108,5 951,53 926,0 108,3 1024,36
1,6 667,76 723,40 686,71 732,35 614,0 123,8 765,92 1060,0 123,9 817,61
1,8 550,97 592,20 566,77 600,10 692,0 139,5 620,25 1194,0 139,7 662,54
2,0 460,92 492,12 473,94 498,83 768,0 154,8 514,53 1328,0 155,3 542,72
2,2 390,57 414,68 401,30 420,31 844,0 170,2 422,90 1460,0 170,8 453,44
2,4 334,82 353,80 343,70 358,53 922,0 185,9 359,47 1592,0 186,2 385,31
Anexo III
144
WWW222555000xxx888000,,,000
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 3515,55 3515,55 3515,55 3515,55 102,0 15,7 3367,90 174,0 15,7 3501,49
0,4 3154,58 3255,66 3045,28 3156,72 202,0 31 3076,11 342,0 30,8 3374,93
0,6 2761,06 2942,72 2703,48 2869,59 302,0 46,4 2882,75 512,0 46,2 3040,95
0,8 2327,84 2546,86 2320,49 2509,73 402,0 61,7 2443,31 684,0 61,6 2489,01
1,0 1898,18 2098,86 1921,37 2092,43 504,0 77,4 2130,42 858,0 77,3 2228,86
1,2 1524,94 1680,88 1558,26 1689,95 606,0 93,1 1757,78 1030,0 92,8 1877,30
1,4 1227,70 1341,88 1260,31 1355,43 708,0 108,7 1409,74 1202,0 108,3 1515,20
1,6 999,19 1082,45 1027,54 1095,84 808,0 124,1 1139,04 1374,0 123,8 1216,38
1,8 824,44 886,12 848,08 897,95 908,0 139,5 928,11 1546,0 139,3 991,39
2,0 689,69 736,37 709,17 746,42 1008,0 154,8 769,91 1718,0 154,8 815,61
2,2 584,43 620,49 600,48 628,93 1110,0 170,5 646,86 1890,0 170,3 685,53
2,4 500,99 529,40 514,29 536,47 1210,0 185,9 551,94 2062,0 185,8 583,58
Anexo III
145
HHHPPP222555000xxx888555,,,000
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 3743,25 3743,25 3743,25 3743,25 98 15,7 3630,95 166 15,6 3732,02
0,4 3358,90 3466,52 3242,53 3361,18 194 31,1 3443,79 326 30,6 3574,80
0,6 2939,89 3133,32 2878,58 3055,45 290 46,5 3065,72 492 46,2 3121,87
0,8 2478,61 2711,81 2470,79 2672,28 386 61,9 2743,80 658 61,8 2807,44
1,0 2021,13 2234,81 2045,82 2227,95 482 77,2 2343,27 824 77,4 2455,57
1,2 1623,71 1789,75 1659,18 1799,41 578 92,6 1909,06 990 93 2017,61
1,4 1307,22 1428,79 1341,94 1443,22 676 108,3 1516,02 1156 108,6 1617,08
1,6 1063,91 1152,56 1094,09 1166,82 774 124 1205,33 1322 124,2 1295,16
1,8 877,84 943,52 903,01 956,10 872 139,7 984,47 1488 139,8 1048,11
2,0 734,36 784,07 755,11 794,76 968 155,1 816,03 1652 155,3 864,69
2,2 622,28 660,68 639,37 669,66 1064 170,5 699,99 1816 170,7 722,45
2,4 533,44 563,69 547,60 571,22 1160 185,9 587,69 1980 186,1 617,64
Anexo III
146
WWW222555000xxx888999,,,000
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 3929,55 3929,55 3929,55 3929,55 102,0 15,6 3764,51 174,0 15,6 3925,62
0,4 3526,07 3639,05 3403,90 3528,46 202,0 31,0 3575,89 344,0 30,8 3693,78
0,6 3086,21 3289,27 3021,84 3207,52 302,0 46,3 3332,26 518,0 46,3 3399,06
0,8 2601,97 2846,78 2593,76 2805,28 402,0 61,7 2833,21 692,0 61,9 2884,29
1,0 2121,72 2346,03 2147,64 2338,84 504,0 77,3 2420,60 866,0 77,5 2495,26
1,2 1704,52 1878,82 1741,76 1888,97 606,0 92,9 1968,70 1040,0 93 2063,01
1,4 1372,27 1499,90 1408,73 1515,05 708,0 108,6 1571,82 1214,0 108,6 1677,92
1,6 1116,86 1209,92 1148,54 1224,89 810,0 124,2 1261,39 1388,0 124,1 1351,77
1,8 921,52 990,48 947,95 1003,69 912,0 139,9 1029,54 1562,0 139,7 1096,34
2,0 770,91 823,09 792,69 834,32 1012,0 155,2 856,64 1736,0 155,3 903,80
2,2 653,25 693,56 671,19 702,99 1112,0 170,5 723,04 1910,0 170,8 758,40
2,4 559,99 591,75 574,85 599,65 1212,0 185,9 616,94 2084,0 186,4 640,52
Anexo III
147
WWW333111000xxx111000777,,,000
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 4705,80 4705,80 4705,80 4705,80 120,0 15,5 4446,98 210,0 15,6 4630,51
0,4 4222,61 4357,92 4076,32 4225,48 240,0 31,1 4282,28 420,0 31,1 4517,57
0,6 3695,86 3939,03 3618,78 3841,14 360,0 46,6 3759,93 630,0 46,7 3882,29
0,8 3115,97 3409,14 3106,13 3359,44 480,0 62,2 3388,18 840,0 62,3 3463,47
1,0 2540,85 2809,47 2571,89 2800,85 600,0 77,7 2889,36 1050,0 77,8 2978,77
1,2 2041,23 2249,97 2085,83 2262,12 720,0 93,3 2414,08 1250,0 92,7 2494,07
1,4 1643,36 1796,19 1687,01 1814,33 840,0 108,8 1882,32 1460,0 108,2 2023,49
1,6 1337,48 1448,93 1375,43 1466,85 960,0 124,3 1510,56 1670,0 123,8 1623,50
1,8 1103,56 1186,14 1135,21 1201,96 1080,0 139,9 1232,92 1880,0 139,4 1312,92
2,0 923,20 985,68 949,28 999,13 1198,0 155,2 1025,86 2090,0 154,9 1082,33
2,2 782,29 830,57 803,78 841,86 1316,0 170,5 865,87 2300,0 170,5 908,22
2,4 670,61 708,64 688,41 718,11 1434,0 185,7 738,81 2510,0 186,1 771,75
Anexo III
148
WWW333111000xxx111111777,,,000
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 5171,55 5171,55 5171,55 5171,55 122,0 15,7 4944,00 212,0 15,6 5150,86
0,4 4640,54 4789,23 4479,77 4643,69 242,0 31,1 4716,45 416,0 30,7 4887,11
0,6 4061,66 4328,89 3976,95 4221,31 362,0 46,6 4240,67 626,0 46,2 4318,24
0,8 3424,37 3746,55 3413,56 3691,93 482,0 62,1 3733,86 836,0 61,6 3801,09
1,0 2792,32 3087,54 2826,44 3078,06 602,0 77,6 3180,50 1046,0 77,1 3309,79
1,2 2243,26 2472,65 2292,27 2486,01 722,0 93,0 2590,95 1256,0 92,6 2746,09
1,4 1806,01 1973,97 1853,98 1993,90 842,0 108,5 2073,79 1468,0 108,3 2228,94
1,6 1469,86 1592,34 1511,56 1612,03 962,0 123,9 1670,41 1678,0 123,7 1794,53
1,8 1212,79 1303,53 1247,57 1320,92 1082,0 139,4 1360,12 1888,0 139,2 1453,21
2,0 1014,57 1083,24 1043,23 1098,01 1202,0 154,9 1132,57 2098,0 154,7 1199,80
2,2 859,72 912,78 883,33 925,18 1322,0 170,4 951,57 2308,0 170,2 1003,28
2,4 736,99 778,78 756,54 789,18 1442,0 185,8 791,25 2518,0 185,7 853,31
Anexo III
149
WWW333666000XXX111222222,,,000
Eurocode 3 NBR 8800
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
Menor inércia
Maior inércia
λλλλ
cN
(kN)
bN
(kN)
cN
(kN)
bN
(kN)
yL
(cm) yλλλλ
numN
(kN)
xL
(cm) xλλλλ
numN
(kN)
0,2 5357,85 5357,85 5357,85 5357,85 98,0 15,6 5357,85 238,0 15,5 5357,85
0,4 4807,71 4961,76 4641,14 4810,97 196,0 31,2 5063,17 478,0 31,1 5336,42
0,6 4207,97 4484,84 4120,21 4373,38 294,0 46,7 4891,72 718,0 46,8 5073,88
0,8 3547,73 3881,52 3536,53 3824,93 392,0 62,3 4463,09 948,0 61,7 4672,05
1,0 2892,91 3198,76 2928,26 3188,95 488,0 77,6 3996,96 1188,0 77,4 4120,19
1,2 2324,07 2561,73 2374,85 2575,56 584,0 92,8 3412,95 1428,0 93 3600,48
1,4 1871,06 2045,08 1920,77 2065,73 682,0 108,4 2770,01 1668,0 108,7 2957,53
1,6 1522,81 1649,70 1566,01 1670,11 780,0 124 2293,16 1908,0 124,3 2346,74
1,8 1256,48 1350,49 1292,51 1368,51 878,0 139,6 1757,37 2138,0 139,3 1869,89
2,0 1051,12 1122,26 1080,81 1137,57 976,0 155,2 1425,19 2378,0 154,9 1521,63
2,2 890,69 945,66 915,15 958,51 1074,0 170,7 1178,73 2618,0 170,5 1253,74
2,4 763,54 806,83 783,80 817,61 1172,0 186,3 991,20 2858,0 186,2 1039,42