REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DISCONTÍNUAS MEDIANTE ECUACIONES PARAMÉTRICAS EXACTAS, CERRADAS Y
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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DISCONTÍNUAS MEDIANTE ECUACIONES PARAMÉTRICAS EXACTAS, CERRADAS Y CONTÍNUAS Enrique Chicurel-Uziel
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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DISCONTÍNUAS MEDIANTE ECUACIONES PARAMÉTRICAS EXACTAS, CERRADAS Y CONTÍNUAS Enrique Chicurel-Uziel. J. W. Gibbs 1839-1903. MOTIVACIÓN. Cuando una función discontínua se expande en series de Fourier , aparecen - PowerPoint PPT Presentation
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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DISCONTÍNUAS
MEDIANTE ECUACIONES PARAMÉTRICAS EXACTAS, CERRADAS Y
CONTÍNUAS
Enrique Chicurel-Uziel
Cuando una función discontínua se expande en series de Fourier, aparecen
oscilaciones espurias en los puntos de discontinuidad introduciendo un error de 9%
que no disminuye por más que se aumente el número de términos de la serie. Esto se
conoce como el fenómeno de Gibbs.
MOTIVACIÓN
J. W. Gibbs1839-1903J. Fourier
1768-1830
1913, L. Fejér, desarrolla su método de promedios.
1913 a la fecha, Muchos investigadores proponen una gran variedad de métodos que van disminuyendo la gravedad de los efectos del fenómeno de Gibbs.
1942, G. C. Danielson, C. Lanczos, método de factores σ, muy citado por investigadores posteriores.
Hacia 1990 surge un grupo encabezado por D. Gottlieb en la Universidad de Brown que, entre otros métodos, propone uno que utiliza los polinomios de Gegenbauer.
2003, Aparece el artículo:
B. D. Shizgal, Jae-Hun Jung, Towards the resolution of the Gibbs Phenomena, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 161, No. 1, 2003, pp. 41-65. que utiliza el método inverso de los polinomios de Gegenbauer.
Durante un tiempo se consideró que el problema del fenómeno de Gibbs había quedado totalmente resuelto por este método.
2005, Aparece el artículo: J.P. Boyd, Trouble with the Gegenbauer reconstruction for defeating Gibbs´ phenomenon in the diagonal limit of Gegenbauer polynomial approximations, Journal of Computational Physics, Vol. 204, No.1, 2005, pp. 253-264
que señala serias limitaciones del método de los polinomios de Gegenbauer
Sin embargo…
En todos los métodos anteriores primero se establece la serie de Fourier y después, la misma, se reconstruye.
Es decir que se trata de un post procesamiento.
En este trabajo se utiliza un enfoque totalmente diferente.
Si el problema es la discontinuidad,
eliminémosla
pero, sin alterar las características básicas de la función
Escalón unitario de Heaviside
h(x,a) = 0 x < ah(x,a) = 1 x ≥ a
h(x,a) se utilizará como un “switch” para prender o apagar funciones
O. Heaviside1850-1925
Ejemplo: función DISCONTíNUA
y(x) = 2 + 0.5(x-3) 2 3 ≤ x<7
y(x) = 4 7 ≤ x < 11
Se puede representar con una sola ecuación:
y(x) = [ h(x,3) – h(x,7) ] [ 2 + 0.5(x-3) 2 ] + [ h(x,7) – h(x,11) ] (4)
Vínculos
Para darle existencia analítica a los vínculos recurrimos a la PARAMETRIZACIÓN
2 4 6 8 10 12x
2
4
6
8
10
12y
.
°
u=2 u=6
u=6
u=10
El parámetro ues la distancia a lo largo del desplazamiento de las coordenadas:
u=0
desplazamientos en x de las funciones componentes másdesplazamientos en y de los vínculos
5 10 15 20u
2
4
6
8
10
yu5 10 15 20
u
2
4
6
8
10
12
xu5 10 15 20
u
2
4
6
8
10
12
xu
2 4 6 8 10 12x
2
4
6
8
10
12yx b
a
b
c
de
f
Funciones paramétricas CONTÍNUAS
u=2
2
2
u=6
6
6
u=6
u=12
12
12
u=16
16
16
u=20
a
a
b
b
c
c
d
d
e
e
f
f
Función vinculada
Coordenada vs parámetro, C vs P
Establecimiento gráfico de las funciones paramétricas
x(u)
y(u)
y(x)
ECUACIONES PARAMÉTRICAS CONTíNUASobtenidas a partir de las gráficas C vs P
Gráficas deCoordenadas vs. parámetro, C vs P
Se obtiene la función vinculada,
Graficación de lasecuaciones paramétricaspara checar la validez delas mismas
)20()20,()16,(
)4()16,()12,(
)16()12,()6,(
2
)2(2)6,()2,(
)()2,()0,()(
)9()20,(
)11()20,()16,(
)5()16,()12,(
)7()12,()6,(
)1()6,()2,(
)3()2,()0,()(
2
uuhuh
uhuh
uuhuh
uuhuh
uuhuhuy
uuh
uhuh
uuhuh
uhuh
uuhuh
uhuhux
Establecimiento analítico de las ecuaciones paramétricas
por lo tanto, lasecuaciones paramétricasestán correctas.
Expansión directa en series de Fourier
Expansión
paramétricaen series de Fourier
10 términos
No hay oscilaciones espurias, i. e., no hay fenómeno de Gibbs
Convergencia más rápida
Ascenso y descenso verticales
Viciada por elfenómeno de Gibbs,i.e.,oscilaciones espuriasen los brincos
Error = 9%por más términosque tenga la serie
30 términos 100 términos
Con la parametrización, primero se modifica la función original,después se establece la serie de Fourier.
Se trata de un preprocesamiento.
El fenómeno de Gibbs no se eliminó, sino que, simplemente, nunca surgió.
Se agradecen las revisiones de la presentación por parte de:
Carlos Gómez
Paco Godínez
estoica
Gracias por su atención.
