Representa gráficamente las siguientes...
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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
9. Representa gráficamente las siguientes parábolas:
a) 32)( 2 ++= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 12
2
2−=⇒
−=⇒−= xx
a
bx
3) Vértice )2,1( 23213)1(2)1()1(
12
−⇒
=+−=+−⋅+−=−=
−=V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=++=
0
322
y
xxy
realsolución tieneno2
12420322 ⇒
−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX
Eje OY: 30
322
=⇒
=++=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0(
5) Tabla de valores
x 4− 3− 2− 1− 0 1 2
y 11 6 3 2 3 6 11
b) 34)( 2 +−= xxxf
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1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 22
4
2=⇒=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(
22
−⇒
−=+−=+⋅−==
=V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=+−=
0
342
y
xxy
==
=−±=⇒=+−1
3
2
121640342
x
xxxx ⇒PC con eje OX: )0,3( y )0,1(
Eje OY: 30
342
=⇒
=+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0(
5) Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 8 3 0 1− 0 3 8
c) xxxf 5)( 2 −−=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría 2
5
2
5
2−=⇒
−=⇒
−= xxa
bx
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3) Vértice
−⇒
==+−=
−⋅−
−−=
−=
−=−=
4
25,
2
5
25,64
25
2
25
4
25
2
55
2
5
2
5
5,22
5
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−−=
0
52
y
xxy
−==
⇔=−−⋅⇔=−−5
00)5(052
x
xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,5(−
Eje OY: 00
52
=⇒
=−−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )0,0(
5) Tabla de valores
x 6− 5− 4− 3− 2
5− 2− 1− 0 1
y 6− 0 4 6 4
25 6 4 0 6−
d) 5)( 2 += xxf
� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba.
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2xy =
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4 1 0 1 4
e) 6)( 2 +−= xxf
� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.
2xy −=
1) ∩⇒<−= convexa01a
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2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒=
−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4− 1− 0 1− 4−
f) 2)1(3)( −= xxf
� )(xf es la función 23xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.
23xy =
1) ∪⇒>= cóncava03a
2) Eje de simetría: 006
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
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3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 12 3 0 3 12
g) 96)( 2 −+−= xxxf
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 32
6
2=⇒
−−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,3( 091899)3(6)3()3(
32
Vfy
x
v
v⇒
=−+−=−⋅+−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+−=
0
962
y
xxy
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3
3
2
06
2
363660962
=
==
−±−=
−−±−=⇒=−+−
x
x
xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,3(
Eje OY: 90
962
−=⇒
=−+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )9,0(−
5) Tabla de valores
x 0 1 2 3 4 5 6
y 9− 4 1 0 1− 4− 9−
h) 2)3()( 2 +−= xxf
� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba y horizontalmente 3
unidades a la derecha
2xy =
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
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3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4 1 0 1 4
i) 2)1()( 2 −+−= xxf
� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.
2xy −=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒=
−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4− 1− 0 1− 4−
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1. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:
a) x
xf3
)( =
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
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b) x
xf3
)( −=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
−∞=−
+∞=−
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=−
=−
−
+∞→
+
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0 1 5,1 3 6 6− 3− 5,1− 1− 5,0−
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c) 23
)( −=x
xf )(xf→ es la función x
y3= trasladada verticalmente 2 unidad abajo.
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
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x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
d) 1
3)(
−=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
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y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
e) 42
3)( +
−=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 2 unidades a la derecha y 4
unidades hacia arriba
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
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1+x
f) 5
3)(
+=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 5 unidades a la izquierda.
El estudio de la función x
y3= lo hemos hecho en el apartado a)
g) ⇒++
−=⇒+−= 2
1
3)(
1
12)(
xxf
x
xxf )(xf es la función
xy
3 −=
izquierda la a unidad 1 T.H.
arriba unidades 2 T.V.
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2 −x
2
1
3
22
12
−−−−
x
x
La función x
y3
−= la hemos representado en el apartado b)
h) ⇒+−
=⇒−+= 1
2
6)(
2
4)(
xxf
x
xxf )(xf es la función
xy
6 =
derecha la a unidades 2 T.H.
arriba unidad 1 T.V.
6
2
4
+−+
x
x
� x
y6=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x es asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
6lim
6lim
0
0 0=y es asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
06
lim
06
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
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y 1− 2− 3− 6− 12− 12 6 3 2 1
2. Representa gráficamente las siguientes funciones radicales:
a) 21)(12)( −−=⇒−+−= xxfxxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1
unidad a la derecha y verticalmente 2 unidades hacia abajo
� xy =
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores x 0 1 4 9
y 0 1 2 3
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b) 42)( ++−= xxf )(xf→ es la función xy −= trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda
y verticalmente 4 unidades hacia arriba
� xy −=
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores x 0 1 4 9
y 0 1− 2− 3−
c) 71)( +−= xxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y
verticalmente 7 unidades hacia arriba
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� xy =
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores x 0 1 4 9
y 0 1 2 3
3. Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales:
a) x
xf
=3
1)(
• ℜ=)(xDomf
• ),0()((Re +∞== xfyc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
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b) x
xf−
=3
1)( )(xf→ es la simétrica de
x
y
=3
1 respecto al eje OY
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )31
(x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
c) 1
3
1)(
+
=x
xf )(xf→ es la función x
y
=3
1 trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda.
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )3
1(
x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
d) 23
1)( −
=x
xf )(xf→ es la función x
y
=3
1 trasladada verticalmente 2 unidades hacia abajo.
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )3
1(
x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
e) xxf 2)( −= )(xf→ es la simétrica de xy 2= respecto al eje OX
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
f) 12)( −= xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
g) 32)( 1 −= +xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda y
verticalmente 3 unidades abajo.
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
h) 22)( 1 += −xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y
verticalmente 2 unidades arriba.
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
4. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas:
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
a) )3(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 3 unidad a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
b) xxf 2log)( −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OX
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
c) )(log)( 2 xxf −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OY
� xy 2log=
),0()log( 2 +∞== xyDom
ℜ== )log(Re 2 xyc
Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
d) 1)2(log)( 2 −−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada verticalmente 1 unidades hacia abajo
y horizontalmente 2 unidades a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
e) 1log)(
3
1 −= xxf )(xf→ es la función xy3
1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo
� xy3
1log=
• ),0()log(3
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re3
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
x 9
1
3
1 1 3 9
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
y 2 1 0 1− 2−
f) )1(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
g) 1)1(log)(3
1 −+= xxf )(xf→ es la función xy3
1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y
horizontalmente 1 unidad a la izquierda
� xy3
1log=
• ),0()log(3
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re3
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
x 9
1
3
1 1 3 9
y 2 1 0 1− 2−
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
h) 2)3(log)(2
1 −+= xxf )(xf→ es la función xy2
1log= trasladada verticalmente 2 unidad hacia abajo y
3 unidades a la izquierda
� xy2
1log=
• ),0()log(2
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re2
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
• Tabla de valores
x 8 4 2 1 2
1
4
1
8
1
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
i) 3)1(log)( 2 +−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
y verticalmente 3 unidades hacia arriba
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1( No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
5. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
a) ]2,0()0,()(
20 1
02 1
2 13
)(2
∪−∞=⇒
≤≤+<<−−
−≤−= fDom
xsix
xsix
xsix
xf
• linealfunción 13 →−= xy
x •− 2 3− 4− y 7− 10− 11−
• linealfunción 1 →−= xy
x Ο− 2 1− Ο0 y 3 2 1
• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy
cóncava01 →>=a (0,0)Vértice→
x •0 1 •2 y 0 1 4
b) ),3()0,()(
3 1
04 32
4 5
)( 2 +∞∪−∞=⇒
><≤−+−−
−<−
= fDom
xsi
xsixx
xsi
xf
• constantefunción 4 si 5 →−<−= xy
• (parábola) cuadráticafunción 322 →+−−= xxy
convexa01 →<−=a
)4,1(
43213)1(2)1(
12
2
2Vértice2
−⇒
=++−=+−⋅−−−=
−=−
=−=→ V
y
a
bx
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
x •− 4 3− 2− 1− Ο0 y 5− 0 3 4 3
• constantefunción 3 si 1 →>= xy
c) )(
4 1
42
20 1
0
)(2
ℜ=⇒
≥<≤−<≤−
<
= fDom
xsi
xsix
xsix
xsix
xf
• linealfunción →= xy
x Ο0 1− 2− y 0 1− 2−
• (parábola) cuadráticafunción 12 →−= xy
cóncava01 →>=a
)1,0( 1
02
0
2Vértice −⇒
−=
==−=→
ya
bx
• linealfunción →−= xy
x •2 3 Ο4 y 2− 3− 4−
• constantefunción 4 si 1 →≥= xy
x •0 1 Ο2 y 1− 0 3
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
d) ℜ=⇒
>
≤= )(
0 1
0 1)( fDom
xsix
xsixf
• constantefunción 0 si 1 →≤= xy
• hipérbola 1 →=x
y
}0{)( −ℜ=fDom
No corta a los ejes coordenados
0=x asíntota vertical
0=y asíntota horizontal
x 5,0 1 2 4
y 2 1 5,0 25,0
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
e) }2{)(
1 42
12
2 2
)( 2 −−ℜ=⇒
≥+−<<−
−<
= fDom
xsix
xsix
xsi
xf
• constantefunción 2 si 2 →−<= xy
• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy
cóncava01 →>=a
)0,0( 1
02
0
2Vértice ⇒
−=
==−=→
ya
bx
• linealfunción 42 →+−= xy
x •1 2 3
y 2 0 2−
f) }0{)( 0
1
0 1)( −ℜ=⇒
<
>−= fDom
xsix
xsixxf
• linealfunción 1→−= xy
x Ο0 1 2
y 1− 0 1
• hipérbola 1 →=x
y
}0{)( −ℜ=fDom
x Ο− 2 0 Ο1 y 4− 0 1
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
0=x asíntota vertical
+∞==
−∞==
+→
−→
+
−
0
1)(lim
0
1)(lim
0
0
xf
xf
x
x 0=y asíntota horizontal
=∞+
=
=∞−
=
+
+∞→
−
−∞→
01
)(lim
01
)(lim
xf
xf
x
x
g) }2{)(
5 1
51 2
1
1 1
)(
2
−ℜ=⇒
≥+
<<−
≤+−
= fDom
xsix
xsix
xsix
xf
• (parábola) cuadráticafunción 12 →+−= xy
convexa01 →<−=a
)1,0( 1
02
0
2Vértice ⇒
=
=−
=−=→
ya
bx
x •1 0 1− 2−
x
5,0−
1− 2− 4−
y 2− 1−
5,0−
25,0−
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
y 0 1 0 3−
• hipérbola 2
1 →−
=x
y
}2{)( −ℜ=fDom
2=x asíntota vertical
+∞==
−∞==
+→
−→
+
−
0
1)(lim
0
1)(lim
2
2
xf
xf
x
x
0=y asíntota horizontal
=∞+
=
=∞−
=
+
+∞→
−
−∞→
01
)(lim
01
)(lim
xf
xf
x
x
• linealfunción 1→+= xy
x •5 6 7
y 6 7 8
x Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5
y 1− 2− 2 1 5,0 3
1
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
h) }2{)( 0
2
1
0 1)( −−ℜ=⇒
<+
>−= fDom
xsix
xsixxf
• linealfunción 1→−= xy
x Ο0 1 2 y 1− 0 1
• hipérbola 2
1 →+
=x
y
}2{)( −−ℜ=fDom
2−=x asíntota vertical
+∞==
−∞==
+−→
−−→
+
−
01
)(lim
01
)(lim
2
2
xf
xf
x
x
0=y asíntota horizontal
=∞+
=
=∞−
=
+
+∞→
−
−∞→
01
)(lim
01
)(lim
xf
xf
x
x
x Ο0 1− 5,1− 5,2− 3− 4−
y 5,0 1 2 2− 1− 5,0
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
i) ),5(]4,()(
5 o 4 2
40 3
0 2
)( +∞∪−∞=
>=−<<−
≤=
−
fDom
xxsix
xsix
xsi
xf
x
• lexponenciafunción 2 →= − xy
x •0 1− 2− 3−
y 1 2 4 8
• linealfunción 3 →−= xy
x Ο0 1 Ο4 y 3 2 1−
• linealfunción 2 →−= xy
x 4 Ο5 6 7
y 2 3 4 5
j) 34)( 2 −+−= xxxf
1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría 222
4
2=⇒=
−−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(
22
Vfy
x
v
v⇒
=−+−=−⋅+−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+−=
0
342
y
xxy
==
⇔−
±−=−
−±−=⇔=−+−3
1
2
24
2
121640342
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son
)0,1( y )0,3(
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
Eje OY: 30
342
−=⇒
=−+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0( −
5) Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 8− 3− 0 1 0 3− 8−
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
k)
≥−−
<−+=−−=
0 si 2
0 si 22)(
2
22
xxx
xxxxxxf
• 22 −+= xxy
1) ∪⇒>= cóncva01a
2) Eje de simetría 5,05,02
1
2−=⇒−=−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice
−−⇒
−=−=−
−+
−=
−=
−=
4
9,
2
1
25,24
92
2
1
2
1
2
1
2
1
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+=
0
22
y
xxy
−==
⇔±−=+±−=⇔=−+2
1
2
31
2
811022
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1( y
)0,2(−
Eje OY: 20
22
−=⇒
=−+=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )2,0(−
5) Tabla de valores
x 3− 2− 1− 2
1− 0 1 2
y 4 0 2− 4
9− 2− 0 4
• 22 −−= xxy
1) ∪⇒>= cóncva01a
2) Eje de simetría 5,02
1
2==⇒
−= xa
bx
3) Vértice
−⇒
−=−=−
−
=
=
=
4
9,
2
1
25,24
92
2
1
2
1
2
1
2
1
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
Eje OX:
=−−=
0
22
y
xxy
−==
⇔±=+±=⇔=−−1
2
2
31
2
811022
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− y
)0,2(
Eje OY: 20
22
−=⇒
=−−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )2,0(−
5) Tabla de valores
x 2− 1− 0 2
1 1 2 3
y 4 0 2− 4
9− 2− 0 4
l) 45)( 2 −−= xxxf
1º) Representamos la parábola: 452 −−= xxy
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría 5,22
5
2==⇒
−= xa
bx
3) Vértice
−⇒
−=−=−
⋅−
=
=
=
4
41,
2
5
25,104
414
2
55
2
5
2
5
5,22 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
Eje OX:
=−−=
0
452
y
xxy
−≅−=
≅+=⇔±=
−+±=⇔=−−
7,02
415
7,52
415
2
415
2
162550452
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje
OX son
+0,
2
415 y
−0,
2
415
Eje OY: 40
452
−=⇒
=−−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )4,0( −
5) Tabla de valores
x 0 1 2 2
5 3 4 5
y 4− 8− 10− 4
41− 10− 8− 4−
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
m) xxf ln)( =
1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=
• ),0()ln( +∞== xyDom
• Corta al eje OX en el punto )0,1(
• No corta al eje OY
• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0
−∞=+→
xfx
• Tabla de valores
x +0 1 e 2e
y ∞− 0 1 2
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
n) 42)( −= xxf
1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada
verticalmente 4 unidades hacia abajo)
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
o) )2ln()( −= xxf
1º) Representamos la función logarítmica: )2ln( −= xy (que, a su vez, es la función xy ln= trasladada
horizontalmente 2 unidades a la derecha) � xy ln=
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
• ),0()ln( +∞== xyDom
• Corta al eje OX en el punto )0,1(
• No corta al eje OY
• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0
−∞=+→
xfx
• Tabla de valores
x +0 1 e 2e
y ∞− 0 1 2
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
p) 1
2)(
−=
xxf
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
1º) Representamos la función 1
2
−=
xy , que a su vez, es la función
xy
2= trasladada horizontalmente 1
unidad a la derecha
� x
y2=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
1 −
1+x
q) 1
1)(
+−=
x
xxf
1º) Representamos la función 1
1
1
1
++−=
−−=
x
x
x
xy
⇒−+
=⇒++−= 1
1
2
1
1
xy
x
xy Es la función
xy
2 =
izquierda la a unidad 1 T.H.
abajo unidad 1 T.V.
2
1
1
+++−
x
x
� x
y2=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
r) x
xf−
=3
2)(
1º) Representamos la función 3
2
3
2
−−=
−=
xxy , que es la función
xy
2−= trasladada horizontalmente 3
unidades a la derecha
� x
y2−=
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
−∞=−
+∞=−
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=−
=−
−
+∞→
+
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0 1 2 4− 4− 2− 1− 5,0−
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
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6. Representa gráficamente las siguientes funciones:
Todas las funciones de este ejercicio se obtienen efectuando transformaciones a las funciones senxy = ,
xy cos= ò tgxy = .
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� senxy =
• ℜ== )( senxyDom
• ]1,1[)(Re −== senxyc
• Periódica de periodo π2=T
x 0 2
π π
2
3π π2
y 0 1 0 1− 0
� xy cos=
• ℜ== )cos( xyDom
• ]1,1[)cos(Re −== xyc
• Periódica de periodo π2=T
x 0 2
π π
2
3π π2
y 1 0 1− 0 1
� tgxy =
•
Ζ∈+−ℜ== kktgxyDom ;
2)12()(π
• ℜ== )(Re tgxyc
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• Periódica de periodo π=T
• 2
π−=x es asíntota vertical
−∞=
+∞=
+
−
−→
−→
tgx
tgx
x
x
2
2
lim
lim
π
π
2
π=x es asíntota vertical
−∞=
+∞=
+
−
→
→
tgx
tgx
x
x
2
2
lim
lim
π
π
x +
−2
π
4
π− 0 4
π
−
2
π
y ∞− 1− 0 1 ∞+
a) )()( π+= xsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda.
c) 4)()( −+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda y verticalmente
4 unidades hacia abajo.
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g) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OX
b)
−−=2
)(π
xsenxf senxy −=→ trasladada horizontalmente 2
π a la derecha.
senxy −= es la simétrica de senxy = respecto al eje OX
h) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OY. Pero, recuerda que αα sensen −=− )( ,
por tanto, en este caso también es la simétrica de senxy = respecto al eje OX.
k) 1)( −= senxxf senxy =→ trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo.
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t) 12
)( −
+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente
2
π unidades a la izquierda y 1 unidad hacia
abajo.
d)
+=2
cos)(π
xxf xy cos=→ trasladada horizontalmente 2
π unidades a la izquierda
e)
+−=2
cos)(π
xxf es la simétrica de la función del apartado d) respecto al eje OX
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
f) →+
+−=
+−= 32
cos2
cos3)(ππ
xxxf es la función del apartado e) trasladada verticalmente 3
unidades hacia arriba.
l) 2cos)( += xxf xy cos=→ trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba
u)
−−=2
cos)(π
xxf es la simétrica de la función
−=2
cosπ
xy respecto al eje OX.
−=2
cosπ
xy xy cos=→ trasladada horizontalmente 2
π unidades a derecha.
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
i) →
−=2
)(π
xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 2
π a la derecha
j) →
+=4
)(π
xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 4
π a la izquierda
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
m) →⋅= xsenxf 2)( Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica su
recorrido ]2,2[)(Re −=fc )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→⋅=]2,2[ Recorrido
2 2)(
πTxsenxf
o) →= )2( )( xsenxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una contracción horizontal (se
modifica su periodo ππ ==2
2T )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→⋅=]1,1[ Recorrido
2)(πT
xsenxf
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
r) →
⋅=2
3)(x
senxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica
su recorrido ]3,3[)(Re −=fc ) y una dilatación horizontal (se modifica su periodo ππ4
21
2 ==T )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→⋅=]3,3[ Recorrido
4 2)(
πTxsenxf
s) 1 2)( −⋅= xsenxf
� xseny 2⋅= se obtiene a partir de xseny = por una dilatación vertical (se modifica su recorrido
( ]2,2[)2(Re −== senxyc )
� 1 2)( −⋅= xsenxf se obtiene a partir de xseny 2⋅= por una traslación vertical de 1 unidad hacia abajo
( ]1,3[)(Re −=fc )
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→−⋅=]1,3[ Recorrido
21 2)(
πTxsenxf
n) →⋅= xxf cos2
1)( se obtiene a partir de la función xy cos= por una contracción vertical (se modifica
su )2
1,
2
1)(Re
−=fc
−==
→=]1,1[ Recorrido
2 cos
πTxy
−=
=→⋅=
2
1,
2
1 Recorrido
2
cos2
1)(
πT
xxf
IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN
p) →⋅= )3( cos2)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos= por una dilatación vertical (se modifica
su recorrido ]2,2[)(Re −=fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo 3
2 π=T )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2 cos
πTxy
−=
=→⋅=
]2,2[ Recorrido3
2) 3cos(2)(
πT
xxf
q) →⋅−= )2( cos2
1)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos−= por una contracción vertical (se
modifica su recorrido
−=2
1,
2
1)(Re fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo
ππ ==2
2 T )
−==
→−=]1,1[ Recorrido
2 cos
πTxy
−=
=→⋅−=
2
1,
2
1 Recorrido
) 2cos(2
1)(
πT
xxf
A su vez, xy cos−= es la simétrica de xy cos= respecto al eje OX.
FUNCIONES ELEMENTALES