INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE IRAPUATO

Profesor:M. en I. Rafael Barajas Vidal

Alumno:Casillas Crisanto Jesus Salvador IS12110506

Cordoba Villalobos Marco Antonio IS12110779

Ramirez Lopez Gerardo IS12110507

Tema:Optimizacion de funciones

Fecha:06/04/2016

Introducción

La aptimización de función no lineales es una herramienta importante en el diseño asistido por ordenador y es parte clase más amplia de optimización llamada programación no línea. La meta básica es la minimización de algunas funciones objetivas no lineales de costo sujetas a restricciones de igualdad y desigualdad no lineales.

Las herramientas matemáticas que son usadas para resolver parámetros sin restricciones de problemas de optimización vienen directamente de cálculos multi-variables.

Optimización de funciones no lineales

Las condiciones necesarias para minimizar la función costo es:

f ¿)

Es obtenido por ajuste de derivación de f con respecto de la variable igual a cero. i, e.

∂ f∂ x i

=0 i=1 ,…,n

O

∇ f=0

Donde

∇ f=( ∂ f∂ x1 , ∂ f∂ x2 ,…, ∂ f∂ xn )Que es conocida como el vector gradiente. Los términos asociados con la segunda derivada son dados por:

H= ∂2 f∂ x i∂ x j

La ecuación anterior resulta en una matriz simétrica llama la matriz Hessian de la función.

Una vez que la derivada de f es desaparecida a extremos locales (x1ߍ , x2ߍ ,…, xnߍ ) , de f para tener

un mínimo relativo, la matriz Hessian evaluadas a (x1ߍ , x2ߍ ,…, xnߍ ) deben de ser una matriz positiva definida. Esta condición requiere que todos los valores propios de la matriz Hessian evaluadas

(x1ߍ , x2ߍ ,…, xnߍ ) son positivas.

En resumen, sin restricciones mínimas de una función son encontradas por sus ajustes parciales de derivadas (con respecto parámetros que pueden ser variados) iguales a cero y resolviendo para los valores de los parámetros. Entre los conjuntos de los valores de parámetros obtenidos, aquellos en los que la matriz de las segundas derivadas parciales de una función costo es definitiva positiva son mínimos locales. Si hay un mínimo local, es también un mínimo global; otra manera, la función costo debe ser evaluada en cada una de los mínimos locales para determina cual es el mínimo global

Parámetros de restricción de optimizaciónRestricciones de igualdad

Este tipo de problema surge cuando estas son funciones dependientes entre los parámetros a ser escogidos. El problema es para minimizar la función de costo

Sujeta a las restricciones de igualdad

Tal problema puede ser resuelto con el método del multiplicador de LaGrange. Esto proporciona una función de coste aumentada mediante la introducción de -vector de cantidades indeterminadas. La función de costos sin restricciones se convierte en

Las condiciones necesarias para que resulten mínimos locales restringidos de son los siguientes:

Obsérvese que la Ecuación anterior es simplemente la restricción original.

Restricciones de desigualdad

Problemas prácticos de optimización contienen restricciones de desigualdad, así como restricciones de igualdad. El problema es para minimizar la ecuación de costos

sujeta a la restricción de igualdad

y la restricción de desigualdad

El multiplicador de LaGrange es extendido para incluir la restricción de desigualdad por medio de la introducción de un vector -vector de cantidades indeterminadas. Las funcione indeterminada de costos es dada por

Las condiciones necesarias para que resulten mínimos locales restringidos por son los siguientes:

Casos de estudio

Problema 7.5 (Power System Anayisis – Hadi Saadat)

Encuentre el valor mínimo de la ecuación

sujeta a la restricción de igualdad

Solución del problema

Problema 7.6 (Power System Anayisis – Hadi Saadat)

Encuentre el valor mínimo de la función:

Sujeta a la restricción de igualdad:

y una restricción de desigualdad:

Solución del problema

Conclusión

Del presente reporte se concluye que es una herramienta para la optimización de funciones ya que con ella se obtiene los puntos óptimos de operación en base a las restricciones que se mencionan que se aplican en cada uno de los casos de estudio

Bibliografía

Saadat, H. (1999). Power Systema Analysis. New York: McGraw-Hill.