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Chapter 1.2Análisis y Diseño de Algoritmos
(Algorítmica III)-Repasando las Matemáticas-
Por: Herminio Paucar.
Luis Guerra.
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Contenido
•Repasando las matemáticas• Sumatorias• Logaritmos• Límites
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SUMATORIAS (Σ)
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Sumatoria
• Se llama sumatoria de una sucesión , a la forma abreviada de escribir sus términos expresados como sumandos
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Ejemplos
• Sean:
1)
2)
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Propiedades de la Sumatoria
• Sumatoria de una constante (c)
•Donde
•Ejemplo
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Propiedades
•2.- Sumatoria del producto de una Constante por los términos de una Sucesión :
•Ej.:
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Propiedades
•3.- Sumatoria de la Suma o Resta de Términos de dos o más Sucesiones:
EJEMPLO:
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Sumatoria de una Sucesión
•Expresiones generales o fórmulas para encontrar la sumatoria de los términos de una sucesión, lo que simplifica notablemente el cálculo de dicha sumatoria.
•A.- Sumatoria de los n primeros números naturales
•Ejemplo:
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Sumatoria de una Sucesión
•B.- Sumatoria de los n primeros números naturales Impares
•Ejemplo:
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Sumatoria de una Sucesión
•C.-sumatoria de los cuadrados de los n primeros números naturales
•ejemplo:
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Ejercicio 1
•1.- Con base en las fórmulas vistas anteriormente, calcule la suma de los cuadrados de los primeros n números impares.
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Solución:
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Ejercicio 2
•2.- Aplicar la fórmula correspondiente y calcular cada una de las siguientes sumatorias:
a)
b)
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Continuación:
c)
d)
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Ejercicio 3
•Aplicar las fórmulas conocidas y encontrar a su vez otra fórmula para cada una de las siguientes sumatorias:
a)
b)
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LOGARITMOS (Log)
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Logaritmación
• Logaritmación es una operación inversa de la potenciación, consiste en calcular el exponente cuando se conocen la base b y la potencia N.
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Definición de logaritmo
• Logaritmo de un número positivo N en una base b, positiva y diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base para obtener el número N.
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• Logaritmos es un exponente y puede se cualquier número real.
• Sólo tienen logaritmo los números reales positivos.
• La base de los logaritmos es un número real positivo y diferente de 1.
Conceptos sobre logaritmos
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Expresión de los logaritmos
• Los logaritmos se expresan de dos formas: Forma exponencial y forma logarítmica. Estas expresiones son convertibles de la una a la otra.
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Identidad fundamental de los logaritmos
• Si el logaritmo de un número es exponente de su propia base, entonces es igual número N.
Ejemplos.
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Propiedades generales de los logaritmos
• 1) El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero.
Ejemplos:
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Propiedades generales de los logaritmos
•2) El logaritmo de la base es igual a la unidad.
•Ejemplos:
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Propiedades generales de los logaritmos
•3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
•Ejemplos:
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Propiedades generales de los logaritmos
•4) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
•Ejemplos:
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Propiedades generales de los logaritmos
•5) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.
•Ejemplos:
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Propiedades generales de los logaritmos
•6) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice.
•Ejemplos:
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Propiedades generales de los logaritmos
7) El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la unidad.
Ejemplos:
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Propiedades generales de los logaritmos
•8) Si el número y la base son potencias indicadas con una base común, el logaritmo está determinado por el cociente de los exponentes.
•Ejemplos:
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Propiedades generales de los logaritmos
•9) Si al número y a la base de un logaritmo se eleva a una misma potencia o se extrae radicales del mismo grado, el logaritmo no varía.
•Ejemplos:
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Propiedades complementarias de los logaritmos
•1) Reducción de potencias.
•Ejemplos.
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Propiedades complementarias de los logaritmos
2) Inversos base y número.
Ejemplos.
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Propiedades complementarias de los logaritmos
3) Cambio de base.
Ejemplos.
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Propiedades complementarias de los logaritmos
3) Regla de la cadena.
Ejemplos.
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Ejercicios propuestos
NOTA: Asumir que la base es 10.
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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
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Límite de una función
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Teoremas de los límites
Teorema 1: Límite de una función lineal.
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Teoremas de los límites
Teorema 2: Límite de una función constante.
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Teoremas de los límites
Teorema 3: Límite de una función identidad.
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Teoremas de los límites
Teorema 4: Límite de suma o diferencia de funciones
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Teoremas de los límites
Teorema 5: Límite del producto de funciones.
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Teoremas de los límites
Teorema 6: Límite de una n-ésima potencia.
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Teoremas de los límites
Teorema 7: Límite del cociente de funciones.
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Teoremas de los límites
Teorema 8: Límite de raíz n-ésima de una función.
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Límite de una función cuando
Calcular el límite de la función:
Y
X
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Para cuando x tiende al infinito
Propiedades de los Limites.
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Propiedades de los Límites.
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Propiedades de los Limites.
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Propiedades de los Limites.
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Ejercicios
• Reemplazando para x = 1
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Ejercicios
• Para las siguientes funciones calcular el límite cuando: x→∞
Para f(x):
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Ejercicios
Para las siguientes funciones calcular el límite cuando: x→∞
Para g(x):
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• Para las siguientes funciones calcular el límite cuando: x→∞
Para h(x):
Ejercicios
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Vamos por más