MATEMÁTICA 1º BACH. PLAN 2010LICEO SALINAS 1. AÑO 2010

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA1) Llamaremos ángulos al centro en una circunferencia a aquellos que tienen como vértice el centro de la circunferencia.

2) Llamaremos arco de una circunferencia a la intersección de la misma con un ángulo al centro. Los extremos del arco son los puntos de corte entre la circunferencia y los lados del ángulo. En particular, si el ángulo al centro es llano, el arco determinado recibe el nombre de semicircunferencia; y si el ángulo al centro es recto, el arco determinado se llama cuadrante.

Se dice que el ángulo al centro “abarca” el arco de circunferencia que determina. Si consideramos en una circunferencia dos ángulos al centro de igual amplitud, los arcos abarcados son iguales y reciprocamente.

3) Cada uno de los segmentos determinados por dos puntos de una circunferencia recibe el nombre de cuerda. Las cuerdas cuyos extremos están alineados con el centro de la circunferencia, reciben el nombre de diámetro. O sea que, los diámetros son las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia.

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A su vez, a cada arco de circunferencia se le asocia una cuerda de la misma, en donde los extremos de ambos coinciden. Las medidas del arco y de la cuerda determinada por dos puntos de una circunferencia están relacionadas de manera que, dos arcos de igual medida tienen asociados cuerdas cuyos extremos están a igual distancia. Recíprocamente, dos cuerdas de igual medida en una circunferencia, tienen asociadas arcos de igual longitud.

Por lo tanto, si dos ángulos al centro son iguales, las cuerdas que se determinan por la intersección de la circunferencia con los lados del ángulo al centro, son iguales. Recíprocamente, si dos cuerdas de una circunferencia tienen la misma medida, los ángulos al centro cuyos lados pasan por los extremos de la cuerda tienen la misma amplitud.

Todas las afirmaciones anteriores también son válidas en circunferencias distintas, siempre y cuando las mismas tengan igual radio. Si los radios son distintos, las igualdades entre ángulos al centro, arcos y cuerdas no se cumplen.

4) Llamaremos ángulos inscriptos en una circunferencia a aquellos que tienen como vértice un punto de la circunferencia, y cuyos lados son secantes a la misma.

Investiga en cada caso que relación existe entre el ángulo central y el ángulo inscrito que abarcan el mismo arco.

5) Llamaremos ángulo semi-inscripto a aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia, y cuyos lados son: uno incluido en la recta tangente a la circunferencia en A y otro secante en B, o ambos incluidos en la recta tangente a la circunferencia en el vértice A.

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS1) Se considera una circunferencia de centro A y radio “r”. ¿Cuál es la medida de la cuerda determinada

por un ángulo central recto? ¿y por un ángulo central de 60º? ¿y por un ángulo central de 120º?

2) Dada una circunferencia rOC , y una cuerda AB de ella, considere un

ángulo ∧AXB inscripto en rOC , . Analice cada uno de los siguientes casos y

justifique su respuesta.a. Sea P variable en el arco AB al que pertenece X, compare los ángulos APB y AXB. b. Sea J variable, J∈ (AB, X) e interior a la circunferencia. Compare AJB y AXB. c. Sea H variable, H ∈ (AB, X) y exterior a la circunferencia. Compare AHB y AXB.

3) Dado un segmento AB fijo. Construya un triángulo APB tal que ∧APB = 30º. Explique el procedimiento.

¿Es única la solución? ¿A qué figura pertenecen los puntos P?

4) Explique como construir cada uno de los siguientes arcos capaces utilizando por lo menos dos métodos distintos. Justifique por que son válidos. Constrúyalos en figuras separadas. Recuerde que el segmento y el ángulo son datos.

a. AC[AB], 30º b.AC[AB], 60º c. AC[AB], 45º d.AC[AB], 90º e. AC[AB], 120 f. AC[AB], α

5) Construir los triángulos ABC tales que AB=5 cm, hc=4 cm y C^

=50 °

6) Construir los triángulos ABC tales que AB = 5 cm, la mediana de AB mida 4 cm y C^

=50 °7) El problema de ubicación de un barco. Desde un barco que navega en el Río de la Plata, usando un instrumento llamado sextante, se mide el ángulo que forma el buque respecto de los faros del Cerro de Montevideo y de Punta Brava, siendo este de 55º. Luego se mide el ángulo que forma respecto de los faros de Punta Brava y la Isla de Flores obteniendo un ángulo de 75º. En la carta marítima, se tiene la ubicación de los faros. ¿Cómo cree que se puede determinar la ubicación del barco?

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Conclusión: El lugar geométrico de los puntos del plano que son vértice de ángulos de amplitud α, cuyos lados pasan por dos puntos fijos A y B, es un arco de circunferencia llamado ARCO CAPAZ de ángulo α sobre [AB]. En cada uno de los semiplanos de borde la recta (AB) existen arcos capaces iguales (En cada uno de los arcos se excluyen los puntos A y B).

Notación. AC[AB], α . Recuerda que siempre debe indicarse el segmento y el ángulo.

Faro del cerro de Montevideo

Faro de Punta Brava

Faro de isla de Flores.Río de la Plata