Romano Lapasin

DICAMP DICAMP -- UniversitUniversitàà di Triestedi Trieste

Reometria:principi di funzionamento, geometrie

e tipi di flusso

Classificazione dei reometri (flussi a taglio)

Secondo la “distribuzione” della cinematica:

FLUSSO VISCOMETRICO UNIFORME La shear rate è uniforme in tutto il campo di moto Ideale per liquidi non-Newtoniani

FLUSSO VISCOMETRICO La shear rate è costante lungo una traiettoria, ma cambia da

una traiettoria all’altra La viscosità non-Newtoniana può (spesso) essere ancora

misurata, ma a costo di una manipolazione dei dati sperimentali

FLUSSO NON VISCOMETRICO La shear rate varia anche lungo una traiettoria

Altre componenti di flusso sono presenti (es. elongazione) Si possono estrarre solo informazioni semi-quantitative

Secondo il tipo di moto:

REOMETRI ROTAZIONALI

Flusso rotazionale – Traiettorie chiuse

– Effetti inerziali (forze centrifughe)

– Effetti di bordo

– Limitati a shear rate relativamente basse

+ Si possono raggiungere condizioni stazionarie

+ Esperimenti in transitorio in condizioni ben controllate

+ Richiedono generalmente piccole quantità di materiale

Classificazione dei reometri (flussi a taglio)

Secondo il tipo di moto:

REOMETRI NON ROTAZIONALI

Flusso rettilineo - Traiettorie aperte

+ Assenza di forze centrifughe, maggiori shear rates

+ Sistema chiuso: effetti di bordo minori (o controllabili)

– La durata della prova è limitata

– Assenza di condizioni stazionarie

– I transitori non sono controllati

– Richiedono spesso grandi quantità di materiale

Classificazione dei reometri (flussi a taglio)

Classificazione dei reometri

Secondo il tipo di moto:

Il moto avviene per scorrimento (drag) relativo di due superfici

Tipico dei reometri rotazionali

piani paralleli

cilindri coassiali

cono/piatto

piatti paralleli

x

y zθ

z

r

θr

φ

θr

z

drag flow

Classificazione dei reometri

Secondo il tipo di moto:

Il moto avviene per differenza di pressione tra ingresso e uscita

Tipico dei reometri non rotazionali

flusso capillare(Poiseuille flow)

θθθθ

z

r

θθθθ

x

r

Pressure drivenflow

flusso assialeanulare

flusso in fessura(slit flow)

x

y

z

Reometri rotazionali

Reometro a stress controllatoSi impone la coppia, si misura la velocitàangolare

Viene applicata (o misurata) una coppia M,riconducibile allo sforzo di taglio

Viene misurata (o applicata) una velocitàangolare ΩΩΩΩ, riconducibile al gradiente divelocità

Si perviene ad una espressione per la viscosità

Reometro a deformazione controllataSi impone la velocità angolare, si misura la coppia

Reometri rotazionali

Misura della viscosità: geometria a cilindri coassiali (Couette)

Seminario di Reologia, Università di Padova, 2008

hRo

Ri

oooooRhRhRRM

o

σππσ2

2 == ••

oi RiiRMhRM == σπ

22

hR

M22π

σ = profilo iperbolico di σ σ σ σ (decrescente con R)

Momento torcente = sforzo x braccio x area

io RR −=δ

costanteγ =Ω

=−

Ω=

δi

io

i R

RR

R&narrow gap δδδδ

Ω==

hR

M

ii

i

32π

δ

γ

ση

&

ΩΩΩΩ

R

Reometri rotazionalicilindri coassiali (wide gap δδδδ)

dr

dr

r

v

dr

dr

Ω−=−= )(γ ϑ

&

dall’equazione del moto (componente secondo ϑϑϑϑ):

0)(1 2

2=

∂

∂σr

rr

θ

z

r

r

drd−=

σ

σ

2

1

σσ

σσ

σ

ddrr

r i

o

o

i

R

R

∫∫ −=−=Ω2

)(γ)(γ &&

equazione integrale da risolvere per ricavare la funzione incognita )(γ σ&

hR

M

R22 2

1

πσ =∝

Reometri rotazionali

Viscosità e sforzi normali: geometria cono-piatto

R

h

Ω

ααααcostanteγ =

Ω≅

Ω=

Ω=

ααtgR

R

h

R&

αααα piccolo ( ≤≤≤≤ 4°)

σππσ 3

R

03

22 RrdrrM == ∫

costante=σ

32

3

R

M

πσ =

Ω=

32

3

R

M

π

αη

21

2

R

FN

π=F

Reometri rotazionali

viscosità e viscoelasticità: geometria piatto-piatto

R

h

Ωdall’equazione del moto (componente secondo ϑ):

0===dz

d

dz

d

dz

d zz σττ ϑϑ

0==dz

d

dz

d z γγ ϑ &&

dz

dr

Ω=γ&

)(γγ rh

r&& =

Ω=

∫∫ ==R

0

2

R

0

2 22 drrdrrM γηπσπ &

∫=R

dR

MR

γ

γγγηγ

π&

&&&&

0

3

3

3

)(2equazione integrale da ricavare la funzione incognita )γ(&η

z

h

RΩ=Rγ&

Reometri rotazionali

viscosità e viscoelasticità: geometria piatto-piatto

+

Ω=

Rd

Md

R

Mh

γπη

&ln

ln

4

1

4

324

nel caso di un fluido non Newtoniano si usa la relazione ottenuta dalla derivazione (ricorrendo alla formula di Leibniz 1)

per un fluido Newtoniano

h

RR

Ω=γ&con

Ω=

4

2

R

Mh

πη

moduli viscoelastici: δγπ

cos2

'04

0

R

hMG = δ

γπsin

2''

04

0

R

hMG =

1

Reometri rotazionali

Viscosimetro di Brookfield

Il rotore è immerso in una coppa

Si impone una velocità angolare

Si misura la coppia

La viscosità si ricava come rapporto tracoppia e velocità di rotazione moltiplicato per una costante di calibrazione

Misura rigorosa solo per fluidi Newtoniani

Solo valori indicativi per fluidi non-Newtoniani

Uso molto facile

Diversi rotori permettono di misurare ampiorange di viscosità

Limiti dei reometri rotazionali

Forze di inerzia (centrifughe)

Le maggiori dissipazioni richiedono coppiemaggiori e si traducono in una viscosità(apparente) maggiore

Le forze centrifughe possono causare flussi secondari (vortici).

Forze elastiche

Al di sopra di una shear rate critica compare la “edge fracture”.

Gli sforzi normali “spingono” il fluido verso il centro. L’unica forza che bilancia questo effetto è la tensione superficiale.

Viscosimetro a capillare

La forza motrice è data dalla forza peso, ossia dal battente idrostatico di liquido che si realizza con la sua risalita iniziale e che varia nel tempo durante la prova.

La misura consiste nel misurare il tempo di efflusso di un volume noto di liquido attraverso il capillare, ed è, di norma necessaria una correzione cinetica.

Si calcola una viscosità cinematica con l’espressione:

A Cannon-Fenske (liquidi trasparenti)B Cannon-Fenske (liquidi opachi)C Ubbelohde

nt

ktk

''' −=ν

Viscosimetro a capillare

tipico uso: misura della viscosità di soluzioni diluite di polimeri, calcolo della viscosità intrinseca e da questa del peso o altre caratteristiche molecolari

c [g/cm3]

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018

(η−η

s

)/cη

s

[cm

3/g

]

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

[η] = 30.1 cm3/g

Polistirene in cicloesano:

K=0.0955

a=0.49

M≅≅≅≅125,000

[ ] 0→→−

cpercs

s ηη

ηη [ ] aKM=η Mark-Houwink-Sakurada

cs

s

η

ηη −

Viscosimetro a capillare

Equazioni per la correlazione dei dati di soluzioni diluite

5.0''' −= kk

c

cs

s

η

ηη −

c

rηln

[ ]η

[ ]2' ηk

[ ]2'' ηk

Reometro a capillare

Il polimero è spinto da un pistone in un capillare.

Viene misurata la differenza della pressione tra l’imbocco e lo sbocco del capillare.

Nota la portata, la viscosità è data (per fluidi Newtoniani) da:

R

Ppolimero

V

L

LQ

PR

8

4∆=

πη

Reometro a capillare

portata imposta pressione imposta

portata misuratapressione misurata

Reometro a capillare

Reometro a capillare

Effetti di imbocco:

La pressione è misurata prima dell’imbocco del capillare ∆∆∆∆P contiene anche le perdite di imbocco Per determinare ∆∆∆∆Pcap è necessaria la correzione di Bagley

Reometro a capillare

L

0

P [b

ar]

0

Misure svolte a portate differenti (velocità medie differenti –differenti numeri di Reynolds)

la correzione di Bagleydipende da Re

cap

entrmeasL

PLPP

∆+∆=∆

lo sforzo alla parete si calcola dalla ‘lunghezza effettiva’

del capillare

)(2 eRL

PRw

+

∆=σ

(Re)ee =

Reometro a capillare

effetto della correzione di Bagley

HDPE – 180°C

La shear rate nel capillare è variabile ( )(((( ))))rγ = γγ = γγ = γγ = γ& && && && &

app 3

4Q

Rγ =γ =γ =γ =

ππππ&&&&

w app

3n 1

4n

++++γ = γγ = γγ = γγ = γ& && && && &

w

app

dlogn

dlog

σσσσ====

γγγγ&&&&

(((( )))) ww

w

σσσση γ =η γ =η γ =η γ =

γγγγ&&&&

&&&&

Correzione diMooney-Rabinowitsch:

Reometro a capillare

γapp

=4Q/πR3

102 103 104

σw=

∆P

ca

pR

/2L

104

105

n

confronto tra dati grezzi e dati corretticorrezione di Mooney-Rabinowitsch

Reometro a capillare

HDPE – 180°C

Da tutte le shear rate:

si ricava la curva

si determina n (log-log)

si determina

Si ricava la curva

Reometro a capillare

Procedura sperimentale

Per ogni shear rate (portata):

misure con almeno 3 capillari

calcolo delle perdite di imbocco

si ricavacap

w

P R

L 2

∆∆∆∆σ =σ =σ =σ =

w appσ − γσ − γσ − γσ − γ&&&&

wγγγγ&&&&

(((( ))))wη γη γη γη γ&&&&

shear rate [s-1]

101 102 103 104 105

Vis

co

sity [

Pa

s]

1

10

100

1000

Melt Flow Index (MFI)

Principio di misura:

Il polimero viene fuso ad una temperaturastandard

Un peso standard viene applicato medianteun pistone, forzando il polimero attraversoun ugello di lunghezza e diametro standard

Il Melt Flow Index in queste condizioni èdefinito come la massa (in grammi) dipolimero estrusa nel tempo standard di 10minuti

Melt Flow Index (MFI)

L’MFI è particolarmente utile per:

Controllo prodotti in ingresso Degradazione termo-meccanica Confronto tra polimeri di MW diverso Scelta del materiale

Processo Prodotto MFI Estrusione Tubi <0.1

Fogli 0.1-0.5

Tubi sottili 0.1-0.5

Cavi 0.1-1

Fogli sottili 0.5-1

Fibre 0.5-1

Film 9-15

Stampaggio Normale 1-2

Pareti sottili 3-6

Vacuum forming 0.2-0.5

Coating 9-15

L’MFI è uno standard ASTM e non è una viscositàAlto MFI Bassa viscosità

L’MFI non può:

Sostituire la viscosità Essere utilizzato per la simulazionedel processo

Dare indicazioni sulla viscoelasticità

MFI e viscosità

ρ = densità [g/cm3]m = peso applicato [g]

)(s 1−=ρ

MFI834.1γapp

&

(poise)MFI

mρ4.49η ≅

Non c’è un legame diretto tra MFI e viscosità ma solo relazioni approssimate:

102

103

104

105

101

102

103

104

MFI 21.6 kgMFI 2.16 kg

MFI 5 kg

Exact 0203

Okiten 245A

OE 50/50

OE 62.5/37.5

OE 75/25

vis

cosi

tà a

ppar

ente

(P

as)

shear stress (Pa)

LDPE & LLDPE

LLDPE

Strumenti empirici o approssimati

Il flusso (anche nel caso di fluido Newtoniano) non èmodellabile analiticamente

La viscosità rappresenta comunque la “resistenza” delliquido a fluire sotto l’azione di forze esterne

Una misura (qualitativa) di viscosità è sempre ottenibileda un tempo (o una velocità, una portata, ecc.) di flussosotto l’azione di forze note, o viceversa dalla misuradella forza (o coppia, o potenza), una volta assegnata lacinematica

ESEMPI Coppe ad efflusso (coppa Ford) Cono Marsh Viscosimetri a caduta di sfera o a risalita di bolla Strumenti con rotori a pale (viscosimetro di Stormer)

Cono Marsh

Usato per misurare la “fluidità” di malte e affini.

Si misura il tempo di scarico del materiale dall'orificio di un cono standardizzato.

Conforme alla norma UNI EN 445 3.2.2.

Coppa Ford

E’ usata per la caratterizzazione rapida di oli, pitture, inchiostri, solventi, ecc.Le caratteristiche e le modalità d’uso della coppa sono standardizzate (ASTM Standard D1200).

Si misura il tempo di efflusso che è usato come tale per definire la risposta (secondi coppa Ford n.4) o per ricavare la viscositàcinematica, con relazioni empiriche, se il fluido è Newtoniano.

Viscosimetro Stormer

E’ usata nel settore delle pitture.

Si misura il peso necessario a produrre una velocità di rotazione pari a 200 rpm

La misura è espressa in unità specifiche (Krebs units)

antesignano dei reometri a sforzo controllato

Le caratteristiche e modalità d’uso sono standardizzate (ASTM D562, GB/T 9269-88)

viscograph, amylograph

viscograph

Penetrometers, texture analyzers, consistometers

Penetrometro acono di Vicat

ConsistometriBostwick

Texture analyzer,Tenderometer,..

Slump test

Reometria estensionale

T

Stretching rate:

Sforzo di trazione:

Viscosità elongazionale:

L

v=Γ&

A

Tel =σ

Γ

σ=η

&

elel

L

fluido Newtoniano: ηηηηE = costante = 3ηηηη

fuso polimerico: ηηηηE, η η η η = f( e struttura)γε &&,

Viscosità elongazionale dei polimeri

ηηηηE cresce a gradienti intermedi (ramificazioni): strain hardening

ηηηηE decresce a gradienti più alti

Extension

Compression

Sheet stretching

Tipi di flusso estensionale

x

z

Bubble collapse

Entrance flows

Fiber spinning

Stagnation flows

x r θ θ θ θ

r θ φθ φθ φθ φx r θθθθ r

Tipi di flusso estensionale

r

xx y z

x

r

+

x

z

Reometri estensionali

“Rotary clamps”:

Il fluido è “tirato” agli estremi da due pulegge dentate.

La velocità delle pulegge determina la velocità di allungamento.

La forza di stiro viene misurata ad uno degli estremi.

( )1 2 c

0

R

Lε

Ω + Ω=&

( )( )

( )( )el

0

f t f t

S t S exp tσ

ε= =

− &

( ) elel t

ση

ε=

&

Reometri estensionali

Filatura:

Il fluido estruso da un capillare è“tirato” dal basso da una puleggia.

La velocità della puleggia determina la velocità di allungamento.

La forza di stiro viene misurata alla puleggia.

2

0

Q

R Lε

π≅&

el 2

o

f

Rσ

π=

elel

fL

Q

ση

ε= =

&