REMEMBER IV Cód. 953

01. Um rapaz compra 3 laranjas a R$ 0,10. Ele as vende a R$ 0,20 cada 5 laranjas. Para ter um lucro de R$ 1,00 ele precisa vender quantas laranjas? a) 67 b) 150 c) 200 d) um número infinito e) nra.

02. Um refrigerador é oferecido a R$ 250,00 menos dois descontos sucessivos de 20% e 15%. O preço de venda do refrigerador é:a) 35% de descontos sobre R$ 250,00 b) 65% de R$250,00 c) 77% de R$ 250,00 d) 68% de R$ 250,00 e) nra.

03. Os fatores da expressão x² + y² são:a) (x + y)(x – y) b) (x + y)² c) (x2/3 + y2/3)(x4/3 + y4/3) d) (x + iy)(x – iy) e) nra

04. As raízes de x(x² + 8x + 16)(4 – x) = 0 são:a) 0 b) 0 e 4 c) 0; 4 e -4 d) 0; 4; -4 e-4 e)nra

05. Se log4 x = 2,5 então o valor de x é:a) 90 b) 36 c) 36√6 d) 0,5 e) nra

06. Carlos tem 5q + 1 moedas de 25 centavos e Ricardo, q + 5 destas moedas. A diferença de dinheiro entre ambos, calculado em moedas de 10 centavos é:a) 10 (q – 1) b) 2/5 (4q – 4) c) 2/5 (q – 1)d) 5/2 (q – 1) e) nra

07. A fração √a² + x² - (x² - a²) / √a² + x² se reduz a: a² + x²a) 0 b) 2 a² / (a² + x²) c) 2 x² / (a² +x²)3/2

d) 2 a² / (a² + x²)3/2 e) 2 x² / (a² + x²)

08. O valor de x na interseção das curvas y = 8 / (x² + 4) e x + y = 2 é:a) -2 + √5 b) -2 - √5 c) 0 d) 2 e) nra

09. O número de litros de água necessário para se reduzir 9 litros de loção de barba contendo 50% de álcool para uma loção contendo 30% de álcool é:a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

10. O número de voltas que uma roda de centro fixo e diâmetro 5 m deve dar para que um ponto situado a 3 m do centro do centro percorra a distância de 1.200m é:a) 200 b) 100 / c) 200 / d) 100 e) nra

11. Uma pista de corrida é formada por dois círculos concêntricos. Sua largura é de 10m. Os perímetros dos dois círculos diferem aproximadamente:a) 10m b) 30m c) 60m d) 100m e) nra

12. Os diâmetros de dois círculos têm 8 e 12 cm respectivamente. A razão entre a área do menor e a área do maior é:

a) 2/3 b) 4/9 c) 9/4 d) ½ e) nra

13. Um triângulo e um trapézio têm áreas iguais e alturas iguais. Se a base do triângulo tem 18 cm, a mediana do trapézio deverá ter:a) 36 cm b) 9 cm c) 18 cm d) não é possível de se calcular a partir destes dados e) nra.

14. Dados dois círculos, o maior de centro P e raio p e o menor de centro Q e raio q. Traçando PQ, qual das seguintes afirmações é falsa?a) p – q pode ser igual a PQ. b) p + q pode ser igual a PQ c) p + q pode ser menor que PQd) p – q pode ser menor que PQ e) nra.

15. Uma peça circular de metal de máxima área é retirada de um retalho quadrado e depois uma peça quadrada de máxima área é retirada da peça circular. A quantidade de metal jogado fora é:a) ¼ da área do quadrado b) ½ do quadrado original c) ½ da peça circular d) ¼ da peça circular e) nra

16. Adão espera obter um lucro de 10% no preço de venda de um artigo e suas despesas são de 15% das vendas. A percentagem de remarcação sobre um artigo vendido por R$ 5,00 é:a) 20% b) 25% c) 30% d) 33 1/3 % e) 35%

17. Um homem tem parte de R$ 4.500,00 investido a 4% e o resto a 6% ao ano. Se o retorno anual sobre esses dois investimentos é o mesmo, então o juro médio que ele recebe sobre os R$ 4.500,00 é:a) 5% b) 4,8% c) 5,2% d) 4,6% e) nra

18. Um dos fatores de x² + 4 é:a) x² + 2 b) x + 1 c) x² - 2x + 2 d) x² - 4 e) nra

19. Se na expressão x.y², os valores são ambos diminuídos em 25% , então o valor da expressão fica:a) diminuído em 50% b) diminuído em 75%c) diminuído 37/64 do seu valor d) diminuído 27/64 do seu valor e) nra

20. Se y = x + 1/x então x4 + x³ - 4x² + x + 1 = 0 se torna:a) x² (y² +y -2) = 0 b) x² (y² +y -3) = 0 c) x² (y² +y -4) = 0 d) x² (y² +y -6) = 0 e) nra

21. Se log10 (x² - 3x + 6) = 1, então o valor de x é:a) 10 ou 2 b) 4 ou -2 c) 3 ou -1 d)4 ou -1 e) nra

22. O logarítmo de 27 4√9 3√9 na base 3 é:

a) 8 ½ b) 4 1/6 c) 5 d) 3 e) nra

23. A equação √x + 10 - 6 = 5 tem: √x + 10a) Uma raiz falsa entre -5 e -1 b) Uma raiz falsa entre -10 e -6 c) Uma raiz verdadeira entre 20 e 25d) Duas raízes verdadeiras e) Duas raízes falsas

1

24. Se a, b e c são inteiros positivos menores que 10, então (10a + b)(10a + c) é igual a 100a(a + 1) + bc, se:a) b + c =10 b) b = c c) a + b = 10 d) a = be) a + b + c = 10.

25. Em uma progressão geométrica cujos termos são positivos, qualquer termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Neste caso, a razão é:a) 1 b) aproximadamente √5 / 2 c) (√5 -1) / 2d) (1 - √5) / 2 e) 2 / √5

26. A base de um triângulo tem 15 cm. São traçadas duas linhas paralelas à base e terminando nos lados do triângulo, dividindo assim o triângulo em 3 partes de áreas iguais. O comprimento do traço mais próximo da base é:a) 5√6 cm b) 10 cm c) 4√3 cm d) 7,5 cm e) nra

27. O raio de um primeiro círculo é 1 cm, de um segundo, 0,5 cm, de um terceiro, 0,25 cm e assim por diante. A soma das áreas destes círculos é:a) 3/4 b) 1,3 c) 2 d) 4/3 e) nra

28. Num triângulo ABC, os lados a, b e c são opostos aos ângulos A, B e C respectivamente. AD bissecciona o ângulo A, encontrando BC no ponto D. Então se x = CD e y = BD, a proporção entre eles é expressa por:a) x / a = a / (b + c) b) x / b = a / (a + c)c) y / c = c / (b + c) d) y / c = a / (b + c)e) x / y = c / b

29. O número de dígitos significativos na medida do lado de um quadrado cuja área calculada é 1,1025cm² (e arredondada para a casa do décimo de milésimo mais próximo) é:a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

30. Um carro valendo R$ 9.000,00 é vendido por A para B com 10% de prejuízo. B vende a casa novamente para A com 10% de lucro. O resultado dessas transações é:a) A não perde nem ganha b) B ganha R$ 900,00c) A perde R$ 900,00 d) A perde R$ 810,00e) B ganha R$ 1.710,00

31. Os trilhos de uma estrada de ferro têm 30m de comprimento. Quando um trem passa pelo ponto de ligação de dois trilhos, ouve-se um ruído. A velocidade do trem em Km/h é aproximadamente o número de ruídos que se ouve em:a) 1,8 min b) 2 min c) 1 ½ min c) 5 mine) nra

32. Cada ângulo de um retângulo é trissectado. As interseções dos pares de trissectores adjacentes a um mesmo lado formam:a) um quadrado b) um retângulo c) um paralelogramo com lados de comprimentos diferentesd) um romboedro e) um quadrilátero sem propriedades especiais.

33. O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2p. Sua área é:

a) (2 + √2 )p b) (2 - √2 )p c) (3 -2√2 ) p² d) (1 - √2 ) p² e) (3 + 2√2 ) p²

34. Se o lado de um ∆ mede 12 cm e o ângulo oposto é de 30° então o diâmetro da circunferência circunscrita é de:a) 18 cm b)30 cm c) 24 cm d) 20 cme) nra

35. Se f(x) = x( x – 1), então f(x + 2) é igual a: 2a) f(x) + f(2) b) (x + 2) f(x) c) x(x + 2) f(x)

d) x . f(x) e) (x + 2) f(x + 1)

x – 2 x

36. Determine m de tal forma que 4x² - 6x + m seja divisível por x – 3. O valor de m é divisor exato de:a) 12 b) 20 c) 36 d) 48 e) 64

37. A base de um ∆ isósceles mede 6 cm e um de seus lados iguais, 12 cm. O raio do círculo que passa pelos vértices do triângulo é:a) 7√15 / 5 b) 4 √3 c) 3 √5 d) 6 √3 e)nra

38. Se f(a) = a – 2 e F(a, b) = b² + a, então F[3, f(4)] é:a) a² - 4a+ 7 b) 28 c) 7 d) 8 e) 11

39. O produto logab . logba é igual a:a) 1 b) a c) b d) ab e) nra

40. A negação da frase “todos os homens são honestos” é:a) nenhum homem é honesto b) todos os homens são honestos c) alguns homens são honestos d) nenhum homem é honesto e) alguns homens são honestos

41. Um acampamento para meninas fica localizado a 300m de uma estrada reta. Nesta estrada, um acampamento para meninos fica localizado a 500m do acampamento das meninas. Deseja-se construir uma cantina na estrada que fique à mesma distância de cada acampamento. Essa distância em metros é:a) 400 b) 250 c) 87,5 d) 200 e) nra

42. Os centros de dois círculos estão distantes 41cm. O círculo menor tem raio 4 cm e o maior, 5cm. O comprimento do segmento de reta tangente internamente a ambos é:a) 41 cm b) 39 cm c) 39,8 cm d) 40,1 cme) 40 cm

43. Se o preço de um artigo é aumentado p por cento, então o decréscimo percentual de vendas deve ser d por cento. Para produzir o mesmo volume de vendas e nestas condições o valor de d é:a) 1 / (1 + p) b) 1 / (1 – p) c) p / (1 + p)d) p / (p – 1) e) (1 – p) / (1 + p)

44. Na solução de um problema envolvendo uma equação de 2º grau um estudante comete um erro no termo constante da equação e obtém como raízes os valores 8 e 2 como raízes. Um outro estudante comete um erro no coeficiente do termo do 1º grau e encontra -9 e -1 como raízes. A equação correta era:

2

Q (B)

P

Q Q Q (D) (A) (C)

a) x² -10x +9 = 0 b) x² + 10x + 9 = 0c) x² -10x + 16 = 0 d) x² - 8x – 9 = 0 e) nra

45. Dois segmentos de reta medem respectivamente a e b. Então a relação correta entre eles é:

a) (a + b) > √ab b)(a + b) < √ab c) (a + b) = √ab 2 2 2

d) (a + b) ≤ √ab e) (a + b) ≥ √ab 2 2

46. Em lugar de caminhar pelos lados de um retângulo, um garoto preferiu tomar o atalho da diagonal, economizando assim metade do maior lado. Então, a razão entre o menor e o maior lado do retângulo é:a) 1 / 2 b) 2 / 3 c) 1 / 4 d) 3 / 4 e) 2 / 5

47. Se x > 0, então a relação correta é:a) log(1 + x) = x / (1 + x) b) log(1 + x) < x / (1 + x) c) log(1 + x) > x d) log(1 + x) < x e) nra

48. Se a base maior de um trapézio isóscele é igual a diagonal e a base menor igual a sua altura, então a razão entre a base menor e a base maior é:a) 1 / 2 b) 2 / 3 c) 3 /4 d) 3 / 5 e) 2 / 5

49. Dados os pontos: A (5, 5), B (2, 1) e C (0 k). O valor de k que faz AC + BC ser mínimo é:a) 3 b) 4 1/3 c) 3 6/7 d) 4 5/6 e) 2 1/7

50. Um dos lados de um triângulo é dividido em segmentos de comprimentos 6 e 8 por um ponto de tangência de um círculo inscrito. Se o raio do círculo é 4, então o comprimento do lado menor do ∆ é:a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

GABARITO01.B 11.C 21.D 31.A 41.E02.D 12.B 22.B 32.D 42.E03.D 13.B 23.B 33.C 43.C04.D 14.E 24.A 34.C 44.A05.C 15.B 25.C 35.E 45.E06.A 16.D 26.A 36.C 46.D07.D 17.B 27.D 37.E 47.D08.C 18.C 28.D 38.C 48.D09.D 19.C 29.D 39.A 49.E10.C 20.D 30.D 40.C 50.B

SOLUÇÕES

01(B) Para cada laranja vendida:Lucro(L) = Pr. de Venda(V) – Pr. de Custo(C) L = 0,20 / 5 – 0,10 / 3 = 0,04 – 0,10 / 3 = (0,12 – 0,10) / 3 L = 0,02 / 3. Cálculo do número(n) de laranjas à vender para lucrar R$1,00: n.L = 1 n.(0,02/3) = 1 n = 3/0,02 n = 150 laranjas.

02(D) Vejamos dois modos para esse cálculo. 1°modo: Preço com 1ºDesc. = P – 20%P = 80%P. Preço com 2ºDesc. = 80 %P – 15%(80%)P = 68% P , onde P é o preço inicial(Venda). 2ºmodo: D(total) = D1 + D2 – D1. D2 = 20 + 15 – 3 = 32. Pr.Venda = 250 – (32%)250 = (68%) 250.

03(D) x² + y² não tem fatores lineares no campo dos reais, apenas no campo dos números complexos onde: x² + y² = (x + iy) (x – iy).

04(D) Igualando cada um dos fatores a zero e resolvendo cada equação, temos como conjunto solução as raízes: 0, -4 e 4.Obs.: o fator x² + 8x + 16 = (x + 4)² = 0 tem duas raízes reais e iguais, -4 e 4.

05(C) Temos que: log6 x = 2,5 x = 6 2,5 = 6 ² + 0,5 = = 6².61/2 = 36 √6 .

06(A) A diferença entre eles com moedas de 0,25 = (5q + 1) – ( q + 5) = 4q – 4 = 4(q – 1)0,25 = 4(q-1)A diferença entre eles em moedas de 0,10 =

= 0,10. 0,25 = 0,10. 4(q – 1) = 10 (q – 1). 0,25 0,25

07(D) Multiplicando-se numerador e denominador da fração por √a² + x² (fator racionalizante) e simplificando, obtemos (D).

08(C) No ponto de interseção 8 / (x² + 4) = 2 – x (igualamos os dois valores de y) x³-2x² +4x = x(x² -2x + 4) = 0 x = 0.

09(D) Nos 9 litros de loção, temos:Água → 4,5 litros = 50% e álcool = 4,5 litros = 50% Para o novo loção: (Sendo x o nº. de litros de água)Água = (4,5 + x) litros → 70%Álcool = 4,5 litros → 30% 30%(4,5 + x)=70%.4,5 13,5 + 3x = 31,5 x = 6

10(C) O raio(r) = 3m Seu perímetro (comprimento) = 2r = 6 Nº. de voltas (N) = distância a percorrer / perímetro de uma volta N = 1200 / 6 = 200 / .

11(C) Denominando de: Perímetro do 1ºcírculo (interno) = C1 = 2r; Perímetro do 2º círculo (externo) C2 = 2 (r + 10) então: C2 – C1 = 20 60 m

12(B) Área do círculo → A = r² A menor / A maior = 4² / 6² = 4 / 9.

13(B) Como as áreas são iguais, temos: A ∆ = A trap ½ b.h = ½ h.(b1 + b2) b1 + b2 = b = 18.Mediana do trapézio = ½ (b1 + b2) = 18 / 2 = 9.

14(E) Cada afirmação da questão está esquematizada na figura abaixo. Observe que nenhuma das afirmações é falsa.

15(B) Seja L o lado do quadrado inicial. Então o raio do círculo inscrito é r = L/2. O lado do 2º quadrado inscrito no círculo, é L2 = r √2 = L√2 / 2. Portanto a

3

B y

c D a â / 2 x â / 2 A b C

área do 2º quadrado é = (L√2 / 2)² = L² / 2 = metade da área do 1º quadrado, logo a alternativa B é a certa.

16(D) Temos então a seguinte equação:V = preço de venda = custo + lucro + despesas = = C + 10%V + 15% V V – 0,1V – 0,15V = C V = 4/3 C = 33 1/3 % C.

17(B) Temos os capitais C e 4500 – C. O 1º investido a 4% a.a e o 2º a 6% a.a correndo o mesmo juro. Como j = C.i.t então: C.4%.1 = (4500 – C).6%.1 C = R$ 2.700,00. Vamos calcular o juro total: j t = 0,04. 2 700 + 0,06. 1 800 = R$ 216,00.A taxa média (i m) dos juros: j t = C(total). i m. t i m = j t / C(total) . t i m = 216 / 4 500 = 4,8%

18(C) Vamos completar o quadrado da soma de dois termos e em seguida uma das propriedades dos produtos notáveis: x4 + 4 = (x4 + 4x² + 4) – 4x² = (x² + 2)² - (2x)² = (x² + 2x + 2)(x² - 2x + 2).

19(C) Como x e y diminuem em 25% = ¼ , temos:¾ x. (3/4 y)² = 27/64 xy². Portanto o decréscimo é:xy² - 27/64 xy² = 37/64 xy².

20(D) De início vamos fatorar e agrupar;x4 + x³ - 4x² + x + 1 = x²[ (x² + 1/x²) + (x + 1/x) – 4] Como (x + 1/x)² = x² +2 +1/x² x²+1/x²= (x+1/x)²- 2Substituindo então acima, temos:x²(y² - 2 + y – 4) = x²(y² + y – 6) = 0.

21(D) Aplicando a definição dos logarítmos temos:x² - 3x + 6 = 10 x² - 3x – 4 = 0 x = 4 ou x = -1.Nota: Verificando a condição de existência (C.E) do logarítmo, x² - 3x + 6 > 0, os dois valores de x satisfazem.

22(B) Temos que: 27.4√9. ∛9 = 3³. 31/2. 32/3 = 325/6. Aplicando a propriedade das potências nos log , vem: log3 325/6 = 25/6 . log3 3 = 35/6 . 1 = 4 1/6.

23(B) Temos uma equação irracional com radical de índice par. Deve-se lembrar a C.E. do radicando que no caso é: x + 10 > 0.Iniciamos a resolução da equação multiplicando os membros da equação por √x + 10 , temos então:x + 10 – 6 = 5 √x + 10 . Quadrando os membros desta equação e operando os termos semelhantes obtemos: x² - 17x – 234 = 0 x = 26 e x = -9 (Não satisfaz a C.E.).A alternativa correta é (B) pois -9 é a raiz estranha.

24(A) Temos que: (10a+b).(10a+c) = 100a² +10ac+10ab + bc = =100 a² + 10 a(b + c) + bc e que:100 a(a + 1) + bc = 100 a² + 100 a + bc.Para que ocorra a igualdade é preciso ter: b + c = 10.

25(C) Sendo a P.G. de termos positivos (. . . , aqn, aqn+1, aqn+2, . . .). Pelo dado do problema temos:aqn = aqn+1 + aqn+2 ; (dividindo-se a equação por a) → q² + q = 1 q² + q + 1 = 0 q = (-1 ∓ √5 )/ 2.Nas condições iniciais do problema q > 0 q = (-1 + √5 )/2 ou q = (√5 – 1) / 2.

26(A) Seja x o comprimento pedido. Entãox² / 15² = 2 / 3 x² = 150 x = 5√6 .

27(D) A área de um círculo = r². Temos então que:A1 = .1²= ; A2 = .(1/2)² = /4; A3 = .(1/4)²=/16onde ( , /4, /16, ...) é uma P.G. infinita de razão q=1/4 e a1 = cuja soma é dada por: S = a1 / (1 – q) .Logo: S = / (1 – 1/4) = 4 / 3.

28(D) Considere o ∆ABC da figura abaixo:

Nota: A bissetriz (ângulo interno) de um ∆ divide o lado oposto ao ângulo em segmentos proporcionais aos outros dois lados, ou seja: y / c = x / b. Podemos então usar pelas propriedades das proporções que: x / b = y / c = (x + y) / (b + c) = a / (b + c). Temos então que: y / c = a / (b + c), logo (D) é a correra.

29(D) Temos que Área = L² L = √1,1025 = 1,0500Lado arredondado até casa do décimo de milésimo mais próximo possui cinco algarismos significativos.N.T.: Para um completo entendimento da questão é necessário conhecimento de cálculo, assunto que foge do escopo (objetivo) do exame.

30(D) B paga a A =9 000 – 10%.9 000 =R$ 8.100,00. A paga a B =8 100 + 10%.8 100 =R$ 8 910,00.Portanto A perdeu 8910 – 8100 = R$ 810,00.

31(A) Caso a velocidade fosse de 30m/s ouve-se 1 ruído por segundo (1 ruído/s). Se V = 30 m/s = 30x3600/1000 km/h=108km/h .Assim: 30 m/s → 1 ruído/s → 108 km/h 1 km/h → 1 / 108 ruído / s ( 1 ruído a cada 108 s) Velocidade a x km/h ouve-se x ruído a cada 108 s = 1min 48seg = 1,8 min.

32(D) As diagonais de um quadrilátero gozam de duas propriedades: são perpendiculares entre si e passam pelo ponto médio dos lados dos lados do retângulo. Elas têm comprimentos diferentes e se bissectam mutuamente. Portanto a figura é um romboedro. Procure fazer um esboço .

33(C) Seja L a medida do lado congruente do ∆, então: Perímetro = 2p = L +L +L√2L =2p / (2+√2).Área do ∆ = A = b.h / 2 = L² / 2 = [2p / (2 +√2)]² / 2 Racionalizando a fração e operando o quadrado, temos: A = p² ( 3 - 2√2).

34(C) Temos um problema (ver figura) de ângulo inscrito em uma circunferência (<ABC = 30º) → <AOC = 60° e como dados AC = 12 cm AC = r = 12 pois ∆AOC é eqüilátero ∆ 2 r = d = 2.12 = 24 cm.

4

C

r

r x 3A B

300 X

G

B

30° r 0 C 60° 12 120° A

35(E) Usando a função f(x) = x (x – 1) / 2 temos:f (x + 2) = (x + 2)(x + 2 – 1) / 2 f(x + 2) = (x + 2)(x + 1) / 2 (i) e:f(x + 1) = (x + 1)(x + 1 – 1) / 2 f(x + 1) = (x + 1).x / 2 (x + 1) / 2 = f(x + 1) / x (ii).Substituindo (ii) em (i), temos:f(x + 2) = (x + 2) f(x + 1) / x.

36(C) Teorema do resto na divisão de polinômios com binômio ,temos:Resto = P(3) = 0 4. 3² - 6.3 + m = 0 18 + m = 0 m = 18. Logo (C) é a alternativa correta.

37(E) Seja x a distância do centro do círculo a base do ∆ ABC. Seja h = x + r a altura desse ∆. Então h² + 3² = 12² h = √135. Pode-se usar que: r² = 3² + x² = 9 +(h – r)² == 9 + h²- 2hr + r² r = (9 + h²) / 2h = = (9 + 135) / 2 √135 = 144/2 √135 r = 8 √15/5.

38(C) Temos que f(a) = a – 2 e que F[a, b] = b² + a, então: F[3, f(4)] = (f(4))² + 3 = (4 – 2)² + 3 = 2² + 3 = 7.

39(A) Usaremos uma mudança de base de logarítmos considerando que 0 < a 1 e 0 < b 1 e a, b R.loga b . logb a = loga b . loga a / loga b = loga a = 1.N.T.:Usamos mudança de base logb a para base a.

40(C) Temos aqui uma questão de lógica. A negação de “todos os homens são honestos” pode ser: “não é verdade que todos os homens são honestos”, ou “existem homens que não são honestos”, ou ainda “ alguns homens não são honestos”.Logo alternativa (C) é a correta.Em símbolos temos a sentença: x [x M / x é honesto] tem como negação: ~x [x M / x é desonesto].

41(E) Vamos considerar os símbolos: G =Posição do acamp. das garotas; M = posição do acamp. dos garotos; C = posição da cantina; OM = estrada; GC = MC = x (distância pedida). Veja figura e considere os ∆GOC e ∆GOM como ∆ retângulos.Temos que: OM = 400 m OC = 400 - xNo ∆GOC: x² = 300² + (400 –x)² 800 x = 250 000 x = 312,5 m. O C X M

42(E) Considerar dois círculos de centros C1 e C2 de raios r1 = C1A = 4 cm e r2 = C2B = 5 cm. Temos que

C1C2 = 41 cm e o comprimento da tangente AB= t = ?. Construindo duas figuras, temos: A A B' r1 C1 C2 C1 C2 t =? r2 t B A’ B

No quadrilátero AB’BA’temos: AA’ = B’B = r1 + r2 = 9 ; AB’ = A’B = C1C2 = 41; AA’ // B’B; AB’ //A’B e formando um ∆ABB’, que é retângulo em B pois B é ponto de tangência, nós temos usando o teorema de Pitágoras:(AB’)² = (AB)² + (B’B)² 41² = t² + 9² t² = 41² - 9² = 40² t = AB = 40 cm.

43(C) Considerando os símbolos: Preço de venda = v; Nº. de artigos vendidos = n; Volume ou total de vendas = n.v. ( i )Sendo p% o aumento no preço de venda = p.vSendo d% decréscimo do nº de artigos vendidos = d.nTemos então que:Novo preço de venda = v + p.v = v (1 + p)Novo nº. de artigos vendidos = n – d.n = n (1 – d)Novo volume de vendas = [v(1 + p)].[n(1- d)] ( ii )Como ( i ) = ( ii ), temos:v(1 + p). n(1 – d) = n.v (dividindo igualdade por n.v)1 – d + p – pd = 1 d = p / (1 + p).

44(A) Vamos considerar que seja x² + bx + c = 0 a equação correta.Considerando que a equação obtida pelo primeiro estudante seja x² + bx + c’ = 0 e a obtida pelo segundo estudante seja x² + b’x + c = 0.Pelos dados do problema temos:x² + bx + c’ = x² - 10x + 16 = 0 →(Eq.1º estudante)x² + b’x + c = x² + 10x + 9 = 0 → (Eq.2º estudante)Das duas equações temos que os verdadeiros são:b = -10 e c = 9 x² + bx + c = x² - 10x + 9 = 0.

45(E) Para a b, a Média Aritmética > Média Geométrica.Para a = b, a Média Aritmética = Média Geométrica. (a + b)/2 ≥ √ab M.A. ≥ M.G.Dem: Sejam a b reais temos que: (a – b)² > 0 a² + b² > 2ab → a² + 2ab + b² > 2ab + 2ab (a + b)² > 4ab a + b > 2√ab (a + b)/2 > √ab M.A. > M.G. se a b.Para o caso de a = b, temos: M.A. = (a + a) /2 = a e M.G. = √a.a = √a² = a M.A. = M.G. daí então:M.A. ≥ M.G.

46(D) Considerando um retângulo de lado maior b e menor a, temos: (diagonal) d² = a² + b² d = √a² + b² (i); e pelo enunciado do problema: d = a + b/2(ii). Fazendo (i) = (ii) temos: √a² + b² = a + b/2 que quadrando a equação se obtém: a² + b² = a² + ab + b²/4 → b² - b²/4 = ab a / b = 3 / 4.

47(D) Temos um problema sobre logarítmos. Para todo x > 0 → 1 + x < 10 x log (1 + x) < x.

48(D) A s B

5

s t

C (t – s)/2 E s F (t – s)/2 D

No trapézio isóscele ABCD temos o ∆AED retângulo em E. Usando o Teorema de Pitágoras neste ∆ temos:AD² = AE² + DE² t² = s² + [s + (t – s)/2]² t² = s²+ [(t+s)/2]² 5 s² + 2 ts – 3 t² = 0 .Vamos considerar a equação de 2ºgrau em s. Temos daí que:(Delta)∆ = (2t)² - 4.5.(-3t) ∆ = 64 t². s = (-2t ∓ √64t²) / 10 s = (-2t ∓ 8t) / 10Então temos: s1 = (-2 t – 8 t) / 10 s = - t (Não satisfaz as condições do problema).s2 = (-2t + 8t) / 10 s = 6t / 10 s / t = 3 / 5.

49(E) O menor valor possível de AC + BC é obtido com o alinhamento dos três pontos. Como C(0,k) eixo y, usaremos para a condição de alinhamento o oposto do ponto B(2,1) em relação ao eixo y que é o ponto B’(-2,1) e pode-se verificar que B’C = BC.Para que os três pontos estejam alinhados, ou pertençam a uma mesma reta, o determinante formado por suas coordenadas = 0, e assim determinamos o valor de k.

5 50 k = 0 7k – 15 = 0 k = 15 / 7 = 2 1/7

-2 1 5 5

50(B) B

6 6

8 x r

C 8 x ADenominando os lados do ∆ por a, b e c, observamos que:a = 8 + 6; b = 8 + x e c = x + 6 Perímetro = 2p = a + b + c = 2x + 28 Semi-perímetro = p = x + 14. O raio = r = 4.A área de um ∆ em função do círculo inscrito = semi-perímetro x raio do círculo inscrito → AT = p. r. ( i )A área do ∆ em função dos lados = AT = √ p (p – a) (p - b) (p –c) (ii), onde p = semi-perímetro.Fazendo (i) = (ii), temos: p . r = √ p (p – a) (p - b) (p –c) 4( x + 14) = √ 48x.(x + 14) (quadrando a equação)(x + 14)² = 3x.(x + 14) x + 14 = 3x x = 7.

O menor lado é c = 6 + 7 = 13.Outra maneira de solucionar o problema.

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