1

Relativistinen liikemäärä

Klassisssa mekaniikassa määritellään liikemäärä pkl näin:

.vp mkl Mekaniikan ilmiöissä on todettu olevan voimassa liikemäärän säilymisen laki: eristetyn systeemin vuorovaikutuksissa kappaleiden kokonaisliikemäärä eli kappaleiden liikemäärien summa ei muutu. Siis

...,ppP...ppP ,,,,,, fklfklfklikliklikl 2121

jossa i viittaa liikemääriin vuorovaikutuksen alussa ja f lopussa. Tämä laki on yhä voimassa, jos nopeuksiin tehdään Galilein muutos, mutta Lorentzin muunnoksissa se ei säily.

Koetulokset osoittavat, että jos pkl korvataan relativistisella liikemäärällä

liikemäärän säilymisen laki pätee myös suurella nopeudella liikkuville kappaleille. Relativistista liikemäärää ei voi johtaa klassisesta fysiikasta vaan se määritellään näin. Kun v << c, p ≈ pkl .

On tapana käyttää merkintää

,/

vp

221 cv

m

221

1

cv / eli .vp m

Luento 3

2

Kun kappaleen nopeus lähestyy valonnopeutta c, relativistinen likkemäärä kasvaa rajatta ja sen suuruus on paljon suurempi kuin mv.

Klassinenkin liikemäärä voi kasvaa rajatta, mutta se tapahtuu vain, kun nopeus v kasvaa rajatta.

Relativistinen dynamiikka

Klassisessa mekaniikassa dynamiikan peruslaki on Newtonin toinen laki

.vp

F mdt

d

dt

d kl

Sama laki pätee kokeiden mukaan relativistisille hiukkasille (kappaleille) edellyttäen, että liikemäärä korvataan relativistisella liikemäärällä:

Huomaa, että relativistisessa tapauksessa kiihtyvyys dv/dt ei ole aina voiman suuntainen vektori ( riippuu ajasta). Poikkeuksen muodostavat tilanteet, joissa kokonaisvoima F on kappaleen nopeuden suuntainen tai sitä vastaan kohtisuorassa.

.v/

vF m

dt

d

cv

m

dt

d

221

3

Relativistinen työ ja energia

Klassisen mekaniikan mukaan siirtymän suuntainen voima tekee siirtymässä x1:stä x2:een työn

.)/ / 2

1

2

12322-(1

x

x

x

x cv

madxFdxW

Työ-energia-lauseen mukaan kappaleen kineettinen energia on yhtä suuri kuin se työ, jonka voima tekee kiihdyttäessään kappaleen levosta nopeuteen v. Integraalissa oleva adx voidaan kirjoittaa seuraavasti

. 2

1

x

xFdxW

Relativistisessa tapauksessa työ on siis

.vdvdvdt

dxdx

dt

dvadx

.)/( /

v

cv

mvdvWK

0 23221

Tästä seuraa

Tämän voi integroida helposti muuttujan vaihdolla. Relatiiviseksi liike-energiaksi saadaan

.)(/

22

22

2

11

mcmccv

mcK

4

Kun v << c, voidaan kineettinen energia esittää kehitelmänä

...2

42

8

3

2

1

c

mvmvK

Lepoenergia

Liike-energian lausekkeessa (ed. sivu) on kaksi termiä, joista jälkimmäinen mc2 ei riipu lainkaan kappaleen nopeudesta. Sitä kutsutaan kappaleen lepoenergiaksi eli sisäenergiaksi:

Lepoenergia

Vapaan kappaleen kokonaisenergia on liike-energian ja lepoenergian summa:

.20 mcE

KmcKEE 20

eli

./

2

22

2

1mc

cv

mcE

Kokonaisenergia

Jos kappale (hiukkanen) on vuorovaikutuksessa toisten hiukkasten kanssa, kokonaisenergiaa tulee lisäksi vuorovaikutuksen potentiaalienergia.

Ensimmäinen termi on sama kuin klassinen liike-energia, johon tulee alhaisen nopeuden tapauksessa vain pieni relativistinen korjaus.

5

Lepoenergia eli sisäinen energia E0 =mc2 oli Einsteinin keksintö. Se on otettava huomioon energian säilymislaissa, mutta jos kappale tai hiukkanen pysyy vuorovaikutuksessa muuttumattomana, sisäinen energia säilyy muuttumattomana.

Hiukkasten tapauksessa on kuitenkin tavallista, että hiukkaset muuttuvat vuorovaikutuksissa toisiksi hiukkasiksi ja silloin sisäinen energia on tärkeä. Jos raskas hiukkanen muuttuu keveymmiksi hiukkasiksi (esimerkiksi kun pioni hajoaa elektroniksi ja neutriinoksi), osa sen sisäisestä energiasta muuttuu kevyiden hiukkasten sisäiseksi energiaksi, osa niiden liike-energiaksi.

K-mesoni

Pioni

Myoni

Elektroni

ee

K mK c2 = 494 MeVm c2 = 140 MeVmμ c2 = 106 MeVme c2 = 0.511 MeV

Jokaisessa hajoamisessa lepoenergiaa muuttuu liike-enegiaksi.

6

Ensimmäinen kokeellinen todiste sisäisestä energiasta saatiin v. 1932. John Cockcroft ja Ernest Walton kiihdyttivät porrasgeneraattorilla protonin energiaan 700 keV ja hajottivat sillä litium-ytimen:

HeHeLiH 42

42

73

11

Osa litiumin sisäisestä energiasta muuttui helium-ytimien liike-energiaksi.

,/

vp

221 cv

m

22

2

1 cv

mcE

/

Liikemäärän ja energian kaavoista

Seuraa (p = | p |)

./)(

,/

/

)( 2222

2

22

22

2

2

1

1

1 cvmc

E

cv

cv

mc

p

Kun yhtälöt vähennetään toisistaan ja hieman säädetään, saadaan energian, liikemäärän ja massan välille relaatio

.)()( 2222 pcmcE Relativistinen energiayhtälö

7

Kun kappale on levossa eli p = 0, sen energia on siis yhtä kuin sen lepoenergia E = E0 = mc2.

Massattoman kappaleen energia on puolestaan

.pcE

Massattomiin kappaleisiin kuuluu esimerkiksi fotoni, sähkömagneettisen kentän kvantti. Neutriinoilla on hyvin pieni massa, joten useimmissa tilanteissa niidenkin energia on suurella tarkkuudella pc.

Energia ja liikemäärä muodostavat Lorentzin muunnosten kannalta samantapaisen suureparin kuin aika ja paikka. Lorentzin muunnokset sekoittavat ne keskenään eli se, joka on toisessa koordinaatistossa energiaa, voi toisessa koordinaatistossa olla energiaa ja liikemäärää. Energia ja liikemäärä esitetään usein yhdessä ns. neliliikemääränä (E/c,p).

Suhteellisuusteoriassa pätevät liikemäärän ja energian säilymislait, mutta jälkimmäisessä on huomioitava myös kappaleiden sisäiset energiat. Lyhyesti voidaan puhua neliliikemäärän säilymisestä.

(Massaton kappale)

8

Yleinen suhteellisuusteoria

Vapaassa putoamisliikkeessä (paino ainoa vaikuttava voima) ei ole paikallisesti mahdollista minkään fysikaalisen ilmiön avulla osoittaa gravitaatiovoiman olemassaoloa. Gravitaatio voidaan eliminoida, mikä ilmenee siinä, että kaikilla kappaleilla on niiden massasta riippumatta sama kiihtyvyys g.

Gravitaatiovoima ei olekaan tavallisessa mielessä voima vaan näennäisvoima. Sen voi hävittää siirtymällä sopivaan koordinaatistoon, vapaasti putoavan kappaleen lepokoordinaatistoon. Todellinen voima on olemassa koordinaatistosta riippumatta.

Kaikki voimat, jotka ovat verrannollisia kappaleen massaan, kuten gravitaatiovoima ja keskipakovoima, ovat näennäisvoimia. Niitä tarvitaan, kun Newtonin mekaniikkaa halutaan soveltaa koordinaatistossa, joka ei ole inertiaalikoordinaatisto.

Einsteinin hissiesimerkki osoittaa, että gravitaatiota ei voi erottaa kiihtyvyydestä:

Einstein: Gravitaatio on avaruuden ominaisuus. Gravitaatio johtuu avaruuden geometrisesta rakenteesta, sen kaarevuudesta.

9

Avaruusaika on kaareutunut. Vapaa liike (ei voimia) seuraa avaruuden geodeettisia viivoja. Niitä pitkin matka paikasta toiseen on lyhin.

Auringonvalon taipuminen Auringon lähellä havaittiin 1919.

1,75 ’’

Gravitaatiolinssi-ilmiö, jossa edessä olevat taivaankappaleet toimivat taittavana linssinä takana olevasta kohteesta tulevalle valolle, on nykyään tuttu asia ja sitä käytettään mm. pimeän massan kartoitukseen.

10

Ajan kaareutuminen ilmenee niin, että kellon käynti on sitä hitaampaa mitä lähempänä ollaan jotain painavaa kappaletta.

GPS-paikallistamislaitteissa pitää ottaa tämä huomioon. Toiseen suuntaan vaikuttaa GPS-satelliittien liikkeeseen liittyvä ajan dilaatio.

Dilaatio: -7 sHeikompi painovoima: +45 s

Satelliittien kellot edistävät 38 s päivässä

Yleisen suhteellisuusteorian ennustuksia ovat myös mustat aukot. Hyvin raskaiden kappaleiden lähistöllä avaruus on niin kaareutunut, että kaikkien hiukkasten, fotonit mukaan luettuina, radat kaareutuvat takaisin. Kappaleen ympärillä on alue, josta ei tule mitään tietoa ulkomaailmaan. Tätä aluetta kutsutaan mustaksi aukoksi.

Mustia aukkoja on ”nähty” Linnunradassa useita, ja useimpien Galaksien keskellä on luultavasti hyvin suuri musta aukko.

11

Musta aukko voi syntyä mm. suuren tähden romahtaessa, kun ydinreaktiot sen keskellä lakkaavat ja säteilypaine ei enää vastusta gravitaation vaikutusta. Kaikki aine romahtaa yhteen ”pisteeseen”, singulariteettiin.

Galaksi M87

Yleinen suhteellisuusteoria ennustaa myös gravitaatioaallot. Niistä ei ole vielä kokeellisia todisteita.

LIGO