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Relations entre géométrie des ensembles de Julia et
propriétés des orbites critiques
Nicolae Mihalache
KTH, Stockholm
Paris, 4 avril 2008
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
Les ensembles de Julia et FatouSoit f : C→ C une application rationnelle de degré au moins 2.
DénitionL'ensemble de Fatou F est le plus grand ouvert sur lequel la famille
(f n)n>0 est normale. L'ensemble de Julia est
J = C\F .
Propriétés des ensembles J et FJ est compact parfait non videJ et F sont totalement invariantsJ =
⋃n>0
f −n(z) pour tout z ∈ J
J est l'adhérence de l'ensemble des orbites périodiques répulsivestoute composante de F est périodique ou prépériodique [Sullivan, '85]
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
Les ensembles de Julia et FatouSoit f : C→ C une application rationnelle de degré au moins 2.
DénitionL'ensemble de Fatou F est le plus grand ouvert sur lequel la famille
(f n)n>0 est normale. L'ensemble de Julia est
J = C\F .
Propriétés des ensembles J et FJ est compact parfait non videJ et F sont totalement invariantsJ =
⋃n>0
f −n(z) pour tout z ∈ J
J est l'adhérence de l'ensemble des orbites périodiques répulsivestoute composante de F est périodique ou prépériodique [Sullivan, '85]
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
Les ensembles de Julia et FatouSoit f : C→ C une application rationnelle de degré au moins 2.
DénitionL'ensemble de Fatou F est le plus grand ouvert sur lequel la famille
(f n)n>0 est normale. L'ensemble de Julia est
J = C\F .
f (z) = z2
f (z) = z2 + c0 f (z) = z2 + c1
Propriétés des ensembles J et FJ est compact parfait non videJ et F sont totalement invariantsJ =
⋃n>0
f −n(z) pour tout z ∈ J
J est l'adhérence de l'ensemble des orbites périodiques répulsivestoute composante de F est périodique ou prépériodique [Sullivan, '85]
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
Les ensembles de Julia et FatouSoit f : C→ C une application rationnelle de degré au moins 2.
DénitionL'ensemble de Fatou F est le plus grand ouvert sur lequel la famille
(f n)n>0 est normale. L'ensemble de Julia est
J = C\F .
f (z) = z2 f (z) = z2 + c0
f (z) = z2 + c1
Propriétés des ensembles J et FJ est compact parfait non videJ et F sont totalement invariantsJ =
⋃n>0
f −n(z) pour tout z ∈ J
J est l'adhérence de l'ensemble des orbites périodiques répulsivestoute composante de F est périodique ou prépériodique [Sullivan, '85]
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
Les ensembles de Julia et FatouSoit f : C→ C une application rationnelle de degré au moins 2.
DénitionL'ensemble de Fatou F est le plus grand ouvert sur lequel la famille
(f n)n>0 est normale. L'ensemble de Julia est
J = C\F .
f (z) = z2 f (z) = z2 + c0 f (z) = z2 + c1
Propriétés des ensembles J et FJ est compact parfait non videJ et F sont totalement invariantsJ =
⋃n>0
f −n(z) pour tout z ∈ J
J est l'adhérence de l'ensemble des orbites périodiques répulsivestoute composante de F est périodique ou prépériodique [Sullivan, '85]
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
Les ensembles de Julia et FatouSoit f : C→ C une application rationnelle de degré au moins 2.
DénitionL'ensemble de Fatou F est le plus grand ouvert sur lequel la famille
(f n)n>0 est normale. L'ensemble de Julia est
J = C\F .
Propriétés des ensembles J et FJ est compact parfait non videJ et F sont totalement invariantsJ =
⋃n>0
f −n(z) pour tout z ∈ J
J est l'adhérence de l'ensemble des orbites périodiques répulsivestoute composante de F est périodique ou prépériodique [Sullivan, '85]
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
L'ensemble de Fatou et les orbites critiquesClassication des composantes périodiques de F
domaines de rotation (disques de Siegel et anneaux de Herman)cycles attractifs (contiennent une orbite périodique attractive)cycles paraboliques (la frontière contient une orbite périodiqueindiérente de multiplicateur rationnel)
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
L'ensemble de Fatou et les orbites critiquesClassication des composantes périodiques de F
domaines de rotation (disques de Siegel et anneaux de Herman)
cycles attractifs (contiennent une orbite périodique attractive)cycles paraboliques (la frontière contient une orbite périodiqueindiérente de multiplicateur rationnel)
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
L'ensemble de Fatou et les orbites critiquesClassication des composantes périodiques de F
domaines de rotation (disques de Siegel et anneaux de Herman)cycles attractifs (contiennent une orbite périodique attractive)
cycles paraboliques (la frontière contient une orbite périodiqueindiérente de multiplicateur rationnel)
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
L'ensemble de Fatou et les orbites critiquesClassication des composantes périodiques de F
domaines de rotation (disques de Siegel et anneaux de Herman)cycles attractifs (contiennent une orbite périodique attractive)cycles paraboliques (la frontière contient une orbite périodiqueindiérente de multiplicateur rationnel)
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
L'ensemble de Fatou et les orbites critiquesClassication des composantes périodiques de F
domaines de rotation (disques de Siegel et anneaux de Herman)cycles attractifs (contiennent une orbite périodique attractive)cycles paraboliques (la frontière contient une orbite périodiqueindiérente de multiplicateur rationnel)
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
L'ensemble de Fatou et les orbites critiquesClassication des composantes périodiques de F
domaines de rotation (disques de Siegel et anneaux de Herman)cycles attractifs (contiennent une orbite périodique attractive)cycles paraboliques (la frontière contient une orbite périodiqueindiérente de multiplicateur rationnel)
L'ensemble critique est
Crit =c ∈ C | f ′(c) = 0
.
L'ensemble postcritique est
PC = f n(c) | c ∈ Crit, n ≥ 0 .
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
L'ensemble de Fatou et les orbites critiquesClassication des composantes périodiques de F
domaines de rotation (disques de Siegel et anneaux de Herman)cycles attractifs (contiennent une orbite périodique attractive)cycles paraboliques (la frontière contient une orbite périodiqueindiérente de multiplicateur rationnel)
L'ensemble critique est
Crit =c ∈ C | f ′(c) = 0
.
L'ensemble postcritique est
PC = f n(c) | c ∈ Crit, n ≥ 0 .
Proposition
Soit U une composante périodique de F .si U est un domaine de rotation alors ∂U⊆PC,
sinon il existe n ≥ 0 tel que Crit∩f n(U) 6= ∅.
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Dynamique rationnelle Julia et Fatou
L'ensemble de Fatou et les orbites critiquesClassication des composantes périodiques de F
domaines de rotation (disques de Siegel et anneaux de Herman)cycles attractifs (contiennent une orbite périodique attractive)cycles paraboliques (la frontière contient une orbite périodiqueindiérente de multiplicateur rationnel)
L'ensemble critique est
Crit =c ∈ C | f ′(c) = 0
.
L'ensemble postcritique est
PC = f n(c) | c ∈ Crit, n ≥ 0 .
Proposition
Soit U une composante périodique de F .si U est un domaine de rotation alors ∂U⊆PC,sinon il existe n ≥ 0 tel que Crit∩f n(U) 6= ∅.
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
Hyperbolicité et sous-hyperbolicité
Soit f sans cycle parabolique. Alors pour tout c ∈ Crit∩F
dist (f n(c) | n ≥ 0 ,J ) > 0.
DénitionOn appelle f hyperbolique si les conditions équivalentes suivantes sont
satisfaites
∃C > 0 ∃λ > 1 ∀z ∈ J ∀n ≥ 1 |(f n)′| > Cλn.
Crit∩J = ∅.
Si f est hyperbolique alors HDim(J ) < 2.
DénitionOn appelle f sous-hyperbolique si PC∩J est ni.
Si f est un polynôme sous-hyperbolique et J est connexe alors J estlocalement connexe.
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
Hyperbolicité et sous-hyperbolicité
Soit f sans cycle parabolique. Alors pour tout c ∈ Crit∩F
dist (f n(c) | n ≥ 0 ,J ) > 0.
DénitionOn appelle f hyperbolique si les conditions équivalentes suivantes sont
satisfaites
∃C > 0 ∃λ > 1 ∀z ∈ J ∀n ≥ 1 |(f n)′| > Cλn.
Crit∩J = ∅.
Si f est hyperbolique alors HDim(J ) < 2.
DénitionOn appelle f sous-hyperbolique si PC∩J est ni.
Si f est un polynôme sous-hyperbolique et J est connexe alors J estlocalement connexe.
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
Hyperbolicité et sous-hyperbolicité
Soit f sans cycle parabolique. Alors pour tout c ∈ Crit∩F
dist (f n(c) | n ≥ 0 ,J ) > 0.
DénitionOn appelle f hyperbolique si les conditions équivalentes suivantes sont
satisfaites
∃C > 0 ∃λ > 1 ∀z ∈ J ∀n ≥ 1 |(f n)′| > Cλn.
Crit∩J = ∅.
Si f est hyperbolique alors HDim(J ) < 2.
DénitionOn appelle f sous-hyperbolique si PC∩J est ni.
Si f est un polynôme sous-hyperbolique et J est connexe alors J estlocalement connexe.
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Dynamique rationnelle Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .
CritJ = ∅ |PCJ | <∞m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp.
⇓ ⇓ poly.
HD(J ) < 2 J l.c.
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
Semi-hyperbolicité
DénitionOn appelle f semi-hyperbolique si pour tout c ∈ Crit∩J , c /∈ ω(c).
Un domaine Ω est un domaine de John s'il existe z0 ∈ Ω et ε > 0 tels quepour tout z1 ∈ Ω il existe une courbe γ⊆Ω qui connecte z0 à z1 telle que
∀z ∈ γ dist(z , ∂Ω) ≥ ε dist(z , z1).
Théorème (Carleson, Jones, Yoccoz - '94)
Si f est un polynôme alors les conditions suivantes sont équivalentes :
f est semi-hyperbolique.
Toute composante de F est un domaine de John.
Il existe r > 0, λ > 1 et µ <∞ telles que pour tout z ∈ J , n ≥ 0 et
W une composante de f −n(B(z , r))
degW (f n) ≤ µ et diamW ≤ λ−n.
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
Semi-hyperbolicité
DénitionOn appelle f semi-hyperbolique si pour tout c ∈ Crit∩J , c /∈ ω(c).
Un domaine Ω est un domaine de John s'il existe z0 ∈ Ω et ε > 0 tels quepour tout z1 ∈ Ω il existe une courbe γ⊆Ω qui connecte z0 à z1 telle que
∀z ∈ γ dist(z , ∂Ω) ≥ ε dist(z , z1).
John pas John
Théorème (Carleson, Jones, Yoccoz - '94)
Si f est un polynôme alors les conditions suivantes sont équivalentes :
f est semi-hyperbolique.
Toute composante de F est un domaine de John.
Il existe r > 0, λ > 1 et µ <∞ telles que pour tout z ∈ J , n ≥ 0 et
W une composante de f −n(B(z , r))
degW (f n) ≤ µ et diamW ≤ λ−n.
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
Semi-hyperbolicité
DénitionOn appelle f semi-hyperbolique si pour tout c ∈ Crit∩J , c /∈ ω(c).
Un domaine Ω est un domaine de John s'il existe z0 ∈ Ω et ε > 0 tels quepour tout z1 ∈ Ω il existe une courbe γ⊆Ω qui connecte z0 à z1 telle que
∀z ∈ γ dist(z , ∂Ω) ≥ ε dist(z , z1).
Théorème (Carleson, Jones, Yoccoz - '94)
Si f est un polynôme alors les conditions suivantes sont équivalentes :
f est semi-hyperbolique.
Toute composante de F est un domaine de John.
Il existe r > 0, λ > 1 et µ <∞ telles que pour tout z ∈ J , n ≥ 0 et
W une composante de f −n(B(z , r))
degW (f n) ≤ µ et diamW ≤ λ−n.
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Dynamique rationnelle Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .
CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NRm m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SH
[CJY] m poly.
⇓ ⇓ poly. F JohnHD(J ) < 2 J l.c.
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
La condition de Collet-Eckmann
DénitionOn appelle f Collet-Eckmann s'il existe C > 0 et λ > 1 telles que
∀c ∈ Crit∩J ∀n ≥ 1 |(f n)′(f (c))| > Cλn.
Un domaine Ω simplement connexe est un domaine de Hölder sil'application de Riemann φ : D→ Ω s'étend à une application Höldercontinue sur D. Cette dénition peut être généralisée pour tout domaine.
Ω John ⇒ Ω Hölder
Théorème (Graczyk, Smirnov - '98)
Si f est Collet-Eckmann alors toutes les composantes de l'ensemble de
Fatou sont des domaines de Hölder.
Si f est un polynôme et F est Hölder alors HDim(J ) < 2. Si de plus Jest connexe alors J est localement connexe.
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
La condition de Collet-Eckmann
DénitionOn appelle f Collet-Eckmann s'il existe C > 0 et λ > 1 telles que
∀c ∈ Crit∩J ∀n ≥ 1 |(f n)′(f (c))| > Cλn.
Un domaine Ω simplement connexe est un domaine de Hölder sil'application de Riemann φ : D→ Ω s'étend à une application Höldercontinue sur D. Cette dénition peut être généralisée pour tout domaine.
Ω John ⇒ Ω Hölder
Théorème (Graczyk, Smirnov - '98)
Si f est Collet-Eckmann alors toutes les composantes de l'ensemble de
Fatou sont des domaines de Hölder.
Si f est un polynôme et F est Hölder alors HDim(J ) < 2. Si de plus Jest connexe alors J est localement connexe.
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
La condition de Collet-Eckmann
DénitionOn appelle f Collet-Eckmann s'il existe C > 0 et λ > 1 telles que
∀c ∈ Crit∩J ∀n ≥ 1 |(f n)′(f (c))| > Cλn.
Un domaine Ω simplement connexe est un domaine de Hölder sil'application de Riemann φ : D→ Ω s'étend à une application Höldercontinue sur D. Cette dénition peut être généralisée pour tout domaine.
Ω John ⇒ Ω Hölder
Théorème (Graczyk, Smirnov - '98)
Si f est Collet-Eckmann alors toutes les composantes de l'ensemble de
Fatou sont des domaines de Hölder.
Si f est un polynôme et F est Hölder alors HDim(J ) < 2. Si de plus Jest connexe alors J est localement connexe.
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Dynamique rationnelle Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
[CJY] m poly. [GS] ⇓⇓ ⇓ poly. F John ⇒ F Hölder
HD(J ) < 2 J l.c.poly.⇐=
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Dynamique rationnelle Hyperbolicité et ses versions plus faibles
Conditions équivalentes à la régularité Hölder de FThéorème (Przytycki, Rivera-Letelier, Smirnov - '03)
Les conditions suivantes impliquent l'absence d'orbites paraboliques, elles
sont équivalentes et invariantes par conjugaison topologique :
CE2(z0) Il existe z0 ∈ C, C > 0 et λ > 1 tels que pour tout n ≥ 1 et
w ∈ f −n(z0)|(f n)′(w)| > Cλn.
UHP Il existe λ > 1 telle que tout point périodique répulsif p de
période n ≥ 1 satisfait |(f n)′(p)| > λn.
ExpShrink Il existe r > 0 et λ > 1 telles que pour tout z ∈ J , n ≥ 0 et
W une composante de f −n(B(z , r))
diamW ≤ λ−n.
Consequence : En utilisant aussi des résultats de Graczyk et Smirnov, enprésence des cycles attractifs, ces conditions sont équivalentes à larégularité Hölder des composantes de F .
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Dynamique rationnelle Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
[CJY] m poly. [GS] ⇓⇓ ⇓ poly. F John ⇒ F Hölder
HD(J ) < 2 J l.c.poly.⇐=
SH⇒CE⇒
Hölder ⇔ CE2(z0)⇔ UHP⇔ ExpShrink⇔ TCE [PRS]
![Page 30: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/30.jpg)
Dynamique rationnelle Invariance topologique
Invariance topologique et contre-exemples
Théorème (Nowicki, Przytycki, Sands - '98)
La condition de Collet-Eckmann pour les applications S-unimodales est
invariante par conjugaison topologique.
Théorème (Przytycki - '00)
Si |Crit∩J | = 1 et F est Hölder, alors f est Collet-Eckmann.
On dispose de contre-exemples semi-hyperboliques pour l'invariancetopologique de la condition de Collet-Eckmann.
Conjecture (wiatek - '99)
La condition de Collet-Eckmann pour les points critiques récurrents des
applications S-multimodales est invariante par conjugaison topologique.
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Dynamique rationnelle Invariance topologique
Invariance topologique et contre-exemples
Théorème (Nowicki, Przytycki, Sands - '98)
La condition de Collet-Eckmann pour les applications S-unimodales est
invariante par conjugaison topologique.
Théorème (Przytycki - '00)
Si |Crit∩J | = 1 et F est Hölder, alors f est Collet-Eckmann.
On dispose de contre-exemples semi-hyperboliques pour l'invariancetopologique de la condition de Collet-Eckmann.
Conjecture (wiatek - '99)
La condition de Collet-Eckmann pour les points critiques récurrents des
applications S-multimodales est invariante par conjugaison topologique.
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Dynamique rationnelle Invariance topologique
Invariance topologique et contre-exemples
Théorème (Nowicki, Przytycki, Sands - '98)
La condition de Collet-Eckmann pour les applications S-unimodales est
invariante par conjugaison topologique.
Théorème (Przytycki - '00)
Si |Crit∩J | = 1 et F est Hölder, alors f est Collet-Eckmann.
On dispose de contre-exemples semi-hyperboliques pour l'invariancetopologique de la condition de Collet-Eckmann.
Conjecture (wiatek - '99)
La condition de Collet-Eckmann pour les points critiques récurrents des
applications S-multimodales est invariante par conjugaison topologique.
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Dynamique rationnelle Invariance topologique
Invariance topologique et contre-exemples
Théorème (Nowicki, Przytycki, Sands - '98)
La condition de Collet-Eckmann pour les applications S-unimodales est
invariante par conjugaison topologique.
Théorème (Przytycki - '00)
Si |Crit∩J | = 1 et F est Hölder, alors f est Collet-Eckmann.
On dispose de contre-exemples semi-hyperboliques pour l'invariancetopologique de la condition de Collet-Eckmann.
Conjecture (wiatek - '99)
La condition de Collet-Eckmann pour les points critiques récurrents des
applications S-multimodales est invariante par conjugaison topologique.
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Dynamique rationnelle Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
[CJY] m poly. [GS] ⇓⇓ ⇓ poly. F John ⇒ F Hölder
HD(J ) < 2 J l.c.poly.⇐=
SH⇒CE⇒
Hölder ⇔ CE2(z0)⇔ UHP⇔ ExpShrink⇔ TCE [PRS]
Invariance topologique.
Dynamique Hyp., SH, TCE CE RCE
S-unimodale Oui Oui [NPSa] -zd + c Oui Oui [P] -
S-multimodale Oui Non (SH) ? Oui [w]rationnelle Oui Non (SH) ?
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Nouveaux résultats La condition RCE
La condition de Collet-Eckmann pour les orbites critiques
récurrentesOn dit que f satisfait à la condition de Collet-Eckmann pour les orbitescritiques récurrentes (RCE) s'il existe C > 0 et λ > 1 telles quepour tout c ∈ Crit∩J récurrent (c ∈ ω(c)) et tout n ≥ 1
|(f n)′(f (c))| > Cλn.
Théorème (N.M.)
RCE⇒ Hölder.
Théorème (N.M.)
Il existe un polynôme réel Hölder de degré 3 qui n'est pas RCE.
Théorème (N.M.)
La condition RCE n'est pas invariante par conjugaison topologique dans la
classe des applications 2-modales avec dérivée Schwarzienne négative.
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Nouveaux résultats La condition RCE
La condition de Collet-Eckmann pour les orbites critiques
récurrentesOn dit que f satisfait à la condition de Collet-Eckmann pour les orbitescritiques récurrentes (RCE) s'il existe C > 0 et λ > 1 telles quepour tout c ∈ Crit∩J récurrent (c ∈ ω(c)) et tout n ≥ 1
|(f n)′(f (c))| > Cλn.
Théorème (N.M.)
RCE⇒ Hölder.
Théorème (N.M.)
Il existe un polynôme réel Hölder de degré 3 qui n'est pas RCE.
Théorème (N.M.)
La condition RCE n'est pas invariante par conjugaison topologique dans la
classe des applications 2-modales avec dérivée Schwarzienne négative.
![Page 37: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/37.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
La condition de Collet-Eckmann pour les orbites critiques
récurrentesOn dit que f satisfait à la condition de Collet-Eckmann pour les orbitescritiques récurrentes (RCE) s'il existe C > 0 et λ > 1 telles quepour tout c ∈ Crit∩J récurrent (c ∈ ω(c)) et tout n ≥ 1
|(f n)′(f (c))| > Cλn.
Théorème (N.M.)
RCE⇒ Hölder.
Théorème (N.M.)
Il existe un polynôme réel Hölder de degré 3 qui n'est pas RCE.
Théorème (N.M.)
La condition RCE n'est pas invariante par conjugaison topologique dans la
classe des applications 2-modales avec dérivée Schwarzienne négative.
![Page 38: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/38.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
La condition de Collet-Eckmann pour les orbites critiques
récurrentesOn dit que f satisfait à la condition de Collet-Eckmann pour les orbitescritiques récurrentes (RCE) s'il existe C > 0 et λ > 1 telles quepour tout c ∈ Crit∩J récurrent (c ∈ ω(c)) et tout n ≥ 1
|(f n)′(f (c))| > Cλn.
Théorème (N.M.)
RCE⇒ Hölder.
Théorème (N.M.)
Il existe un polynôme réel Hölder de degré 3 qui n'est pas RCE.
Théorème (N.M.)
La condition RCE n'est pas invariante par conjugaison topologique dans la
classe des applications 2-modales avec dérivée Schwarzienne négative.
![Page 39: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/39.jpg)
Nouveaux résultats Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
[CJY] m poly. [GS] ⇓⇓ ⇓ poly. F John ⇒ F Hölder
HD(J ) < 2 J l.c.poly.⇐=
SH⇒CE⇒
RCE⇒ Hölder ⇔ CE2(z0)⇔ ExpShrink⇔ TCE [PRS]
Invariance topologique.
Dynamique Hyp., SH, TCE CE RCE
S-unimodale Oui Oui [NPSa] -zd + c Oui Oui [P] -
S-multimodale Oui Non (SH) Nonrationnelle Oui Non (SH) ?
![Page 40: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/40.jpg)
Nouveaux résultats Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
[CJY] m poly. [GS] ⇓⇓ ⇓ poly. F John ⇒ F Hölder
HD(J ) < 2 J l.c.poly.⇐=
SH⇒CE⇒
RCE⇒ Hölder ⇔ CE2(z0)⇔ ExpShrink⇔ TCE [PRS]
Invariance topologique.
Dynamique Hyp., SH, TCE CE RCE
S-unimodale Oui Oui [NPSa] -zd + c Oui Oui [P] -
S-multimodale Oui Non (SH) Nonrationnelle Oui Non (SH) ?
![Page 41: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/41.jpg)
Nouveaux résultats Régularité John et connectivité locale de J
Régularité John et connectivité locale de J
Un compact connexe K⊆C est appelé localement connexe si pour toutτ > 0 il existe θ > 0 telle que si a, b ∈ K avec δ(a, b) < θ alors il existe uncontinuum B⊆K tel que
a, b ∈ B et diamB < τ.
Théorème (N.M.)
Si f est une application rationnelle semi-hyperbolique alors les composantes
de F sont de domaines de John. Si de plus J est connexe alors la
régularité John est uniforme et J est localement connexe.
CorollaireSoit f est une application rationnelle qui satisfait à ExpShrink. Si J est
connexe alors il est localement connexe.
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Nouveaux résultats Régularité John et connectivité locale de J
Régularité John et connectivité locale de J
Un compact connexe K⊆C est appelé localement connexe si pour toutτ > 0 il existe θ > 0 telle que si a, b ∈ K avec δ(a, b) < θ alors il existe uncontinuum B⊆K tel que
a, b ∈ B et diamB < τ.
Théorème (N.M.)
Si f est une application rationnelle semi-hyperbolique alors les composantes
de F sont de domaines de John. Si de plus J est connexe alors la
régularité John est uniforme et J est localement connexe.
CorollaireSoit f est une application rationnelle qui satisfait à ExpShrink. Si J est
connexe alors il est localement connexe.
![Page 43: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/43.jpg)
Nouveaux résultats Régularité John et connectivité locale de J
Régularité John et connectivité locale de J
Un compact connexe K⊆C est appelé localement connexe si pour toutτ > 0 il existe θ > 0 telle que si a, b ∈ K avec δ(a, b) < θ alors il existe uncontinuum B⊆K tel que
a, b ∈ B et diamB < τ.
Théorème (N.M.)
Si f est une application rationnelle semi-hyperbolique alors les composantes
de F sont de domaines de John. Si de plus J est connexe alors la
régularité John est uniforme et J est localement connexe.
CorollaireSoit f est une application rationnelle qui satisfait à ExpShrink. Si J est
connexe alors il est localement connexe.
![Page 44: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/44.jpg)
Nouveaux résultats Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
⇓ [GS] ⇓⇓ F John ⇒ F HölderJ l.c. ⇐=
SH⇒CE⇒
RCE⇒ Hölder ⇔ CE2(z0)⇔ ExpShrink⇔ TCE [PRS]
Invariance topologique.
Dynamique Hyp., SH, TCE CE RCE
S-unimodale Oui Oui [NPSa] -zd + c Oui Oui [P] -
S-multimodale Oui Non (SH) Nonrationnelle Oui Non (SH) ?
![Page 45: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/45.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Distorsion
Lemme de KoebeSoit g : D→ C une application holomorphe univalente du disque unité
dans le plan complexe. L'image g(D) contient le disque B(g(0), 1
4|g ′(0)|
)et pour tout z ∈ D on a
(1− |z |)(1 + |z |)3
≤ |g′(z)||g ′(0)|
≤ (1 + |z |)(1− |z |)3
.
CorollairePour tout D > 1 il existe ε > 0 qui ne dépend pas de f tel que pour tout
ouvert connexe W avec diamW ≤ ε dist(W ,Crit)
supx ,y∈W
∣∣∣∣ f ′(x)
f ′(y)
∣∣∣∣ ≤ D.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Distorsion
Lemme de KoebeSoit g : D→ C une application holomorphe univalente du disque unité
dans le plan complexe. L'image g(D) contient le disque B(g(0), 1
4|g ′(0)|
)et pour tout z ∈ D on a
(1− |z |)(1 + |z |)3
≤ |g′(z)||g ′(0)|
≤ (1 + |z |)(1− |z |)3
.
D
g
g(D)
CorollairePour tout D > 1 il existe ε > 0 qui ne dépend pas de f tel que pour tout
ouvert connexe W avec diamW ≤ ε dist(W ,Crit)
supx ,y∈W
∣∣∣∣ f ′(x)
f ′(y)
∣∣∣∣ ≤ D.
![Page 47: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/47.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Distorsion
Lemme de KoebeSoit g : D→ C une application holomorphe univalente du disque unité
dans le plan complexe. L'image g(D) contient le disque B(g(0), 1
4|g ′(0)|
)et pour tout z ∈ D on a
(1− |z |)(1 + |z |)3
≤ |g′(z)||g ′(0)|
≤ (1 + |z |)(1− |z |)3
.
D
g
g(D)
CorollairePour tout D > 1 il existe ε > 0 qui ne dépend pas de f tel que pour tout
ouvert connexe W avec diamW ≤ ε dist(W ,Crit)
supx ,y∈W
∣∣∣∣ f ′(x)
f ′(y)
∣∣∣∣ ≤ D.
![Page 48: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/48.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Distorsion
Lemme de KoebeSoit g : D→ C une application holomorphe univalente du disque unité
dans le plan complexe. L'image g(D) contient le disque B(g(0), 1
4|g ′(0)|
)et pour tout z ∈ D on a
(1− |z |)(1 + |z |)3
≤ |g′(z)||g ′(0)|
≤ (1 + |z |)(1− |z |)3
.
c
f
f (c)
W f (W )
CorollairePour tout D > 1 il existe ε > 0 qui ne dépend pas de f tel que pour tout
ouvert connexe W avec diamW ≤ ε dist(W ,Crit)
supx ,y∈W
∣∣∣∣ f ′(x)
f ′(y)
∣∣∣∣ ≤ D.
![Page 49: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/49.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Distorsion
Lemme de KoebeSoit g : D→ C une application holomorphe univalente du disque unité
dans le plan complexe. L'image g(D) contient le disque B(g(0), 1
4|g ′(0)|
)et pour tout z ∈ D on a
(1− |z |)(1 + |z |)3
≤ |g′(z)||g ′(0)|
≤ (1 + |z |)(1− |z |)3
.
CorollairePour tout D > 1 il existe ε > 0 qui ne dépend pas de f tel que pour tout
ouvert connexe W avec diamW ≤ ε dist(W ,Crit)
supx ,y∈W
∣∣∣∣ f ′(x)
f ′(y)
∣∣∣∣ ≤ D.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème CJY
Théorème (Carleson, Jones, Yoccoz - '94)
Si f est un polynôme alors les conditions suivantes sont équivalentes :
f est semi-hyperbolique.
Toute composante de F est un domaine de John.
Il existe r > 0, λ > 1 et µ <∞ telles que pour tout z ∈ J , n ≥ 0 et
W une composante de f −n(B(z , r))
degW (f n) ≤ µ et diamW ≤ λ−n.
il existe ε > 0 et µ ≥ 1 tels que pour tout z ∈ J si W = B(z , r)−n etdiam f i (W ) < ε pour i = 0, . . . , n − 1 alors
degW f n ≤ µ.
DénitionOn appelle f stable en arrière si
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ J ∀n ≥ 1 diamB(z , δ)−n < ε.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème CJY
Lemme (distorsion géométrique)
Pour tout µ ≥ 1 il existe 0 < τµ < 1 et 0 < Cµ telles que pour tout
polynôme f , R > 0, z ∈ C, W = B(z , 2R)−1 et W ′ = B(z ,R)−1⊆W, si
degW f ≤ µ alors
diamW ′ < τµ diamW et
dist(z ′, ∂W ′) > Cµ diamW ′.
il existe ε > 0 et µ ≥ 1 tels que pour tout z ∈ J si W = B(z , r)−n etdiam f i (W ) < ε pour i = 0, . . . , n − 1 alors
degW f n ≤ µ.
DénitionOn appelle f stable en arrière si
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ J ∀n ≥ 1 diamB(z , δ)−n < ε.
![Page 52: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/52.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème CJY
Lemme (distorsion géométrique)
Pour tout µ ≥ 1 il existe 0 < τµ < 1 et 0 < Cµ telles que pour tout
polynôme f , R > 0, z ∈ C, W = B(z , 2R)−1 et W ′ = B(z ,R)−1⊆W, si
degW f ≤ µ alors
diamW ′ < τµ diamW et
dist(z ′, ∂W ′) > Cµ diamW ′.
z ′
z
W
W ′c
f (c)
f
B(z , 2R)
B(z ,R)
il existe ε > 0 et µ ≥ 1 tels que pour tout z ∈ J si W = B(z , r)−n etdiam f i (W ) < ε pour i = 0, . . . , n − 1 alors
degW f n ≤ µ.
DénitionOn appelle f stable en arrière si
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ J ∀n ≥ 1 diamB(z , δ)−n < ε.
![Page 53: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/53.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème CJY
Lemme (distorsion géométrique)
Pour tout µ ≥ 1 il existe 0 < τµ < 1 et 0 < Cµ telles que pour tout
polynôme f , R > 0, z ∈ C, W = B(z , 2R)−1 et W ′ = B(z ,R)−1⊆W, si
degW f ≤ µ alors
diamW ′ < τµ diamW et
dist(z ′, ∂W ′) > Cµ diamW ′.
z ′
z
W
W ′c
f (c)
f
B(z , 2R)
B(z ,R)
il existe ε > 0 et µ ≥ 1 tels que pour tout z ∈ J si W = B(z , r)−n etdiam f i (W ) < ε pour i = 0, . . . , n − 1 alors
degW f n ≤ µ.
DénitionOn appelle f stable en arrière si
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ J ∀n ≥ 1 diamB(z , δ)−n < ε.
![Page 54: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/54.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème CJY
Lemme (distorsion géométrique)
Pour tout µ ≥ 1 il existe 0 < τµ < 1 et 0 < Cµ telles que pour tout
polynôme f , R > 0, z ∈ C, W = B(z , 2R)−1 et W ′ = B(z ,R)−1⊆W, si
degW f ≤ µ alors
diamW ′ < τµ diamW et
dist(z ′, ∂W ′) > Cµ diamW ′.
il existe ε > 0 et µ ≥ 1 tels que pour tout z ∈ J si W = B(z , r)−n etdiam f i (W ) < ε pour i = 0, . . . , n − 1 alors
degW f n ≤ µ.
DénitionOn appelle f stable en arrière si
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ J ∀n ≥ 1 diamB(z , δ)−n < ε.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème CJY
Lemme (distorsion géométrique)
Pour tout µ ≥ 1 il existe 0 < τµ < 1 et 0 < Cµ telles que pour tout
polynôme f , R > 0, z ∈ C, W = B(z , 2R)−1 et W ′ = B(z ,R)−1⊆W, si
degW f ≤ µ alors
diamW ′ < τµ diamW et
dist(z ′, ∂W ′) > Cµ diamW ′.
il existe ε > 0 et µ ≥ 1 tels que pour tout z ∈ J si W = B(z , r)−n etdiam f i (W ) < ε pour i = 0, . . . , n − 1 alors
degW f n ≤ µ.
DénitionOn appelle f stable en arrière si
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ J ∀n ≥ 1 diamB(z , δ)−n < ε.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Un argument de compacité
si U ouvert et U ∩ J 6= ∅ il existe N > 0 tel que J⊆f N(U).
si pour tout n ≥ 1, zn ∈ J , rn > 0 et J * f n(B(zn, rn)) alors
limn→∞
rn = 0.
si f est stable en arrière alors il existe L > 0 tel que
diamB(z , δ/2)−L <δ
4, ∀z ∈ J .
par une construction du type télescope, pour tout z ∈ J et k ≥ 1
diamB(z , δ/2)−kL < τkµδ.
un lemme de Mañé implique la stabilité en arrière.
Lemme de MañéIl existe V un voisinage de J tel que pour tout ε > 0, µ ≥ 1 il existe δ > 0tel que pour tout z ∈ V , si degB(z,2δ)−n ≤ µ alors
diamB(z , δ)−n < ε.
![Page 57: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/57.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Un argument de compacité
si U ouvert et U ∩ J 6= ∅ il existe N > 0 tel que J⊆f N(U).si pour tout n ≥ 1, zn ∈ J , rn > 0 et J * f n(B(zn, rn)) alors
limn→∞
rn = 0.
si f est stable en arrière alors il existe L > 0 tel que
diamB(z , δ/2)−L <δ
4, ∀z ∈ J .
par une construction du type télescope, pour tout z ∈ J et k ≥ 1
diamB(z , δ/2)−kL < τkµδ.
un lemme de Mañé implique la stabilité en arrière.
Lemme de MañéIl existe V un voisinage de J tel que pour tout ε > 0, µ ≥ 1 il existe δ > 0tel que pour tout z ∈ V , si degB(z,2δ)−n ≤ µ alors
diamB(z , δ)−n < ε.
![Page 58: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/58.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Un argument de compacité
si U ouvert et U ∩ J 6= ∅ il existe N > 0 tel que J⊆f N(U).si pour tout n ≥ 1, zn ∈ J , rn > 0 et J * f n(B(zn, rn)) alors
limn→∞
rn = 0.
si f est stable en arrière alors il existe L > 0 tel que
diamB(z , δ/2)−L <δ
4, ∀z ∈ J .
par une construction du type télescope, pour tout z ∈ J et k ≥ 1
diamB(z , δ/2)−kL < τkµδ.
un lemme de Mañé implique la stabilité en arrière.
Lemme de MañéIl existe V un voisinage de J tel que pour tout ε > 0, µ ≥ 1 il existe δ > 0tel que pour tout z ∈ V , si degB(z,2δ)−n ≤ µ alors
diamB(z , δ)−n < ε.
![Page 59: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/59.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Un argument de compacité
si U ouvert et U ∩ J 6= ∅ il existe N > 0 tel que J⊆f N(U).si pour tout n ≥ 1, zn ∈ J , rn > 0 et J * f n(B(zn, rn)) alors
limn→∞
rn = 0.
si f est stable en arrière alors il existe L > 0 tel que
diamB(z , δ/2)−L <δ
4, ∀z ∈ J .
δ2
zf LzL
c
c ′
par une construction du type télescope, pour tout z ∈ J et k ≥ 1
diamB(z , δ/2)−kL < τkµδ.
un lemme de Mañé implique la stabilité en arrière.
Lemme de MañéIl existe V un voisinage de J tel que pour tout ε > 0, µ ≥ 1 il existe δ > 0tel que pour tout z ∈ V , si degB(z,2δ)−n ≤ µ alors
diamB(z , δ)−n < ε.
![Page 60: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/60.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Un argument de compacité
si U ouvert et U ∩ J 6= ∅ il existe N > 0 tel que J⊆f N(U).si pour tout n ≥ 1, zn ∈ J , rn > 0 et J * f n(B(zn, rn)) alors
limn→∞
rn = 0.
si f est stable en arrière alors il existe L > 0 tel que
diamB(z , δ/2)−L <δ
4, ∀z ∈ J .
δ2
zf LzL
c
c ′
c ′′
f Lz2L
par une construction du type télescope, pour tout z ∈ J et k ≥ 1
diamB(z , δ/2)−kL < τkµδ.
un lemme de Mañé implique la stabilité en arrière.
Lemme de MañéIl existe V un voisinage de J tel que pour tout ε > 0, µ ≥ 1 il existe δ > 0tel que pour tout z ∈ V , si degB(z,2δ)−n ≤ µ alors
diamB(z , δ)−n < ε.
![Page 61: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/61.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Un argument de compacité
si U ouvert et U ∩ J 6= ∅ il existe N > 0 tel que J⊆f N(U).si pour tout n ≥ 1, zn ∈ J , rn > 0 et J * f n(B(zn, rn)) alors
limn→∞
rn = 0.
si f est stable en arrière alors il existe L > 0 tel que
diamB(z , δ/2)−L <δ
4, ∀z ∈ J .
δ2
zf LzL
c
c ′
c ′′
f Lz2L
par une construction du type télescope, pour tout z ∈ J et k ≥ 1
diamB(z , δ/2)−kL < τkµδ.
un lemme de Mañé implique la stabilité en arrière.
Lemme de MañéIl existe V un voisinage de J tel que pour tout ε > 0, µ ≥ 1 il existe δ > 0tel que pour tout z ∈ V , si degB(z,2δ)−n ≤ µ alors
diamB(z , δ)−n < ε.
![Page 62: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/62.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Un argument de compacité
si U ouvert et U ∩ J 6= ∅ il existe N > 0 tel que J⊆f N(U).si pour tout n ≥ 1, zn ∈ J , rn > 0 et J * f n(B(zn, rn)) alors
limn→∞
rn = 0.
si f est stable en arrière alors il existe L > 0 tel que
diamB(z , δ/2)−L <δ
4, ∀z ∈ J .
par une construction du type télescope, pour tout z ∈ J et k ≥ 1
diamB(z , δ/2)−kL < τkµδ.
un lemme de Mañé implique la stabilité en arrière.
Lemme de MañéIl existe V un voisinage de J tel que pour tout ε > 0, µ ≥ 1 il existe δ > 0tel que pour tout z ∈ V , si degB(z,2δ)−n ≤ µ alors
diamB(z , δ)−n < ε.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Un argument de compacité
si U ouvert et U ∩ J 6= ∅ il existe N > 0 tel que J⊆f N(U).si pour tout n ≥ 1, zn ∈ J , rn > 0 et J * f n(B(zn, rn)) alors
limn→∞
rn = 0.
si f est stable en arrière alors il existe L > 0 tel que
diamB(z , δ/2)−L <δ
4, ∀z ∈ J .
par une construction du type télescope, pour tout z ∈ J et k ≥ 1
diamB(z , δ/2)−kL < τkµδ.
un lemme de Mañé implique la stabilité en arrière.
Lemme de MañéIl existe V un voisinage de J tel que pour tout ε > 0, µ ≥ 1 il existe δ > 0tel que pour tout z ∈ V , si degB(z,2δ)−n ≤ µ alors
diamB(z , δ)−n < ε.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème GSStratégie générale :
CE⇒ CE2(z0)⇒ Hölder.
On choisit z0 ∈ C convenable et on xe N > 0 grand et (zi )i=0,...,N uneorbite en arrière de z0, arbitraires. On xe R > 0 - l'echelle - et onconstruit un télescope autour de cette orbite.
∃L > 0 ∀z ∈ J si degB(z,R)−L fL = 1 alors∣∣∣(f L)′(zL)
∣∣∣ > 2.
il existe 1 < λ0 < λ tel que si B(z , r)−n−1 ∩ CritJ 6= ∅ et n minimalavec cette propriété alors ∣∣(f n)′(zn)
∣∣ > λn0.
si c ∈ Crit alors sur B(c ,R)
f (z) ≈ f (c) + Cc(z − c)µc .
télescope avec 3 types de tubes ⇒ CE2(z0).
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème GSStratégie générale :
CE⇒ CE2(z0)⇒ Hölder.
On choisit z0 ∈ C convenable et on xe N > 0 grand et (zi )i=0,...,N uneorbite en arrière de z0, arbitraires. On xe R > 0 - l'echelle - et onconstruit un télescope autour de cette orbite.
∃L > 0 ∀z ∈ J si degB(z,R)−L fL = 1 alors∣∣∣(f L)′(zL)
∣∣∣ > 2.
il existe 1 < λ0 < λ tel que si B(z , r)−n−1 ∩ CritJ 6= ∅ et n minimalavec cette propriété alors ∣∣(f n)′(zn)
∣∣ > λn0.
si c ∈ Crit alors sur B(c ,R)
f (z) ≈ f (c) + Cc(z − c)µc .
télescope avec 3 types de tubes ⇒ CE2(z0).
![Page 66: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/66.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème GSStratégie générale :
CE⇒ CE2(z0)⇒ Hölder.
On choisit z0 ∈ C convenable et on xe N > 0 grand et (zi )i=0,...,N uneorbite en arrière de z0, arbitraires. On xe R > 0 - l'echelle - et onconstruit un télescope autour de cette orbite.
∃L > 0 ∀z ∈ J si degB(z,R)−L fL = 1 alors∣∣∣(f L)′(zL)
∣∣∣ > 2.
f nzn z
r
c
f (c) f n+1(c)
il existe 1 < λ0 < λ tel que si B(z , r)−n−1 ∩ CritJ 6= ∅ et n minimalavec cette propriété alors ∣∣(f n)′(zn)
∣∣ > λn0.
si c ∈ Crit alors sur B(c ,R)
f (z) ≈ f (c) + Cc(z − c)µc .
télescope avec 3 types de tubes ⇒ CE2(z0).
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème GSStratégie générale :
CE⇒ CE2(z0)⇒ Hölder.
On choisit z0 ∈ C convenable et on xe N > 0 grand et (zi )i=0,...,N uneorbite en arrière de z0, arbitraires. On xe R > 0 - l'echelle - et onconstruit un télescope autour de cette orbite.
∃L > 0 ∀z ∈ J si degB(z,R)−L fL = 1 alors∣∣∣(f L)′(zL)
∣∣∣ > 2.
f nzn z
r
c
f (c) f n+1(c)
il existe 1 < λ0 < λ tel que si B(z , r)−n−1 ∩ CritJ 6= ∅ et n minimalavec cette propriété alors ∣∣(f n)′(zn)
∣∣ > λn0.
si c ∈ Crit alors sur B(c ,R)
f (z) ≈ f (c) + Cc(z − c)µc .
télescope avec 3 types de tubes ⇒ CE2(z0).
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème GSStratégie générale :
CE⇒ CE2(z0)⇒ Hölder.
On choisit z0 ∈ C convenable et on xe N > 0 grand et (zi )i=0,...,N uneorbite en arrière de z0, arbitraires. On xe R > 0 - l'echelle - et onconstruit un télescope autour de cette orbite.
∃L > 0 ∀z ∈ J si degB(z,R)−L fL = 1 alors∣∣∣(f L)′(zL)
∣∣∣ > 2.
f nznfzn+1 z
r
c
f (c) f n+1(c)
il existe 1 < λ0 < λ tel que si B(z , r)−n−1 ∩ CritJ 6= ∅ et n minimalavec cette propriété alors ∣∣(f n)′(zn)
∣∣ > λn0.
si c ∈ Crit alors sur B(c ,R)
f (z) ≈ f (c) + Cc(z − c)µc .
télescope avec 3 types de tubes ⇒ CE2(z0).
![Page 69: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/69.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème GSStratégie générale :
CE⇒ CE2(z0)⇒ Hölder.
On choisit z0 ∈ C convenable et on xe N > 0 grand et (zi )i=0,...,N uneorbite en arrière de z0, arbitraires. On xe R > 0 - l'echelle - et onconstruit un télescope autour de cette orbite.
∃L > 0 ∀z ∈ J si degB(z,R)−L fL = 1 alors∣∣∣(f L)′(zL)
∣∣∣ > 2.
f nznfzn+1 z
r
c
f (c) f n+1(c)
f m(c ′) f m+1(c ′)
il existe 1 < λ0 < λ tel que si B(z , r)−n−1 ∩ CritJ 6= ∅ et n minimalavec cette propriété alors ∣∣(f n)′(zn)
∣∣ > λn0.
si c ∈ Crit alors sur B(c ,R)
f (z) ≈ f (c) + Cc(z − c)µc .
télescope avec 3 types de tubes ⇒ CE2(z0).
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve du Théorème GSStratégie générale :
CE⇒ CE2(z0)⇒ Hölder.
On choisit z0 ∈ C convenable et on xe N > 0 grand et (zi )i=0,...,N uneorbite en arrière de z0, arbitraires. On xe R > 0 - l'echelle - et onconstruit un télescope autour de cette orbite.
∃L > 0 ∀z ∈ J si degB(z,R)−L fL = 1 alors∣∣∣(f L)′(zL)
∣∣∣ > 2.
il existe 1 < λ0 < λ tel que si B(z , r)−n−1 ∩ CritJ 6= ∅ et n minimalavec cette propriété alors ∣∣(f n)′(zn)
∣∣ > λn0.
si c ∈ Crit alors sur B(c ,R)
f (z) ≈ f (c) + Cc(z − c)µc .
télescope avec 3 types de tubes ⇒ CE2(z0).
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Nouveaux résultats Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
⇓ [GS] ⇓⇓ F John ⇒ F HölderJ l.c. ⇐=
SH⇒CE⇒
RCE⇒ Hölder ⇔ CE2(z0)⇔ ExpShrink⇔ TCE [PRS]
Invariance topologique.
Dynamique Hyp., SH, TCE CE RCE
S-unimodale Oui Oui [NPSa] -zd + c Oui Oui [P] -
S-multimodale Oui Non (SH) Nonrationnelle Oui Non (SH) ?
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve de RCE⇒ HölderStratégie générale :
télescope ⇒ ExpShrink
Nouveaux outils :
contrôle de la distorsion dans le cas rationnel. Si 0 < r < R ,W = B(z ,R)−1, W ′ = B(z , r)−1⊆W et µ = degW g alors
diamW ′
diamW< 64
( r
R
) 1µ.
contraction exponentielle du diamètre en présence des orbites CE sansborne a priori du degré. Il existe ε > 0 et 1 < λ0 < λ tels que pourtout z ∈ J , W = B(z , r)−n−1 si W ∩ CE 6= ∅ et diam f i (W ) < εpour tout i = 1, . . . , n alors
diam f (W ) < λ−n0 r .
En utilisant aussi un argument de compacité et le lemme de Mañé onobtient la stabilité en arrière.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve de RCE⇒ HölderStratégie générale :
télescope ⇒ ExpShrink
Nouveaux outils :contrôle de la distorsion dans le cas rationnel. Si 0 < r < R ,W = B(z ,R)−1, W ′ = B(z , r)−1⊆W et µ = degW g alors
diamW ′
diamW< 64
( r
R
) 1µ.
contraction exponentielle du diamètre en présence des orbites CE sansborne a priori du degré. Il existe ε > 0 et 1 < λ0 < λ tels que pourtout z ∈ J , W = B(z , r)−n−1 si W ∩ CE 6= ∅ et diam f i (W ) < εpour tout i = 1, . . . , n alors
diam f (W ) < λ−n0 r .
En utilisant aussi un argument de compacité et le lemme de Mañé onobtient la stabilité en arrière.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve de RCE⇒ HölderStratégie générale :
télescope ⇒ ExpShrink
Nouveaux outils :contrôle de la distorsion dans le cas rationnel. Si 0 < r < R ,W = B(z ,R)−1, W ′ = B(z , r)−1⊆W et µ = degW g alors
diamW ′
diamW< 64
( r
R
) 1µ.
contraction exponentielle du diamètre en présence des orbites CE sansborne a priori du degré. Il existe ε > 0 et 1 < λ0 < λ tels que pourtout z ∈ J , W = B(z , r)−n−1 si W ∩ CE 6= ∅ et diam f i (W ) < εpour tout i = 1, . . . , n alors
diam f (W ) < λ−n0 r .
En utilisant aussi un argument de compacité et le lemme de Mañé onobtient la stabilité en arrière.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Esquisse de la preuve de RCE⇒ HölderStratégie générale :
télescope ⇒ ExpShrink
Nouveaux outils :contrôle de la distorsion dans le cas rationnel. Si 0 < r < R ,W = B(z ,R)−1, W ′ = B(z , r)−1⊆W et µ = degW g alors
diamW ′
diamW< 64
( r
R
) 1µ.
contraction exponentielle du diamètre en présence des orbites CE sansborne a priori du degré. Il existe ε > 0 et 1 < λ0 < λ tels que pourtout z ∈ J , W = B(z , r)−n−1 si W ∩ CE 6= ∅ et diam f i (W ) < εpour tout i = 1, . . . , n alors
diam f (W ) < λ−n0 r .
En utilisant aussi un argument de compacité et le lemme de Mañé onobtient la stabilité en arrière.
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Nouveaux résultats La condition RCE
Construction du télescopeSoit µ =
∏c∈NR
µc . Si degW f n > µ alors il existe 0 ≤ k < n tel que
f k(W ) ∩ CE 6= ∅.
type 1 - degWN−m f N−m > µ et r = r ′
type 2 - degWN−m f N−m ≤ µ et degWN−mf N−m > µ
type 3 - degWN−m f N−m ≤ µ et r = R
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Nouveaux résultats La condition RCE
Construction du télescopeSoit µ =
∏c∈NR
µc . Si degW f n > µ alors il existe 0 ≤ k < n tel que
f k(W ) ∩ CE 6= ∅.
zm
r ′
type 1 - degWN−m f N−m > µ et r = r ′
type 2 - degWN−m f N−m ≤ µ et degWN−mf N−m > µ
type 3 - degWN−m f N−m ≤ µ et r = R
![Page 78: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/78.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Construction du télescopeSoit µ =
∏c∈NR
µc . Si degW f n > µ alors il existe 0 ≤ k < n tel que
f k(W ) ∩ CE 6= ∅.
WN−m
zm
r ′
type 1 - degWN−m f N−m > µ et r = r ′
type 2 - degWN−m f N−m ≤ µ et degWN−mf N−m > µ
type 3 - degWN−m f N−m ≤ µ et r = R
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Nouveaux résultats La condition RCE
Construction du télescopeSoit µ =
∏c∈NR
µc . Si degW f n > µ alors il existe 0 ≤ k < n tel que
f k(W ) ∩ CE 6= ∅.
WN−m
zm
r ′
type 1 - degWN−m f N−m > µ et r = r ′
type 2 - degWN−m f N−m ≤ µ et degWN−mf N−m > µ
type 3 - degWN−m f N−m ≤ µ et r = R
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Nouveaux résultats La condition RCE
Construction du télescopeSoit µ =
∏c∈NR
µc . Si degW f n > µ alors il existe 0 ≤ k < n tel que
f k(W ) ∩ CE 6= ∅.
WN−m
zm
r ′
type 1 - degWN−m f N−m > µ et r = r ′
type 2 - degWN−m f N−m ≤ µ et degWN−mf N−m > µ
type 3 - degWN−m f N−m ≤ µ et r = R
![Page 81: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/81.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Construction du télescopeSoit µ =
∏c∈NR
µc . Si degW f n > µ alors il existe 0 ≤ k < n tel que
f k(W ) ∩ CE 6= ∅.
WN−m
zm
r ′
type 1 - degWN−m f N−m > µ et r = r ′
type 2 - degWN−m f N−m ≤ µ et degWN−mf N−m > µ
type 3 - degWN−m f N−m ≤ µ et r = R
![Page 82: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/82.jpg)
Nouveaux résultats La condition RCE
Construction du télescopeSoit µ =
∏c∈NR
µc . Si degW f n > µ alors il existe 0 ≤ k < n tel que
f k(W ) ∩ CE 6= ∅.
WN−m
zm
r ′
type 1 - degWN−m f N−m > µ et r = r ′
type 2 - degWN−m f N−m ≤ µ et degWN−mf N−m > µ
type 3 - degWN−m f N−m ≤ µ et r = R
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Nouveaux résultats La condition RCE
Construction du télescopeSoit µ =
∏c∈NR
µc . Si degW f n > µ alors il existe 0 ≤ k < n tel que
f k(W ) ∩ CE 6= ∅.
WN−m
zm
r ′
type 1 - degWN−m f N−m > µ et r = r ′
type 2 - degWN−m f N−m ≤ µ et degWN−mf N−m > µ
type 3 - degWN−m f N−m ≤ µ et r = R
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Nouveaux résultats La condition RCE
Construction du télescopeSoit µ =
∏c∈NR
µc . Si degW f n > µ alors il existe 0 ≤ k < n tel que
f k(W ) ∩ CE 6= ∅.
type 1 - degWN−m f N−m > µ et r = r ′
type 2 - degWN−m f N−m ≤ µ et degWN−mf N−m > µ
type 3 - degWN−m f N−m ≤ µ et r = R
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Nouveaux résultats Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
⇓ [GS] ⇓⇓ F John ⇒ F HölderJ l.c. ⇐=
SH⇒CE⇒
RCE⇒ Hölder ⇔ CE2(z0)⇔ ExpShrink⇔ TCE [PRS]
Invariance topologique.
Dynamique Hyp., SH, TCE CE RCE
S-unimodale Oui Oui [NPSa] -zd + c Oui Oui [P] -
S-multimodale Oui Non (SH) Nonrationnelle Oui Non (SH) ?
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Géométrie des ensembles de Julia Régularité des domaines de C
Métrique quasi-hyperbolique
Soit Ω⊆C un domaine, dσ la métrique sphérique et δ(z) = dist(z , ∂Ω).
DénitionSoit γ⊆Ω une courbe, on dénit sa longueur quasi-hyperbolique par
lqh(γ) =
∫γ
|dσ(z)|δ(z)
.
Lemme (Herron - '99)
Soit z0 ∈ Ω et M > 0. Si pour tout z1 ∈ Ω il existe une courbe
γ(z1, z0)⊆Ω telle que pour tout arc γ′(w1,w0)⊆γ avec lqh(γ′) ≥ M on a
δ(w1) ≤ 12δ(w0),
alors Ω est un domaine de John (z0, ε(M)).
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Géométrie des ensembles de Julia Régularité des domaines de C
Métrique quasi-hyperbolique
Soit Ω⊆C un domaine, dσ la métrique sphérique et δ(z) = dist(z , ∂Ω).
DénitionΩ est un domaine de John s'il existe z0 ∈ Ω et ε > 0 tels que pour tout
z1 ∈ Ω il existe une courbe γ⊆Ω qui connecte z0 à z1 telle que
∀z ∈ γ, δ(z) ≥ ε dist(z , z1).
DénitionSoit γ⊆Ω une courbe, on dénit sa longueur quasi-hyperbolique par
lqh(γ) =
∫γ
|dσ(z)|δ(z)
.
Lemme (Herron - '99)
Soit z0 ∈ Ω et M > 0. Si pour tout z1 ∈ Ω il existe une courbe
γ(z1, z0)⊆Ω telle que pour tout arc γ′(w1,w0)⊆γ avec lqh(γ′) ≥ M on a
δ(w1) ≤ 12δ(w0),
alors Ω est un domaine de John (z0, ε(M)).
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Géométrie des ensembles de Julia Régularité des domaines de C
Métrique quasi-hyperbolique
Soit Ω⊆C un domaine, dσ la métrique sphérique et δ(z) = dist(z , ∂Ω).
DénitionSoit γ⊆Ω une courbe, on dénit sa longueur quasi-hyperbolique par
lqh(γ) =
∫γ
|dσ(z)|δ(z)
.
Lemme (Herron - '99)
Soit z0 ∈ Ω et M > 0. Si pour tout z1 ∈ Ω il existe une courbe
γ(z1, z0)⊆Ω telle que pour tout arc γ′(w1,w0)⊆γ avec lqh(γ′) ≥ M on a
δ(w1) ≤ 12δ(w0),
alors Ω est un domaine de John (z0, ε(M)).
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Géométrie des ensembles de Julia Régularité des domaines de C
Métrique quasi-hyperbolique
Soit Ω⊆C un domaine, dσ la métrique sphérique et δ(z) = dist(z , ∂Ω).
DénitionSoit γ⊆Ω une courbe, on dénit sa longueur quasi-hyperbolique par
lqh(γ) =
∫γ
|dσ(z)|δ(z)
.
Lemme (Herron - '99)
Soit z0 ∈ Ω et M > 0. Si pour tout z1 ∈ Ω il existe une courbe
γ(z1, z0)⊆Ω telle que pour tout arc γ′(w1,w0)⊆γ avec lqh(γ′) ≥ M on a
δ(w1) ≤ 12δ(w0),
alors Ω est un domaine de John (z0, ε(M)).
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Géométrie des ensembles de Julia Régularité des domaines de C
Métrique quasi-hyperbolique
DénitionΩ est un domaine de Hölder s'il existe z0 ∈ Ω tel que pour z ∈ Ω
distqh(z , z0) > log1δ(z)
.
DénitionΩ est un domaine intégrable s'il existe z0 ∈ Ω et une fonction intégrable
H : R+ → R+, ∫ ∞0
H(r)dr <∞,
tels que pour tout z ∈ Ω
δ(z) ≤ H(distqh(z , z0)).
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Géométrie des ensembles de Julia Régularité des domaines de C
Métrique quasi-hyperbolique
DénitionΩ est un domaine de Hölder s'il existe z0 ∈ Ω tel que pour z ∈ Ω
distqh(z , z0) > log1δ(z)
.
DénitionΩ est un domaine intégrable s'il existe z0 ∈ Ω et une fonction intégrable
H : R+ → R+, ∫ ∞0
H(r)dr <∞,
tels que pour tout z ∈ Ω
δ(z) ≤ H(distqh(z , z0)).
![Page 92: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/92.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Construction des courbes γ(z , z0)
Si f est semi-hyperbolique, elle satisfait à RCE et donc à ExpShrink.Soit p un point xe attractif de f et Ω la composante de F qui contient p.
![Page 93: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/93.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Construction des courbes γ(z , z0)
Si f est semi-hyperbolique, elle satisfait à RCE et donc à ExpShrink.Soit p un point xe attractif de f et Ω la composante de F qui contient p.
On construit un domaine p ∈ V⊆Ω tel quef (V )⊆Vf −1(V ) ∩ Ω a une seule composante connexesupδ(z) : z ∈ ∂f (V ) < r
4
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Construction des courbes γ(z , z0)
Si f est semi-hyperbolique, elle satisfait à RCE et donc à ExpShrink.Soit p un point xe attractif de f et Ω la composante de F qui contient p.
On construit un domaine p ∈ V⊆Ω tel quef (V )⊆Vf −1(V ) ∩ Ω a une seule composante connexesupδ(z) : z ∈ ∂f (V ) < r
4
Ω
p
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Construction des courbes γ(z , z0)
Si f est semi-hyperbolique, elle satisfait à RCE et donc à ExpShrink.Soit p un point xe attractif de f et Ω la composante de F qui contient p.
On construit un domaine p ∈ V⊆Ω tel quef (V )⊆Vf −1(V ) ∩ Ω a une seule composante connexesupδ(z) : z ∈ ∂f (V ) < r
4
Ω
p
p1
p2
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Construction des courbes γ(z , z0)
Si f est semi-hyperbolique, elle satisfait à RCE et donc à ExpShrink.Soit p un point xe attractif de f et Ω la composante de F qui contient p.
On construit un domaine p ∈ V⊆Ω tel quef (V )⊆Vf −1(V ) ∩ Ω a une seule composante connexesupδ(z) : z ∈ ∂f (V ) < r
4
Ω
p
p1
p2
![Page 97: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/97.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Construction des courbes γ(z , z0)
Si f est semi-hyperbolique, elle satisfait à RCE et donc à ExpShrink.Soit p un point xe attractif de f et Ω la composante de F qui contient p.
On construit un domaine p ∈ V⊆Ω tel quef (V )⊆Vf −1(V ) ∩ Ω a une seule composante connexesupδ(z) : z ∈ ∂f (V ) < r
4
Il existe L > 0 telle que pour tout z ∈ V il existe γz = γ(z , p)⊆Ω avec
lqh(γz) ≤ L.
![Page 98: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/98.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Construction des courbes γ(z , z0)
Si f est semi-hyperbolique, elle satisfait à RCE et donc à ExpShrink.Soit p un point xe attractif de f et Ω la composante de F qui contient p.
On construit un domaine p ∈ V⊆Ω tel quef (V )⊆Vf −1(V ) ∩ Ω a une seule composante connexesupδ(z) : z ∈ ∂f (V ) < r
4
Il existe L > 0 telle que pour tout z ∈ V il existe γz = γ(z , p)⊆Ω avec
lqh(γz) ≤ L.
Soit γ′z = γz\f (V ). Pour tout z ∈ Ω on dénit γz = γ(z , p) telle que
γz\Vsoit une concaténation des préimages des arcs du type γ′w avecw ∈ V \f (V ). Alors f (γz)\f (V ) = γf (z)\f (V ).
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité Hölder
Soit n(z) = mink ≥ 0 : f k(z) ∈ V pour tout z ∈ Ω. Commeconséquence du Lemme de Koebe, pour z ∈ Ω
lqh(γz) > n(z).
Par ExpShrink, si z ∈ Ω\V alors
δ(z) ≤ λ−n(z).
On a aussiδ(∂V ) · ||f ′||−n(z)∞ ≤ δ(z).
Les deux dernières inégalités montrent que
− log δ(z) ≈ n(z).
Remarque. Ω est un domaine de Hölder.
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité Hölder
Soit n(z) = mink ≥ 0 : f k(z) ∈ V pour tout z ∈ Ω. Commeconséquence du Lemme de Koebe, pour z ∈ Ω
lqh(γz) > n(z).
Par ExpShrink, si z ∈ Ω\V alors
δ(z) ≤ λ−n(z).
On a aussiδ(∂V ) · ||f ′||−n(z)∞ ≤ δ(z).
Les deux dernières inégalités montrent que
− log δ(z) ≈ n(z).
Remarque. Ω est un domaine de Hölder.
![Page 101: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/101.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité Hölder
Soit n(z) = mink ≥ 0 : f k(z) ∈ V pour tout z ∈ Ω. Commeconséquence du Lemme de Koebe, pour z ∈ Ω
lqh(γz) > n(z).
Par ExpShrink, si z ∈ Ω\V alors
δ(z) ≤ λ−n(z).
On a aussiδ(∂V ) · ||f ′||−n(z)∞ ≤ δ(z).
Les deux dernières inégalités montrent que
− log δ(z) ≈ n(z).
Remarque. Ω est un domaine de Hölder.
![Page 102: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/102.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité Hölder
Soit n(z) = mink ≥ 0 : f k(z) ∈ V pour tout z ∈ Ω. Commeconséquence du Lemme de Koebe, pour z ∈ Ω
lqh(γz) > n(z).
Par ExpShrink, si z ∈ Ω\V alors
δ(z) ≤ λ−n(z).
On a aussiδ(∂V ) · ||f ′||−n(z)∞ ≤ δ(z).
Les deux dernières inégalités montrent que
− log δ(z) ≈ n(z).
Remarque. Ω est un domaine de Hölder.
![Page 103: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/103.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité Hölder
Soit n(z) = mink ≥ 0 : f k(z) ∈ V pour tout z ∈ Ω. Commeconséquence du Lemme de Koebe, pour z ∈ Ω
lqh(γz) > n(z).
Par ExpShrink, si z ∈ Ω\V alors
δ(z) ≤ λ−n(z).
On a aussiδ(∂V ) · ||f ′||−n(z)∞ ≤ δ(z).
Les deux dernières inégalités montrent que
− log δ(z) ≈ n(z).
Remarque. Ω est un domaine de Hölder.
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité John
Pour tout η > 0 il existe M > 0 telle que si z ′ ∈ γz ∩ V \f (V ) etlqh(γ(z , z ′)) > M alors δ(z) < ηδ(z ′).
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité John
Pour tout η > 0 il existe M > 0 telle que si z ′ ∈ γz ∩ V \f (V ) etlqh(γ(z , z ′)) > M alors δ(z) < ηδ(z ′). Si l(γ(z , z ′)) < r
4, il existe
x ∈ ∂Ω⊆J tel que γ(z , z ′)⊆B(x , r2
).
z
z ′
Ω
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité John
Pour tout η > 0 il existe M > 0 telle que si z ′ ∈ γz ∩ V \f (V ) etlqh(γ(z , z ′)) > M alors δ(z) < ηδ(z ′). Si l(γ(z , z ′)) < r
4, il existe
x ∈ ∂Ω⊆J tel que γ(z , z ′)⊆B(x , r2
).
z
z ′
f mΩ
ww ′
Soit γ(w ,w ′) une composante de f −m(γ(z , z ′)). Le degré étant borné, lecontrôle de la distorsion géométrique montre que
δ(w) ≤ 12δ(w ′).
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité John uniforme
Pour la suite, on suppose J connexe. Alors les composantes de F sontsimplement connexes. Soit U une telle composante, f est univalente sur Usi et seulement si U ∩ Crit = ∅.
Soit Ω′ une composante de F telle que f m(Ω′) = Ω et f m soit univalentesur Ω′. On démontre que Ω′ est ε-John où ε ne dépend pas de Ω′.
Soit V ′ = f −m(V ) ∩ Ω′. Il sut de voir qu'il existe R > 0 telle que pourtout w ,w ′ ∈ V ′
δ(w)
δ(w ′)≤ R.
Il s'agit d'une conséquence du Lemme de Koebe pour un recouvrement ni
V⊆k⋃1
B(xi , ri )
avec xi ∈ V et B(xi , 2ri )⊆Ω pour tout i = 1, . . . , k .
![Page 108: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/108.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité John uniforme
Pour la suite, on suppose J connexe. Alors les composantes de F sontsimplement connexes. Soit U une telle composante, f est univalente sur Usi et seulement si U ∩ Crit = ∅.
Soit Ω′ une composante de F telle que f m(Ω′) = Ω et f m soit univalentesur Ω′. On démontre que Ω′ est ε-John où ε ne dépend pas de Ω′.
Soit V ′ = f −m(V ) ∩ Ω′. Il sut de voir qu'il existe R > 0 telle que pourtout w ,w ′ ∈ V ′
δ(w)
δ(w ′)≤ R.
Il s'agit d'une conséquence du Lemme de Koebe pour un recouvrement ni
V⊆k⋃1
B(xi , ri )
avec xi ∈ V et B(xi , 2ri )⊆Ω pour tout i = 1, . . . , k .
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité John uniforme
Pour la suite, on suppose J connexe. Alors les composantes de F sontsimplement connexes. Soit U une telle composante, f est univalente sur Usi et seulement si U ∩ Crit = ∅.
Soit Ω′ une composante de F telle que f m(Ω′) = Ω et f m soit univalentesur Ω′. On démontre que Ω′ est ε-John où ε ne dépend pas de Ω′.
Ω′ Ω
f mV ′ V
Soit V ′ = f −m(V ) ∩ Ω′. Il sut de voir qu'il existe R > 0 telle que pourtout w ,w ′ ∈ V ′
δ(w)
δ(w ′)≤ R.
Il s'agit d'une conséquence du Lemme de Koebe pour un recouvrement ni
V⊆k⋃1
B(xi , ri )
avec xi ∈ V et B(xi , 2ri )⊆Ω pour tout i = 1, . . . , k .
![Page 110: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/110.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité John uniforme
Pour la suite, on suppose J connexe. Alors les composantes de F sontsimplement connexes. Soit U une telle composante, f est univalente sur Usi et seulement si U ∩ Crit = ∅.
Soit Ω′ une composante de F telle que f m(Ω′) = Ω et f m soit univalentesur Ω′. On démontre que Ω′ est ε-John où ε ne dépend pas de Ω′.
Ω′ Ω
f mV ′ V
Soit V ′ = f −m(V ) ∩ Ω′. Il sut de voir qu'il existe R > 0 telle que pourtout w ,w ′ ∈ V ′
δ(w)
δ(w ′)≤ R.
Il s'agit d'une conséquence du Lemme de Koebe pour un recouvrement ni
V⊆k⋃1
B(xi , ri )
avec xi ∈ V et B(xi , 2ri )⊆Ω pour tout i = 1, . . . , k .
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Géométrie des ensembles de Julia Semi-hyperbolicité et régularité John
Régularité John uniforme
Pour la suite, on suppose J connexe. Alors les composantes de F sontsimplement connexes. Soit U une telle composante, f est univalente sur Usi et seulement si U ∩ Crit = ∅.
Soit Ω′ une composante de F telle que f m(Ω′) = Ω et f m soit univalentesur Ω′. On démontre que Ω′ est ε-John où ε ne dépend pas de Ω′.
Soit V ′ = f −m(V ) ∩ Ω′. Il sut de voir qu'il existe R > 0 telle que pourtout w ,w ′ ∈ V ′
δ(w)
δ(w ′)≤ R.
Il s'agit d'une conséquence du Lemme de Koebe pour un recouvrement ni
V⊆k⋃1
B(xi , ri )
avec xi ∈ V et B(xi , 2ri )⊆Ω pour tout i = 1, . . . , k .
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Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Domaines de John simplement connexes
Lemme (Gehring, Hag, Martio - '89)
Soit Ω un domaine ε-John simplement connexe et a, b ∈ ∂Ω, [a, b]⊆Ω et
[a, b] ∩ Ω = a, b. Si U1 et U2 sont les composantes connexes de Ω\[a, b]alors
min(diamU1, diamU2) ≤ ε−1δ(a, b).
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Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Domaines de John simplement connexes
Lemme (Gehring, Hag, Martio - '89)
Soit Ω un domaine ε-John simplement connexe et a, b ∈ ∂Ω, [a, b]⊆Ω et
[a, b] ∩ Ω = a, b. Si U1 et U2 sont les composantes connexes de Ω\[a, b]alors
min(diamU1, diamU2) ≤ ε−1δ(a, b).
Ω
U1
a
z0 U2
b
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Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Domaines de John simplement connexes
Lemme (Gehring, Hag, Martio - '89)
Soit Ω un domaine ε-John simplement connexe et a, b ∈ ∂Ω, [a, b]⊆Ω et
[a, b] ∩ Ω = a, b. Si U1 et U2 sont les composantes connexes de Ω\[a, b]alors
min(diamU1, diamU2) ≤ ε−1δ(a, b).
Ω
U1
a
z0 U2
b
x ′ x
y ′ y
Soit x , y ∈ U2, x ′ = γx ∩ [a, b] et y ′ = γy ∩ [a, b]. Alors
δ(x , x ′) ≤ ε−1δ(x ′, a) et δ(y ′, y) ≤ ε−1δ(y ′, b).
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Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de JDénition
Un compact connexe K⊆C est appelé localement connexe si pour tout
τ > 0 il existe θ > 0 telle que si a, b ∈ K avec δ(a, b) < θ alors il existe un
continuum B⊆K tel que
a, b ∈ B et diamB < τ.
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Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de JLes composantes de F sont des domaines ε-John simplement connexes. Onmontre que J est localement connexe avec θ = ε−1τ .
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Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de JLes composantes de F sont des domaines ε-John simplement connexes. Onmontre que J est localement connexe avec θ = ε−1τ .
Soit a, b ∈ J
![Page 118: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/118.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de JLes composantes de F sont des domaines ε-John simplement connexes. Onmontre que J est localement connexe avec θ = ε−1τ .
Soit a, b ∈ J
I composante de [a, b] ∩ F
C (I ) continuum et ∂I⊆C (I )
Pour tout intervalle ouvert I⊆[a, b] maximal avec I⊆J ou I⊆F , C (I ) estun continuum tel que ∂I⊆C (I ) et diamC (I ) ≤ ε−1 diam I .
![Page 119: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/119.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de JLes composantes de F sont des domaines ε-John simplement connexes. Onmontre que J est localement connexe avec θ = ε−1τ .
Soit a, b ∈ J
I composante de [a, b] ∩ F
C (I ) continuum et ∂I⊆C (I )
Pour tout intervalle ouvert I⊆[a, b] maximal avec I⊆J ou I⊆F , C (I ) estun continuum tel que ∂I⊆C (I ) et diamC (I ) ≤ ε−1 diam I .
On prend B =⋃C (I ) continuum avec
diamB ≤ ε−1δ(a, b).
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Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de J
Proposition
Soit K⊆C un continuum et (Un)n≥0 la suite des composantes de C\K. Si
toute ∂Un est localement connexe et limn→∞
diamUn = 0 alors K est
localement connexe.
![Page 121: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/121.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de J
Proposition
Soit K⊆C un continuum et (Un)n≥0 la suite des composantes de C\K. Si
toute ∂Un est localement connexe et limn→∞
diamUn = 0 alors K est
localement connexe.
Soit f satisfaisant à ExpShrink avec J connexe. Il sut de voir quediamUn → 0.
Vf m
U
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Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de J
Proposition
Soit K⊆C un continuum et (Un)n≥0 la suite des composantes de C\K. Si
toute ∂Un est localement connexe et limn→∞
diamUn = 0 alors K est
localement connexe.
Soit f satisfaisant à ExpShrink avec J connexe. Il sut de voir quediamUn → 0.
V
A
f mU
A′
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Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de J
Proposition
Soit K⊆C un continuum et (Un)n≥0 la suite des composantes de C\K. Si
toute ∂Un est localement connexe et limn→∞
diamUn = 0 alors K est
localement connexe.
Soit U une composante de de F . On considère un anneau A⊆U avec∂U⊆∂A et dist(C\A) < r . Soit f m : V→U univalente, V composante deF . Si A′ = f −1(A) ∩ V alors
dist(C\A′) < λ−m et modA′ = modA.
![Page 124: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/124.jpg)
Géométrie des ensembles de Julia Connectivité locale de J
Connectivité locale de J
Proposition
Soit K⊆C un continuum et (Un)n≥0 la suite des composantes de C\K. Si
toute ∂Un est localement connexe et limn→∞
diamUn = 0 alors K est
localement connexe.
Soit U une composante de de F . On considère un anneau A⊆U avec∂U⊆∂A et dist(C\A) < r . Soit f m : V→U univalente, V composante deF . Si A′ = f −1(A) ∩ V alors
dist(C\A′) < λ−m et modA′ = modA.
Lemme
Soit A ⊆ C un anneau C1,C2 les composantes de C \ A. Il existe α > 0 qui
dépend seulement de modA tel que
dist(C \ A
)≥ α min(diamC1, diamC2).
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Géométrie des ensembles de Julia Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
⇓ [GS] ⇓⇓ F John ⇒ F HölderJ l.c. ⇐=
SH⇒CE⇒
RCE⇒ Hölder ⇔ CE2(z0)⇔ ExpShrink⇔ TCE [PRS]
Invariance topologique.
Dynamique Hyp., SH, TCE CE RCE
S-unimodale Oui Oui [NPSa] -zd + c Oui Oui [P] -
S-multimodale Oui Non (SH) Nonrationnelle Oui Non (SH) ?
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Géométrie des ensembles de Julia Résumé
Soit f sans cycle parabolique, CritJ = Crit∩J et PCJ = PC∩J .CritJ = ∅ |PCJ | <∞ CritJ ⊆NR CritJ ⊆CEm m m m
f Hyp. ⇒ f Sous-hyp. ⇒ f SHzd+c
⇒ f CE
⇓ [GS] ⇓⇓ F John ⇒ F HölderJ l.c. ⇐=
SH⇒CE⇒
RCE⇒ Hölder ⇔ CE2(z0)⇔ ExpShrink⇔ TCE [PRS]
Invariance topologique.
Dynamique Hyp., SH, TCE CE RCE
S-unimodale Oui Oui [NPSa] -zd + c Oui Oui [P] -
S-multimodale Oui Non (SH) Nonrationnelle Oui Non (SH) ?
![Page 127: Relations entre géométrie des ensembles de Julia et ...nicolae/Slides_nicolae_mihalache.pdf · Dynamique rationnelle Julia et Fatou Les ensembles de Julia et Fatou Soit f : C !C](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070714/5ed517a534f27f38dd678795/html5/thumbnails/127.jpg)
Nouveaux résultats Contre-exemples
c1 c2I1 I2 I3
Construction
g ∈ R[z ], deg(g) = 3
g : [0, 1]→[0, 1], Crit = c1, c2
g(c1) = 1⇒ c1 ∈ Jc1, c2 ∈ ω(c2)⇒ c2 ∈ Ji(x) ∈ I1, c1, I2, c2, I3N
k i = i(g(ci )), i = 1, 2
k1 = I∞3 , k2 = I k11 I k23 I k32 I1 . . .
Dans un voisinage de c1, |f ′(x)| ≈ 2C |x − c1| et diam g(B(x , δ)) ≈ Cδ2 si|x − c1| > δ. Si |x − c1| δ alors∣∣f ′(x)
∣∣ diam g(B(x , δ))
diamB(x , δ) 1
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Nouveaux résultats Contre-exemples
c1 c2I1 I2 I3
Construction
g ∈ R[z ], deg(g) = 3
g : [0, 1]→[0, 1], Crit = c1, c2g(c1) = 1⇒ c1 ∈ Jc1, c2 ∈ ω(c2)⇒ c2 ∈ J
i(x) ∈ I1, c1, I2, c2, I3N
k i = i(g(ci )), i = 1, 2
k1 = I∞3 , k2 = I k11 I k23 I k32 I1 . . .
Dans un voisinage de c1, |f ′(x)| ≈ 2C |x − c1| et diam g(B(x , δ)) ≈ Cδ2 si|x − c1| > δ. Si |x − c1| δ alors∣∣f ′(x)
∣∣ diam g(B(x , δ))
diamB(x , δ) 1
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Nouveaux résultats Contre-exemples
c1 c2I1 I2 I3
Construction
g ∈ R[z ], deg(g) = 3
g : [0, 1]→[0, 1], Crit = c1, c2g(c1) = 1⇒ c1 ∈ Jc1, c2 ∈ ω(c2)⇒ c2 ∈ Ji(x) ∈ I1, c1, I2, c2, I3N
k i = i(g(ci )), i = 1, 2
k1 = I∞3 , k2 = I k11 I k23 I k32 I1 . . .
Dans un voisinage de c1, |f ′(x)| ≈ 2C |x − c1| et diam g(B(x , δ)) ≈ Cδ2 si|x − c1| > δ. Si |x − c1| δ alors∣∣f ′(x)
∣∣ diam g(B(x , δ))
diamB(x , δ) 1
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Nouveaux résultats Contre-exemples
c1 c2I1 I2 I3
Construction
g ∈ R[z ], deg(g) = 3
g : [0, 1]→[0, 1], Crit = c1, c2g(c1) = 1⇒ c1 ∈ Jc1, c2 ∈ ω(c2)⇒ c2 ∈ Ji(x) ∈ I1, c1, I2, c2, I3N
k i = i(g(ci )), i = 1, 2
k1 = I∞3 , k2 = I k11 I k23 I k32 I1 . . .
Dans un voisinage de c1, |f ′(x)| ≈ 2C |x − c1| et diam g(B(x , δ)) ≈ Cδ2 si|x − c1| > δ. Si |x − c1| δ alors∣∣f ′(x)
∣∣ diam g(B(x , δ))
diamB(x , δ) 1