Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal · Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi 𝐿...

Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal

FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala – Semester Ganjil 2013

Teori Bahasa dan Automata Semester Ganjil 2013

Jum’at, 15.11.2013

Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc

Email: [email protected]

Jurusan Informatika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Syiah Kuala 1

Relasi Ekuivalensi (Equivalence Relations)

FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala – Semester Ganjil 2013 2

Pengertian Relasi Ekuivalensi


Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi

Definisi Relasi Sebuah relasi 𝑅 yang homogen atau unary pada himpunan 𝑀 adalah subset dari 𝑅 ⊆ 𝑀 × 𝑀. Relasi 𝑅 selain dapat ditulis dengan 𝑚1,𝑚2 ∈ 𝑅 dapat juga ditulis dengan 𝑚1 𝑅 𝑚2.

Contoh Relasi:

𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ⟹ 𝑎 𝑏




Relasi Ekuivalensi Relasi ekuivalensi 𝑅 pada himpunan 𝑀 adalah relasi dari 𝑅 ⊆ 𝑀 × 𝑀 yang memiliki properti sebagai berikut:

• Relasi 𝑅 dikatakan reflexive jika (𝑎,𝑎) ∈ 𝑅, dimana 𝑎 ∈ 𝑀. • Relasi 𝑅 dikatakan symmetric jika (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 dan (𝑏,𝑎) ∈ 𝑅. • Relasi 𝑅 dikatakan transitive jika (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 dan (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅 dan

dapat direlasikan juga dengan (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅.

Note: Elemen 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 pada 𝑀 adalah sebarang.




Reflexive: 𝑎

𝑎 𝑏 Symmetric:

Transitive: 𝑎 𝑏 𝑐

(𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅

(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 dan (𝑏,𝑎) ∈ 𝑅

(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 dan (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅 dan (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅

Kelas Ekuivalensi (Equivalence Classes)



Kelas Ekuivalensi Diketahui 𝑅 adalah relasi ekuivalensi pada himpunan 𝑀 dan 𝑚 ∈ 𝑀. Kelas ekuivalensi [𝑚]𝑅 dari 𝑚 adalah himpunan:

[𝑚]𝑅 = 𝑛 ∈ 𝑀 (𝑛,𝑚) ∈ 𝑅} Kelas ekuivalensi di atas dapat juga ditulis dengan [𝑚] jika relasi yang dimaksud sudah jelas.

Kelas Ekuivalensi (Equivalence Classes)



Properti Kelas Ekuivalensi Diketahui 𝑅 adalah relasi ekuivalensi pada himpunan 𝑀 dan 𝑚 ∈ 𝑀. Maka akan berlaku kondisi:

[𝑚1]𝑅 = [𝑚2]𝑅 atau

[𝑚1]𝑅 ∩ [𝑚2]𝑅= ∅ dimana untuk 𝑀 berlaku kondisi:

𝑀 = � [𝑚]𝑅𝑚∈𝑀

Dua buah kelas ekuivalensi bisa akan sama atau bisa juga terpisah. Kedua kelas ekuivalensi terdapat di dalam himpunan 𝑀. Dengan kata lain kelas ekuivalensi adalah partisi/bagian dari himpunan 𝑀.

Acceptance Equivalence



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏

Apakah automata di atas dapat disederhanakan?




1 2/3 4/5 𝑎

𝑏

𝑏

𝑎 𝑎, 𝑏

𝑎, 𝑏

6

State 2 dan 3 adalah acceptance equivalence. Sama halnya pada state 4 dan 5, state-state tersebut dapat digabungkan.




Definisi Acceptance Equivalence Diketahui sebuah DFA dengan 𝑀 = (𝑍, Σ, 𝛿, 𝑧0,𝐸) . Dua buah state 𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝑍 dikatakan acceptance equivalence jika semua word 𝑤 ∈ Σ∗ dan kondisi berikut harus terpenuhi:

�̂� 𝑧1,𝑤 ∈ 𝐸 ⟺ �̂�(𝑧2,𝑤) ∈ 𝐸

Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)



Definisi Ekuivalensi Myhill-Nerode Diketahui sebuah bahasa 𝐿, dimana word 𝑥,𝑦 ∈ Σ∗. Relasi ekuivalensi ≡𝐿 dapat didefinisikan dengan 𝑥 ≡𝐿 𝑦 if and only if (iff)

untuk semua 𝑧 ∈ Σ∗ harus memenuhi kondisi (𝑥𝑧 ∈ 𝐿 ⟺ 𝑦𝑧 ∈ 𝐿)

Selain pada state, acceptance equivalence juga dapat dilakukan pada word. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan ekuivalensi Myhill-Nerode.




Diketahui 𝐿 = 𝑎𝑘𝑏𝑘 𝑘 ∈ ℕ}. Apakah kondisi di bawah ini memenuhi bahasa 𝐿 di atas?

• 𝑎4𝑏3 ≡𝐿 𝑎3𝑏2 ? • 𝑎2𝑏2 ≡𝐿 𝑎3𝑏2 ? • 𝑎4𝑏2 ≡𝐿 𝑎3𝑏2 ? • 𝑎𝑏𝑏 ≡𝐿 𝑏𝑎𝑏𝑎 ?

Spesifikasikan kelas ekuivalensi Myhill-Nerode pada bahasa berikut ini: • 𝐿1 = 𝑤 ∈ 𝑎, 𝑏 ∗ #𝑎 𝑤 𝑔𝑔𝑛𝑎𝑔} • 𝐿1 = 𝑤 ∈ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∗ 𝑡𝑡𝑡𝑎𝑘 𝑏𝑏𝑏𝑔𝑏 𝑡𝑔𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑡𝑎𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑏𝑤𝑏𝑡𝑡 𝑎𝑏𝑐}




Ekuivalensi Myhill-Nerode dan Bahasa Regular Sebuah bahasa 𝐿 ⊆ Σ∗ dikatakan regular, iff ≡𝐿 memiliki kelas ekuivalensi berhingga/finite.




𝐿 regular ⟹ ≡𝐿 memiliki kelas ekuivalensi berhingga/finite. Diketahui bahasa 𝐿 dan automata 𝑀 = (𝑍, Σ, 𝛿, 𝑧0,𝐸) adalah DFA, dimana 𝑇 𝑀 = 𝐿. Relasi ekuivalensi ≡𝑀 didefinisikan dengan:

𝑥 ≡𝑀 𝑦 ⟺ 𝛿 𝑧0, 𝑥 = 𝛿 𝑧0,𝑦 dimana 𝑥,𝑦 ∈ Σ∗ Jumlah kelas ekuivalensi ≡𝑀 sama dengan jumlah state yang mampu dicapai pada automata 𝑀, atau dapat juga disebut dengan berhingga/finite.




Selanjutnya, kita dapat membuktikan bahwa 𝑥 ≡𝑀 𝑦 akan sama dengan 𝑥 ≡𝐿 𝑦. Asumsikan 𝑥 ≡𝑀 𝑦 kemudian pilih sebarang 𝑧 ∈ Σ∗. Pastikan kondisi berikut ini terpenuhi:

𝑥𝑧 ∈ 𝐿 ⟺ �̂� 𝑧0, 𝑥𝑧 ∈ 𝐸

⟺ 𝛿(�̂� 𝑧0, 𝑥 , 𝑧) ∈ 𝐸

⟺ 𝛿(𝑧0,𝑦𝑧) ∈ 𝐸

⟺ �̂�(�̂� 𝑧0,𝑦 , 𝑧) ∈ 𝐸

⟺ 𝑦𝑧 ∈ 𝐸

(Definisi bahasa yang bisa diterima)

(Definisi 𝛿)

𝑥 𝑅𝑀 𝑦

(Definisi 𝛿)


Maka kondisi 𝑥 ≡𝐿 𝑦 dapat terpenuhi. Dengan demikian, ≡𝑀 terhubung dengan semua word pada ≡𝐿 dan memiliki kelas ekuivalensi yang sama seperti ≡𝐿. Jadi ≡𝐿 memiliki kelas ekuivalensi yang finite.




≡𝐿 memiliki kelas ekuivalensi berhingga/finite ⟹ 𝐿 regular Diasumsikan ≡𝐿 memiliki kelas ekuivalensi berhingga/finite. Automata finite 𝑀0 = (𝑍, Σ, 𝛿, 𝑧0,𝐸) untuk 𝐿 dapat dikonstruksikan, dimana definisinya adalah sebagai berikut:

𝑍 = 𝑤 ≡𝐿 𝑤 ∈ Σ∗}

𝑧0 = [𝜀]≡𝐿

𝐸 = 𝑤 ≡𝐿 𝑤 ∈ 𝐿}

𝛿 𝑤 ≡𝐿 ,𝑎 = [𝑤𝑎]≡𝐿





Dari 𝛿 𝑤 ≡𝐿 ,𝑎 = [𝑤𝑎]≡𝐿 diikuti oleh 𝛿 𝑤 ≡𝐿 ,𝑠 = [𝑤𝑠]≡𝐿.

Maka kondisinya menjadi:

𝑥 ∈ 𝐿(𝑀0) ⟺ 𝛿 [𝜀], 𝑥 ∈ 𝐸

⟺ [𝑥] ∈ 𝐸

⟺ 𝑥 ∈ 𝐸

Sehingga 𝑇 𝑀0 = 𝐿


(Definisi Final state)




Dengan metode MyHill-Nerode kita dapat membuktikan sebuah bahasa regular atau tidak regular. Contoh:

• Bahasa 𝐿 = 𝑎𝑘𝑏𝑘 𝑘 ≥ 0} memiliki kelas ekuivalensi tak hingga dan tidak regular.

• Bahasa 𝐿 = 𝑎𝑛𝑏𝑚𝑐𝑚 𝑛,𝑚 ≥ 1} ∪ {𝑏𝑚𝑐𝑛 | 𝑛,𝑚 ≥ 1} memiliki kelas ekuivalensi tak hingga dan tidak regular.

(Kedua bahasa di atas dapat juga dibuktikan dengan pumping lemma)




Jika diketahui 𝑀0 adalah DFA yang dikonstruksi dari kelas ekuivalensi. Untuk sebarang automata 𝑀 dimana 𝑇 𝑀 = 𝑇 𝑀0 , maka memenuhi kondisi berikut:

≡𝑀 ⊆ ≡𝐿 = ≡𝑀0 Artinya bahwa 𝑀0 bisa dikonstruksi dari 𝑀 dengan menggabungkan state kelas ekuivalensi. Dengan kata lain, 𝑀0 adalah DFA minimal dari bahasa 𝐿. Semua DFA minimal yang berasal dari satu bahasa yang sama maka DFA tersebut akan sama (walaupun dengan state yang berbeda).

Automata Minimal


Automata Minimal


Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal

Bagaimana caranya untuk mengetahui bahwa sebuah DFA dikatakan minimal tanpa melakukan konstruksi kelas ekuivalensi? Solusi: Dengan cara menggabungkan state yang memiliki acceptance equivalence. Sebelum melakukan penggabungan state, hal yang pertama sekali dilakukan adalah menentukan terlebih dahulu state yang tidak acceptance equivalence (state final dan state non final), dan dilanjutkan dengan melakukan pencarian state yang non acceptance equivalence.

Automata Minimal



Algoritma Automata Minimal Input: DFA 𝑀 Output: Himpunan state acceptance equivalence

1. Hapus state yang tidak dapat dijangkau dari start state. 2. Buatlah tabel pasangan state {𝑧, 𝑧′}, dimana 𝑧 ≠ 𝑧′. 3. Beri tanda pasangan state 𝑧, 𝑧′ dimana 𝑧 ∈ 𝐸 dan 𝑧′ ∉ 𝐸. Note: 𝑧, 𝑧′ tidak acceptance equivalence. 4. Untuk pasangan yang tidak diberi tanda {𝑧, 𝑧′} dan dimana 𝑎 ∈ Σ,

lakukan pengecekan apakah {𝛿 𝑧,𝑎 , 𝛿(𝑧′,𝑎)} sudah pernah diberi tanda. Jika ya, tandai {𝑧, 𝑧′}.

5. Ulangi langkah di atas sampai tidak mungkin diberi ditandai lagi. 6. Untuk pasangan {𝑧, 𝑧′} yang belum diberi tanda, berarti 𝑧 dan 𝑧′

adalah acceptance equivalence.

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏

Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:

Buat tabel untuk semua pasangan state

2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏


(1) Tandai pasangan state final dan state non final

2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏


(2) Beri tanda {2, 4} karena 𝛿 2,𝑎 = 1, 𝛿 4,𝑎 = 6 dan {1, 6} sudah ditandai

2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏



2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2 3

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏



2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2 3 4

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏



2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2 3 4 5

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏



2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2 3 4 5

6

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏



2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2 3 4 5

6 7

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏


(8) Beri tanda {1, 3} karena 𝛿 1, 𝑏 = 2, 𝛿 3, 𝑏 = 5 dan {2, 5} sudah ditandai

2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2 3 4 5

6 7

8

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏


(9) Beri tanda {1, 2} karena 𝛿 1, 𝑏 = 2, 𝛿 2, 𝑏 = 4 dan {2, 4} sudah ditandai

2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2 3 4 5

6 7

8

9

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏


Pasangan state yang tersisa {2, 3} dan {4, 5} tidak bisa ditandai karena acceptance equivalent.

2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2 3 4 5

6 7

8

9

Automata Minimal



1

2

3

4

5

6 𝑎

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏 𝑏

𝑎

𝑎

𝑎, 𝑏


Pasangan state yang tersisa {2, 3} dan {4, 5} tidak bisa ditandai karena acceptance equivalent.

2

3

4

5

6 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

2 3 4 5

6 7

8

9

1 2/3 4/5 𝑎

𝑏

𝑏

𝑎 𝑎, 𝑏 𝑎, 𝑏

6

Automata Minimal



Hint penggunaan algoritma automata minimal: • Buatlah sebuah tabel dimana setiap pasangan state hanya ada satu. Secara vertikal 2, … ,𝑛 dan secara horizontal 1, …𝑛 − 1. • Spesifikasikan pasangan mana yang telah diberi tanda.

Referensi


Teori Bahasa dan Automata Referensi

1. Hopcroft, Motwani, Ullman: Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Addison-Wesley, 2001

2. James A. Anderson: Automata Theory with Modern Applications, Cambridge University Press, 2006.

3. Uwe Schöning: Theoretische Informatik – kurzgefaßt. Spektrum, 2008. (5. Auflage)

Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal · Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi 𝐿...

Documents

Transcript of Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal · Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi 𝐿...