Relaciones y Funciones Definición 1 Clasificación 2 Características 3 Esta presentación,...
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Relaciones y Funciones
Definición1
Clasificación2
Características3
Esta presentación, contiene el apoyo teórico básico sobre relaciones y funciones
El objetivo es que, al final del tema, puedas identificar una función y sus elementos y clasificarla mediante algunas de sus características
Relaciones y Funciones
Una relación es una conexión o correspondencia entre objetos o
sujetos representada como un conjunto de pares ordenados
La relación “es menor que”, existe entre los números 2 y 5
Relación
Relación Cosas que se relacionan
Es un múltiplo de …
No es igual a …
Da más leche que …
Es congruente con …
Número enteros
Números
Vacas
Triángulos
1
2
3
4
Relaciones y Funciones
Una relación se define sobre conjuntos de objetos o sujetos
La relación “es un múltiplo de …”, está definida sobre un conjunto de números
Relación 1
El orden de los elementos es muy importante y debe tenerse en cuenta
2
La relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es un múltiplo de 12” es falsa
La relación “nació en el año … está definida desde un conjunto de gente hacia un
conjunto de números
Relaciones y Funciones
Sean los conjuntos L; formado por las vocales latinas, y G; formado por las vocales griegas
Ejemplo
, , , ,L a e i o u , , , , , ,G
Estableceremos la relación de correspondencia de las vocales latinas con las vocales griegas (transliteración), R: LG.
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )R a e e i o o u
Representación con pares ordenados
Relaciones y Funciones
Ejemplo
Representación gráfica
a
e
L i
o
u
G
Relaciones y Funciones
Ejemplo
Representación gráfica
a e i o u
Relaciones y Funciones
Algunas relaciones tienen una característica que las hace especiales
Considera la relación “es hijo de …” definida desde el conjunto H hacia el conjunto P
Funciones
Pedro
Arturo
H Aurora
Norma
Fátima
Enrique
RogelioG
Mario
Víctor
El diagrama establece que Arturo y Aurora son hijos de
Rogelio, que Pedro es hijo de Enrique,
Norma es hija de Mario y Fátima es
hija de Víctor.
Relaciones y Funciones
¿Qué sentido tendría la relación marcada en la figura?
¿Fátima es hija de Mario y Víctor? Biológicamente es imposible que una
persona tenga dos padres
Funciones
Pedro
Arturo
H Aurora
Norma
Fátima
Enrique
RogelioG
Mario
Víctor
Si una relación excluye este tipo de
correspondencias entre los elementos
de los conjuntos que la definen, hablamos
de una FUNCIÓN
Relaciones y Funciones
Una función se define formalmente de la siguiente manera:
Sea f: A B una relación, entonces decimos que f es una función de A hacia B si y solo si para cada xA hay un solo yB tal que x f y, que se denota como y=f(x).
Funciones
i
Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIOii
A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIAiv
A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la función o Recorrido de la función
iii
Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A
Relaciones y Funciones
Las funciones se clasifican:
Funciones
Por la relación entre el Dominio y el Contradominio1
Inyectivas Suprayectivas Biyectivas
Por su regla de correspondencia2
Algebraicas Trascendentes
Por su simetría3
Pares Impares
Relaciones y Funciones
Función Inyectiva
x1,x2 si [x1≠ x2 ] [f(x1) ≠ f(x2)]
x1,x2 si [f(x1) = f(x2)] [x1= x2]B
Si f: A B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de las siguientes condiciones
A
Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el conjunto de lugares en el estacionamiento.A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento
Ejemplo
Relaciones y Funciones
Función Inyectiva
En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar específico para estacionar su carro.
Ejemplo
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajo
Lugar 1
Lugar 2Carro 1
¿Esta relación es
una función?
Relaciones y Funciones
Función Inyectiva Ejemplo
Es una función inyectiva porque si tomamos dos carros diferentes, el lugar de estacionamiento que les corresponde es diferente.
¿Esta función es inyectiva?
Lugar 2Carro 2
Carro 3
En una función inyectiva NO se permite este tipo de relaciones
Relaciones y Funciones
Función Suprayectiva
Im(f)= B, es decir, que el Conjunto Imagen de la función sea exactamente igual al conjunto B (contradominio)
yB existe xA tal que y=f(x)
Si f: A B es una función, es sobreyectiva si se cumple que:
A
Sea la función definida del conjunto de carros hacia el conjunto de
lugares de estacionamiento.Ejemplo
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Todos los elementos del contradominio SON imágenes de algún o algunos elementos del dominio.
Carro 6 ¡Esta función NO es
inyectiva!
Relaciones y Funciones
Función Suprayectiva
Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que NO es imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a ningún vehículo.
¿La función del ejemplo anterior es
suprayectiva?
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Relaciones y Funciones
Función Biyectiva
Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de dos diferentes elementos del dominio
Si f: A B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva, es decir,
A
Ejemplo
Todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de al menos un elemento del dominio
B
Sea la función definida del conjunto de carros hacia el conjunto de
lugares de estacionamiento.
Todos los elementos del contradominio SON imágenes de solo un elemento del dominio. La función es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo.
Lugar 1
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Carro 6
Lugar 2
Relaciones y Funciones
Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y potencia.
A
Ejemplos
2( ) 3 2f x x x Función cuadrática
B
1 21 2 1 0( ) ...n n
n nP x a x a x a x a x a C
Función Polinomial (entera) de grado “n”( )f x ax b
Función lineal
1 21 2 1 0
1 21 2 1 0
...( )( )
( ) ...
n nn n
m mm m
a x a x a x a x aP xr x
Q x b x b x b x b x b
D
Funciones Racionales
Función Racional No entera
Relaciones y Funciones
Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y potencia.
A
Ejemplos
2( )f x x b
Las funciones irracionales incluyen
radicales en la regla de correspondencia
B
1( )
2
xf x
x
C
2( ) 1f x x x
2( )
4
xr x
x
D
Funciones Irracionales
1( )
2
xf x
x
E
Relaciones y Funciones
Funciones trascendentes Todas las funciones que NO son algebraicas se conocen con el nombre de funciones trascendentes o trascendentales
A
Ejemplos
( ) , 0xf x a a
Función Exponencial B Función logaritmo
( ) log , 0af x x a
C
( ) sin( ), ( ) cos( ), ( ) tan( )f x x f x x f x x
Funciones Trigonométricas (circulares)
( ) cot( ), ( ) sec( ), ( ) csc( )f x x f x x f x x
D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas Inversas
Relaciones y Funciones
Una función es par cuando se cumple que:
Función Par
f(x)=f(-x)
Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden. La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y
Una función es impar cuando se cumple que:
Función Impar
f(-x)=-f(x)
Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas. La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas
Relaciones y Funciones
Operaciones con Funciones
Dadas las funciones f(x) y g(x) se definen la:
1 Suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x)
2
3
5
Resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x)
Composición: (fg)(x) = f(g(x))
División: (f/g)(x) = f(x) / g(x)4
Multiplicación: (f*g)(x) = f(x) * g(x)