RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

JAVIER BERENGUER MALDONADO

ÁNGULOS OPUESTOS

α αcos x cos(- )=x

=

P (x,y)

α αsen y sen( ) y

= - =-

α αy y

tg tg(- )x x

-= =

65º

-65º

Si sen 65º= 0,9063 entonces sen(-65)=

Si cos 65º= 0,4226 entonces cos(-65)=

Si tg 65º= 2,1445 entonces tg(-65)=

-0,9063

0,4226

2,1445

Q(x, -y)

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS (SUMAN 180º)

α αcos x cos(180º- )=-x =

α αsen y sen(180º ) y = - =

Si sen 20º= 0,342 entonces sen160º=

Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos160º=

Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 160º=

0,342

-0,9396

-0,3639

180 -

P (x,y)

20º

160º

α αy y

tg tg(180- )x x

= =-

Q(-x,y)

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (SUMAN 90º)

α αcos x cos(90º- )= y =

α αsen y sen(90º ) x = - =

Si sen 20º= 0,342 entonces sen 70º=

Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos70º=

Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 70º=

0,9396

0,342

1/0,3639=2,7474

P (x,y)

20º

α αα

y x 1 1tg tg(90º- )

yx y tgx

= = = =

70 º

90 -

Q(y,x)

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º

α αcos x cos(90º+ )= - y =

α αsen y sen(90º ) x = + =

Si sen 20º= 0,342 entonces sen 110º=

Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos110º=

Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 110º=

0,9396

-0,342

-1/0,3639=- 2,7474

P (x,y)

20º

α αα

y x 1tg tg(90º+ )

x y tg= = =-

-

X

y

Q (-y,x)

90 +110 º

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180 º

α αcos x cos(180º+ )=-x =

α αsen y sen(180º ) y = + =-

Si sen 20º= 0,342 entonces sen 200º=

Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos200º=

Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 200º=

- 0,342

-0,9396

0,3639

180 +

P (x,y)

20º

200º

α α αy y

tg tg(180+ ) tgx x

-= = =

-

Q(-x,-y)

ALGUNOS EJEMPLOS

Expresa cos 225º como un ángulo del primer cuadrante

225º cos 225º

45º

cos 45º

Solución: cos 225º = - cos 45º

α α αHalla las restantes razones trigonométricas de sabiendo tg =-3 y que 180º<

Con la calculadora se obtiene que el ángulo es –71,5650º, o lo que es lo mismo 288,435.

-71,465º

288,535º

288,353 no vale porque es mayor que 180º

Por lo ya estudiado, cuando dos ángulos difieren en 180º tienen la misma tangente

Por lo que el ángulo buscado cumple que:

α α288,435º - = 180º =108,43495ºÞ

Conocido el ángulo se calcula el seno y el coseno con la calculadora

α α αHalla con la calculadora sabiendo que sen = - 0,75 y que 270º<

Con la calculadora se obtiene que el ángulo es -48,5903º que es lo mismo que 311 ,4096º

Debo encontrar un ángulo que tenga el mismo seno que 311,4096 y que sea menor a 270º

311,4096 º

sen 311,4096

Mismo seno y es menor que 270º

α 311,4096º 2·41,4096º 228,59036= - =α

ACTIVIDADES: 1 Y 2 DE PG 111, 10, 11, 13 Y 14 DE PG 120