Relaciones de orden
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Relaciones de orden
Recordar:Recordar:
* ¿Qué es una relación de orden parcial?* ¿Qué es una relación de orden parcial?
* ¿Cómo reconocer estas propiedades en * ¿Cómo reconocer estas propiedades en una representación cartesiana? una representación cartesiana?
Definición:
Un conjunto (A, R ) parcialmente ordenado es totalmente
ordenado si cualesquiera dos elementos de A, a y b, están
vinculados mediante la relación R. Es decir,
a, b A [a b a R b b R a ].
Por ejemplo:
1) (N, ) es un conjunto totalmente ordenado. ¿Por qué?
2) Sea U = {1, 2, 3} y en P(U) se define la relación
“A R B sii A B”.
(P(U), R) no es un conjunto totalmente ordenado. ¿Por qué?
Relaciones de orden
Relaciones de orden
Ejercicio 1:
En N, el conjunto de los números naturales se define la
relación “divisor de”, así:
“aa R bb sii aa divide a bb, (se denota por a|ba|b)”
(a|b si existe un número natural n tal que b = an)
a) Compruebe que es una relación de orden.
b) ¿Es un orden total o parcial? (Ir a la respuesta)
Piénsalo un poco ...Piénsalo un poco ...
Relaciones de orden
Elementos distinguidos en un conjunto ordenado.
Sea (A, R ) es un conjunto parcialmente ordenado,
E1: Elementos minimales
mi A es minimal x A [x R mi x = mi]
x A [x mi x ℟ mi]
(Esta es la proposición matemática para expresar que no existe otro
elemento que sea, mediante la relación de orden, menor que el minimal).
E2: Elementos maximales
ma A es maximal x A [ma R x ma = x]
(No existe otro elemento que sea, mediante la relación de orden, mayor que el maximal).
Relaciones de orden
Ejemplos:
3) Sea B = {1, 2}, en P(B )= {, {1}, {2}, {1,2}} se define la relación de inclusión, la cual es de orden parcial
{1} {1,2} y {2} {1,2}
Entonces, B es el elemento maximal y es el elemento minimal, pues no existe otro elemento en P(B ) que esté “por debajo” del minimal, ni “por encima” del maximal.
4) En el conjunto C = {, {1}, {2}} se define la relación de inclusión. Observar que {1} y {2}.
es el elemento minimal y tanto {1} como {2} son los elementos maximales.
Moraleja:
Los elementos maximales y minimales no son únicos,
en caso de existir.
Ejercicio 2:
¿Es posible determinar el elemento minimal y maximal para la relación
definida en N: a|b?
Relaciones de orden
E3 Elemento mínimo
a A es mínimo x A [ a R x]
E4 Elemento máximo
b A es máximo x A [ x R b]
Relaciones de orden
Ejemplo:
En la relación “inclusión” sobre el conjunto A, el elemento máximo es el elemento maximal: el universo y el elemento mínimo es el conjunto vacío.
Relaciones de orden
Teorema importante:“Si el conjunto A es parcialmente ordenado y
posee elemento máximo (o mínimo) entonces este es único”.
Demostración: Supongamos que el conjunto A posee dos elementosmáximos, digamos M1 y M2. Por definición de máximo para cada uno:
M1 máximo M2 R M1 M2 máximo M1 R M2
Como R es antisimétrica: entonces M1 = M2
Relaciones de ordenDefiniciones: 1) Un elemento cs de A es una cota superior de B A sii x B [ x R cs] 2) Un elemento ci de A es una cota inferior de B A sii x B [ ci R x]
3) El supremo de B, es la mínima cota superior de B; la cual es un elemento de A.
4) El ínfimo de B, es la máxima cota inferior de B; la cual es un
elemento de A.
5) Los elementos a y b de A son consecutivos sii a) a R b y b) [a R x x R b] [a = x x = b]
Relaciones de orden
Ejercicio 3: Sea A = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48 } y la relación definida por “(a, b) R sii a divide a b : a|b”Sea B = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Determinar para B, si existena) Cotas superioresb) Cotas inferioresc) Elemento minimal y elemento maximal.d) Máximo y mínimo.e) Supremo e ínfimo.f) Elementos consecutivos.
(Ir a la respuesta)
Relaciones de orden
Diagramas de Hasse:
Sea (A, R ) es un conjunto parcialmente ordenado y finito.
A cada elemento del conjunto A se le asocia un punto en el plano (o en el espacio), que llamaremos vértice.
Un diagrama de Hasse es el gráfico resultante al unir dos elementos consecutivos mediante un segmento de recta, que llamaremos arista.
a
b
c
Ejemplo: Sea A = {a,b,c} y la relación R
R = {(a,a), (b,b), (c,c), (b,a), (b,c), (a,c)}
Es de orden total.
Su diagrama de Hasse es:
Relaciones de orden
Ejercicio 4: Realizar el diagrama de Hasse para A = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } con la relación
“(a, b) R sii a divide a b : a|b”
Ir a la respuesta
Tarea:
Preparar para el jueves los ejercicios
19, 20 y 29
de la página 381 del libro.
Relaciones de orden
“El sabio comienza por hacer
lo que quiere enseñar y
después enseña.”
- Confucio.
Respuestas
Ejercicio 1
a) Veamos que es una relación de orden
* Como a= a.1 para cualquier a natural entonces a|a, por lo tanto a R a, para todo a natural. Entonces R es reflexiva.
* Si aRb entonces a|b, i.e., existe un natural n tal que b = an.
Si bRa entonces existe un natural m tal que a = bm.
Combinándolas, a = bm = (a.n).m n.m = 1 n = m = 1 a = b.
Entonces R es antisimétrica.
*Si aRb y bRc entonces existen naturales n y m tales que
b = an y c = bm
Por lo tanto: c = bm =(an).m = a (n.m) = a.k donde k es un n° natural.
Esto indica que a|c o que aRc. Entonces R es transitiva.
R es un orden parcial sobre A.
b) No es un orden total. Por ej.: ni 2 está relacionado con 7, ni 7 está relacionado con 2. Esto indica que no es orden total. (Retorno)
Respuestas
Ejercicio 3
a) Cotas superiores: 24, 48
Cotas inferiores: no tiene pues 2 no está relacionado con 3
b) Elemento maximal: 24.
Elementos minimales : 2 y 3 ¿Por qué?
c) Supremo: 24 e ínfimo: no tiene.
d) Los elementos consecutivos son:
2 y 4 3 y 6 4 y 8 6 y 12 12 y 24
2 y 6 4 y 12 8 y 24
(Retorno)
(Retorno)
2 3
4
8
6
12
24
Ejercicio 4
Respuestas
El diagrama de Hasse para el orden (A, R) es:
Observa que se ha hecho una convención al construirlo: se traza un segmento de x hacia arriba, hacia y, si xRy y son consecutivos.
De modo que leemos el diagrama de abajo hacia arriba, de los “elementos menores” hacia los “mayores”
Retorno
... Representación cartesiana
Sea R una relación definida sobre el conjunto A.Si la relación R es reflexiva entonces
la diagonal pertenece a la relación.
A
A
Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares se reflejan respecto a la diagonal principal.
... Representación cartesiana
A
A
Si la relación R es antisimétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal principal excepto la diagonal misma.
A
A
Representación cartesiana
Retorno ...