Relaciones Binarias

Sean X e Y dos conjuntos. Una relación

de X en Y es un subconjunto R del producto

cartesiano X x Y. El conjunto X es llamado

conjunto de partida de la relación R; e Y

es el conjunto de llegada.

En el caso de que Y = X, en lugar de

decir que R es una relación de X en X,

diremos que R es una relación en X.

Los elementos de R son pares

ordenados. Si (x, y) es un elemento de R,

en lugar de escribir (x, y) Î R, escribiremos X R Y y leeremos: "X está relacionado

con Y", según la relación R".

Nota: Usaremos las letras R, S, T, etc., para representar relaciones.

Ejemplos

1. Si X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, una relación de X en Y es R = {(a, 2),

(b, 1), (b, 4), (c, 5)}

2. La siguiente relación S de R en R S = { (X, Y) Î R x R / X £ Y } es la relación

"menor o igual" en R. En este caso X S Y Û X £ Y

3. Sea U el conjunto referencial. La relación de inclusión en P(U) es la relación

R = { (A, B) Î P(U) x P(U) / A Ì B }

Dominio y Rango

Definición: Sea R una relación de X en

Y

El Dominio de R es el conjunto

Dom(R) = { xÎ X / (x,y) Î R, para algún y Î Y}

El Rango o imagen de R es el conjunto

Rang(R) = { y Î Y / (x, y) Î R, para algún x Î X }

En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están constituidos

por los primeros y segundos componentes respectivamente de los pares

ordenados que constituyen la relación.

Ejemplo: La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio el

conjunto Dom (R) = { a, b, c} y rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están

en el primer componente de los pares ordenados y 1,2,4,5 están en el segund

componente de cada par.

Representación gráfica de

Relaciones

Existen varias formas de representar

gráficamente una relación. Las más usuales

son las siguientes: Representación

Cartesiana, Matricial y Sagitaria.

Representación Cartesiana

Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman como

abscisas los elementos del conjunto de partida; y como ordenadas, el conjunto de

llegada. En el plano se marcan los pares ordenados que conforma la relación.

Esta representación alcanza su mayor importancia cuando el conjunto de partida y

el de llegada son subconjuntos de R.

Ejemplo 1

1. si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3, 4, 5} una relación de X en Y 2. R={ (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5) }

La representación cartesiana es el diagrama adjunto.

Representación Sagital

La representación sagital es la más popular de las representaciones. Ésta,

igual que la matricial, se usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos.

La representación sagital se obtiene representando mediante diagramas de Venn

el conjunto de partida y el de llegada; uniendo luego, con flechas, los elementos

relacionados. Así, la representación sagital de la relación del ejemplo 1 es el

siguiente diagrama:

Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo diagrama de

Venn y las flechas se representan interiormente. Así, el diagrama siguiente

representa a la siguiente relación en X={ a, b, c, d }

S= { (a, b), (b, b), (a, d), (b, c), ( d, d) }

Matriz Binaria

La representación matricial se usa

cuando los conjuntos de partida y de

llegada de la relación son conjuntos finitos

con pocos elementos. Para obtener tal

representación, se asigna a cada elemento

del conjunto de llegada una columna; y a

cada elemento del conjunto de partida, una

fila.

Si (x, y) está en la relación, en la

intersección de la fila que corresponde a x

con la columna que corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en caso

contrario. La configuración rectangular de ceros y unos que se obtiene se llama

matriz binaria de la relación.

Así, la matriz de la relación. R={(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}

Relación Inversa

Sea R una relación de X en Y. Se llama relación inversa de R a la relación R-1 de Y en X dada por:

R-1 = { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î R}

O sea, Y R-1 X Û X R Y

Es evidente que se verifica que:

dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)

Ejemplo

Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por

R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) }

R-1= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }

Además domR-1= { 1, 3, 4 } = rang( R)

Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)

El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es la

misma relación.

Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R

Demostración

X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa

Û X R Y

Luego, (R-1)-1 = R

Composición de Relaciones

Sea R una relación de X a Y y S una

relación de Y en Z. Se llama composición

de R con S a la siguiente relación de X en

Z:

X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z

Observación

En la composición de R con S, es

necesario que el conjunto de llegada de R

sea igual al conjunto de partida de S. Este

requisito puede ser aligerado exigiendo solamente que el conjunto de llegada de R

esté contenido en el conjunto de partida de S.

Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición S o

R es inverso al orden en que se dan R y S.

Ejemplo

1. Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }

Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas por

R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } ,

S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }

Entonces:

SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }

Teorema: Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es

una relación de Z en W, entonces:

T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Demostración

X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z)

Ù z T w

Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w

Û x ( ( T o S ) o R )w

Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Teorema: Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z,

entonces (S o R)-1 = R-1 o S-1

Demostración

z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z

Û $ y Î Y , x R y Ù y S z

Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y

Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 x

Û z( R-1 o S-1)x

Luego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1

Problemas Propuestos

1. Sea X={2, 3, 4} e Y= {4, 5, 6, 7} y R la relación de X en Y dada por: X R Y Û

X divide a Y

a. Hallar los elementos de R.

b. Representar a R matricialmente y sagitalmente.

c. Hallar la relación inversa R-1 .

2. Sean X= {1, 2, 3, 4, 5} , Y= {1, 4, 6, 9, 16, 25} y Z= {2, 3, 8, 25/2} Si R es la

relación de X en Y dada por Hallar

a. S o R b. R-1 o S-1