ALGEBRA I, LUIS ANTONIO SIZA CARDENAS.

RELACIONES BINARIAS ENTRE COJUNTOS

DEFINICION:

Relación Binaria: Sean A y B dos conjuntos. Una relación (binaria) R de A en B es un subconjunto de A x B:

R ⊂ A x B = {(a; b)/a ∈ A; b ∈ B}

Escribiremos a R b para indicar que (a; b) ∈ R y a R b para expresar que (a; b) ∉ R. Si a R b diremos que a está relacionado con b.

Si R es una relación de A en sí mismo, i.e., R ⊂ A x A, diremos que es una relación en A.

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS:

1. Reflexividad: R es reflexiva ⇔ x A : (x, x) R.∀ ∈ ∈

2. Irreflexividad: R es irreflexiva ⇔ x A : (x, x) ∀ ∈ ∉ R

3. Simetría: R es simétrica ⇔ x, y A : (x, y) R (y, x) R.∀ ∈ ∈ ⇒ ∈

4. Asimetría: R es asimétrica ⇔ x, y A : (x, y) R (y, x) R.∀ ∈ ∈ ⇒ ∉

5. Antisimetría: R es antisimétrica ⇔ x, y A : (x, y) R (y, x) R x = y.∀ ∈ ∈ ∧ ∈ ⇒

6. Transitividad: R es transitiva ⇔ x, y, z A : (x, y) R (y, z) R (x, z) R.∀ ∈ ∈ ∧ ∈ ⇒ ∈

DOMINIO DE UNA RELACION.

Sea R una relación de A en B. El dominio de R es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en símbolos:

DR = Dom(R) = {a A : (a, b) R para algún b B}∈ ∈ ∈

RANGO DE UNA RELACION.

El rango de R es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertence a R, en símbolos:

RR = Rgo(R) = {b B : (a, b) R para algún a A}∈ ∈ ∈

EJEMPLO DE RELACIONES BINARIAS ENTRE COJUNTOS.

Sea A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relación R de A a B definida por:

(a, b) R ⇔ a es producido por b∈

Solución:

La relación sería:R = {(huevos, gallinas),(leche, vacas),(leche, cabras)}

EJEMPLO DE RELACIONES BINARIAS ENTRE COJUNTOS.

Sea A = {1, 2, 3} y R = {(1, 2), (1, 3), (3, 2)}. R es una relación en A ya que es un subconjunto de A × A. Con respecto a esta relación, tendremos que

1R2, 1R3, 3R2, pero

1 R 1, 2 R 1, 2 R 2, 2 R 3, 3 R 1, 3 R 3.