relação entre um quadrilátero inscrito em um hexágono regular
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Considere um hexágono regular ABCDEF e sejam M e N os pontosmédios dos lados BC e CD, respectivamente.?A razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono é? Fonte da pergunta
http://br.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AiOqCgTvWgW.ZdCtOvvMePMS7Qt.;_ylv=3?qid=20091230093229AA87zfR
ou
http://j.mp/6SCRpb
Resposta:
Desenhando a figura apresentada no problema:
Para um hexágono sabemos que a área é dado por
ou
A principal dúvida esta na nova área formada formada pelo quadrilátero.
Depois de achado esta nova área, basta dividir a área do quadrilátero pelo área dohexágono e teremos o resultado procurado, ou seja,razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono
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Primeiramente, dividiremos o hexágono em 6 triângulos equiláteros, de onde poderemostirar algumas informações importantes conforme apresentado na figura abaixo.
Para um quadrilárelo a área é dado por
Nos concentraremos nos dois triângulos formados internamente.
O primeiro triângulo é formado por AOE
O segundo triângulo é formado por MON
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O segmento AO e OE possuem tamanho conforme a primeira fórmula apresentada na
figura do hexágono
Sendo assim, aplicando a lei dos cossenos, temos
Alterando AO e OE por e o ângulo por 120 graus
Agora já temos o tamanho da Base maior do quadrilátero
Aplicaremos a mesmo equação para achar base menor do quadrilátero
Conforme a figura apresentada, o segmento MO e ON possuem tamanho da altura dotriângulo equilátero de lado .
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A altura do triângulo equilátero, é dado por:
Da mesma forma, temos
Alterando AO e OE pelo valor de h e o ângulo por 60 graus
Agora já possuimos os valores da Base maior e base menor
Faltando agora apenas altura do quadrilátero.
A altura do quadrilátero é que a soma das altura dos triângulos AOE e MON
Para achar as alturas desejadas (h1 e h2), basta achar a projeção dos respectivos lados dostriângulos AOE e MON no eixo PQ
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Assim temos
AO possui tamanho
MO possui tamanho
A altura do quadrilátero PQ será a soma dos segmentos
PO e OQ
Agora de posse de todos os dados do quadrilátero, basta calcular a área desejada
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B = AE
b = MN
A = PQ
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Resultados final desejado é a razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágonoABCDEF
A razão entre a área do quadrilátero AMNE e a área do hexágono ABCDEF é 5/8
Obs.: Existem várias outras formas de achar esta resposta. Esta foi uma delas.
Resolução do problema apresentado em http://bit.ly/6SCRpb