Regras para esboço do Lugar das Raízes
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Regras para esboço do Lugar das Raízes
1. O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema;
2. O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real;
3. O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;
Regras para esboço do Lugar das Raízes
4. O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta;
5. Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:
,.....2,1,0
..
12
..
kondefinitoszerosNumfinitospólosNúm
k
finitoszerosNumfinitospólosNúm
finitoszerosfinitospólos
a
a
Refinando o Lugar das Raízes
1. Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real:
2. Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade;
3. Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados
n
i
m
i pz 11
11
Pontos de Chegada e de Saídado eixo real
• Exemplo: Esboce o lugar das raízes para
21
53
ss
ssksHsKG
n
i
m
i pz 11
11
Pontos de Saída e Chegada
0612611
21
12
53
35
2
1
1
1
5
1
3
1
2
82,3;45,1 21
Exemplo de lugar das raízes mostrando os
pontos de saída(–1) e entrada (2) no eixo real
Plano s
82,32
45,11
Exemplo de lugar das raízes mostrando os
pontos de cruzamento com o eixo imaginário
Plano s
82,32
45,11
375,0
355,2
K
j
j355,2
Exemplo: Trace o Lugar das Raízes para as duas Funções de Transferência mostradas abaixo e
observe que uma pequena mudança na posição do zero altera consideravelmente a forma do
Lugar das Raízes:
105,0
1
105,0
5,1
2
1
sss
sKsG
sss
sKsG
2897,0
8864,1
5738,4
5215,132
272,0
85,0641,35,75,31152
232
231
sG
jsG
Pólos e zeros a malha aberta e
cálculos de:a. ângulo de
saída;b. ângulo de
chegada
Exemplo: calcule os ângulos de partida para o
sistema
-1.0000 +1.0000i -1.0000 - 1.0000i
Lugar das raízes para o sistema da
Fig. 8.16 mostrando ângulo
de saída
o
o
o
o
565,26
45
90
4,108
4
3
2
1
o1804213
Determinando e calibrando os pontos exatos no lugar das raízes para cruzamento com linha de
%UP=20%
RaioÂngulo
(graus)
Plano s–158,4–180,0–199,9–230,4–251,5
0,50,7471,01,52,0
1,5
,5
0,45
421
3
ssss
sKsG
j655,0333,0