Regelungs- und Systemtechnik 1 Kapitel 3: Laplace ... · Regelungs- und Systemtechnik 1 Kapitel 3:...
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-
Regelungs- und Systemtechnik 1
Kapitel 3: Laplace-Transformation
Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li
Fachgebiet Prozessoptimierung
-
2 Problemdarstellung:
Man möchte die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung umwandeln.
Die Eigenschaften des Systems sind schwer zu analysieren!
ukyadtdya
dtyda
dtyd
unnn
n
n
n
=++++ −−−
11
1
1
-
3
,0000
)(
≥≠<
=tt
tf
Definition:
ωσ js +=
{ } ∫∞
−==0
)()()( dtetftfLsF st
mit
Zeitbereich:
Frequenzbereich:
Laplace-Transformation typischer Funktionen
-
4 Laplace-Transformation typischer Funktionen
Einheitssprung:
≥<
==0100
)()(tt
ttf σ
{ }s
es
dtetLsF stst 11)()(00
=−===∞
−∞
−∫σRampenfunktion: ttf =)(
20
000
11)1()(s
dtetes
des
dttesF stststst =
−−=−== ∫∫∫
∞−∞−
∞−
∞−
Exponentialfunktion: atetf −=)(
ase
asdtedteesF tastasstat
+=
+−===
∞+−
∞+−
∞−− ∫∫
11)(0
)(
0
)(
0
-
5 Laplace-Transformation typischer Funktionen
Impulsfunktion: ≤≤
===→ sonst0
0/1,lim)()(
0
εεδ εεε
trrttf
{ } ∫∫ ==== −→∞
−ε
ε εδδ
00
0
11lim)()()( dtedtettLsF stst
also 0für0)( ≠= ttδ
und ∫ ∫∞
∞−→
==ε
ε εδ
00
11lim)( dtdtt
-
6 Laplace-Transformation typischer Operatoren Differential:
)0()()()0(
))(()(
0
00
00
fssFdtetfsf
dtestfetfdfedtedtdf
dtdfL
st
stststst
−=+−=
−−==
=
∫
∫∫∫∞
−
∞−∞−
∞−
∞−
Integral:
)(1)(1
)()(1
)(1)()(
0
000
0 00 00
sFs
dtetfs
dtetfedzzfs
dedzzfs
dtedzzfdzzfL
st
ststt
stt
sttt
==
−
−=
−=
=
∫
∫∫
∫ ∫∫ ∫∫
∞−
∞−
∞
−
∞−
∞−
-
7 Eigenschaften der Laplace-Transformation Zeitverschiebung (Totzeit):
{ }
)()(
)()()()(
0
0
)(
0
sFedefe
tdetfedtetftfL
sss
tssst
τωτ
ττ
ωω
ττττ
−∞
−−
∞−−−
∞−
==
−−=−=−
∫
∫∫
Überlagerung: { } )()()()( 22112211 sFasFatfatfaL +=+
Ähnlichkeit: { } ( )
)(1)(1)(1
)(1)()(
00
/
0
/)(
0
asF
adef
adef
a
atdeatfa
dteatfatfL
as
as
aatsst
===
==
∫∫
∫∫∞
−∞
−
∞−
∞−
ωωωωω
ω
Achtung: { } )()()()( 2121 sFsFtftfL ≠
-
8 Laplace-Transformation typischer Funktionen
)(tf )(sF )(tf )(sF
)(tσ s1 tωsin 22 ω
ω+s
t 2
1s
tωcos 22 ω+ss
nt 1!+ns
n te at ωsin− 22)( ωω
++ as
ate − as +
1 te at ωcos− 22)( ω++ ass
ate −−1 )( ass
a+
)(tδ 1
dtdx )0()( xssX −
2
2
dtxd 2 ( ) (0) (0)s X s sx x− −
Laplace-Transformation: )()( sFtf →
Inverse Laplace-Transformation: )()( tfsF →
{ })()( tfLsF =
{ })()( 1 sFLtf −=
)
(
t
f
)
(
s
F
)
(
t
f
)
(
s
F
)
(
t
s
s
1
t
w
sin
2
2
w
w
+
s
t
2
1
s
t
w
cos
2
2
w
+
s
s
n
t
1
!
+
n
s
n
t
e
at
w
sin
-
2
2
)
(
w
w
+
+
a
s
at
e
-
a
s
+
1
t
e
at
w
cos
-
2
2
)
(
w
+
+
a
s
s
at
e
-
-
1
)
(
a
s
s
a
+
)
(
t
d
1
dt
dx
)
0
(
)
(
x
s
sX
-
2
2
dt
x
d
2
()(0)(0)
sXssxx
--
&
_1202374135.unknown
_1202374332.unknown
_1202374462.unknown
_1202399228.unknown
_1202399241.unknown
_1335073251.unknown
_1202399192.unknown
_1202374390.unknown
_1202374431.unknown
_1202374356.unknown
_1202374213.unknown
_1202374269.unknown
_1202374167.unknown
_1202373309.unknown
_1202373432.unknown
_1202373613.unknown
_1202374054.unknown
_1202374072.unknown
_1202373635.unknown
_1202373556.unknown
_1202373365.unknown
_1202373258.unknown
_1202373287.unknown
_1202373243.unknown
-
9 Wirkungen der Polstellen )(tf )(sF p
tωsin 22 ωω+s
ωj±
tωcos 22 ω+ss ωj±
te at ωsin− 22)( ωω
++ as ωja ±−
te at ωcos− 22)( ω+++
asas ωja ±−
t 2
1s
nt 1
!+ns
n ate −
as +1
ate −−1 )( ass
a+
)
(
t
f
)
(
s
F
p
t
w
sin
2
2
w
w
+
s
w
j
±
t
w
cos
2
2
w
+
s
s
w
j
±
t
e
at
w
sin
-
2
2
)
(
w
w
+
+
a
s
w
j
a
±
-
t
e
at
w
cos
-
2
2
)
(
w
+
+
+
a
s
a
s
w
j
a
±
-
t
2
1
s
n
t
1
!
+
n
s
n
at
e
-
a
s
+
1
at
e
-
-
1
)
(
a
s
s
a
+
_1202374390.unknown
_1202450087.unknown
_1202450156.unknown
_1202450225.unknown
_1240648274.unknown
_1202450178.unknown
_1202450110.unknown
_1202449768.unknown
_1202449770.unknown
_1202449772.unknown
_1202449773.unknown
_1202449771.unknown
_1202449769.unknown
_1202449767.unknown
_1202374213.unknown
_1202374332.unknown
_1202374356.unknown
_1202374269.unknown
_1202373258.unknown
_1202374135.unknown
_1202374167.unknown
_1202373243.unknown
-
10
da )0()(0
fssFdtedtdf
dtdfL st −=
=
∫
∞−
[ ])0()(limlim0
fssFdtedtdf
s
st
s−=
∞→
∞−
∞→ ∫
Weil 0lim =
−
∞→
st
se
dtdf
)(lim)0( ssFfs ∞→
=
Beispiel: )2)(1(
1)(++
=sss
sF
0)2)(1(
1lim)(lim)0( =++
==∞→∞→ ss
ssFfss
Eigenschaften der Laplace-Transformation
Satz vom Anfangswert: f (0)
-
11 Eigenschaften der Laplace-Transformation
Satz vom Endwert: f (∞)
da )0()(0
fssFdtedtdf
dtdfL st −=
=
∫
∞−
[ ])0()(limlim0
00
fssFdtedtdf
s
st
s−=
→
∞−
→ ∫
Weil
)(lim)(0
ssFfs→
=∞
Beispiel: )2)(1(
1)(++
=sss
sF
21
)2)(1(1lim)(lim)(
00=
++==∞
→→ ssssFf
ss
)0()(lim)0()(lim0
000
fssFffdfdtedtdf
s
st
s−=−∞==
→
∞∞−
→ ∫∫
-
12 Inverse Laplace-Transformation
)()( tfsF → { })()( 1 sFLtf −=⇒Umformung der Funktion zu elementaren Funktionen:
)()()()( 21 sFsFsFsF n+++=
damit
{ } { } { } { })()()(
)()()()()(
21
12
11
11
tftftfsFLsFLsFLsFLtf
n
n
+++=+++== −−−−
Für die Funktion (m
-
13 Inverse Laplace-Transformation
∑= +
=n
k k
k
sscsF
1)(dann
nkspsssssssN kkn ,,1,0)())(()( 21 =−=⇒=+++=
damit { } ∑∑=
−
=
−− =
+==
n
k
tsk
n
k k
k kecss
cLsFLtf11
11 )()(
Beispiel 1: )2)(1(
3)(++
+=
ssssF
1,232,1)2)(1(
)2()(21
)(
−==⇒=+=+++
+++=
++
+=
BABABAss
BAsBAs
Bs
AsF
Daher tt eetf 22)( −− −=
2,1 21 −=−= pp
-
14 Inverse Laplace-Transformation
Beispiel 2: )22)(2(1)( 2 +++
=sss
sF
0,21,
21122,022,0
)22)(2()(2)22()(
222)( 2
2
2
=−==⇒=+=++=+
+++++++++
=++
++
+=
CBACACBABA
sssCAsCBAsBA
ssCBs
sAsF
Daher
( )teteetf ttt sincos21)( 2 −−− +−=
++
+++
+−
+=
++
−+−
+=
++
−+
=
++−
+=
1)1(1
1)1(1
21
21
1)1(11
21
21
1)1(21
21
2221
21)(
222
22
sss
sss
s
ss
ssss
ssF
dann
jpp ±−=−= 1,2 3,21
-
15 Inverse Laplace-Transformation
Beispiel 3: 2)1)(2(1)(
++=
sssF
0,1,112,022,0
)12)(2()2()22()(
122)( 2
2
2
=−==⇒=+=++=+
+++++++++
=++
++
+=
CBACACBABA
sssCAsCBAsBA
ssCBs
sAsF
Daher
ttt teeetf −−− +−= 2)(
22
22
)1(1
)1(1
21
)1(11
21
)1(21
1221)(
++
+−
+=
+−+
−+
=
+−
+=
++−
+=
sssss
s
ss
ssss
ssF
dann
1,2 3,21 −=−= pp
-
16 Lösung linearer Differentialgleichungen
)(111
1 tzyadtdya
dtyda
dtyd
nnn
n
n
n
=++++ −−−
Laplace-Transformation:
=⇒=⇒= −)()()(
)()()()()()( 1
sNsZLty
sNsZsYsZsYsN
Beispiel: 0)0()0(,6522
===++ − yyeydtdy
dtyd t
Laplace-Transformation: 1
1)()65( 2+
=++s
sYss
Daher
321)3)(2)(1(1
)65)(1(1)( 2 +
++
++
=+++
=+++
=s
Cs
Bs
Assssss
sY
ttt CeBeAety 32)( −−− ++=
-
17 Übertragungsfunktion
Ausgang: )()()( sUsGsY =
Zeitbereich:
Frequenzbereich:
Übertragungsfunktion: )()()(
sUsYsG =
-
18 Übertragungsfunktion elementarer Glieder
)()( tuKty P=P-Glied (Proportional-Glied):
Sprungantwort?
PKsUsYsG ==)()()(⇒= )()( sUKsY P
∫=t
I duKty0
)()( ττI-Glied (Integrierglied):
Sprungantwort?
sK
sUsYsG I==)()()(⇒= )()( sU
sKsY I
-
19
0)0(,)( == udtduKty DD-Glied (Differenzierglied):
Sprungantwort?
sKsUsYsG D== )()()(⇒= )()( ssUKsY D
Übertragungsfunktion elementarer Glieder
0)0(,)(1 ==+ yuKtydtdyT P
PT1-Glied (Verzögerungs-, Trägheitsglied):
Sprungantwort?
1)()()(
1 +==
sTK
sUsYsG P⇒=+ )()()(1 sUKsYssYT P
-
20 Übertragungsfunktion elementarer Glieder
Die Sprungantwort: )1()( 1Tt
P eKty−
−=
mit PKyy =∞= )(,0)0(
Da 11
)( Tt
P eTKty
−= dann
1)0(
TKy P=
Wenn 1Tt = dann PP KeKTy 632,0)1()(1
1 =−=−
-
21
::
:
1
t
P
TTK
1)()()(
1 +==
−
sTeK
sUsYsG
sTP
t
PT1Tt (Verzögerung + Totzeit):
Die Parameter: Verstärkung
Trägheitszeitkonstante
Die Sprungantwort: Totzeit
Übertragungsfunktion elementarer Glieder
0)0(),()(1 =−=+ yTtuKtydtdyT tP
-
22
PT2Tt-Glied:
PT3-Glied (z.B. Behälterkaskade):
Übertragungsfunktion elementarer Glieder
-
23 Übertragungsfunktion allgemeiner Systeme:
Die Eigenschaften des Systems sind schwer zu analysieren!
zkukyadtdya
dtyda
dtyd
zunnn
n
n
n
+=++++ −−−
11
1
1
Man möchte die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung umwandeln.
nnnn
z
nnnn
u
zunnnn
asasassZk
asasassUksY
sZksUksYassYasYsasYs
+++++
++++=
+=++++
−−
−−
−−
11
111
1
11
1
)()()(
)()()()()()(
Physikalische Bedeutung:
-
24 Blockschaltbild (Strukturbild):
)()()( sUsGsY =⇒
)()()()( 21 sUsGsGsY =⇒
)()()()()( 21 sZsGsUsGsY +=⇒
[ ])()()()( sZsUsGsY −=⇒
-
25 Blockschaltbild:
⇔
⇔
⇔
⇔
-
26 Dynamik eines Behälters:
[ ])()(1)( sFsFAs
sH ausein −=⇒
0)0(, hhFFdthdA ausein =−=
Bilanzgleichungen:
ausein FFdthdA ∆−∆=∆
⇒RhFaus
∆=∆ )(1)( sH
RsFaus =
⇒ 1)()(
+=
RAsR
sFsH
ein
Negative Rückführung!
-
27
⇒)()()()()()(
)()()(
2
1
21
sYsHsXsXsGsY
sXsWsX
==
−=
Wie lautet die Übertragungsfunktion zwischen W und Y?
)()()()()(
)()()()()()(
2
1
sYsHsWsGsY
sYsHsXsGsYsX
−=
=
=
)()(1)(
)()()()(
)()()(1
)()()()(
1)()()()()(
sHsGsG
sWsYsWsY
sGsHsG
sWsYsHsG
sWsYsHsGsY
+=⇒=
+
=
+⇒=+
Daher
Blockschaltbild:
-
28
)()(1)(
)()(
sHsGsG
sWsY
+=⇒
)()(1)(
)()(
sHsGsG
sWsY
−=⇒
⇒
⇒
Blockschaltbild:
-
29 Blockschaltbild:
)()(1)(
)()(
sHsGsG
sWsY
+=
)()(11
)()(
sHsGsZsY
+=⇒
Wenn Z(s) = 0
?)()(=
sZsY
Wenn W(s) = 0
-
30 Beispiel: Temperatur im Gewächshaus
AbQ
ZuQ
AzZuu kQkdtdT θθθ ∆+∆=∆+∆1
Die Gleichung durch die Änderung:
)()()()1( 1 sksQkssT AzZuu θθ +=+
Laplace-Transformation:
)(1
)(1
)(11
ssTksQ
sTks AzZuu θθ +
++
=
Übertragungsfunktion:
)(1
)(1
sQsTks Zuu+
=θ
Führungsstrecke:
)(1
)(1
ssTks Az θθ +
=
Störstrecke:
-
31 Beispiel: Ein Mischungsprozess
21 )( FkTtFkCdtCdT ztuu ∆+−∆=∆+
∆
Modellgleichung:
)(1
)(1
)( 211
sFsTksF
sTeksC zu
sTu
t
++
+=
−
Laplace-Transformation:
-
32 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion
RMFPP QQFCdtdVC +−−= )( θθρθρ
Energiebilanz:
VekrVQ RE
Rθ
−== 0
wobei
VekQFCdtdVC R
E
MFPPθθθρθρ
−+−−= 0)(Daher
θ
ρρθθθ R
E
PP
MF eFC
VkFC
Qdtd
FV −
+−−= 0
θθθθ RE
RMuF ekQkdtdT
−+−=+1also
Der Prozess ist nichtlinear!
RMF QQQdtHd
+−=
-
33 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion
θθ
θθθ θ ∆+∆−∆=∆+∆−
020
1RE
RMuF eREkQk
dtdT
Linearisierung am Arbeitspunkt:
MuFR QkkdtdT ∆−∆=∆−+∆ θθθ )~1(1Damit
Normalerweise 1~ >>Rk
D.h. MuFR QkkdtdT ∆−∆=∆−∆ θθθ ~1
MR
uF
RR
Qkk
kdtd
kT
∆−∆=∆−∆
~~1
~1 θθθ
D.h.
MuFz QkkdtdT ∆−∆=∆−∆ ~~1 θθ
θ Wie verhält sich die Temperatur?
-
34 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion
MuFz QkkdtdT ∆−∆=∆−∆ ~~1 θθ
θ
Die linearisierte Modellgleichung:
)(~)()()1~( 1 sQkskssT MuFz −=− θθ
Laplace-Transformation:
)(1~
~)(
1
sQsTks Mu−
−=θ
Führungsstrecke:
)(1~
)(1
ssTks Fz θθ −
=
Störstrecke:
-
35 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion
)(~)()()1~( 1 sQkskssT MuFz −=− θθ
Laplace-Transformation:
)(~)(~)()( 1 ssTsQksks MuFz θθθ ++−=und zwar
Positive Rückführung!
Blockschaltbild:
-
36 Beispiel: Behälterkaskade (1)
2022122
2
1011211
1
)0(,
)0(,
hhFFFdt
dhA
hhFFdtdhA
ausein
ein
=−+=
=−=Bilanzgleichungen:
22
222
112
2
11
111
1
111
11
ein
ein
FA
hRA
hRAdt
hd
FA
hRAdt
hd
∆+∆−∆=∆
∆+∆−=∆Das linearisierte Modell:
-
37
zRxRRx
dtdxRA
uRxdtdxRA
211
22
222
111
11
+=+
=+
Physikalische Bedeutung:
)()()()(
)()()(
211
22222
11111
sZRsXRRsXsXRA
sURsXssXRA
+=+
=+
)(1
)()1(
)(),(1
)(22
21
221
22
11
11 sZsRA
RsXsRAR
RsXsUsRA
RsX+
++
=+
=
⇒
dann
Beispiel: Behälterkaskade (1)
-
38 Beispiel: Behälterkaskade (2)
2022122
2
1011211
1
)0(,
)0(,
hhFFFdt
dhA
hhFFdtdhA
ausein
ein
=−+=
=−=Bilanzgleichungen:
Das linearisierte Modell:
ausein
ein
FFFdt
hdA
FFdt
hdA
∆−∆+∆=∆
∆−∆=∆
2122
2
1211
1
2
2
1
2112
RhF
RhhF
aus∆
=∆
∆−∆=∆
-
39
Blockschaltbilder:
Beispiel: Behälterkaskade (2)
ausein
ein
FFFdt
hdA
FFdt
hdA
∆−∆+∆=∆
∆−∆=∆
2122
2
1211
1
2
2
1
2112
RhF
RhhF
aus∆
=∆
∆−∆=∆
[ ]
[ ])()()(1)(
)()(1)(
2122
2
1211
1
sFsFsFsA
sH
sFsFsA
sH
ausein
ein
−+=
−=
[ ]
)(1)(
)()(1)(
22
211
12
sHR
sF
sHsHR
sF
aus =
−=⇒
-
40
Blockschaltbilder:
Beispiel: Behälterkaskade (2)
Das Gesamtsystem:
-
41 Beispiel: Behälterkaskade (2)
Foliennummer 1Foliennummer 2Foliennummer 3Foliennummer 4Foliennummer 5Foliennummer 6Foliennummer 7Foliennummer 8Foliennummer 9Foliennummer 10Foliennummer 11Foliennummer 12Foliennummer 13Foliennummer 14Foliennummer 15Foliennummer 16Foliennummer 17Foliennummer 18Foliennummer 19Foliennummer 20Foliennummer 21Foliennummer 22Foliennummer 23Foliennummer 24Foliennummer 25Foliennummer 26Foliennummer 27Foliennummer 28Foliennummer 29Foliennummer 30Foliennummer 31Foliennummer 32Foliennummer 33Foliennummer 34Foliennummer 35Foliennummer 36Foliennummer 37Foliennummer 38Foliennummer 39Foliennummer 40Foliennummer 41