INFORMĀCIJAS SISTĒMU MENEDŽMENTA AUGSTSKOLA

Profesionālās bakalaura studijas programma – Informācijas sistēmas

Kvalifikācija – Sistēmu analītiķis

Izglītības ieguves forma – Vakara, klātiene

3414.grupas audzēknesLienes Lukaševičas

referāts diskrētajā matemātikā

1. KOPU TEORIJA2. MATEMĀTISKĀ LOĢIKA

Rīgā2013

SATURS

lpp.Saturs 2Ievads 3

1. Kopu teorija 41.1. Kopu uzdošanas veidi 41.2. Apakškopas 51.3. Operācijas ar kopām 61.3.1. Šķelšana 61.3.2. Apvienošana 61.3.3. Atņemšana 71.3.4. Papildināšana 71.3.5. Simetriskā atņemšana 71.4. Divu kopu savstarpējie stāvokļi 81.5. Eilera-Venna diagrammas 81.6. Pētījums Eilera-Venna diagrammas 111.7. Kopu faktorizācija 161.8. Kopu tiešais reizinājums 162. Matemātiskā loģika 182.1. Izteikumi 182.2. Predikāti 192.3. Izteikumu un predikātu pielietojumu piemērs 202.4. Darbības ar izteikumiem 202.5. Matemātiskās loģikas formulas un to īpašības 212.6. Predikātu loģikas alfabēts 222.7. Būla funkciju un matemātiskās loģikas ģeometriskā un kopu teorētiskā interpretācija 233. Nobeigums un kopsavilkums 244. Izmantotā literatūra 25

2

Ievads

Kopu teorija un matemātiskā loģika tiek uzskatītas par matemātikas stūrakmeņiem. Matemātiskā loģika apraksta pareizas spriešanas paņēmienus, savukārt kopu teorija piedāvā paņēmienus, kā aprakstīt matemātikā pētāmos priekšmetus jeb objektus. Kopu teorija noformējāss kā patstāvīgaga matemātikas nozare XIX g. otrajā pusē, pateicoties Veierštrāsa, Dedekinda un it īpaši Georga Kantora (1845–1918) darbam.Kopā tā laika viņa ir veikusi garu attīstības ceļu, gandrīz nepārtraukti piesaistot sev matemātiķu uzmanību, un patlaban ir jēdzieniskais un teorētiskais pamats gandrīz visai pašreizējai matemātikai.Terminam ’kopa’ matemātikā ir apmēram tas pats saturs kā mazāk ”oficiāliem“ vārdiem ’klase’, ’kopums’, ’saime’, ’grupa’, ’ansamblis’, ’kolekcija’, kaut arī dažiem no tiem dažādās matemātikas nozarēs ir arī sava īpašāka nozīme. Būtībā ikvienā matemātiskā disciplīnā ir jārīkojas ar tām vai citām kopām (pie kam starp kopā ietilpstošajiem objektiem un arī starp dažādām kopām parasti pastāv kaut kādas saiknes), un tas tad arī nodrošina vispārīgajai kopu teorijai visplašāko lietojumu.Tai pašā laikā mēģinājumi definēt kopas jēdzienu, izmantojot citus, tikai reducējas uz vairāk vai mazāk pilnīgu un precīzu aprakstīšanu, jo šis jēdziens ir viens no pamatjēdzieniem matemātikā. Piemēram, kopu teorijas pamatlicējs Kantors rakstīja, ka kopa - tā ir noteiktu un dažādu mūsu intuīcijas un intelekta objektu krājums, kuru domā kā kaut ko veselu, vienotu. Saprotams, tāda ”definīcija“ nevar derēt par apmierinošu pamatu matemātiskai teorijai, pie tam dažādu iemeslu dēļ: piem., tajā atsaucas uz tādām nematemātiska rakstura lietām kā intelekts un intuīcija, un uz nojēgumu par krājumu, kurš nebūt nav skaidrāks par pašu kopas jēdzienu (nosaukumu3s ’krājums’ un ’kopa’ pat var uzskatīt par vairāk vai mazāk sinonīmiskiem viens otram).

Jebkuras zinātnes izklāstam ir būtiska prasība pēc noteiktības (skaidrības, precizitātes) jēdzienos, kuri tiek izmantoti – ieviešot kādu terminu, kas izsaka jaunu, agrāk neaplūkotu jēdzienu, jānodrošina pareiza termina izpratne, terminam precīzi jāatsedz jēdziena saturs. Matemātisko jēdzienu saturu parasti atsedz ar definīciju. Visbiežāk tiek lietoti divi definēšanas veidi:1) nosaucot ģinti un sugas pazīmi(es), t.i. iepriekš zināmu vispārīgu jēdzienu un pazīmes, kas definējamo jēdzienu atšķir no visiem citiem, kurus apvieno šis vispārīgais jēdziens, 2) aprakstot, kā definējamais objekts rodas. Jēdzienu savstarpējā mijiedarbība tiek formulēta izteikumos (spriedumos). Par izteikumiem vienmēr var viennozīmīgi pateikt, vai tie ir patiesi vai aplami. Matemātikas kursā skolā jēdzienus spriedums un izteikums jāuztver kā sinonīmus, vienkāršības labad lietojot tikai vienu no tiem – izteikumi. Matemātikā biežāk lietojamie izteikumi ir aksiomas un teorēmas.Viens un tas pats jēdziens bieži pieļauj dažādas definīcijas. Teorēmu formulējumi no valodas viedokļa var būt ļoti dažādi, bet tos iespējams pārveidot standartformā: “Ja …, tad …” . Definīciju un izteikumu lietošana un izpratne ir ļoti nozīmīgi komunikācijas prasmju pilnveidošanā – svarīga prasme ir veidot matemātiski korektus apgalvojumus, piemēram, pareizi lietot saikļus “un, vai”. Par ļoti svarīgu uzskatāma prasme veidot atsevišķus izteikumus no vispārīgiem izteikumiem un otrādi. Gan indivīda, gan cilvēces attīstības pirmajās pakāpēs par matemātisko patiesību izziņas avotu kalpo novērojumi un pieredze – empīriskais, induktīvais izteikumu iegūšanas veids.

3

1. Kopu teorija

Kopu teorija ir matemātikas nozare, kas pēta kopas un to īpašības. Tā ir arī viena no tām matemātikas nozarēm, kas joprojām ļoti strauji attīstās. Jebkuru priekšmetu, objektu vai lietu apkopojumu, kas apvienoti pēc kādas noteiktas pazīmes, sauc par kopu, bet kopu veidojošos objektus sauc par kopas elementiem. Izmantojot zināšanas par kopām un to īpašībām, matemātikā tiek izskaidrotas dažādas likumsakarības. Kopu teorijas valodu var izmantot gandrīz visu matemātisko objektu definīcijās, jo tā elementārs (un pat uzskatīts par nedefinējamu) matemātisku jēdzienu, uz kuru balstās matemātika. Bez tam kopa ir tik plaši lietots jēdziens, ka mēs bieži operējam ar tām it kā automātiski, nedomājot par to eksistenci.Modernos kopu teorijas pētījumus aizsāka Georgs Kantors un Ričards Dedekinds ap 1870. gadu. Pēc paradoksu atklāšanas naivajā kopu teorijā, 20. gs. sākumā tika piedāvātas daudzas aksiomu sistēmas, no kurām labi pazīstamas ir Cermelo-Frenkela aksiomas un izvēles aksioma. Kopai un tās elementiem piemīt šādas raksturīgas īpašības:

1) visi kopas elementi tiek uzskatīti par dažādiem; 2) starp kopas elementiem nav uzdota nekāda kārtība, hierarhija vai sakarība; 3) kopas elementiem var būt dažāda daba un vienā kopā var pastāvēt dažādas dabas

elementi.

Piemēri:Kopa Elementu skaits Elementi

Latīņu alfabēta burtu kopa 26 elementi a, b, c, d, e...Latvijā universitāšu kopa 2013.gadā bija 6 elementi Daugavpils Universitāte

Latvijas Lauksaimniecības universitāteLatvijas UniversitāteLiepājas UniversitāteRīgas Stradiņa universitāteRīgas Tehniskā universitāte

Skaitļu kopa Bezgalīgi daudz elementu 1, 2, 3, 4, 5...Ciparu kopa 10 elementi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Multikopa ir jebkuras dabas (iespējams, ar atkārtojumiem) elementu kopums, kas tiek uzskatīts par vienotu veselu. Ja kāds elements multikopā atkārtojas “n” reizes, tad saka, ka šī elementa multiplicitāte (kārta) dotajā multikopā ir vienāda ar “n”. Piemēram: visu automašīnu marku multikopa (automašīnām ir vienādas markas, un tās atkārtojas).

Kopu uzdošanas veidi

Kopu uzskata par uzdotu, ja tiek uzskaitīti visi tās elementi vai arī norādīta kopas elementus apvienojoša īpašība.Kopu pierakstam izmanto figūriekavas {…}, kurās, ja ir iespējams, ieraksta visus kopas elementus vai uzraksta kopas elementus raksturojošo īpašību. Uzskatāmības dēļ jebkuras kopas elementus var attēlot plaknē ar punktu, bet kopu — kā ierobežotu plaknes daļu.

4

Ja kopa “A” satur galīgu skaitu elementu, tad to sauc par galīgu kopu un tās elementu skaitu apzīmē ar pierakstu “|A|”. Katrs objekts, kas ir kādas kopas elements, tiek uzrādīts šajā kopā tikai vienu reizi, piemēram, skaitļa 2342431 ciparu kopa ir {2; 3; 4; 1}. Kopas, kas sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem, sauc par vienādām kopām.

• Ja kāds objekts a ir kopas A elements, tad raksta “a ∈ A”: lasa “a pieder kopai A” vai “ kopa A satur a”.

• Ja objekts a nav kopas A elements, tad raksta “a ∉ A”: lasa “a nepieder kopai A” vai “kopa A nesatur a”.Arī šī kopa ir uzdota, nosaucot kopas elementus apvienojošo īpašību.

Piemērs: A — Latvijas pilsētu kopa. “Cēsis” ∈ A, “Madona” ∈ A, bet “Tartu” ∉ A.Piemērs: Ja A ir veslo pāra skaitļu kopa, tad ir tiesa, ka

• √16 ∈ A, −1000 ∈ A, 1020 ∈ A, visi skaitļi, kas dalās ar 6, pieder A, 77 ∉ A,bet nav tiesa, ka

• 1 ∈ A, 2, 999 . . . ∈ A, −1000 ∉ A, ja kāds vesels skaitlis nepieder A, tad arītam sekojošˇsais (pēc lieluma) nepieder.Kopu, kas nesatur nevienu elementu, sauc par tukšu kopu (apzīmē ar simbolu ∅). Tukšo kopu uzskata par galīgu kopu, bet skaitli 0 - par tās elementu skaitu. Kopu, kas satur vismaz vienu elementu sauc par netukšu kopu.Pretējā gadījumā kopu sauc par bezgalīgu kopu. Bezgalīgām kopām nav iespējams sastādīt pilnīgu elementu sarakstu. Dažkārt tomēr arī bezgalīgas kopas raksturo ar elementu sarakstu, piemēram, visu naturālo skaitļu kopa: N = {1; 2; ... ; n; ...} Tādu pierakstu drīkst izmantot tikai tad, ja uzrakstītie elementi skaidri norāda, kā saraksts ir turpināms.Ekstensionalitātes princips, kurš saka, ka kopu pilnībā nosaka tās elementi. To dažkārt sauc arī par kopu vienādības principu.Divas kopas, neatkarīgi no tā, kā tās definētas un kā pierakstītas, ir vienādas (A = B) tajā un tikai tajā gadījumā, kad tās satur vienus un tos pašus elementus.Divas kopas ir dažādas tad un tikai tad, ja vienai no tām ir tāds elements, kurš nepieder otrai (A ≠ B).Datoru atmiņā kopas parasti uzdod masīvu – skaitļu, simbolu, vārdu veidā.Kopu var pierakstīt, piemēram, arī tā: A = {x ∈ N | x dalās ar 5}; kur aiz kopas elementa vispārīgā apzīmējuma (burta), velk vertikālu svītru un pieraksta kopas elementu raksturīgo īpašību. Proti, piemērā kopa A sastāv no tiem naturālajiem skaitļiem, kas dalās ar 5.

Apakškopas

Kopu A sauc par kopas B apakškopu vai daļu, ja katrs kopas A elements ir arī kopas B elements. Ja kopa A ir kopas B apakškopa, tad raksta A ⊂ B (lasa ”kopa A iekļaujas kopā B”) vai B ⊃ A (lasa ”kopa B satur kopu A”). Ja kopa A nav kopas B apakškopa, tad raksta A ⊄ B (lasa ”kopa A neiekļujas kopā B”) vai ”kopa B nesatur kopu A”. Par kopas apakškopu ir jādomā kā par kopas daļu. Piemēram: A — skolas visu ISMA studentu kopa un B — Inormācijas sistēmu visu ISMA studentu kopa, tad B ⊂ A, jo katrs Inormācijas sistēmu students ir arī ISMA students. Apakškopas jēdzienisko nozīmi bieži izmanto klasifikācijā. Piemēram: Bioloģijā, ja M — mugurkaulnieku kopa (tips), Z — zīdītāju kopa (klase), K — kukaiņēdāju kopa (kārta) un E —ežveidīgo kopa (ģints), tad, izmantojot apakškopu simboliku, to var pierakstīt šādi: E ⊂ K ⊂ Z ⊂ M.Ja dota kopa “A”, tad šīs kopas visu apakškopu kopu apzīmē pierakstu “P (A)” un sauc par šīs kopas būleānu (par godu britu matemātiķim Būlam (Boole) vai pakāpes kopu).

5

Operācijas ar kopām

ŠķelšanaPar divu kopu šķēlumu sauc kopu, kura satur tos un tikai tos priekšmetus, kuri pieder abām dotajām kopām. Kopu šķēlumu pieraksta: A ∩ B. Lai pārbaudītu, vai kāds elements pieder divu kopu šķēlumam, jāpārliecinās, vai tas pieder katrai no dotajām kopām. Par kopu šķēlumu ir jādomā kā par šo kopu kopējo daļu. Arī šajā gadījumā nav svarīgi, kāds ir universs. Piemēri:

• Dotas kopas A = [0; 5) un B = (2; 7]. Lai noteiktu šo kopu šķēlumu (kopīgos elementus), izveidosim abu kopu grafisko attēlu. Intervālu galapunkti 2 un 5 kopu šķēlumam nepieder, jo tie vienlaicīgi nepieder abām dotajām kopām, t. i., 2 ∈ A, bet 2 ∉ B. Savukārt 5 ∈ B, bet 5 ∉ A.

• Dotas kopas A = {2; 4; 6} un B = {1; 2; 3; 4; 5}. Lai noteiktu kopu šķēlumu, jāatrod elementi, kas pieder gan kopai A, gan kopai B. Tie ir skaitļi 2 un 4. Tātad A ∩ B = {2; 4}.

• A = {x | x ir skaitļa 12 dalītāji} un B = {y | y ir skaitļa 10 dalītāji}. A ∩ B = {1; 2}, jo A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, bet B = {1; 2; 5; 10}, kur 1 un 2 ir vienīgie abu kopu kopējie elementi.

• Kopu [0, 1) un (−1, 0] šķēlums ir kopa {0} (bet ne skaitlis 0 !).• Kopām (0, 1) un (−1, 0) šķēums eksistē - tā ir tukšā kopa.

ApvienošanaPar divu kopu apvienojumu sauc tādu kopu, kura satur tos un tikai tos priekšmetus, kuri pieder vismaz vienai no dotajām kopām. Kopu apvienojumu pieraksta: A B. Lai elements piederētu∪ divu kopu apvienojumam, tam jāpieder vismaz vienai no dotajām kopām.Piemēri:

• Dotas kopas A = [0; 5) un B = (2; 7]. Lai noteiktu šo kopu apvienojumu, izveidosim kopu grafi sko att ēlu:

• Ja A — ISMA tūrisma novirziena studentu kopa, B — ISMA inormācijas sistēmu studentu kopa, tad A B ir ISMA visu studentu kopa. Šajā situācijā A ∩ B = Ø, jo nav∪

6

tādu elementu (studentu), kas būtu gan turisma gan inormācijas sistēmu novirziena studenti.

• Kopu [0, 1) un (−1, 0] apvienojums ir (−1, 1)• Kopām (0, 1) un (−1, 0) abu pusintervālu apvienojuma pierakstīšanai nav nekā labāka par

burtisko (−1, 0) [ (0, 1), kas, protams, nav tas pats intervāls (−1, 1).

AtņemšanaPar divu kopu starpību sauc kopu, kura satur tos un tikai tos priekšmetus, kas pieder pirmajai, bet nepieder otrajai kopai. Šo kopu starpību pieraksta: A \ B. Lai noteiktu kopu A un B starpību A\B, no kopas A elementiem “jāizslēdz” kopas B elementi, ja tādi ir. Savukārt, nosakot kopas B un A starpību B\A, no kopas B elementu skaita “jāizslēdz” kopas A elementi. A\B nav vienāds ar B\A.Piemēri:

• Dotas kopas A = [0; 5] un B = (2; 7]. Lai noteiktu A\B un B\A, izveidosim kopu grafi sko att ēlu.

• Dotas kopas A = {2; 4; 6} un B = {1; 2; 3; 4; 5}. Lai noteiktu A\B, no kopas A elementiem “jāizslēdz” tie elementi, kas pieder arī kopai B — tātad 2 un 4. Līdz ar to A\B = {6}. Savukārt, lai noteiktu B\A, no kopas B elementiem “jāizslēdz” tie elementi, kas pieder arī kopai A — tātad 2 un 4. Līdz ar to B\A = {1; 3; 5}.

• {a, b, c, d} \ {d, c, e} = {a, b}, un {d, c, e} \ {a, b, c, d} = {e}.• [0, 1) \ (−1, 0] = (0, 1), un arī (0, 1) \ (−1, 0) = (0, 1). Bet šo pašu intervālu (0, 1) un (−1,

0) apvienojumu ([0, 1) un (−1, 0] apvienojums ir (−1, 1)) tagad var uzrakstīt arī kā (−1, 1) \ {0}.

PapildināšanaPar kopas papildinājumu (līdz U) sauc visu to priekšmetu kopu, kuri nepieder šai kopai. Par kopas papildinājumu ir jādomā kā par kopu, kas paliek pāri, ja no universa “izmet ārā” visus kopas “A” elementus. Kopas A papildinājumu apzīmēar A` vai −A.Piemērs:

• Ja A = {1,2,3,4,5} un U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, tad A` = {6,7,8,9,10}• Ja A = visu pāra saitļu kopa un U = N, tad A` ir visu nepāra skaitļu kopa• Tukšās kopas papildinājums ir pilnā kopa, un otrādi. Ja U = R, tad segmenta (0, 1]

papildinājums ir apvienojums (−∞, 0] [ (1,∞). Ja turpretī U = R+, tad −(0, 1] = (1,∞).

Simetriskā atņemšanaPar divu kopu simetrisko starpību sauc visu to priekšmetu kopu, kuri pieder tieši vienai no abām kopām. Kopu A un B simetrisko starpību visbiežāk apzīmē ar A Δ B.

7

Piemēri:• {a, b, c, d} Δ {d, c, e} = {a, b, e} = {d, c, e} Δ {a, b, c, d}.• [0, 1) Δ (−1, 0] = (0, 1) ∪ (−1, 0) = (0, 1) Δ (−1, 0).

Divu kopu savstarpējie stāvokļi

a) A = Bb) B ⊂ Ac) A ∩ B ≠ ∅ ^ A \ B ≠ ∅ ^ B \ A ≠ (vispārīgākā situācija)∅d) A ∩ B = ∅

1.zīm.

Kopu vizualizācijas metode: Eilera-Venna diagrammas

Džons Venns (1834—1923) bija angļu filozofs un matemātiķis. Viņš radīja ērtu paņēmienu — Venna diagrammas, kas ļāva vizuāli attēlot kopas un visus to savstarpējos mijiedarbības stāvokļus. Šādas diagrammas mēdz saukt arī par Eilera-Venna diagrammām, jo arī šveiciešu matemātiķis Leonards Eilers (1707—1783) izmantoja līdzīgas diagrammas, lai attēlotu kopu savstarpējo stāvokli. Formulas, kuras satur divas vai trī kopas, visvienkāršāk pierādāmas grafski. Tā sauc Eilera diagrammu paveidu, kurās kopas attēlotas "vispārīgā stāvoklī" tā, lai visi to savstarpējie šķēlumi būtu netukši (1. c zīm. un 2. zīm.).

8

2. zīm.: Venna diagrammu pamatapgabali 3 kopāmA = {f4; 5; 6; 7},B = {1; 2; 4; 5}, C = {f2; 3; 5; 6}.A \ B = {6; 7};(A \ B) \ C = {7};A \ C = {4; 7};(A \ C) \ B = {7}:Rezultātā (A \ B) \ C = {7} = (A \ C) \ B.Piemēram, attēlojot kopu A ar apli, kopu B - ar citu apli, bet kopu C - ar trešo apli (2. zīm.), izveidojas 7 iekšējie apgabali, kurus zīmējumā apzīmējam ar skaitļiem no 1 līdz 7, un viens ārējais apgabals (2. zīm. apzīmējām ar skaitli 8) Tagad ērti pierādāmas formulas, kuras satur 3 kopas.

Formulas (A \ B) \ C = (A \ C) \ B. Pierādījums ilustrēts 3.zīmējumā

9

3.zīm.a) A \ B, b) (A \ B) \ C, c) A \ C, d) (A \ B) \ C.

Formulas A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) pierādījums ilustrēts 4. a) zīm. Te gaiši pelēkā tonī iekrāsots apgabals, kas atbilst kopu šķēlumam B ∩ C.Tā mēs varam pārliecināties, ka 4. a zīm. tumši tonētais apgabals atbilst kopai A \ (B ∩ C).

10

4. zīm.: Venna diagrammas: a) A \ (B ∩ C), b) A \ (B ∪ C).

Taču jāatzīst, ka 4. a zīm. ne pārāk pārliecinoši demonstrē, ka tumši pelēkajam apgabalam tiešām atbilst kopa (A \ B) ∪ (A \ C), tāpēc nepieciešami papildus apsvērumi, piemēram, varam sanumurēt visus apgabalus, kā jau iepriekš tas parādīts 2. zīm. Tagad var pieņemt, kaA = {4; 5; 6; 7};B = {1; 2; 4; 5};C = {2; 3; 5; 6}:Šai gadījumāB ∩ C = {2; 5};A \ (B ∩ C) = f4; 6; 7};A \ B = {6; 7};A \ C = {4; 7};(A \ B) ∪ (A \ C) = {6; 7} ∪ {4; 7} = {4; 6; 7}:Tā rezultātā A \ (B \ C) = {4; 6; 7} = (A \ B) ∪ (A \ C).

Diagrammas ļauj atpazīt arī tās formulas, kas nav spēkā Tā 5. zīm. parādīts, ka kopu atņemšana nav komutatīva, proti, vispārīga gadījumā A \ B ≠ B \ A. Tas nebūt nenozīmē, ka nav iespējams piemeklēt tādas kopas A un B, kurām izpildās vienādība, piemēram, ja A = B, tad A \ B = B \ A.

5. zīm: Komutatīvā likuma A \ B = B \ A atspēkojums ar Venna diagrammām: a) A \ B, b) B \ A.

11

Pētījums:

10 draugu kopa {alex, blair, casey, drew, erin, francis, glen, hunter, ira, jade} Ikviens draugs ir kopas elements (vai objekts)

Pieņemsim, ka alex, casey, drew un hunter spēlē futbolu “Soccer”:

Soccer = {alex, casey, drew, hunter}

(Kopa "Soccer" sastāv no elementiem alex, casey, drew un hunter).Savukārt casey, drew un jade spēlē tenisu “Tennis”:

Tennis = {casey, drew, jade}

Ievietoju viņu vārdus divos atsevišķos apļos:

Apvienošana

Tagad sarakstu draugus, kuri spēlē Soccer VAI Tennis. Tā saucas kopu apvienošana un tiek apzīmēta ar :∪

Soccer Tennis = {alex, casey, drew, hunter, jade}∪

Ne visa draugu kopa – tikai tie draugi, kuri spēlē futbolu vai tenisu Arī šo norādu Vienna diagrammā:

Venna Diagramma: 2 kopu apvienošana

Domāju, ka Venna diegramma ļoti skaidra un sniedz daudz inormāciju:• Kā redzams alex, casey, drew un hunter ir "Soccer" kopā• Kā arī casey, drew un jade ir "Tennis" kopā • Un saprotams ir arī, ka: casey un drew atrodas ABĀS kopās!

12

Krustošanās

Krustošanās ir tad, ja Tu atrodies ABĀS kopās. Mūsu gadījumā tas nozīmē, ka viņi spēlē gan futbolu, gan tenisu, kā to dara casey un drew. Un simbols tam ir: ∩Soccer ∩ Tennis = {casey, drew}

Venna Diagrammā izskatās šādi:

Venna Diagramma: 2 kopu krustošana

Trīs kopas

Venna Diagrammu var taisīt arī no 3 kopām.Pieņemšu, ka trešā kopa būs volejbols "Volleyball", kuru spēlēs drew, glen un jade:

Volleyball = {drew, glen, jade}

Lai izskatītos “matemātiskāk”, izmantošu CAPS burtus kopu apzīmēšanai:• S = Soccer kopa • T = Tennis kopa • V = Volleyball kopa

Venna Diagramma tagad izskatās šādi:

3 kopu apvienošana: S T V∪ ∪

Redzamais piemērs:• drew spēlē Soccer, Tennis un Volleyball • jade spēlē Tennis un Volleyball • alex un hunter spēlē Soccer, bet nespēlē Tennis vai Volleyball • neviens nespēlē tikai Tennis

Veicu dažādus paraugus ar apvienotajām kopām ...

13

Šī ir tikai S kopa

S = {alex, casey, drew, hunter}

Apvienotās kopas T un VT V = ∪ {casey, drew, jade, glen}

Krustošanās kopām S un VS ∩ V = {drew}

• izmantoju iepriekšējo kopu S ∩ V • tad atņemu T:

14

Tā ir krustošanā kopām S un V mīnus kopa T(S ∩ V) − T = {}

Sanāk tukša kopa. Tā joprojām ir kopa, kurai izmantojam tukšas iekavas: {}

Universālās kopas

Universālā kopa “U” - var ietvert visu mums šobrīd interesējošo – mūsu gadījumā 10 draugu kompāniju.

U = {alex, blair, casey, drew, erin, francis, glen, hunter, ira, jade} Univeršalās kopas attēlojums Venna Diagrammā uzzīmējot rāmi ap kopām.

Nu ir redzami visi 10 draugi glīti sagrupēti katrs savā sporta spēļu grupā.

Var veikt interesantas kombinācijas ņemot visu kopu un atņemot tikai to, kur spēlē futbolu:

15

Izskatās šādi:U − S = {blair, erin, francis, glen, ira, jade}Saka: "Universālā kopa mīnus futbola kopa ir kopa {blair, erin, francis, glen, ira, jade}"Citiem vārdiem "ikviens, kurš nespēlē futbolu".

Kopu faktorizācija

Faktorizācija ir svarīga kopu teorijas operācija, kas ļauj pāriet no kopas uz šīs kopas daļu kopu, kuru elementiem piemīt kopīgas īpašības.Strādājot ar faktorkopām ir lietderīgi sadalījuma klašu vietā strādāt ar šo klašu elementiem – klašu pārstāvjiem: lai aprakstītu faktorkopu, ir pietiekami atrast vienu elementu katrā sadalījuma klasē.

PIEMĒRI. Pāra skaitļu kopa un nepāru skaitļu kopa veido visu veselu skaitļu kopas sadalījumu, šajā gadījumā faktorkopa satur divus elementus, kurus var identificēt ar skaitļiem 0 un 1 – atlikumiem, kurus iegūst, dalot ar 2 naturālus skaitļus.

Cilvēku kopā sadalījums pēc, piemēram, pilsonības vai acu krāsas pazīmes definē faktorkopas, kuras elementiem atbilst valstis vai krāsas.

Plaknes punktu kopā taisnes, kas paralēlas fiksētai taisnei, veido sadalījumu, kuram atbilstošās faktorkopas elementus var identificēt ar taisnes punktiem šādā veidā: uzzīmēsim vēl vienu taisni “l”, kas nav paralēla nevienai no dotajām taisnēm, katra no paralēlajām taisnēm krusto taisni “l” vienā punktā, pie tam jebkurām divām dažādām taisnēm šie krustpunkti ir dažādi un katrs taisnes “l” punkts ir viens no šiem krustpunktiem, visi šie apsvērumi kopumā nozīmē, ka faktorkopas elementus var identificēt ar taisnes “l” punktiem.

Kopu tiešais reizinājums Par sakārtotu pāri sauc kopu, kas satur divus elementus un kurā ir definēta kārtība: tiek norādīts, kurš no diviem elementiem ir pirmais, un kurš – otrais.Sakārtotu pāri apzīmē ieslēdzot kopas elementus parastajās iekavās vai kvadrātiekavās noteiktajā kārtībā, pirmais elements tiek rakstīts kreisajā pusē, otrais – labajā pusē; piemēram (a, b) - vai . [a, b] Par sakārtotu “n” elementus garu virkni(n-virkni) sauc kopu, kas satur “n” elementus un kurā katram elementam ir piešķirts kārtas numurs(no “l” līdz “n”). Sakārtotu virkni apzīmē ieslēdzot kopas elementus parastajās iekavās vai kvadrātiekavās noteiktajā kārtībā, elementi tiek rakstīti no kreisās puses uz labo; piemēram (a1, a2,...,an) vai [a1, a2,...,an].Par bezgalīgu virkni sauc bezgalīgu kopu, kurā katram elementam ir piešķirts kārtas numurs(naturāls skaitlis). Par divu kopu A un B tiešo vai Dekarta reizinājumu(par godu franču matemātiķim Dekartam) sauc kopu (apzīmē ar pierakstu A x B) , kuras elementi ir visi sakārtoti elementu pāri, kuros pirmais elements pieder kopai A, bet otrais elements pieder kopai B: A x B = {[a, b]} | a A un∈ b B} ∈

16

Kopas, kas piedalās tiešajā reizinājumā, sauc par tā reizinātājiem. Ja tiešajā reizinājumā visi reizinātāji ir vienādi(Ai = A katram i), tad tiešo reizinātāju sauc par A pakāpi (apzīmē ar An). Ja vismaz no reizinātājiem ir tukša kopa, tad reizinājums ir tukša kopa.

PiemēriA = {a, b} un A = {x, y}, tad A x B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}; ja A = R (skaitļu taisne), tad A x A = A2 var identificēt ar plakni šādā veidā: definēsim plaknē Dekarta koordinātes, katram plaknes punktam Dekarta koordinātes (sakārtots skaitļu pāris) ir viennozīmīgi noteiktas, un otrādi, katrs sakārtots skaitļu pāris viennozīmīgi nosaka punktu dotajā Dekarta koordinātu sistēmā. Pēdējais piemērs rāda, ka par divu kopu A un B tiešo reizinājumu A x B ir lietderīgi domāt kā par tabulu, kuras rindas tiek indeksētas ar pirmās kopas A elementiem un kolonnas tiek indeksētas ar otrās kopas B elementiem, tabulas rūtiņai, kuras rindai atbilst elements a A un∈ kuras kolonnai atbilst elements b B, atbilst tiešā reizinājuma elements (a, b).∈ Ja A ≠ B, tad acīmredzami A x B ≠ B x A.

17

2. Matemātiskā loģikaMatemātisko loģiku var uzskatīt par formālo loģiku, kas lieto matemātiskas metodes un matemātiska tipa simboliku. Lai arī cik vilinoši neliktos siloģismi, tomēr tas nav mūsdienu matemātiskās loģikas maģistrālais virziens. Loģika ir viena no vecākajām zinātnēm, kas radusies 4. gs. p. m. ē. Tā pēta likumsakarības, kurām seko organizēta un pareiza domāšana.Def. Matemātiskā loģika (teorētiskā loģika, simboliskā loģika) ir matemātikas nozare, kas pēta matemātisko pierādījumu formas, formālās valodas izteikumus un operācijas ar izteikumiem. Matemātiskā loģika apvieno vienā disciplīnā matemātiku un loģiku, aprakstot pareizai domāšanai raksturīgās formālās kārtulas.

Izteikumi

Izteikuma jēdziens ir pamatjēdziens un netiek definēts. Izteikumus, kas nav attiecināmi uz konkrētu piemēru vai situāciju un kuri vispārīgi (parasti ar mainīgo vai parametru palīdzību) apraksta kādu faktu vai procesu, sauc par vispārīgiem izteikumiem tie ir patiesi tad un tikai tad, ja patiesi ir visi tam atbilstošie atsevišķie izteikumi. Šādu atsevišķo izteikumu, kas pierāda, ka vispārīgais izteikums nav patiess, sauc par pretpiemēru. Izteikums - “Ja skaitlis n , kas ir lielāks nekā 24, dalās ar 6 un 4, tad šis skaitlis n dalās ar 24.”Pretpiemērs - “Skaitlis 36 ir lielāks nekā 24, dalās ar 6 un 4, bet nedalās ar 24.”

Aprakstoši paskaidrojot, var teikt, ka par izteikumu saucam tādu apgalvojumu, kas ir vainu patiess, vai aplams. Rezultātā parādās arī patiesumvērtības jēdziens, kas arī ir pamatjēdziens. Loģikā pieņemts drusku formālāks izteikšanās veids: saka ka izteikumam ir viena no divām iespējamām patiesumvērtībām: 1 (patiess) un 0 (aplams). Izteikumi ir līdzīgi no valodas mācības pazīstamajiem stāstījuma teikumiem, bet te nav nekas vairāk par nosacītu līdzību.Izšķir vienkāršus izteikumus - tādus, par kuru iekšējo saturu matemātiskā loģika neinteresējas, izņemot to patiesumu vai aplamību, un saliktus izteikumus - tādus, kas veidoti no vienkāršiem izteikumiem ar matemātiskās loģikas darbību (\un", \vai", \izriet" u. c.) palīdzību. Piemēram:Salikts izteikums “ja naturāla skaitļa pēdējais cipars ir pāra, tad tas dalās ar 2” sastāv no diviem vienkāršiem izteikumiem “naturāla skaitļa pēdējais cipars ir pāra” un “naturāls skaitlis dalās ar 2”. Saliktus izteikumus izmanto, lai matemātikā formulētu definīcijas, īpašības un teorēmas.

Daži izteikumu un tai pašā laikā stāstījuma teikumu piemēri: • A= “2x2=5”,• B = “Rīga ir Latvijas galvaspilsēta 2001. gadā”,• C = “uz Marsa ir dzīvība”

A, B, C ir izteikumi, pie tam izteikums A ir aplams, izteikums B ir patiess un par izteikumu C uz šī teksta rakstīšanas brīdi nav zināms, vai tas ir patiess vai aplams.

18

• “Manā akvārijā ir zelta zivtiņa" ir vienkāršs izteikums. No matemātiskās loģikas viedokļa mūs interesē tikai, vai tas ir patiess vai aplams. Pārējais tā saturs attiecas uz sadzīvi, zooloģiju utml.

• Frāzes “šodien ir labs laiks”,“3”, ”cik laika ir palicis līdz lekcijas beigām?” nav izteikumi mūsu definīcijas nozīmē, jo par tiem nevar nekādā nozīmē apgalvot, ka tie ir pareizi vai aplami.

Izteikuma patiesumvērtība ir objektīvs tā raksturojums. Piemēram, izteikums:“Zeme riņķo ap Sauli” ir, kā zināms, patiess, neraugoties uz to, ka ikdienas pieredze rāda otrādi.

Dažkārt minētā izteikumu satura salīdzināšana ar īstenību ir neiespējama, visbiežāk tāpēc, ka tas (saturs) ir neskaidrs vai pat absurds vai arī tāpēc, ka nav skaidru salīdzināšanas kritēriju:Pēteris, šķiet, ir 20 gadu vecs.Skaitlis 987654321 nav sevišķi liels,Vislielākais naturālais skaitlis ir pārskaitlisTradicionālā loģika šādus nenoteiktus izteikumus neaplūko (precīzāk, tās atzinumi šādos gadījumos nav piemērojami).

Aplūkošu divus izteikumus. • Katrs rombs ir paralelograms.• Ne katrs rombs ir paralelograms.

Skaidrs, ka 1. izteikums ir patiess, savukārt, 2. izteikums ir aplams. To jēdzieniskā nozīme ir pretēja. Šādās situācijās mēdz teikt, ka viens izteikums ir otra izteikuma noliegums. Parasti, ja runājot vai rakstot vēlamies ko noliegt, mēs sakām “nē”, “ne”, “nepareizi” u.tml.Par izteikuma A noliegumu sauc izteikumu “ne A”. Vienlaikus patiess var būt tikai viens no izteikumiem A un ne A.

Aplūkošu vēl vienu izteikumu A, B un izteikuma “A ir tad un tikai tad, ja B” patiesumu.Izteikums A: “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena”.Izteikums B: “Šodien ir 1. janvāris”.Izteikums “A ir tad un tikai tad, ja B”: “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena tad un tikai tad, ja šodien ir 1. janvāris”.Ja A un B ir patiesi, tad izteikums “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena tad un tikai tad, ja šodien ir 1. janvāris” — ir patiess.Pieņemšu, ka ir 15. aprīlis. Tad izteikumi “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena” un “Šodien ir 1. janvāris” ir aplami, tomēr izteikums “Šodien ir pirmā Jaunā gada diena tad un tikai tad, ja šodien ir 1. janvāris” — protams, ir patiess.

Lai frāze būtu apgalvojums, tam ir jābūt apgalvojuma formā (nevar būt jautājums, izsaukuma formā, komanda, lūgums, nepabeigts u.c.).

Predikāti

Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. Par predikātiem ir jādomā kā par funkcijām, kuru vērtības apgabals ir patiesumvērtību kopa. Tradicionāli biežāk lietotās patiesuma operācijas ir: negācija, disjunkcija, konjunkcija, implikācija un ekvivalence.

19

Izteikumu un predikātu pielietojumu piemērs

Nosacītās pārejas un ciklu operatori programmēšanā:

“if” (“ja”) operators, “while”(“kamēr”) operators. “until”(“līdz”) operators

Programma, kas drukā 1, ja ievadīts pozitīvs skaitlis un 0, ja ievadīts 0 vai negatīvs skaitlis.Operators “if X then A else B”: ja izteikums, kas seko pēc “if” ir patiess, tad izpildīt komandu A, ja aplams, tad izpildīt komandu B.

input n;if n>0 then print 1; else print 0;

Darbības ar izteikumiem

Saliktu izteikumu veido no vienkârðiem vai citiem (jau izveidotiem) saliktiem izteikumiem ar šādām darbībām (šeit un turpmāk par izteikumu sauksim vienkāršu vai saliktu izteikumu):1) kā izteikuma A noliegumu jeb negāciju (no latīņu valodas) (¬A) (lasa “ne A"),2) kā izteikumu A un B konjunkciju (no latīņu valodas burtiski “sajūgumu") (A ∧ B) (lasa “A un B"),3) kā izteikumu A un B disjunkciju (no latīņu valodas burtiski “atjūgumu") (A ∨ B) (lasa “A vai B"),Noliegums, konjunkcija un disjunkcija ir vienkāršākās operācijas kā no dotiem izteikumiem konstruēt saliktus izteikumus. 4) kā izteikumu A un B stingro jeb izslēdzošo disjunkciju (A ⊕ B) (lasa “tieši viens no A vai B" vai “A vai B, bet ne abi"),5) kā izteikuma B secināšanu jeb implikāciju (no latīņu valodas burtiski “iepīšanu") no izteikuma A (A → B) (lasa “ja A, tad B" vai “no A izriet B", vai “no A seko B"),6) kā izteikumu A un B pielīdzināšanu jeb ekvivalenci (latīņu valodā ”tikpat stiprs") (A ≡ B) (lasa “A tad un tikai tad, ja B" vai “A līdzvērtīgs B", vai “A ekvivalents B").

Implikācija un ekvivalence ir operācijas ar izteikumiem, kuras ir lietderīgi izmantot pierādot matemātiskus apgalvojumus. Frāze ’tiek teikts, ka arguments nav patiess’ negācijas definīcijā nav jāuztver kā garantējums, ka šis arguments patiešām nav patiess.Teikt, ka apgalvojums A nav patiess, var gan par aplamu, gan arī patiesu A.Lieku reizi atgādinām jau agrāk runāto, ka apgalvojums, kuru izsaka izteikums, var būt nevien patiess, bet arī aplams. Tālab negācijas operāciju nevajadzētu uzskatīt par rīku, kura uzdevums ir aplamus izteikumus ”uzlabot“ par patiesiem. Tā vienkārši ir līdzeklis izteikuma ar pretēju saturu iegūšanai.Tādas pat piezīmes attiecas arī uz pārējām loģiskajām operācijām. Tā, piemēram, nevajadzētu iedomāties, ka divu izteikumu konjunkcija ir (atbilstoši definīcijai) patiesa tikai tāpēc vien, ka kāds grib apgalvot abu tās locekļu vienlaicīgu patiesumu.Vēl piezīmēsim, ka iegūto salikto izteikumu sauc tāpat, kā izmantoto loģisko operāciju: piem, izteikumu, kurš ar konjunkcijas operāciju iegūts no izteikumiem A un B sauc par A un B konjunkciju. Iesākumā tas var radīt nelielus pārpratumus, bet pie tā jāpierod: te nav tādu izteikšanās iespēju, kā aritmētikā, kur summu var atšķirt no saskaitīšanas vai reizinājumu no reizināšanas.

20

Salikto izteikumu patiesumvērtības nosaka no to veidojošo izteikumu patiesumvērtībām atbilstoši šai tabulai:

Piemērs: A = ”Jānis dzīvo Rīgā”, tad ¬ A = ”nav tiesa, ka Jānis dzīvo Rīgā”, ja B = ”Andris dzīvo Rīgā”, tad A ∧ B = “Jānis un Andris dzīvo Rīgā”, A ∨ B = “Jānis vai Andris dzīvo Rīgā”.

To patiesumvērtību izvēles motivācija ir saistīta ar šādiem novērojumiem: no patiesa apgalvojuma loģisku secinājumu ceļā var iegūt kādu citu patiesu apgalvojumu un nav iespējams iegūt aplamu apgalvojumu, savukārt no aplama apgalvojuma var iegūt gan aplamu, gan patiesu apgalvojumu, tātad izteikums “ja A, tad B ” ir noteikti aplams tad, ja A ir patiess un B ir aplams, un var būt patiess visos citos gadījumos. Implikāciju un ekvivalenci pielietojumos izmanto relatīvi retāk nekā konjunkciju un disjunkciju.Vēl ir dažas praktiski bieži sastopamas matemātiskās loģikas operācijas, piemēram xor.Sākot strādāt kādā programmēšanas valodā, ir jāiepazīstas ar šajā valodā izmantotajām matemātiskās loģikas operācijām un to apzīmējumiem.

Mēs varam matemātikā pierastā manierē domāt, ka nosacījuma teikuma darināšana ir it kā darbība jeb operācija izteikumu kopā — tai vajadzīgi divi izteikumi kā argumenti, un tās izpildes rezultātā rodas atkal izteikums. Var pat sastādīt priekšrakstu tādas operācijas izpildei:(i) uzraksti vārdu ’ja’, (ii) tālāk raksti pirmo argumentu un liec aiz tā komatu, (iii) pēc tam raksti otro argumentu, (iv) visbeidzot, raksti otro argumentu, bet aiz tā liec punktu.Līdzīgā kārtā saliktus izteikumus var izveidot arī, izmantojot citus saikļus1ai, un, tikai tad - ja, tāpēc - ka, bet, vai utt.Retāk gadās darināt jaunu izteikumu no trijiem; tomēr shematisks piemērs ’nevis A, bet B, jo C’ rāda, ka arī tas nev nekas nedabisks.Operācijas, ar kurām no viena vai no vairākiem izteikumiem veido jaunu izteikumu, sauksim par loģiskām operācijām.

Matemātiskās loģikas formulas un to īpašības

Matemātiskajā loģikā ir lietderīgi uzskatīt saliktus izteikumus par formulām vai vārdiem noteiktā alfabētā. Par alfabētu sauksim jebkuru netukšu kopu A, kas satur elementāro izteikumu apakškopu, operāciju simbolus ¬, , , , un iekavu simbolus (,). I∨ ∧ ⇒ ⇔ zteikumu loģikas alfabēts ir daļa no predikātu loģikas alfabēta.Par vārdu matemātiskās loģikas alfabētā sauksim par matemātiskās loģikas formulu vai vienkārši formulu (arī polu ormula), ja izpildās šādi nosacījumi:

• jebkurš elementārais izteikums ir formula;

21

• ja A un B ir formulas, tad par vārdiem alfabētā sauc jebkuru virkni, kuras elementi ir alfabēta elementi: (¬ A), (A B), (A B), (A B), (A B) - arī ir formulas; ∧ ∨ ⇒ ⇔

• citu formulu nav.

Vārdu “x” sauc par apakšvārdu vārdā “w”, ja eksistē vārdi “u” un “v” tādi, ka “w = uxv”. Ja ir dots matemātiskās loģikas alfabēts un katra elementārā izteikuma patiesumvērtība, tad par formulas patiesumvērtību sauc formulai atbilstošā izteikuma patiesumvērtību.Patiesumvērtības ir ērti apzīmēt ar skaitļiem 1 (patiess) un 0 (aplams) vai vārdiem “patiess” (“true”), “aplams”(“false”).

Predikātu loģikas alfabēts

Par formulas F apakšformulu sauc jebkuru F apakšvārdu, kas ir formula.

Matemātiskās loģikas formula ir jebkurš izteikums, ko var konstruēt no dotajiem (elementārajiem) izteikumiem izmantojot definētās operācijas ar izteikumiem. Matemātiskā loģika ietver metodes, kā no noteikta izteikumu kopuma iegūt zināmus secinājumus. Šo metožu izprašana vai apgūšana palīdz saprast, kā programma loģiskās programmēšanas valodā nonāk pie rezultāta. Lietojot matemātiskās loģikas formulas praktiski, parasti neraksta tās iekavas, kuras nav svarīgas formulas interpretācijai, piemēram pēdējas operācijas (ārējās) iekavas.Par matemātiskās loģikas formulu var domāt kā par funkciju, kas piekārto elementāro mainīgo patiesumvērtību virknei formulas patiesumvērtību. Tādas funkcijas sauc par Būla funkcijām.

Ja ir dota formula, tad elementāro izteikumu virkni (X1,...Xn ), kas piedalās formulā, sauksim par formulas argumentu sarakstu. Funkciju, kas katram formulas mainīgajam piekārto patiesumvērtību, sauksim, par saraksta novērtējumu vai vērtību sarakstu.

Apzīmēšu vērtību sarakstu kā virkni, kuras elementi ir skaitļi 1 vai 0.

Piemēram, ja formulā ir trīs elementārie mainīgie: X1, X2, X3, tad pieraksts (X1, X2, X3 ) = (1, 0, 1) nozīmē, ka izteikums X1 ir patiess, izteikums X2 ir aplams un izteikums X3 ir patiess.

Formulas patiesumvērtību, ja mainīgo vērtības ir vienādas ar saraksta vērtībām, sauksim par formulas vērtību ar doto vērtību sarakstu.

Divas formulas A un B , kas ir atkarīgas no viena mainīgo saraksta sauc par līdzvērtīgām (apzīmē ar pierakstu A ≡ B), ja šo formulu vērtības ir vienādas ar jebkurām saraksta vērtībām, tas ir, jebkuram vērtību sarakstam X izpildās vienādība A(X) = B(X) .

Formulu līdzvērtība ir ekvivalences attieksme formulu kopā līdzīgi kā funkciju vienādība ir ekvivalence funkciju kopā.

Piemēram: formulas (((¬ X1 ) X∧ 2 ) X∨ 3) un ((¬ X1 X∧ 3) (X∧ 2 X∨ 3)) ir līdzvērtīgas.

Vēl divi matemātiskās loģikas formulu pieraksta veidi – “formācijas koks” un ”poļu pieraksts”

Matemātiskās loģikas formulas formācijas koks – katra virsotne ir dotās formulas apakšformula, katras virsotnes dēli ir tās priekšteču apakšformulas. Var tikt zīmēts arī saīsinātā veidā, kad katra

22

virsotne ir operācija, lapas ir elementārie mainīgie. Ērti tāpēc, ka nav vajadzīgas iekavas (atmiņas ekonomija) un koka struktūra parāda operāciju pielietošanas secību. Formulas vērtības aprēķināšana notiek, sākotnēji piešķirot patiesumvērtības lapām un pēctecīgi piešķirot patiesumvērtības tēvu virsotnēm, ja dēlu virsotņu vērtības ir zināmas.

Visas formulas pierāda aprēķinot labo un kreiso pušu vērtības visām mainīgo vērtībām.

Būla funkciju un matemātiskās loģikas ģeometriskā un kopu teorētiskā interpretācija

Bināru virkni ar garumu n var domāt kā n-dimensiju vienības kuba virsotnes koordinātu virkni. n-dimensiju vienības kuba (hiperkuba) Hn virsotnēm koordinātes ar būt 0 vai 1.

Ja ir dota matemātiskās loģikas formula (Būla funkcija) F no n argumentiem, tad to var identificēt ar funkciju no Hn virsotņu kopas uz kopu {0,1}. Var pētīt šīs funkcijas nesējkopu S(F) = f-1 (1) – to kuba virsotņu kopu, uz kuras elementiem funkcijas vērtība ir 1. Var redzēt, ka nesējkopas raksturīgā funkcija ir F.

23

3. Nobeigums un kopsavilkums

Apkopojot izzināto par kopām un matemātisko loģiku secināju, ka, izmantojot gan referātā aprakstītās formulas, gan pievienojot citus izteikumu alfabēta vārdus – iespējams uzrakstīt stāstu. Tas varbūt nesastāvētu no liriskiem un emociju bagātiem tekstiem, bet savu domu tādā veidā varētu izteikt un pamatot.Un vēl, pavisam loģisks, sadzīvisks un bērnišķīgs problēmas atrisinājums (skat.1.zīm). Šķietamā bezizejā atrast izeja: kāpēc mums vispār vajadzīgs vilks?

1.zīm.

24

4. Literatūra

• Jānis Cīrulis, “Matemātiskā loģika un kopu teorija”, 2008.g.

• http://www.dundaga.lv/skola/faili/macibumateriali/

• http://de.du.lv/matematika.html

• http://www.mathsisfun.com/sets

25