REŠETKASTI NOSAČI

REŠETKASTI NOSAČI

PRIMJENA NOSAČA:

U VISOKOGRADNJI: KROVIŠTA;

UKRUTE(SPREGOVI); HALE;

DALEKOVODI

MOSTOVI: ŽELJEZNIČKI;

PJEŠAČKI; CESTOVNI

REŠETKASTI NOSAČI

PRIMJENA NOSAČA:

REŠETKASTI NOSAČI

vertikaleštapovi gornjeg pojasa (O)

štapovi donjeg pojasa (U)

dijagonale (D)

(V)

TLAČNI ŠTAPVLAČNI ŠTAP

RAVNINSKE REŠETKE

REŠETKASTI NOSAČI: sustavi sastavljeni od u čvorovima

zglobno spojenih štapova.

čvor štap čvor štap

REŠETKASTI NOSAČI

PRETPOSTAVKE:

štapovi spojeni u čvorovima idealnim zglobovima (bez trenja).

optrećenja-koncentrirane sile djeluju u čvoru - M=0→samo uzdužne

sile u elementima rešetke (samo N dijagrami un. sila)

P

VRSTE RAVNINSKIH REŠETKI

Prattove rešetke

Konzolne N

rešetka

Rešetkaste nosače nazivamo prema štapovima ispune,

prema obliku pojasa (II,trokutni,parabolični), prema kreatorima istih i

prema ležajnim uvjetima-odnosno statičkom sustavu.

VRSTE RAVNINSKIH REŠETKI

Složena rešetka

Trozglobna rešetka

Gerberova rešetka

GEOM. NEPROMJENJIVOST REŠETKI

osnovni g.n. oblik

geom. nepomjerljiva rešetka stabilna geom. pomjerljiva rešetka

nestabilna

Š 2*Č-L

Trokut-osnovni geometrijski nepromjenjiv

oblik. Rešetka iz trokuta je stabilna.

Nužan uvjet geometrijske nepromjenjivosti.

Dovoljan: ispravan rapored štapova rešetke.

Geom.nepromjenjiv sustav

31 (Š) = 2x17 (Č) – 3 (L)

Geom.promjenjiv sustav-nestabilan

30 (Š) < 2x17 (Č) – 3 (L)

GEOM. NEPROMJENJIVOST REŠETKI

statički neodređenstatički određenpomjerljiv sustav nestabilan

statički neodređenstatički određenpomjerljiv sustav nestabilan

Četverokut-osnovni geometrijski

promjenjiv oblik.

Ovaj četverokut je stabilan.

METODE PRORAČUNA REŠETKASTIH NOSAČA

RAVNOTEŽA

čvora

presjeka

analitički metoda isjecanja čvorova

metoda momentnih točaka (Ritterova metoda) + metoda projekcija

metoda zamjene štapova

grafički Cremonin plan sila Culmanova metoda

numerički MKE-MP-programi

METODA ČVOROVA

Konstrukcija je u ravnoteži ako svaki čvor u ravnoteži.

METODA ČVOROVA

uravnoteženje čvor po čvor

uravnoteženje svih čvorova

Ova metoda postavlja po dvije jednadžbe ravnoteže za svaki čvor.

Primjenjiva je ako možemo krenuti od čvora gdje su nepoznate dvije sile i u

svakom slijedećem čvoru da su nepoznate dvije sile.

Prvo se odrede reakcije sustava, a onda ide na određivanje sila u

štapovima.

METODA ČVOROVA

F1 F2

F3

AV

AH

B

U1 U2

O1

D1

D2

D3

D4

1

2 3

45

uravnoteženje čvor po čvor

1. čvor

2. čvor

AV

AH

U1

D1

1 a

F1

D1 D2

O12

a a

11

H11

x

V1

y

UD

0AcosαxDU

0F

0AsinαxD

0F

;

1O;

2D

01

Ocosαx2

Dcosαx1

D

0xF

0sinαx2

D-sinαx1

D1

F

0y

F

METODA ČVOROVA

čvor 1

V =0O =0

1

1

čvor 5V =0

čvor 2V =P

3

2 2

Prepoznavanje nul štapova:

METODA ČVOROVA

Formiranje sustava jednadžbi za cijeli nosač:

A B

F1 F2

F3

a a a a

b

1

2 3

45

S = 1 AV

S3

S4

S5

S6 S7S8

S10

S =9 BV

S =2 AH

uravnoteženje svih čvorova

0

B

0

0

F

F

F

0

A

A

S

0

S

S

S

S

S

S

0

0

000sinαsinα00000

100cosαcosα00100

01sinα0000000

10cosα0000000

00sinαsinα000000

00cosαcosα010000

0000sinα0sinα000

0000cosα1cosα000

000000sinα000

000000cosα110

V

2

3

1

V

H

10

8

7

6

5

4

3

Fx=0

Fy=0

D s f

čvor 1

čvor 5

METODA ČVOROVA

U matričnom obliku:

D s = f

rješenje: D f-1= s

-matrica D koeficijenti f-je geometrijskog položaja štapova rešetke

-vektor s - nepoznate sile

- vektor f opterećenje u čvorovima

Nužan uvjet geometrijske nepromjenjivosti:

det D=0

METODA ČVOROVA

GRAFIČKI NAČIN

uravnoteženje čvor po čvor

Zatvoren poligon

sila za svaki čvor.

A B

F1 F2

F3

a a a a

b

1

2 3

45

AV

AV

S3

S3

S4

S4 S 4

S5

S5

S5

S6

S6

S7

S7

S8

S8

S10

BV

AH

AH

čvor 1 čvor 2 čvor 3

F1F2

F3

METODA ČVOROVA

uravnoteženje svih čvorova

GRAFIČKI NAČIN

Cremonin plan sila

Jedinstven poligon sila za sve čvorove.

Svaka sila se jednom pojavljuje u

poligonu.

tlakvlak

METODA PRESJEKA

A B

F1 F2

F3

a a a a

b

1. se odrede reakcije iz uvjeta ravnoteže.

X=0 RAx

Y=0; MB=0 RAY; RB

Ritterova metoda-momentnih točaka

F1 F2

F3

a a a a

b

AV

AH

B

U1 U2

O1

D1

D2

D3

D4

Nosač u ravnoteži ako svaki njegov dio u ravnoteži

t.j. rezultanta vanjskih sila = rezultanti unutarnjih sila.

METODA PRESJEKA

2. se pravi presjek onih štapova u kojima tražimo silu.

F1 F

2

F3

a a a a

b

AV

AH

B

U1

U2

O1

D1

D2

D3

D4

F1

AV

AH

A

U1

O1

D2

Metoda je primjenjiva ako u presjeku 3 nepoznate sile.

U algebarskoj formulaciji postavljamo 3 jednadžbe ravnoteže, a u

geometrijskoj imamo 3 pravca koja uravnotežujemo.

Traže se točke u kojima se sijeku pravci dvije presječene sile-riterove točke,

u odnosu na njih postavljamo uvjet da je suma momenata svih sila(vanjskih

i unutarnjih) lijevo ili desno od presjeka nula 1// ili suma vertikalnih

projekcija svih sila(vanjskih i unutarnjih) lijevo ili desno od presjeka nula

(kada nema riterove točke-II štapovi) 2

METODA PRESJEKA

F1 F2

F3

a a a a

b

AV

AH

B

U1 U2

O1

D1

D2

D3

D4

Rvanjskih=RA + F1

Runutarnjih=O1+U1+D2

Rvanjskih + Runutarnjih = 0 ravnoteža

R2

R1

R2

MR1=0

RAVx2a-F1xa+O1xb=0 O1

MR2=0

RAVxa+U1xb=0 U1

Fy=0

RAV-F1+D2xsina=0 D2

MR=0 Si=MR / ri

ri

R1

F1

AV

AH

A

U1

O1

D2

2

1

METODA PRESJEKA

GRAFIČKI NAČIN

Culmanova metoda

1. se odrede reakcije, te se pravi presjek za koji treba odrediti sile

u štapovima.

F1 F2

F3

a a a a

b

0

12

3AV

AH

B

F1

F2

F3

0

1

2

3

AV

AH

B

zl

U1 U2

O1

D1

D2

D3

D4

METODA PRESJEKA

GRAFIČKI NAČIN

Culmanova metoda

Rvanjskih=RA + F1

Runutarnjih=O1+U1+D2

Rvanjskih + Runutarnjih = 0 C.P.-culmanov pravac prolazi kroz 2 točke

presjeka po 2 sile (RA,F1; O1 i D2;U1)

F1

AV

AH

A

F1

F2

F3

0

1

2

3

AV

A

AH

BU1

U1

O1

O1

D2

D2

RA+F1

RA+F1

RA+F1

c.p.

c.p.

c.p.

1

2

METODA PRESJEKA

R1

R1

R2

R2

R3

R3

Presjek ne mora ići ravno. Rastavimo rešetku na 2

dijela, te radimo riterovom metodom.

SMJER SILA U ŠTAPOVIMA

tlakvlak

vlak

tlak

NOSAČI SA II POJASEVIMA

tlak

vlak

0 nul štap

Howe rešetka Pratt rešetka

SMJER SILA U ŠTAPOVIMA

NOSAČI SA II POJASEVIMA

Sile u štapovima rešetke mogu se odrediti pomoću sila u

“zamjenskoj prostoj gredi”.

sinα

TD

h

MO

i

i

Ti

Ti

Isjecanje čvora

NOSAČI SA II POJASEVIMA

h

MU 1i

iTDxsinαV

Ti-1

Ti-1

NOSAČI SA II POJASEVIMA

Culmanova metoda

Rvanjskih=RA + P1+ P2

Runutarnjih=O4+U4+D4

Rvanjskih + Runutarnjih = 0

K REŠETKE

stabilna

stabilna

Ispuna u obliku slova k. Time se smanjuju duljine štapova ispune.

19=2*11-3

37=2x20-3

362x19-3 nestabilna

K REŠETKE

0hxOaaxPaxR

0M

m

2

1iimimAY

mu

umVM

h

MO0hxOM u

u

mV

mmmV

h

MU 0M o

o

mV

mm

Presjekom sječemo 4 štapa.

Za drugačiji presjek:

K REŠETKE

R

R

Dm,o

Dm,u

H=0

om,um,

ou

u

0om,um,uum,oom,

DD

cos

cosxDD0xcosDxcosD

Isječemo li čvor:

K REŠETKE

V=0

0om,om,om, sinxDPV

K REŠETKE

R

R

Dm,o

Dm,u

R

1

2

O

U

M1=0 U; M2=0 O ;

V=0R R=2*D*sin D

Koristimo metodu presjeka,

jer su nam nepoznate ipak 3

sile.

K REŠETKE

Grafičko rješenje metodom presjeka

Rvanjskih=RA + F1

Runutarnjih=G+RKL+D

Rvanjskih + Runutarnjih = 0

G

D

K

L

A

A

B

BF1

F1

F2

F2

RR

Rl

Rl

Rd

Poligon sila

Polje sila

mjerilo duljina 1cm:1m

mjerilo sila 1cm:1kN

t

t

RKL

K REŠETKE

Grafičko rješenje metodom presjeka

G

G

D

D

K

K

L

L

A

A

B

BF1

F1

F2

F2

Rl

Rl

Rd

Poligon sila

Polje silamjerilo duljina 1cm:1m

mjerilo sila 1cm:1kN

t

t

RKL

RKL

RKL

c.p.

c.p.

Culmanova metoda

METODA ZAMJENE ŠTAPOVA

P1 P2

Z

Koristi se kada veći broj nepoznanica od 3-kada je neprimjenjiva i

metoda presjeka i metoda čvorova.

Izbačen štap

Zamjenski štap

Zamjenski proračunski sustav

METODA ZAMJENE ŠTAPOVA

P1 P2

Z ZX=1

X=1

R A RARB RBa) b)

Si = Si0 + Xi*si

0 = Sz0 + Xi*sz Xi= - Sz

0 / sz

Si0 si

Sile u štapovima zamjenskog sustava su superpozicija rješenja kroz 2

proračunska koraka:

Iz poznatog rješenje:

METODA ZAMJENE ŠTAPOVA

x=1 x=1

z

x=1

sz=0 Xi geom. promjenjiv sist.

Primjer primjene metode za određivanje geom.nepromjenjivosti:

PRORAČUN REŠETKASTIH NOSAČA

Reš. nosači mogu biti bilo

kojeg statičkog sustava,

računaju se kombinacijom

postupaka za st. sustav -

(reakcije) i rešetku (štapovi).

PRORAČUN REŠETKASTIH NOSAČA

Ovi rešetkasti nosači

koji su dio prostornog

nosivog sustava

računaju se kao

ravninski rešetkasti

sustavi.

PRORAČUN REŠETKASTIH NOSAČA

Ovi rešetkasti nosači

se računaju kao prostorni

rešetkasti sustavi.

PROSTORNI REŠETKASTI NOSAČI

Najpoznatiji prostorni sustavi

rešetki su mero sustavi.

PROSTORNI REŠETKASTI NOSAČI

Dokaz geometrijske nepromjenjivosti prostornih sustava:

S 3*n-š nužan uvjet; dovoljan uvjet pravilan raspored štapova

Osnovni geometrijski nepromjenjiv prostorni oblik je tetraedar.

Prostorna rešetka iz tetraedara je stabilna.

PROSTORNI REŠETKASTI NOSAČI

Za čvor u prostoru 3 uvjeta ravnoteže:

X=0; Y=0; Z=0

Iste su metode rješavanja prostornih rešetkastih nosača kao i

ravninskih, povećan broj jednadžbi iz kojih se određuju sile u

štapovima rešetki.