Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

Geometria e medidas

Polígonos regulares e ladrilhos

Objetivos da unidadeManipular polígonos regulares a fim de recobrir o plano;1. Encontrar qual o requisito para que uma certa combinação 2. de polígonos cubra o plano.

Guia do professor

SinopseEste experimento busca apresentar aos alunos o problema do ladri lhamento no plano, fazendo com que tentem montar os seus próprios preenchimentos, utilizando, particularmente, alguns polígonos regulares.

ConteúdosGeometria Plana: Simetrias.

Objetivos da unidadeManipular polígonos regulares a fim de recobrir o plano;1. Encontrar qual o requisito para que uma certa combinação de polígonos 2. cubra o plano.

DuraçãoUma aula dupla.

Polígonos regulares e ladrilhos

Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 2 / 7

Introdução

A atividade proposta aos alunos é, antes de tudo, uma atividade de explo­ração, na qual eles desenvolverão uma série de ladrilhamentos do plano por polígonos regulares e com algumas condições estabelecidas em cada etapa. O trabalho deve sensibilizar os alunos com a questão bem mais complexa que é encontrar condições necessárias (e sufi cientes) para a existência de ladrilhamentos do plano, utilizando um ou mais tipos de polígonos. Veremos de modo detalhado o motivo por que é impossível construir ladrilhamento regular com 4 ou mais tipos de polígonos, e, para o caso de 1, 2 ou 3 polígonos, mostraremos todas as possibilidades de ladrilhos envolvidos.

Motivação

Este experimento lida com conceitos elementares de Geometria, polígonos regulares, ângulos e lados, e abre portas para investigações bastante sofi s­ticadas como as que apresentamos neste GUia. Além disso, é possível explorar o forte apelo visual que o trabalho com ladrilhos possibilita.

O experimento

Comentários iniciais

A sistematização desta discussão deve começar determinando os ângulos internos de um polígono regular.

Determinação dos ângulos internos de um polígono regularDado um polígono regular de n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)

n lados, podemos dividi­lo em n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)

n triângulos

conforme a fi gura abaixo. Como a soma dos ângulos internos de cada um dos triângulos é n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)

n, ao multiplicar o número de triângulos por n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)

n,

teremos a soma dos ângulos internos de todos eles juntos (n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)n

).

Conforme ilustrado na fi gura acima, se subtrairmos a circunferência que está indicada no centro do polígono, teremos a soma dos seus ângulos internos (n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)

n).

Como o polígono é regular (seus ângulos internos têm a mesma medida), ao dividir a soma dos seus ângulos internos pelo número de ângulos, tere­mos a medida de cada um deles. Logo, a expressão que nos fornece o ângulo interno de um polígono regular de n lados é: n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)

n.

Portanto, os ângulos internos de cada uma das fi guras em anexo são:Triângulo: 60°; �

Quadrado: 90°; �

Pentágono: 108°; �

Hexágono: 120°; �

Octógono: 135°. �

�

�

�

��

�

�

�

n

fig. 1

Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 3 / 7

Nos casos restantes, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108 ou n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, temos que os ângulos internos dos polígonos são divisores de 360:

6× 60 = 360 4× 90 = 360 3× 120 = 360

6× 60 = 360 4× 90 = 360 3× 120 = 360

6× 60 = 360 4× 90 = 360 3× 120 = 360

de modo que não há qualquer tipo de obstrução à construção de ladrilha­mentos com estes polígonos. De fato, é possível ladrilhar o plano com triângulos, quadriláteros ou hexágonos regulares.

Etapa 1 As primeiras questões

Conforme observado nos Comentários iniciais, o ângulo interno de um polígono regular de n 180◦ · n 180◦ · n− 360◦ (180◦·n−360◦)

n lados mede an = (180·n−360)

n.

Ao construir um ladrilhamento, a soma dos ângulos do polígono ao redor de cada vértice deve ser 360°. Usaremos essa observação crucial para abordar diversas questões.

Tentaremos agora responder às questões apresentadas no eXPeri mento.

Questão 1Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando apenas um tipo de ladrilho?Se considerarmos apenas um tipo de polígono, a ObserVaÇÃo 1 implica que algum múltiplo inteiro do ângulo interno deste polígono deve ser 360°. Observe que, para n > 6 an 120 < an < 180 (120 < an), a medida n > 6 an 120 < an < 180 (120 < an) do ângulo interno do polígono satisfaz as desigualdades n > 6 an 120 < an < 180 (120 < an). A primeira dessas desigualdades (n > 6 an 120 < an < 180 (120 < an)) implica

360 = 3× 120 < 3an an < 180 2an < 2× 180 = 360,

de modo que não é possível ter três cópias do polígono em questão partilhando um vértice. Entretanto, a segunda desigualdade (360 = 3× 120 < 3an an < 180 2an < 2× 180 = 360 ) implica que

360 = 3× 120 < 3an an < 180 2an < 2× 180 = 360,

de modo que duas cópias são insufi cientes para recobrir o plano. Restam, então, os casos em que n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108 ou n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108. Para n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, temos

n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108; mas 108 não é divisor de 360, de modo que tampouco com pentágonos regulares é possível ladrilhar o plano.

Observação 1

Ladrilhamento com triângulos equiláteros

Ladrilhamento com hexágonos regulares

Ladrilhamento com quadradosfig. 2

Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 4 / 7

Vamos agora considerar em separado os casos em que m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108, n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108 ou n = 3, 4, 5 ou 6 n = 5 a5 = 108.

Se m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5, temos um hexágono regular com ângulo interno igual a 120°. Se tivermos duas cópias deste polígono, a soma dos seus ângulos será 240° e os 120° restantes são insuficientes para acomodar um polígono com m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 lados. Logo, não podemos ter m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 (lembramos que estamos assumindo m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5). Raciocínio similar mostra que tampouco podemos ter

m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 ou m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5. Assumimos agora que m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5. Neste caso, temos um triângulo com ângulo interno de 60°. Sendo assim, devemos ter m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 e sobram 4 casos para analisar. Lembrando que a soma dos ângulos dos polígonos que parti­lham um vértice deve ser 360° e considerando que um polígono com mais de 6 lados tem ângulo interno maior que 120°, podemos concluir que

p = 4 ⇒ n = 6 e q = 1 p = 3 ⇒ n = 4 e q = 2 � e p = 4 ⇒ n = 6 e q = 1 p = 3 ⇒ n = 4 e q = 2p = 4 ⇒ n = 6 e q = 1 p = 3 ⇒ n = 4 e q = 2 � e p = 4 ⇒ n = 6 e q = 1 p = 3 ⇒ n = 4 e q = 2

p = 2 ⇒ n = 6 e q = 2 p = 1 � e p = 2 ⇒ n = 6 e q = 2 p = 1p = 2 ⇒ n = 6 e q = 2 p = 1 � não pode ocorrer

Podemos resumir o resultado no quadro abaixo:

Um ladrilhamento celular regular com 2 polígonos regulares distintos é necessariamente de um dos seguintes tipos:4 triângulos e 1 hexágono;1. 3 triângulos e 2 quadrados;2. 2 triângulos e 2 hexágonos.3.

Questão 3Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando exatamente três tipos de ladrilho?Sejam l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn o número de lados dos polígonos envolvidos, de que assumimos que l m n l < m < n al am an pl pm pn, e sejam l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn as medidas dos ângulos internos de um polígono com l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn lados respectivamente. Se tivermos

Questão 2Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando exatamente dois tipos de ladrilho?Vamos considerar ladrilhos formados por polígonos regulares com n m 180

(n−2)

n

180

(m−2)

m

p e n m 180

(n−2)

n

180

(m−2)

m

p

lados. Conforme observamos anteriormente, esses ladrilhos têm ângulos internos iguais a

n m 180

(n−2)n

180

(m−2)

m

p e n m 180

(n−2)

n

180

(m−2)

m

p

respectivamente. Se considerarmos em um vértice n m 180

(n−2)n

180

(m−2)

m

p cópias do primeiro e

(n−2)n

p+

(m−2)

m

q >

(m−2)

m

p+

(m−2)

m

q =

(m−2)

m

(p+ q) cópias do segundo, a soma dos ângulos internos destes triângulos deve

satisfazer a equação

180

(n−2)n

p+ 180

(m−2)

m

q = 360 ,

que é equivalente à equação

(n−2)n

p+

(m−2)

m

q = 2 3 ≤ m < n.

Podemos assumir que

(n−2)n

p+

(m−2)

m

q = 2 3 ≤ m < n, donde decorre que

(n−2)

n

p+

(m−2)

m

q >

(m−2)

m

p+

(m−2)

m

q =

(m−2)

m

(p+ q)

(n−2)

n

p+

(m−2)

m

q >

(m−2)

m

p+

(m−2)

m

q =

(m−2)

m

(p+ q).

Concluimos com isso que

(m−2)m

(p+ q) < 2 m > 6

(m−2)

m

≥

(6−2)

6

=

�23

.

Observe que, se

(m−2)m

(p+ q) < 2 m > 6

(m−2)

m

≥

(6−2)

6

=

�23

, então

(m−2)

m

(p+ q) < 2 m > 6

(m−2)

m

≥

(6−2)

6

=

�23

,

de modo que devemos ter �23

(p+ q) < 2 p+ q m > 6 m = 3, 4, 5 ou 6.

Como o número �23

(p+ q) < 2 p+ q m > 6 m = 3, 4, 5 ou 6 de polígonos que se encontram em cada vértice

é ao menos 3, temos um absurdo, de modo que concluímos que não pode­mos ter

�23

(p+ q) < 2 p+ q m > 6 m = 3, 4, 5 ou 6.

Conclusão

Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 5 / 7

Etapa 2 As últimas questões

Questão 4Com quais polígonos é possível ladrilhar o plano utilizando quatro ou mais tipos de ladrilho?Neste caso devemos ter 4 polígonos regulares com número distinto de lados, digamos k < l < m < n ak al am an k l m n. Denotando por k < l < m < n ak al am an k l m n, k < l < m < n ak al am an k l m n, k < l < m < n ak al am an k l m n e k < l < m < n ak al am an k l m n as medidas dos ângulos internos de um polígono com k < l < m < n ak al am an k l m n, l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn lados respectiva mente, temos que a soma dos ângulos desses polígonos é dada por

ak+al+am+an ≥ a3+a4+a5+a6 = 60+90+108+120 > 360ak+al+am+an ≥ a3+a4+a5+a6 = 60+90+108+120 > 360

Com isso, podemos concluir o seguinte:

Não existe ladrilhamento celular regular com 4 ou mais tipos de polí­gonos.

Fechamento

Além do fechamento proposto no próprio experimento, se desejar, apro­funde as conclusões obtidas pelos alunos expondo as demonstrações realizadas anteriormente.

l m n l < m < n al am an pl pm pn, l m n l < m < n al am an pl pm pn e l m n l < m < n al am an pl pm pn cópias destes polígonos partilhando um vértice, a soma dos ângulos internos destes polígonos neste vértice será plal+pmam+pnan 4 ≤ 1 plal+pmam+pnan ≥ pla4+pma5+pna6. Se assumirmos plal+pmam+pnan 4 ≤ 1 plal+pmam+pnan ≥ pla4+pma5+pna6l m n l < m < n al am an pl pm pn, te remos que

plal+pmam+pnan 4 ≤ 1 plal+pmam+pnan ≥ pla4+pma5+pna6

≥ pl90 + pm108 + pn120 ≥ 90 + 108 + 120 = 306

≥ pl90 + pm108 + pn120 ≥ 90 + 108 + 120 = 306

≥ pl90 + pm108 + pn120 ≥ 90 + 108 + 120 = 306

Logo, não podemos ter apenas um polígono de cada tipo, mas tampouco podemos ter mais de um. Neste caso teríamos

plal + pmam + pnan ≥ 2al + am + an

≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6

≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6

Segue então que devemos ter ≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6, ou seja, ao menos um dos polígonos utilizados deve ser um triângulo equilátero. Assim, a soma dos vértices dos outros polígonos deve ser 300°. Analisando caso a caso e considerando que devemos ter ≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6 é fácil concluir que a única solução possível é ≥ 2× 90 + 108 + 120 ≥ 360 l = 3 n ≤ 6,

m = 6 n > 6 m < n m = 5 m = 4 m = 3 p < 5 e l = 3 m = 4 n = 6 al = 1 am = 2 an = 1, com plal + pmam + pnan ≥ 2al + am + anl = 3 m = 4 n = 6 al = 1 am = 2 an = 1, plal + pmam + pnan ≥ 2al + am + anl = 3 m = 4 n = 6 al = 1 am = 2 an = 1 e plal + pmam + pnan ≥ 2al + am + anl = 3 m = 4 n = 6 al = 1 am = 2 an = 1.

Todo ladrilhamento celular regular com 3 tipos de polígonos tem, em cada vértice 1 triângulo, 2 quadrados e 1 hexágono.

Conclusão

Conclusão

Polígonos regulares e ladrilhos Guia do professor 6 / 7

Bibliografia

Barbosa, Rui Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Editora Atual, 1993.

Imenes, Luiz Márcio; Lellis, Marcelo. Geometria dos Mosaicos. São Paulo: Editora Scipione, 2002.

http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/matemateca/exposicao/ladrilhos/ladrilhos (acessado em 15 de agosto de 2009).

Variações

A questão do ladrilhamento do plano possui muitos desdobramentos mate­máticos interessantes e alguns deles podem ser explorados de maneira lúdica ou formal. Uma possibilidade que surge naturalmente a partir da proposta deste experimento é explorar ladrilhamentos com polígonos não regulares. Um exemplo bastante rico e interessante são os ladrilhos de Penrose (vide referência 3), que possuem características bastante peculiares que podem ser exploradas em diversos níveis de profundidade.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorMarcelo Firer

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos do PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico Preface Design IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira

FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto