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fakultät für informatiktechnische universität dortmund
Rechnerstrukturen, Teil 1
Vorlesung 4 SWS WS 19/20
Prof. Dr. Jian-‐Jia ChenFakultät für Informatik – Technische Universität Dortmund
jian-‐[email protected]‐dortmund.dehttp://ls12-‐www.cs.tu-‐dortmund.de
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Übersicht1. Organisatorisches
2. Einleitung
3. Repräsentation von Daten
4. Boolesche Funktionen und Schaltnetze
5. Rechnerarithmetik
6. Optimierung von Schaltnetzen
7. Programmierbare Bausteine
8. Synchrone Schaltwerke
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8. Synchrone Schaltwerke8. Synchrone Schaltwerke
1. Einleitung
2. Bistabile Kippstufe
3. Automaten
4. Synchrone Schaltwerke
5. Serienaddierwerke
6. Speicher & Schieberegister
7. Takt
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8.1 EinleitungSequenzielle Schaltungen
Beobachtung
• Das ist kein Schaltnetz.
• Es ist eine ”baubare“ Schaltung.
• Was passiert in dieser Schaltung?
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung? Offensichtlich stabil.𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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8.1 EinleitungEine konkrete sequenzielle Schaltung
Was passiert in dieser Schaltung?
Beobachtung und immer so weiter. . .
natürlich in der Realität viel schneller
darum heißt die Schaltung Flimmerschaltung
𝑥 𝑦 𝑥 ∨ 𝑦0 0 10 1 01 0 11 1 1
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8.1 EinleitungBewertung des Effekts
Unkontrolliertes Flimmern ist sehr unschön.
Also Kreise konsequent verbieten?
Wozu können Kreise gut sein?
Beobachtung Ausgänge werden zu Eingaben. . .
etwas anders Man kann schon Berechnetes noch einmal ”sehen“.
Einsicht Das realisiert so etwas wie Speicher.
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8. Synchrone Schaltwerke8. Synchrone Schaltwerke
1. Einleitung
2. Bistabile Kippstufe
3. Automaten
4. Synchrone Schaltwerke
5. Serienaddierwerke
6. Speicher & Schieberegister
7. Takt
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8.2 Bistabile Kippstufe (engl. Flip-‐Flop)Ein zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 00 11 01 1
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 00 11 01 1
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 10 11 01 1
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 11 01 1
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 11 01 1
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 11 01 1
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 11 01 1
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 01 01 1
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 01 1
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 01 1
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 01 1
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 11 1
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 1 0 11 1
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 1 0 11 1
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 1 0 11 1
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 1 0 11 1 𝑄' 𝑄'
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8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 1 0 11 1 𝑄' 𝑄' 𝑄' 𝑄'
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fakultät fürinformatik Rechnerstrukturen (Teil 1)
TU Dortmund
8.2 Bistabile KippstufeEin zweites Beispiel
𝑥 𝑦 𝑥𝑦0 0 10 1 11 0 11 1 0
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 𝑃'. 1 01 0 0 1 0 11 1 𝑃' 𝑃'. 𝑃' 𝑃'.
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8.2 Bistabile KippstufeBi-‐stabile NAND-‐Kippstufe
Anmerkung
heißt auch Latch
positiv kippt, flimmert nicht
negativ Verhalten hängt von Schaltzeiten der beiden Gatter ab
genauer beobachtet Verhalten hängt manchmal
von Schaltzeiten der beiden Gatter ab
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8.2 Bistabile KippstufeAnalyse der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
1. Fall oberes NAND-Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 1 0 11 1 𝑄' 𝑄' 𝑄' 𝑄'
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8.2 Bistabile KippstufeAnalyse der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
1. Fall oberes NAND-Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 1 0 11 1 𝑄' 𝑄' 𝑄' 𝑄'
𝑃'*-∆ = 𝑅𝑄'*∆
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8.2 Bistabile KippstufeAnalyse der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
1. Fall oberes NAND-Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 1 0 11 1 𝑄' 𝑄' 𝑄' 𝑄'
𝑃'*-∆ = 𝑅𝑄'*∆ = 𝑅0 ⋁ 𝑄'*∆ = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑃'*∆ = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑃'*∆
= 𝑅0 ∨ S𝑅𝑄' = 𝑅0 ∨ 𝑆(𝑅0 ∨ 𝑄') = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑅0 ∨ 𝑆𝑄'
= 𝑅0 ∨ 𝑆𝑄'
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8.2 Bistabile KippstufeAnalyse der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
2. Fall unteres NAND-Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 𝑃'. 1 01 0 0 1 0 11 1 𝑃' 𝑃'. 𝑃' 𝑃'.
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8.2 Bistabile KippstufeAnalyse der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
2. Fall unteres NAND-Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 𝑃'. 1 01 0 0 1 0 11 1 𝑃' 𝑃'. 𝑃' 𝑃'.
𝑃'*-∆ = 𝑅𝑄'*-∆
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8.2 Bistabile KippstufeAnalyse der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
𝑃'*-∆ = 𝑅𝑄'*-∆ = 𝑅0 ∨ 𝑄'*-∆ = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑃'*∆ = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑃'*∆
= 𝑅0 ∨ S𝑅𝑄'*∆ = 𝑅0 ∨ 𝑆(𝑅0 ∨ 𝑄'*∆) = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑅0 ∨ 𝑆𝑄'*∆
= 𝑅0 ∨ 𝑆𝑄'*∆ = 𝑅0 ∨ S𝑆𝑃' = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑆𝑃' = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑃'
2. Fall unteres NAND-Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 𝑃'. 1 01 0 0 1 0 11 1 𝑃' 𝑃'. 𝑃' 𝑃'.
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8.2 Bistabile KippstufeFazit zum Ausgang P der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
1. Fall oberes NAND-‐Gatter schneller
2. Fall unteres NAND-‐Gatter schneller
Beobachtung Wenn 𝑃' = 𝑄' , ist das Verhalten an 𝑃'stabil, also von den Schaltzeiten der Gatter unabhängig.
Was ist mit dem anderen Ausgang?
𝑃'*-∆ = 𝑅 . ∨ 𝑆𝑄'
𝑃'*-∆ = 𝑅 . ∨ 𝑆𝑃'
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8.2 Bistabile KippstufeAnalyse der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
1. Fall oberes NAND-Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 𝑄' 1 0 11 1 𝑄' 𝑄' 𝑄' 𝑄'
𝑄'*-∆ = 𝑆𝑃'*-∆ = 𝑆̅ ∨ 𝑃'*-∆ = 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑄'*∆ = 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑄'*∆
= 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑆𝑃'*∆ = 𝑆̅ ∨ 𝑅(𝑆̅ ∨ 𝑃'*∆) = 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑆̅ ∨ 𝑅𝑃'*∆
= 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑃'*∆ = 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑅𝑄' = 𝑆̅ ⋁𝑅𝑅𝑄' = 𝑆̅ ⋁𝑅𝑄'
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8.2 Bistabile KippstufeAnalyse der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
2. Fall unteres NAND-Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*∆ 𝑄'*∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 𝑃'. 1 01 0 0 1 0 11 1 𝑃' 𝑃'. 𝑃' 𝑃'.
𝑄'*-∆ = 𝑆𝑃'*∆ = 𝑆̅ ∨ 𝑃'*∆ = 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑄'*∆ = 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑄'*∆
= 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑆𝑃' = 𝑆̅ ∨ 𝑅(𝑆̅ ∨ 𝑃'. ) = 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑆̅ ∨ 𝑅𝑃'.
= 𝑆̅ ∨ 𝑅𝑃'.
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8.2 Bistabile KippstufeFazit der Analyse der bi-‐stabilen NAND-‐Kippstufe
1. Fall oberes NAND-‐Gatter schneller
2. Fall unteres NAND-‐Gatter schneller
also Wenn 𝑄' = 𝑃'. , so ist das Verhalten
stabil, von den Schaltzeiten der Gatter unabhängig.
also Forderung𝑃' ≠ 𝑄'
𝑃'*-∆ = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑄'𝑄'*-∆ = 𝑆 ∨ 𝑅𝑄'
𝑃'*-∆ = 𝑅0 ∨ 𝑆𝑃'𝑄'*-∆ = 𝑆 ∨ 𝑅𝑃'.
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8.2 Bistabile KippstufeWertetabelle bi-‐stabile NAND-‐Kippstufe
oberes Gatter schneller unteres Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 𝑄' 𝑄' 𝑃' 𝑃'.
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8.2 Bistabile Kippstufe
Beobachtung Wir müssen nur R = S = 0 ausschließen, damit die Forderung 𝑃' ≠ 𝑄' gilt.
Wertetabelle bi-‐stabile NAND-‐Kippstufe
oberes Gatter schneller unteres Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 𝑄' 𝑄' 𝑃' 𝑃'.
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8.2 Bistabile Kippstufe
• (R, S) = (0, 1) setzt P = 1• (R, S) = (1, 0) setzt P = 0• (R, S) = (1, 1) lässt P unverändertFazit Bi-‐stabile NAND-‐Kippstufe realisiert 1-‐Bit-‐Speicher!
Beobachtung Wir müssen nur R = S = 0 ausschließen.
Wertetabelle bi-‐stabile NAND-‐Kippstufe
oberes Gatter schneller unteres Gatter schneller
𝑅' 𝑆' 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆ 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 𝑄' 𝑄' 𝑃' 𝑃'.
𝑅' 𝑆' 𝑃'*-∆ 𝑄'*-∆0 1 1 01 0 0 11 1 𝑃' 𝑃'.
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8.2 Bistabile KippstufeErstes Fazit zu sequenziellen Schaltungen
Bi-‐stabile NAND-‐Kippstufe realisiert 1-‐Bit-‐Speicher.
Beobachtung
• Kreise in „Schaltnetzen“ manchmal sinnvoll
• neue Funktionalität
• Analyse schwierig
Wunsch strukturierter Entwurf
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8. Synchrone Schaltwerke8. Synchrone Schaltwerke
1. Einleitung
2. Bistabile Kippstufe
3. Automaten
4. Synchrone Schaltwerke
5. Serienaddierwerke
6. Speicher & Schieberegister
7. Takt
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8.3 AutomatenAutomaten
Wunsch formales Modell eines Automaten
Was ist überhaupt ein Automat?
Beispiele• Getränke-‐Automat• einfache Ampelsteuerung• Steuerung einer Waschmaschine
Gegenbeispiele• Geldspielautomat (wegen der Zufalls-‐Komponente)• Computer (zu komplex)• Mensch (für uns nicht formal beschreibbar)
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8.3 AutomatenAutomatenmodell
Grobbeschreibung• verarbeitet eine Eingabe• erzeugt eine Ausgabe• ist in einem Zustand• arbeitet in Takten• arbeitet deterministisch (exakt vorhersagbar)
jetzt exakte, formale Beschreibung
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8.3 AutomatenDefinition Mealy-‐Automat
Ein Mealy-‐Automat 𝑀 = (𝑄, 𝑞;,Σ, ∆, 𝛿, 𝜆) ist definiert durch:
• endliche Zustandsmenge𝑄
• Startzustand𝑞; ∈ 𝑄
• endliches Eingabealphabet Σ
• endliches Ausgabealphabet ∆
• Zustandsüberführungsfunktion 𝛿 ∶ 𝑄 × Σ → 𝑄
• Ausgabefunktion 𝜆 ∶ 𝑄 × Σ → ∆ ∪ {𝜀}
Definition
![Page 55: Rechnerstrukturen,,Teil,1 …...technische universität! 3 ! dortmund fakultätfür informatik Rechnerstrukturen(Teil 1) TUDortmund 8.,Synchrone,Schaltwerke 8. Synchrone,Schaltwerke](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022063008/5fbcb9ca1a19604aba34051b/html5/thumbnails/55.jpg)
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8.3 AutomatenDefinition Mealy-‐Automat
Ein Mealy-‐Automat 𝑀 = (𝑄, 𝑞;,Σ, ∆, 𝛿, 𝜆) ist definiert durch:
• endliche Zustandsmenge𝑄
• Startzustand𝑞; ∈ 𝑄
• endliches Eingabealphabet Σ
• endliches Ausgabealphabet ∆
• Zustandsüberführungsfunktion 𝛿 ∶ 𝑄 × Σ → 𝑄
• Ausgabefunktion 𝜆 ∶ 𝑄 × Σ → ∆ ∪ {𝜀}
• In einem Taktmit aktuellem Zustand q und Eingabesymbol w• schreibt der Automat 𝜆 𝑞,𝑤 ,• wechselt der Automat in den Zustand 𝛿 𝑞, 𝑤 .
Definition
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1}, ∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe
aktueller Zustand Eingabe Folge-‐
zustand Ausgabe
𝒒 ∈ 𝑸 𝒘 ∈ ∑ 𝜹(𝒒, 𝒘) λ(𝒒, 𝒘)
𝑞; 0 𝑞Q a𝑞; 1 𝑞- c𝑞Q 0 𝑞; c𝑞Q 1 𝑞- b𝑞- 0 𝑞Q a𝑞- 1 𝑞; b
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1}, ∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe
![Page 58: Rechnerstrukturen,,Teil,1 …...technische universität! 3 ! dortmund fakultätfür informatik Rechnerstrukturen(Teil 1) TUDortmund 8.,Synchrone,Schaltwerke 8. Synchrone,Schaltwerke](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022063008/5fbcb9ca1a19604aba34051b/html5/thumbnails/58.jpg)
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1},∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe
![Page 59: Rechnerstrukturen,,Teil,1 …...technische universität! 3 ! dortmund fakultätfür informatik Rechnerstrukturen(Teil 1) TUDortmund 8.,Synchrone,Schaltwerke 8. Synchrone,Schaltwerke](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022063008/5fbcb9ca1a19604aba34051b/html5/thumbnails/59.jpg)
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1},∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe
![Page 60: Rechnerstrukturen,,Teil,1 …...technische universität! 3 ! dortmund fakultätfür informatik Rechnerstrukturen(Teil 1) TUDortmund 8.,Synchrone,Schaltwerke 8. Synchrone,Schaltwerke](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022063008/5fbcb9ca1a19604aba34051b/html5/thumbnails/60.jpg)
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1},∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe a
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1},∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe a b
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1},∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe a b
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1},∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe a b a
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1},∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe a b a
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1},∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe a b a
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8.3 AutomatenBeispiel Mealy-‐Automat
𝑄 = {𝑞0, 𝑞1, 𝑞2}, ∑ = {0, 1},∆ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe a b a c
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8.3 AutomatenÄquivalenz von Automaten
Zwei Mealy-‐Automaten heißen äquivalent, wenn sie für jede
Eingabe 𝑤 ∈ ∑∗ die gleiche Ausgabe 𝑎 ∈ ∆∗ erzeugen.
Beobachtung• Äquivalente Automaten können unterschiedlich groß sein.• Man wünscht sich möglichst kleine Automaten.• Komplexer Problemkreis,
• umfasst auch effiziente Minimierung von Automaten• Näher i. d. Theoretischen Informatik (GTI)
Hier: noch ein anderes (ähnliches!) Automaten-‐Modell
Definition
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8.3 AutomatenDefinition Moore-‐Automat
Zwei Mealy-‐Automaten heißen äquivalent, wenn sie für jede
Ein Moore-‐Automat 𝑀 = (𝑄, 𝑞0, ∑, ∆, 𝛿, 𝜆) ist definiert durch:
• endliche Zustandsmenge𝑄
• Startzustand𝑞0 ∈ 𝑄
• endliches Eingabealphabet ∑• endliches Ausgabealphabet ∆
• Zustandsüberführungsfunktion 𝛿 ∶ 𝑄×∑ → 𝑄
• Ausgabefunktion 𝜆: 𝑄 → ∆ ∪ {𝜀}
Definition
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8.3 AutomatenDefinition Moore-‐Automat
Zwei Mealy-‐Automaten heißen äquivalent, wenn sie für jede
Ein Moore-‐Automat 𝑀 = (𝑄, 𝑞0, ∑, ∆, 𝛿, 𝜆) ist definiert durch:
• endliche Zustandsmenge𝑄
• Startzustand𝑞0 ∈ 𝑄
• endliches Eingabealphabet ∑• endliches Ausgabealphabet ∆
• Zustandsüberführungsfunktion 𝛿 ∶ 𝑄×∑ → 𝑄
• Ausgabefunktion 𝜆: 𝑄 → ∆ ∪ {𝜀}
In einem Taktmit aktuellem Zustand q und Eingabesymbol w• schreibt der Automat 𝜆(𝛿(𝑞,𝑤)),• wechselt der Automat in den Zustand 𝛿(𝑞,𝑤).
Definition
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8.3 AutomatenDefinition Moore-‐Automat (Unterschied zum Mealy-‐Automat)
Zwei Mealy-‐Automaten heißen äquivalent, wenn sie für jede
Ein Moore-‐Automat 𝑀 = (𝑄, 𝑞0, ∑, ∆, 𝛿, 𝜆) ist definiert durch:
• endliche Zustandsmenge𝑄
• Startzustand𝑞0 ∈ 𝑄
• endliches Eingabealphabet ∑• endliches Ausgabealphabet ∆
• Zustandsüberführungsfunktion 𝛿 ∶ 𝑄×∑ → 𝑄
• Ausgabefunktion 𝜆: 𝑄 → ∆ ∪ {𝜀}
In einem Taktmit aktuellem Zustand q und Eingabesymbol w• schreibt der Automat 𝜆(𝛿(𝑞,𝑤)),• wechselt der Automat in den Zustand 𝛿(𝑞,𝑤).
Definition
𝜆 ∶ 𝑄 × Σ → ∆ ∪ {𝜀}
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8.3 AutomatenMealy-‐ und Moore-‐Automaten
Beobachtung Zu jedem Moore-‐Automaten gibt es einen äquivalenten Mealy-‐Automaten.
denn zu Moore-‐Automat 𝐴 = (𝑄, 𝑞0, ∑, ∆, 𝛿, 𝜆)
ist Mealy-‐Automat 𝐴′ = (𝑄, 𝑞0, ∑, ∆, 𝛿, 𝜆‘)
mit 𝜆′(𝑞,𝑤) ≔ 𝜆(𝛿(𝑞,𝑤))
offensichtlich äquivalent
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8.3 AutomatenMealy-‐ und Moore-‐Automaten
Beobachtung Zu jedem Mealy-‐Automaten gibt es eine äquivalenten Moore-‐Automaten.
denn zu Mealy-‐Automaten 𝐴 = (𝑄, 𝑞0, ∑, ∆, 𝛿, 𝜆)
ist Moore-‐Automat𝐴′ = (𝑄‘, 𝑞0‘, ∑, ∆, 𝛿‘, 𝜆‘)
mit 𝑄′ ≔ 𝑄×(∆ ∪ {𝜀}), 𝑞0‘ ≔ (𝑞0, 𝜀),
𝛿′(𝑞′,𝑤) = 𝛿′((𝑞, 𝑣), 𝑤) ≔ (𝛿(𝑞,𝑤), 𝜆(𝑞,𝑤)),
𝜆(𝛿(𝑞′,𝑤)) = 𝜆′((𝑞, 𝑣)) ≔ 𝑣
äquivalent
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8.3 AutomatenEinfacher Beispiel-‐Automat
Aufgabe einfache „Datenglättung“
Filtere isolierte Bits aus Datenstrom aus.
Es gilt ∑ ≔ {0, 1}, ∆ ≔ {0, 1}
Mealy-‐Automat
mit 𝑄 ≔ {0, 1, ? }, 𝑞0 ≔ 0
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8.3 AutomatenÄquivalente Automaten „Bit-‐Filter“
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8. Synchrone Schaltwerke8. Synchrone Schaltwerke
1. Einleitung
2. Bistabile Kippstufe
3. Automaten
4. Synchrone Schaltwerke
5. Serienaddierwerke
6. Speicher & Schieberegister
7. Takt
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8.4 Synchrone SchaltwerkeAutomaten & Schaltungen: Synchr. Schaltwerke
Erinnerung bi-‐stabile NAND-‐Kippstufe
𝑹𝒕 𝑺𝒕 𝑷𝒕*𝟐∆ 𝑸𝒕*𝟐∆0 1 1 01 0 0 11 1 P̀ 𝑃'.
𝑄 = 0, 1 , 𝑞; = 0∑ = 01, 10, 11∆ = 0, 1
10/0
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8.4 Synchrone SchaltwerkeVergleich Automat und NAND-‐Kippstufe
𝑹𝒕 𝑺𝒕 𝑷𝒕*𝟐∆ 𝑸𝒕*𝟐∆0 1 1 01 0 0 11 1 P̀ 𝑃'.
𝑄 = 0, 1 , 𝑞; = 0∑ = 01, 10, 11∆ = 0, 1
nicht getaktet
getaktet
10/0
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8.4 Synchrone SchaltwerkeSynchrone Schaltwerke
ab jetzt getaktete Schaltwerke
also Führe Taktsignal T ein
verschiedene technische Möglichkeiten
• Pegelsteuerung: aktiv, wenn 1 anliegt
• positive Flankensteuerung: aktiv, wenn Wechsel von 0 nach 1
• negative Flankensteuerung: aktiv, wenn Wechsel von 1 nach 0
digital-‐logische Ebene technisches Detail ignorieren
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8.4 Synchrone SchaltwerkeRS-‐Flip-‐Flop
𝑹𝒕 𝑺𝒕 𝑷𝒕*𝟐∆ 𝑸𝒕*𝟐∆0 0 nicht erlaubt0 1 1 01 0 0 11 1 𝑄' 𝑄'
Zustandstabelle NAND-Kippstufe
𝑹 𝑺 𝑸0 0 𝑄0 1 11 0 01 1 nicht erlaubt
𝒙 𝒚 𝒙𝒚0 0 10 1 11 0 11 1 0
Wertetabelle NAND
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8.4 Synchrone SchaltwerkeD-‐Flip-‐Flop
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8.4 Synchrone SchaltwerkeD-‐Flip-‐Flop
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8.4 Synchrone SchaltwerkeJK-‐Flip-‐Flop
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8.4 Synchrone SchaltwerkeT-‐Flip-‐Flop
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8.4 Synchrone SchaltwerkeFlip-‐Flops
Wir haben also hier 4 verschiedene Flip-‐Flop-‐Typen
Wozu brauchen wir eigentlich Flip-‐Flops?
klar Realisierung von Speicher
Was müssen wir für den Einsatz als Speicher wissen?
klar gezielte Änderung von Speicherinhalten
also Zustandstabellen eigentlich nicht interessant
besser Ansteuertabellen
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8.4 Synchrone SchaltwerkeFlip-‐Flops
etwas präziser
Zustandstabelle Ansteuertabelle
Eingabe ⇒ Zustand Ist-‐Zustand, ⇒ Eingabe
Soll-‐Zustand
Anmerkung Ansteuertabellen können
„don’t care“ enthalten
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8.4 Synchrone SchaltwerkeAnsteuertabelle D-‐Flip-‐Flop
Zustandstabelle Ansteuertabelle
Beobachtung Ansteuerung D vom alten Zustand unabhängig
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8.4 Synchrone SchaltwerkeAnsteuertabelle T-‐Flip-‐Flop
Zustandstabelle Ansteuertabelle
Beobachtung Kenntnis des „alten“ Zustands erforderlich
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8.4 Synchrone SchaltwerkeAnsteuertabelle RS-‐Flip-‐Flop
Zustandstabelle Ansteuertabelle
Beobachtung wenn Zustand nicht wechselt,
gibt es Freiheit in der Ansteuerung
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8.4 Synchrone SchaltwerkeAnsteuertabelle JK-‐Flip-‐Flop
Zustandstabelle Ansteuertabelle
Beobachtung immer Freiheit in der Ansteuerung
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8.4 Synchrone SchaltwerkeUnvollständig definierte Ansteuerfunktionen
Wir haben für RS-‐Flip-‐Flops und JK-‐Flip-‐Flops
nur partiell definierte Ansteuerfunktionen
Ist das ungünstig?
Nein!
Erinnerung Minimalpolynome für partiell definierte Funktionen
Erinnerung Realisierungen können wesentlich einfacher sein
Erinnerung Minimalpolynom für partiell definiertes f
durch PI für f1 und Überdeckung von f0
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8.4 Synchrone SchaltwerkeHuffmann Schaltwerk-‐Modell
ein allgemeines, formales Schaltwerkmodell
Beobachtung führt Gelerntes über Schaltnetze, Flip-‐Flops und Automaten sinnvoll zusammen
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8.4 Synchrone SchaltwerkeHuffmann Schaltwerk-‐Modell
Etwas detaillierter
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8.4 Synchrone SchaltwerkeSchaltwerk-‐Entwurf
Wunsch strukturierter Schaltwerk-‐Entwurf
Was können wir überhaupt als Schaltwerk realisieren?
klar alles, was als Automat beschrieben werden kann
zum Beispiel• Getränke-‐Automat• Ampelsteuerung• Waschmaschinen-‐Steuerung• . . .
Anmerkung Heuristiken und Erfahrung sind wichtig
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8. Synchrone Schaltwerke8. Synchrone Schaltwerke
1. Einleitung
2. Bistabile Kippstufe
3. Automaten
4. Synchrone Schaltwerke
5. Serienaddierwerke
6. Speicher & Schieberegister
7. Takt
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8.5 SerienaddierwerkeSchritte beim Schaltwerk-‐Entwurf
0. Verstehen der Aufgabe
1. Spezifikation des Verhaltens (z.B. als Mealy-‐Automat)
2. Wahl der Coderierung von Eingaben, Zuständen, Ausgaben
3. Wertetabellemit Eingaben, Zustand, Ausgaben, neuem Zustand
4. Wahl der Flip-‐Flop-‐Typen
5. Ergänzung der Wertetabelle um die Flip-‐Flop-‐Ansteuerung
6. Entwurf passender boolescher Funktionen
7. Entwurf passender Schaltnetze
8. Entwurf vollständiges getaktetes Schaltwerk
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8.5 SerienaddierwerkeBeispiel zum Schaltwerk-‐Entwurf
zur Einführung ein „praktisches“ Beispiel
hilfreich besonders gut verstandenes Problem
Aufgabe Addition von zwei Betragszahlen
Erinnerung wir haben
Verfahren Größe Tiefe• Schul-‐Methode ≈ 5n ≈ 2n• Carry-‐Look-‐Ahead ≈ 𝑛- ≈ 2 log2 n
jetzt klein und flach mit einem Schaltwerk
aber extrem langsam
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 0
Schritt 0 Verstehen der Aufgabe
Wunsch Summanden bitweiseeingeben
Summe bitweise erhalten
Offensichtlich geht nur von rechts nach links
Was muss man sich merken?• nur den aktuellen Übertrag• also 1 Bit
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 1
Schritt 1 Spezifikation des Verhaltens
Entscheidung Beschreibung durch Mealy-‐Automat
Eingabealphabet ∑= {00, 01, 10, 11}
Ausgabealphabet ∆= {0, 1} Summenbit
Zustandsmenge Q = {0, 1} Übertragsbit
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 2
Schritt 2 Wahl der Codierung: Eingaben, Zuständen, Ausgaben
Beobachtung im Allgemeinen (fast) jede Freiheit
hier kanonische Codierung naheliegend
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 3
Schritt 3 Wertetabelle Eingaben, Zustand, neuer Zustand, Ausgaben
naheliegend Eingaben heißen x, y; alter Zustand heißt caltneuer Zustand heißt cneu; Ausgabe heißt s
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 4
Schritt 4 Wahl der Flip-‐Flop-‐Typen
Entscheidung JK-‐Flip-‐Flops
Anmerkung• nicht viele überzeugende Gründe• weil es besonders viele Freiheiten erlaubt• weil der Zustandswechsel nichts nahelegt• weil es oft benutzt wird
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 5
Schritt 5 Ergänzung der Wertetabelle um Flip-‐Flop-‐Ansteuerung
Ansteuertabelle JK-‐Flip-‐Flop
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionen
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 7
Schritt 7 Entwurf passender Schaltnetze
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
0
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
1
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
Beobachtung Eingabe (0,0) im letzten Takt wichtig
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
Beobachtung Eingabe (0,0) im letzten Takt wichtig
Initialisierung?
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8.5 SerienaddierwerkeEntwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
Beobachtung Eingabe (0,0) im letzten Takt wichtig
Initialisierung Eingabe (0,0)
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8.5 SerienaddierwerkeInitialisierung Eingabe (0,0)
Ziel: Löschen des Übertrags 𝑄qrs• 𝑄qrs = 0 für (J, K) = (0,*) oder (J, K)=(*,1)
à (J,K) = (0,1)
• (J,K) = (0,1)à (x,y) = (0,0)
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8.5 SerienaddierwerkeUnser Addierwerk: Serien-‐Addierer
Fazit• addiert beliebig lange Betragszahlen• ist sehr klein und flach• ist sehr leicht zu initialisieren• ist extrem langsam
Warum ist das Schaltwerk so langsam?
bereits bekannt wegen der Überträge
Müssen Überträge so lange dauern?
bekannt im Allgemeinen nicht (siehe Addierer)
aber Bei bit-‐weiser Eingabe schon!
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8.5 SerienaddierwerkeÜber unsere Modelle
Wir wissen schon Überträge werden nur manchmal
lange weitergereicht.
Kann man ein Schaltwerk bauen, dass nur manchmal langsam ist?
Problem unsere Automaten können das zunächst nicht
Beobachtung bei Mealy-‐ und Moore-‐Automat bestimmt
Länge der Eingabe die Anzahl der Rechentakte
darum Modifikation des Automatenmodells
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8.5 SerienaddierwerkeÜber unsere Modelle
darum Modifikation des Automatenmodells
neu Erlaube leere Eingabe ε und
signalisiere Ende der Rechnung durch Rechenende-‐Zeichen
Beobachtung Das ist fundamental neu für uns.
Rechenzeit kann von der Eingabe abhängen
(nicht nur von der Eingabelänge).
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8.5 SerienaddierwerkeAuf dem Weg zum besseren Addierwerk
Wie wollen wir vorgehen?
Beobachtung Eingaben müssen sofort ganz zur Verfügung stehen
sonst kann man nicht schneller sein
also Eingabealphabet ∑= {0, 1}-q
bekannte Idee zur Lösung Ersetze x und y durch xʹ′ und yʹ′ mit
x + y = xʹ′ + yʹ′ so lange, bis yʹ′ = 0 gilt.
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8.5 SerienaddierwerkeEine gute Idee verallgemeinern
Erinnerung Wir kennen das schon vom Halbaddierer. . .
Klar Das funktioniert auch für alle n Stellen parallel.
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8.5 SerienaddierwerkeEine gute Idee verallgemeinern
Erinnerung Wir kennen das schon vom Halbaddierer. . .
Klar Das funktioniert auch für alle n Stellen parallel.
Fortschritt?
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8.5 SerienaddierwerkeEine gute Idee verallgemeinern
Erinnerung Wir kennen das schon vom Halbaddierer. . .
Klar Das funktioniert auch für alle n Stellen parallel.
Fortschritt? in y hinten „neue“ 0 also nach ≤ n Takten y = 0
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8.5 SerienaddierwerkeNoch offene Fragen
Was ist mit dem Ü?
klar potenziell kann in jedem Takt vorne ein Überlauf entstehen
Also bis zu n Überläufe speichern?
zum Glück nein
Wir wissen höchstens 1 Überlauf insgesamt
Wann ist die Rechnung fertig?
klar Rechnung fertig , y = 0
Also „done“ d = 𝑦0 ˅ 𝑦1˅ …˅ 𝑦qwQ = ¬⋁ 𝑦𝑖qwQyz;
jetzt unsere Ideen zusammensetzen
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8.5 SerienaddierwerkeDas von Neumann-‐Addierwerk nach John von Neumann (1903–1957)
Ideen• Schaltwerk bekommt direkt Summanden komplett• Eingabe ε wird erlaubt• Rechenende-‐Zeichen signalisiert Ende der Rechnung• in jedem Takt ersetze x, y durch xʹ′, yʹ′mit x + y = xʹ′ + yʹ′• Ersetzung stellenweise mit Halbaddierern
HoffnungAddierwerk ist oft schnell
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8.5 SerienaddierwerkeSchematische Darstellung von Neumann-‐Addierwerk für n = 3
Die 𝑥y und 𝑦y und Ü (in der Abbildung mit 𝑜 bezeichnet) sind Speicher, die mit Flip-‐Flops realisiert werden
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8.5 SerienaddierwerkeIst das Addierwerk denn jetzt wirklich schnell?
Frage Welche Eingaben dauern lange?1. Versuch viele Überträge exemplarisch für n = 6: 111111 + 111111
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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8.5 SerienaddierwerkeIst das Addierwerk denn jetzt wirklich schnell?
Frage Welche Eingaben dauern lange?1. Versuch viele Überträge exemplarisch für n = 6: 111111 + 111111
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
⟹
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8.5 SerienaddierwerkeIst das Addierwerk denn jetzt wirklich schnell?
Frage Welche Eingaben dauern lange?1. Versuch viele Überträge exemplarisch für n = 6: 111111 + 111111
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
⟹
⟹
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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8.5 SerienaddierwerkeIst das Addierwerk denn jetzt wirklich schnell?
Frage Welche Eingaben dauern lange?1. Versuch viele Überträge exemplarisch für n = 6: 111111 + 111111
Beobachtung nach nur zwei Takten fertig à schnellErinnerung bzgl. Übertrag schwierig: 0 + 1, 1 + 0
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
⟹
⟹
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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8.5 SerienaddierwerkeIst das Addierwerk denn jetzt wirklich schnell?
Frage Welche Eingaben dauern lange?2. Versuch 0+1, 1+0 exemplarisch für n = 6: 000000 + 111111
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
![Page 160: Rechnerstrukturen,,Teil,1 …...technische universität! 3 ! dortmund fakultätfür informatik Rechnerstrukturen(Teil 1) TUDortmund 8.,Synchrone,Schaltwerke 8. Synchrone,Schaltwerke](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022063008/5fbcb9ca1a19604aba34051b/html5/thumbnails/160.jpg)
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8.5 SerienaddierwerkeIst das Addierwerk denn jetzt wirklich schnell?
Frage Welche Eingaben dauern lange?2. Versuch 0+1, 1+0 exemplarisch für n = 6: 000000 + 111111
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
⟹
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8.5 SerienaddierwerkeIst das Addierwerk denn jetzt wirklich schnell?
Frage Welche Eingaben dauern lange?2. Versuch 0+1, 1+0 exemplarisch für n = 6: 000000 + 111111
Beobachtung nach nur einem Takten fertig à sehr schnell
Offensichtlich 111111 + 000000 wäre sofort fertig
Vermutung Überträge mit langen Wegen dauern lange
Frage Was ist die "worst case" Eingabe?
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
⟹
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8.5 Serienaddierwerke"worst case" Eingabe für das von Neumann Addierwerk
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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8.5 Serienaddierwerke"worst case" Eingabe für das von Neumann Addierwerk
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
⟹
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8.5 Serienaddierwerke"worst case" Eingabe für das von Neumann Addierwerk
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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fakultät fürinformatik Rechnerstrukturen (Teil 1)
TU Dortmund
8.5 Serienaddierwerke"worst case" Eingabe für das von Neumann Addierwerk
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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TU Dortmund
8.5 Serienaddierwerke"worst case" Eingabe für das von Neumann Addierwerk
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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TU Dortmund
8.5 Serienaddierwerke"worst case" Eingabe für das von Neumann Addierwerk
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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8.5 Serienaddierwerke"worst case" Eingabe für das von Neumann Addierwerk
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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8.5 Serienaddierwerke"worst case" Eingabe für das von Neumann Addierwerk
extrem langsam
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
Ü 𝑥𝟓 𝑥𝟒 𝑥𝟑 𝑥𝟐 𝑥𝟏 𝑥𝟎0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
𝑦𝟓 𝑦𝟒 𝑦𝟑 𝑦𝟐 𝑦𝟏 𝑦𝟎
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8.5 SerienaddierwerkeAnalyse des von Neumann-‐Addierwerks
Beobachtung 111 ·∙ ·∙ ·∙ 111 + 000 ·∙ ·∙ ·∙ 000 ⟹ 0 Takte extrem schnellBeobachtung 111 ·∙ ·∙ ·∙ 111 + 000 ·∙ ·∙ ·∙ 001 ⟹ n Takte extrem langsam
Ist das von Neumann-‐Addierwerk schnell oder langsam?• Best Case schnell (0 Takte)• Worst Case langsam (n Takte)• 0 Takte Glücklicher Zufall? • n Takte Seltenes Unglück?
Was ist typisch?• Antwort Average-‐Case-‐Analyse• d. h. durchschnittliche Rechenzeit• Problem: Welche Verteilung über die Eingaben nehmen wir an?
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8.5 SerienaddierwerkeAverage-‐Case-‐Analyse
Average-‐Case-‐Rechenzeit durchschnittliche Rechenzeit• bei Gewichtung der Eingaben• nach ihrer Wahrscheinlichkeit bei gegebener• Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Eingaben
ProblemWelche Verteilung ist angemessen?• meist betrachtet Gleichverteilung• Vorsicht: reale Daten fast nie gleichverteilt• trotzdem hier Annahme Gleichverteilung
Gleichverteilung bedeutet• alle Eingaben gleichwahrscheinlich• an jeder Position 0 und 1 mit Wahrscheinlichkeit ½• alle Positionen unabhängig
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8.5 SerienaddierwerkeAverage-‐Case-‐Analyse (ungenau!)
Start Typische Eingabe der Länge 2n bei Gleichverteilung:• je 50% 0-‐ und 1-‐Stellen • d.h. n/2 1-‐en pro Summand
Verarbeitung: nach 1 Takt ...
• Überträge (𝑦): Wir erwarten 1 an 𝑦y*Q, wenn vorher 1 sowohl an 𝑥y als auch an 𝑦y , d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1/4⇒ Erwarten nach 1 Takt n/4 1-‐en in y
• Ergebnis (𝑥): Wir erwarten 1 in 𝑥y, wenn vorher 01 oder 10 in 𝑥y, 𝑦y , d.h. in 50% der Fälle⇒ Erwarten nach 1 Takt weiterhin n/2 1-‐en in 𝒙
• ⇒ Erwarten: Anzahl 1-‐en in 𝒚 halbiert sich je Takt (in 𝒙 unverändert)
Fazit: Erwarten Rechenende nach log-(𝑛) Takten
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8.5 SerienaddierwerkeMoore-‐Automat zum von Neumann-‐Addierwerk
Ziel Beschreibung eines Moore-‐Automaten zum von Neumann-‐Addierwerk zur Addition von zwei n-‐Bit-‐Zahlen
Erweiterung des Automatenmodells um ε-‐Eingaben im folgenden Sinn
• bei Eingabe von x𝑦wird aktuelle Rechnung unterbrochen und mitBerechnung von x + 𝑦 begonnen
• bei Eingabe von ε wird aktuelle Rechnung fortgesetzt
• Ausgabe ist "−", falls Rechnung noch nicht beendet
• Ausgabe ist Summe der Eingabezahlen, wenn fertig berechnet
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TU Dortmund
8.5 SerienaddierwerkeSchematische Darstellung von Neumann-‐Addierwerk für n = 3
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8. Synchrone Schaltwerke8. Synchrone Schaltwerke
1. Einleitung
2. Bistabile Kippstufe
3. Automaten
4. Synchrone Schaltwerke
5. Serienaddierwerke
6. Speicher & Schieberegister
7. Takt
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeicher
Erinnerung Wir können in einem Flip-‐Flop ein Bit speichern.
Beobachtung• 1-‐Bit-‐Speicher reichen uns nicht.• Wir können in k Flips-‐Flops k Bits speichern.
Wie organisieren wir das so, dass der Zugriff bequem ist?• exemplarisch Speicher für 3-‐Bit-‐Wörter• Warum 3? Passt bequem auf eine Folie
Anmerkung Auch 3-‐Bit-‐Speicher reicht in der Praxis nicht aus.
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeichern eines 3-‐Bit-‐Wortes
Wie können wir mehr als nur ein Wort speichern?
RD = 1 Speicherinhalt lesenRD = 0 Speicherinhalt schreiben
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeichern von zwei 3-‐Bit-‐Worten RD = 1 Speicherinhalt lesen
RD = 0 Speicherinhalt schreiben
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeichern von zwei 3-‐Bit-‐Worten
Beobachtung: Oberes und unteres Wort stets identisch
RD = 1 Speicherinhalt lesenRD = 0 Speicherinhalt schreiben
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeichern von zwei 3-‐Bit-‐Worten
Offensichtlich Die Speicherwörter müssen getrennt ansprechbar sein• wir wollen ein Wort wahlfrei adressieren.• wir brauchen eine Adressleitung A0.
Interpretation• A0 = 0 Wort w0 adressiert zum Lesen oder Schreiben• A0 = 1 Wort w1 adressiert zum Lesen oder Schreiben
RD bestimmt, ob gelesen oder geschrieben wird• RD = 1 Speicherinhalt lesen• RD = 0 Speicherinhalt schreiben
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeichern von zwei 3-‐Bit-‐Worten RD = 1 Speicherinhalt lesen
RD = 0 Speicherinhalt schreiben
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeichererweiterungen
angenommen Schaltung zur Speicherung von zwei 3-‐Bit-‐Wörtern existiert
angenommen Speicher reicht im Betrieb nicht aus
Wunsch Speichererweiterung
Beachte Speichererweiterung bedeutet• weiteren Speicherbaustein (gleicher Art) hinzufügen• nicht vorhandenen Speicherbaustein durch größeren
Speicherbaustein ersetzen
Wie können wir das unterstützen?• Idee zusätzliche Eingabe• Chip Selected (CS)
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeichern von zwei 3-‐Bit-‐Worten RD = 1 Speicherinhalt lesen
RD = 0 Speicherinhalt schreiben
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8.6 Speicher & SchieberegisterBeispiel w1 := 1 0 1 RD = 1 Speicherinhalt lesen
RD = 0 Speicherinhalt schreiben
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8.6 Speicher & SchieberegisterBeispiel w1 := 1 0 1 RD = 1 Speicherinhalt lesen
RD = 0 Speicherinhalt schreiben
1 0 1
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8.6 Speicher & SchieberegisterBeispiel Lies w1 RD = 1 Speicherinhalt lesen
RD = 0 Speicherinhalt schreiben
1 0 1
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8.6 Speicher & SchieberegisterBeispiel Lies w1 RD = 1 Speicherinhalt lesen
RD = 0 Speicherinhalt schreiben
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8.6 Speicher & SchieberegisterRealistischere Speichergrößen
Beobachtung Speichergröße "2 Wörter" ist nicht realistisch
auch nicht bei Benutzung mehrerer Bausteine
Wie kommen wir zu realistischen Speichergrößen?• größere Wortlänge funktioniert im Prinzip gleich• Wie verallgemeinern wir auf > 2 Wörter?
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeicher für zwei 3-‐Bit Wörter
Word Select Line
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8.6 Speicher & SchieberegisterWord Select Lines für vier Wörter
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeicher für viele Wörter
allgemein 2� Wörter speichern
Offensichtlich 𝑘 Adressleitungen benötigt
zunächst formale Beschreibung als boolesche Funktion
𝑓: 0,1 � → 0,1 -�
mit 𝑓 𝐴;, 𝐴Q,… , 𝐴�wQ = 𝑠;,𝑠Q,… , 𝑠-�wQ
mit 𝑠y = �1 falls 𝐴�wQ, 𝐴�w-,… , 𝐴; - = 𝑖0 sonst
Name der Funktion Decoder
genauer 𝑘×2� -‐Decoder
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8.6 Speicher & SchieberegisterDecoder
Nachdenken Kommt uns das nicht bekannt vor?
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8.6 Speicher & Schieberegister
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8.6 Speicher & SchieberegisterUnd-‐Teil realisiert einen Decoder
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8.6 Speicher & SchieberegisterDemultiplexerErinnerung
• 𝑀𝑈𝑋�: 0,1 �*-� → 0,1• 𝑀𝑈𝑋� 𝑦Q, 𝑦-,… , 𝑦�, 𝑥;, 𝑥Q,… , 𝑥-�wQ = 𝑥 ��,��,…,�� �
Erinnerung• 𝐷𝐸𝐶𝑂𝐷𝐸�: 0,1 � → 0,1 -� mit• 𝐷𝐸𝐶𝑂𝐷𝐸� 𝐴;, 𝐴Q,… , 𝐴�wQ = 𝑠;, 𝑠Q,… , 𝑠-�wQ mit
• 𝑠y = �1 falls 𝐴�wQ, 𝐴�w-,… , 𝐴; - = 𝑖0 sonst
Demultiplexer• 𝐷𝐸𝑀𝑈𝑋�: 0,1 �*Q → 0,1 -� mit• 𝐷𝐸𝑀𝑈𝑋� 𝑥, 𝐴;, 𝐴Q,… , 𝐴�wQ =
(𝑥 ∧ 𝐷𝐸𝐶𝑂𝐷𝐸� 𝐴;, 𝐴Q,… , 𝐴�wQ ;,𝑥 ∧ 𝐷𝐸𝐶𝑂𝐷𝐸� 𝐴;, 𝐴Q, … , 𝐴�wQ Q, ... ,
𝑥 ∧ 𝐷𝐸𝐶𝑂𝐷𝐸� 𝐴;, 𝐴Q, … , 𝐴�wQ -�wQ)
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpeicher
Realisiert man Speicher wirklich so?• nicht für Hauptspeicher von Rechnern• kompaktere Lösung mittels DRAM (dynamic random access memory)
möglich• tatsächlich typische SRAM-‐Realisierung (SRAM = static RAM)
Eigenschaften• dauerhaft• schnell• Zugriffszeit von Daten unabhängig• teuer• hoher Stromverbrauch
Bemerkung typisch für Cache-‐ oder Register-‐Speicher
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8.6 Speicher & Schieberegister1-‐Mbit (128 K × 8) Static RAM
Rechnungen• Anzahl der Flip-‐Flops: 128 � 1024 � 8 = 1.048.576• 1 MByte à 8 ICs 1 GByteà 8.096 ICs• 8 ICs à 27,12 € 8.096 ICs à 13.358,40 € (Mengenrabatt!)• 8 ICs à 640 mA 8.096 ICs à 647,68 A (Stromaufnahme)
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8.6 Speicher & SchieberegisterSpezielle Speicher: Register
Beobachtung• in Computern meist keine direkte Speichermanipulation• stattdessen spezielle, direkt der CPU zugehörige Speicherzellen• Register
Register• Register sind auch nur Flip-‐Flops• aber spezielle Funktionalität gesonderte Betrachtung• wir betrachten Schieberegister
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Warum sind Register wichtig? Latenzzeiten für Speicherzugriffe:
• Register: 0 Takte
• primärer Cache: 2 – 3 Takte • sekundärer Cache: 8 – 10 Takte
• Arbeitsspeicher (Seite in TLB): 75 – 200 Takte• Arbeitsspeicher (Seite nicht in TLB, aber im RAM): > 2000 Takte• Massenspeicher (Seite ausgelagert): einige 100 Millionen Takte
8.6 Speicher & Schieberegister
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8.6 Speicher & SchieberegisterSchieberegister
Funktion Speicherinhalte nach links oder rechts verschieben
FrageWas machen wir an den Rändern?
00 111
00 111
?00 111
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8.6 Speicher & SchieberegisterSchieberegister
Möglichkeit 1: zyklisch verschieben
Möglichkeit 2: Wert verbrauchen und auffüllen
00 111
00 11 1
{0,1}00 11
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8.6 Speicher & SchieberegisterMealy-‐Automat zum nicht-‐zyklischen Schieberegister.
Warum gerade drei Bits?• klein genug, um auf die Folie zu passen• groß genug, um alles Wichtige zu enthalten
• Bit am linken Rand• Bit am rechten Rand• mittleres Bit
Eingänge• d (direction) Schieberichtung (d = 0≝ links, d = 1≝ rechts)• x aufzufüllender Wert
Vereinfachung• betrachten nicht Ein-‐/Ausgänge zum• Schreiben/Lesen des Registers als Ganzem
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8.6 Speicher & SchieberegisterMealy-‐Automat zum nicht-‐zyklischen Schieberegister
Eingabealphabet Σ = 00,01,10,11
Interpretation: 𝑑𝑥 ∈ Σ
Ausgabealphabet Δ = ∅
d. h.: ∀𝑞 ∈ 𝑄,𝑤 ∈ Σ ∶ 𝜆 𝑞,𝑤 = 𝜀
Zustände 𝑄 = 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
Interpretation: Registerinhalte
Startzustand 𝑞; = 000
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8.6 Speicher & SchieberegisterMealy-‐Automat zum nicht-‐zyklischen Schieberegister
Zustandsübergangsfunktion
𝛿:𝑄×Σ → 𝑄
𝑞 ∈ 𝑄 𝑤 ∈ 𝛴 𝛿 𝑞, 𝑤 ∈ 𝑄000 00 000
000 01 001
000 10 000
000 11 100
001 01 011
... ... ...
111 11 111
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8.6 Speicher & SchieberegisterMealy-‐Automat zum nicht-‐zyklischen Schieberegister
Σ = 00,01,10,11 , 𝑑𝑥 ∈ Σ, (d = 0≝ links, d = 1≝ rechts)
Δ = ∅, 𝜆 𝑞, 𝑤 = 𝜀, 𝑄 = 0,1 ¢, 𝑞; = 000
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8.6 Speicher & SchieberegisterSchaltwerk-‐Synthese abgekürzt
Codierung• 𝑤 = 𝑑𝑥 durch 𝑑 und 𝑥• 𝑞 = 𝑞£𝑞¤𝑞¥ ∈ 0,1 ¢ durch 𝑞£, 𝑞¤ und 𝑞¥
Müssen wir jetzt Tabellen aufstellen? Nein, wir dürfen auch nachdenken.
Strukturverständnis zum linken Bit• 1. Fall: d = 0≝ links
𝑞£(qrs) = 𝑞¤• 2. Fall: d = 1≝ rechts
𝑞£(qrs) = 𝑥
à 𝑞£(qrs) = 𝑑𝑞¤ ∨ 𝑑𝑥
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8.6 Speicher & SchieberegisterSchaltwerk-‐Synthese abgekürzt
Strukturverständnis zum rechten Bit• 1. Fall: d = 0≝ links
𝑞¥(qrs) = 𝑥• 2. Fall: d = 1≝ rechts
𝑞¥(qrs) = 𝑞¤
à 𝑞¥(qrs) = 𝑑𝑥 ∨ 𝑑𝑞¤Strukturverständnis zum mittleren Bit
• 1. Fall: d = 0≝ links𝑞¤(qrs) = 𝑞¥
• 2. Fall: d = 1≝ rechts𝑞¤(qrs) = 𝑞£
à 𝑞¤(qrs) = 𝑑𝑞¥ ∨ 𝑑𝑞£
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8.6 Speicher & SchieberegisterSchaltwerk-‐Synthese abgekürzt
Moment! Hätten wir nicht Flip-‐Flops wählen und Ansteuerfunktionen berechnen müssen?
Einsicht nicht, wenn man D-‐Flip-‐Flops verwendet, da wir nur speichern müssen
Ansteuerfunktionen• 𝑞£(qrs) = 𝑑𝑞¤ ∨ 𝑑𝑥• 𝑞¤(qrs) = 𝑑𝑞¥ ∨ 𝑑𝑞£• 𝑞¥(qrs) = 𝑑𝑥 ∨ 𝑑𝑞¤
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8.6 Speicher & SchieberegisterSchaltwerk nicht-‐zyklisches Schieberegister
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8.6 Speicher & SchieberegisterZyklisches Schieberegister
Wir betrachten zyklisches Schieberegister• wieder für drei Bits• wieder ohne Daten-‐Eingabe
Mealy-‐Automat• wie gehabt𝑄 = 0,1 ¢, Δ = ∅, ∀q ∈ Q, w ∈ Σ: λ(q, w) = ε• anders Σ = 0,1 (weil x fehlt)• wie gehabt Interpretation d = 0 ≝ links, d = 1≝ rechts
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8.6 Speicher & SchieberegisterMealy-‐Automat zyklisches Schieberegister
Σ = 0,1 , 𝑤 = 𝑑, 𝑑 = 0≝ links, 𝑑 = 1≝ rechts
Δ = ∅, 𝑄 = 0,1 ¢, 𝑞; = 000 , 𝜆 𝑞, 𝑤 = 𝜀
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8.6 Speicher & SchieberegisterSchaltwerk-‐Synthese abgekürzt
Ansteuerfunktionen direkt ableiten • 𝑞£(qrs) = 𝑑𝑞¤ ∨ 𝑑𝑞¥• 𝑞¤(qrs) = 𝑑𝑞¥ ∨ 𝑑𝑞£• 𝑞¥(qrs) = 𝑑𝑞£ ∨ 𝑑𝑞¤
Schaltwerk kann bei Verwendung von D-‐Flip-‐Flops direkt angegeben werden
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8.6 Speicher & SchieberegisterSchaltwerk zyklisches Schieberegister
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8.6 Speicher & SchieberegisterSchieberegister allgemein
Können wir die Funktionen für die Bits auch allgemein angeben?
Notation Bits 𝑞qwQ, 𝑞qw-, . . . , 𝑞Q, 𝑞;𝑞qwQ am linken Rand, 𝑞; am rechten Rand
zyklisches Schieberegister𝑞y = 𝑑𝑞 ywQ 𝒎𝒐𝒅 𝒏 ∨ 𝑑𝑞 y*Q 𝒎𝒐𝒅 𝒏
nicht-‐zyklisches Schieberegister
𝑞y = 𝑑𝑞ywQ ∨ 𝑑𝑞y*Q mit 𝒒w𝟏 = 𝒙 und 𝒒𝒏 = 𝒙 für den Rand
Welche Operationen können Schieberegister realisieren?
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8.6 Speicher & SchieberegisterWelche Operationen können Schieberegister realisieren?Multiplikation bzw. Division
direkt mit Binärzahlen. . .
Multiplizieren heißt• Nullen passend schreiben• Zahlen passend verschoben kopieren• viele Zahlen addieren
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8.6 Speicher & SchieberegisterDatentransfer
Daten müssen gelegentlich zwischen Registern transferiertwerden, um z. B. Zwischenergebnisse zu speichern
Wie kann man Daten von einem Register in ein anderes transferieren?• auf Leitungen zwischen den Registern• wie verbindet man Register geschickt?
Kriterien• Einfachheit (der technischen Realisierung)• Sparsamkeit (im Sinne des Schaltungsaufwands)• Möglichkeit zum effizienten Datenaustausch
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8.6 Speicher & SchieberegisterRegister verbinden
eine Möglichkeit: paarweise verbinden
Vorteile• direkter Datenaustausch, also schnell• bis q -⁄ Registerpaare gleichzeitig aktiv, also gute Parallelisierung
Nachteil• 𝑛
2 Verbindungen
• Beispiel 162 = Q¬�Q- = 120 Verbindungen
• meist nicht realisiert
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8.6 Speicher & SchieberegisterRegister sparsam verbinden
andere Möglichkeit: alle Register mit einer gemeinsamen Leitung verbinden
Vorteile• nur eine Leitung, also einfach• Datenaustausch direkt, also schnell
Nachteile• immer nur ein Paar aktiv, also langsam• Steuerlogik erforderlich, nicht ganz einfach
Name dieser Variante: Bus• häufig verwendet• Engpass durch mehrere Busse entschärfbar
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8.6 Speicher & SchieberegisterBus für acht 1-‐Bit-‐Register
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8.6 Speicher & SchieberegisterVerallgemeinerungen
Verallgemeinerung auf mehr Register• mehr Adressleitungen zum Adressieren des Quell-‐ und Zielregisters• größere Multiplexer und Decoder
Verallgemeinerung auf breitere Register• je Register entsprechend mehr Flip-‐Flops (je Bit ein Flip-‐Flop)• entsprechend mehr Multiplexer (je Bit ein Multiplexer)• entsprechend mehr Bus-‐Leitungen (je Bit eine Bus-‐Leitung)
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8. Synchrone Schaltwerke8. Synchrone Schaltwerke
1. Einleitung
2. Bistabile Kippstufe
3. Automaten
4. Synchrone Schaltwerke
5. Serienaddierwerke
6. Speicher & Schieberegister
7. Takt
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8.7 TaktTaktung von Digitalrechnern
Gibt es in einem Rechner eigentlich den Takt? JEIN• oft mehrere Takte• aber nur eine "Uhr" zur Erzeugung der Takte
Wie funktioniert das?
Einsicht schneller geht nicht, verschoben oder langsamer schon
Langsamer – Wie geht das?• Takt(e) auslassen• dazu Zähler ausreichend• Zähler wie jedes Schaltwerk realisierbar
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8.7 TaktTaktreduktion mit Zählern
Idee: Zähle Taktimpulse → erzeuge in jedem 𝑛-‐ten Takt einen neuen Impuls für den langsameren abgeleiteten Takt
Erforderlich: Zähler modulo𝑛, d.h. 𝑧 ← 𝑧 + 1 mod 𝑛
Realisierung als synchrones Schaltwerk• Zustand ≝ Zählerstand, d.h.: 𝑸 = 𝟎, 𝟏,… , 𝒏 − 𝟏
speicherbar in log- 𝑛 Bits / Flip-‐Flops• Ausgabe, z.B. wenn Zählerstand 0 erreicht
→ nicht weiter betrachtet• Eingabe? ... eigentlich nicht zwingend erforderlich, aber Umschaltung
der Zählrichtung möglich!⇒ 𝜮 = 𝟎,𝟏 (d.h. 1 ≝vorwärts, 0 ≝ rückwärts zählen)
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8.7 TaktBeispiel: Zähler modulo 8Zustandsüberführungsfunktion: δ 𝑞, 𝑑 = 𝑞 + −1 Qw� mod 8
Ansteuertabelle
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8.7 TaktBeispiel: Zähler modulo 8
Flip-‐Flop l• 𝑅£ = 𝑑 𝑞£𝑞¤ 𝑞¥ ∨ 𝑑 𝑞£ 𝑞¤ 𝑞¥• 𝑆£ = 𝑑 𝑞£ 𝑞¤ 𝑞¥ ∨ 𝑑 𝑞£ 𝑞¤ 𝑞¥
Flip-‐Flop m• 𝑅¤ = 𝑑 𝑞¤ 𝑞¥ ∨ 𝑑 𝑞¤ 𝑞¥ ∨ 𝑑 𝑞¤ 𝑞¥ ∨ 𝑞¤ 𝑞¥• 𝑆¤ = 𝑅¤
Flip-‐Flop r• 𝑅¥ = 𝑞¥• 𝑆¥ = 𝑅¥
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8.7 TaktSchaltwerk des Zählers modulo 8
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8.7 TaktTaktteilung Betrachte Kette von T-‐Flip-‐Flops in asynchroner Schaltung
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8.7 TaktTaktteilung Betrachte Kette von T-‐Flip-‐Flops in synchroner Schaltung
& &
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8. Synchrone Schaltwerke8. Synchrone Schaltwerke
1. Einleitung
2. Bistabile Kippstufe
3. Automaten
4. Synchrone Schaltwerke
5. Serienaddierwerke
6. Speicher & Schieberegister
7. Takt
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Übersicht1. Organisatorisches
2. Einleitung
3. Repräsentation von Daten
4. Boolesche Funktionen und Schaltnetze
5. Rechnerarithmetik
6. Optimierung von Schaltnetzen
7. Programmierbare Bausteine
8. Synchrone Schaltwerke
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Appendix
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8.5 SerienaddierwerkeMoore-‐Automat zum von Neumann-‐Addierwerk
Eingabealphabetalle möglichen Paare von n-‐Bit-‐Zahlen, außerdem εΣ ≔ 0,1 -q ∪ {𝜀}
Ausgabealphabetalle möglichen Ergebnisse der Addition, außerdem "−"Δ ≔ 0,1 q*Q ∪ {−}
Zustandsmengealle möglichen Zwischenergebnisse einschließlich ÜbertragQ ≔ 0,1 -q*Q
Startzustandwillkürlich 𝑞; = 000…000
-q*Q Nullen= 0-q*Q
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8.5 SerienaddierwerkeZustandsüberführungsfunktion 𝛿
Σ = 0,1 -q ∪ {𝜀}, Δ = 0,1 q*Q ∪ {−}, Q = 0,1 -q*Q, 𝑞; = 0-q*Q
1. Fall Eingabe 𝑤 = 𝑥𝑦 ≠ 𝜀𝛿 𝑞, 𝑤 = 0𝑤 = 0𝑥𝑦
2. Fall Eingabe 𝑤 = 𝜀Notation aktueller Zustand 𝑞 = ü𝑥𝑦
𝛿 𝑞, 𝜀 = qº = üº𝑥º𝑦º = ü′𝑥′qwQ𝑥′qw- …𝑥′; 𝑦′qwQ𝑦′qw- …𝑦′;mit• 𝑦′; = 0• 𝑦′y = 𝑥ywQ ∧ 𝑦ywQ für 𝑖 ∈ {1,2,… , 𝑛 − 1}• 𝑥′y = 𝑥y⨁𝑦y für 𝑖 ∈ {0,1,… , 𝑛 − 1}• ü′ = ü ∨ 𝑥qwQ ∧ 𝑦qwQ
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8.5 SerienaddierwerkeAusgabefunktion 𝜆
Σ = 0,1 -q ∪ {𝜀}, Δ = 0,1 q*Q ∪ {−}, Q = 0,1 -q*Q, 𝑞; = 0-q*Q
Notation neuer Zustand 𝛿 𝑞,𝑤 = qº = üº𝑥º𝑦º
1. Fall 𝑦′ ≠ 0q𝜆 𝛿 𝑞,𝑤 = −
2. Fall 𝑦º = 0q
𝜆 𝛿 𝑞,𝑤 = üº𝑥′