Razvoj matematike in racunalniˇ stvaˇvlado.fmf.uni-lj.si/vlado/RMR/grcija1.pdf · Pitagorejci so...
Transcript of Razvoj matematike in racunalniˇ stvaˇvlado.fmf.uni-lj.si/vlado/RMR/grcija1.pdf · Pitagorejci so...
'
&
$
%
Christine Tuveson:J. H. Conway’s Cosmogram
Razvoj matematikein ra cunalnistvaGrcija
Vladimir Batagelj
Univerza v Ljubljani
FMF, matematika
Zapiski, Ljubljana, 8. marec 2005
razlicica: 14. marec 2005 / 02 : 12
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 1'
&
$
%
Kazalo1 Sredozemlje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Grcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5 Tales, 624-548 pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7 Pitagora, 580-500 pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8 Pitagorejci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
10 Pitagorejci – pravilni petkotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11 Pitagorejci – sorazmerja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12 Trije slavni anticni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
13 Stevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
15 Anaksagora iz Clazomene, 499-428 pns . . . . . . . . . . . . . 15
16 Hipokrat iz Hiosa, 470-410 pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 Hipijas iz Elisa,∼460-∼400 pns . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 2'
&
$
%
18 Arhitas iz Tarenta,∼428-∼380 pns . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19 Iracionalnost – ne(so)izmerljivost. . . . . . . . . . . . . . . . 19
20 Zenon iz Eleje,∼490-∼445/425 pns . . . . . . . . . . . . . . . 20
21 Demokrit iz Abdere,∼460-∼370 pns . . . . . . . . . . . . . . 21
22 Platon, 427-327pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
24 Evdoks iz Knida, 408-355pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
25 Menehmus (∼380-∼320 pns) in Dinostrat (∼390-∼320 pns) . . 25
26 Aristotel (384-322 pns) in Aleksandrovo obdobje. . . . . . . . 26
27 Viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 1'
&
$
%
SredozemljeV zacetku prvega tisocletja pred n.s. se je zacelo tezisce razvoja seliti iz
porecij na obale Sredozemlja (pomorski narodi: Fenicani, Grki). Bronasta
doba prehaja vzelezno. Zato je obdobje med 800 pred n.s. in 800 po n.s.
poimenovano kottalaskoobdobje (morski vek; talasa – morje, val).
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 2'
&
$
%
GrcijaGrki (Heleni) so prisli v Sredozemlje v drugem tisocletju pred n.s. Od
Fenicanov so povzeli abecedo.
Grki so bili pomorsko tr-
govski narod. Kot taki so
prisli tudi v stik z matem-
atiko in drugimi znanji,
jih prevzeli in razdelali po
svoje. Bili so zelo spre-
jemljivi za tuje dosezke in
jih razvijali naprej.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 3'
&
$
%
Grcija
• Minojska kultura: Kreta, Mikene, Troja 3000-1150 pns
• do 700 pns: Homer, prve Olimpijske igre (776 pns)
• kolonizacija 750-550 pns
• denar (Fenicani) 600pns
• grsko-perzijske vojne 550-450 pns
• Periklejevo obdobje, razcvet Aten 500-429 pns
• peloponeska vojna Atene–Sparta 430- 404 pns
• Aleksandrovo obdobje 336-323 pns
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 4'
&
$
%
Grcija
Prva znana starogrska matematika sta:
• Tales –Spoznaj samega sebe. Milet 624-548
• Pitagora –Vse jestevilo. Samos 580-500
Za njima ni ostalo nobenih neposrednih del, niti
dokazov, da bi jih onadva ustvarila. Vendar jima
kasnejsi avtorji pripisujejo celo vrsto pomembnih
odkritij.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 5'
&
$
%
Tales, 624-548 pns
SVG
Tales naj bi potoval po Egiptu in Mezopotamiji,
kjer naj bi bil uveden v skrivnosti geometrije in as-
tronomije. Tradicija ga omenja kot prvega od Sed-
mih modrih moz, ucenca Egipcanov in Kaldejcev.
Velja za prvega filozofa. Napovedal je soncni mrk
leta 585.
Talesov izrek: kot nad premerom je pravi kot. Baje
naj bi ga dokazal – prvi pravi matematik. To last-
nost so poznalize Babilonci.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 6'
&
$
%
Tales
Pripisujejo muse druge izreke:
• premer razpolavlja krog;
• kota pri osnovnici v enakokrakem trikotniku sta enaka;
• nasprotna kota pri preseciscu dveh premic sta enaka;
• ce se trikotnika ujemata v stranici in prileznih kotih, sta enaka.
V Egiptu je z uporabo sence izmeril visino piramide.
Tales je prvi, ki mu pripisujejo matematicna odkritja. Veliko matematicnega
znanja je bilo znanegaze tisoc let pred njim (Babilonci, Egipcani). Vendar
je med Grki veljalo soglasje, da je naredil pomembne korake naprej (Prokl)
– prispeval je v organizaciji matematicnega znanja (logicna odvisnost
posameznih dejstev). O tem pred tem ni sledi.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 7'
&
$
%
Pitagora, 580-500 pnsNasprotno od Talesa, ki je bil ’poslovnez’, je bil Pitagora prerok in mistik.
Tudi on je popotoval po Egiptu in Mezopotamiji ter morda celo po Indiji.
Poleg matematicnih in astronomskih
znanj se je navzel tudi vzhodnjaskih ver-
skih vplivov (bil je sodobnik Bude, Kon-
fucija in Lao Ceja).
Po vrnitvi s potovanj se je naselil v Kro-
toni na jugovzhodni obali Italije (Magna
Graecia). Tu je ustavil tajno zdruzenje
– nekaksna komuna: znanje in last-
nina je bila skupna, znanje tudi tajno.
Dosezkov niso pripisovali posamezniku
temvec soli – Pitagorejci.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 8'
&
$
%
PitagorejciPitagorejci so imeli strogo dolocena pravila vedenja. Bili so vegeterjanci –
selitev dus. Prepovedano jim je bilo jesti strocnice. Poudarjali so pomen
filozofije in matematike kot vodilozivljenja. Besedi filozofija in matematika
naj bi skoval Pitagora. Baje naj bi imel dve vrsti predavanj: za pripadnike
zdruzenja in zasirse obcinstvo.
Pitagorejci so utrdili pot v matematiko, ki jo je zacrtal Tales. Njihov moto
je bil Vse jestevilo(najbrz babilonski vpliv).
Ta pogled je osnova matematizacije znanosti. Vse je mogoce opisati s
stevili – zakonitosti.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 9'
&
$
%
Pitagorejci
• vsota notranjih kotov trikotnika, veckotnika
• Pitagorov izrek (prevzet od Babiloncev, dokaz?)
• Aritmetika nad geometrijo
• oblike stevil, trikotnastevila
• 10, popolnostevilo, vsota dimenzij
• zlati rez, pentagram
• razmerja, sredine (10 vrst), glasba
• vsaj tri od petih pravilnih teles
• dedukcija, dokazi
• iracionalna razmerja (skoraj gotovo ne Pitagora osebno, verjetno pa
njegovi ucenci, morda Hipas)
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 10'
&
$
%
Pitagorejci – pravilni petkotnik
Zlati rez
neskoncna deljivost v tem razmerju
Zlati rez
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 11'
&
$
%
Pitagorejci – sorazmerjaNaj bodoa, b in c tri koli cine (npr. dolzine) ina < c. Ze Babilonci so
uvedli z razmerji
b− a
c− b=
a
a,
b− a
c− b=
a
b,
b− a
c− b=
a
c
aritmeticno, geometricno in harmonicno sredino.
Z razsiritvijo desne stranise na
b− a
c− b=
c
a,
b− a
c− b=
b
a,
b− a
c− b=
c
b
in novimi razmerji
c− a
b− a=
c
a,
c− a
c− b=
c
a,
c− a
b− a=
b
a,
c− a
c− b=
b
a
so vpeljalise sedem novih ’sredin’.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 12'
&
$
%
Trije slavni anti cni problemiKonstrukcija ssestilom in ravnilom
• kvadratura kroga – dolocitev danemu krogu ploscinsko enakega
kvadrata
• podvojitev kocke
• tretjinjenja (trisekcija) poljubnega kota
Tocna resitev, ne priblizki. Problem sam zase. Prakticne resitve so seveda
obstajale. Dokaz, da niso resljivi, sele v 19. stoletju.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 13'
&
$
%
StevilaDva zapisa.Atiski– podoben rimskemu injonski, abecedni (crkovni) zapis,
znaki za 1, 2, ... 9, 10, 20, ... 90, 100, 200, ... 900: 27crk (24 pravih in 3
stare).
Greek Numbers and Numerals
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 14'
&
$
%
Abecedni (crkovni) zapis stevil
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 15'
&
$
%
Anaksagora iz Clazomene, 499-428 pnsClazomena v blizini Smirne
• filozof: nous (ideja) uredi svet, ki je nastal iz vrtinca;
• zaprt zaradi nespostovanja soncnega bozanstva (velik
razzarjen kamen)
• prvic omenjen problem kvadrature kroga
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 16'
&
$
%
Hipokrat iz Hiosa, 470-410 pns
• ni Hipokrat iz Kosa, ki je zdravnik
• Izrek: ploscina podobnih kroznih odsekov je v so-
razmerju kvadratov njihovih osnov. Dokaz ni znan,
baje pa je imel dokaz. Prvi izrek o ”krivih” objektih.
• Prva stroga trditev o ploscinah krivo omejenih likov:
kvadratura polmeseca.
• Dvogeometrijska sredina:
– geometrijska:a : x = x : b
– dvogeometrijska:a : x = x : y = y : b (problem
podvojitve kockeb = 2a)
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 17'
&
$
%
Hipijas iz Elisa, ∼460-∼400 pns
SVG
• Sofist, komercialni ucitelj (drugace kot
pitagorejci)
• krivulja trisektrisa (tretjincnica) ali
kvadratrisa
π ·R · sinϕ = 2 · a · ϕ
je ”resitev” tretjinjenja kota
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 18'
&
$
%
Arhitas iz Tarenta, ∼428-∼380 pns
• Arhitas je bil Filolajev ucenec; ta je bil
Pitagorejec
• po unicenjusole sta prva smela zapiso-
vati
• 3D resitev podvojitve kocke: presek
stozca, valja in svitka (torusa)
• Verjetno je Arhitas vir vecine vsebine 8.
knjige Elementov
• matematicni kvadrivij: aritmetika, ge-
ometrija, glasba in astronomija
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 19'
&
$
%
Iracionalnost – ne(so)izmerljivostIracionalna razmerja
• npr. stranica in diagonala kvadrata, zlati rez
• odkritje: pozna pitagorejskasola, mordaHipas iz Metaponta (ali
Krotona)
• odkritje morda z neskoncnimi podobnostmi (npr. pentagram)
• zacetek konca pitagorejske doktrine, da jestevilo vse (numericni
atomizem)√
2 = pq , kjer stap in q tuji stevili. Tedaj jep2 = 2q2. Torej mora bitip
sodostevilo,p = 2u, in daljeq2 = 2u2. Tudi q mora biti sod,q = 2v –
protislovje!
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 20'
&
$
%
Zenon iz Eleje,∼490-∼445/425 pnsParadoksi (zveznost in diskretnost prostora incasa)
• Dihotomija: preden se premaknem doa, se
moram premakniti doa/2, preden ...; dotakniti se
moram neskoncnegastevila tock v koncnemcasu
• Ahil: Ahil lovi zelvo s prednostjo, ko pretece
prednost, se jezelvaze malo premaknila, ko ...
• Puscica: objekt v letu vedno zaseda prostor enak
njegovi obliki; tisto, kar vedno zaseda prostor
enak svoji obliki, se ne premika
• Stanje: Kvantcasa, Aji stojijo, Bji desno, Cji levo.
V enem kvantu se premaknejo Bji in Cji za ena
glede na A. Toda Bji in Cji se med samo pre-
maknejo za dva, torej kvant ni najmanjsi mogoc.
Trivij: slovnica, govornistvo in dialektika. Trivij +
kvadrivij = sedem svobodnih ved.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 21'
&
$
%
Demokrit iz Abdere, ∼460-∼370 pns
• atomizem
• baje dokaz prostornine piramide in
stozca
• zacetki infinitezimalnega (?)
• nekateri trdijo, da zaradi atomizma ni
zmogel infinitezimalnega
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 22'
&
$
%
Platon, 427-327pns
• Sokratov ucenec (Sokrat sicer boljskodljiv kot koristen za
matematiko)
• Platonovasola v Atenah - center matematikecetrtega sto-
letja 400pns - 322pns
• sam Platon v tehnicnem smislu ni prispeval k matematiki
• navdusen nad matematiko (verjetno ga je navdusil Arhitas
na Siciliji)
• pomemben zaradi spodbujanja in vodenja
• platonskastevila604, 7! (prebivalci idealne drzave)
• cista matematika (modeli v geometriji so umazani)
• svet idej
• analiticna metoda (pedagosko primernejsa), formalizacija,
imenovanje
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 23'
&
$
%
Platonska telesa
Pet popolnih (Platonskih) teles
• vsaj tri poznalize pitagorejci
• osmerec in dvajseterec, dokaz: Theaeteus (Platonov prijatelj, zgodaj
umrl)
• nesoizmerljivost v dolzini in v ploscini
• Platon jih je gledal kot sestavljene iz trikotnikov
Mathworld: Platonic Solids
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 24'
&
$
%
Evdoks iz Knida, 408-355pns• astronom, postavil osnove Ptolomejevega sistema – Zemlja v sredini
• enakost razmerij:
– samo razmerja enakih stvari (dolzin, ploscin, ...)
– a/b = c/d↔ za poljubne celem, n velja
1. m · a < n · b ⇒ m · c < n · d ali
2. m · a = n · b ⇒ m · c = n · d ali
3. m · a > n · b ⇒ m · c > n · dv 19. stoletju uporabil Dedekind za realnastevila
– kriznega mnozenja ne moremo delati zaradi potencialno razlicnih enot (a,b) in (c,d)
• Arhimedov aksiom o zveznosti:ce imamo dve kolicini z razmerjem (torej6= 0), potem
lahko eno celostevilsko pomnozimo tolikokrat, da dobimo vec od druge. Posledica: z
razpolavljanjem neke kolicine lahko pridemo pod katerokoli kolicino.
• dokaz, da sta ploscini krogov v razmerju kvadartov njunih premerov; metodaizcrpavanja.
• Aristotel (planeti), 5. knjiga Elementov, Arhimed, Dedekind, Weierstrass, ...
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 25'
&
$
%
Menehmus (∼380-∼320 pns) in Dinostrat
(∼390-∼320 pns)Menehmus in Dinostrat iz Alopekoneza sta bila brata in Eudoksova ucenca
Menehmus:
• Odkritje stoznic kot krivulj v zvezi s podvojitvijo kocke
• Skoraj koordinatni sistem
• Grki niso poznali/uporabljali enacb krivulj
• Ucil Aleksandara (”ni kraljevske poti v matematiko”)
Dinostratus
• geometrijski dokaz, da trisektrisa konvergira k2aπ ko ϕ → 0
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 26'
&
$
%
Aristotel (384-322 pns) in Aleksandrovo obdobjeAristotel (Platonov ucenec, Aleksandrov ucitelj)
• predvsem filozof in biolog
• najbolj sirok ucenjak vsehcasov
• na tekocem z matematiko
• aksiomatski sistem, definicije, aksiomi in pos-
tulati (Organon)
Po Aleksandrovi smrti (323 pns) se center matem-
atike preseli v Aleksandrijo.
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 27'
&
$
%
Viri1. Pythagorean Theorem and its many proofs
2. Pythagoras and the Pythagoreans
3. Thales, Fragments and Commentary
4. Henrietta Midonick: The treasury of mathematics. Pelican Book.
Penguin Books, Harmondsworth, 1968.
5. Zenon
6. Nuremberg chronicle
Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖