Razones y proporciones.

Razones y proporciones.

Mtro. José Salvador Beltrán León

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

PREPARATORIA No. 2JSBL

Razones y Proporciones.

Si el sueldo de un empleado es $ 2 000.00 mensuales y

el de otro es $ 1 000.00 se dice que el primer sueldo es

el doble que el segundo. Se ha comparado

mentalmente, por división, el número 2 000 al número

1 000 y se ha obtenido . 21000

2000




A este cociente indicado se le denomina “razón”. La

razón de un número a otro es la división indicada del

primero entre el segundo.

La razón de a a b se escribe a : b, o bien a b, o bien

y a ambos números se les llama “términos de la

razón”.b

a




El valor de una razón no se altera si se multiplican sus dos términos por un mismo factor o si se dividen entre un mismo divisor. Este principio ya lo comprobó en el tema “equivalencia de fracciones”.




Una proporción es una igualdad de dos razones. Por

ejemplo, a : b = c : d, o bien, . Y se lee:

“a es a b como c es a d”.

En la expresión, a : b = c : d, b y c se denominan “medios” mientras que a y d se denominan “extremos” y esto se debe a su ubicación en el planteamiento.

d

c

b

a




Mediante el uso de las proporciones se pueden resolver muchos problemas de la Aritmética común conocidos como “Regla de tres” porque de los cuatro términos siempre se conocen tres.




La proporcionalidad o Regla de Tres puede ser simple y compuesta. Es simple cuando solamente intervienen en ella dos magnitudes y es compuesta cuando intervienen tres o más magnitudes. En este momento solo estudiaremos la Regla de Tres simple.



Regla de tres simple.

La forma de identificar que una regla de tres simple es directa es muy fácil ya que solo tenemos que observar cómo varía el resultado que se obtendrá: éste será mayor que la información proporcionada.

Por ejemplo, si 4 libros cuestan $ 800.00, ¿cuánto costarán 15 libros? Es obvio que los 15 libros costarán más que los 4.




Proporcionalidad inversa.

Para identificar que una regla de tres simple es inversa, se observa el resultado esperado: éste será menor al proporcionado.

Por ejemplo, si 4 hombres hacen una obra en 12 días, ¿en cuántos días podrían hacer la misma obra 6 hombres? Es obvio que los 6 hombres tardarán menos tiempo en hacer la obra que solo 4 de ellos.




Para la solución de la regla de tres simple directa basta

multiplicar los extremos e igualarlos al producto de los

medios. Esto es, si tenemos multiplicamos en

forma de cruz y nos queda ad = bc. Luego, ya que la

incógnita puede estar en cualquiera de los cuatro

lugares, despejamos la incógnita y obtenemos el

resultado.

d

c

b

a




En el ejemplo de los libros el problema se plantea así:

, o bien .

En cualquiera de los casos, al multiplicar en forma de cruz queda: 4(x) = (15)(800)

y al despejar , encontramos el resultado:

x = $ 3 000.00.

x

libros15

800$

libros4

x

800$

libros15

libros4

4

)800(15x




Para la solución de la regla de tres simple inversa basta multiplicar en forma horizontal, o bien invertir la segunda razón y continuar multiplicando en forma de cruz como en el ejemplo anterior.




En el ejemplo de los hombres que hacen la obra, el problema se plantea así:

Al multiplicar en forma horizontal tenemos: 4(12) = 6(x)

y al despejar encontramos el resultado: x

= 8 días.

x

días12

breshom6

breshom4

6

)12(4x



ACTIVIDADES.

Un empleado recibe de salario $ 875.00 a la semana, ¿cuánto recibirá en 30 días?

$ 3 750.00

3750x,7

30875x

30875x7,x

875$

días30

días7



ACTIVIDADES.

Un empleado que recibe un bono por ventas, si recibió $ 1 800.00 por vender 200 piezas, ¿cuánto dinero recibirá por vender 475 piezas?

$ 4 275.00

4275x,200

4751800x

4751800x200,475

200

x

1800$



ACTIVIDADES.

Con la cantidad de agua que vierten 3 llaves se llena una alberca en 62 horas, ¿en cuántas horas se llenará la misma alberca si utilizamos 5 llaves y todas vierten la misma cantidad de agua.

37.2 horas

2.37x,5

362x

362x5,x

horas62

llaves5

llaves3



ACTIVIDADES.

5 hombres cavaron un pozo en 12 días, ¿cuántos días se tardarán 8 hombres?

7.5 días

5.7x,8

125x

125x8,x

días12

breshom8

breshom5

Razones y proporciones.

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