razonamiento matemático

0

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

CIENCIAS EMPRESARIALES

1. Problemas sobre Edades2. Porcentajes3. Operadores Matemáticos4. Razonamiento Inductivo – Deductivo5. Regla de Tres simple y compuesta6. Criptoaritmética7. Series y Sumatorias8. Probabilidades

CIENCIAS EMPRESARIALES

ÍNDICEPROBLEMAS SOBRE EDADES............................................................................................3

PROBLEMAS RESUELTOS........................................................................................4

PROBLEMAS PROPUESTOS.....................................................................................7

PORCENTAJES......................................................................................................................10

PROBLEMAS RESUELTOS......................................................................................13

EJERCICIOS PROPUESTOS...................................................................................16

OPERADORES MATEMATICOS.........................................................................................19


RAZONAMIENTO INDUCTIVO - DEDUCTIVO..................................................................26


REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA......................................................................32

EJERCICIOS RESUELTOS.......................................................................................35

PROBLEMAS PROPUESTOS...................................................................................37

CRIPTOARITMETICA............................................................................................................40


SERIES Y SUMATORIAS......................................................................................................46



PROBABILIDADES................................................................................................................52



BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................................62

1

PRESENTACIÓN

La siguiente guía de Razonamiento Matemático tiene por objetivo poner al

alcance de los estudiantes del Ciclo Pre Universitario de la Universidad

Privada de Tacna, los temas que serán desarrollados, teniendo en cuenta

el marco teórico con ejemplos prácticos, problemas explicados y

ejercicios propuestos.

El curso de Razonamiento Matemático permite medir la habilidad y el

razonamiento crítico que posee el alumno para desarrollarse dentro de un

campo del conocimiento humano.

Los Temas que se proponen para este Ciclo Pre Universitario son:

Problemas sobre Edades, Porcentajes, Operadores Matemáticos,

Razonamiento Inductivo – Deductivo, Regla de Tres, Criptoaritmética,

Series y Sumatorias, y Probabilidades.

2

PROBLEMAS SOBRE EDADES

Los problemas sobre edades es un caso particular de planteo de ecuaciones, en donde intervienen: personas; edades: condiciones y tiempos.

La importancia del tema “Problemas sobre Edades”, contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones.En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: personas, tiempos y condiciones..

1. PERSONAS .- A las cuales corresponden las edades con las que se trabajan, aunque en lugar de edades, puede ser otro tipo de cantidades que las personas posean.

2. TIEMPOS .- Es una de las partes más importantes del problema, puesto que la acción se desarrolla ne tiempos diferentes, como:

Tiempo presente: “Tienes”, “tengo”, tenemos”, etc. Tiempo pasado: “Hace 14 años”, “hace n años”, “tenía”, “tuve”, etc. Tiempo futuro: “Dentro de m años”, “tendrás”, “tenga”, etc.

3. CONDICIONES .- Son relaciones dadas entre las cantidades o edades que intervienen y que se cumplen en un determinado tiempo, o entre tiempos diferentes.

Cada condición da lugar a una ecuación, las expresiones como: “dentro de 12 años”; “la suma de nuestras edades es 72 años”, “cuando tengas la edad que tengo”, son condiciones.

Con el propósito de ordenar y relacionar adecuadamente los datos, recomendamos utilizar un cuadro de doble entrada, en donde se colocarán los datos e incógnitas en el orden y lugar, según corresponda de acuerdo al enunciado.

( II )

T I E M P O S

PASADO PRESENTE PASADO

Persona A

Persona B

Persona C

Condiciones ( IV )

3

Edades o cantidades

( I )

TEMA 01 :

Una vez leído y entendido cada problema, extraemos de él los datos y la incógnita para ser colocados en el gráfico , en el orden sugerido I, II, II, IV.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. La quinta parte de la edad de Alicia es 8 años menos que la de Berta y el triple de la edad de Berta es 10 años más que la edad de Alicia. ¿Cuántos años tiene Berta?

SOLUCION:

A = B - 8 A = 5(B – 8) .... (1)

3B = 10 + A ... (2) Reemplazando (1) en (2) 3B = 10 + 5(B – 8) 3B = 10 + 5B – 40 30 = 2B 15 = B ..... Rpta

2. Pedro tiene 3 años menos que su hermano Beto y la edad del padre es el séxtuplo de la edad de su hijo Pedro. Si hace 6 años la suma de las edades de los tres era de 41 años. ¿Cuántos años tiene Pedro?

SOLUCION:

Del enunciado:

( x + 9) + (x – 6) + (6x – 24) = 41 8x = 80 x = 10 La edad actual de Pedro: x – 3 = 10 – 3 = 7 años ....Rpta.

3. Katy tiene 48 años, su edad es el doble de la edad que tenía Ana, cuando Katy tenía la edad que ahora tiene Ana. ¿Qué edad tiene Ana?SOLUCION:

Aplicando el método del aspa:

x + x = 24 + 48

4

2x = 72 x = 36 ..... Rpta.

4. El mayor de tres hermanos tiene 2 años más que el segundo y la edad del menor es la tercera parte del segundo. Dentro de 5 años la suma de las edades será 52 años. ¿Qué edad tiene el menor?

SOLUCION:

Del enunciado:

(x + 7) + (x + 5) +

2x +

x = 15 ....Rpta.

5. A le dice a B: “Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, entonces la suma de nuestras edades será 56 años”. Hallar la edad de A.

SOLUCION:

Por diferencia de edades:

* y – x = 3x – y y = 2x ..... (1) * 3x – y = 56– 6x y = 9x –56....(2) De (1) y (2): 2x = 9x – 56 x = 8 Piden: Edad de A = 3(8) = 24 ....Rpta.

6. Dentro de 5 años, tu edad será a mi edad como 5 es a 4 y hace 5 años esa relación era como 3 es a 2. ¿Cuántos años tengo?

SOLUCION:

5

Del enunciado:

k = 5 Luego, yo tengo: 3k + 5 = 3(5) + 5 = 20 ....Rpta.

7. Calcular la edad de Pepe. Sabiendo que si a “n” veces la edad que tendrá dentro de 5 años, se le resta “n” veces la edad que tuvo hace 5 años, se obtiene “n” veces su edad.

SOLUCION:

Sea la edad: “x”, por enunciado:

n(x + 5) – n(x – 5) = n(x)nx + 5n – nx + 5n = nx 10n = nx x = 10 .....Rpta.

8. Una persona nació en el año y en 1980 tuvo (a + b) años. ¿En qué año tendrá “ a2 + b2 ” años?.

SOLUCION:

1900 + + = 1980 10a + b + a + b = 80 11a + 2b = 80 Por tanteo: a = 6 ; b = 7

Nació en 1967 y tendrá: 62 +72 = 85 años en. 1967 + 85 = 2052 .....Rpta.

9. ¿Cuántos años tiene Iván sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 3 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 9 años?

SOLUCION:x : Edad de Iván

6

Año de Nac. + Edad actual = Año actual

x = 19 ......Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si sumamos la edad que tenía Sandra hace 8 años, la que tiene y la que tendrá dentro de 7 años obtendremos 38 años. ¿Qué edad tiene Sandra?

a)12 b)13 c)14 d)15 e)16

2. La suma del triple de la edad que tuve hace 9 años y el doble de la que tuve hace 5 años es igual a la que tendré dento de 15 años. ¿Qué edad tengo?

a)15 b)14 c) 13 d)12 e)17

3. Cuando tenga el triple de la edad que tendré dentro de 3 años, mi edad será el quíntuplo de la edad que tenía hace 3 años. ¿Cuál es mi edad actual?

a)10 b)11 c)12 d)9 e)14

4. Las edades de dos personas están en la relación de 3 a 5. Si uno es 20 años mayor. Si uno es 20 años mayor que el otro, determinar la relación en que estarán sus edades dentro de 5 años

a)5/7 b)11/5 c)7/5 d )7/11 e)3/11

5. Hace 4 años la edad de un padre era el triple de la de su hijo, pero dentro de 5 años, será solamente el doble. ¿Cuál es la suma de sus edades actuales?

a)36 b)40 c)44 d)38 e)52

6. Hace 12 años las edades de 2 hermanos estaban en la relación de 4 a 3·; actualmente sus edades suman 59 años. Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 8 es a 7?

a)10 b) 8 c)12 d)9 e)7

7. Tú tienes 19 años, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 68 años. ¿Qué edad tengo?

a) 29 b)33 c)24 d)36 e)27

8. Las edades actuales de dos hermanos se encuentran en la relación de 5 a 4, pero hace 7 años dicha relación era de 4 a 3. ¿Cuántos años suman sus edades actuales?

a)54 b)72 c)66 d) 63 e)45

9. Le preguntaron la edad a Mariela y ella responde: “Mi edad, más el doble de ella, más el triple de ella y así sucesivamente hasta tantas veces mi edad, suman en total 4200”. ¿Qué edad tenía Mariela hace 2 años?

a)18. b)20 c)22 d)24 e)26

7

10. La edad de un padre y sus dos hijos son: 34, 10 y 6 años. Hace cierto tiempo el producto de las edades de sus hijos era igual a la edad de su padre. Hallar la suma de las edades en este tiempo.a)24 b)34 c) 44 d)54 e)50

11. Una persona tuvo en 1995, tanto años como el producto de las 2 últimas cidras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tendrá en el año 2014?

a)35 b)39 c)42 d)45 .e)49.

12. Mariela le dice a Ana: La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. ¿Qué edad tiene Ana?

a)21 b) 24 c)26 d)18 e)48

12. Nuestras edades suman 47 años, sin embargo cuando tenías 15 años yo tenía la edad que tendrás dentro de 2 años. ¿Qué edad tienes?a)30 b) 20 c)10 d)15 e)18

14. Determinar la edad que cumplirá una persona en el año 2014, sabiendo que en 1996 su edad era igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento.

a)40 b)42 c)45 d)49 e)38

15. Las edades de los padres de Carlos son entre sí como 8 es a 7. Cuando su madre tenga la edad que tiene su padre éste tendrá el doble de la edad que tenía su madre hace 20 años. ¿Cuál es la suma de las edades de sus padres, si el padre de Carlos es mayor que su madre?

a)90 b)100 c)86 d)102 e) 120

16. La edad que tendré dentro de “2m” años es a lo que tenía hace “m” años como 8 es a 5. ¿Qué edad tendré dentro de “3m” años?. Si mi edad actual es 60 años:

a)105 b)75 c)120 d)100 e) 90

17. Fiorella le dice a Pamela: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes; pero cuando tu tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 81 años. Hallar la edad de Pamela.

a)21 b)23 c)25 d) 27 e)29

18. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años tu edad sumada a la mía es 18 años menos que la edad de él. ¿Qué edad tengo?

a)12 b)14 c)18 d)24 e) 16

19. Hace 5 años la edad de un padre fue 4 veces la de su hijo y dentro de 5 años será solamente el doble. ¿Qué edad tendrá el padre cuando su hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo?

a)29 b) 30 c)35 d)40 e)45

8

20. Tú tiene 24 años, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 60 años. ¿Hace cuántos años tenía yo los 2/3 partes de los años que tendré dentro de 22 años?

a)12 b)10 c) 8 d)6 e)14

21. Norma le dice a Paco: Tú tienes el triple de la edad que yo tenía cuando tú tenías la edad que tienes, la suma de nuestras edades será 84 años. ¿Cuántos años tiene Norma?

a)20 b)23 c) 24 d)17 e) a)20

22. Hace 4 años, la edad de un hijo se diferenciaba de la edad de su padre en el triple de su edad, y de la edad de su hermano menor en la mitad de su edad. Si dentro de 8 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor. Calcule la edad que tiene el hermano mayor.

a)24 b)22 c) 20 d)18 e)16

23. Carmen le pregunta a Susy sobre los años que tiene, entonces Susy le responde: “Tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tienes”. ¿Cuál es la edad actual de Susy, sabiendo ademñas, que dentro de 6 años sus edades sumaran 68 años?

a) 32 b)24 c)28 d)36 e)30

24. El cuádruplo de la edad que tenía hace 3 años, restado del triple de la edad que tendre dentro de 4 años resulta la edad que tengo. ¿Cuántos años tendré dentro de 14 años?

a)24 b)25 c) 26 d)27 e)30

25. La edad de un padre es de 42 años y la de sus hijos es 4; 8y 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será la suma de las edades de los hijos?

a)8 b)9 c) 10 d)12 e)7

26. Dentro de 10 años, la edad de un pafre será el doble de la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 2 años, la edad del padre era el triple de la de su hijo?

a)17 b)15 c)16 d)13 e) 14

27. Juan nació “x” años antes que Luis. Hace “n” años sus edades eran como 3 es a 2 y dentro de “2n” años serán como 5 a 4. ¿Cuál es la relación actual entre sus edades?

a)11/7 b)9/8 c)8/11 d) 11/8 e)9/7

28. La edad actual de Pedro es igual a la mitad de la edad actual de Luis. Hace 12 años la edad de Pedro era la cuarta parte de la edad de Luis. ¿Hace cuántos años la edad de Pedro era la tercera parte de la edad de Luis?

a)7 b) 9 c)6 d)8 e)12

9

PORCENTAJES

1.DEFINICION: Se llama porcentaje o tanto por ciento a una determinada cantidad

con relación a 100 unidades.

En general:

50% =

30% de 70 =

Los problemas fundamentales de tanto por ciento pueden reducirse a la siguiente

expresión.

Ejemplo:Hallar el 25% de 400

1.1RELACION PARTE – TODO

Para expresar que tanto por ciento representa una cantidad (Parte) respecto de

otra (Todo).

Ejemplo:

¿Qué tanto por ciento de 0,2 es 0,04?

10

A% =

P% x N = R

%=

TEMA 02:

Para los descuentos sucesivos del a% y del b%, pueden ser reemplazados por

un solo descuento que equivale a los dos anteriores, viene a ser el descuento

único equivalente (Du).

Para dos aumentos sucesivos del a% y del b% el aumento único (Au) que

representa a estos dos aumentos es:

Ejemplo: A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos del 10% y

20%?

Au =

Para más de dos descuentos sucesivos se aplica la siguiente fórmula:

Para más de dos aumentos sucesivos se aplica la siguiente fórmula:

Ejemplo:Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de :

n = 2

Au =

Au = + 56%

11

Du =

%100

abbaAu

Du =

Au =

Nota: El signo (+) nos indica el aumento por lo que los aumentos sucesivos del 30% y 20% equivalen a un aumento único del 56%.

APLICACIONES COMERCIALES

ELEMENTOS DE UNA VENTA:1.

PV : Precio de Venta PC : Precio de costo G : Ganancia

2.

P : Pérdida

3.

Pf : Precio fijadoD : Descuento

4.

PL : Precio de Lista

PROBLEMAS RESUELTOS1. El 60% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres ¿Qué tanto

por ciento del total representa el número de mujeres?

12

PV = PC + G

PV = PC - P

Pf = PV + D

PL = PC + D

Solución:

60% (Nº Hombres) = 40% (Nº de mujeres)

Total = 5

El número de mujeres representa el:

Total …Rpta.

2. Si el precio de un par de zapatos luego de habérsele hecho dos descuentos

sucesivos del 10% y 30% es de 63 soles. ¿Cuál fue el precio que tenía antes de

dicho descuento?

Solución:

Se halla el descuento total o descuento único.

Luego:

63 = P – 37%(P)

63 = 100%P – 37%(P)

63 = 63%P

63 =

P = 100 soles …..Rpta.

3. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costó $800, sabiendo que se haceuna

rebaja del 20% todavía se gana el 30%?

Solución:

Se deduce que al final de la transacción gañó 30%(800) = 240

13

Es decir vendió: 800 + 240 = 1040

x = 1040 + 20%(x)

80%(x) = 1040

x = 1300 …..Rpta.

4. Un vendedor vende dos autos a S/.6000 cada uno, ganando en el primero el 20% y

en el segundo pierde el 20% del precio de compra. ¿Gana o pierde y cuánto?

Solución:

1er. Auto gana:

S/.6000______120%

x _____ 100%

x = 5000 soles.

Entonces ganó 1000 soles.

2do. Auto pierde:

S/.6000______80%

x _____ 100%

x = 7 500 soles

Entonces pierde 1500 soles.

Conclusión: Pierde S/.500 …..Rpta.

5. Si la base de un triángulo aumenta en un 30% y su altura en 50%. En qué

porcentaje aumenta el área?

Solución:

14

Precio Fijado = P.venta + Ganancia

Nueva base B1 = 130%B

Nueva altura H1 = 150%H

Nueva A1 =

A1 =

A1 =

A1 = 195%

A1 = 195% A

La Nueva área se incrementará en:

195%A – A = 95% ….. Rpta.

6. Se vende un artefacto en $.600 ganando el 20%. ¿Cuál era el precio del costo?

Solución:

Pventa = Pcosto + Ganancia

600 = Pc + 20%Pc600 = 120%Pc

600 =

Pc = $.500 …. Rpta.

EJERCICIOS PROPUESTOS1. El 30% del 40% del 60% de la mitad de un número es equivalente al 180% del

50% de los 2/5 de 200. El número es:

a)1800 b) 2000 c)2400 d)1720 e)2100

2. Si el (x-1)% del 40% del 50% del 0,5% del quíntuplo de 4000 es 4. Hallar “x”

a )21 b)18 c)12 d)20 e)15

3. De qué número es 128 el 36% menos?

a)120 b)180 c)200 d)400 e)150

4. El 40% del 50% de “x” es el 30% de “y”. ¿Qué porcentaje de (2x+ 7y) es (x+y)?

a)25% b)12,5% c)20% d)10% e)22,5%

15

5. ¿Qué porcentaje de un número que tienen por 20% al 40% de 60 es el 72% de

otro número que tiene por 40% al 60% de 20?

a)20 b) 18% c)12% d)30% e)42%

6. Calcular el 30% del 20% del 60% de una cantidad cuyo 36% es equivalente al 50%

del 72% de 25000.

a)1500 b)450 c)900 d)1800 e)750

7. Si en un aula de 80 alumnos el 40% son mujeres ¿Cuántos son varones?

a)45 b)46 c)32 d)47 e)48

8. De un lote de 450 chompas, 180 son amarillas y las restantes son blancas. ¿Qué

porcentaje de las chompas son blancas?

a)50% b) 60% c)36% d)70% e)54%

9. El 30% de los alumnos de un colegio son mujeres. Si son 203 varones, ¿Cuántos

alumnos son en total?

a)280 b)300 c) 290 d)270 e)284

10. En una reunión, el 70% del número de mujeres es igual al 50% del número de

varones. ¿Qué porcentaje del total son mujeres?

a)36,2% b)28,1% c)41,6% d)39,2 e)40%

11. En cierto pueblo se ha estimado que de los 7200 niños que nacieron cierto año,

murieron por desnutrición 1900 niños antes de cumplir los 3 años; de los

sobrevivientes el 30% asistió a la escuela a partir de los 6 años, mientras que el

resto no lo pudo hacer sino hasta los 9 años. ¿Cuántos fueron estos últimos?

a)3720 b)3325 c)3580 d) 3710 e)3570

12. En un aula el 20% de las mujeres es igual al 30% de los hombres. ¿Qué porcentaje son hombres?

a) 20% b) 40% c) 50% d) 60% e) 70%13. José hace un trabajo en 12 días; Luis es un 50% más eficiente que José. El

número de días que Luis emplea para hacer el mismo trabajo es:

a)7 b) 8 c)5 d)6 e)4

14. En una reunión el 20% de los hombres y el 25% de las mujeres son peruanos: Si el

número de mujeres representa el 40% del total de personas. ¿Qué tanto por

ciento de las personas presentes en dicha reunión no son peruanos?

a) 78% b)88% c)22% d)68% e)12%

16

15. El descuento único equivalente a 2 descuentos sucesivos del 20% más el 30% es:

a)40% b)42% c) 44% d)36% e)30%

16. El aumento único equivalente a dos aumentos sucesivos del 15% más el 20% es:

a)38%. b)30% c)42% d)36% e)44%

17. Al comprar un mueble que cuesta S/.1500 soles se hacen dos descuentos sucesivos del 10% más el 20%. Si con el monto del descuento pagamos 170 soles para transportar el mueble ¿Cuánto queda?

a)S/.180 b) S/.250 c)S/.240 d)S/.200 e)S/.270

18. El sueldo de 800 soles mensuales que tiene Ronald sufre dos aumentos sucesivos del 16% y 25%. ¿A cuánto ascendió su sueldo?

a)S/1200 b)S/1240 c)S/1300 d)S/ 1160 e)S/1120

19. Se vendió un artículo en 600 soles ganando el 20% del costo. ¿Cuánto se ganó?

a)S/80 b)S/110 c) S/.120 d) S/100 e)S/90

20. El precio de un televisor sube en 30%, luego en 10% sobre el nuevo precio. Si por el televisor se pagó 2860 soles. ¿Cuál era el precio inicial?

a)1800 b)1600 c)1750 d) 2000 e)2100

21. Tres aumentos sucesivos del 40%, 30% y 50% equivalen a uno del:

a) 160% b) 156% c) 173% d) 137% e) 120%

22. En una reunión el 20% de los hombres y el 25% de las mujeres son peruanos: Si

el número de mujeres representa el 40% del total de personas. ¿Qué tanto por

ciento de las personas presentes en dicha reunión no son peruanos?

a) 78% b)88% c)22% d)68% e)12%

23.Del total de conferencistas, el 60% son mujeres: De ellas el 30% disertan por

primera vez; mientras que de los varones, el 50% lo hace por primera vez. El

porcentaje de los conferencistas que disertan por primera vez es:

a)28% b) 38% c)16% d)15% e)42%

24. En un salón de clases el 70% son hombres. Si faltan el 25% de las mujeres y sólo

asisten 18 mujeres. ¿Cuál es el total de alumnos del salón?

a)90 b)75 c) 80 d)150 e)120

17

25. Se vende un artículo en 680 soles perdiendo el 15% del costo. ¿A cómo se debe

vender para ganar el 9%?

a)724 b)936 c)827 d) 872 e)836

26. En una fiesta se observó que el 60% de los hombres estaban bailando y el 20% de

las mujeres no bailaban; si en total habían 350 personas. ¿Cuántas personas

estaban bailando?

a)120 b)150 c)200 d) 240 e)180

27..Una tela al lavarse se encoje el 10% en el ancho y el 20% en el largo. Si se sabe

que la tela tiene 2 metros de ancho. ¿Qué longitud debe comprarse si se

necesitan 36 metros cuadrados de tela después de lavada?

a)28 b)34 c) 25 d)50 e)75

28.En una compañía salen de paseo el 30% de los hombres con el 20% de las

mujeres, si los hombres representan el 40% del total de trabajadores de la

empresa. ¿Qué porcentaje de empleados de dicha empresa salió de paseo?

a)40% b)50% c)28% d) 24% e)30%

OPERADORES MATEMATICOS

.1 OPERACIONES MATEMATICAS: Es aquel procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad

llamada resultado, bajo ciertas reglas y/o condiciones convenidas. Toda operación

matemática tiene un símbolo que la representa llamado OPERADOR

MATEMATICO.

2 OPERADOR MATEMÁTICO:

18

TEMA 03:

Son símbolos arbitrarios con los cuales se van a realizar operaciones matemáticas, sujetas

a una estructura o ley de formación.

Operación matemática Operador matemático

AdiciónSustracciónMultiplicación DivisiónRadicaciónValor absolutoSumatoria

+ - x÷

o Los símbolos que se indican son la base para crear nuevas operaciones de

diferentes reglas o leyes de operar.

Otros tipos de Operadores:

Operador asterisco = * Operador porcentaje = % Operador rectángulo = Operador beta =

Operador integral =

Existen dos formas de plantear la definición de operaciones matemáticas

arbitrarias y son:

MEDIANTE FORMULAS:A. Con definición explícita .- Son aquellas en las que solamente hay que

reconocer los elementos, reemplazar y operar.

Ejemplo:

1. Si m @ n = Calcule: S = (2 @ 1) + (2 @ 3)

Solución:

m @ n =

19

2 @ 1 = = 8

2 @ 3 = 3(3) + 1 = 14

Luego. S = 8 + 14 = 22 … Rpta.

2. Si = 7x + 3

= 7(5) + 3 = 38…Rpta.

B. Con definición Implícita .- Son aquellas en las que antes de reemplazar y

operar, hay que darle la forma de la definición a lo que nos piden para

poder reconocer los elementos a reemplazar. También se puede hacer

cambio de variable.

Ëjemplo:

1. Si Hallar 128 243

Solución:Dando la forma de la regla de definición

128 243 = = 5 …Rpta.

Donde: x = 4; y = 3

2. Si : = 4x + 8 Hallar

Solución:Dando la forma de la definición

= = 4(4) + 8 = 24 ….Rpta.

3. Si = x(x + 2) Determinar

Solución:

Si x – 2 = a ⟹ = a(a + 2)

20

x

5

m + 5 9

9 4+5

X -2 X - 1

a

Luego por artificio:

= (x – 1)(x -1 +2) =

Entonces:

= ( = ….Rpta.

MEDIANTE TABLAS DE DOBLE ENTRADA:

2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS:

Elemento Neutro o elemento identidad (e) .- Es un elemento único para la

operación dada, que no altera al elemento que se elija. Es decir, es un valor

único para toda la operación. Se debe cumplir que:

A e = A ó e A = A

Es decir, para cualquier elemento que uno elija, debe ser el mismo elemento

neutro.

Ejemplo: Hallar el elemento neutro de la operación “

sabiendo que:

a b = a + b – 3

Solución:

Aplicamos el principio de A e = A

A + e – 3 = A ⟹e = 3 ….Rpta

21

X - 1

X - 1

Se opera así:

® b

aR

Entonces: a b = R

Elemento inverso ( ).- Es un elemento particular para cada elemento. Se

debe cumplir que:

siendo“e” un elemento neutro.

Se deduce que requiere conocerse el elemento neutro para poder hallar el

elemento inverso.

Ejemplo: Hallar el elemento inverso del 4 de operación “ , sabiendo que:

a b = a + b – 5

Soluciòn:

Hallamos el elemento neutro, aplicamos el principio de A N = A

a + e – 5 = a ⟹ e = 5

Hallamos el elemento inverso al 4, para esto aplicamos:

a = e ⟹ 4 = 5Reemplazamos en la operación: 4 + – 5 = 5 ⟹ … Rpta.Ejemplo: Si a b = a + b + 2 Hallar P = (3 Siendo

elemento inverso de “a”

Solución:

Como: a b = a + b + 2

Se sabe: a e = a

a + e + 2 = a ⟹ e = -2

Se sabe: a = e

a +2 = -2

= -4 –a

⟹ = -4 –(2) = -6 = -4 – (3) = -7

22

Piden: P = (

P = (3 – 6 + 2) -7

P = (-1) (-7)

P = (-1) + (-7)+2 = P = -6…Rpta.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si :

Calcular S = 5 * 32

a)68 b)60 c)70 d)72 e) 71

2. Si = 2x + 3

a)19 b)11 c)7 d)23 e)31

3. Se define : 3√a

;

a)1 b)2 c) 5/2 d)3 e)18/5

4.Se define en N ▲(3

Halle el valor de: E = (128▲243)(2▲9)

a) b) c)5 d)7 e)6

5. Si x ♦ y = x – y + 2(y ♦ x) Hallar: 12 ♦ 3

a)2b) 3 c)4d)6e)9

6. Se define:

a =

Calcule: E =

a)-12 b)10 c)6 d)-4 e)-6

7. Si 3√a b

2 = a + b Calcular 3 4

a)7 b)21 c)29 d)31 e)43

8. Si

a)6 b) 7 c)8 d)9 e)10

9. Se define: a#b =

Calcular R = (9 # 9) (2 # 5)

a)8 b)2 c)11d)7 e)52

10. Si : = 2m + 5

23

3m - 1

x

= 4x - 3

Calcular

x, y

Halla

r

Calcular

Hallar el valor de:

E = +

a)20 b)23 c)22 d)24 e)25

11. Si = (a+1 ,a ,hallar “x”en:

a) b) c) d) e)

Hallar el valor de “x”, si:

a)1 b) 2 c)3 d)4 e)5

13. Se sabe que:

x

14. Si :

Hallar

a) b)6 c)3 d)5 e) +1

15. Siendo: a ® b = a3 + 2a Calcular:

H = 3®(4®(5®…….(19®20)))

a)32 b)36 c)34 d)33 e)35

16. Se define:

a)4 b)5 c)8 d)6 e)10

17. Dado: m * n = 2n2 – 3m

Calcular B =

a)3 b)5 c)7 d)6 e)12

18. Se define:

a)3 b) 5 c)7 d)10 e)13

19. Definimos © según la tabla:

a)5033 b)5023 c)5035 d)5003 e)5053

20. Se define el siguiente operador como:

2m ▼ 3n =

Hallar el valor de :

E =(12▼(12▼…(12▼(12▼(12▼9)))…)))

“n” paréntesis

a)12 b)6 c) 9 d)144 e)48

21. Según :

24

55

144

a

= 100

= x(x+2)

=

12. Si:

; X

Halla :

Calcular

Calcular :

325 © 353

Hallar:

Decir si es verdadero o falso :

La ecuación: x % 4 = 4 tiene solución única.

(2%3) % (3 % (4 % 1)) = 4

a)VV b)FF c)VF d)FV e)N.D

22. Definimos en R: m۞n =

Además: a-1 : elemento inverso de

a

Calcular S =

a) 1 b)2 c)4 d)8 e)5

23. Se define en R la operación:

a * b = a + b + 4/3

El inverso de 2 para dicha operación es de la forma a/b.

entonces a b es igual a:

a)-2 b)60 c)-66 d)-77 e)-42

24. Si P M = N MN =P

Calcular el valor de “x” en:

2x-1 y =a ; 2x+1 y = 3a

a) 2 b)4 c)3 d)1 e)Cero

25. Se define en R: a©b = a+ b – 6

Calcular M = (3-1 + 2-1 )

a)12 b)15 c)19 d)24 e)18

26. Si definimos el operador:

a * b =

entonces la suma de las raíces de la ecuación (4 * 2)*12 = x2 - x

a)-4 b)0 c)-1 d)4 e)1

27. Si :

Halle el mayor número que satisface la ecuación :

a)-1 b)0 c)1 d)3 e)2

28. Si :

Calcular:

a)0 b)2 c)1 d)Absurdo e)N.A

29. Si : ; m * n

Determinar el valor de “x” en:

(3 * x) * (2 * 0) = (3 * 3) * 0

25

= n – n + n – n + n - …

a) 2 b)3 c)5 d)7 e)9

y

a)1 b) 2 c)3 d)0 e)4

31. Se define: Además: 3 ⊡1 = 2 ; 7⊡4 = 81 9 ⊡ 5 = 1024

Calcule: M = ((2⊡5)+(8⊡9)-(5@6))@100

a)101 b)100 c)95 d)97 e)90

32. Se define:

Calcular 3 - 2

a) 16 b)14 c)12 d)10 e)20

33. Se define:

Calcular :

a)37 b)81 c)9 d)18 e)1/3

34. Se define:

RAZONAMIENTO INDUCTIVO – DEDUCTIVO

4.1 RAZONAMIENTO INDUCTIVO:Es el tipo de razonamiento que en base a experiencias sencillas nos permite hacer conclusiones generales. Es decir mediante el análisis de situaciones sencillas con las mismas características del problema original, llegamos a conclusiones con amplia posibilidad de ocurrencia.

Ejemplos:1. Cuál es el valor de:

M = (111…112 + 222…244)2. Dar como respuesta la suma de cifras del resultado.

100 cifras 100 cifras

Solución

26

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso General

Casos particulares

inducir

Caso 1

= Calcular M = (9#8#6)#(5#2#8)#3

30. En A = se define:TEMA O4 :

Analizando tres casos sencillos:

(12 + 24)2 = 362 = 1296 = 18 = 9(2)

(112+224)2 = 3362 =11289 ⟹ = 27 = 9(3)

(1112+2224)2 = 3336 = 11128896 ⟹ = 36 = 9(4)

En el problema: Suma de cifras = 9(100) = 900 …Rpta

2. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias?

27

3= 3(1) = 3 x (

9 = 3(3) = 3 x (

18 = 3(6) = 3 x (

De acuerdo a lo observado en los 3 casos particulares, podemos concluir que:

Solución:

Vamos a proceder a contar, aplicando el método inductivo.

Total de puntos de contacto

d3. Determinar el resultado de:

5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5Resolución:Observar: 1 “cinco” : 5 = 5 2 “cincos” : 5 – 5 = 0 3 “cincos” : 5 – 5 + 5 = 5 4 “cincos” : 5 – 5 + 5 – 5 = 0Conclusión; Cuando es un número par de “cincos” el resultado es cero (0) y cuando es un número impar “cincos” el resultado es cinco (5).Luego:

Rpta.

15 cincos4. Indicar la suma de las cifras del resultado al efectuar la expresión siguiente

Resolución :

CASOS PARTICULARES SUMAS DE CIFRAS

Luego nos piden efectuar : 9 x 100 = 900 Rpta. “ E “

4.2 RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Es aquel tipo de razonamiento que va de lo general a lo particular, se parte de un conocimiento general cuya verdad ya ha sido demostrada y se aplica a un caso particular.

28

Total de puntos de contacto

= 3 Rpta.

a)8000 b)100 c)600 d)9000 e)900

9 = 9 x 1

18 = 9 x 2

27 = 9 x 3

EJEMPLO:

1. Calcular “A” A = 100002 - 99992

Solución :Recordando:

P = 100002 – 99992 =

P = 19 999 …Rpta

2. Calcular “x”

Solución:

X + 1 = 3 X = 2 …Rpta

3. Calcular: sabiendo que:

(a + b + c) =

Resolución:

(a + b + c).9 =

(a + b + c)2 = 9 = 32

29

Caso 2

Caso 1

Caso 3

CasoGeneral

Casosparticulares

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Sumamos:

+

a + b + c = 3

HABILIDAD OPERATIVA: Es la capacidad para desarrollar estrategias de cálculo mental, y es un ejercicio que estimula la concentración, agilidad mental y una lectura rápida de los signos y símbolos que intervienen en una operación matemática. Aplicaremos métodos que nos permitan ahorrar tiempo en los cálculos u operaciones tediosas. Otro punto que debemos tener en cuenta, es que aprenderemos las diferentes formas de cómo afrontar un ejercicio que aparentemente tiene una solución operativa, pero con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más práctica y rápida.

CIFRAS TERMINALES:Siendo “N” un número natural, se cumple:

1. (…1)N = …15129 = …1

6. (…25)N = …25

2. (…5)N = …5 1357 = …5

7. (…76)N = …76 2765 = …76

3. (…6)N= …6 4635 = …6

8. (…5)2N = …25 358 = …25

4. 5 x Impar =…55 x 3011 =... 5

9. 5 x par = …0 5x2016= …0

5. (…125)par =…625 10. (…125)impar=…125

EJERCICIOS PROPUESTOS1 Hallar el total de palitos de fósforos

en:

a)2500 b)500 c)2550 d)2499 e)999

2 En el gráfico, ¿cuántos triángulos equiláteros simples se formarán, en

total, al unir los centros de tres circunferencias vecinas inmediatas?

a)20 b)21 c)400 d)441 e)360

30

Rpta.

3 Hallar el valor de:

a)4 b)3 c)2 d)1 e)0

4 Calcule la suma de cifras del resultado de:

a)1 b)10 c)100 d)90 e)900

5 Si: A =

Calcule la diferencia entre la suma

de cifras del resultado de A y la suma de cifras del resultado de B.

a)279 b)549 c)270 d)828 e)720

6 ¿Cuántos cerillos conforman la torre mostrada?

a)21 b)20 c)210d)200 e)420

7 Hallar el valor de “x + y + z” en:

a)181 b)188 c)156

d)182 e)N.A.

8 Calcular la suma de cifras del resultado de:

a)450 b)630 c)350 d)700 e)2500

9. Calcular la suma de cifras de ;

a)33 b)20 c)50 d)45 e)16

10. Calcular la suma de la fila 50:

Fila 1 : 1 Fila 2 : 3 + 5 Fila 3 : 7 + 9 +11

a)125000 b)12500 c)25000

d)75000 e)250000 11. Calcular el valor de “E”

12. Calcular la suma de cifras de A

a)606 b)600 c)630 d)500 e)N.A

13. Hallar “E” :

a)1 b)2000 c)1/999 d)1/2000 e)2

14. ¿Cuántos palitos de fósforo conforman la siguiente torre?

a)2450 b)1350 c)1225 d)4500 e)1325

31

15. ¿De cuántas formas diferentes se puede leer FORTUNATA

a)512 b)64 c)256

d)128 e)250

16.Calcular el valor de la fila 2010

Fila 1

Fila 2

Fila 3

a)1 b)2001 c)2008 d)2007 e)2010

17. Calcular las últimas cifras de:

E= (1997- 1197 – 9711)1998

a)76 b)65 c)25 d)12 e)15

18.¿En qué cifra termina el resultado de:

20012003 + 20052004+ 20062

a)7 b) 2 c)6 d)0 e)3

19. Halle la cifra terminal del desarrollo de A:

A=

a)3 b)2 c)1 d)9 e)6

20. En el arreglo mostrado ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra NUMERO?

a)32 b)48 c)63 d)64 e)127

21. En qué cifra termina A:

A = (990)222+(111)333+(222)333+(444)222*(555)444

a)6 b)5 c)4 d)3 e)1

22.En el arreglo mostrado ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra INGENIO?

a)128 b)64 c)49

d)42 e)28

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP):

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si varían en proporción

directa. Es decir, si al multiplicar el valor de uno de ellos por un número, entonces el

valor correspondiente de la otra magnitud también queda multiplicada por el mismo

número.

Luego; las magnitudes directamente proporcionales:

Si aumenta una de ellas; aumenta la otra.

32

Si disminuye una de ellas; disminuye la otra.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP):

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de

ellas por un número la otra resulta dividida y al dividir una de ellas la otra resulta

multiplicad por el mismo número.

Luego, las magnitudes inversamente proporcionales:

Si aumenta una de ellas, disminuye la otra.

Si disminuye una de ellas, aumenta la otra.

RECUERDA: 1. Una magnitud puede ser directa o inversamente proporcional a otras magnitudes. Así:

- El precio de una pieza de tela es directamente proporcional a su calidad, longitud y ancho.

- El área de un rectángulo es directamente proporcional a su base y altura.-La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente

proporcional al tiempo.2. Las magnitudes directamente proporcionales van de más a más, o de menos a

menos.3. Las magnitudes inversamente proporcionales van de más a menos o menos a más

REGLA DE TRESREGLA DE TRES.- Es un procedimiento aritmético que permite el cálculo del valor de

una cantidad, mediante una comparación de dos o más magnitudes que guardan

entre sí, una relación de proporcionalidad.

1. REGLA DE TRES SIMPLE :

En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos y una

desconocida o incógnita.

Regla de tres simple directa.- Sean M y N dos magnitudes directamente proporcionales, con sus respectivos valores.

33

Regla de tres simple inversa.- Sean M y N dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus respectivos valores.

Nota:Obreros (DP) obraObreros (IP) horas/diaríash/d (DP) obrah/d (IP) díasobreros (IP) días

2. REGLA DE TRES COMPUESTA:

Es aquella en la que intervienen tres o más magnitudes, en las cuales solo una es

desconocida.

* Para resolver problemas, aplicamos el método de: “Ley de signos”

Comparamos cada una de las magnitudes con aquella que contiene la

incógnita. Con el fin de saber si son directamente o inversamente

proporcionales.

El valor de la incógnita es igual al producto de las cantidades que lleva el signo( +)

dividido entre el producto de las cantidades que lleva el signo(-)

34

ac.b

xx_____________c

b_____________a

soles)DP(KgN)DP(M:Magnitudes

X=

pn.mx

x_____________p

n_____________m

tiempo)IP(VelocidadN)DP(M:Magnitudes

X =

Si son inversamente proporcionales

Arriba ( + )

Abajo ( - )

METODO DE LAS RAYAS-. Se tiene en cuenta:

Acción Circunstancia Efecto

Hombres Características, Trabajo realizado, Rapidez, h/d con su respectiva

Raciones/día dificultad.

Efecto

a b c d

e f x g

EJERCICIOS RESUELTOS1. Una cuadrilla de 42 obreros cavan 140m de zanja en cierto tiempo. ¿Cuántos

metros de zanja harán 60 en el mismo tiempo?

SOLUCION:

(D.P)

Obreros Zanja

42 140m60 X

x = .......Rpta.

35

2. Si 25 carpinteros se comprometieron en hacer un tablado en 35 días. ¿Cuántos

carpinteros de la misma capacidad deberán ser contratados si se quiere terminar el

tablado en 7 días?

SOLUCION:

(I. P)

Carpinteros días

25 35 ( 25 + x ) 7

(25 + x) = .... Rpta.

3. Luis es el triple de rápido de José. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 9 días.

¿Cuánto tiempo le tomará a Luis hacerlo sólo?

SOLUCION:

(I. P)

Velocidad N° días

Luis: v

José 3v x

Juntos 4v 9

x = .......Rpta.

4. A una fiesta asistieron 1022 personas se sabe que por cada 6 hombres, habían 8

mujeres. ¿Cuántos hombres asistieron a la fiesta?

SOLUCION:

(D. P)

Personas Hombres

14 _____ 6

1022 _____ x

x = ....Rpta.

5. Una persona ha recorrido 280km, en ocho días caminando 7 horas diarias.

¿Cuántos días tardará en recorrer 540km. andando 9 horas diarias?

36

SOLUCION:

( D ) ( I )

280km. _____ 8días ____ 7hrs.

540km _____ x ____ 9hrs.

x = …. Rpta.

6. Si 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días, trabajando 8

horas diarias. ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días

trabajando 5 horas diarias?

SOLUCION:

(D) (I) (I)

Obreros Obra Días h/d

20 120 18 8

x 80 24 5

x = .... Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Si 18 obreros cavan 240 metros de una zanja ¿Cuál será el avance diario, cuando

se ausentan 9 obreros?

a)100m b)130m c)120m d)150me)110m

2. 24 obreros pueden llenar un techo en 15 hora, ¿Qué tiempo tardarían 30 obreros, en llenar el mismo techo?

a)12 b)14 c)10 d)8 e)13

3. 40 obreros en 50 días, trabajando 8 horas diarias pueden construir 600 m de una carretera. ¿Cuántos días tardarán en construir 800m de carretera, con 50 obreros, 100% más eficientes, que los anteriores, en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por día?

a)45 b)50 c)56 d)64 e)60

37

4. 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les une un cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días terminan la obra. ¿Cuántos obreros hay en el segundo grupo?

a)14 b)12 c)15 d)10 e)9

5. 36 obreros debieron terminar de construir un puente el 17 de noviembre, pero faltando 18 días, 12 de los obreros sufrieron un accidente y no puedieron continuar trabajando. ¿En qué fecha entregaron la obra, los obreros restantes?

a)24 de noviembre b)23 de noviembre c)22 de noviembre d)25 de noviembre e)26 de noviembre

7. Al cabo de 27 días de trabajo,35 obreros que trabajaron 8 horas diarias; se

percataron que falta terminar de la obra, los 4/7 de lo que ya está hecho y les falta

solamente 12 días para entregar la obra. Vista la situación, contrataron de

inmediato más obreros y trabajaron 1 hora más por día. ¿Cuántos obreros se

contrataron?

a)6 b)4 c)7 d)5 e)8

8. Se contrataron 5 artesanos que tejen 12 chompas en 15 días. Se pretende tejer 60

chompas en 25 días. ¿Cuántos artesanos doblemente rápidos se deben contratar

además de los ya contratados?

a)10 b)11 c)12 d)9 e)15

9. Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 69 tripulantes, diga cuánto puede durar

un viaje de 33 tripulantes.

a) 25 b) 30 c) 42 d) 46 e) 21

10. Un obrero pensó realizar una obra en 15 días pero tardó 6 días más por trabajar 2 horas menos cada día. ¿cuántas horas trabajó diariamente?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11

11. Un caballo atado con una soga de 3 metros de largo demora 5 días en comer el pasto que está a su alcance. Si la soga fuera de 6 metros, ¿en cuántos días comería todo el pasto a su alcance?

a) 20 b) 30 c) 25 d) 10 e) 9

12. En una isla hay 15 náufragos que tienen alimentos para 17 días y luego de 5 días mueren 3. ¿Para cuántos días más de lo previsto tendrán alimentos?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

13. Un grupo de 8 alumnos resolvió una tarea de 15 problemas en 30 minutos. ¿Cuánto demorará otro grupo de 12 alumnos en resolver 18 problemas?.

a) 48 b) 60 c) 70 d) 65 e) 24

38

14. Un ingeniero puede construir 6 km de pista con 40 obreros en 50 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardaría este ingeniero en construir 8 km de pista, con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores, en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por día?

a) 56 b) 67 c) 73 d) 64 e) 23

15. 40 hombres realizan los 3/5 de una obra en 15 días. ¿En cuántos días Harán toda la obra 10 obreros?

a) 80 b) 68 c) 90 d) 69 e) 100

16. 8. Seis monos comen seis plátanos en 6 minutos. ¿Cuántos plátanos comerán 40 monos en 18 minutos?

a) 120 b) 100 c) 110 d) 90 e) 140

17. 12 obreros trabajando a razón de 8 h. diarias realizan los 2/5 de una obra en 15 días; 8 obreros trabajando a razón de 6 h. diarias ¿En cuántos días terminarán la obra?

a) 35 b) 40 c) 45 d) 50 e) 60

18. Se contrataron 5 artesanos que tejen 12 chompas en 15 días. ¿Cuántos artesanos doblemente rápidos se deben contratar además de los ya contratados?

a) 4 b) 8 c) 10 d) 5 e) 20

19. Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terreno cuadrado de 400 m. de lado, ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento será necesario para que en 6 días de 8 h/d puedan arar otro terreno de 480 m. por lado?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

20. 60 obreros pueden cavar una zanja de 800 metros en 50 días. ¿Cuántos días necesitaran 100 obreros para cavar una zanja de 1200 metros cuya dureza es 3 veces la del terreno anterior?

a)48 b)160 c)145 d)130 e) 135

21. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. ¿En cuántos días 10 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores harán una obra 9 veces más difícil que la primera?

a)30 b)32 c)28 d)36 e)40

22. 40 kg. de miel contiene 24 kg. de azúcar ¿ Cuántos kg. de H2O hay que agregar a esta miel para que 5 kg. de mezcla contengan 2 kg. de azúcar?

a)20. b) 30 c) 25 d) 15 e) 10

23. Diez peones se demoran 15 días trabajando 7 horas diarias para sembrar 50 m2 de un terreno. ¿Cuántos días de 8 horas diarias se demorarán en sembrar 80m2 de un terreno 15 peones doblemente hábiles?

39

a)15 b)14 c) 7 d)10 e)8

24. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. ¿En cuántos días 10 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores harán una obra 9 veces más difícil que la primera?

a)30 b)32 c)28 d)36 e)40

25. En un cuartel se calculó que los alimentos alcanzaban para 65 días, pero al

término de 20 días se retiraron 200 soldados por lo que los alimentos duraron para

15 días más de lo calculado. ¿Cuántos eran los soldados inicialmente?

a) 400 b) 600 c) 800 d) 550 e) 480

26. 8 obreros cavan 3 fosas en 10 horas, si ahora fuesen el triple de hombres y

trabajaran cavando 90 fosas. ¿Cuántas horas tardarían?

a) 40 b) 100 c) 120 d) 90 e) N.A.

27. Una compañía constructora emplea 20 obreros que tardan en construir una pared

de 400m³ en 2 días. ¿Cuánto tardarán en construir la quinta parte de la pared con

8 obreros?

a) 1 día b) 1 ½ día c) ½ día d) 20 horas e) N.A.

CRIPTOARITMETICA

1.1 CRIPTO ARITMETICA: Es el proceso de encontrar las cifras que están representadas por letras o por otros símbolos; los cuales intervienen en la formación de números, en las operaciones aritmética y otros. Teniendo en cuenta las propiedades de las mismas, más una adecuada dosis de ingenio y razonamiento.

1.2 CARACTERISTICAS: A cierta letra le corresponde una y solamente una cifra o viceversa. A letras iguales le corresponden cifras iguales. Si las cantidades vienen expresadas por otros símbolos que no son letras,

cada símbolo no equivale necesariamente a cifras diferentes a no ser que se indique en el problema.

Observación: La letra “O” no representa necesariamente el cero; a no ser que sea dado en el problema.

1.3 CASOS PRINCIPALES

40

TEMA 06 :

A. Criptoaritmética con adición

Ejemplo Una chica al recibir un beso de su enamorado, suspirando le dijo:M A S +M A S A S IHallar: A2 + S2 + I2 , si ASI, es lo máximo posible

Solución

M A S + M A S A S I

Como ASÍ es máximo, se toma los segundos valoresPor lo tanto: M A S + 2 4 9 +M A S2 4 9 A S I 4 9 8 donde A = 4; S = 9; I = 8Hallar: A2 + S2 + I2 = 42 + 92 + 82 = 161 Rpta.

B. Criptoaritmética con sustracción

Ejemplo

Hallar “ d + e + c “ si:

SoluciónEscribiendo verticalmente tenemos:

Luego: 10 + c – d = 5 ⟹ c = 3

41

Sea N = ; a

Si

Como: c – e = 1 ⟹ e = 2 Entonces: d + e + c = 8 + 2 + 3 = 13 Rpta.

C. Criptoaritmética con multiplicación

EjemploSi : E x Calcular:

T x

Solución

El producto: se puede escribir como:

x

29936+37420

Por lo tanto: = = 404136 Rpta.

EjemploEn la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras del producto

* * * x * 3

* 4 *

Solución

A cada fila de la multiplicación la designo con una letra

* * * x * 3 ⟹B⟹ C

* 4 * ⟹ D⟹ E

Se observa que la primera cifra del resultado E es 5. Como se sabe dicha cifra ha bajado directamente del primer producto C, esto indica que la primera cifra de C vale 5. ¿De dónde sale este 5?, es el resultado de multiplicar la cifra 3 de B por la primera cifra de A es decir: 3 x (*) = ….5 y se deduce que * = 5

* * 5 x * 3

* 4 *

42

Completando cifras tenemos:235 x 2 3 5 x* 3 4 3⟹

* 4 * 9 4 0

Entonces la suma de cifras del producto: 1 + 0 + 1 + 0 + 5 = 7 Rpta.

D. Criptoaritmética con división

Ejemplo

Hallar la suma de cifras del divisor en:

******* **** **8***

** **

*** *** *

SoluciónSi observamos minuciosamente la distribución de los asteriscos encontraremos que la segunda cifra del cociente es cero, además que:

* x ** = ***

8 x ** = **

Entonces el divisor es igual a 12, y = 3 Rpta.

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Hallar:

Si: a + b + c = 14

a) 2834 b) 1664 c) 1774 d) 1554 e) 3108

2. Reconstruir la siguiente suma:

Y dar el valor de:

a) 1442 b) 1331 c) 1552

d) 1221 e) 1431

3. Si: Hallar P + A + Z

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

4. Calcular M . N. P si se cumple que:

a) 30 b) 42 c) 48

d) 36 e) 35

5. Hallar:

43

Llegamos a la misma situación que el problema anterior.

Sabiendo que: a + b + c = 14

a) 1554 b) 1664 c) 1665

d) 1778 e) 3108

6. Si: (P + U + C)2 = 289

Calcular:

a) 867 b) 289 c) 1887

d) 1778 e) 1878

7. Calcular la suma de todos los asteriscos

a)34 b)37 c)38 d)36 e)35

9. Si

Hallar: U + P + T

a) 11 b)7 c)5 d)13 e)9

10. Si:

Hallar la suma de las cifras de 2

a)27 b)24 c)23 d)22 e) 21

11. Si: ABCD x 999999 =.....6876Calcular: AB + CD

a)50 b)55 c)37 d)99 e)72

12. Si se cumple:

Hallar: «D + C + U»

A)9 B)8 C)16 D)17 E)713. Si:

Hallar: a + b + c + d

A)24 B)25 C)26 D)28 E)11

14. Hallar las 3 últimas cifras de la suma:

S = 7+77+777+7777+…+777…777 (40 sumandos)

a)601 b)801 c)106 d) 610 e)810

15. Si sabemos que:

Calcular: L + A + P + C

a)12 b)13 c)14

d)15 e)16

16. Si: Hallar: “a + b + d”

A)17 B)19 C)21

D)23 E)25

17. Si: Dar el valor de P

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

19. Si (a + b + c)2 = 289

Calcular:

A)2120 B)2010 C)2220

D)2110 E)242018. Si:

Hallar:

A) 24008 B) 25648 C) 234558D) 222344E) 23068

44

19. Si + + =

Hallar U+P+T

a)17 b)16 c)18 d)19 e)20

20.Si Calcular la

suma de las 4 últimas cifras del

resultado de:

a)20 b) 18 c)13 d)15 e)11

21. Hallar la suma de cifras del resultado de efectuar:

E =

a)96 b)48 c)64 d)32 e)84

22. En la siguiente suma:

Calcular

a)6050 b)5070 c)7050 d)7750 e)7500

23. Sea: .

Hallar: x2+y2+z2

a)44 b)31 c)14 d) 54 e)41

24.Sea: 19. 17

Hallar la suma de las

tres últimas cifras de: 18.

a)124 b)224 c)324 d) 424 e)Absurdo

25. Si se cumple que:

y

Hallar el valor de:

a)827 b)817 c)718 d)615 e)N.A

26. Si y

Hallar a +b +c +d

a)15 b)18 c)16 d)20 e)14

27. Si Calcular:

A + M + O + R

a)15 b)9 c)18 d)13 e)21

28. Si Halle R+O+S+A

a)15 b)16 c)17 d)18 e)20

29. Las cifras A, M y P son diferentes

Calcular A+M+P

MAMA

PAPA

17M7P

a)19 b)22 c)21 d)18 e)20

30. Si calcular

A+C+ 2B

a) 15 b)12 c)18 d)20 e)17

31. Si Calcular la

suma de las cifras de:

45

a) 28 b)25 c)27 d)30 e)32

32. Calcular la suma de los asteriscos del cociente

* * 3* 8 * * ** * ** * *- - 3

a)13 b) 15 c)18 d)17 e)14

33. Si Hallar el

producto de las cifras de

a) 324 b)234 c)318 d)423 e)364


Hallar (a+b)c

a)36 b) 63 c)54 d)60 e)65

35. Si , el mayor valor del producto a.b.c es:

a)745 b)512 c)729 d) 576 e)648

36. Si y a + c = 12 Calcular : 2a + c

a)65 b) 70 c)48 d)60 e)30

37. Si

Hallar el valor de

a)71362 b)68732 c)69362 d)72632 e) 70632

38. Si

Hallar: +

a)22 b)33 c) 66 d)77 e)99


Hallar el valor de :

a)7897 b)7987 c)8789 d)8589 e)9787

40. Hallar la suma de cifras del resultado de efectuar:

E =

a)96 b)48 c)64 d)32 e)84

41. En la siguiente suma:

Calcular

a) 6050 b)5070 c)7050 d)7750 e)7500

SERIES Y SUMATORIAS

1. SERIE NUMERICA: Una serie numérica es la suma indicada de los términos de una

sucesión numérica y al resultado de dicha suma se le llama valor de la serie.

Serie 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40

46

TEMA 07 :

1.1SERIES NUMERICAS IMPORTANTES:

1. SERIE ARITMETICA: La serie aritmética es la adición indicada de los términos

de una sucesión aritmética.

Dada la serie aritmética:

S = t1 + t2 + t3+ ….+ tn

+r +r

La suma se obtiene así:

Nota: Sabemos que en una P.A con un número

impar de términos.

Ejemplo:

(1) Hallar el valor de S =

Solución:Hallamos el último término (t60)

r = -4 tn = t1 + (n – 1) r S =

tn = 42 + (60-1)-4 S =

tn = -194 S = - 4560 Rpta.

2. SERIE GEOMETRICA: Es la adición indicada de los términos de una sucesión o

progresión geométrica, la serie geométrica puede ser infinita o finita según el

número de términos que posea.

S = t1 + t2 + t3 + …..tn

xq xq

Ejemplo: (2) Calcular el valor de: S = 12 – 4 + 4/3 – 4/9 + ….

Solución:

r = -4/12 = -1/3 S =

47

S =

tn = t1 + (n – 1) rt1 = primer términotn = último términon = Nro. de términosr = razón

Tn = t1.qn-1

S = Serie geométrica

Infinita

S =

S =

Serie geométrica Finita

S =

S = = 9Rpta.

3. SERIES Y SUMAS NOTABLES: Suma de los primeros números naturales

Suma de los primeros números impares

Suma de cuadrados

Suma de cubos

4. SERIE POLINOMIAL

Ejemplo: Hallar el valor de: S =

Solución: S = 4 + 14 + 30 + 52 + 80 + ….

10 16 22 28

6 6 6

S = 4

S = 4(15) + 10( )+ 6

S = 3140

48

1+ 2+ 3+ 4+ …+n =

SUMATORIAS

Sea la serie: S =t1 + t2 + t3 + …..tn

Si queremos representar la serie numérica en forma abreviada, usaremos la

siguiente notación, en la cual el operador sumatoria.

S =t1 + t2 + t3 + …..tn =

Se lee: sumatoria de los términos de la forma tk, desde k = 1 hasta k = n

Ejemplo: Expresar en términos de sumatoria S = 8 + 11 + 14 + 17 + ….+ 98

Solución :

Hallamos tn y el de términos:

5,8 ,11 , 14 ,17 , …., 98

+3 +3 +3 +3tn = 3n + 5 términos:

Luego: S =

Propiedades:

SUMATORIAS NOTABLES1

49

EJERCICIOS RESUELTOS1. Calcular “x + y” si: 1 + 3 + 5 + 7 + …+ x = 196

2 + 4 + 6 + 8 + …+ y = 420Solución Aplicando métodos prácticos:

= 196 = 420

= 196

x = 27 y = 40

Entonces: x + y = 27 + 40 = 67

2. Calcular R = 1 + 2 + 22 + 23 +22001

SoluciónEs una progresión geométrica finita t1 = 1; q = 2 ; n = 2002

S =

S = 1. = 22002– 1

3. Hallar el valor de : S =

Solución Para expresar la serie en términos de sumatoria debemos hallar tn

5; 9; 15; 23; … t n = n2 + n + 3Luego:

50

S =

S =

S = +

S = 3140

4. Calcular E =

Solución

Desarrollando la sumatoria E =

E = 19/4


1. Calcular E =

a)1 b)0,123 c)80 d)99 e) 100

2. Hallar S =

a)2 b)1 c) 1/3 d)1/4 e)0

3. CalcularS =

a)1/49 b) 7/36 c)1/2 d)1/3 e)13/37

51

restando

4. Calcular

a)4260 b)5440 c) 2680 d)4440 e)8990

5. Lula y Ana leen una novela de Vargas Llosa; Lula lee 10 páginas diarias y Ana lee 1 página el 1er día, 2 el 2do día, 3 el 3er día y así sucesivamente. ¿Después de cuántos días coincidirán si empiezan al mismo tiempo?

a)10 b)20 c) 19 d)21 e)42

6. Calcular “x” 1 + 2 + 3 + …+ x =

a)35 b)36 c)37 d)38 e)111

7. Si Sn = 1 + 2 + 3 + ….. + n Calcular: S1 + S2 + S3 + …..+S20

a)1240 b) 1610 c)2000 d)400 e)210

8. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente arreglo numérico

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

a)2530 b)100 c)1000 d) 3025 e)4238

9. Calcular E =

a)15/32 b)15/16 c)15/64 d)1 e)12/25

10. Calcular “x” x + (x +1) + (x + 2)+ …+3x = 1640

a)25 b)24 c)23 d)20 e)18

11. Calcular la suma total del siguiente arreglo:

2 3 + 3 4 + 4 + 4 5 + 5 + 5 + 5

20+20+20+…+20

a)2650 b)2460 c) 2660 d)2760 e)2860

12. Calcular la suma de los 25 términos de la siguiente sucesión:2; 6; 13; 23: 36; 52; ….

52

a)11700 b)11050 c)8250 d)4225 e)8150

13. Fiorella debe leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su cometido, pero si lee una página el primer día, tres el segundo día, cinco el terco y así sucesivamente, le faltarán aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro?

a)144 b)142 c)165 d)156 e)124

14. Calcular

a)8727 b)7912 c) 9512 d)9192 e)N.A

15. Hallar S =

a)14681 b) 26481 c)18362 d)28540 e)25682

16. Calcular

a)10 b)20 c)30 d) 40 e)80

17. Calcular el valor de la siguiente sumatoria

a)3840 b)4100 c) 3900 d)3910 e)3710

18. El valor de la sumatoria

a)1 b)2-1 c) 3-1 d)1/4 e)1/5

19. Calcule E =

a)10/9 b)19/4 c)4/5 d)17/6 e)24/19

20. Hallar el valor de : S =

a)23/20 b)20/19 c) 19/20 d)21/20 e)N.A

PROBABILIDADES

53

TEMA 08 :

El estudio de probabilidades nos proporciona una teoría matemática para que la

probabilidad de ocurrencia de un evento o suceso en un experimento aleatorio

(no determinístico) o que depende del azar.

8.1EXPERIMENTO

Es una actividad o proceso mediante el cual se obtiene un resultado.

A. Experimento DeterminísticoEs toda prueba o ensayo cuyos resultados pueden predecirse antes de su

realización.

Ejemplo: Al extraer una bola de una urna que tiene 5 bolas rojas, será

siempre roja.

B. Experimento No Determinístico o Aleatorio ( )

Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse antes de su

realización, pero si consta de un conjunto de posibles resultados.

Ejemplo: Al lanzar un dado legal, no se puede predecir cuál de los 6 números

aparecerá en la cara superior.

8.2 ESPACIO MUESTRAL ( )

Conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo:* En : lanzar una moneda al aire

= n( = 2

En : Lanzar un dado y observar el número que aparece en la

cara superior.

n( = 2 = n( = 6

EVENTO O SUCESO

Es cualquier subconjunto del espacio muestral, se denota con letras mayúsculas.

A : Obtener un número par al lanzar un dado

A = n(A) = 3

54

8.3TIPOS DE EVENTO

a). Evento seguro: Llamado también “universal”, porque siempre ocurre.

A: Lanzar una moneda y obtener cara o sello.

A = =

b) Evento Imposible: Llamado también “vacío”, porque nunca ocurre.

B : Al lanzar una moneda y obtener 2 caras.

B = =

Contrario (A’): Se considera cuando un evento ocurre y otro no, es decir “A’” es el evento contrario de A.

A : Lanzar un dado y obtener un número par.

Entonces:

A’ : Lanzar un dado y no obtener un número par.

d) Eventos Mutuamente excluyentes: Si la ocurrencia de uno de ellos, impide la ocurrencia de los demás (no pueden ocurrir juntos.

Ejemplo:

A : Lanzar un dado y obtener un número múltiplo de 2.

A =

B : Lanzar un dado y obtener 1ó 3

⟹ B =

e) Eventos Independientes:Cuando la ocurrencia de los demás. (Pueden ocurrir en forma conjunta).

Ejemplo:

A : Lanzar una moneda y obtener un número primo.

A =

B : Lanzar un dado y obtener cara

55

B =

8.4 DEFINICION DE PROBABILIDAD

Si “A” es un evento de un espacio muestral entonces la probabilidad de

ocurrencia de “A” se denota P(A) y está dada por:

PROPIEDADES

I.-

II.- Si P(A) = 0 ⟹ A =

A : Evento imposible

III.- Si P(A) = 0 ⟹ A =

A: Evento seguro

IV.- Aplicación del Evento contrario

V.- Para eventos mutuamente excluyentes (A B = )

VI.- Para eventos compatibles(A B) 0

56

P(A) =

0 P(A) 1

P(A)= 1 – P(A’)

P(A B) = P(A) + P(B)

P(A ) = P(A) + P(B) - P(A B)

VII.- Para eventos independientes ( A y B a la vez)

VII.- Probabilidad condicional

EJERCICIOS RESUELTOS1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par ó múltiplo de 3 al lanzar un

dado?

Solución

= n(Ω) = 6

A = n(A) = 3 P(A) =

B = n(B) = 2 P(B) =

(A ) = n(A )= 1 P(A ) =

⟹P(A ) = P(A) + P(B) - P(A B)

P(A = = …Rpta

2. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de una urna donde hay 3 bolas

rojas, 7 bolas azules, 4 bolas blancas y 2 bolas negras ; esta no sea roja?

Solución

A : Evento de extraer una bola que no sea roja.

A’ : Evento de extraer una bola roja⟹ P(A) = 1 – P(A’)

P(A) = 1 -

57

P(A ) = P(A) x P(B)

P(A ) =

P(A) = …Rpta

3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 ó un número primo al lanzar un dado?

Solución

= n(Ω) = 6

A : Obtener un 4

A = , n(A) = 1 ⟹ P(A)=

B :Obtener un número primo

B = , n = 3 ⟹P(B) =

Luego: P(A B) = P(A) + P(B)

P(A B) = = …Rpta

4. Se lanza un par de dados. S i la suma es 6. ¿Cuál es la probabilidad de que uno

de los dados sea 2?

Solución

B = n(B) = 5

A = n(A) = 2

A B = n(A B) = 2

P(A ) =

P(A ) = …Rpta

58

5. Diez parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen 2 personas al

zar. ¿Cuál es la probabilidad de que una sea hombre y la otra mujer?

Solución

* Casos totales :

* Casos a favor: 10 x 10 = 100 combinaciones

Probabilidad: … Rpta.

Se tiene 5 libros, 3 de álgebra y 2 de aritmética ordenados en un estante. ¿Cuál es

la probabilidad de que los libros de aritmética sean separados por los 3 libros de

álgebra?

Solución* A1 X1 X2 X3 A2

* Casos totales:

* Casos a favor: 2 x

Probabilidad: … Rpta.


1. Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 2 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea azul o roja.

a)2/11 b)10/11 c)5/11 d)4/11 e) 7/11

2. La probabilidad de que Angélica estudie RM es 0.75 y la probabilidad de que estudie RV es 0.50. Si la probabilidad de que estudie RM o RV es 0,85.¿Cuál es la probabilidad de que estudie ambos a la vez?

a)0,1 b)0,2 c)0,3 d) 0,4 e)0,53. En una urna se tienen 20 fichas numeradas del 1 al 20. Se extrae una ficha y se

sabe que su número es par. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea divisible por 3?

59

a)2/13 b)3/10 c)1/10 d)1/15 e)7/10

4. La probabilidad de Nataly compre una blusa es 0,3 y de que compre una falda es 0,5. Hallar la probabilidad de que compre sólo una de dichas prendas, si la probabilidad de que no compre ninguna es 0,5

a)0,1. b)0,2 c) 0,3 d)0,4 e)0,5

5. Determinar la probabilidad de que al extraer 2 cartas de una baraja, éstas sean corazones?

a)1/13 b)1/2 c)1/17. d)3/28 e)4/25

6. De una caja que contiene 5 focos defectuosos y 6 focos en buen estado se sacan dos focos a la vez. Hallar la probabilidad de que los dos sean buenos.

a)7/9 b)4/11 c)7/11 d)8/11 e) 3/11

7.Se lanzan dos dados al mismo tiempo. Hallar la probabilidad de que la suma de los resultados de los dos dados sea igual a 10 o igual a 7.

a)7/36 b)1/6 c)1/12 d)1/4 e)7/18

8. Le piden a “Pepe” que escriba un número de 3 cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escrito por “Pepe” este formado solo por cifras impares?

a)5/36 b)1/8 c)7/36 d)7/18 e)5/18

9. En un salón de clase se encuentran 10 niños y 4 niñas. Si se escogen tres estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean niños y la otra sea niña?

a) 45/91 b)36/53 c)46/73 d)49/81 e)34/55

10.Calcular la probabilidad de obtener a menos una cara en el lanzamiento de 3 monedas.

a)1/8 b)1/4 c)3/8 d)7/8 e)5/8

11.Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30 ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, resulte par o múltiplo de 5?

a)3/5. b)2/3 c)2/5 d)1/5 e)3/7

11. De una urna que contiene 3 bolas blancas, 4 verdes y 3 rojas, se extraen aleatoriamente 2 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las bolas sea de color rojo o sea de distinto color?

a)2/15 b)1/15 c)1/5 d)4/15 e)14/15.

12. Un examen tiene 10 preguntas y un alumno debe contestar 6 de ellas. Calcular la probabilidad de que responda las dos primeras.

a)1/2 b)1/3 c)1/6 d)1/1 e)1/5

60

13. Daniel tiene 15 amigos de los cuales invitará 6 de ellos a su cumpleaños. Calcule la probabilidad de que invite a Rosa y a Héctor a la fiesta, si ellos son 2 de los 15 amigos.

a)1/35 b)2/3 c)5/9 d)1/7 e)2/9

14. Se tienen dos urnas, una con 3 bolas azules y 4 blancas, y la otra con 5 bolas azules y 2 blancas. Calcule la probabilidad de extraer una bola azul.

a)1/2 b)5/3 c)1/7 d)2/9 e) 4/7

15. De un grupo de personas se observa que los varones 40 son peruanos y 60 extranjeros. De las mujeres se observa que 50son peruanas y 20 extranjeras.

a)3/17 b)9/17 c)11/19 d)7/17 e)17/19

16. Un dado se arroja dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a los menos un 4?

a)11/36. b)5/36 c)1/36 d)35/36 e)3/5

17. Tres varones y dos chicas van al cine y encuentran una fila de 5 asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse. Determinar cuál es la probabilidad de que las chicas no se sientan juntas?

a)2/5 b)3/5. c)5/8 d)7/9 e)4/5

18. En el fútbol español hay 30 equipos, de los cuales 16 no son solventes. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar por menos 3 equipos solventes, al escoger 4 equipos diferentes?

a)1/7 b)2/9 c)37/335 d)2/103 e)33/205.

19. Si se lanza 5 veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que las 5 caras que aparecen sean diferentes.

a)7/23 b)31/32 c)1/32 d)7/21 e)5/54

20. En una caja hay 10 focos de los cuales 4 están en buen estado, una persona toma al azar 3 focos. Hallar la probabilidad de que por lo menos uno este en buen estado.

a)2/3 b)1/12 c)5/6. d)1/6 e)1/5

21. Se va a seleccionar por lote un comité de 3 hombres, a partir de un grupo de 8 norteamericanos, 5 ingleses y 3 franceses.

¿Cuál es la probabilidad de que el comité este compuesto por 2 norteamericanos, 2 ingleses y 1 francés.

a)3/5 b)7/13 c)5/26. d)1/9 e)31/63

61

22.Una caja contiene 12 cartas rojas, 6 blancas y 8 negras, se saca urna sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea roja?

a)12/20 b)6/13 c)5/7 d)9/13 e)3/13

23. En una caja hay 10 bolas blancas y 6 negras. Se saca una al azar y no se repone. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras bolas extraídas sean negras?

a)3/8 b)1/3 c)1/8 d)17/24 e)1/24

24. En una urna hay 20 bolas blancas y 10 azules, se extraen 3 bolas al azar una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras sean blancas y la tercera azul?

a)41/623 b) 95/609 c)45/63 d)85/503 e)25/46

25. Se tiene 5 libros, 3 de álgebra y 2 de aritmética, ordenados en un estante, ¿Cuál es la probabilidad de que los libros de aritmética sean separados por los 3 libros de álgebra?

a)1/4 b)1/3 c)175 d)1/2 e)1/10.

26. En una oficina hay 60 empleados de los cuales 20 son solteros que no son universitarios y 40 son universitarios; además de los universitarios 15 están solteros. Si se selecciona un empleado al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea soltero?

a) 7/6 b)7/12 c)8/9 d)1/5 e) 8/27

27. De un total de 100 estudiantes, 30 estudian álgebra, 20 estudian física y 10 toman al mismo tiempo álgebra y física. Si se escoge al azar un estudiante, encontrar la probabilidad de que esté tomando álgebra o física.

a)1/5 b)2/5. c)3/5 d)6/5 e)1/3

28.. En una cierta ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos oscuros; el 15% tiene cabello castaño y ojos oscuros. Al seleccionar al azar una persona, si tiene cabello castaño, ¿cuál es la probabilidad que también tenga ojos oscuros?

a)2/3 b)1/4 c)3/8. d)1/8 e)5/8

29 Seis parejas de casados se encuentran en una habitación, si las 4 personas se escogen al azar, encontrar la probabilidad de que se escojan 2 parejas de casados.

a)1/2 b)1/3 c)1/17 d)1/33. e)2/5

30. Ha de escogerse al azar un comité de 4 personas entre 5 hombres y 6 mujeres. ¿¿Cuál es la probabilidad de que él comité esté conformado por más de 2 hombres?

62

a)1/2 b)2/33 c)11/6 d)13/66. e)5/66

31. En una bolsa se tiene 9 caramelos de limón y 3 de fresa. Si se extraen al azar 2 caramelos. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 caramelos de limón?

a)5/6 b)6/11. c)3/11 d)4/3 e)1/6

32. En una bolsa,, se han depositado 5 bolas rojas, 8 bolas blancas y 4 bolas negras; se extraen tres al azar. Determinar la probabilidad de obtener 2 bolas blancas y una negra.

a)14/85 b)11/85 c) 3/7 d)3/85 e)5/13

33. De siete médicos y 4 ingenieros se debe formar un comité de 6 miembros. ¿Cuál es la probabilidad que el comité incluya al menos 2 ingenieros.

a)1/2 b)53/66 c)17/52 d)1/3 e)23/62

34.9 amigos se sientan al azar en círculo ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos queden juntos?

a)1/2 b)1/3 c)1/4 d)1/8 e)1/5

35. Si se dispone de manzana, papaya, naranja, fresa, maracuyá, plátano y sandía, ¿cuál es la probabilidad de que al preparar un jugo al azar se utilice plátano o maracuyá?

a)31/127 b)96/127 c)32/127 d)1/4 e)2/7

36. En una fiesta donde asistieron 90 personas, resulta que 70 fuman, 50 beben y 15 no fuman ni beben; si de éstas personas se eligen una de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que beba y fume?

a)2/3 b)1/2. c)1/5 d)4/7 e)3/8

37. Una bolsa contiene canicas de colores : 5 blancas, 7 negras y 4 rojas. Calcule la probabilidad de que al extraer 3 canicas, las 3 sean blancas.

a)3/4 b)3/28 c)3/16 d)2/25 e)1/56

36. De una caja que contiene 3 bolas negras, 4 blancas y 2 amarillas, se extrae al azar una de ellas. Hallar la probabilidad de que la bola extraída no sea negra.

a)1/3 b)4/7 c)5/9 d)2/3 e)4/9

37. En una bolsa,, se han depositado 5 bolas rojas, 8 bolas blancas y 4 bolas negras; se extraen tres al azar. Determinar la probabilidad de obtener 2 bolas blancas y una negra.

a)14/85 b)11/85 c) 3/7 d)3/85 e)5/13

38. La probabilidad de que Jorge ingrese a la UPT es 0,7, que ingrese a la UNAS es 0,,4, si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0,12. Hallar la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez.

63

a)0,42 b)0,22 c)0,24 d)0,48 e)0,58

39. Se lanza un par de dados. Si la suma es 6. ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los dados se obtenga 2?

a)2/3 b) 2/5. c)1/5 d)4/7 e)3/8

40. En un ómnibus viajan 16 varones, 18 damas y 20 niños. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en bajar esa un niño?

a)5/9 b)10/27 c)5/3 d)2/5 e)N.A

BIBLIOGRAFÍA

1. RUBIÑOS TORRES, Luis. Razonamiento Matemático 2012. Editorial Moshera.

2. TORRES LOZANO, Alejandro. Razonamiento Matemático Integral

3. RUBIÑOS TORRES, Luis. Razonamiento Matemático. Tomo I, II, III, IV . Editorial Moshera.

4. SALVADOR TIMOTEO, Valentín. Razonamiento Matemático. Editorial San Marcos EIRL.

5. INSTITUTO DE CS. Y HUMANIDADES. Razonamiento Matemático. Propedéutico para las Ciencias. Lumbreras. Editorial SRL.

64

6. POVIS VEGA, Adolfo. Razonamiento Matemático. Editorial Moshera

65

razonamiento matemático

Documents

Transcript of razonamiento matemático