Rapport

Problemorienteret projektarbejde i matematikundervisningen

Faldskærmsudspring 10. januar 2005 Borupgaard Amtsgymnasium Merete Johansen Jens Chr. Hansen

Side 1 af 24

Indholdsfortegnelse

Rapport.................................................................................................1 Problemorienteret projektarbejde i matematikundervisningen .......................1 Faldskærmsudspring ...............................................................................1

Indholdsfortegnelse..............................................................................2 1. Projektets overordnede udviklingssigte................................................2 2. Intentionerne for elevernes udbytte af projektet ...................................2 3. Design af forløbet.............................................................................3 4. Beskrivelse af forløbet ......................................................................4 5. Pædagogiske observationer ...............................................................6 6. Udbytte i forhold til intentionerne .......................................................9 7. Lærernes erfaringer og forbedringsforslag .........................................10 8. Erfaringer med henblik på reformen..................................................10 9. Konklusion ....................................................................................11 Bilag 1: Faldskærmsudspring...............................................................12 Bilag 1a: Faldskærmsudspring (revideret udgave) ..................................17 Bilag 2: Den sociale kontrakt ...............................................................22 Bilag 3: Ordstyrer og referent..............................................................23 Bilag 4: Grafer ..................................................................................24

1. Projektets overordnede udviklingssigte Vi har valgt at deltage i udviklingen og gennemførelsen af et konkret problemformuleret projekt i matematikundervisningen, fordi vi er tilmeldt standardforsøget i matematik, hvor en del af undervisningen netop tænkes gennemført som projekter, og fordi vi gerne vil teste et forløb, der vil kunne bruges i matematikundervisningen eller i tværfaglig sammenhæng efter reformen. Det vi især har ønsket at lære er at indkredse et godt matematisk problem, der udfordrer eleverne til på egen hånd at sætte sig ind i noget nyt stof – gerne noget, der tvinger dem væk fra almindelig opgaveregning og traditionelle lærebøger.

2. Intentionerne for elevernes udbytte af projektet Ideen med projektet er at arbejde med en matematisk problemstilling der skal vise eleverne at matematik kan være både dynamisk og induktiv. Samtidigt skal eleverne trænes i opstilling, efterprøvning, justering og kritisk vurdering af en matematisk model, ligesom det er hensigten, at eleverne får udvidet deres grafkendskab og deres evne til at fortolke grafer samtidig med, at de får træning i brug af regneark. Sidst men ikke mindst skal eleverne have øget deres projektarbejdskompetence.

Side 2 af 24

3. Design af forløbet Vi har valgt at lade eleverne modellere et faldskærmsspring med udgangspunkt i en differensligning med flere ukendte parametre. Ideen er at lade eleverne afprøve en eller flere differensligninger i et regneark og tegne løsningskurverne, hvorefter de kan file på parametrene til modellen stemmer overens med det, de kan iagttage i virkeligheden. Helt konkret får de at vide, at de er ansat som faldskærmsinstruktører, og de skal rådgive en førstegangsudspringer, der forlader en flyvemaskine 1000 m over jorden, så hun kommer sikkert ned, og så hun ikke udløser faldskærmen for sent, skulle hun vise sig at være en vovehals. Problemet er godt, fordi det ikke har en færdig løsning, og fordi eleverne er nødt til at eksperimentere, udvikle, afgrænse og modellere undervejs i processen. Vi deltog med to 1g matematikerhold, hvis forløb vi organiserede lidt forskelligt, men med fælles træk. På begge hold var eleverne fordelt i grupper med hhv. 4 og 5 medlemmer. På det ene hold blev holdene sat sammen tilfældigt (efter fornavne), mens det andet holds elever blev sat sammen, så fagligt stærke elever fik lov at nyde hinandens selskab, og de svage elever tilsvarende blev anbragt sammen. Alle grupper fik udleveret samme materiale, nemlig en opgaveformulering, to videoer af faldskærmsudspring, en vejledning på små 3 sider med en verbal beskrivelse af et faldskærmsudspring, en ufuldstændig beskrivelse af de kræfter faldskærmsudspringeren udsættes for på vej ned, diverse formler og to differensligninger.1 De fik også nogle arbejdspapirer til brug for indlæring af projektarbejdsformen, en slags tillempet Kubus, som har været brugt på skolen i nogle år.2 Et par timer ind i forløbet fik de også adgang til nogle autentiske grafer for et faldskærmsudspring.3 Begge hold havde fået et introducerende tværfagligt 10 timers kursus i HOT (Højere Ordens Tænkning), hvor de havde stiftet bekendtskab med afhængige og uafhængige variable, variabelkontrol mm. I matematikundervisningen havde eleverne fået en hurtig indføring i funktionsbegrebet og graferne for lineære funktioner og andengradspolynomier. Det ene hold havde desuden gennemgået det frie fald i fysikundervisningen. Begge hold fik ca. 1 times introduktion til selve forløbet, hvor læreren gennemgik betingelserne for projektarbejdet og de papirer, der er knyttet til denne arbejdsform. Det blev her understreget, at læreren ikke havde løsningen (i bestemt form) til problemet. Faldskærmsprojektet blev afviklet over to uger med omlagt undervisning, hvor begge hold fik 12 lektioner à 50 min. i alt. På det ene hold blev de fordelt med 4, 6 og 2 lektioner og på det andet med 2, 4, 4 og 2 lektioner. Det sidste fungerede afgjort bedst. Fire timer matematik rækker for de fleste 1g-elever! Mens projektet kørte, var lærerne til stede. På det ene hold var der tilmed to lærere, fordi der var knyttet en lærer i uddannelsesstilling til undervisningen. På det ene hold

1 Se bilag 1 2 Se bilag 2-3 3 Se bilag 4. Alt materiale var tilgængeligt i Undervisningsrummet i Netstudier, skolens netbaserede undervisnings- og konferencesystem.

Side 3 af 24

cirkulerede læreren, mens den anden valgte at lade grupperne henvende sig, når de ønskede hjælp. Produktkravet var tredelt. Dels skulle der udarbejdes en skriftlig rapport, der viste hvilken matematisk model, der bedst beskriver et faldskærmsudspring, bilagt med grafer, tabeller og forklaringer, der gør rede for alle de skridt der har ført til den endelige model. Dels skulle der udfærdiges en social kontrakt, der skulle udstikke retningslinierne for samarbejdet i gruppen, og en gruppedagbog, der skulle bestå af mødereferater fra de befalede gruppemøder. Rapporten blev rettet og kommenteret af læreren og gennemgået i klassen, hver gruppe fik en samtale af ca. 20 minutters varighed med læreren, og der blev givet en samlet karakter for alle tre produkter efter 13-skalaen. Efterfølgende blev eleverne bedt om at besvare et spørgeskema.

4. Beskrivelse af forløbet Efter at læreren havde gennemgået projektarbejdsformen og de dermed forbundne papirer, kastede eleverne sig gruppevis ud i formuleringen af den sociale kontrakt. Det er vores indtryk, at de arbejdede seriøst. Mens det gik relativt nemt at formulere beslutningsprocedurer og adfærdsregler for gruppen, var det sværere at formulere nogle fornuftige sanktioner, hvis gruppearbejdet mod forventning skulle køre skævt. ”Hvad sker der hvis en person ikke er forberedt? Vi hører personens begrundelse på ikke at have lavet sit arbejde og beslutter eventuelle sanktioner mod personen. Dog bliver episoder noteret i H’s sorte bog!” Det gik faktisk i fisk i slutfasen i denne gruppe; men H’s sorte bog var ikke til megen hjælp, og selv en formulering som nedenstående ”Alle har ansvar for at lave deres ting overfor gruppen, andet accepteres ikke. Hvis dette alligevel sker tages det op på et gruppemøde, hvor eventuelle forklaringer og løsning bliver fremlagt. Men sker dette gentagende gange, og det hæmmer gruppens fremgang, gås der til læreren, og en udelukkelse af gruppen kan finde sted.” hjalp ikke, da gruppen ønskede at eliminere et medlem, dels fordi det ikke fremgik af referaterne, at der var et problem, dels fordi gruppen havde overset passusen ”gentagne gange”. Da den sociale kontrakt var afleveret gik grupperne over til at arbejde med selve faldskærmsudspringet. Det er vores klare indtryk, at de fandt problemet fascinerende - det er jo altid godt at beskæftige sig med noget, der smager lidt af død og ulykke - og de syntes bestemt også, at der var både tekniske og faglige udfordringer nok. Ingen grupper havde problemer med den overordnede problemstilling og selve springets forskellige faser; men på grund af usikkerhed i forhold til betydningen af de variabler der indgår i det udleverede oplæg - specielt formfaktoren og ’skyggearealet’ voldte forståelsesproblemer - kørte alle grupper fast og starthjælp fra læreren var nødvendig. Alle kom af sig selv i gang med at opmåle/vurdere/beregne ’skyggearealet’ for en faldskærmsudspringer – grupperne valgte typisk én elev fra gruppen som model for beregningen, men måtte revidere målene, da de fik set ordentligt efter på videoerne,

Side 4 af 24

fordi udspringerne tydeligvis bøjer benene bagud under det frie fald. Der udvistes en overdreven omhyggelighed ved opmålingen og beregningen af arealet. Fire betydende cifre! Til vores overraskelse var elevernes kendskab til regneark stort set ikke-eksisterende, til trods for at de selv mente noget andet. Vi vidste godt, at de ikke havde modtaget undervisning hos os; men vi troede, vi kunne trække på kundskaber fra Folkeskolen. Det kunne vi ikke, så begge hold fik et lynkursus i regning med formler og låste celler, og på et af holdene udleverede læreren en skabelon. Lærerne måtte præcisere, at en af intentionerne med projektforløbet var træning i brug af regneark, og at grupperne derfor selv skulle fremstille et regneark. Alligevel måtte stort set alle grupper hjælpes i gang med det første regneark. Størrelsen af tidstilvæksten ∆t drillede også; men ingen af grupperne har kommenteret dette fænomen korrekt i deres rapporter. De klarede selv at få tegnet grafer på baggrund af en efterudleveret regnearksmanual. betydningen Efter at have bakset noget med af Reynolds tal, lykkedes det efterhånden for alle grupper at fremstille et simpelt regneark, der kunne simulere frit fald med luftmodstand; men de opdagede at den beregnede terminalhastighed ikke lå indenfor det opgivne interval, hvorefter de gik i stå. ”Hvad er k? Er det det samme som A?” lød spørgsmålene. En diskussion af årsagen - med lærerstøtte, dog uden at give svaret direkte4 – førte frem til at faldskærmsudspringerens masse har afgørende betydning og at deres modstandskoefficient var en faktor 100 for stor. I denne fase blev der kigget meget på selve tabelværdierne i regnearket, og grupperne diskuterede, hvornår farten kunne siges at være konstant. Det generede dem voldsomt, at de skulle have mere end en sides beregninger i regnearket med, før terminalhastigheden blev nået. Udløsning af faldskærmen blev simuleret i regnearket ved at ændre på ’skyggearealet’, men typisk valgte grupperne et for kort tidsrum med det resultat at opbremsningen bliver så voldsom at udspringeren næppe overlever. Dette indså eleverne ved at se på grafen for hastigheden, og bemærkninger som: ”Hold kæft, tænk dig hvis du havde siddet i en bil, der bremsede så hurtigt. Det svarer til …”, eller: ”Jeg tror sgu, det er godt det er en pige”, sagt af en dreng i falset, kunne høres rundt om i grupperne. Da hastigheden, efter at faldskærmen er udløst, desuden blev for stor, førte det til gode diskussioner i grupperne om valget af tidsrum, tidstilvækst ∆t, skyggeareal og formfaktor. Ikke mindst samspillet mellem skyggearealets ændring og formfaktor blev undersøgt ved at ændre på parametrene og se på grafer i regnearket, fordi skyggearealet blev urealistisk stort, hvis formfaktoren forblev konstant. Opbremsningstidsrummet blev fastlagt ved at kigge på videoerne, hvorefter k-værdien, som indeholder både skyggeareal og formfaktor, i de fleste grupper blev ændret arbitrært i små trin. I et par grupper ændrede man formfaktoren lineært i opbremsningsintervallet. Ingen af grupperne stillede spørgsmålstegn ved de udleverede differensligninger, som de stort set opfattede og omtalte som formler på lige fod med f.eks. afstandsformlen; men nogle af grupperne nåede efterhånden frem til, at de var nødt til at løse opgaven bagfra og dernæst diskutere, hvilket indhold man skulle lægge i parameteren k. Typisk med argumenter som: ”Du kan jo se, at faldskærmsudspringeren kommer ned uden at slå sig, altså er farten blevet bremset til de der 4-5 m/s, og så må vi bare sørge for at k er stor nok, efter vi har trukket i snoren…” Desværre kommer disse overvejelser stort set ikke med i rapporterne, hvilket tyder på at eleverne er ikke bevidste om, at de rent faktisk modellerer. Nogle af manglerne i rapporterne kan givetvis afhjælpes med en ændret

4 Sammenligning med hhv. tunge/lette skiløbere og cykelryttere. Eller ”Har I prøvet at kigge på enhederne?”

Side 5 af 24

opgaveformulering og et ændret vejledningsmateriale og en ændret vejledning undervejs.5

5. Pædagogiske observationer Flere grupper havde svært ved at få afleveret mødereferaterne til tiden, og nogle af referaterne, men som det ses, langt fra alle, var intetsigende. ”26/10-04 (oploaded forsent pga. problemer med netstudier) Vi arbejdede med udregninger i forbindelse med fase et. Havde problemer med at forstå et par af de ligninger vi havde fået. Vi spildte desværre en del tid på at arbejde med en ligning, som viste sig ikke at kunne bruges. Vi fandt dog ud af det til sidst, og aftalte at blive længere efter at have fået fri. Alle blev bortset fra M”. Men det er faktisk M, der her er referent. ”Gruppe 1 Lektion 1+2 Referat 28-10-2004 Ordstyre: K Referant: M Gruppen fremlagde hvad den havde lavet hjemme hvilket ikke var meget da nogle af formlerne ikke var fuldendt. Da vi kiggede vores regneark igennem fandt vi en del små rettelser, som i sidste ende ikke var så små. Det vedrøre bl.a. at faldskærmen var lidt tid om at udfolde sig og at k*v2 skulle divideres med massen. Det brugte vi en del tid på at få til at passe og gruppen arbejde med udregninger og omformuleringer af formlerne. Gruppe 1 Lektion 3+4 Referat 28-10-2004 Ordstyre: M Referant: F I denne time lavede vi videre på vores regneark der ser ud til at have uendelige fejl… Vi er kommet frem til at vores faldskærm er for lille rent faktisk, og det bedste var nok da vi i slutningen af timen fandt ud af, at der var større luft densitet inde under faldskærmen, så hurra og forfra igen. Vi fandt løsningen i slutningen af timen og gruppen vil arbejde videre på det i weekenden. Lektier: Udregning af densitet og bruge formlerne omvendt, samt at rette K så det passer.

5 Se bilag 1a

Side 6 af 24

Referat d. 1/11 2004 Ordstyrer: F Referent: A Gruppe 1 Gruppen startede med at tale om, om vores sidste resultater var sandsynlige. Det handler om at luftens massefylde stiger inde under faldskærmen. Vi er kommet frem til det er urealistisk og er nu lidt på bar bund igen. Vores konklusion indtil videre er at formlen for luftmodstanden i forhold til faldskærmen er urealistisk og vi arbejder på hvad vi så gør. Gruppen taler om at det er noget om at luften giver et tryk i forhold til faldskærmen. Vi er os kommet frem til at effekten af opbremsning må være betydelig større når vores faldskærm er buet og ”opfanger” luften. Vi er nu kommet frem til at vi bliver nødt til at ændre vores K værdi, så den bliver meget størrer. Problemet ligger i at det ikke kan forklares ud fra vores formel, og derfor har vi konkluderet at vi har en skjult værdi i formlen som selvfølgelig er aerodynamikken i faldskærmen. Da vi kun er gymnasieelever kan vi ikke lave formlen hvor det er medregnet, så vi har bare sat vores K værdi og kan så forklare hvad der mangler. Vi går nu i gang med at lave grafer. Okay, vi har nu sammensat det i regneark og skal lave graf. Vores fald ser nu pænt ud. Lektier: A: Lav resten af forløbet med værdier i Regneark + Upload Referat og Regneark. F: Lav graf over forløbet og ud fra Allans Værdier. K: Lav formlerne med værdier indtil faldskærmen. M: Lav formlerne med værdier fra faldskærmen. B: Skriv de overvejelser vi har haft undervejs.” I det store hele fungerede gruppearbejdet godt. Dog røg en gruppe fagligt i totterne på hinanden, og læreren måtte minde dagens referent, som også skulle tage sig af gruppens velbefindende, om den del af rollen, hvorefter stridighederne blev bilagt uden lærerindgriben. I en anden dukkede der sent i forløbet en mail op med krav om bortvisning af et gruppemedlem, der var udeblevet fra en aftale efter skoletid. Her måtte læreren mægle, hvilket gruppen accepterede. I en tredje gruppe gik det galt, da rapporten skulle skrives, hvilket den bar tydeligt præg af. Undervejs gav mødereferaterne ikke anledning til lærerbekymring, mens samtalen i gruppen ikke var overbevisende. Det er altid et valg, om man så skal lade 5 og 7 være lige, eller man skal gribe ind. Overordnet var lærerne enige om, at grupperne skulle opleve projektet som en succes, selv om det måske krævede, at vi forærede dem nogle pointer undervejs. I dette tilfælde konstaterede gruppen selv i deres referat: ”Referat mandag d. 1/11-04 Ordstyrer: H Referent: L I dag skulle vi finde det punkt hvor faldskærmen senest skal udløses. Først læste vi indlægget om faldskærme på netstudier. Vi havde allerede sat tal ind i et regneark men hastigheden steg hele tiden selvom faldskærmen var slået ud. Derfor besluttede vi at ændre k. Vi prøvede først at gøre skyggearealet på faldskærmen større. Hastigheden faldt dog også men blev konstant ved omkring 7m/s. Da der i forrige timer havde været snak om at densiteten af luft inde under

Side 7 af 24

faldskærmen steg jo tættere på jorden man kom, prøvede vi derfor også at ændre densiteten men lige meget hjalp det. Til sidst kiggede Merete på vores regneark og fandt ud af at vores rækker i regnearket var trukket forkert ned. Derefter kunne vi nemt få hastigheden ned på 4-5m/s. Vi har i gruppen besluttet at blive efter skole på torsdag og få vores rapport færdig. Lektier til torsdag: L: referat M: Skrive om fejlkilder H: Lave modellering/fremgangsmåde A: Skrive teori, muligvis lave en graf for hele springet D: Skrive formålet med rapporten.” og siden hen i rapporten:

”Vi nåede dog aldrig til et acceptabelt resultat eftersom vores udspringerdame lige meget hvad vi gjorde, om vi så ændrede størrelsen på hende eller hendes faldskærm bare ikke ville lande uden at slå sig. Så et eller andet sted er noget gået galt. Men på trods af det har vi lært meget om brugen af indviklede ligninger og ikke mindst regneark i Excel. Selvom regneark ikke altid ser ud som vi syntes de skal. Af opgaven kan man altså konkludere at vores dame når en pæn topfart uden faldskærm på et par hundrede km/t og at hun altså ikke når tilstrækkeligt ned i fart før hun lander.” Ved den efterfølgende gruppesamtale fremgik det, at de netop ikke fik gjort det, de aftalte på deres sidste møde, og at de heller ikke blev længe på skolen torsdag eftermiddag. De gjorde selv gældende, at de i modsætning til andre grupper ikke kunne trække på hjælp hjemmefra! ”Mine forældre var tilmed slet ikke hjemme, og jeg havde sådan brug for hjælp til det forbistrede regneark, som jeg helst ville kyle ud af vinduet – min mor er faktisk ekspert i regneark – jeg blev bare så sur – ikke for at bortforklare eller skyde skylden på nogen…” Overordnet: Fornuftig fordeling af opgaver i hele forløbet, men gruppedisciplinen omkring møder svigtede nu og da, og der var kun få grupper der konsekvent fik skrevet beslutningsreferater. Til gengæld deltog alle elever særdeles aktivt i hele forløbet. Indenfor den afsatte tid nåede de fleste grupper at modellere problemstillingen, foretage analyser med forskellige valg af variabler og give deres svar på spørgsmålet ’hvornår/hvor hun senest skal udløse faldskærmen’. Selv det hold, der havde indlagt en uges pause mellem næstsidste og sidste projektmodul bevarede gejsten. Ingen grupper nåede frem til afprøve mere realistiske alternativer til den simple model for faldskærmsudspring som oplægget beskriver. Ved afslutningen af sidste modul var det lærernes opfattelse, at der i alle grupper var en klar fordeling af de arbejdsopgaver der skulle udføres inden afleveringen af rapporten en uge senere.

Side 8 af 24

Sammenfatning. Der var problemer med:

1. at forstå betydningen af de indgående variabler. 2. at oversætte/modellere det beskrevne problem til differensligninger og i det

hele taget at forstå differensligninger.

3. regneark; men programmets grafiske muligheder fik stor betydning for elevernes forståelse af problematikken. Det visuelle var oplagt med til at øge forståelsen. Regnearkets muligheder for at eksperimentere er stærkt motiverende og afføder gode diskussioner og deraf større indsigt i problemstillingen og dens løsning.

I introduktionen til projektforløbet kunne spores en vis uvilje mod et længere forløb med ’gruppearbejde’. Men den overordnede styring/skoling med social kontrakt, gruppemøder og mødereferater fik øjensynlig denne uvilje til at forsvinde. Grupperne arbejdede nærmest eksemplarisk og eleverne var engagerede og arbejdsomme.

6. Udbytte i forhold til intentionerne De primære intentioner var, dels at udvikle elevernes matematiske kompetencer gennem en åben matematisk problemstilling, dels at øge elevernes projektarbejdskompetence. Det er svært konkret at pege på matematiske områder hvor dette projektforløb med sikkerhed har styrket elevernes kompetencer. Elevernes manglende forudsætninger i matematik og fysik gjorde at de først sent i forløbet fik et egentlig overblik over problemstillingen og derfor kun i meget begrænset omfang nåede frem til en egentlig diskussion af model kontra virkelighed. Alternative modeller blev ikke afprøvet. Det er tydeligt at grupperne starter med at forsøge at løse problemet forlæns ud fra den skriftlige vejledning, som de tror er dækkende på trods af lærerudsagn om det modsatte, og ender med at løse det baglæns ud fra iagttagelser af virkeligheden, som den kan ses på video. Kompetence i matematisk modellering er derfor kun øget i begrænset omfang, hvilket afspejles i projektrapporterne, hvor modellering næsten ikke diskuteres. Hvad angår forståelse i brug af regneark og grafkending er elevernes kompetence klart styrket efter forløbet. Netop regnearksudskrifter med tilhørende grafer og kommentarer/fortolkninger indgår som en central del af alle projektrapporter. Eleverne har klart forbedret deres projektarbejdskompetence. Selv om de ikke helt magter at skrive en social kontrakt, at styre et gruppemøde eller at skrive et referat i første forsøg, er det altafgørende, at gruppearbejdet bliver lagt i faste rammer. Det ansvarliggør eleverne over for opgaven, sig selv og gruppen, og vigtigst, de oplever det også sådan.

Side 9 af 24

Rapporterne er af svingende kvalitet (karakterniveau 6 – 10), overordnet mangler alle en detaljeret gengivelse af såvel frugtbare som mindre frugtbare faglige diskussioner som grupperne havde undervejs i forløbet. Den åbne formulering af opgaven afspejles derfor ikke i rapporterne som i nogen grad bærer præg af ’her er opgaven og her er facit’. Der var ikke den store forskel på de to hold med hensyn til karakterer – i hvert fald ikke nogen, der kan tilskrives den forskellige gruppedannelse. Efter vores opfattelse er gruppedannelse noget man bør overveje hver eneste gang man sætter et projekt i gang, fordi det entydigt knytter sig til de aktuelle elever på det aktuelle hold i den aktuelle situation. I 1g ønsker vi dog at prøve så mange konstellationer af som muligt af hensyn til holdets sociale klima, mens vi nok i 2g og 3g overlader gruppedannelsen til eleverne, idet de vil få at vide, at de skal vælge efter interesse og formodet arbejdsindsats.

7. Lærernes erfaringer og forbedringsforslag Det er vanskeligt at finde egnede problemstillinger, og det er specielt svært at finde åbne problemer, der holder sig inden for nogle basale matematiske rammer, som interesserer og motiverer elever – ikke mindst 1g-elever. Det var derfor af stor betydning, at vi var flere matematiklærere med vidt forskellige fagkombinationer, da vi skulle udvikle og omsætte vores ideer til projektforløb. Hvis vi skal pege på nogle faktorer, det er værd at overveje, når man er på jagt efter et egnet problemkompleks, kunne det være fint, hvis problemet er anskueligt uden at være for tæt på hverdagen. Det må meget gerne indeholde mange løsningsmuligheder, så eleverne får lejlighed til at præstere noget unikt – det kan de godt lide, ligesom de er glade for emner med dramatisk indhold. Aktuelt stof er normalt godt – men erfaring viser, at eleverne når kvalmegrænsen før lærerne, og desuden er aktuelt stof ikke nødvendigvis aktuelt endsige kendt. På et 2g hold var der f.eks. flere elever der den 3. januar 2005 endnu ikke helt havde opdaget, at Sydøstasien havde været udsat for en naturkatastrofe! Det er ligeledes en erfaring, at alt udleveret materiale skal være gennemarbejdet til mindste detalje, ikke mindst for at undgå situationer, hvor grupper går i stå pga. uklarheder i opgaveformuleringen. Set i det lys, vil vi revidere såvel oplæg som vejledning, før vi bruger forløbet igen.6 Man skal sikre sig, at eleverne faktisk har de forudsætninger, de påstår de har, som er nødvendige for projektets gennemførelse.

8. Erfaringer med henblik på reformen Det er endog meget oplagt at genanvende faldskærmsudspringet eller tilsvarende problemorienterede projektorienterede forløb, når gymnasiereformen træder i kraft. I læreplanen for matematik C på Stx hedder det under formål: ... Endvidere skal de opnå indsigt i, hvorledes matematik kan bidrage til at forstå, formulere og behandle problemer inden for forskellige fagområder, såvel som indsigt i matematisk ræsonnement. Herved skal eleverne blive i stand til bedre at kunne forholde sig til andres brug af matematik…

6 Se bilag 1a

Side 10 af 24

og under faglige mål sammesteds:

− anvende variabelsammenhænge i modellering af givne data, kunne foretage fremskrivninger og forholde sig reflekterende til disse samt til rækkevidde af modellerne

− anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. og igen under læreplanen for matematik B på Stx

− anvende simple funktionsudtryk i modellering af givne data, kunne foretage simuleringer og fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modellerne

− demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling

− anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer, herunder håndtering af mere komplekse formler…

Under didaktiske principper for matematik B på Stx finder man følgende lækkerbisken Gennem en eksperimenterende tilgang til matematiske emner, problemstillinger og opgaver skal elevernes matematiske begrebsapparat og innovative evner udvikles. Dette sker bl.a. ved at tilrettelægge nogle forløb induktivt, så eleverne får mulighed for selvstændigt at formulere formodninger ud fra konkrete eksempler. Selv om det er muligt at gennemføre dette forløb i matematik alene og derved opfylde centrale dele af læreplanerne, er det oplagt at etablere samarbejde med fysik.

9. Konklusion På trods af de problemer vi har beskrevet tidligere, var projektet en succes ikke mindst fordi alle elever var glade for at kunne arbejde selvstændigt med et problem uden facit under strukturerede former. I de rette rammer og med et solidt forarbejde af lærerne er problemorienteret projektarbejde i matematik er et fremragende alternativ til den traditionelle matematikundervisning, uden i øvrigt at undervurdere sidstnævnte. Erfaringen fra dette forløb kan opsummeres i tre punkter:

1. Eleverne bliver engagerede deltagere i deres egen matematiske udvikling.

2. Matematik kan læres i fællesskab, gennem fælles aktivitet og fælles

erfaringer.

3. Gruppearbejde får en ny meningsfuld betydning.

Side 11 af 24

Bilag 1: Faldskærmsudspring Projektopgave: I er blevet ansat som instruktører i en faldskærmsklub. I forbindelse med et sikkerhedskursus skal I instruere en nybegynder i, hvornår hun senest skal udløse sin skærm, når hun springer fra 1000m’s højde? Begrund svaret. Vink: Diskuter først hvilke variabler, der har betydning for problemets løsning, og beskriv udspringets forløb kvalitativt. Produktkrav:

1. En skriftlig rapport, der viser hvilken matematisk model, der bedst beskriver faldskærmsudspringet, bilagt med grafer, tabeller og forklaringer, der gør rede for alle de skridt, der har ført frem til den endelige model.

2. En social kontrakt (Se under materialer)

3. En gruppedagbog, hvor man kan følge gruppens arbejdsproces, specielt valg

af indsatsområder, opgavefordeling og materialevalg (læreren opretter grupperne i Projektrummet i Netstudier og gruppedagbogen består af mødereferater lagt i mappen mødereferater under Filer i gruppens filområde. Mødereferaterne navngives refxxyyzz_n, hvor xx er året (04), yy er måneden(10), zz er datoen skrevet med to cifre og n er nummeret på referatet den pågældende dag). Referaterne uploades senest kl. 19.00 samme dags aften, så læreren kan læse dem og evt. komme med bemærkninger.

Materiale:

1. Digital udgave af film af faldskærmsudspring. 2. Dokument vedrørende teori for faldskærmsudspring. Ligger under materialer 3. Grafer for et autentisk spring. (Udleveres først, når I har tegnet jeres første

graf) 4. Diverse projektarbejdspapirer.

Arbejdsproces: Gruppearbejde (gruppeinddelingen ligger under ekstramaterialer) Tidsplan: 12 lektioner dvs. alle matematiktimer i den omlagte periode i uge 44 og uge 45. Rapporten tæller for to hjemmeregninger og afleveres enten i 2 eksemplarer på papir eller elektronisk i gruppens filmappe senest fredag i uge 45 kl. 10.00. Arbejdsbeskrivelse: Overordnet gælder det om at få skaffet sig overblik over opgavens omfang, så gruppen kan lægge en tidsplan. Husk, det tager tid at få samlet resultaterne og skrevet rapporten ikke mindst på layout-siden, og det er et fælles ansvar.

Hvert modul (1 modul = 2 lektioner) starter med et kort (ca. 10 min.) gruppemøde, hvor hvert medlem fremlægger løsningerne på de opgaver, han eller hun påtog sig

Side 12 af 24

sidste gang. Der føres referat, så der sker vidensopsamling fra gang til gang, referatet placeres efter godkendelse, som beskrevet ovenfor. Ordstyrerrolle og referentrolle går på skift mellem gruppens medlemmer, så alle prøver at lede og at referere et møde.

Det første møde er dog længere, fordi det bl.a. skal bruges til at udarbejde den sociale kontrakt.

Eventuelle uløste problemer løses – husk at konferere med den sociale kontrakt, hvis der er disciplinære problemer – og man aftaler, hvordan man kommer videre, herunder hvilke ressourcer man skal trække på. Jeg minder om at ressourcer kan forstås bredt, altså bøger, internet, personer uden for gruppen …

Evaluering: Rapporten rettes af læreren og gennemgås i klassen, og hver gruppe får en samtale med læreren. Den sociale kontrakt bruges til vurdere gruppens evne til at forudse og løse sociale konflikter, og gruppedagbogen til at bedømme gruppens evne til at planlægge og gennemføre indlæring af nyt og fremmed stof. Der vil blive fokuseret på:

• faglig dialog i gruppen • formulering af faglige problemstillinger i korrekt matematisk sprog • at alle i gruppen kan redegøre for gruppens resultater, og hvordan de er

fremkommet. Der gives én samlet karakter efter 13-skalaen for alle tre produkter. Den ”skjulte” lærerplan: I skal opnå færdigheder i opstilling, efterprøvning, justering og kritisk vurdering af en matematisk model. Grafkendskab, graffortolkning, træning i regneark eller lignende og projektarbejdskompetence.

Side 13 af 24

Oplæg til faldskærmudspring

Faldskærmsudspringer

Når vi bevæger os gennem luften, vil vi mærke en kraft modsat rettet bevægelsen, som vi kalder luftmodstanden. Specielt mærker vi kraften, når vi kører bil og rækker hånden ud ad vinduet. Luft-modstanden sætter en grænse for tophastigheden af en bil , ligesom den har stor betydning for bilens benzinøkonomi. Derfor ser man moderne biler med aerodynamisk eller strømliniet design. I andre tilfælde ønsker man så høj luftmodstand som muligt. Det er tilfældet, når man skal bremse en flyvemaskine, der lander på et hangarskib. Her benytter man en bremsefaldskærm, der foldes ud i det øjeblik, hjulene rører landingsbanen. En faldskærm er også rar at have på, hvis man agter at springe ud fra et fly i f.eks 1 km's højde , se figur. Luftmodstanden FL af et legeme, der bevæger sig gennem luften, afhænger af legemets fart v i forhold til luften og tværsnitsarealet A af legemet målt på tværs i forhold til bevægelsesretningen (herefter kaldet skyggearealet). Det generelle udtryk for luftmodstanden er

FL = cW ⋅ A ⋅ ½ ρ v2 Hvor ρ (rho) er luftens massefylde, og cW er formfaktoren som afhænger af den aerodynamiske udformning af legemet. Endvidere afhænger cW af den relative fart v imellem legemet og luften. Denne afhængighed af v beskrives ved Reynolds' tal (se side 2).

Side 14 af 24

En plan cirkulær skive med radius r og arealet A = π r2 , har ved store hastigheder en modstandskoefficient cW på ca. 1, som er uafhængig af farten v . Ved at designe biler aero-dynamisk, kan man nedsætte modstandskoefficienten til ca. 0,3 Reynolds tal. Reynolds tal, der er opkaldt efter englænderen Osborne Reynolds , er defineret ved

Re = η

vρd , hvor

- ρ er luftens/væskens massefylde , ρ = 1,2 kg/m3 (for luft) - η (eta ) er luftens/væskens viskositet , η = 18 ⋅ 10-6 Ns/m2 (for luft) - d er den største diameter af legemet målt vinkelret på bevægelsesretningen - v er legemets fart i forhold til luften/væsken

Reynolds tal er ligefrem proportional med farten v og angiver hvordan luften strømmer omkring et legeme. Hvis Reynolds tal er lille, d.v.s. mindre end ca.1000, vil strømningen være hvirvelfri, dvs. foregå laminart. Hvis Reynolds tal er større end ca. 1000 , opstår der hvirvler i strømningen, og vi siger, at strømningen er turbulent. Når strømningen er turbulent kan vi med god tilnærmelse sætte cw = konstant. For en bil, der kører v = 90 Km/h = 25 m/s og d = 1,75 m bliver Reynolds' tal i luft

Re = Ns/m10 18

m/s25kg/m 1,2m 1,756-

2

⋅= 3 ⋅ 106 .

D.v.s luftstrømningen omkring en bil er turbulent. Det samme gælder for en faldskærmsudspringer. Vi kan derfor tillade os med tilnærmelse at sætte cW = konstant. Hvis faldskærmsudspringet ikke sker fra for stor højde vil massefylden ρ også være konstant, så cW ⋅ A ⋅ ½ ρ vil være konstant.

For en faldskærmsudspringer kan det derfor antages, at luftmodstanden reducerer farten ved udtrykket

Side 15 af 24

k ⋅ v2 , Under og efter udløsningen af faldskærmen vil hastigheden v blive reduceret kraftigt indtil den når et niveau hvor luftmodstanden FL og tyngden Ft = m.g er lige store og faldskærmsudspringeren bevæger sig nedad med konstant fart. Denne opbremsning sker i løbet af ca. 2 sekunder. Springfaser. Et faldskærmsudspring består af tre hovedfaser:

1. Fald uden udløst faldskærm. 2. Udløsning af faldskærm. 3. Fald med konstant fart mod landingsstedet.

Ad. 1: Ved denne del af bevægelsen er der også luftmodstand, men skyggearealet er lille og derfor er virkningen væsentlig mindre end ved udfoldet faldskærm. Både cW og ρ kan antages konstante Ad. 2: Er til dels beskrevet ovenfor, men husk at faldskærmen har en højde/længde og at selve udløsningen tager ca. 2 sekunder hvorunder udspringeren også bevæger sig med jorden. Ad. 3: Afhængig af udspringerens masse, faldskærmens type og areal samt vindforhold ved jordoverfladen vil den fart udspringeren ’rammer’ landingsstedet med variere, men den bør dog ikke overstige 4 – 5 m/s af helbredsmæssige grunde. Ligninger. Ligninger der beskriver bevægelsen under fase 1 og 2: Hvis farten mod jorden til tidspunktet t er v(t) vil farten indenfor det næste lille tidsrum ∆t dels øges mod jorden på grund af tyngdepåvirkningen dels reduceres på grund af luftmodstanden: Farten til tiden t + ∆t: ∆tv(t)k∆tgv(t)∆t)v(t 2 ⋅⋅−⋅+=+ Hvis højden over jordoverfladen til tilden t er h(t), vil højden indenfor det næste lille tidsrum ∆t reduceres på grund af faldet med farten v(t). Højden til tiden t + ∆t: ∆tv(t)h(t)∆t)h(t ⋅−=+

Side 16 af 24

Bilag 1a: Faldskærmsudspring (revideret udgave) Projektopgave: En faldskærmsklub har fået henvendelse fra en 1g-klasse, der ønsker at springe ud i faldskærm. I den forbindelse skal I stå for et teoretisk sikkerhedskursus, hvor I skal instruere eleverne i faldskærmsudspring og kunne svare på, hvornår de senest skal udløse deres skærme og hvorfor, når de springer fra 1000m’s højde. Vink: Diskuter først hvilke variabler, der har betydning for problemets løsning, og beskriv udspringets forløb kvalitativt. Produktkrav:

4. En skriftlig redegørelse, der gennemgår faldsskærmsudspringets forskellige faser for de nysgerrige, skeptiske og dristige elever i 1g-klassen, og analyserer og vurderer hvilken matematisk model, der bedst beskriver faldskærmsudspringet, bilagt med grafer, tabeller og forklaringer, der gør rede for alle de skridt, der har ført frem til den endelige udformning af modellen.

5. En social kontrakt (Se under materialer)

6. En gruppedagbog, hvor man kan følge gruppens arbejdsproces, specielt valg

af indsatsområder, opgavefordeling og materialevalg (læreren opretter grupperne i Projektrummet i Netstudier og gruppedagbogen består af mødereferater lagt i mappen mødereferater under Filer i gruppens filområde. Mødereferaterne navngives refxxyyzz_n, hvor xx er året (04), yy er måneden(10), zz er datoen skrevet med to cifre og n er nummeret på referatet den pågældende dag). Referaterne skal udstyres med sidehoved med ordstyrer, referent og filnavn (heraf fremgår datoen jo) og uploades senest kl. 19.00 samme dags aften, så læreren kan læse dem og evt. komme med bemærkninger.

Materiale:

5. Digital udgave af film af faldskærmsudspring (Ligger i Kursusdiagrammet). 6. Dokument vedrørende teori for faldskærmsudspring. (Ligger i Kursusdia-

grammet). 7. Grafer for et autentisk spring. (Udleveres først, når I har tegnet jeres første

graf og lægges under Ekstramaterialer) 8. Diverse projektarbejdspapirer. (Ligger under Ekstramaterialer).

Arbejdsproces: Gruppearbejde (gruppeinddelingen ligger under Ekstramaterialer) Tidsplan: 12 lektioner dvs. alle matematiktimer i den omlagte periode i uge 44 og uge 45. Rapporten tæller for to hjemmeregninger og afleveres enten i 2 eksemplarer på papir eller elektronisk i gruppens filmappe senest fredag i uge 45 kl. 10.00. Arbejdsbeskrivelse:

Side 17 af 24

Overordnet gælder det om at få skaffet sig overblik over opgavens omfang, så gruppen kan lægge en tidsplan. Husk, det tager tid at få samlet resultaterne og skrevet rapporten ikke mindst på layout-siden, og det er et fælles ansvar.

Hvert modul (1 modul = 2 lektioner) starter med et kort (ca. 10 min.) gruppemøde, hvor hvert medlem fremlægger løsningerne på de opgaver, han eller hun påtog sig sidste gang. Der føres referat, så der sker vidensopsamling fra gang til gang, referatet placeres efter godkendelse, som beskrevet ovenfor. Ordstyrerrolle og referentrolle går på skift mellem gruppens medlemmer, så alle prøver at lede og at referere et møde.

Det første møde er dog længere, fordi det bl.a. skal bruges til at udarbejde den sociale kontrakt.

Eventuelle uløste problemer løses – husk at konferere med den sociale kontrakt, hvis der er disciplinære problemer – og man aftaler, hvordan man kommer videre, herunder hvilke ressourcer man skal trække på. Jeg minder om at ressourcer kan forstås bredt, altså bøger, internet, personer uden for gruppen …

Evaluering: Rapporten rettes af læreren og gennemgås i klassen, og hver gruppe får en samtale med læreren. Den sociale kontrakt bruges til at vurdere gruppens evne til at forudse og løse sociale konflikter, og gruppedagbogen til at bedømme gruppens evne til at planlægge og gennemføre indlæring af nyt og fremmed stof. Der vil blive fokuseret på:

• faglig dialog i gruppen • formulering af faglige problemstillinger i korrekt matematisk sprog • at alle i gruppen kan redegøre for gruppens resultater, og hvordan de er

fremkommet. Der gives én samlet karakter efter 13-skalaen for alle tre produkter. Den ”skjulte” lærerplan: I skal opnå færdigheder i opstilling, efterprøvning, justering og kritisk vurdering af en matematisk model. Grafkendskab, graffortolkning, træning i regneark eller lignende og projektarbejdskompetence.

Side 18 af 24

Oplæg til faldskærmudspring Alle legemer, der bevæger sig gennem luft, er påvirket af luftmodstand, som er en kraft, der er modsat rettet bevægelsen. F.eks. mærkes kraften, når man kører på cykel, eller hvis man kører i bil og rækker hånden ud ad vinduet. Størrelsen af luftmodstanden har stor betydning for en bils benzinøkonomi. Derfor har de fleste moderne biler et aerodynamisk eller strømliniet design for at mindske luftmodstanden. For en faldskærmsudspringer er det modsatte tilfældet, her skal luftmodstanden være så stor som mulig. Luftmodstanden på et legeme, der bevæger sig, afhænger bl.a. af farten i forhold til luften og arealet A af legemet målt på tværs i forhold til bevægelsesretningen (herefter kaldet skyggearealet). Erfaringen viser, at man i en simpel model kan beskrive luftmodstanden ved udtrykket:

LF v

2

21 vAcFL ⋅⋅⋅⋅= ρ

Hvor c kaldes formfaktoren eller den aerodynamiske faktor, ρ er luftens massefylde, A er skyggearealet og v er legemets relative fart i forhold til luften. Formfaktoren c afhænger af legemets fart v og form. Ændrer formen af legemet sig under bevægelsen vil formfaktoren altså også ændre sig. Teoretisk er det meget vanskeligt at beregne formfaktorer, og en eksperimentel bestemmelse er derfor oftest eneste mulighed. I praksis - f.eks. ved design af biler - benyttes vindtunneler. Biler med et aerodynamisk design har en konstant formfaktor på ca. 0,3 ved almindelige hastigheder i intervallet 60 km/h – 110 km/h. Et faldskærmsudspring består af to hovedfaser:

.

1. Fald uden udløst faldskærm. 2. Fald med udløst faldskærm mod landingsstedet.

Side 19 af 24

I en simpel model for et faldskærmsudspring kan man i første omgang med god tilnærmelse sætte c lig med en konstant. Hvis faldskærmsudspringet ikke sker fra for

stor højde, vil massefylden ρ også være konstant, så ρ⋅⋅ c21

vil være konstant.

Luftmodstanden kan derfor skrives

2vAkFL ⋅⋅= hvor k er en konstant. Alle legemer på jorden er påvirket af tyngdekraften. Tæt ved jordoverfladen7 er denne kraft bestemt ved gmFtyn ⋅= hvor m er massen af legemet og g= 9,8 N/kg. En

faldskærmsudspringer er derfor påvirket af to modsat rettede kræfter under springet. Ved begyndelsen af springet vil være større end og farten mod jordoverfladen

øges. Da luftmodstanden vokser med farten og tyngdekraften er konstant, vil der kunne opstå en situation, hvor luftmodstanden og tyngdekraften på udspringeren er lige store og modsat rettede og farten derfor konstant. Befinder udspringeren sig i fase 1 i tilstrækkelig lang tid – f.eks. ved skydiving – vil hun derfor opnå en konstant fart. Afhængig af den samlede masse m af udspringeren vil denne konstante fart typisk ligge mellem 180 og 200 km/h.

tynF LF

I overgangen mellem de to faser udløses faldskærmen. Afhængig af den tekniske udformning tager det ca. 2 - 3 sekunder. Under og efter udløsningen af faldskærmen vil farten blive reduceret kraftigt, da luftmodstanden vil være større end tyngdekraften; men da farten reduceres, reduceres luftmodstanden, og igen vil en situation, hvor luftmodstanden og tyngden på legemet er lige store og modsat rettede kunne opstå. Dermed vil faldskærmsudspringeren igen bevæge sig nedad med konstant fart. For at undgå legemsbeskadigelse skal springet times, så farten mod landingsstedet ikke overstiger 4 -5 m/s. Hvis luftmodstanden og tyngdekraften er lige store fås:

2vAkgmFF Ltyn ⋅⋅=⋅⇒=

• Overvej ud fra ovenstående hvilken indflydelse udspringerens masse har på den konstante

fart det er muligt at opnå i hver af de to faser!

• Vurder størrelsen af k i de to faser ud fra de oplysninger, der er givet ovenfor.

7 Op til en højde på 60 km.

Side 20 af 24

Ligninger til simpel trinvis beregning af bevægelsen. Ligninger der beskriver bevægelsen under fase 1 og 2: Hvis farten mod jorden til tidspunktet t er v(t) vil farten indenfor det næste lille tidsrum ∆t dels øges mod jorden på grund af tyngdepåvirkningen dels reduceres på grund af luftmodstanden: Farten til tiden t + ∆t:

∆tv(t)k∆tgv(t)∆t)v(t 2 ⋅⋅⋅−⋅+=+ A Hvis højden over jordoverfladen til tilden t er h(t), vil højden indenfor det næste lille tidsrum ∆t reduceres på grund af faldet med farten v(t). Højden til tiden t + ∆t:

∆tv(t)h(t)∆t)h(t ⋅−=+

• Undersøg evt. om den beskrevne model kan forbedres, eller om der findes alternativer. Inspiration: Matematisk analyse og fysik med anvendelser, DTU

Side 21 af 24

Bilag 2: Den sociale kontrakt Den sociale kontrakt laves i starten af en projektperiode af den enkelte gruppe. I den sociale kontrakt fastsætter gruppen en fælles målsætning for projektet, samt hvordan den vil tilrettelægge samarbejdet, og hvilke regler der skal gælde for gruppens medlemmer i projektperioden, for at målet kan nås. Gruppen laver sin helt egen kontrakt, som hvert medlem forpligter sig på. Stikord til kontrakten kunne være: • Hvordan beslutter vi? • Skal vi være enige? • Hvordan giver vi feedback? • Hvordan fordeles opgaverne? • Hvordan skal omgangstonen være? • Hvad sker der hvis en person ikke er forberedt? • Etc. Den sociale kontrakt kan f. eks. bestå af ca. 10 sætninger, som starter med: • Vi har bestemt • Vi vil • Vi skal • Alle skal/gør • Alle har ansvar for • Ordstyreren skal • Referenten skal Den sociale kontrakt skal også kunne bruges i eventuelle krisesituationer og skal derfor indeholde forslag til problemløsning og kan eventuelt justeres hvis alle er enige. Den sociale kontrakt anbringes i Netstudier.

Side 22 af 24

Bilag 3: Ordstyrer og referent

Når I har fastlagt gruppens arbejdsgrundlag i den sociale kontrakt, skal I vælge en ordstyrer og en referent. Disse to ledere har i fællesskab til opgave at yde service for gruppen, blandt andet ved at holde diskussionen levende og på sporet, sørge for at alle får lejlighed til at ytre sig, uddele opgaver, sørge for at der bliver truffet beslutninger og at disse skrives ned. Arbejdet fordeles således imellem dem: Ordstyreren er ansvarlig for: • at ambitionsniveauet for hele projektet og for det enkelte gruppemøde bliver

diskuteret og fastlagt • at lede gruppemødet og fordele taletiden. • at opgaver fordeles og at det skrives ned hvem der gør hvad • at der tages beslutninger og de bliver skrevet ned Referenten er ansvarlig for: • at gruppeprocessen fungerer, det vil blandt andet sige: • at alle bliver inddraget • at der er et godt arbejdsklima • at vigtige spørgsmål bliver stillet (brug hv-ordene) • at tage notater fra gruppemødet - også sådan at modstridende synspunkter skrives

op. Notaterne kan med fordel ordnes som et mind map. • at ajourføre og holde styr på projektmappen Opgaven som ordstyrer og referent skal gå på skift mellem gruppens medlemmer.

Side 23 af 24

Bilag 4: Grafer

Side 24 af 24