Rapport ny skriftlighed i matematik del II · Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed...

1

NY SKRIFTLIGHED I MATEMATIK DEL II

Matematiklærerforeningenforgymnasiethariforlængelseafudviklingsprojektfraskoleåret2009/2010iskoleåret2010/2011haftendnuetudviklingsprojektinyskriftlighed.Formålethar her været at følge op på sidste års udviklingsprojekt. Dette er sket ved både atkonkretisereogeksemplificerenogleaf anbefalingerne fra sidsteår,menogsåvedat få satfokus på specielt temaopgaver. Som tilfældet var sidste år, har også dette projekt haft tilformål at indsamle og dele erfaringer med at undervise i de mange nye typer af skriftligmatematisk fremstillingog at fådiskuteret evalueringskriterierog ‐metoder i forhold tildeskriftlige produkter. Desuden har projektet været en del af et større arbejde om nyskriftlighedidegymnasialeuddannelsersomafsluttesoktober2011.Arbejdsgruppen har arbejdet med den nye skriftlighed i tre undergrupper. Emnerne for disse er:

Temaopgaver Rettestrategier og progression SRP

DeltagendelærerDorteAgerkvist,HerlevGymnasiumogHFUllaStampeJakobsen,HerlevGymnasiumogHFLouiseJensen,HerlevGymnasiumogHFLarsBoKristensen,EgåGymnasiumIbMichelsen,VUCSkiveMortenOvergaard,KøbenhavnsVUCPeterPedersen,AvedøreGymnasiumKatjaKofodSvan,RysensteenGymnasiumTorbenSvendsen,HaderslevKatedralskoleCamillaZacho,RoskildeGymnasiumRasmusØstergaard,NykøbingKatedralskoleJanusLylloff,Mulerneslegatskole(projektetstovholderformatematiklærerforeningen)

Dennerapporterensammenfatningafprojektetswebsitehttp://uvmat.dk/skrift/materialer.htm

2

Indholdsfortegnelse

DEL 1: MATEMATIK, TEMAOPGAVER OG DEN NY SKRIFTLIGHED__________________________________ 4

HVAD ER EN TEMAOPGAVE? ___________________________________________________________________ 5 SKRIFTLIGE PRODUKTER I TEMAOPGAVER __________________________________________________________ 6 SAMMENHÆNGEN MELLEM TEMAOPGAVER OG EKSAMEN ______________________________________________ 6 GEOMETRI SOM EKSEMPEL ___________________________________________________________________ 7 TEMAOPGAVE: N‐KANTER ____________________________________________________________________ 8 TEMAOPGAVE: LANDMÅLING _________________________________________________________________ 11 TEMAOPGAVE: KLASSISK GEOMETRI_____________________________________________________________ 14 TEMAOPGAVE: COSINUS‐ OG SINUSRELATIONER ____________________________________________________ 15 TEMAOPGAVE: AFSTANDE I PLAN OG RUM ________________________________________________________ 16 EKSEMPLER PÅ EKSAMENSSPØRGSMÅL TIL GEOMETRI UD FRA TEMAOPGAVER _______________________________ 17

DEL 2: VARIATION I DET SKRIFTLIGE ARBEJDE, RETTESTRATEGIER OG PROGRESSION ________________ 18

VARIATION I DET SKRIFTLIGE ARBEJDE ___________________________________________________________ 18 PROCESSKRIVNING OG RETTESTRATEGIER ________________________________________________________ 30 FRA OPGAVEFORMULERING TIL EVALUERING _______________________________________________________ 30 TRIN 1: EKSPLICITTE KRAV TIL DET SKRIFTLIGE PRODUKT _______________________________________________ 30 TRIN 2: SKRIVEPROCESSEN OG LØBENDE VEJLEDNING AF ELEVERNE _______________________________________ 30 TRIN 3: SLUTEVALUERING ___________________________________________________________________ 31

DEL 3: SRP I MATEMATIK ________________________________________________________________ 33

DET GYLDNE SNIT I 1. G _____________________________________________________________________ 33 DET GYLDNE SNIT I 2. G _____________________________________________________________________ 34 DET GYLDNE SNIT I 3. G _____________________________________________________________________ 37 KRYPTOLOGI I 1.G: FORMIDLING AF KRYPTOLOGISKE GRUNDBEGREBER ____________________________________ 38 KRYPTOLOGI I 2.G: BASAL TALTEORI OG RESTKLASSEREGNING __________________________________________ 40 KRYPTOLOGI I 3.G: ENIGMA OG ANDRE KRYPTOSYSTEMER _____________________________________________ 41 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 1G ________________________________________________________ 42 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 2G ________________________________________________________ 44 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 3G ________________________________________________________ 46 REFLEKSIONER OG SRP _____________________________________________________________________ 47 TYPER AF SRP‐OPGAVER ____________________________________________________________________ 47 I. BRUG AF MATEMATIK I LITTERÆR SAMMENHÆNG __________________________________________________ 47 II. BRUG AF SIMULERING ELLER EKSPERIMENTEL MATEMATIK ____________________________________________ 48 III. BRUG AF MATEMATISKE MODELLER __________________________________________________________ 48 IV. FAGLIG FORMIDLING MED DANSK. ___________________________________________________________ 48 V. MATEMATIK I KULTUREL ELLER HISTORISK SAMMENHÆNG. ___________________________________________ 49 AFSLUTTENDE KOMMENTAR: MATEMATIK OG SRP _________________________________________________ 50 TILEGNELSE AF NYT STOF ____________________________________________________________________ 50 ANDRE FORMER FOR SKRIFTLIGHED I FORBINDELSE MED SRP: __________________________________________ 51 VURDERING AF SRP: SOLO‐TAKSONOMI OG KOMPETENCER ___________________________________________ 52

3

DE 10 BUD TIL SRP: _______________________________________________________________________ 52 VIDERE HENVISNINGER: _____________________________________________________________________ 53

BILAG 1: EKSEMPLER PÅ OPGAVEFORMULERING TIL DEL 2 _____________________________________ 54

BILAG 2: EVALUERINGSARK TIL BEDØMMELSEN AF SKRIFTLIGE PRODUKTER TIL DEL 2 _______________ 59

4

Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed

Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

Forfattere til del 1: Morten Overgård Nielsen, Katja Kofod Svan, Janus Lylloff, PeterPedersenogLarsBoKristensenOmgruppensarbejde: Iforbindelsemedindførelsenafprøveformc)tilmundtligeksamenimatematikkomder i læreplanernekravom,at "enbetydeligdel af eksamensspørgsmåleneskalværeudformetsåledes,atdetermuligtatinddragegennemførteemne‐ogprojektforløbmedtilhørendeelevrapporter".Hvorudviklingsprojektetsidsteårgavenrække forskelligeeksemplerpå temaopgaver,harfokus i denne gruppes arbejde været at få præciseret hvad begrebet helt dækker over.Desudenerudarbejdeteksemplerpå temaopgaverog tilhørendeeksamensspørgsmål indenforemnetGeometriogpåalleniveauerfraCtilA.Den ny skriftlighed sætter fokus på dels udvikling af elevernes skrivekompetencer og delsanvendelsen af skriftlighed som led i tilegnelsen af faglig viden og kompetence (jf. alle firegymnasiale uddannelsesbekendtgørelser). Det er med den ny skriftlighed blevet alle fagsansvar at bidrage til den studieforberedende skrivekompetence og ikke kun fagets egenskriftligeeksamen.Iuddannelsesbekendtgørelsenbeskrivesstudieforberedendeskrivekompetencesomfølgende:

- Eleverneskalkunnefindeogudvælgerelevantstofsamtbehandleogskriftligtformidlecentraleenkelt‐ogflerfagligeemner.

- Eleverne skal under anvendelse af faglig viden, grundlæggende metoder i faget/fagene ogrelevantdokumentationkunnegiveenklar,sammenhængendeognuanceretskriftligfremstilling,derbyggerpåfølgendestudieforberedendeskrivekompetencer:

- genrebevidsthed- sprogligkorrekthed- disposition- argumentation- anvendelseafcitater,figurer,illustrationerm.v.- præsentation(f.eks.talepapirtilmundtligfremlæggelseogpowerpointpræsentation)- relevantehenvisninger,noteapparatoglitteraturliste.

Meddennyskriftlighederdertilligekommetetbredereregisterafskriftligegenrerifagene,og i matematik er temaopgaverne en af nyskabelserne. Vi ser brugen af temaopgaverne imatematiksomenmådeatimødekommevæsentligeelementerafnyskriftlighedpå.Temaopgaverne kan anvendes som en måde at få matematikfagets alsidighed frem på.Arbejdet med dem kan gøre faget mere almentdannende, end når man kun arbejder medtraditionellematematikopgaver.Vitror,atelevernelærermereogforstårtemaetdybere,nårmanarbejdermedforskelligemåderatskrivepå. Temaopgaver er samtidig nyttige i forhold til fagets egne eksamener. Temaopgaver er ilæreplanenformatematikblevetencentraldelafundervisningenogkanopfattessomenny

5


mådeatstrukturerestoffetpå. Ide førsteårsarbejdemedtemaopgaverneharderprimærtværetfokuspåderesanvendelighediforbindelsemeddenmundtligeeksamen(fremtil2012prøveform c). Imidlertid kan temaopgaverne også spille en betydelig og vigtig rolle somforberedelsetildenskriftligeeksamen,hvordergives2pointtil”helhedsindtrykket”forhveropgave. Derudover kan temaopgaverne naturligt indgå som et centralt redskab til at lærematematikogmatematiskekompetencer.Vedat konkretisere fokusogkrav fordeenkeltedeleaf temaopgavernevil temaopgavernevære med til at give et bedre overblik over matematiske emner, træne forskelligeskrivekompetencer samtidigmedat problembehandlingskompetencenkanbringes i spil påentilfredsstillendemåde.

Hvaderentemaopgave?I alle vejledningerne til læreplanerne for matematik fra 2010 omhandler afsnit 2.7temaopgaver.Entemaopgavedefineresinærværendematerialesomensamlingskriftligeprodukterindenforsammeoverordnedetema.Ettemakanentenværeetemneellerenkompetence,fxvækst,geometri, funktioner, differentialregning, infinitesimalregning, matematiske modeller,differentialligninger, statistik, optimering, matematisk ræsonnement eller matematiskerepræsentationer. Temaopgaven skal i udgangspunktet ikke dække et helt emne ellerkompetence i sig selv, men blot dele heraf og kan således supplere behandlingen af enkompetenceelleremnepåpassendevis.En temaopgave sættes sammen af flere forskellige typer af skriftlige produkter, dvs. det erikke blot et nyt ord for fx projektrapporter. Temaopgaven kan knyttes til et konkretundervisningsforløbellertemaopgavenkansættessammenafskriftligtarbejdefraforskelligeundervisningsforløb inden for samme tema. Temaopgaven kan derfor udvikle sig over deforskellige årstrin i matematikundervisningen og dermed komme til at indeholde flere ogflereelementerindenfordetaktuelletema.Formåletmedentemaopgaveer,atelevenbehandlerogdermedindlærertemaetviaenstribeforskelligeogforskelligartedeopgaverpåforskelligeniveauer.Denfærdigetemaopgaveskulledervedgiveelevenetbedreoverblikovertemaet.Temaopgavensdelopgaverkanfxværerapporteringafeksperimenteltarbejde,formidlingafteoretisk stof, løsning af træningsopgaver, skriftlige eksamensopgaver, eksempler påanvendelser m.m. Delopgaverne kan være mere eller mindre stilladserede. Dele kan væremeget selvstændige, måske som projektrapporter, og andre kan være ret lukkede.Progressionenilæringenbørfremståaftemaopgaven.De forskellige delopgaver i en temaopgave har forskelligemål. Nogle delopgaversmål kanvære at træne matematisk kommunikationskompetence, herunder sproglig præcision (fxgennem formidling af teoretisk stof), andre delopgaversmål kan være at træne løsning afopgaver til skriftligeksamen(fx løsningaf tidligereeksamensopgaver,udarbejdelseafegneeksamenslignende opgaver), målet med andre igen kan være at øge den matematiskeforståelseforstoffetgennemskriftligformuleringogformidling.Detvilværehensigtsmæssigtatformulereklaremålforhverafdelopgaverne.Entemaopgaveafleveresikkenødvendigvissométfærdigtprodukt,derskalrettesaflæreren.Deleaf temaopgaven lavesmåske igrupper,andre individuelt.Lærerenmåoverveje,hvilkedeleafdelopgavernederskalrettesaf læreren,hvilkederskalrettesafandreelever,hvilke

6


derskalgenafleveres,oghvilkedersletikkeskalrettes(iforholdtilkonkreterettestrategier,henvisestildokumentet”rettestrategierogprogression”,somerlavetiforbindelsemeddettearbejde).

SkriftligeprodukteritemaopgaverMatematikopgaver med forskellig grad af kompleksitet inden for temaet. Opgaverne kan være stillet af læreren eller af andre elever. Der skelnes mellem følgende opgavetyper:

- Mindretræningsopgaver,dertræneretemneellerenmetode.- Tidligerestilledeeksamensopgaverellervejledendeeksamensopgaver,derhartil formålatvise

kravenetileksamen.- Merekrævendematematikopgaver (der ikkekankategoriseresunder enafdeøvrige)og som

indeholderstørregradafkompleksitetendtræningsopgaverogeksamensopgaver.Formidlingsopgaver, hvor temaet (eller dele heraf) formidles på forskellig måde afhængig af modtager. Dette kan både være formidling af et emne (fx et referat af et forløb) og formidling af teori eller beviser. Projektrapporter. Disse vil tage udgangspunkt i en problemformulering, som læreren eller eleven udformer. Projekter er af undersøgende karakter og arbejdet vil være mindre lærerstyret end i de øvrige opgavetyper. Projektet kan fx omhandle matematiske ræsonnementer. Projektrapporten bør i sin endelige udformning være en sammenhængende tekst og kan bruges som træning i at skrive matematikholdige tekster, herunder SRO, SRP, AT-synopsis og SSO. Projektrapporten vil indeholde følgende dele:

- Problemfelt - Redegørelseformetode(numerisk,formelellersyntetisk)- Behandlingafproblem- Konklusion

Temaopgaversættessammenafovenståendedelelementerpåenmåde,sådenkanbrugestilat strukturere stoffet for eleven og give overblik. Ikke alle tre af ovenstående skriftligeprodukter skal nødvendigvis altid være til stede i en temaopgave,men for at tilgodese nyskriftlighedbørentemaopgaveindeholdeflereforskelligetyperafskriftligtarbejde.Desudenbørder(ifølgeundervisningsvejledningen)altidværeelementerafmatematiskræsonnement,anvendelse i form af opgaveregning og behandling afmere komplekse problemer til stede.Medmatematisk ræsonnement tænkes både teori og beviser. Dette kan indtænkes på fleremåder, fx i formidlingsopgaver eller i en projektrapport. Man kan ligeledes indlæggeindledendeskriveøvelser(fxtænkeskrivning,mindmapping,hurtigskrivningmv.)iforbindelsemed en temaopgave, hvor eleverne skydes ind på opgaven/emnet. Denne del bedømmesderforsomoftestikke.Dermed er det målet, at temaopgaver kan være med til at udvikle elevers generelleskrivekompetence i højere grad end de traditionelle matematikopgaver, fordi der itemaopgaverogsåerfokuspåmatematikholdigtekstfremstillingogformidlingafmatematik.Samtidig trænes nogle af de studieforberedende skrivekompetencer, som også anvendes istørreskriftligeopgaver.

Sammenhængen mellem temaopgaver og eksamen

Skriftligeksamentilgodesesved,atdertrænesskriftligmatematikpåenmerevarieretmåde,såflerelæringsstiletilgodeses,ogsådeforskelligeemnerogopgavetyper,derforekommertilskriftligeksamen,erbehandletpåenmåde,dergiveretforelevenmerehelstøbtbillede.Det

7


ervoresbagvedliggendeerfaringogopfattelse,atet forsnævertfokuspåeksamensopgaverikkeerdenbedstmuligeforberedelsetilskriftligeksamenforeleverne.Mundtligeksamen tilgodeses,vedatdertilenbetydeligdelafeksamensspørgsmåleneifølgebekendtgørelsenskal tilknyttes temaopgaverellerprojektrapporter.Et struktureretarbejdemed temaopgaverne kan derfor sikre eleverne et bedre udgangspunkt til disse dele afeksamensspørgsmålene, ligesom der i arbejdet med temaopgaverne naturligt er fokus påformidling af stof. Dette giver eleverne et bredt erfaringsgrundlag hen mod en eventueltmundtligeksamen.Eteksamensspørgsmål,dertagerudgangspunktientemaopgavelæggeroptil,atelevenselvkanvælgeniveauetfordenmundtligefremlæggelse.

Geometri som eksempel

Medudgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet ”Matematikogdenny skriftlighed”gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper, der indgår i en samlettemaopgave,kanseudindenforetkonkretemneområde:Geometri.Der fokuseres i det følgende på nedenstående typer af opgaver (citat fra dokumentet”Matematikogdennyskriftlighed”):Matematikopgaver med forskellig grad af kompleksitet inden for temaet. Opgaverne kan være stillet af læreren eller af andre elever. Der skelnes mellem følgende opgavetyper:

- Mindre træningsopgaver, der træner et emne eller en metode. - Tidligere stillede eksamensopgaver eller vejledende eksamensopgaver, der har til formål at

vise kravene til eksamen. - Mere krævende matematikopgaver (der ikke kan kategoriseres under en af de øvrige) og

som indeholder større grad af kompleksitet end træningsopgaver og eksamensopgaver. Formidlingsopgaver, hvor temaet (eller dele heraf) formidles på forskellig måde afhængig af modtager. Dette kan både være formidling af et emne (fx et referat af et forløb) og formidling af teori eller beviser. Projektrapporter. Disse vil tage udgangspunkt i en problemformulering, som læreren eller eleven udformer. Projekter er af undersøgende karakter og arbejdet vil være mindre lærerstyret end i de øvrige opgavetyper. Projektet kan fx omhandle matematiske ræsonnementer. Projektrapporten bør i sin endelige udformning være en sammenhængende tekst og kan bruges som træning i at skrive matematikholdige tekster, herunder SRO, SRP, AT-synopsis og SSO. Projektrapporten vil indeholde følgende dele:

- Problemfelt- Redegørelseformetode(numerisk,formelellersyntetisk)- Behandlingafproblem- Konklusion

Iforlængelseafpræsentationenafopgavernefindeskommentarertilderesindholdm.m.Defemeksemplerkanentenbrugessomselvstændigetemaopgaverellersættessammentilenstørretemaopgave.Dettekantilrettelæggespåfleremåder.Elevernekanpåforhåndfåenopgavebeskrivelseafdensamledetemaopgave,ellerdekanfådeenkeltedeleefterhånden.Etholdvilnok ikkevælgeat lavealle femeksempleromgeometri,menkunetudvalgafdem.

8


Hvorvidttemaopgavenopbevaresienelektroniskellerfysiskmappe,måligeledesværeoptildenenkeltelærerogelev.

Temaopgave:n‐kanterFormål:Atudvikleogtrænelogiske,matematiskeræsonnementer.Arbejdsform:Individueltarbejde–medmulighedforsamarbejdeundervejs.Produkt:Etresumémedformidlingsamtbesvarelseafopgaver.Duskalsvarepåspørgsmåleneidettedokument.Skrivbesvarelserneindidokumentetefterspørgsmålene–oggemdokumentetpådinegencomputer.Imågernearbejdesammen,menduskalskriveselv.Det er vigtigt, at du ikke blot skriver i stikord, men i hele sætninger, når du svarer påspørgsmålene.Duskalaltsåikkebareskrivesvaret,menhuskeargumenterforditsvar.Tænkpå, at en klassekammerat skal kunne læse svaret, uden at have været igennemdet sammeforløbsomdig.Brugsåkorrektmatematisknotation,somdukan.Opgaverne skal ikke afleveres samlet, men du skal specielt vise din lærer dine svar påspørgsmål 4, 10 og 12. Og du skal til slut skrive et kort resume af dine spørgsmål (sespørgsmål16)–detskalafleveres.IentrekantervinkelA=29ogvinkelB=58

1. Bestemstørrelsenafdensidstevinkel,dvs.vinkelCTegnensekskant–entenpået stykkepapireller i etgeometriprogram.Delden indud fraskitsennedenfor:

2. Hvadervinkelsummenisekskanten?Husk,duskal(stadig)argumentereforditsvar.3. Gørnogetlignendemedenotte‐kant–hvadervinkelsummenher?

Duskalnuforsøgeatkombineredetoopgaverovenfor–kanduseensammenhængmellemdineargumenter?

4. Opstilpåbaggrundafseks‐ogotte‐kantenenformelforvinkelsummenienn‐kant.Detvilsige,atduangiveenformel,somkanbrugestilatudregnevinkelsummenienfigurmednkanter.

5. Brugdinformeltilatregnevinkelsummenien24‐kant.Engeometriskfigurkaldesregulær,hvisallevinklerogsidererligestore.

6. Hvordanserenregulærtrekantud–oghvadkaldesdenogså?7. Hvorstoreervinklerneienregulærtrekant?8. Hvorstoreervinklerneienregulærsekskant?9. …Hvadmedenregulærotte‐kant?10. Opstil en formel for den enkelte vinkel i en regulær n‐kant. Forsøg at bruge en

matematiskformel.Duskalnubetragtedineregulærefigurersomfliser,derkanlæggesienindgangtilethus.

9


Detviser signemlig,atmanskal tænke lidtover,hvilkeregulære flisermankøber ind,hvismangernevilhaveenindkørseludenmellemrummellemfliserne!

11. Kigpåbilledetovenfor,ogbeskrivmedord,hvadskerdesteder,hvorflisernemødesmedandrefliser.Hvilkekraverdertilflisernesvinkleridisse”møder”?

Duskullenugernehavenåetfremtil,atdetikkeerligegyldigt,hvilkenformderegulærefliserhar.

12. Hvilkeformerafregulæren‐kanterkanflisernehave,foratdukanlykkesmedatdækkeenindgangmedensfliser,udenatderopstårmellemrummellemfliserne?

13. Kandubruge12‐kantertildenneopgave?Hvorfor/hvorforikke?14. Kanduudelukkenogenflisetyper?

Somenafsluttendedelafopgavenskaldunuprøveatlaveetmønsteraffliser,somikkekunbestår af ens regulære fliser. Men kravet er igen: Der må ikke være mellemrum mellemfliserne.

15. Fliselægen indkørselmedregulæren‐kant fliser.Argumenter for,hvilkekombinationeraffliser,dubrugerundervejs.

16. Skrivetkortresume(ca.20linjer)afdinearbejdsgange,ogsvarpåspørgsmålene1‐14.Resuméetskalskrives,sådetkanlæsesafenklassekammerat,somikkehararbejdetmedspørgsmålene.Huskdevigtigstepunkter.

10


Kommentarertiltemaopgavenn‐kanterDenne temaopgave består primært af små træningsopgaver med en indlagtformidlingsopgave(opgave16).Temaopgavenharfokuspåatredegøreforteoriogimindregradpåatregnematematikopgaver.Temaopgavenindeholderligeledesetelementafundersøgendekarakter(spørgsmål15).Afleveringsdelen er resuméet og understreger dermed temaopgavens placering som enformidlingsopgave.Mendererindlagt”kontrolfaser”iforbindelsemedopgave4,10og14.OpgavenerprimærthenvendttilmatematikCeller1.g.

11


Temaopgave:LandmålingFormål:Formåletmeddennetemaopgaveeratskabeindsigt i,hvordantrigonometribliveranvendtipraksis.Arbejdsform:Gruppearbejde.Produkt: Opgaven består af tre delemed hver sit problemmed tilhørende underpunkter.Besvarelserne til hver af de tre dele samles i en projektrapport. Husk at gøre rede formetoderneideforskelligedelevedbrugafetpassendeantalmellemregninger,enforklarendetekstsamtenskitseogevt.etbilledeafsituationen.Ideopgaver,hvorIselvskalbestemmelængderellerhøjder,kanImedfordeltagebilleder(fxmedjeresmobiltelefon)oginkludereirapporten.Billedetkanikkeerstatteenskitse.Materiale:GyldendalsGymnasiematematikgrundbogB1side34til46samtudleveredenoterfraKnudErikNielsenogEsperFogh,Naturfagfor1.g(HAX‐data2000)skalliggetilgrundforopgavensbesvarelse.Bemærk:Træningsopgaverskal ikkemed idenendelige temaopgave,mener lektier tildenpågældendedag.

AfstandsmålingmedensvinkledetrekanterLitteratur:Nielsen&Fogh:side188og189Grundbogen:s.34‐39(seovenfor)Problemfelt:Hvordanmålermanenhøjdevedbrugafensvinkledetrekanter?Træningsopgaver:

Underpunkter

a) Redegørfor,hvilkenmatematikdeternødvendigtathavekendskabtilforatbesvareproblemfeltet?Opskrivnødvendigebegreber,formlerdefinitioner,sætningerosv.

b) Kom med to eksempler på hvordan man bestemmer en højde. Husk en præcis oguddybendeforklaringafmetoden,hvorIbrugerbegreberogsætningerfradela).

c) Hvilkestyrkerogsvaghedererdervedmetoden?Konklusion: Skriv en sammenhængende konklusion, der indeholder, hvad I erkommetfremtil.Husk,atkonklusionenskalbesvareproblemfeltet.

Afstandsmålingvha.vinkelmåling.Litteratur:Nielsen&Fogh:side188og189Grundbogen:s.34‐39(seovenfor)Problemfelt:Hvordanbestemmermanafstandemellem topunkteroghøjderaf genstandevedatmålevinkler?

EfterNielsen&Foghopgave175side198.Gengivetmedtilladelsefraforlaget.

12


Træningsopgaver:192side199iNielsen&Fogh.(seovenfor)

Underpunktera) Redegørfor,hvilkenmatematikdeternødvendigtathavekendskabforatkunneløse

detteproblem?Opskrivnødvendigebegreber,formlerdefinitioner,sætningerosv.b) Beskriv, hvordanman gør, nårman skal bestemme en længde og en højde. Brug en

teodolit til at måle vinkler med, og husk en præcis og uddybende forklaring afmetoden,hvorIbrugerbegreberogsætningerfradela).

c) Hvilke styrker og svagheder er der ved metoden? Sammenlign denne metode medmetodeniførstedel.

Konklusion: Skriv en sammenhængende konklusion om, hvad I er kommet frem til.Husk,atkonklusionenskalsvarepåproblemstillingen.

TegningafkortvedtrianguleringLitteratur:Nielsen&Fogh:side196og197Grundbogen:s.40‐46(seovenfor).Træningsopgaver:Opgave196og200side200iNielsen&Fogh(seovenfor).Problemfelt:Hvordanlavermanetpræcistkortoveretområde?

EfterNielsen&Foghopgave196og200side200‐201.Gengivetmedtilladelsefraforlaget.

EfterNielsen&Foghopgave190og192side199.Gengivetmedtilladelsefraforlaget

13


Underpunktera) Redegørfor,hvadtrianguleringer.Hvilkematematiskebegreber,formler,definitioner

osv.ernødvendigeathavekendskabtilforatforstå,hvadtrianguleringer?b) Beskriv,hvordanmangørvedattegneetkort.Huskenpræcisoguddybende

forklaringafmetoden,hvorvigtigebegreberfremhæves.c) Hvilkestyrkerogsvaghedererdervedmetoden?Sammenligndennemetodemed

metoderneidetoførstedele.Konklusion:Skrivensammenhængendekonklusionom,hvadIerkommetfremtil.Husk,atkonklusionenskalsvarepåproblemstillingen.

KommentarertiltemaopgavenlandmålingDenne temaopgavebestår af tredele, som tilsammenudgør enprojektrapport –den følgermegetstringentovervejelseromproblemfelt,redegørelseformetoder,behandlingafproblemogkonklusion.Formidlingsdelene/ræsonnementeterbundetoptildetgivneproblemfeltogudgørsåledesendelafdenundersøgendekarakteriprojektdelen.Projektrapporten kan sammenmed træningsopgaverne udgøre en temaopgave eller indgåmedandreopgaveienstørretemaopgavederogsåkanpegemereellermindrefremmoddenskriftlige eksamen. Temaopgaven består altså for eleven af træningsopgaverne samtprojektrapporten, mens det kun projektrapporten der afleveres og rettes af læreren.Træningsopgaverne kan evt. rettes af andre elever i gruppen eller gennemgås i løbet aftimerne.

14


Temaopgave:KlassiskgeometriFormålIdetteforløbskalduforsøgeatbrugematematiskemetodertilatnåfremtilsammenhængefor geometriske figurer. Disse skal formuleres som matematiske sætninger som du skalargumenterefor.ProduktI skal i grupper aflevere en temaopgave på ca. 3 sider bestående af svar påarbejdsspørgsmålenenedenfor.Temaopgavenskaldannebaggrundforenfremlæggelse,hvorIskal”overbevise”jeresklassekammerateromdesammenhænge,sætningerogargumenterIharfundet.ArbejdsspørgsmålKonstruer en tilfældig trekant vha. jeres CAS‐værktøj, og tegn de tre vinkelhalveringslinjer.Deformer trekanten (vedat flytterundtpådenshjørner),ogundersøg,om Ikanafsløreenegenskabveddetrevinkelhalveringslinjerogderesskæringspunkt.

Formulerresultatetsomensætning,ogovervej,hvorfordetkanpasse.Tegn en cirkel med centrum i vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt, og juster cirklensradius, så den netop rammer alle tre sider i trekanten (dvs. cirklen tangerer siderne itrekanten).Lavsåompåtrekantensform(vedattrækkeiethjørne),ogse,omIkanjusterecirklen,sådenstadigtangereralletresider.

Formulerresultatetsomensætning,ogovervej,hvorfordetkanpasse.(Tilsvarende spørgsmål om midtnormaler og omskreven cirkel, medianer og højder kantilføjes,hvisdetønskes–eventueltdelesudpåforskelligegrupper.)Konstruerenfirkant,ogforbinddefiresidersmidtpunkter,såderdannesennyfirkantindenidenførste.Deformerdenstorefirkant,ogholdøjemeddenlille.

Hvad ser der ud til at gælde for den? Prøv at formulere en sætning, der omhandlerdenneopdagelse,ogovervej,hvorfordenkanpasse.

Arbejdsform:pararbejdeMaterialer:Noteromklassiskgeometri.

KommentarertiltemaopgavenklassiskgeometriDenne temaopgave er i udgangspunktet en formidlingsopgave, men har ikke en klassiskopbygning.Denindeholderdogbådeproblemfelt,metoderedegørelse,behandlingafproblemog konklusioner. Og der er eksperimenterende/undersøgende dele, samt krav tilræsonnement.Desudenindeholdertemaopgavenenformidlingsopgave,fordisammenhængeogargumenterskalfremlæggesforrestenafklassen–gennemdetnedskrevne.Der kan yderligere indlægges kortere skriveøvelser i den indledende del, f.eks.hurtigskrivning om alt hvad eleverne på forhånd ved om trekanter, og differentiering, hvisdetteønskes.Forud for arbejdetmed temaopgaven ligger et kort forløb om klassisk geometri, herundermatematikkensopbygning.

15


Temaopgave:Cosinus‐ogsinusrelationerFormålAtarbejdemedogforståetgeometriskbevis.Atskrivenoterforatskabeoverblikoverbevis.Træningafmundtligogskriftligdimension.MaterialeKopieret materiale fra tre forskellige matematikbøgermed de to beviser, samt ti udvalgteeksamensopgaverindenforemnet.ArbejdsformGruppearbejde.ProduktMundtlige fremlæggelser for restenafklassenmedbaggrund ien ”drejebog”, som ikkeskalafleveres.Besvarelseafudvalgteeksamensopgaver(somuploadestilklassenselektroniskeplatform).Retning og kommentering af en anden gruppes opgavebesvarelser (som sendes tilbage tilgruppen,derharudarbejdetden).ArbejdsgangStudielæsdetrebeviser,samtidigtmedat I tagernoterpåetstykkepapir.Hvilketafdetrebeviser foretrækkerI?Redegørfor,hvorforI foretrækkerdettebevis(denneforklaringskalmedijeresmundtligefremlæggelse).Gennemarbejdnujeresudvalgtebeviser,såIkanfremlæggedet(laven”drejebog”).Udvælgfemopgaverframaterialet,somIønskeratløse.Klargørargumenternefor,hvorforIvælger netop disse opgaver. Forklaringen skal stå som indledning på jeres besvarelse.Udarbejdbesvarelsen,oguploaddentilklassenskonference.Hent en anden gruppes besvarelse af femopgaver ned fra konferencen.Ret og kommenterdisseopgaver.Gennemlæskommenteringenafjeresegnebesvarelser

KommentarertiltemaopgavencosinusogsinusrelationerDenne temaopgave indeholder mange forskellige dele. Der indgår skriveøvelser (i denindledende del af bevisførelsen), matematikopgaver (tidligere stillede eksamensopgaver),formidlingsopgaver(”drejebogen”tilfremlæggelsen,redegørelserundervejs).Retning og kommentering af andre gruppers opgaver inddrager forskellige dele afovenstående.Alt efter hvordanman ønsker aflevering og fremlæggelse, kan der skrues på de forskelligedele.Herunderhvormeget,derskalrettesaflærerenogafelever.

16


Temaopgave:Afstandeiplanogrum

FormålAtskabeoverblikoverafstandsberegningiplanogrum–bådemedhensyntilberegningerogmedhensyntilbeviser.MaterialeGrundbogensindholdomafstandeogafstandsberegning(Jensen,JessenogOvergårdNielsen:Matema10kA‐niveau).Iskaligruppenudvælgecentraleafstandsberegninger[herkanmansomlærerjustere,hvadmanønskerskalmed].DesudenskalIvælgeensætningforenafstandsformel,somIønskeratbevise.ArbejdsformGruppearbejde.ProduktSkriv en temaopgave, der indeholder oversigt over, hvad I vurderer, der er centraleafstandsberegninger i plan og rum. Rapporten skal indeholde eksempler påafstandsberegninger (enten somopgaver frabogeller andeteller selvproducerede), ogdenskalindeholdemindsteteksempelpåbevisforsætningforenafstandsformel.Målgruppenforopgavenskalværeeleverpåsammeniveausomjer.Rapportenskalværeielektroniskform,sådenkanformidlestilrestenafklassen.

KommentarertiltemaopgavenAfstandeiplanogrumDenne temaopgave indeholder eksempler på formidlingsopgaver, idetmålet er at formidlebeviserne.Materialetkanjusteresefterønske.Elevernekanselvfindeeksemplerpåopgaver,ellerdekanfåsomopgaveatkonstruereopgaver.Detkangøremereellermindrefritfordenenkeltegruppeatvælgesætning,derskalbevises.Dennetemaopgavegørdetnemtatniveaudifferentiere,daeleverneselvskalvælge,hvilkensætning der skal bevises, og de lægger dermed selv niveauet for temaopgaven og dettilhørendemundtlig eksamensspørgsmål. Det er afgørende, at eleverne får dette at vide påforhånd.

17


Eksempler på eksamensspørgsmål til geometri ud fra temaopgaver

Følgendeeksamensspørgsmålerformuleretudfraeksemplernepåtemaopgaverigeometri.C‐niveau

GeometriRedegørforn‐kanterpåbaggrundafdintemaopgave’n‐kanter’.

B‐niveau

GeometriRedegørforlandmålingpåbaggrundafdintemaopgave’landmåling’.

B‐ellerA‐niveau

GeometriRedegørforlandmålingpåbaggrundafdintemaopgave’landmåling’.Fremlægogbeviscosinusrelationen.

A‐niveau

GeometriogvektorerRedegør for klassisk geometri på baggrund af din temaopgave ’klassiskgeometri’.Udvælgeksemplerpåsætninger,ogfremlægmindstétbevis1.

A‐niveau

GeometriogvektorerPå baggrund af din temaopgave ’afstande i plan og rum’ skal du redegøre forberegningafafstandeiplanogrum.Vælgselvénellerfleresætningeromafstande1,ogbevisdenvalgtesætningellerdevalgtesætninger.

1 Vi har diskuteret, om kravet i formuleringerne er klare nok. Det er naturligvis afgørende, at læreren grundigt

orienterer om, hvordan valg har betydning for karakteren. Desuden er spørgsmålet et eksamensspørgsmål på A‐

niveau. Den enkelte elever skal hjælpes til at vælge et eller flere beviser, som vedkommende magter at fremlægge.

18

Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression

Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

Forfatteretildel2:UllaJakobsen,LouiseJensen,IbMichelsenogCamillaZacho

Omgruppensarbejde: Idennegruppeerarbejdetmed,hvordanmankanarbejdemedskriftligmatematikpåflereforskelligemåder.Dettebetyderatdeforslagogideersomerblevet udarbejdet her, kan finde anvendelse indenfor hele spektret af skriftligt arbejde påungdomsuddannelserne.Hvorden forrige gruppehavde16 forskellige temaopgaver er resultatet af anstrengelsernedenne gang 16 forskellige former for skriftligt arbejde. Dette kan forhåbentligt giveinspirationtilattræneeleverneialtfraskriftligeksamenovertemaopgavertilSRP.:

Variation i det skriftlige arbejde

Idet følgendegivesenrækkeeksemplerpåelementer til variationafdet skriftligearbejde.Eksemplerneersomfølger:1.Vurderingafautentiskeelevbesvarelser. 2.Teorikoblettilopgaver. 3.Opgavermedindbyggedefejl. 4.Opgavermedgoderådogvink. 5."Stilladseringsopgaver" 6.Mindmaps7.”Findender….”(CooperativeLearning) 8.”Hvadharjeghaftom?” 9.Konstruktionafspil 10.BrugafClickers 11.Konstruktionafopgaverr12.Manuskripttilmundtligeksamen

19


1.Vurderingafautentiskeelevbesvarelser.Skriftligafleveringover2omgange.

Løs nedenstående opgave og lav din besvarelse, som du ville gøre til eneksamen.

Opgave.Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9.klasse på efterskole i perioden2000‐2003,kantilnærmelsesvisbeskrivesvedmodellen

y=6410 1,06x,

hvoryerantaleleveri9.klassepåefterskoleogxerantalårefter2000

a) Hvadfortællertallene6410og1,06omantaleleveri9.klassepåefterskolen?

b) Hvormangeelevervarderi9.klassepåefterskolei2004ifølgemodellen?Kommentermodellen,nårdetoplyses,atantalletafeleveri2004var8118.

Angiv hvor mange point ud af 10, der skal gives til hvert spørgsmål ifølgendebesvarelserogbegrundditvalg.Eksemplerpåautentiskeelevbesvarelserafspørgsmåla):

Eksempel1:DeterkonstanterieneksponentieludviklingEksempel2:Deternogentalienformelderbrugestilatberegnehvormangeeleverdergikpåefterskoleefteretvistantalårefter2000.

Eksempel3:Derertaleomeneksponentielfunktion.Tallet6410fortæller,hvormangeeleverdervari9.klasseiår2000,mens1,06fortæller,hvormegetelevtalletvokserpr.år.

Eksempel4:berudgangspunktet(værdienafyvedx‐aksens0)6410stårpåb’spladsogeraltsåantalletafeleveriår20001,06stårpåa’spladsogerfremskrivningsfaktor.1,06svarertilenårligvækstielevtalletpå1,06‐1=0.06=6%Eksempel5:6410=antaleleveri20001,06=erhvormegetdetstigermedpr.år.

20


Eksempel6:Tallet6410betyder,atderiperiodensstart,iår2000,var6410eleveri9.klassepåefterskole.Tallet1,06betyderatantalletafeleveri9.Klassepåefterskoleerstegetmed6%omåretiperioden2000‐03.

Eksemplerpåautentiskeelevbesvarelserafspørgsmålb):Eksempel1:6410 1,064=8092,48Ifølgemodellenvarelevtalletstegettil8092i2004Modellenertætpåatværeheltpræcis.Afvigelsenpå26erganskelidtudafdetsamledeelevtalogmåsigesatværeplot,nårmantageribetragtninghvormangeforholdomkringvalgafefterskole,sommodellenikkekantagehøjdefor.Eksempel2:y=6410 1,064=8092eleverIår2004varderaltsåifølgemodellen8092eleveri9.klassepåefterskole.Når det oplyses, at der i virkeligheden var 8118 elever, må vi konstatere at

modellenvurderer24elevereller0,3%( =0,003=0,3%)forlavt.Dermed

måmodellensigesatrammemegetpræcist.Måske også mere præcist end man kan forvente fordi det er tale om eneksponentielmodel.Stigningenafantaleleverpåefterskolenmåkunforventesatvokseeksponentieltienperiodefordiderikkeiændringeniantalletafeleveri9.klasseefterskoleikkeisigselvliggereneksponentielvækst.Detmåvurderesatværeettilfældeatmankananvendedennemodel–ogmodellenmåforventeskunatværekorrektienkortereperiode.

Eksempel3:Antaleleveri2004:y=6410 1,064=8092,48Dererca.8092eleveri2004.Detoplysesatantalletafeleveri2004var8118.Detfortælleratelevtalletvoksermerenogleårendandre.Modellenersåledesikkeheltentydig.Angiv hvor mange point ud af 10, der skal gives til din sidemandsbesvarelse.Lavdinbesvarelse(om),sådufårflestmuligepoint.

24

8118

21


2.Teorikoblettilopgaver.Afleveringieksponentiellesammenhængea) Beskriv3metodertilatfindefremskrivningsfaktoren,nårman

1. kender2punkter2. kendervækstraten3. kenderfordoblings‐ellerhalveringskonstanten

b) Enrækkeopgaverderbenytterde3ovenståendemetoder.a)kanevt.diskuteresislutningenaftimenparvis/gruppevismv.

3.Opgavermedindbyggedefejl.Læreren udarbejder et antal opgaver med indbyggede fejl. Det kan være manglendeindledende tekst, konklusioner, enheder, figurer, definition af ukendte størrelser ogforskelligeformerforregnefejlmm.Eleverneretteropgaverne(finderfejlene)entensomenafleveringelleritimerne.Opgave1.Figuren viser en gavlkonstruktion i et sommerhus. Nogle af konstruktionens mål ses påfiguren.

a) BestemlængdenafbjælkerneABogBD.

b) Bestem længden af bjælken BCsamt BCD

Besvarelseafopgave1(medfejl):Figuren(seopgaven)viserengavlkonstruktionietsommerhus.Udsnitaffiguren:

22


B=180°‐36°‐25° B=119°

Finderd:

5

sin(25 ) sin(119 )

d

d

5 sin(119o)

sin(25o) d 10,34

Findera:

a

sin(36o)

5

sin(119o)

a

5 sin(36o)

sin(119o) a=3,36dvs.bjælkenBDerca.3,36mlang

23


Nytudsnitaffiguren: Finderx:x2=62+3,362‐2 6 3,36 cos(65°)

x= 36 3, 362 12 3, 36 cos(65o)

x 5,5m( BCD= C)FindervinkelC:

cos(C ) 62 5, 52 3, 36 2

2 6 5, 5 C=33,6

Opgave2.Påeturhardenstoreviserogdenlilleviserlængderpåhenholdsvis6cmog4cm.Hvorstorerafstandenmellemvisernesspidserkl.14.00?Besvarelseafopgave2(medfejl):

24


x2=62+42‐2 6 4 cos(60°) x2=36+16‐48 cos(60°) x2=28) x= 28 x 5,29dvs.afstandenmellemdenstoreviserogdenlillevisererca.5,3cm

4.Opgavermedgoderådogvink.Løsnedenståendeopgaveoglavdinbesvarelse,somduvillegøretileneksamen.Opgave.Enkasseskallavesafenrektangulærmetalplade.

6cm

4cm

60°

x

12

14

25


Pladenslængdeer60cmogpladensbreddeer40cmIhverthjørneafpladen fjernesetkvadratmedsidelængdex,ogsiderne foldesop langsdestipledelinjerogsvejsessammentilenkasse.Kassenskallaves,sådenfårdetstørstmuligerumfang.a)Finddenværdiafx,dergiverdetmaksimalerumfang.Goderådogvink:

1. Findenformelforlængde,breddeoghøjdevedhjælpafx,2. Lavenformelforkassensrumfang.KaldrumfangetforV(x).3. Angivdetmindsteogdethøjestetal,somxkanvære.4. Lavenmonotonilinjefordinrumfangsfunktion,V(x).5. Bestemudframonotonilinjen,hvadxskalværefor,atrumfangeterstørstmuligt.6. Huskenhedikonklusionen.

5. Stilladseringsopgaver (temaopgaver og almindeligeopgaver)a)Beregningerneergivet,ogelevenskallavedenforklarendetekst.b)Denforklarendetekstergivet,ogelevenskallaveberegningerne.c)Udfyldningsopgaver.

6.MindmapsDetoeksemplernedenforerautentiskeelev‐produceredemindmaps

26


27


Mindmapskanbådelavesitimerneogsomaflevering.

28


7.”Findender….”(CL)Findender….. UnderskrifterkansigePythagorassætningmedordSkrivdenher:_____________________________________________________________________________________________________

kanformlenforailineærvækstSkrivformlenher:_________________________________________________________________________________________________

kanformlenforaieksponentielvækstSkrivformlenher:_________________________________________________________________________________________________

ved,hvadai forskriftenforet2.gradspolynomiumsigeromparablenSkrivsvarether:___________________________________________________________________________________________________

kanformlenforparablenstoppunktSkrivformlenher:_________________________________________________________________________________________________

kanfortælle,hvornårmanskalbrugecosinusrelationernetilatbestemmeenvinkelSkrivsvarether:___________________________________________

findeenandenbetegnelsefor”denafledede”Skrivbetegnelsenher:______________________________________________________________________________________________

kanfortælle,hvadailineærvækstermedetordSkrivsvarether:____________________________________________________________________________________________________

kanfortælle,hvadaieksponentielvækstermedetordSkrivsvarether:___________________________________________________________________________________________________

kanfortælle,hvadintegralregningf.eks.kanbrugestilSkrivsvarether:___________________________________________________________________________________________________

kanforklare,hvadenligebenettrekanterSkrivsvarether:_________________________________________________________________________________________________

29


8.”Hvadharjeghaftom?”Skriv½‐1sideomdetemne,duligeharhaftom‐afleveresevt.ogsåtildindansklærer.

9.KonstruktionafspilVendespil(f.eks.medformlermanskalkunneudenhjælpemidler).Brætspil(f.eks.medformlermanskalkunneudenhjælpemidler).Kortspil(somdemfraTrip).Bankospil.Puslespil (eksamensopgaver og/eller beviser klippes i stykker; eleverne samler dem i denrigtigerækkefølge).

10.BrugafClickersAlleeleverertvungettilatskrivenoget.

11.KonstruktionafopgaverElevernekonstruererselvopgaver,somløsesafandreeleveriklassen.(evt.trækenopgavefrahattenogregndenpåtavlen).

12.ManuskripttilmundligeksamenDa eksamensspørgsmålene er kendt på forhånd, kan man lade eleverne lave en skriftligpræsentationafétellerflereeksamensspørgsmålsomaflevering.Fokusskalsåbl.a.værepå,omeleven

‐ redegørforcentraledeleindenforemnet.‐ haroverblik.‐ kangøre rede forbegreberogdefinitioner (ogevt. sætningerogbeviserafhængigaf

niveauet).‐ Kantolkeogopstillemodeller.

30


Processkrivning og rettestrategier

FraopgaveformuleringtilevalueringI det følgende behandles det skriftlige arbejde som evalueres og kommenteres afunderviseren.Det skriftlige arbejde har til formål at udvikle elevernes matematiske kompetencer ogstudieforberedende skrivekompetencer samtidig med, at eleverne tilegner sig faglig viden.Arbejdet med at udvikle elevernes kompetencer gennem det skriftlige arbejde kantilrettelæggesinogletrinfraudarbejdelseafselveopgaveformuleringentilevalueringafdetskriftligeprodukt:

1. Udarbejdelseafopgaveformuleringmedeksplicittekravtilelevensskriftligeprodukt.2. Vejledningogcoachingundervejsiskriveprocessenogløbendevejledningafeleverne.3. Evalueringmedspecifiktfokus

Nedenforernogleforslagtil,hvordanmankantilrettelæggedeenkeltetriniforløbet,oghvadmanbørhaveitankerne,nåropgavenformuleres;skriveprocessenerigang,ogdetendeligeproduktevalueres.

Trin1:EksplicittekravtildetskriftligeproduktSomunderviser skalmangøresigklart,hvaddereropgavens formål,måloggenstandsfeltsamt, hvilke formalia og kompetencer der i særlig grad evalueres. For at tydeliggøre deeksplicittekravtilelevensskriftligeproduktbørenopgaveformuleringindeholdefølgende

Beskrivelseafformål,måloggenstandsfelt. Angivelseafspecifikkekravogformatsamtgenre. Informationomhvilkekompetencerdertrænesogevalueres. Beskrivelseafevalueringskriterier.

Formål,mål,genstandsfelt,formaliaogkompetencervilvarieremellemdeforskelligetyperafopgaver og inden for en enkelt type af opgaver. Forudsætningen for at eleven kan arbejdemålrettet i forholdtilevalueringskriterierneer,atelevenved,hvaddeenkeltekompetencerdækkerover.Eksemplerpåopgaveformuleringerkansesibilag1.

Trin2:SkriveprocessenogløbendevejledningafeleverneSom hjælp til at komme i gang med et skriftligt produkt kan eleverne bruge forskelligetænkeskrivningsteknikker som eks.mindmapping, hurtigskrivning, brainstormingm.v. somudgangspunktfordetendeligeprodukt.En anden mulighed er, at eleverne individuelt eller i mindre grupper arbejder med deresskriftlige produkt i den skemalagte undervisning. Her kan de arbejde med beregninger,bevisførelse,formuleringerogpræcisionitekstafsnit,fortolkninger,analyserellerandetkanindgåidenprocesorienteredeskrivning.For at bevidstgøre eleverne omhvad de forskellige studieforberedende skrivekompetencerdækkerover,kaneleverneanalyseretekstermedhenblikpåatafdække,hvordanforskelligeskrivekompetencerbrugesiteksterne,somevt.kanværeudarbejdetafeleverneselv.Afhængigaf omfang, kravog indhold i det skriftligeprodukthar eleverne løbendebrug forvejledning fra underviseren. Vejledningen kan være kollektiv eller individuel afhængig af,

31


hvad elevernes behov er. Hvis eleverne arbejder med den samme opgaveformulering, kankollektivvejledninggivedemfagligeogstrukturelleinput,menderkanogsåværebehovforindividuelvejledningellervejledningimindregruppermedforskelligtfokus.Ide situationer,hvorelevernearbejdermed forskelligeopgaver (differentieredekrav), kanden kollektive vejledning især være centreret omkring formalia, mens individuel ellergruppevejledningkanfokuserepådetfagligeindhold.

ResponsogcoachingCoachingogresponskanudformespåforskelligemåder–individueltellerigruppe–ogmedevaluering fra både underviser og elever. Som eksempel kan eleven/gruppen aflevere etdelvist færdigt produkt, en udvalgt del af det endelige produkt eller en genaflevering af ettidligere produkt. Underviseren, en elev eller en gruppe giver mundtlig og/eller skriftligresponspådetafleveredeprodukt.Responskanevt.være frabådeunderviserogeleveroghavesomsigte,atelevernegennemcoachingfralærerenbliveristandtilatgivekonstruktivkritik på det faglige indhold, valg afmetoder, disposition, notation, om teksten er sprogligkorrekt, om tankegangen fremgår klarmm.Gennem coaching og respons vil eleverneblivebevidste om, hvad der karakteriserer et godt og et dårligt skriftligt produkt og kan brugederesvidentilatkvalificerederesegneskriftligefremstillinger.Ved procesorienteret feedback er det vigtigt, at der er fokus på styrker og svagheder i detprodukt,derevalueres,ogateleverneerinstrueretiatcoacheoggivehinandenkonstruktivrespons.

Trin3:SlutevalueringEvalueringafdetskriftligearbejdeskalskeioverensstemmelsemeddeevalueringskriterier,dererudstukket iopgaveformuleringenoghandlerbådeomatevaluerekompetencerneoggivekonstruktivkritik,somelevernekanbrugetilatudvikledereskompetencer.

Fokus:BedømmelseskriteriervedskriftligeksamenEvalueringskriterierne ved bedømmelse af det skriftlige eksamenssæt er almengyldigeuanset, hvilken type skriftligt produkt eleverne arbejdermed, og derfor skal de have dissekriterierforøje,nårdeudarbejderderesskriftligeprodukter.Foratbevidstgøreeleverneomhvorvidt deres tankegang fremgår klart af det skriftlige produkt, kan man benytte etevalueringsark (se bilag 2.) som følger den enkelte elevs besvarelser, og som udfyldes afunderviseren ved bedømmelsen af det skriftlige produkt. Arket skal bruges som etsupplementtildekommentarer,dertilføjesidetskriftligeprodukt.Evalueringsarketvilovertidgivebåde lærerogelevet indblik i, omelevener i stand til at lave skriftligeprodukter,hvorbl.a. tankegangenfremgårklart.Evalueringsarketvilogsåtydeliggøre,omderernoglegenerellemangler, somgår igen i de skriftligeprodukter, hvilketgiver elevenmulighed formerebevidstatarbejdepåatforbedresineskriftligeprodukter.

Fokus:AnvendelseafIT‐værktøjEtmere specifikt fokus for evalueringen kan være elevens anvendelse af IT‐værktøjer someksempelvisCAS,dergivermulighed foratbrugeet interaktivtredskab,hvor forskrifterogvariable defineres, kommandoer anvendes, delresultater genbruges, simuleringer foretages,dataanalyseresosv.

32


Evalueringenskalvurdereihvilketomfang,elevenudnytterIT‐værktøjet,oghvilkestyrkerogsvagheder der er i elevens brug af IT‐værktøjet. Man kan give forslag og eksempler på,hvordan eleven kan udnytte værktøjets faciliteter samt give eleven indsigt i fordele ogulempervedbrugafIT‐værktøjet.

Fokus:PointogopsamlingIenskriftligafleveringsom indeholderbesvarelserafeksamensopgaverkanunderviseren ievaluering nøjes med at angive antal point ud for de enkelte delopgaver i henhold tilbedømmelseskriterierneveddenskriftligeeksamen.Nårbesvarelserneudleverestileleverne,skal de i par ellermindre grupper gennemgå deres besvarelser og vurdere, hvad der skaltilføjesforatopnåethøjerepointtalidelopgaverne.

Fokus:Lavenopgave,besvarenopgaveogretenbesvarelseElevernekan selvprøve at formulereopgaver, og for at de kan vurderekvaliteten af deresegenopgaveformulering,kanenandenelevbesvareopgaven,somefterfølgendebedømmesafden,deroprindeligtstilledeopgaven(sebilag1).Fokuskanværepå,omdenstilledeopgaveermeningsfuldogkvalitetenibesvarelsenafopgaven.Som lærer kan man kommentere både opgaveformuleringen, elevbesvarelsen ogelevevalueringen.Det giver elevernemulighed for at sammenlignederes egenbedømmelsemedlærerensbedømmelse,ogdekanderigennemvurdereihvilketomfang,deeristandtilatfindefejlogmanglersamtstyrkerogsvaghederiengivenopgavebesvarelse.

BibliografiNiss, M., Jensen, T. H., Andersen, T. B., Andersen, R. W., Christoffersen, T., Damgaard, S., et al. (2002).

Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning.

Undervisningsministeriets forlag.

33

Del3:SRPogmatematik

Del 3: SRP i matematik

Forfatteretildel1: DortheAgerkvist,TorbenSvendsenogRasmusØstergaard.Om gruppens arbejde: I det forrige udviklingsprojekt var fokus på at nogle generelleovervejelser over det at skrive SRP i matematik. Dette er nu blevet forsøgt uddybet på tomåder:For det første er udarbejdet tre forløb om henholdsvis Det Gyldne Snit, Kryptering ogRadiaktivt Henfald, som viser hvordan man gennem de tre år på matematik A kan træneeleverne i at skrive SRP gennemmindre opgaver Desuden er der blevet udarbejdet noglegenerelleovervejelseroverhvadderkendetegnerengodSRPognoglegoderådtil,hvordanmangennemlæsestrategierandre former for træning iat tilegnesignytstofkan forberedeelevernebedstmuligttilatskriveengodSRP.

Det gyldne snit i 1. g

Mål- Træneat skriveelementærematematiske teksterpå computer inkl.billeder, formler

ogtabeller- Brugegeometriprogram- Læseenelementærtekstselvometfagligtemne,herdetgyldnesnit

Rammerogvilkår:6timer

Afslutningsprodukt:Max.2sidertekstderudoverfigurer.Tekstenskalværerettetmodelevpåtilsvarendetrin.Produktetkommenteresafdeandreelever.Eleverne sætter sig selv ind i det matematikfaglige, men de undervises i brug afgeometriprogram. De undervises også i, hvordan man skriver formler, laver tabeller ogindsætterbilleder.

AktiviteterElevernepræsenteresforproblemformuleringensamtformåletmedforløbet.Eleverne startermed at læse selv omdet gyldne snit, fx kap. 1 i ’Det gyldne snit’ af JesperFrandsen,Systime1991.Debesvarersmåspørgsmåltilteksten,herunderskaldelavesimplekonstruktionermeddetgyldnesnit ihåndensamt indtegnedetgyldnesnitpåeteller flereudvalgtebilleder,fxAlbrechtDurer”TheAdorationoftheMagi”1504(http://www.albrecht‐durer.org/Adoration‐Of‐The‐Magi.html).

34

Del3:SRPogmatematik

Derefter demonstrerer læreren brugen af et geometriprogram (fx geogebra) eller brug aflommeregner til geometriske konstruktioner, og eleverne eksperimenterer selv medstørrelsenafdetgyldnesnitsamtatkonstrueredette.Så introducerer læreren, hvorledes man indsætter formler i et tekstbehandlingsprogram,kopiererbillederinditeksten,tegnerpåbillederosv.

Problemformulering:Fortælomdetgyldnesnitoggivendefinitionafdette.Beskrivhvorledesdetgyldnesnitkankonstrueres, gernemed eksempler. Forklar om sammenhængenmellem det gyldne snit ogkunstog/ellerarkitekturoggiveksemplerpådette.Teksten skal indeholde formler,billeder,billedermeddetgyldnesnit indtegnetog tabeller,samtværeskrevetsåenandenelevi1.gkanlæsedetudenatvidenogetomdetgyldnesnitpåforhånd.

EvalueringTeksterne læses og kommenteres af en anden gruppe. Teksten rettes til, og det tilrettedelæsesaflæreren.Dergivesikkekarakterer.Succeskriterieter,atelevernelavernoglepæneogforståeligetekster.


Mål- Eleverneskalselvlavesmåbeviserogformidledemskriftligt.

35

Del3:SRPogmatematik

- Konstrueresmåeksemplerselv.- Eleverne skal bevidstgøres om matematiske metoder, her deduktiv kontra induktiv

metode.

Rammerogvilkår10 timerherefter afleveringmed løsning af2. gradsligningen, et eller flerebeviser og egneeksempler.

AktiviteterEleverneskalopstilleogløse2.gradsligningerne.Delæserdetteselvf.eks.efterBjørnGrønsnoterfraemu’ens.2 ‐7.Noterneerbyggetopmedmangeøvelserundervejs, someleverne laverselv undervejs. De arbejder selvstændigt og i grupper. Undervejs laver de også selv smågeometriskekonstruktioner,ogsåiandregeometriskefigurer.Derefterskaleleverneselvprøvesigfremmedatfindedetgyldnesnitigeometriskefigurersamtihverdagstingog/ellerbilleder.Eleverne præsenteres for Fibonaccitallene og opskriver de første 12 tal. Derefter udregnereleverne forholdetmellemde to foregående talogopdager, atdettenærmer sigdetgyldnesnit.Såintroducererlærerenbegreberneinduktivogdeduktiv,samtdiskutererdissemetoderogderesbrugmedeleverne.Elevernearbejdermedderesaflevering.Deudvælgerselvhvilkebeviser,devilhavemedjf.problemformuleringen,samtkonstruerereksemplerselv.

ProblemformuleringIskalpræsenteredetgyldnesnitoggiveeteksempelpåkonstruktionafdette.SåskalIløsedegyldne2. gradsligninger. I skalbevise to selvvalgteegenskaber forФog/ellerФ’.DesudenskalIlavenedenståendeopgave.Iskalogsågivemindsteteksempelfrahverdagenpå,hvormankanmødedetgyldnesnit.EksempletskalIselvfinde.

36

Del3:SRPogmatematik

Som opgaver kan man både bruge konstruktionsopgaver og små beviser. Dette giver enmulighed for at lave undervisningsdifferentiering. Man kan også udlevere et bevis med’blankepunkter’i,somelevernesåselvskaludfylderesten.Eksemplerpåbeviser:

1. Visat1+Ф‐3=Ф(1–Ф‐3).2. Visat(Ф+1)(Ф–1)=Ф.3. Vis at

Ф1 Ф 1

4. Denkortesideiengyldentrekantharlængdena.Angiv,udtryktvedФ,længdenafdetolængstesider.

5. Delangesideriengyldentrekantharlængdena.Angiv,udtryktvedФ,længdenafdenkorteside.

6. I den gyldne trekant ∆ABC, hvor siden BC er den korte side, indtegnesvinkelhalverings‐linienfraB.DenneskærersidenACipunktetD.Angivforholdetmellemarealerneaf∆ABCog∆BDC.

AndreforslagkanfxfindesiJesperFrandsen,De(t)gyldnesnit.

EvalueringProduktet er en skriftlig aflevering til læreren på max. 5 sider. Læreren retter ogkommenterer.Dergiveskarakterer.

37

Del3:SRPogmatematik


Mål- Læseogforståenhistoriskmatematisktekstogoversættedettilnutidensmatematisk

sprog- Styrkeelevernesbevistekniskeevner(induktionsbeviserogrekursionsbeviser)- Øgeelevernesmetodebevidsthed

RammerogvilkårEtforløbmed10modulerá95min.

Aktiviteter: Læreren introducerer Fibonaccitallene og fortæller om sammenhængenmeddetgyldnesnit.Dereftergennemgårlærerensmåbeviserafforskelligetyper,fxdirektebevis,induktionsbevisogrekursionsbevis.Elevernelæserbeviserneogtrænerdemmundtligtvedatfremlæggeforhinandenismågrupper.Derefterlæsereleverneselvenoriginalmatematisktekstogoversætterdettilnutidigtsprog.Dette gøres i grupper. Det kunne være kaninproblemet eller hestekøbsopgaverne i LiberAbaciafFibonacci(sefxKilderogkommentarertilligningerneshistorie,KirstiAndersen,Trip1986,s.135ff),ellerbevisetforEuklidII,sætning11(sefxJesperFrandsen,De(t)gyldnesnits.153).Nu får grupperne forskellige sætninger, som de selv skal lave et lille induktionsbevis for.Arbejdetafleveresoglærerenretterdet.Detkunnefxvære:

1. BevisformlenF1+F3+F5+…+F2n–1=F2n2. BevisformlenF2+F4+F6+…+F2n=F2n+1‐13. Bevisformlen12+22+32+42+…+n2=

4. BevisformlenFnFn+1–Fn2=FnFn‐1AndreforslagkanfxfindesiJesperFrandsen,De(t)gyldnesnit.Bageftergennemgårelevernebeviserneimatrixgrupperforhinanden.Samtidigudleveresdetrettedeskriftligearbejdetildeandreelever.Succeskriteriet er, at de andre elever kan læse og forstå beviserne.

EvalueringSkriftlig aflevering til læreren,derkommenterer.Eleverne retterdet skriftlige, derderefterkopieresoggivestildeandreeleveriforbindelsemedgennemgangenafbeviserne.

Litteraturliste:BjørnGrøn:NotertilDetgyldnesnitogFibonaccitallene,placeretpåwww.emu.dk

38

Del3:SRPogmatematik

JesperFrandsen,De(t)gyldnesnit–ikunst,naturogmatematik,Systime,2.udgave1999.Kilderogkommentarertilligningerneshistorie,KirstiAndersen,Trip1986.

Kryptologi i 1.g: Formidling af kryptologiske grundbegreber

Introduktion: Formålet med forløbet er, at eleverne skal forstå den grundlæggendetankegang inden for basal kryptologi. Det der således er i fokus er vægten på selvstændigtilegnelse af nytmatematisk stof, samt formidling af dette. Det der er centralt er derfor atforstå matematiske begreber og definitioner og selvstændigt formidle disse gennemselvstændigeeksemplerogforklaredissesåenligemandudensammespecialvidenkanforstådet.

Planforfemlektioneromemnet.

Lektion1Emne:AtknækkeenkodeIndhold: Eleverne skal knække kryptotekster – først et cæsar skift – så en almindeligmonoalfabetisk substitution –endelig enmonoalfabetisk substitutionmed blokke af længdefem.Nyebegreber: 1)Klartekstogkryptotekst

2)Frekvensanalyse,bigramogtrigram3)Monoalfabetisksubstitutionogadditivtkryptosystem(skift)

Lektion2 Emne:Transpositionogsteganografi Indhold:Præciseringafbegrebernetransposition,steganografiogsubstitution‐Brugafdissebegreberomkringdetatsikre informationpå forskelligemåder–kryptosystemgenereltoganvendtpåmonoalfabetisksubstitutionNyebegreber: 1)Transposition(stikord:Anagram) 2)Steganografi(stikord:Pin‐kode,usynligtblækog1‐bit 3)Substitution 4)Kryptosystem

Lektie:3 Emne:OvervejelseromkringkryptosystemerIndhold:Definitionafdegenerellekategorier,arbejdemedetmonolfabateiskkryptosystem–

truslerne mod monoalfabetisk substitution via frekvensanalyse i islamisk ogeuropæisk middelader og renæssance (religiøse studier, udbredelse af bøger,politiskeintriger)

Nyebegreber: 1)Krypteringogdekryptering

39

Del3:SRPogmatematik

2)Nøgleogchiffer3)Kryptografi4)Kryptoanalyse(stikord:lingvistik,statistisketest)5)Matematiskproblemogbit‐størrelse6)Frekvensanalyse(stikord:bigram,trigram)7) Kerchhoff’s princip: Sikkerheden må kun bero på størrelsen afnøglen

Lektion4 Emne:Hvorforikkebaremonoalfabetisksubstitution Indhold:Kiggerpåforsøgpåatrepareremonoalfabetisksubstitutionoghvorfordetslogfejl.Vurderingaftrusler,sårbarhed,risici,anvendelighedogstørrelsevedmonoalfabetisksubstitutionNyebegreber: 1) Stærk monoalfabetisk substitution (Tomme symboler og

fejlstavning) 2)Trusler,sårbarhedogrisici 3)Anvendelighedogimplementering(stikord:

4)Styrkenafkoden(stikord:Bit‐størrelse,NPPproblem)5)BrugafROT‐13idag

Lektion5 Emne:Formidlingafmonoalfabetisksubstitution.Indhold:Introduktiontilskriftligøvelseiatformidlederesviden.EleverneskalsvareskriveenbesvarelseaffølgendeOpgaveformulering: Du skal med udgangspunkt i historien om Mary Stuarts cifferskriftforklare monoalfabetisk substitution. Du skal herunder bruge relevante begreber, samtherunderkommeindpåhvordandetvirker,samthvorformanholdtopmedatanvendedet

Litteraturliste: PeterLandrock&KnudNissen:Kryptologi–fravidentilvidenskab.Abacus1997,s.7‐35Simon Singh: Kodebogen. Videnskaben om hemmelige budskaber fra oldtidensÆgypten tilkvantekryptering.OversatafJanTeuber,Gyldendal2001(engelskudgave1999),s.9‐59Christopher Swenson: Modern Cryptoanalysis. Techniques for Advanced Code Breakting,Wiley‐Publishing2008,s.xiii‐6

40

Del3:SRPogmatematik

Kryptologi i 2.g: Basal talteori og restklasseregning

Introduktion: Formålet med forløbet er, at eleverne skal får kendskab til basaledefinitioner og sætninger inden for talteori. Foruden en repetition af begreberne fra 1.g erfokus på en selvstændig tilegnelse af nytmatematisk stof,men her vil der komme et øgetfokus på at bruge af definitioner og sætninger. Vejen til at gøre dette består i en øvelseomkringenmatematiskanalyseafaffinesystemer.

Planforfemlektioneromemnet.

Lektion1Emne:AffinesystemerIndhold:Beskrivelseafskiftvedaffinafbildning–Bestemmelseafinversafbildningtilskift–

Lineærtransformation–Bestemmelseafinversafbildningtilskift(hvornårkandetladesiggøre)

Nyebegreber:Affinafbildning,herunderskiftoglineærtransformation

Lektion2 Emne:DivisionvedrestIndhold:.Definitionafdivisibilitet‐Sætningomdivisionmedrest–Regningmedrestklasser(additionogmultiplikation)Nyebegreber:Divisor,kvotientogmultiplum,Moduloogprincipalrest

Lektion3 Emne:FællesDivisor Indhold:EuklidsAlgoritmeNyebegreber:Fællesdivisior,størstefællesdivisorogprimisk,linearkombination

Lektion4 Emne:KongruensregningIndhold:Regningmedkongruenser–forkortelseikongruenserNyebegreber:Kongruentmodulon,indbyrdesprimiskogEulersφ‐funktion

Lektion5 Emne:InversfunktiontilaffinafbildningIndhold:InverstelementogkriterierforinverstelementNyebegreber:Inverstelementmodulon,kryptoanalyseafaffineafbildningerProjektopgave:Somafslutningskrivereleverneenopgaver,hvorfokuserpåkorrektbrugafdefinitionerogsætninger,samtenselvstændigformidlingafmatematiskstof.Opgaveformulering:Du skal redegøre for, hvilke kravman kan stille til a og b, for at denaffine afbildning )29(mod)( baxxf beskrive et kryptosystem. Du skal videre bestemme

41

Del3:SRPogmatematik

den inverse funktion til f, samt redegøre for, hvor mange affine afbildninger der giver etkryptosystem. Endelig skal du gennem egne eksempler vise, hvordan man laverkryptoanalyseafaffinesystemer.

Litteraturliste:Neil Koblitz:ACourse inNumberTheory andCryptography (GraduateTexts inMathematics114).Springer19942(1987),s.54‐58.Helekapitel3:Cryptographyerspændende(mensværttil2.g)PeterLandrock&KnudNissen:Kryptologi– fravidentilvidenskab.Abacus1997,s.70‐94ogs.134‐135(opgaveromaffinesystemer–anbefales)

Kryptologi i 3.g: Enigma og andre kryptosystemer

Introduktion:Formåletmedforløbeter,ateleverneskalhavetræningiatanvendedengrundlæggendetankegangindenforanvendtkryptologi.Fokussomi2.gerstadigtmeredenselvstændigetilegnelseafnytmatematiskstof,samtformidlingafdette.Detderihøjeregradendfør,erdetskriftligearbejdeogmulighedenforatbearbejdematematiskstof.

Projektopgave:SomtræningiatskriveSRP,erfokusherpåselvstændigformidlingogperspektiveringaflæststof,tildetmateriale,somelevernehararbejdetmedi1.gog2.g.Detklartbedsteelevmaterialepådanskfindespåhttp://www.matematiksider.dk/enigma.html ,som specielt for dygtige elever er rigtig god.Man bør overveje at lave løbende retning, såfokuskommerpåelevernesprodukt.Eleverneskaltilsidstbesvarefølgendeopgave:

Problemformulering: Du skal først med udgangspunkt i kryptologiskegrundbegreber redegøre for, hvordan Enigma fungerer. Du skal dernæst diskutere hvilkematematiskemulighedermanfraallieretsidehavdeforatbrydekoden.

42

Del3:SRPogmatematik

Radioaktivitet og sandsynlighed i 1g

MålEleverneskalefterdetteforløba) have fået en introduktion til modellering b) være i stand til at lave regression med et passende værktøj c) kunne lave tabeller med data og indsætte grafer i et tekstbehandlingsprogram d) sortering af information

Aktiviteter

SimuleringmedterningerDer skal et stort antal terninger, der skal gøre det ud for radioaktive kerner. Terningernekastes og de terninger, der viser 6 er henfaldet og lægges bort. Der kastes igen med deresterende terninger, og igen lægges de henfaldne terninger bort. Således forsættes der etpassendeantalgange.

Tilsidstvurderesdet,hvorlangtidderergåetmedmellemhvertkast.

43

Del3:SRPogmatematik

Påfigurener t tiden, N antaloverlevendekernerog t tidenmellemtokast.Iløbetaftident henfalder1/6afkernerneog5/6overleversvarendetilenfremskrivningsfaktorpå5/6.

Detkananskueliggørespåfølgendemåde:t t

N 5

6

Der altså tale om eksponentiel vækst. Forsøget kan bruges som en introduktion tilmodellering,herunderforskellenmellemdeterministiskeogstokastiskemodeller.

Produktkrav:TabelmedresultaterEnfitningmeddeneksponentiellemodelvedhjælpafregressionEnpassendegrafiskfremstillingderkanbrugessombilagtilenSRP‐opgave

SimuleringmedcomputerprogramSimulering kan udbygges med et passende hjemmelavet computerprogram ellerlommeregnerprogram.Programmetskalkunnelaveen lodtrækningsprocedure istilmedforsøgetmedterningernemedforskelligehenfaldssandsynligheder.NedenforervisteteksempellavetiMaple.

Derødekasserhenfaldertilblåkasser.Idetvisteeksempelerhenfaldssandsynligheden10%ogefter13sekundererder425kernertilbage.Ved hjælp af programmet kan man for en given henfaldssandsynlighed bestemme antaloverlevende kerner N til forskellige tider t . Det muliggør en eksperimentel tilgang tilbegrebethalveringstid.Foreneksponentielmodel

0tN N a

erhalveringstidenbestemtved

44

Del3:SRPogmatematik

1

2

1log

2log

Ta

Herer 1a p ,hvor p erhenfaldssandsynligheden,så

1

2

1log

2log 1

Tp

(1)

Vedhjælpaf simuleringen fås sammenhørendeværdier af p og 1

2

T , derkan sammenlignes

med(1).

Produktkrav:EntabelderpræsentererdevæsentligsteafdemangedataEneksperimenteleftervisningaf(1)

Tidsforbrug6timer


MålFormidling af resultater fra simuleringer i dagligdagssprog

AktiviteterForløbeterplanlagttilatfindested,nåreleverneerfortroligemeddifferentialkvotientenogdenstolkningsomenhastighed.

SimpelthenfaldFørstdiskuteresligningen

dNk N

dt (2)

somenmodelforradioaktivthenfald.ModellenkanafprøvesifxModellus:

45

Del3:SRPogmatematik

Modelluskanhentesgratispåhttp://modellus.fct.unl.pt/Det vilmåske være en fordel hvis læreren indtastermodellen på forhånd, så der ikke skalbrugesformegettidpådetedb‐tekniske.Modellenafprøvesforforskelligeværdieraf k ogforløbetafgrafenundersøges.

Produktkrav:Enredegørelseforhvorfor(2)erenrimeligmodelforradioaktivthenfald.Enforklaringidagligdagssprogpåhvilkenbetydning k harforforløbetafhenfaldet.

KædehenfaldSimuleringafkædehenfald,hvoretradioaktivtstofA,henfaldertiletandetradioaktivtstofB,derhenfaldervideretilC,dererstabilt:

Systemetkanmodelleresmed:

46

Del3:SRPogmatematik

1

2 1

2

dAk A

dtdB

k B k AdtdC

k Bdt

(3)

Igen kanmodellen afprøves i Modellus. Nedenfor er vist to eksempler. I begge tilfælde er

1 0,1k mens 2 0,2k idetførstetilfældeog 2 0,05k idetandettilfælde.

A B C

Produktkrav:Enredegørelseforhvorfor(3)erenrimeligmodelforkædehenfald.Ensammenlignidagligdagssprogaf2forskelligesimuleringer.

Tidsforbrug6timer


MålAt kunne formulere beviser.

AktiviteterI2.gforløbeterdetbeskrevethvordanmodellen

dNk N

dt (4)

for radioaktivt henfald kan undersøges eksperimentelt ved hjælp af et simuleringsprogramsommodellus.Nuerdettidtilmereteoretiskeovervejelser.

47

Del3:SRPogmatematik

DifferentialligningerBegrebetdifferentialligningerindføres.(4)løsesogderføresbevisforentydighed.

ProduktkravEnredegørelseforhvordan(4)kanløsesogetbevisforeksistensforentydighed.

NeutronaktiveringDernæstinddragesenmodelforneutronaktivering.Vedbeskydningaf103‐Rbmedneutronerdannes104‐Rb,dererradioaktivt.Detgivermodellen

dNk N S

dt (5)

hvor S erenkonstant,derudtrykkerhvormange104‐Rb,derdannespr.sekund.Detviseshvordan(5)løses.

ProduktkravEnredegørelseforhvordan(5)kanløses.

Tidsforbrug10timer

Refleksioner og SRP

DetfølgendepapirertænktsomnoglemereoverordnedeovervejelsertilarbejdetmedSRP.Detersåledesikkesåkonkret,menkanforhåbentligtbidragetilovervejelserogdiskussionerom,hvadderkankendetegneengodSRP.

TyperafSRP‐opgaverIkkeallestudieretningsprojektererens.Dererflere”genrer”ellermådermatematikkenkanindgåpå.HerunderfølgerfemtyperSRPsomallestillerforskelligekravtillærereogelever.Tilhverafdisseerangivettreegnedeemnerogenopgaveformulering.

I.BrugafmatematikilitterærsammenhængEmner:Kehlmann:MeasuringtheWorld,Mlodinow:TheDrunkardsWalkogAbbott:FlatlandOpgaveformulering:Flatlands[HI‐MA]Med udgangspunkt i Abbotts Flatland og den vedlagte tekst, ønskes først en redegørelse forVictoriatidensdebatteromsocialklasseogkøn.DernæstønskesmedudgangspunktiFlatlanden

48

Del3:SRPogmatematik

matematisk analyse af, hvordan et to‐dimensionelt væsen oplever en kegle, som passererFlatland, samt hvordan et tre‐dimensionelt væsen oplever en hyperkube passerer Spaceland.EndeligønskesenvurderingafbetydningenafAbbottsværkforsinsamtid.

II.BrugafsimuleringellereksperimentelmatematikEmner:Challenger‐ulykken,MeningsmålingerogVietnamlotterietOpgaveformulering:Challengerulykken[HI‐MA]DuskalførstkortredegørefordetamerikanskerumfartsprogramindtilChallenger‐ulykkenmedsærligthenblikpåforholdetmellemNASAogdetpolitiskesystem.Dernæst skal du gennem simuleringer i Datameter og brug af statistiske test undersøgegrundlagetforatmanvalgteatopsendeChallenger.EndeligskaldudiskuterekonsekvenserneafChallenger‐ulykkenfordetamerikanskesamfundialmindelighedogNASAisærdeleshed.

III.BrugafmatematiskemodellerEmner:Epidemier,RadioaktivthenfaldogøkonomiskpolitikOpgaveformulering:EpidemierogEpidemimodeller[HI‐MA]DuskalførstredegøreformediernesforskelligescenarierforH1N1‐influencenfraforåret2010.Duskaldernæstgøreredeformatematiskemodeller,somkanbrugestilatmodellereH1N1ogdensspredning.DuskalherspecieltmedudgangspunktidenvedlagteopgaveudledeSI‐ogSIR‐modellenogeksaktellernumerisk løsededifferentialligninger,somfremkommerpådenmådemedforskelligevalgafparametre.DuskalendeligbrugedissemodellertilatforudsigeudviklingenafH1N1iDanmarkiperioden2009‐2010ogpåbaggrundherafdiskuteremediernesogdinemodellersforudsigelsesevner.Bilag:Opgave: Opstil en differentialligning for )(tI i en simpel SI‐model, hvor den relativevæksthastighed af smittede er proportional med antallet af raske individer og hvor

)()()( tStItN .Redegørforkarakteristikaforløsningertildifferentialligningen.

IV.Fagligformidlingmeddansk.Emner: Artikel til Chili,Hjemmeside til FuglsangKunstmuseum,Undervisningsmateriale tilfolkeskoleklasseOpgaveformulering:Formidlingaffagligvidenompoker[DA‐MA]Du skal udarbejde en skitse til en hjemmesidemed tilhørende undersidermed gode råd til,hvordanmansomnybegynderbliverenhabilpokerspiller.Overvejhvordanmanpåden førstesidekangørelæsereninteresseretiatstuderehjemmesidennærmere.

49

Del3:SRPogmatematik

Hjemmesiden skal rumme elementer, som ville være nyttige at kende for en kommendepokerspiller. Du skal med løsning af de vedlagte opgaver specielt komme ind påsandsynlighederne forudvalgtehænder,påhvornårdetkanbetale sigat folde/calle/raiseoghvordanmanlæserenmodstandervedbrugafBayessætning.Hjemmesidensmålgruppeerdenalment interesseredeogvidende læser,dergernevilværeenhabilpokerspiller.Besvarelsen skalmed inddragelseaf retoriskeogargumentationsteoretiskeovervejelserbegrundedenvalgteformidlingsformirelationtilmålgruppen.Dubestemmerselv,ombegrundelsenindlederellerafslutterbesvarelsen.

Bilag:OpgaverOpgave1: Duhartomuligehænder:a)♠esog♣7b)♦8og♠8.Floppeter♣knight♠7og♥3.Era)ellerb)denstærkestehånd?Opgave2:Dumeneratkunnegennemskue,atenandenspillermed15%sandsynlighederengalning,somraiser90%afsinehænder.Med85%sandsynlighederhanenmerenormalperson,somraiser15%afsinehænder.Iførsterundeundladerhanatraise.Hvadersandsynlighedenforhanerengalningalligevel?Opgave3:Duharhånden♣esog♣4.Floppeter♦knægt♣3og♠8.Allechecker.Detfjerdekorter♣5.Enspillerførdigbetter.Skaldufolde,calleellerraise?

V.Matematikikulturelellerhistorisksammenhæng.Emne:Islamiskvidenskab,dennaturvidenskabeligerevolutionogtheCalculusWarsOpgaveformulering:IslamiskMatematikDerønskesførstenredegørelseforetudvalgafforskelligeteorieromforholdetmellemislamogvidenskabmedsærligvægtpåmatematikken.Dernæst ønskes gennem en redegørelse for arbejder af matematikerne Al‐Khwarizmi,Khayyamogal‐KashienanalyseafmatematikkensrolleindenforIslam.Duskaliforbindelsehermedløsedenvedlagteopgave.Endeligønskesendiskussionaf,hvilkeafde førnævnte teorierder i lysetafdenneanalysebedststemmeroverensmeddetteorier,derblevredegjortforistartenafopgaven.Bilag:Opgave:VisatdenprocedureOmarKhayyambeskrivertilatløse”Enterningogsidererligmedettal”svarertilatløseligningen qpxpx 223 .Visogsåatligningenkanløsesvedatbestemmeskæringspunktetmellemenbestemtparabelogenbestemtcirkel.

50

Del3:SRPogmatematik

Afsluttende kommentar: Matematik og SRP

Matematik i SRP kræver som antydet ovenfor andet end de kompetencer der er i spil tilskriftligeksamen.Blandtdissebørspecieltnævnesdenselvstændigeudvælgelse,tilegningogformidlingafmatematiskstof.VilmangøreeleverneklartilSRPerdetderfornødvendigtatarbejdemedandregenrerendtraditionelleskriftligeafleveringeridendagligeundervisning.Hvordandettekangøresvilkortblivebehandletidetfølgende.

TilegnelseafnytstofForudenetgodtemneerdethelt centraltateleverne lærerat læseog forståmatematikpåegenhånd.Skaldelæredet,måmanbrugetidpåatlæredemdet.EteksempelpåenskabelontilbrugitimernekanværefølgendefraEgåGymnasium2010:

SådanlæsermanenmatematisktekstMatematisketeksteradskillersigfradeflesteandrefagstekster.Deertitkomprimeredeogbyggetmegetsystematiskop.Manvilofteikkekunneforståetgivetafsnitudenathavelæstogforståetdetforegående.Denaturvidenskabeligelærebøgerindeholderfordetmestebådeteoriafsnit,beviser,eksemplerogøvelser/opgaver.

Hvordanstudielæserdueteksempel?Eksemplerer gennemgåede/gennemregnedeproblemstillinger i relation til denbehandledeteori. Disse eksempler hjælper dig til at lære at takle opgaver ved at vise dig, hvordanforskelligeproblemstillingerkanløses.Gennemgåeksemplernegrundigtsåduersikkerpå,atduharforståetløsningsmetodenfordenpågældendeproblemstilling.Dettegøresvedselvatregneeksempletigennemogfåstyrpåhvadderskerundervejs.

Hvordanstudielæserduetbevis?Lavtokolonnerpåditpapir–idenvenstreskriverdubevisetnedlinjeforlinje,idenhøjreskriver du forklaringer på hvad der sker fra linje til linje i beviset (evt. hvilkesætninger/regnereglerderbenyttes).Derefterskaldu ikolonnentilhøjrekolonnemarkerehvisderoptrædergodeideer,sombærerhelebevisetognedenunderkanduevt.opsummeredebærendeelementeribevisetito‐tresætninger.

Hvordanbrugerdulærebogennårduskalløseopgaver?Start med at bruge bogens stikordsregister til at finde den relevante teori. Led eftereksempler (sandsynligvis i samme afsnit) med problemstillinger, der ligner. Øvelser ogopgaver vil ofte have en problemstilling svarende til de gennemgåede eksempler. Har duforstået gennemgangen i eksemplet vil du være godt rustet til at løseopgaven.En sværereopgavekanværeopbyggetsåledes,atduskalkombinereløsningsmetoderfraflereeksempler.Efterhåndensomdublivermererutineret,kandusikkertnøjesmedformelsamlingen.

51

Del3:SRPogmatematik

Hvordanlæsesbrødtekstenienmatematikbog?Matematiske tekster skal læsesogbearbejdesbid forbid. Oftemå du standse op og arbejdesærligtmedetbestemtafsnit.Indimellemgælderdetmåskeblotenenkelttekstsætning.Ligesomvedalandenstudielæsningkanmanikkenøjesmedbareatlæselektienigennemengangellerto.Denskalgennemarbejdes.Havblyantogpapirliggendevedsidenaf,nårdulæser.Undervejsvildufåbrugforatskrive,regneogtegne.Detkanværenoterdulavertilsenerebrugogforatkunneindlærestoffet,ogdetkanværeskitserogudregninger.Deterheltafgørende,atduøverdigilektiensteoretiskestofvedf.eksatstillehv‐spørgsmål,pådenmådekanduhøredigselvivigtigebegreber.

Stildigselvfølgendespørgsmålhvergangdulæserlektier:Hvadhandlertekstenom?Hvilkevigtigeformler(f.eks.beregningsformler,kemiskestofformler)erderiteksten?Erdernyebegreber,hvadbetyderbegreberne?Hvilkeforkortelserogsymbolerbrugesderevt.forbegreberne?Hvordanhængerbegrebernesammen?Kørerduheltfast,skaldunoterened,hvadproblemeter,sådukanstillepræcisespørgsmåltildinlæreridenfølgendetime.Detbedstedukangøreeratgenlæsetekstensammedag,somduharfåetdengennemgået.Tænkkritisk–forstoddustoffet?Oghusk–forbereddigogsåligeoptilnæstelektion.

Andre former for skriftlighed i forbindelse med SRP:

Dererflereformerforskriftlighed,derkanbrugesiSRP,mensommannormaltikkearbejdermed skriftligt. Som eksempler på, hvordan man enten i timerne eller gennem skriftligeafleveringerkantrænedissegenrerkannævnesateleverneskalkunne:

1. Opstilleenmatematiskmodeludfraentekst2. Genskriveetbevismedmanglendeudregningerogforklaringer3. Omskriveenmatematiskteksttilalmindeligtdansk4. Oversætteenkildemedmatematiktilmodernenotation

Bemærk at alle disse opgaver er på et højt SOLO-taksonomisk niveau, hvor eleverne kombinerer deres viden inden for de forskellige emner.

Eksemplerpåhvordandettekantræneskunnevære

1. At opstille SIR-modellen [Baktoft: Matematik i virkeligheden s.47-48]

52

Del3:SRPogmatematik

2. At bestemme løsningsformlen for tredjegradsligningen [Kilder til ligningernes historie s.175f]

3. At oversætte værdier for middelværdier, som fremkommer ved simulering af en H0-hypotese. til normalt dansk

4. Fortolkning af konstanterne i en harmonisk svingning eller en logistisk vækst, hvor konstanterne er bestemt ved regression.

5. At oversætte uddrag af Omar Khayyams Algebra [Kilder til ligningernes historie s.118-121]

Vurdering af SRP: SOLO‐taksonomi og Kompetencer

SelvomdeterlæreplanensmålderbestemmerkarakterenforenSRP,synesdetnyefokuspåenSOLO‐taksonomiathave sine fordele – specielt i opgaverhvordenanvendtematematikfylder meget. For eleverne er det erfaringsmæssigt sværere end man tror, at gennemføremodelleringsprocesser.HerkanskemaeroverenSOLO‐taksonomihjælpe–seMATHITs.23,men også graden af beherskelse af demere generellematematikkompetencer kan være enmålestok–seNiss:Kompetencerimatematiklærings.45.Foratopsummere–værmerebrediforståelsen af, hvad der kendetegner god matematik. Det vil gøre det nemmere at findesamarbejdspartnereoggiveeleverenmerefairbedømmelse.

De10budtilSRP:1. Fornuftigbrugaf IT‐værktøjerogCAS‐programmertil tegningerogtilatskrivetekst

ogformler,somserordentligtud.2. Selvstændigt arbejdemedbeviser,Vælgbevisermedmuligheder for selvstændighed

dvs.egnemellemregninger,forklaringerogfigurer.3. Brugafegneogrelevanteeksempler,dvs.vælgegnetalelleropgaverfrabøgeristedet

foreksemplerfrabøger.4. Brug af originale matematiske kilder, frem for lærebøgers oversættelse af

matematikeresarbejde,kangøremere”triviel”matematiktilSRP‐stof.5. Holde fokus iudvælgelsenafstoffet,såderkommerenrødtrådgennemopgavenog

omfangetoverholdes.6. Korrektbrugafnotationogsymboler,herunderikkekunskrive’jegsolverligningen.’

BrugikkeCASnotationførogefterdeberegninger,somCAS‐programmetlaver.7. Binde fagenesammensåderbådeerenkeltfagligeog fællesfaglige spørgsmål. [sede

femeksemplerovenfor]8. Beherskede forskelligerepræsentationsformer i formaf tabeller,grafer, ligningerog

tekst.9. Brugekorrektmatematiskterminologi,herunderforståelseforogformidlingafdisse

udtryk.10. Brug af modeller og simulering inden for sandsynlighedsregning og

differentialligningertildata‐behandlingogteoretisering/generalisering.

53

Del3:SRPogmatematik

Viderehenvisninger: TimNielsen: Erfaringermed studieretningsprojektet, LMFK‐bladet 4/2010 som bl.a.

diskutererdengodeopgaveformulering. Kurt Jensen & Mette Nørholm Jessen: Studieretningsprojekt i matematik og dansk,

LMFK‐bladet 6/2009. Om SRP i kombination med dansk med udgangspunkt iformidlingafmatematiktilengivenmålgruppe

Påhttp://uvmat.dk/skrift/index.htmfindesmaterialeomdegenerelleovervejelsertilarbejdetmedATogSRP

http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsministeriet/sr‐projekt.htmlhar godeideeroghenvisningtilinspirationsmateriale

Jørgen Dejgaard & Jes Sixtus m.fl.: MATHIT. En inspirationsbog til anvendelse afcomputerimatematikundervisningen,Matematiklærerforeningen2010

Mogens Niss m.fl. (red.): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration tilmatematikundervisning iDanmark(Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie18),UVM2002

54

Del3:SRPogmatematik

Bilag 1: Eksempler på opgaveformulering til del 2

PolynomierI førstedelafdetteopgavesætskalduarbejdemedde forskelligeregnereglerogsætningersom vi har arbejdet med i forbindelse med forløbet om polynomier. Du skal kunnekvadratsætningerne, nulreglen, løse en andengradsligning vha. diskriminanten ogdiskriminantformlen, bestemme koordinater til parablens toppunkt samt have viden omhvordan konstanterne a, b, c og d "styrer" parablens udseende og antal løsninger tilandengradsligningen–altsammenudenbrugafhjælpemidler.Hvis du har svært ved at bruge kvadratsætningerne, skal du i hver delopgave medkvadratsætningerlaveenmellemregning,somhjælperdigtilatregnerigtigt,mensomogsågivermulighedforatjegkansehvoreventuellefejlopstår,ogforatjegkankommentereoghjælpedigtilatkunnebrugekvadratsætningerne.AndendelafopgavesætteterenformidlingsopgavebaseretpådeteksperimentellearbejdeiTI‐interactive, hvor du har arbejdet med polynomier, parablers udseende, toppunktetsplacering,nulpunkterm.m.Formidlingsdelenskalindeholdefølgende

Opsamling og konklusion på eksperiment 17‐30 i GyldendalsGymnasiematematik.

Diagrammer som illustrerer dine iagttagelser og konklusioner ‐vælgetpassendeantal.

Treforskelligemådersometandengradspolynomiumkanskrivespåogudbyttetheraf.

Tekstpåmellem300og400ordformuleretpåalmindeligtdansk.Evalueringskriterier:Ibedømmelsenvilderblivelagtvægtpåomtankegangfremgårklartafbesvarelsen,hvilketblandtandetvurderesudfrakraveneidefemkategorier

Tekst Notationoglay‐out Redegørelseogdokumentation Figurer Konklusion

Dervilogsåblivelagtvægtpåfølgende Sprogligkorrekthed Disposition Håndtering formler, herunder at kunne oversætte mellem symbolholdigt og

naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhænge og til at løse problemer med matematisk indhold

Anvendelse af it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer.

55

Del3:SRPogmatematik

UndermotorhjelmenpåenklimamodelReferat af foredraget Undermotorhjelmen på en klimamodel 30.9.2010 i forbindelse medNaturvidenskabsfestivalen.Idenneaflevering indgåren formidlingsopgave,hvor I skaldemonstrereat Iharvidenomanvendelse af matematik inden for klimamodellering, at I har forståelse formodelleringsprocessenogatIkantalematematik.Nårman arbejdermedmodellering forsøgerman at beskrive virkeligheden – nogen gangemedstor succesogandregangeudenheld,ognogengange i etomfang som til envisgradbeskriver virkeligheden. I processenmed at opstille og anvende enmodel af virkelighedenbehandlermantypiskfemforskelligeområder:

1. Denmatematiskemodelbeskriverensituationfravirkeligheden2. Den matematiske model angiver sammenhænge mellem variable størrelser fra

virkeligheden(tid,pris,temperatur,hastighed,befolkningstal…)3. Den matematiske model indeholder parametre (kilometerpris, startgebyr,

begyndelsestemperatur, årlig rente i procent, …) der er karakteristiske for densituationfravirkeligheden,derskalbeskrives.

4. Modellenkanhaveetbegrænsetgyldighedsområde5. En model kan bruges til at give større indsigt i og overblik over den situation fra

virkeligheden,derskalbeskrives,oganvendesfxtilprognoserogandreberegninger.I grupper skal I lave et referat af foredraget ”Underkølerhjelmenpåenklimamodel”og enanalyse af klimamodellen i forhold til de fem områder der behandles ved modellering.Tekstenskalhaveenlængdepå900‐1000ord,ogskalaflevereselektroniskiLectio.NyttigelinksfraDMIsomImåskekanbrugetilafleveringen(derernoglefigurer):http://www.dmi.dk/dmi/index/viden.htmoghttp://www.dmi.dk/dmi/index/klima.htm

56

Del3:SRPogmatematik

DetgyldnesnitogFibonacci‐talleneVifårbrugforvidenomdetgyldnesnitnårviskalpåstudierejsetilFirenzemeddanskognårder skal skrives SRO imusik ogmatematik, og derfor skal I frem til vinterferien arbejde igruppermedDetgyldnesnitogFibonacci‐tallene.Modulplan–gruppearbejdeitimerne

Mandagden7/2 Gruppearbejde:Side1‐3Definitioner+øvelse1‐3. Onsdagden9/2 Gruppearbejde:Side3‐5 Øvelse4‐6.2 Torsdagden10/2Gruppearbejde:Side6 Øvelse7 Mandagden14/2Gruppearbejde:Side7‐8Øvelse8‐12 (medbringenpcpergruppe) Onsdagden16/2 Gruppearbejde:Side8‐11 Øvelse 13+15 (vi springer

øvelse14over)Skriftligtarbejde–4elevtimerDer udarbejdes et gruppe‐produkt som indeholder udvalgte ræsonnementer og beviser fraundervisningsmaterialet og som afleveres onsdag den 2. marts i første modul. Se boks pånæsteside.LøbendeevalueringmedfeedbackfraCZUndervejs i forløbet skal I aflevere udkast til dele af det endelige produkt, som jeg læserigennem, retter og kommenterer inden næste modul. Mine rettelser og kommentarer skalindarbejdesidetendeligeprodukt.

Onsdagden9/2 Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse1+2 Torsdagden10/2Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse6.1+6.2 Mandagden14/2Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse7.1eller7.2 Onsdagden16/2 Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse13

Fagligemål,kernestofogsupplerendestof

I skal kunne: – håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhænge – opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer på grundlag af trekantsberegninger og udnytte dette til at svare på givne teoretiske spørgsmål – redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori

Kernestoffet er regningsarternes hierarki og forholdsberegninger i ensvinklede trekanter. Det supplerende stof omfatter et deduktivt forløb om det gyldne snit og Fibonaccitallene, og en smule matematik-historie.

57

Del3:SRPogmatematik

Samspilmedandrefag–Musik(SRO)ogDansk(studierejse)PåsigterdetmeningenatIskalkunne

– demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling Desuden skal det supplerende stof og samspillet med andre fag (musik og dansk) perspektivere og uddybe kernestoffet samt udvide den faglige horisont.

KravtilafleveringenAlletekstafsnitformuleretietkorrekt,klartogtydeligtsprog.Alle øvelser skal ledsages af indledende og forbindende tekst, læsevenligt layout,forklaringer og mellemregninger og konklusioner præsenteret i et klart sprog. Derarbejdessåvidtmuligtieksakteværdier.Allebeviseropstillesmedtospalter:envenstrespaltemeddematematisketrinogenhøjrespaltemedforklaringafdematematisketrin.Indhold:

Indledningomdetgyldnesnit,hvordetforklareshvadetgyldentrektangeleroghvaddetgyldnesniter.

Øvelse1 Øvelse2samtensætningknyttettiløvelsen Øvelse4 Øvelse5–inklusivvellignendeskitser. Øvelse6–inklusivgeometriskekonstruktionervha.passeroglineal. Øvelse7.1eller7.2–inklusivskitse. IntroduktionafFibonaccitalleneogderes relation tildetgyldne snit,herunder

en kort beskrivelse af hvordan Fibonaccitallene fremkommer og eksemperherpå.

Øvelse11‐15(ikkeøvelse14) Afrundingafprojektet

Udkastafleveresløbende–seplanenpåforrigesideDetendeligeprojektmeddeindarbejdederettelserogkommentarerafleveres2.marts.

58

Del3:SRPogmatematik

Stilenopgave,fådenløstogbedømdenOpgave1Du skal selv formulere en opgave inden for integralregning. Opgaven skal indeholde todelspørgsmålaogbogskalværepåniveaumedeksamensopgaverneindenforemnet.FindinspirationihæftetmedvejledendeeksamensopgaverelleriB2arbejdsbogensopgaver(side66til74).Dinopgaveskaldugiveelektronisktildenelevderstårefterdigpåklasselisten‐oguploadetilLectio‐senestmandagden12.april.Opgave2Duharselvmodtagetenopgaveformuleringafdenelevderstårførdigpåklasselisten.Besvaropgavenogafleverdenelektronisksenestonsdagden14.apriltildenelevdufikopgavenaf.Opgave3Duskalbedømmebesvarelsen,dvs.atduskalkommentereogrettebesvarelsenogvurdereihvilketomfangbesvarelsenleveroptildefagligemålsomerbeskrevetpånedenfor.Kommentarerogrettelsernoterespåenpapirversionafbesvarelsen.Detendeligeproduktderafleverestilmigskalindeholde

Dinegenopgaveformulering Elevbesvarelseafopgaven Dinetilføjedekommentarerogrettelser Enkortvurderingafihvilketomfangelevensbesvarelseleveroptildefagligemål

BedømmelseogfagligemålBedømmelsenerenvurderingaf, ihvilketomfangelevenspræstation leveroptilde fagligemål:Eleverneskalkunne:

‐håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligtsprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrivevariabelsammenhængeogtilatløseproblemermedmatematiskindhold

‐anvendeforskelligefortolkningerafstamfunktionogforskelligemetodertilløsningafdifferentialligninger

‐anvendeit‐værktøjertilløsningafgivnematematiskeproblemer.

59

Del3:SRPogmatematik

Bilag 2: Evalueringsark til bedømmelsen af skriftlige produkter til del 2

60

Del3:SRPogmatematik

Rapport ny skriftlighed i matematik del II · Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed...

Documents

Transcript of Rapport ny skriftlighed i matematik del II · Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed...