Rappel ANOVA à 1 facteur en groupes de mesure indépendants
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RappelANOVA à 1 facteur en groupes de
mesure indépendants
Variance
Donc pour calculer une variance on calcule une somme de carrés (des écarts de chaque note à la moyenne générale)
La variabilité des notes est mesurée par la variance qui est une mesure de dispersion des notes autour de la moyenne
Définition de la variance descriptive :
2
1
1
n
iixx
n
2
1
n
iixxSC
Somme des carrés
généx
notes
x1
x2
xi
xn
2
1
n
iixxSC
21
)(1 xxi
22
)(2 xxi
2)( xxiii
2)( xxnin
Exemple
Facteur C 3 degrés (c1,c2,c3)
Groupes de mesures indépendants
35
: CSPlan
Variabilité Totale
C1 C2 C3
1 3 5
2 4 6
3 5 7
4 6 8
5 7 9
généx
C1 C2 C3
1 3 5
2 4 6
3 5 7
4 6 8
5 7 9
1x
3x
généx
2x
Décomposition Variabilité Totale
TOT
SC gpslesENTRESC
__ gpeslesDANSSC
__
gpslesENTRESC
__
gpeslesDANSSC
__
Variabilité due au FACTEUR
Variabilité due à l’erreur expérimentale
Notations
1j 2j
2i x21
1i x11
i xi1
jni xn11
x22
x12
xi2
xn22
j
x2j
x1j
xij
xnjj
x2K
Kj
x1K
xiK
xnKK
1j
1i
i
jni
j
x1j
xij
xnjj
Kj
x1K
xiK
xnKK
1x
x11
xi1
xnj1
1
x
1ni
1i1i
x1
n
1j
1i
i
jni
j
x1j
xij
xnjj
Kj
x1K
xiK
xnKK
jx
x11
xi1
xnj1
j
x
nji
1iij
xj
n
1j
1i
i
jni
j
Kj
x
x1j
xij
xnjj
x1K
xiK
xnKK
x11
xi1
xnj1
x
nji
1iij
x KnNj
Kj
1j
Sommes des carrés
gpslesENTRESC
__ gpeslesDANSSC
__
TOTSC
K
1j
2n
1iijTOT
j
xxSC
Somme des carrés des écarts de toutes les notes à la moyenne générale
K
1j
2
jFacteurxxSC
Somme des carrés des écarts des moyennes des groupes à la moyenne générale
Somme pour chaque groupe, de la somme des carrés des écarts des notes de chaque groupe à la moyenne du groupe
2n
1i jijErreur
j
xxSC
Somme pour chaque groupe, de la
K
1j
Décomposition Variabilité Totale
TOT
SC gpslesENTRESC
__ gpeslesDANSSC
__
TOT
SC Facteur
SCErreur
SC
Variance = CM=SC/ddl
Variabilité due au FACTEUR
Variabilité due à l’erreur expérimentalesi
Suffisamment plus grand (test statistique)
Effet du facteur
si CMFacteurCMErreur
Absence d’effet du facteur
Variabilité due au FACTEUR
Variabilité due à l’erreur expérimentalesi
PAS suffisamment plus grand (test statistique)
si CMFacteurCMErreur
H0 : l’hypothèse nulle est une hypothèse simple
H1 : l’hypothèse alternative est une hypothèse composée
jtoutes les moyennes sont égales
jtoutes les moyennes ne sont pas égales
Les hypothèses s’écriront :Inférence sur un facteur en groupes de mesure indépendants
Il n’y a pas d’effet du facteur
Il y a un effet du facteur
Il y a au moins deux moyennes qui sont différentes
2j1j/2j,1j
Kj21 ...... 2j1jaon2j,1j
La statistique de décision
ddl)ddl,1K(àFisherdeF~CMCM
F ErreurErreur
Facteur)ddl,1K( Erreur
Si les conditions d’application sont vérifiées
1 Normalité des K populations parentes
2 Homogénéité des variances des K populations parentes
ddl Facteur = Nb de modalités – 1 = K - 1
ddl Erreur = Nb total de sujets – Nb de modalités : N - K
Distribution du F
A partir de la formule LOI.F, excel nous donnera la proba critique associée au F que l’on aura calculé
F observé
pc
La Décision statistique
Si pc < => RH0 Si pc > => NRH0
abscisse : valeur du F de 0 à
Ordonnée : fréquence
On peut affirmer, avec moins de 5% de chances de se tromper qu’il y a un effet du facteur
Conclusion
SI RHO
On ne peut pas affirmer, avec moins de 5% de chances de se tromper qu’il y a un effet du facteur
SI NRHO
Exemple
Facteur C 3 degrés (c1,c2,c3)
Groupes de mesures appariés
35C*S:Plan
Variabilité Totale
C1 C2 C3
1 3 5
2 4 6
3 5 7
4 6 8
5 7 9
généx
Sujets C1 C2 C3 Moy par sujet
‘i=1 1 3 5 3
‘i=2 2 4 6 4
‘i=3 3 5 7 5
‘i=4 4 6 8 6
‘i=5 5 7 9 7
1x
3x
généx
2x
Décomposition Variabilité Totale
TOTSC
GPS_ENTRESC
GPS_DANSSC SUJETS_ENTRE
SC
gpslesENTRESC
__Variabilité due au FACTEUR
gpeslesDANSSC
__
Variabilité due à l’erreur expérimentale
Sujets_les_ENTRESC Variabilité due aux
SUJETS
Variabilité due au FACTEUR
Variabilité due à l’erreur expérimentalesi
Suffisamment plus grand (test statistique)
Effet du facteur
CMFacteur CMErreursi
Absence d’effet du facteur
Variabilité due au FACTEUR
Variabilité due à l’erreur expérimentalesi
PAS suffisamment plus grand (test statistique)
CMFacteur CMErreursi
Notations
1j
1i
i
jni
j
x1j
xij
xnjj
Kj
x1K
xiK
xnKK
jx
x11
xi1
xnj1
j
x
nji
1iij
xj
n
1j
1i
i
jni
j
x1j
xij
xnjj
Kj
x1K
xiK
xnKK
x11
xi1
xnj1
i
x
K
1j ijx
K
ix
1j
1i
i
jni
j
Kj
x
x1j
xij
xnjj
x1K
xiK
xnKK
x11
xi1
xnj1
x
nji
1iij
x KnNj
Kj
1j