Raport științific pentru 2014 In anul 2014, din cauza lipsei de fonduri, proiectul s-a concentrat pe calcule numerice in domeniul sincronizarii spontane a pendulelor (metronoame, ceasuri cu pendule), studiul sincronizarii flacarilor luminarilor si pe studiului sincronizarii in sisteme cu interactiuni decalate in timp. S-au publicat doua articole ISI in domeniu [1,2], un articol BDI [3] si s-au efectuat 7 participari cu prezentari orale (cinci expuneri plenare, invitate, o expunere orala si un poster) la conferinte internationale [4-10]. S-a editat o carte introductiva de fizica statistica. Etapele cele mai importante in aceste studii au fost:

1. Studiul sincronizarii spontane a sistemelor de pendule. In aceasta tematica s-au studiat modele teoretice realiste si simplificate, aplicate pentru oscilatori mecanici supuse unor forte de frecare si avand un sistem de propulsie prin impulsuri periodice. Aceste sisteme se regasesc in practica in ceasuri cu pendule si in metronoame. Intr-un mod interesant, cupland doua sisteme pendulare cu perioade proprii similare se pot obtine atat sincronizari in faza cat si sincronizari in antifaza. In cazul ceasurilor cu pendule, deobicei se obtin sincronizari in anti-faza, iar in cazul metronoamelor se observa sincronizari in faza. In primul nostru studiu din aceasta tematica s-au investigat conditiile specifice in care se obtine sincronizare in faza respectiv conditiile care favorizeaza sincronizarea in anti-faza [3]. Aceste studii au folosit modele simple de oscilatori cuplati prin intermediul unei platforme, cu frecare si propulsie prin impulsuri periodice (Figura 1)

Dupa cum era de asteptat, un sistem ideal format din doi oscilatori perfect identici cuplati prin intermediul unei platforme mobile, fara frecare si fara propulsie nu sincronizeaza, mai precis nu apare o diferenta de faza constanta in timp intre oscilatori („phase-locking”). Miscarea sistemului depinde numai de conditiile initiale (fazele initiale ale oscilatorilor). Sistemul se rezulva analitic exact, si se obtine o curba caracteristica. Daca oscilatorii pornesc cu viteze initiale nule, oscilatorul A are o elongatie de 1 unitate, si oscilatorul B are o elongatie „a”, corelatia de tip Pearson (folosit) ca parametru de ordine in studiul sincronizarii (notat cu „r”) are forma prezentata in Figura 2.

Figura 2. Variatia gradului de sincronizare (masurat prin corelatia de tip Pearson) in cazul unor oscilatori identici ideali (fara frecare si fara propulsie). Oscilatorii sunt cuplati prin intermediul unei platforme.

Figura 1. Modelul studiat. Oscilatorii de masa “m” sunt cuplati prin intermediul unei platforme de masa “M”.

Sincronizarea in sensul utilizat in domeniul comportarilor colective nu apare in acest sistem. Introducand frecare si propulsie sistemul este capabil de sincronizare netriviala. Pentru valori fixate ale coeficientului de frecare a platformei si a oscilatorilor, gradul de sincronizare masurat prin intermediul correlatiei de tip Pearson, in functie de parametrul M (masa platformei) si k (constanta de forta a resorturilor) a sugerat variatii netriviale, si tranzitii de faza dintre starile cu sincron in-faza si starile cu sincron in anti-faza. Rezultate in acest sens sunt prezentate in Figura 3.

Tranzitii similare s-au obtinut si in functie de coeficientul de frecare a platformei si a coeficientul de frecare a oscilatorilor. S-a obtinut astfel, ca sistemele mecanice formate din doi oscilatori cuplati prin intermediul unei platforme pot sincroniza atat in faza cat si in anti-faza, iar alegerea modului stabil este dependent de parametrii fizici ai problemei. Rezultatele in acest sens au fost publicate in [3]. Considerand modele mai realiste, aplicabile pentru cazul metronoamelor s-au obtinut iarasi rezultate interesante. Considerand un model in care metronoamele au fost puse pe un disc rotativ (Figura 4), s-a studiat gradul de sincronizare ce apare intr-un sistem de metronoame cu frecvente neidentice.

Parametrii modelului au fost fixate in acord cu datele masurate experimental, si similar cu modelul simplificat s-au studiat efectele paremetrilor care pot fi experimental variate. Similar cu sistemul simplificat (modelul simplu) s-au obtinut tranzitii de faza interesante in functie de masa M a platformei si in functie de coeficientul fortei elastice pentru miscarea pendulului (k). In cazul a N=8 metronoame dispuse pe discul rotativ, parametrul de ordine (in cazul acesta parametrul de ordine de tip Kuramoto) prezinta o variatie care este indicat in Figura 5. Pentru parametrii fizici ai metronoamelor se obtine deci posibilitatea unei sincronizari spontane, daca valoarea lui „k” este destul de mare, si valoarea lui M este mica. In cazul metronoamelor (nici macar in cazul a doua metronoame) nu s-a obtinut posibiliatea unei sincronizari in anti-faza.

Figura 3. Corelatia Pearson in functie de masa platformei (M) si constanta resortului. (Coeficientul de frecare a platformei si a oscilatorilor sunt fixati)

Figura 4. Setup de metronoame studiati in modelul realist.

Fixand parametrii M si k, si studiind parametrul de ordine de tip Kuramoto in functie de coeficientul de frecare al miscarii platformei (C_0) si in functie de numarul de metronoame dispusi pe disc, s-a obtinut o variatie total netriviala (vezi Figura 6). Un efect foarte interesant este ca exista totdeauna un numar optim de metronoame pentru care se obtine un grad de sincronizare maxima. Aceasta dependenta nelineara in functie de numarul de metronoame urmeaza sa fie verficat experimental. Crescand coefiecientul de frecare pentru miscarea platformei duce totdeauna la diminuarea gradului de sincronizare in sistem, un efect desigur total asteptabil. In experimentele efectuate pana in prezent, dependenta nemotona in functie de numarul de oscilatori nu s-a evidentiat fiindca prin cresterea numarului de metronoame, implicit s-a crescut si masa platformei, un efect care a dus la scaderea gradului de sincronizare in sistem. Experimentele care ar putea evidentia aceasta tranzitie, ar terbuii facute astfel incat de la inceput se plaseaza mai multe metronoame pe disc, insa acestea sunt fixati astfel ca numai un numar dintre ele sa poate oscila. Aceste experimente sunt momentan in curs de realizare. Rezultatele obtinute in aceste studii au fost publicate in [2] si au fost prezentate la conferinta interantionala pe miscari colective in Helsinki [6].

2. Studiul sincronizarii in flacarile luminarilor. In aceasta tematica s-a realizat o serie de experimente originale si s-a elaborat un model simplu prin care s-a putut evidentia rezultatele obtinute. Experimentele s-au realizat impreuna cu un student de licenta. Problema vizata este oscilatia flacarilor, si studiul frecventei de oscilatie in functie de diametrul pachetului de luminari. In setup experimental s-au considerat pacheturi de luminari (Figura 7) continand un numar variabil de luminari si oscilatia flacarilor a fost observata cu o camera de mare viteza, filmul fiind analizat din imagine in imagine, identificand flacara si detereminand cu mare precizie perioada ei de oscilatie. Interesant s-a observat o variatie a perioadei de oscilatie a flacarii cu marimea pachetului. Pachetul mai mare avand o perioada de oscilatie mai mare, si

Figura 5. Parametrul de ordine de tip Kuramoto pentru sistemul de metronoame dispusi pe un disc rotativ in functie de masa platformei si de coeficientul fortei elastice “k”. Rezultate pentru 8 metronomi.

Figura 6. Parametrul de ordine de tip Kuramoto pentru sistemul de metronoame dispusi pe discul rotativ in functie de coefiecientul de frecare a platformei si numarul de oscilatori pe platforma.

perioada de oscilatie s-a scalat (o variatie de tip lege de putere) in functie de diametrul flacarii. Rezultatele experimentale pentru scalarea perioadei de oscilatie in functie de numarul de luminari in pachet este ilustrat in Figura 8. Rezultatele acestea indica un exponent de scalare de aproximativ: 0.12, un exponent mic, dar totusi experimental masurabil. Valorile de ordinul de 10-12 Hz pentru oscilatiile flacarilor sunt in buna concordanta cu alte experimente efectuate pe sisteme similare. Pentru a explica teoretic aceasta scalara netriviala s-a considerat un model teoretic, care este prezentat mai jos.

In modelul teoretic s-a pornit de la formula propusa de lucrarea [11] pentru frecventa oscilatiilor. In aceasta lucrare s-a aratat ca frecventa instabilitatii care este amplificat in cea mai mare masura este:

€

Fm ~g' 2

ν*#

$ %

&

' (

1/ 3

(1)

unde

€

g'=ρ0 − ρ( )ρ

g à este acceleratia gravitationala redusa si g este acceleratia gravitationala

normala.

€

ρ este densitatea aerului care se ridica,

€

ρ0à este densitatea aerului in camera si ν * este viscozitatea cinematica a aerului care se ridica:

€

ν* =µ*

ρ, unde

€

µ* este viscozitatea dinamica a aerului care se ridica.

Figura 7. Pachetul de luminari si flacara pachetului, care prezenta oscilatii rapide, detectabile numai prin intermediul unei camere de mare viteza.

Figura 8. Rezultate experimentale pentru scalarea perioadei de oscilatie a flacarilor in functie de numarul de luminari in sistem.

Viscozitate dinamica este aproximat cu formula lui Sutherland:

€

µ = λT 3 / 2

T +C, unde T este

temperature absoluta si C=120 K pentru aer. Deoarece temperature flacarii pachetului (coloana de aer ascendenta) este in jur 800 K, folosim ecuatia aproximativa:

€

µ ≈ λT1/ 2 (2) Pentru densitatea aerului avem:

€

ρ0T0 = ρT →ρ = ρ0T0T

(3)

Se gaseste astfel:

€

Fm ~g' 2

ν*#

$ %

&

' (

1/ 3

~ ρ0 − ρρ

+

, -

.

/ 0

2 / 3

g2 / 3 (ρ0T0)1/ 3

T1/ 2~ T

T0−1

+

, -

.

/ 0

2 / 3

g2 / 3 (ρ0T0)1/ 3

T1/ 2 (4)

Sa incercam acum estimarea temperaturii coloanei de aer ascendente, chiar deasupra pachetului de luminari (pentru notatii vezi Figura 9). Scriind balantul de energie pentru unitatea de timp: dt=1. Aerul se ridica la distanta “h” in timpul dt=1.

€

πD2

4α = ρ

πD2

4hcP (T −T0) +ηπDh(T −T0) (5)

1. Primul termen pe partea stanga este energia care apare in urma arderii luminarilor. Acesta este proportional cu suprafata (numarul de luminari in pachet),

€

α reprezentand energia eliberata in unitatea de timp. 2. Primul termen pe partea dreapta reprezinta energia necesara pentru incalzirea coloanei de aer de inaltime h de la

€

T0 la T. Acesta este proportional cu masa aerului din coloana si caldura sa specifica. 3. Al doilea termen pe partea dreapta ne da energia disipata in unitatea de timp pe suprafetele coloanei de aer ascendente. Coloana de aer ascendenta este aproximata cu un cilindru de diametrul D. In formula (5) constanta

€

η caracterizeaza conductivitatea termica efectiva a sistemului. Inaltimea “h” la care se ridica colona de aer in unitatea de timp este:

€

h ~ g(ρ0 − ρ)→h = ςg(ρ0 − ρ) , (6) unde

€

ς este o alta constanta. Din ecuatia (5) obtinem:

€

α = ςg(ρ0 − ρ)(T −T0)[cPρ +ηD] = ςgρ0(1−

T0T)(T −T0)[cP

ρ0T0T

+ηD] (7)

Pentru a estima temperatura T folosim aproximatia:

€

T0T

<<1. In aceasta limita ecuatia (7) poate fi

scrisa intr-un mod simplificat

€

α = ςgρ0T[cPρ0T0T

+ηD], de unde obtinem:

Figura 9. Coloana de aer cald ascendenta si notatiile utilizate in abordarea teoretica.

€

αςgρ0

− cPρ0T0&

' (

)

* + =

TηD

→T ~ D ~ N

Santem acum in stare sa calculam varitia frecventei cele mai amplificate in functie de N. Folosim ecuatia (4) si facem aproximatia:

€

T −T0T

#

$ %

&

' ( = T

ln T −T0( )ln T( )

−1≈ T χ

Estimam exponentul

€

χ , folosind

€

T ∈[600 − 900], dupa cum s-a masurat in experimente. Pentru

acesta reprezentam graphic

€

ln T −T0( )ln T( )

−1 in functie de T pe intervalul mentionat cu

€

T0 = 300K .

Din graphic se vede cu pe acest interval

€

χ este relative stabil, si

€

χ≈ −0.08 este o aproximatie buna. Folosind acum ecuatia (4) obtinem:

€

Fm ~T −T0( )T 2 / 3

2 / 3

T 2 / 3g2 / 3 (ρ0T0)1/ 3

T1/ 2~ T0

1/ 3ρ01/ 3g2 / 3T

2χ3−16

%

& '

(

) *

~ Nχ3−112

%

& '

(

) *

(8)

De unde pentru perioada gasim:

€

Tm ~ N112−χ3

$

% &

'

( ) .

Folosind

€

χ≈ −0.08 obtinem:

€

Tm ~ N0.11 in concordanta excelenta cu experimentele. Rezultatele

obtinute vor fi trimise spre publicare in anul viitor in Phys. Rev. E. In continuare urmeaza sa realizam noi experimente, si sa masuram distributia temperaturii in coloana de aer ascendenta, verificand experimental presumtille facute in abordarea teoretica.

3. Studiul sincronizarii cu interactiuni decalate in timp. Aceste sisteme vor fi folosite pentru

modelarea sincronizarii care apare in celule vii, dispuse pe un cerc. Idea de baza a proiectului era de a gasii starile stationare (sub forma de „travelling wave”) care pot aparea intr-un sistem de oscilatori dispusi pe un cerc, unde exista a o interactiune decalata in timp intre oscilatori (Figura 11). Acest lucru inseamna ca interactiunea dintre oscilatori se propaga in timp finit, un oscilator detectand faza oscilatorilor vecini decalate cu un timp τ.

Out[4]=

650 700 750 800 850 900T

-0.10

-0.09

-0.08

-0.07

-0.06

exponent

Figura 10. Determinarea parametrului χ in ecuatia (8)

Ecuatia de miscare a sistemului se scrie in forma: θi (t) =ωi +

K2sin[θi−1(t −τ )−θi (t)]+

K2sin[θi+1(t −τ )−θi (t)]

Studiile noastre au aratat ca aceste sisteme sunt capabile sa se auto-organizeze si sa formeze unde de sincronizare. In aceste unde oscilatiile vecine sunt defazate cu valoarea Δθ una fata de cealalta. Folosind principiul de simetrie, adica faptul ca oscilatorii sunt identici, pentru o unda stabila trebuie sa avem:

Δθ = 2π mN,

unde N este numarul de oscilatori in sistem. S-a gasit o formula generala care ne da frecventele Ωale oscilatorilor in unda de sincronizare care se formeaza. Daca consideram τ si m parametrii undei, frecventele care apar in starile stabile sunt:

Ω =ω

1+Kτ cos(2πm / N )

Prin simulari computationale s-a aratat ca intr-adevar acestea sunt starile stabile ale sistemului. Ele se pot prezenta grafic, cum este facut in Figura 12.

Studiile actuale se concentreaza pe a determina bazele de atractie pentru aceste stari stabile. Suntem interesati deca se poate prezice starea care se formeza in functie de starea intiala a sistemului. Cu alte cuvinte cautam domeniile de atractie pentru aceste stari stabile. Daca sistemul este insa haotic (dupa cum credem noi ca este), in acest caz nu se pot delimita domenii de atractii bine conturate. Studiile sunt facute de un masterand in colaborare cu directorul de proiect. Bibliografie [1] Sz. Boda, L. Davidova and Z. Neda; Order anddisorder in coupled metronome systems, European Physical Journal-ST, vol. 223, pp. 649-663 (2014)

Figura 11. Oscilatori de tip Kuramoto, cu un decalaj de timp intre oscilatorii vecini.

Figura 12. Starile stabile (valorile frecventelor care se pot forma pentru diferite valori de

Δθ = 2π mN, (pentru N=50 oscilatori)

[2] L. Davidova, Sz. Ujvari and Z. Neda; Sync or anti-sync - dynamical pattern selection in coupled self-sustained oscillator systems, Journal of Physics -CS, vol. 510, pp. 012009 (2014) [3] L. Davidova, Sz. Boda and Z. Neda; Order-disorder transitions in a minimal model of self-sustained oscillators, Romanian Reports in Physics, vol. 66, pp. 1018-1028 (2014) [4] I. Papp, G. Toth, A. Kovacs, Z. Kovacs-Krausz, L. Varga and Z. Neda; Distance versus time scaling in human travel, SigmaPhi 2014: International Conference on Statistical Physics , Rhodos, Grecia (2014) [5] I. Papp, G. Toth, A. Kovacs, Z. Kovacs-Krausz, L. Varga and Z. Neda; A noval scaling for human travel, IBWAP 2014 - The 14th International Balkan Workshop on Applied Physics, Constanta, Romania (2014) [6] Z. Neda; Collective behavior in coupled pendula systems, Interaction networks and Collective Motion in Swarms, Flocks and Crowds, Helsinki, Finlanda (2014) [7] R. Deak and Z. Neda; Kinetic Monte Carlo studies of Pt clusters on Pt(111) surfaces, MolMod2014: Molecular Modeling in Chemistry and Biochemistry, Cluj, Romania (2014) [8] S. Sarkozi; Introducerea bazelor fizice pentru unele notiuni meteorologice la ora/cercul de fizica, TIM14- Physics without Frontiers, Timisoara, Romania (2014) [9] B. Tyukodi and Z. Neda; Kinetic roughening of a soft dewetting line- A novel computer simulation method, TIM14- Physics without Frontiers, Timisoara, Romania (2014) [10] F. Jarai-Szabo and Z. Neda; Highway traffic modeling with spring-block systems, TIM14- Physics without Frontiers, Timisoara, Romania (2014) [11] T. Yuan, D. Durox and E. Villermaux (An analogue study of flame flickering), Experiments in Fluids, Vol. 14, pp. 337-349 (1994)