80

61

Bab IV

Rangkaian Paralel Arus Bolak-Balik

Pendahuluan

Seperti pada rangkaian paralel d.c., besar tegangan sama untuk setiap cabang pada

sebuah rangkaian paralel a.c., tetapi arus untuk setiap cabang tergantung pada impedans

cabang itu. Total arus sumber merupakan penjumlahan fasor dari arus masing-masing

cabang. Rangkaian paralel lebih sering digunakan dalam sistem tenaga listrik dari pada

rangkaian seri. Sebagai contoh, peralatan-peralatan listrik dihubungkan secara paralel

terhadap sumber tegangan a.c. utama. Ada dua alasan untuk memparalel peralatan listrik.

Pertama, pengoperasian setiap peralatan tidak bergantung pada peralatan lainnya. Dengan

demikian, suatu peralatan dapat di on atau off-kan tanpa menggangu operasi peralatan

lainnya. Kedua, kebanyakan peralatan listrik membutuhkan besar arus yang berbeda-beda

pada tegangan yang sama yang dihubungkan pada satu sumber tenaga listrik. Hal ini

memerlukan hubungan paralel. Dalam bab ini akan dibahas berbagai macam metoda untuk

menyelesaikan permasalahan rangkaian a.c. paralel.

4-1. Metoda Analisis Rangkaian Paralel A.C.

Dua hal yang harus diperhatikan dalam melakukan analisis rangkaian a.c. paralel.

Pertama, rangkaian paralel terdiri dari dua atau lebih rangkaian seri yang dihubung paralel.

Dengan demikian setiap cabang dapat dianalisis secara terpisah sebagai rangkaian seri dan

pengaruh cabang-cabang yang terpisah dapat digabungkan. Kedua, tegangan dan arus

bolak-balik merupakan besaran fasor. Sehingga dalam melakukan analisis rangkaian, baik

besar dan sudut fase harus diikutsertakan dalam perhitungan. Ada tiga metoda analisis

rangkaian paralel a.c. yaitu :

(i) Metoda diagram fasor.

(ii) Metoda aljabar fasor.

(iii) Metoda Admitans.

Penggunaan masing-masing metoda bergantung pada permasalahan yang dihadapi.

Pada umumnya pemilihan penggunaan metoda diutamakan yang memberikan hasil analisis

tercepat.

81

4-2. Metoda Diagram Fasor

Dengan metoda diagram fasor, dapat diperoleh besar dan sudut fase arus masing-

masing cabang. Diagram fasor digambar dengan menggunakan fasor tegangan sebagai

acuan*. Arus rangkaian atau sumber merupakan penjumlahan fasor dari arus-arus cabang.

Dengan memperhatikan rangkaian paralel yang terdiri dari dua buah cabang dan

dihubungkan ke sumber tegangan bolak-balik V volt (rms) seperti pada gambar 4.1.

Gambar 4. 1 Gambar 4. 2

Cabang 1. 1

111

1

12

121 tan;;

R

X

Z

VIXRZ CC

==+=

Arus 1I dalam cabang 1 mendahului tegangan sumber V sejauh 1o seperti terlihat

dalam diagram fasor pada gambar 4.2.

Cabang 2. 2

212

2

22

222 tan;;

R

X

Z

VIXRZ LL

==+=

Arus 2I dalam cabang 2 tertinggal terhadap tegangan sumber V sejauh 2o seperti

terlihat dalam diagram fasor pada gambar 4.2.

Arus saluran I merupakan penjumlahan fasor dari 1I dan 2I . Misalkan sudut fase I

adalah o seperti pada gambar 4.2. Nilai I dan dapat ditentukan dengan mengubah arus-

arus 1I dan 2I ke dalam bentuk komponen rectangular.

cosI = penjumlahan aljabar komponen 1I dan 2I pada sumbu-x

= 2211 coscos II +

sinI = penjumlahan aljabar komponen 1I dan 2I pada sumbu-y

= 2211 sinsin II

* Dalam rangkaian paralel, tegangan untuk semua cabang sama, sehingga digunakan sebagai acuan

82

di mana 222 )sin()cos( III +=

jadi 222112

22112 )sinsin()coscos( IIIII ++=

atau 222112

2211 )sinsin()coscos( IIIII ++=

XKomponen

YKomponen

II

II

I

I

=

+

==

2211

2211

coscos

sinsin

cos

sintan

Jika positif, arus saluran I mendahului tegangan dan jika negatif I tertinggal

terhadap tegangan. Faktor daya rangkaian dapat ditentukan dengan,

p.f I

XKomponen

I

II

I

I =

+== 2211

coscoscos

Metoda diagram fasor hanya cocok ketika bentuk rangkaian paralel sederhana dan

terdiri dari dua cabang. Jika rangkaian paralel lebih kompleks dan terdiri lebih dari dua

cabang, metoda diagram fasor ini menjadi tidak efektif. Permasalahan ini diatasi dengan

menggunakan metoda aljabar fasor.

Contoh 4.1. Untuk rangkaian pada gambar 4.3, tentukan (i) frekuensi rangkaian (ii) arus

rangkaian dan (iii) impedans rangkaian.

Gambar 4. 3

Penyelesaian. XL = V / IL = 15 / (2 x 10-3

) = 7500 Ohm

(i) f = 33

107,5910202

7500

2=

=

L

X L Hz

(ii) IR = V / R = 15/(10 x 103) = 1,5 x 10

3 A = 1,5 mA

Arus rangkaian, I = 2222 0.25,1 +=+ LR II

= 2,5 mA

(iii) Impedans rangkaian dihitung dengan :

Z = V / I = 15 / (2,5 x 10-3

) = 6000 Ohm

83

4-3. Metoda Aljabar Fasor

Dengan metoda ini, tegangan, arus dan impedans dinyatakan dalam bentuk

kompleks, yaitu baik dalam bentuk rectangular maupun polar. Karena bentuk kompleks

terdiri dari besar dan sudut fase, penyelesaian rangkaian paralel dapat diperoleh secara

matematis dengan menggunakan aturan aljabar fasor. Dengan menggunakan metoda ini

tidak diperlukan diagram fasor. Dengan mengacu kembali rangkaian paralel pada gambar

4.1, diperoleh,

VjV =+= 0V fasor acuan

222

111

L

C

jXR

jXR

+=

=

Z

Z

(i) Bentuk rectangular

222

2

111

1

L

C

jXR

V

jXR

V

+==

==

Z

VI

Z

VI

Arus saluran, 2211

21

LC jXR

V

jXR

V

+

=+= III

Penyelesaian I dapat diperoleh dalam bentuk standar jba dengan menggunakan

aturan-aturan aljabar fasor. Kemudian untuk mengetahui besar dan sudut fase I sangat

mudah dilakukan.

(ii) Bentuk Polar = 0VV .fasor acuan

= 111 ZZ di mana 2

12

11 CXRZ +=

dan 1

111 tan

R

XC=

= 222 ZZ di mana 2

2222 LXRZ +=

dan 2

212 tan

R

X L=

jadi =

== 1

1111

1

0

Z

V

Z

V

Z

VI

=

== 2

2222

2

0

Z

V

Z

V

Z

VI

84

jadi +=+= 22

1

1

21 Z

V

Z

VIII

Perlu dicatat bahwa sudut fase suatu arus merupakan conjugate sudut impedans. Ini

merupakan masalah yang penting. Untuk melakukan operasi perkalian dan pembagian

bilangan kompleks disarankan menggunakan bentuk polar. Sedangkan penjumlahan dan

pengurangan menggunakan bentuk rectangular.

Contoh 4.2. Sebuah kumparan dengan resistans 75 Ohm dan induktans 318 mH dihubung

paralel dengan rangkaian yang terdiri dari resistor 75 Ohm dan kapasitor 159 F.

Rangkaian dihubungkan ke sumber 230 volt, 50 Hz. Tentukan arus dari sumber dan faktor

daya rangkaian.

Gambar 4. 4

Pnyelesaian. Dengan menggunakan tegangan sumber sebagai acuan, diperoleh

= 0230V

(i) XL = 2fL = 2 x 50 x 318 x 10-3

= 100 Ohm

Z1 = =+=+ 5,63112100501 jjXR L

I1 = =

= 5,6305,2

5,63112

0230

1Z

V Ampere

= 0,91 j 1,83

XC = =

= 20159502

10

2

1 6

fC

Z2 = == 156,7720752 jjXR C

I2 = =

= 1596,2

156,77

0230

2Z

V Ampere

= 2,86 + j0,766

Arus sumber, I = I1+ I2

= (0,91 j 1,83) + (2,86 + j0,766)

= 3,77 j1,06 = 7,1592,3

85

(ii) Faktor Daya = = 7,15coscos = 0,963 tertinggal

4-4. Admitans (Y)

Admitans didefinisikan sebagai kebalikan dari impedans, seperti halnya konduktans

kebalikan dari resistans, yaitu

V

I

ZY ==

1

Satuan untuk admitans adalah siemens dan bersimbol S. Admitans sebuah

rangkaian dapat dipahami sebagai ukuran kemudahan sebuah rangkaian dapat

menghantarkan arus bolak-balik. Jadi sebuah rangkaian dengan admitans yang semakin

tinggi, akan mempunyai arus yang tinggi pula. Kegunaan admitans akan sangat terasa pada

saat kita menganalisis rangkaian paralel yang terdiri dari banyak cabang. Memperhatikan

gambar 4.5, diperoleh,

Gambar 4. 5

nT ZZZZZ

1...

1111

321

++++=

Karena admitans merupakan kebalikan dari impedans akan menghasilkan,

nT YYYYY ++++= ...321

di mana Y1, Y2, Y3, , Yn adalah admitans individu setiap cabang paralel dan YT

merupakan admitans total rangkaian. Dengan demikian arus saluran (sumber) adalah,

TT

YVZ

VI ==

Gambar 4.6 menunjukkan hubungan paralel admitans.

86

Gambar 4. 6

Sampai disini bisa disimpulkan bahwa admitans (dalam bentuk kompleks) pada

cabang-cabang paralel dijumlahkan. Jadi metoda admitans dalam rangkaian paralel

menjadikan analisis sama seperti rangkaian seri dimana impedans (dalam bentuk

kompleks) dijumlahkan.

4-5. Komponen-komponen Admitans

Impedans dari sebuah rangkaian dapat dinyatakan dalam bentuk kompleks sebagai

LjXR +=Z atau CjXR =Z tergantung dari sifat reaktans. Disini R merupakan resistif

atau komponen yang sefase dengan Z sedangkan XL atau XC merupakan komponen reaktif

atau kuadratur dari Z. Kebalikan dari impedans (yaitu admitans) juga memiliki bentuk

kompleks karena kebalikan dari bilangan kompleks juga menghasilkan bilangan kompleks.

Dengan demikian, admitans Y dapat dinyatakan sebagai

LjBG =Y atau CjBG +=Y

di mana G disebut konduktans dan merupakan komponen yang sefase dengan Y

sedangkan B disebut susptans dan merupakan komponen kuadratur dari Y. Suseptans dari

sebuah induktans biasanya disebut suseptans induktif (BL) sedangkan dari sebuah

kapasitians disebut suseptans kapasitif (BC). Perlu dicatat bahwa BL selalu negatif dan BC

selalu positif. Sedangkan konduktans G selalu positif.

Besar admitans,

2222 CL BGatauBG ++=Y

dan sudut fasenya,

G

Batau

G

B CL 11 tantan

=

dengan demikian satuan untuk G dan B juga siemens (S).

87

Gambar 4. 7 Gambar 4. 8

Pada gambar 4.7 (i) menggambarkan sebuah impedans LjXR + . Admitans untuk

rangkaian ini yang terdiri dari sebuah konduktans G paralel dengan suseptans induktif -jBL

ditunjukkan pada gambar 4.7 (ii). Hal yang sama, gambar 4.8 (ii) menggambarkan

komponen-komponen admitans untuk impedans pada gambar 4.8 (i). Dari sini terlihat

bahwa komponen admitans yang berupa konduktans dan suseptan merupakan elemen

paralel.

Telah diketahui bahwa G merupakan kebalikan dari R dan mempunyai satuan

siemens (S). Secara analogi, B (suseptans) merupakan kebalikan dari reaktans. Suseptans

juga bersatuan siemens karena reaktans juga bersatuan Ohm.

4-6. Segitiga Admitans

Admitans memiliki dua komponen, yaitu komponen yang sefase (yaitu G) dan

komponen kuadratur (yaitu B). Dengan demikian, admitans dapat direpresentasikan

sebagai segitiga, yang disebut dengan segitiga admitans.

Untuk rangkaian induktif (yaitu LjXR + ), segitiga impedans dan admitans

diperlihatkan pada gambar 4.9 berikut ini. Sudut admitans sama dengan sudut impedans,

kecuali tandanya negatif, karena BL teletak pada sumbu-OY dan dengan demikian negatif.

(i) (ii)

Gambar 4. 9

88

Konduktans, G = Z

R

ZY =

1cos

Jadi G = 222LXR

R

Z

R

+=

Suseptans, BL = Z

X

ZY L=

1sin

Jadi BL = 222L

L

XR

R

Z

X

+=

Sudut fase, = G

BL1tan

Untuk rangkaian kapasitif (yaitu CjXR ), segitiga impedans dan admitans

diperlihatkan pada gambar 4.10 berikut ini. Sudut admitans sama dengan sudut impedans,

kecuali tandanya negatif, karena BC teletak pada sumbu-OY dan dengan demikian negatif.

(i) (ii)

Gambar 4. 10

Dengan melakukan prosedur seperti sebelumnya, diperoleh,

G = 222CXR

R

Z

R

+=

BC = 222C

C

XR

R

Z

X

+=

Sudut fase, = G

BC1tan

89

4-7. Metoda Admitans Dalam Analisis Rangkaian A.C. Paralel

Metoda admitans merupakan metoda yang direkomendasikan untuk menganalisis

rangkaian paralel a.c. dan sangat terasa keuntungannya jika rangkaian terdiri dari tiga

cabang atau lebih. Dengan memperhatikan gambar 4.11,

Gambar 4. 11

(i) Bentuk Ractangular

Cabang 1.

21

112

1

121

21 ;;

Z

XB

Z

RGXRZ CC ==+=

jadi 111 jBG +=Y

Cabang 2.

22

212

2

222

222 ;;

Z

XB

Z

RGXRZ LL ==+=

jadi 222 jBG =Y

Admitans total )()( 221121 jBGjBG ++=+= YYY

)()( 2121 BBjGG ++=Y

Besar admitans 2212

21 )()( BBGG ++=Y

Arus saluran YVI =

Sudut fase 21

211tanGG

BB

=

Jika positif, maka arus mendahului tegangan dan jika negatif arus tertinggal

terhadap tegangan.

90

(ii) Bentuk Polar

== 11111 ZjXR CZ

jadi =

== 1111

1

11

Y

ZZY

=+= 22222 ZjXR LZ

jadi =

== 21222

2

11

Y

ZZY

Admitans total =+= YYYY 21

Arus saluran YVI =

Daya dalam bentuk Admitans

GV

YV

VIP

2

2 cos

cos

=

=

=

di mana YVI = dan GY =cos

Terlihat bahwa hanya konduktans dalam rangkaian yang menentukan daya yang

dikonsumsi.

Soal latihan.

1. Rangkaian paralel terdiri dari dua cabang A dan B. Cabang A mempunyai resistans 10

Ohm dan induktans 0,1 H diseri. Cabang B mempunyai resistans 20 Ohm dan kapastor

100 F diseri. Rangkaian dihubungkan ke sumber tegangan 250 V, 50 Hz. Tentukan (i)

arus sumber dan faktor daya (ii) daya yang dikonsumsi rangkaian.

[6,04 A;0,965 lagging; 1457 W]

2. Dua buah impedans )510(1 jZ += Ohm dan )1025(2 jZ = Ohm dirangkai paralel

dan dihubungkan ke sumber tegangan 100 V, 50 Hz. Tentukan (i) admitans rangkaian

(ii) arus rangkaian (iii) sudut fase antara arus rangkaian dan tegangan sumber.

[0,1175 S;11,74 A;12,9o lag]

3. Dua buah impedans 4520 Ohm dan 3030 diseri dan dihubungkan ke sumber

tegangan tertentu sehingga menghasilkan arus sebesar 10 A. Jika sumber tegangan

tidak diubah, hitung arus rangkaian ketika kedua impedans tersebut dihubung paralel.

[26,8 A]