Rambatan Gelombang Optik dalam Medium Berlapis · Dalam bentuk yang sederhana, laser semikonduktor...
Transcript of Rambatan Gelombang Optik dalam Medium Berlapis · Dalam bentuk yang sederhana, laser semikonduktor...
-
Rambatan Gelombang Optik
Rustam E. Siregar
ISBN : 978-602-6242-38-9
dalam Medium Berlapis
-
RAMBATAN GELOMBANG OPTIK
DALAM MEDIUM BERLAPIS
Rustam E. Siregar
DepartemenFisika, FMIPA
UNIVERSITAS PADJADJARAN
-
iii
KATA PENGANTAR
Penemuan sinar laser (1960) dan pengembangannya, telah membuka bidang baru yang
disebut fotonik. Fotonik adalah suatu bidang yang tujuan utamanya adalah
menggunakan cahaya untuk melaksanakan fungsi-fungsi elektronik. Dalam berbagai
aplikasi fotonik, medium berlapis berperan sangat penting, seperti pandu gelombang
planar, serat optik, directional coupler, resonator, reflektor Bragg, multiplekser add-
drop, saklar optik dan sebagainya. Untuk kegiatan desain dan pemanfaatan medium
berlapis secara baik diperlukan pemahaman tentang rambatan gelombang
elektromagnet, dalamhalinisinar laser atau gelombang optik, dan sifat-sifatnya dalam
medium tersebut.
Isi buku ini merupakan pengembangan dari materi kuliah Optik yang diberikan
di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Padjadjaran. Buku ini ditujukan sebagai buku
teks dalam kuliah Optik Moderen untuk mahasiswa Jurusan Fisika dan Teknik. Buku
ini lebih mudah dipelajari oleh pembaca dan mahasiswa yang sudah pernah mengikuti
kuliah-kuliah Gelombang, Teori Medan Listrikmagnet, Aljabar Linier dan Matriks,
Persamaan Differensial dan Pemrograman Komputer. Untuk dapat lebih
memahaminya, dalam setiap bab dalam buku ini diberikan beberapa contoh dan soal-
soal latihan serta program-program komputer yang diperlukan.
Ucapan terimakasih sebesar-besarnya saya sampaikan kepada Universitas
Padjadjaran melalui Unpad Press yang telah bersedia menerbitkan buku ini. Semoga
buku ini bermanfaat bagi para mahasiswa dan pembaca sekalian.
Bandung,10Juni 2016
Rustam E. Siregar
-
v
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR iii
BAB 1SUMBER DAN DETEKTOR CAHAYA 1
1.1 Sinar Laser
1.2 Laser Sumur Quantum
1.3 Light Emiting Diode (LED)
1.4 Foto Dioda
Soal-soal
1
8
9
12
17
BAB 2GELOMBANG OPTIK 19
2.1 Persamaan Maxwell
2.2 PersamaanGelombang
2.3 RapatdanFluksEnergi; TeoremaPoynting
2.4 Medan-medanMonokromatikdanBilanganKompleks
2.5 Indeks Bias
2.6 Indeks Bias dengan Model Elektron
2.7 Indeks Bias Logam
2.8 PulsaOptikdanKecepatanGrup
2.9 BahanOptikNonlinier
2.9.1 Generasi Harmonik Kedua
2.9.2 Generasi Harmonik Ketiga
Soal-soal
19
21
28
31
34
36
38
39
45
46
49
53
BAB 3 REFLEKSI DAN TRANSMISSI OLEH LAPISAN TIPIS 57
3.1 Syarat Batas di Antar-muka Dua Bahan Dielektrik
3.2 RefleksidanTransmisi
3.3 RefleksiInternal Total; GelombangEvanescent
3.4 PergeseranGoos-Hanschen
3.5 Reflektans Permukaan Bahan Penyerap
3.6 RefleksidanTransmisi Sistem 3-Lapisan
3.7 Plasmon Permukaan; ATR
3.8RefleksidanTransmissi Sistem Lapisan Tipis
3.9PerumusanMatriks
3.10SistemMultilapis
Soal-soal
57
59
65
70
73
74
77
80
84
87
92
BAB4 PANDU GELOMBANG LAPISAN TIPIS 93
4.1 GelombangTerpandudalamLapisan Tipis
4.2 HubunganDispersif
4.3 KoplingPrisma
93
100
104
-
vi
4.4 PanduGelombangTerkubur
4.5 Perturbasi Dielektrik; Kopling Antar Modus
4.6Directional Coupler
Soal-soal
105
108
114
119
BAB 5SERAT OPTIK 121
5.1 OptikGeometri Serat Optik
5.1.1 SeratOptik Step Indeks
5.1.2 SeratOptik Graded Index
5.2 PenjalaranGelombangdalamSeratOptikStep Indeks
5.2.1Modus TE
5.2.2Modus TM
5.2.3 Modus Hibrid
5.3 DayaOptik
5.4 Modus-modus Terpolarisasi Linier
5.5 Jumlah Modus
5.6 SeratOptik Modus-Tunggal
5.7 DispersidalamSeratOptik Modus-Tunggal
5.8 Loss dalamSerat Optik
5.9 Penguat Optik
Soal-soal
121
122
124
125
126
132
135
141
146
151
153
156
160
161
166
BAB 6RESONATOR OPTIK 169
6.1ReonatorFabry-Perot
6.2 Analisa Spektrum
6.3 Resonator CerminSperis
6.4 Berkas Gaussian
169
175
178
182
Soal-soal 186
BAB 7 KRISTAL FOTONIK 1-DIMENSI 187
7.1 Pengertian Kristal Fotonik 187
7.2 Persamaan Helmholtz 187
7.3 Struktur Kristal 1D danTeorema Bloch 189
7.4PersamaanNilaieigen;MetodaGelombangBidang 190
7.5 MetodaMatriks Transfer 193
7.6 Reflektor Bragg 200
7.7 Cacatdalam Kisi Bragg 208
7.8 KompensasiDispersi 210
7.9 Multiplekser Add-Drop 213
7.10 Laser Distributed-Feedback 216
7.11 Bistabilitas;SaklarOptik 219
7.12 Soliton Bragg 223
7.13 Pandu Gelobang Bergerigi 224
7.14 Pandu GelombangRefleksi Bragg 228
-
vii
7.15 Serat Optik Bragg 230
Soal-soal 235
BAB 8 KRISTAL FOTONIK 2-DIMENSI 237
8.1 Struktur Kristal 2D danTeorema Bloch 237
8.2 Zona Brillouin 239
8.3 PersamaanNilaieigen; MetodaEkspansiGelombangBidang 241
8.4 Struktur Pita Kristal Fotonik 2D 246
8.5 AnalisaStruktur Pita; PetaBandgap 249
8.6 Kerapatan Keadaan Fotonik 251
8.7 Cacat Titik 252
8.8 CacatGaris; Pandu gelombang kristal fotonik 2-D 255
8.9 Kristal Fotonik Lapisan tipis 257
APENDIKS 265
Apendiks 7.1Operator H danopreratorE 265
Apendiks 7.2 Program Bandgap Kristal Fotonik 1D; metodaGelombangBidang 267
Apendiks 7.3Program hubungan dispersi denganmetodamatriks Kristal fotonik
1D.
269
Apendiks 7.4PenjabaranMatriks Transfer 270
Apendiks 7.5 Berbagai Program Kisi Bragg 271
7.5.1 Kisi Bragg Multilapis 271
7.5.2 Kisi Bragg Sinusoida 271
7.5.3 Bragg Multulapis dengan Cacat 272
7.5.4 Kisi Bragg dengan Chirp Linier 273
7.5.5 Filter Add-Drop 275
7.5.6 Bistabilitas; Saklar Optik 276
Apendiks 8.1 Program untukBandgap Kristal Fotonik 2D danDOS 277
Apendiks 8.2 Program petabandgapkristal 2D
denganmetodaekspansigelombangbidang.
281
Apendiks 8.3 Program untukBandgap Kristal Fotonik 2D
denganCacattitikMenggunakanMetodaSupersel
287
Apendiks 8.4 Program cacatgarisdalamkristal 2D 291
BEBERAPA KONSTANTA 297
DAFTAR SIMBOL 297
INDEKS 299
DAFTAR PUSTAKA 301
-
1
BAB 1
SUMBER DAN DETEKTOR CAHAYA
Penemuan sinar laser pada 1960 telah menimbulkan ketertarikan terhadap teknologi
gelombang cahaya untuk komunikasi. Hal ini berhubungan dengan peningkatan
kapasitas informasi yang sebanding dengan peningkatan frekuensi, 10.000 kali lebih
besar daripada frekuensi yang biasa digunakan. Lebih jauh, semua hal yang selama ini
dilakukan secara elektronik diperkirakan dapat dilakukan secara optik (fotonik).
Misalnya, sistem komunikasi optik menggunakan berbagai devais optik seperti laser
sebagai sumber cahaya, pandu gelombang, switching, modulator, amplifier,
directional coupler, dan detektor optik. Bahan optik yang digunakan untuk devais-
devais itu bisa bersifat linier atau bersifat nonlinier secara optik, bergantung kebutuhan
devais. Untuk memfungsikan itu semua, devais-devais itu disusun terintegrasi; inilah
yang disebut integrated optics.
1.1 Sinar Laser
Suatu atom yang tereksitasi, misalnya karena menyerap foton, bisa turun ke energi
keadaan yang lebih rendah atau malah kembali ke keadaan dasarnya melalui dua
proses radiasi. Pertama, emisi spontan yang menghasilkan fluoresensi dan
fosforesensi, dan kedua, emisi stimulasi yang melatar-belakangi mekanisme laser
(light amplification by stimulated emission of radiation). Kedua jenis emisi ini (lihat
Gambar 1.1) masing-masing dirumuskan sebagai berikut:
Emisi spontan: A*A+hv
Emisi stimulasi: hv+A*A+2 hv
di mana A menyatakan atom dalam keadaan dasar dan A* menyatakan atom dalam
keadaan tereksitasi. Dalam emisi stimulasi, foton (hv)pertama dan foton kedua yang
diemisikan saat atom kembali ke keadaan dasar, memiliki frekuensi, fasa dan arah
yang sama; keadaan ini disebut koheren.
Gambar 1.1 Absorpsi (a), emisi spontan (b) dan emisi stimulasi (c).
Tinjaulah sekumpulan atom sejenis dalam keadaan tereksitasi ex; andaikan
ada sebuah foton yang sesuai mengenai dan merangsang sebuah atom, sehingga atom
Eg
Eex Eex
Eg
ex
g
ex
g
(b) (c)
Eex
Eg
ex
g
(a)
-
2
itu turun ke keadaan dasar g dan dihasilkan dua buah foton yang sama (Gambar
1.1c). Masing-masing foton itu akan merangsang sebuah atom dan menghasilkan dua
foton, demikian selanjutnya. Bisa juga terjadi sebuah foton terserap oleh sebuah atom
di keadaan dasarnya hingga tereksitasi.
Peluang sebuah atom untuk tereksitasi karena menyerap foton sama dengan
peluangnya untuk kembali ke keadaan dasar sambil mengemisikan foton karena
dirangsang oleh foton yang sama. Oleh sebab itu, untuk memperoleh sejumlah foton
sebagai hasil netto dari kedua proses, jumlah atom dalam keadaan tereksitasi harus
lebih besar daripada jumlah atom dalam keadaan dasar. Keadaan ini disebut
pembalikan populasi (population inversion), yakni suatu keadaan yang tidak normal.
Dalam keadaan setimbang termal, sebagian besar atom-atom berada dalam
keadaan dasarnya dan sedikit sekali yang tereksitasi. Perbandingan jumlah (populasi)
atom tereksitasi dan jumlah atom di keadaan dasarnya mengikuti
TBkgEexE
g
ex eN
N /)( (1.1)
di mana Eexdan Eg masing-masing adalah energi keadaan tereksitasi dan energi
keadaan dasar, kB adalah konstanta Boltzmann dan T suhu Kelvin. Karena Eg jauh
lebih rendah daripada Eexmaka NexNg.
Ditinjau dari tingkat-tingkat energi dari suatu atom yang terlibat dalam proses
laser, ada beberapa sistem laser, yakni sistem tiga tingkat dan sistem empat tingkat.
Dalam sistem empat tingkat, seperti laser He-Ne campuran mengandung sekitar 90%
He dan 10% Ne. Seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.2, atom-atom He berperan
Gambar 1.2 Lasersistem empat tingkatHe-Ne.
pumping
He Ne
Tumbukan
HeNe
5s
3p
3s
2s
1s2
()
1s22s
22p
6
Keadaan dasar
laser
-
3
sebagai penimbul populasi inversi atom-atom Ne. Suatu medan listrik dipakai untuk
mengeksitasikaan atom-atom He dari keadaan dasar (1s) ke keadaan tereksitasi
metastabil (2s) yang berenergi 20,61 eV di atas keadaan dasar. Atom-atom He itu
menumbuk atom-atom Ne sehingga tereksitasi ke keadaan metastabil 5s yang
berenergi 20,66 eV. Energi 0,05 eV adalah energi kinetik atom He. Setelah
bertumbukan, atom-atom He turun ke keadaan dasar dan atom-atom Ne berada dalam
keadaan populasi inversi. Transisi atom-atom Ne ke keadaan 3p yang berenergi 18,7
eV di atas keadaan dasar bisa berlangsung secarastimulasi untuk menghasilkan laser
dengan =632,8 nm.
Untukmemperoleh laser berintensitas tinggi,bahan laser ditempatkan dalam
suatu kavitas yang diperlengkapi dengan cermin-cermin setengah-pantul. Sinar laser
menjalar bolak-balik di antara kedua cermin secara tegak lurus; saat itu intensitas
laserterus meningkat, dan setelah intensitasnya cukup tinggi sinar itu keluar dari
kavitas.
Dalam sistem tiga tingkat seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.3, proses
pumping dilakukan ke tingkat energi teratas yakni keadaan eksitasi ex2dansegera
turun ke keadaan eksitasi ex1yang metastabil. Lasing berlangsung antara ex1 dan
keadaan dasarg. Contoh laser ini adalah dioda semikonduktor GaAs (=800-1600
nm) yang biasa digunakan dalam sistem komunikasi optik. Bahan semikonduktor ini
memiliki struktur pita jenis direct bandgap, di mana energi minimum dari pita
konduksi dan energi maksimum pita valensi berada pada nilai k(=2/) yang sama.
Gambar 1.3 Lasersemikonduktor sistem 3-tingkat.
Untuk dioda laser yang menggunakan lebih dari satu jenis bahan
semikonduktor diperlukan lattice matching untuk mencegah transisi nonradiatif.
Laseryang dirancang dari semikonduktor GaAs/AlxGa1-xAs telah banyak
digunakan(lihat Keiser 1992, Dutton 1998, Agrawal 2002).Karena GaAs dan AlAs
berstruktur sangat mirip, dihasilkan suatu direct bandgap yang besarnya dapat diatur
melalui fraksi mol x dari Al. Hasilnya adalah bandgap dalam daerah energi 1,4-1,8 eV
atau panjang gelombang 0,7-0,9 m.
Sebagai alternatif telah dikembangkan senyawa InxGa1-xAsyP1-y/InP.
Berdasarkan InxGa1-xAsy tambahan In dan P memudahkan matching antara InP dan
GaAs. Dengan pengaturan mol x dan y dapat dirancang panjang gelombang laser yang
dihasilkan, berdasarkan rumus empirik
ex2
ex1
g
-
4
212,072,034,1 yyh (1.2) dengan
yx
031,01
453,0
(1.3)
Fabrikasi bahan semikonduktor dilakukan dengan metoda liquid-phase epitaxy (LPE).
Dengan metoda ini pertumbuhan film tipis pada suatu subtrat berlangsung dengan
melewatkan larutan di atas subtrat pada suhu rendah. Cara lain yang telah dilakukan
orang adalah vapour-phase epitaxy (VPE), molecular-beam epitaxy (MBE) dan metal-
organic chemical vapour deposition (MOCVD).
Dalam bentuk yang sederhana, laser semikonduktor ini merupakan dioda p-n
junction seperti Gambar 1.4. Permukaan atas dan permukaan bawah yang sejajar
Gambar 1.4 Dioda laser semikonduktor.
dengan junction, merupakan plat logam dihubungkan dengan elekroda. Dengan
memberikan arus maju, elektron-elektron dari bagian-n terinjeksi melalui junction di
mana mereka berekombinasi dengan hole-hole yangdatang dari bagian-p, dan
menghasilkan foton-foton cahaya yang frekuensinya ditentukan oleh gap energi
semikonduktor. Cahaya itu menjalar bolak-balik antara cermin-cermin sejajar (yang
membentuk kavitas) sambil menstimulasi lebih banyak elektron yang berekombinasi
dengan hole-hole. Dengan demikian terjadi penguatan cahaya sebelum keluar melalui
cermin yang lebih rendah koefisien refleksinya. Cahaya tak bisa memasuki daerah-n
dan –p karena indeks bias keduanya lebih rendah daripada daerah aktif.
Proses lasing berlangsung selama ada arus listrik yang dimasukkan. Daya
keluaran sinar laser sebagai fungsi arus injeksi diperlihatkan dalam Gambar 1.5. Daya
itu sangat kecil selama arus injeksi belum melebihi arus ambang. Besarnya arus
ambang Jamb sangat bergantung pada berbagai parameter, yakni
21
1ln
2
11
LJ amb
(1.4)
di mana (cm-1) adalah koefisien loss dalam daerah aktif, adalah faktor gain dari
sistem kavitas (cm/ampere), L panjang kavitas dan 21, adalah reflektans cermin-
cermin kavitas.
cermin
R
-
5
Gambar 1.5 P vs I suatu dioda laser.
Contoh 1.1
Laser GaAs mempunyai kavitas berukuran panjang 250 m dan lebar 100 m. Dalam
suhu operasionalnya, faktor gainnya 2110-3
cm/A dan koefisien reflektansinya
21 =0.32. Rapat arus ambangnya adalah
Selanjutnya, arus ambang adalah Iamb=(250100) m2 2,6510
3 A/cm
2 =663 mA.
Besarnya arus ambang dipengaruhi oleh suhu operasional. Kebergantungang
arus ambang terhadap suhu untuk dioda laser dengan bahan AlGaAs dan InGaAsP
diperlihatkan dalam Gambar 1.6. Secara umum arus ambang meningkat terhadap suhu,
oTT
amb eJ/
(1.5)
Gambar 1.6 Variasi arus terhadap suhu pada dioda laser (a) AlGaAs dan (b) InGaAsP.
dengan T0 adalah suhu karakteristik yang besarnya berkisara 120-190 K untuk
AlGaAs, dan 40-75 K untuk InGaAsP. Jelas bahwa arus ambang untuk InGaAsP lebih
mudah dipengaruhi suhu dibandingkan dengan AlGaAs.
I
P
Iamb
23
3A/cm1065,2
32,032,0
1ln
2502
110
1021
1
ambJ
200 300 I (mA)
P (mW)
10
5
0
30 40 50 60 oC
100 200 I (mA)
P (mW)
10
5
0
30 40 50 60 oC
(b) (a)
-
6
Contoh 1.2
Misalkan suhu karakteristik AlGaAs adalah 160 K, dan InGaAsP 55 K. Ratio arus
ambang pada suhu 20 dan 80 oC pada masing-masing adalah:
AlGaAs: 46,1)160/293exp(
)160/353exp(
)20(
)80(
CJ
CJo
amb
o
amb
InGaAsP: 98,2)55/293exp(
)55/353exp(
)20(
)80(
CJ
CJo
amb
o
amb
Jadi, kenaikan suhu dari 20 ke 80 oC pada laser AlGaAs meningkatkan arus ambang
1,46 kali sedangkan pada laser InGaAsP 2,98 kali.
Selain karakteristik-karakteristik yang telah dikemukakan di atas, perlu juga
diketahui bahwa dioda laser mempunyai sifat dinamis. Sifat ini agak kritis khususnya
bila digunakan dalam sistem komunikasi dengan bit rate tinggi. Penggunaan arus
injeksi dalam bentuk step untuk menghidupkan laser menimbulkan waktu tunda yang
diikuti oleh osilasi teredam berfrekuensi tinggi yang disebut osilasi relaksasi.
Fenomena transient ini berlangsung hingga populasi elektron dan foton dalam daerah
aktif mencapai keadaan stabil seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.7.
Gambar 1.7 Dinamika dioda laser; tdadalah waktu tunda yang diikuti oleh osilasi
teredam.
Efisiensi suatu dioda laser semikonduktor didefenisikan dalam berbagai cara (lihat
(lihat Keiser 1992):
(i) Efisiensi diferensial kuantum eksternal D, yaitu variasi jumlah foton sinar
keluaran terhadap jumlah elektron terinjeksi. Jika P adalah daya sinar keluaran, I
arus injeksi bersangkutan, hv energi foton dari sinar dan e muatan elektron, maka
efisiensi itu dirumuskan seperti
dI
dP
EedI
hvdPD
1
/
/ (1.5)
dengan adalah gap energi semikonduktor bersangkutan. Berdasarkan Gambar
1.5dP/dI adalah kemiringan kurva dalam daerah lasing. Dengan dP/dI=0,4
mW/mA dan =1,45 eV maka D=0,28.
P
td t
-
7
(ii) Efisiensi kuantumQ, yaitu perbandingan antara jumlah foton yang dihasilkan
dalam kavitas dan jumlah elektron yang diinjeksikan
eI
hvPQ
/
/ (1.6a)
Dengan efisiensi D hubungannya adalah
)ln(/21 21RRLQ
D
(1.6b)
(iii) Efisiensi kuantum eksternal (efisiensi total) T, yakni perbandingan antara
jumlah foton sinar keluaran dan jumlah elektron terinjeksi,
I
P
EeI
hvPT
1
/
/ (1.7)
Jika daya sinar keluaran linier terhadap arus injeksi maka
I
I ambDT 1 (1.8)
(iv) Efisiensi daya eksternal (devais) dev, yakni perbandingan antara daya sinar
keluaran dan daya listrik masukan
VI
Pdev (1.9)
dengan V adalah tegangan untuk memperoleh arusinjeksi I. Dengan efisiensi total
maka
V
ETdev
(1.10)
Rangkaian elektronik untuk menghidupkan dioda laser dirancang sesuai
dengan kemampuan berkecepatan tinggi dari dioda. Untuk itu digunakan metal
semikonduktor FET. Offset dari arus diatur sedikit lebih besar daripada arus ambang
dioda laser agar waktu tunda penyalaan laser menjadi lebih singkat. Harus disadari
bahwa suhu sangat mempengaruhi operasional laser. Oleh sebab itu diperlukan
rangkaian terpisah untuk memonitor dan meregulasi suhu operasi. Selain itu, umur
dioda laser menyebabkan meningkatanya kebutuhan arus ambang sehingga daya
sinar keluaran berkurang.Untuk mengatasinya, rangkaian kendalimemerlukan
mekanisme feedback untuk pengaturan arus. Rangkaian standar untuk kendali dioda
laser adalah seperti Gambar 1.8. Feedback dari fotodioda dibandingkan dengan
-
8
tegangan Vrefuntuk mengendalikan arus bias Ia. Rangkaian ini mampu menghasilkan
stabilisasi 1% pada bit rate 270 Mb/s.
Gambar 1.8 Rangkaian kendali dioda laser dengan feedback.
1.2 LaserSumur Quantum
Bila ketebalan daerah aktif dalam dioda laser seperti dalam Gambar 1.4 diperkecil
hingga sekitar satu panjang gelombang de Broglie dari elektron, maka effek-effek
kuantum akan menjadi menonjol. Elektron-elektron dan hole-hole dalam GaAs yang
di-sandwich antara dua lapisan GaAlAs seperti dalam Gambar 1.9 akan terperangkap
di dalam gap energi GaAlAs yang lebih besar. Sebagai contoh Eg(GaAlAs)=1,65 eV
dan Eg(GaAs)=1,4 eV sedangkan dengan a=140 Å, dihasilkan sumur potensial dalam
pita konduksi Voc=220 meV dan sumur potensial dalam pita valensi Vov=30 meV (lihat
Dingle 1974) .
Gambar 1.9 Diagram tingkat-tingkat energi suatu sumur kuantum.
Dalam Fisika Kuantum dikemukakan bahwa suatu partikel di dalam suatu
sumur potensial yang besarnya Vo dan lebarnya a mempunyai tingkat-tingkat energi
yang terkuantisasi,
......2,1;2 2*
222 n
amnEn
(1.11)
seperti dalam Gambar 1.10. Jumlah tingkat energi ditentukan oleh besarnya Voa2,
yakni:
)2/( *222 eo maV ada satu buah tingkat energi,
fotodioda
Ia
laser
Vref
Vcc
GaAs
GaAlAs
GaAlAs
Eh1
Eh2
Ee3
Ee2
Ee1
Eg (GaAlAs) Eg (GaAs)
Ec
Ev
a
-
9
)2/(4)2/( *22222 eoe maVm ada dua buah tingkat energi,
4 )2/(9)2/(*22222
eoe maVm ada tiga buah tingkat energi.
Gambar 1.10 Tingkat-tingkat energi elektron dalam sumur potensial dalam satuan
)2/( *22 em .
Dengan *
em =0,0665me maka em2/(22 )=37,6 Å2eV. Jadi dengan Vo=Ec=220
meV maka untuk contoh di atas diperoleh )2/(/*222
eo maV 6,7 ada tiga buah
tingkat energi untuk elektron di pita konduksi, masing-masing Ee1=16 meV, Ee2=61
meV dan Ee3=132 meV. Untuk hole massa effektif adalah *
hm =0,71me sehingga
)2/(22 em 3,8 Å2eV. Dengan Vo=Ev=30 meV maka )2/(/
*222
eo maV =10,6
sehingga ada empat tingkat energi hole di pita valensi, masing-masing Eh1=1,5 meV,
Eh2=5,2 meV, Eh3=11,9 meV dan Eh4=19,2 meV.
Jadi, jika lasing terjadi antara Een dan Ehm, maka panjang gelombang laser yang
dihasilkan adalah
hmeng EEGaAsE
)(
242,1 (1.12)
dengan dalam m dan semua E dalam eV.
1.3 Light Emiting Diode (LED)
Sinar yang dihasilkan oleh suatu LED merupakan hasil dari emisi spontan, yakni emisi
oleh elektron yang turun secara otomatis ke tingkat energi lebih rendah. Foton-foton
yang diemisikan oleh beberapa elektron tidak mempunyai hubungan fasa.Oleh sebab
itu sinar dari suatu LED adalah sinar yang tidak koheren.
20
Ea2
10
0
0 10 20
Voa2
n=3
n=2
n=1
n=5
n=4
-
10
LED memerlukan sejumlah besar elektron dan hole dalam daerah aktif
senyawa semikonduktor. Untuk itu diperlukan (i) pn junction dalam daerah aktif untuk
injeksi elektron-hole, (ii) material mempunyaidirect bandgap agar radiasi cahaya
berlangsung efisien. Untuk kelangsungan injeksi elektron-hole dan mempertahan-
kannya, digunakan konsep dioda heterojunction di mana elektron dan hole terinjeksi di
dalam daerah aktif dari sisi-n dan sisi-p, dan dicegah agar tidak meninggalkan daerah
itu dengan menggunakan barrier di luar daerah aktif(Keiser 1992, dan Agrawal 2002).
Ada dua jenis LED, yaitu surface-LED (SLED) dan edge-LED (ELED) seperti
dalam Gambar 1.11. Bahan LED yang banyak digunakan untuk panjang gelombang
1,3 m adalah senyawa InGaAsP/InP, baik dalam bentuk SLED maupun ELED. Tebal
Gambar 1.11 Struktur SLED (a) dan ELED (b).
n-InP sekitar 2,5 m didop dengan Sn ~21018
/cm3; tebal InGaAs 0,4-1,5 m didop
dengan Zn~0,5-21018
/cm3 berfungsi sebagai lapisan aktif yang memancarkan
cahaya1,3 m ; p-InP sekitar 1-2 m didop dengan Zn~0,5-21018
/cm3 sedangkan p-
InGaAs sekitar 0,2 m berfungsi untuk mengurangi hambatan kontak dengan
elektroda. ELED memiliki lapisan yang lebih tipis daripada SLED. Cahaya yang
dihasilkan dipandu keluar melalui satu sisi dan sisilain ditutup dengan reflektor.
Dengan demikian cahaya yang keluar cukup terarah.
Daya keluaran sebagai fungsi arus listrik diperlihatkan dalam Gambar 1.12.
Terlihat kurva P-I itu mendekati linier. Daya keluaran sebagai fungsi suhu pada arus
I=200 mA diperlihatkan dalam Gambar 1.13. Selain itu, lebar spektral suatu LED dan
panjang gelombang pusatnya dipengaruhi oleh suhu seperti diperlihatkan
dalamGambar 1.14. Terlihat bahwa lebar spektral dan panjang gelombang pusat
masing-masing adalah 20 nm dan 0,85 m pada suhu 0oC, 25 nm dan 0,86 m pada
suhu 30oC, 30 nm dan 0,875 m pada suhu 60
oC.
(a)
_
+
logam
n-InP
InGaAsP
p-InP
p-InGaAs
SiO2
logam
_
(b) +
logam
n-InP
InGaAsP
Reflector
p-InP
p-InGaAs
SiO2
logam
-
11
Gambar 1.12 Karakteristik P-I SLED dan ELED.
Gambar 1.13 Karakteristik P-T SLED dan ELED.
Gambar 1.14 Kebergantung lebar spektral dan panjang gelombang pusat sinar LED
AlGaAs terhadap suhu.
Rangkaian elektronik untuk menyalakan LED diperlihatkan Gambar 1.15.
Kebutuhan mendasar bagi suatu LED adalah (i) arus listrik berkisar 50-100 mA, dan
(ii) switch on-off dilakukan dengan signal input level rendah. Rangkaian ini memiliki
gain besar, tegangan input rendah dengan bias yang bebas. Kecepatan switch-
nyadibatasi oleh arus forward,kapasitansi junction dalam LED dan muatan minority
yang tersimpan di collector-base junction dari transistor. Rise time bisa diperbaiki
dengan menggunakan kapasior C, sedangkan fall time bisa dikurangi dengan
mengambil minority carrier yang tersimpan dalam collector-base junction transistor;
ini dilakukan dengan memasang dioda antara base dan collector.
Rangkaian kendali berimpedansi rendah yang mensuplai step tegangan pada
LED dapat juga dipakai untuk operasi berkecepatan tinggi. Salah satu adalah emitter-
ELED
SLED
P(mW)
1,2
0,8
0,4
0 0 100 200 300 I(mA)
ELED
SLED
P(mW)
1,0
0,1
0,01 0 20 40 60 80 T(oC)
P (mW)
1,2
0,8
0,4
0 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 (m)
60oC
30oC
0oC
-
12
follower seperti dalam Gambar 1.15b. Rangkaian seperti ini mampu menimbulkan
suatu pulsa optik yang memiliki rise time beberapa ns dari suatu LED yang
mempunyai kapasitansi ratusan pF.
Gambar 1.15 Switch jenis common-emitter untuk kendali LED (a) dan emitter-
follower (b).
1.4 Fotodioda
Fotodioda adalah dioda semikonduktor yang dapat mengubah cahaya menjadi listrik.
Persyaratan yang diperlukan dari suatu fotodioda adalah (i) kepekaannya tinggi dalam
daerah panjang gelombang tertentu, (ii) noisnya rendah, (iii) responya cepat, dan (iv)
tidak peka terhadap variasi suhu. Ada dua jenis fotodioda semikonduktor, yakni
fotodioda PIN dan fotodioda APD (Keiser 1992, dan Agrawal 2002).
Fotodioda PIN seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.16, dibangun dari
semikonduktor jenis-p dan jenis-n yang dipisahkan dengan bagian-i yang merupakan
Gambar 1.16 Fotodioda PIN dengan tegangan terbalik.
semikonduktor intrinsik yang didop dengan sedikit n. Dalam operasinya, digunakan
tegangan terbalik yang cukup tinggi skehingga bagian-i kosong (depleted)
darielektron-lubang atau konsentrasinya sangat rendah dibandingkandengan
konsentrasi impuritas. Bila foton dengan hv= (gap energi) mengenai bagian-i,maka
foton itu menciptakan pasangan elektron-hole;elektron naik ke pitakonduksi
meninggalkan lubang di pita valensi dan selanjutnya bertindak sebagai carrier (disebut
(b)
LED
C
R1
R2
Vin
Vcc
(a)
LED
Vin
Vcc
If
hv
RL
p
n
i
-
13
photocarrier). Carrier itu selanjutnya berubah menjadi arus listrik If (disebut
photocurrent) yang mengalir melalui hambatan RL.
Dalam Gambar 1.17 diperlihatkan daya-daya terkait pada suatu dioda PIN,
dimana Po adalah daya sinar yang memasuki dioda, Pabsdaya sinar yang terserap dan
Gambar 1.17 Daya terabsorpsi Pabs dalam daerah-i.
Pd daya sinar yang keluar dari dioda. Jika d adalah tebal dioda dan adalah
koefisienabsorpsi bahan-i, maka daya yang keluar adalah
d
od ePP (1.11)
Daya yang diserap oleh bahan adalah
dodoabs ePPPP 1 (1.12)
Jadi, semakin tebal bahan dioda semakin besar pula daya yang diabsorpsi. Daya
terabsorpsi dipakai untuk pembentukan photocarrier, yang selanjutnya menjadi
photocurrent If. Dengan demikian maka berlaku
fabs Ie
hvP (1.13)
di mana hv sama dengan gap energi bahan semikonduktor.Dari kedua persamaan di
atas maka diperoleh hubungan
dof ePhv
eI 1 (1.14)
Efisiensi kuantum fotodioda adalah perbandingan antara jumlah photocurrent yang
dihasilkan dan jumlah foton yang memasuki fotodioda. Jadi
R
I
f Pd Po
n
Pabs
p
-
14
e
hv
P
I
o
f
Q (1.15)
Contoh 1.3
Misalkan energi gap bahan 1,45 eV, tebal dioda 2 mm, koefisien absorpsi 10/cm, daya
sinar yang memasuki dioda 0,1 watt, maka daya terserap adalah:
Pabs=0,1 watt (1-e-2
)=86,5 mW.
Photocurrent yang ditimbulkan adalah:
If=1,610-19
C 86,5 mW /(1,45 1,6 10-19
J)=58,7 mA.
Efisiensi kuantum adalah
Q=58,710-3
A 1,451,610-19
J/(0,1 W1,610-19
C)=0,85
Di dalam fotodioda, sekitar 100 foton yang memasuki daerah-i dapat
menghasilkan 30-95 pasangan elektron-hole sehingga efisiensi kuantum fotodioda
secara umum berkisar 30-95%. Untuk meningkatkan efisiensi, dalam desainnya
fotodioda dibuat agak tebal agar daya terabsorpsi menjadi agak besar.
Kinerja suatu fotodioda PIN seringkali dikarakterisasi dengan responsibilitasR.
Responsibilitas berkaitan dengan efisiensi kuantum Q, dengan hubungan seperti
hc
e
hv
e
P
IR QQ
o
f (1.16)
Untuk berbagai fotodioda PIN responsibilitas itu diperlihatkan dalam Gambar 1.18.
Gambar 1.18 Responsivitas berbagai jenis fotodioda PIN.
Ge
InGaAs
Si
Q=90% 70%
50%
30%
0,5 1,0 1,5 (m)
R (A/W)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-
15
Terlihat, untuk efisiensi fofodioda PIN InGaAs pada panjang gelombang antara 1,1
dan 1,6 m adalah kira-kira 67%; responsivitas pada panjang gelombang 1,3 m
adalah
%68/1031063,6
103,1106,167,0
834
619
smJs
mCR
Selain jenis PIN ada pula fotodioda jenis APD (avalanche photodiode).
Disebut avalanche karena photocurrent primer terlebih dahulu mengalami penguatan
sebelum keluar ke rangkaian elektronik. Hal ini diharapkan dapat meningkatkan
kepekaan penerima, karena penguatan berlangsung sebelum mengalami noise termal
dalam rangkaian elektronik. Dalam Gambar 1.19 diperlihatkan prinsip dasar suatu
fotodioda APD.Di antara bagian-n dan –i dibuat bagian-p. Dalam daerah-p ini medan
listrik lebih besar daripada daerah lain.Inilah yang disebut daerah avalanche.
Gambar 1.19 Struktur dasar fotodioda APD.
Elektron danhole (carrier) yang ditimbulkan oleh foton di dalam daerah-i
(deplesi) bergerak melalui daerah-p sehingga memperoleh tambahan energi. Dengan
tambahan energi itu carrier mampu menumbuk dan melepaskan elektron yang
sebelumnya terikat dalam pita valensi. Elektron-elektron itu selanjutnya memperoleh
tambahan energi danmelepaskan lebih banyak elektron. Jadi, di dalam daerah-p itu
terjadi penguatanumlah carrier sehingga terjadi penguatan arus primer If menjadi IM.
dengan faktorpenguatan M=IM/If. Hal ini menyebabkan responsivitas menjadi
RMRAPD (1.17)
dengan Rseperti dalam persamaan (1.16).
Contoh 1.4
Misalkan fotodioda APD silikon mempunyai efisiensi kuantum 65% pada panjang
gelombang 0,9 m. Jika daya optik yang memasuki daerah-i adalah 0,5 watt dan arus
yang dihasilkan dalam rangkaian elektronik 10 A hitunglah faktor penguatannya.
V
i
Medan listrik
IM p
n
p daerah avalanche
daerah deplesi
-
16
AWsmJs
mCP
hv
eI oQf
235,05,0
/1031063,6
109,0106,165,0
834
619
43235,0
10
A
A
I
IM
f
M
Faktor penguatan dalam fotodioda APD silikon sebagai fungsi tegangan V
diperlihatkan dalam Gambar 1.20. Tampak bahwa semakin pendek panjang
gelombang cahaya semakin kecil faktor penguatan M. Hal itu disebabkan oleh
semakin besarnya absorpsi foton dalam bahan.
Gambar 1.20 Faktor penguatan dalam fotodioda APD silicon sebagai fungsi tegangan
pada berbagai panjang gelombang.
1,06 m
0,80 m
0,57 m
M
102
101
100
0 1234 V(volt)
-
17
Soal-soal
1.1 Tentukanlah komposisi InGaAsP agar diperoleh laser yang beroperasi pada
panjang gelombang 1,3 m.; 1,7 m.
1.2 Panjang daerahaktif laser InGaAsP yang panjang gelombangnya 1,3 m adalah
250 m. Andaikan loss internalnya 30/cm indeks bias modus 3,3 dan faktor
confinement-nya 0,4. Hitunglah gainnya agarlaser mencapai ambangnya.
1.3 Sebuah fotodioda PIN dari Ga0,47In0,53As dengan luas penampang 0,1 mm2
menghasilkan arus-foto 0,96 A bila disinari dengan berkas sinar berintensitas 1
mW/cm2
dan panjang gelombang 1,3 m. Hitunglah a) efisiensi kuantum, b)
arus-foto pada 1,5 m an 1,7 m.
1.4 Daerah i dari fotodioda pin mempunya gap energi 1,45 eV, tebal 1 mm,
koefisien absorpsi 10/cm. Jika daya sinar yang memasukinya 0,1 watt hitunglah
a) daya terserap, b) arus-foto yang dihasilkan.
1.5 Suatu pulsa 100 ns yang mengandung 6106 buah foton berpanjang gelombang
1,3 m menyinari fotodioda GaAs. Jika tercipta 3,9106 pasangan elektron-
lubang, hitunglah arus-foto yang terjadi.
1.6 Misalkan fotodioda pin menerima sinar dari 800 foton/detikberpanjang
gelombang 1,3 m. Jika dihasilkan 550 elektron per detik hitunglah
responsivitas fotodioda itu.
1.7 Efisiensi kuantum sebuah fotodioda InGaAs untuk panjang gelombang antara
1,1 m dan 1,6 m adalah 0,67. Hitunglah responsivitasnya pada panjang
gelombang 1,55 m.
1.8 Sebuah fotodioda APD menerima sinar dari 1,35 m dengan daya 0,2 watt. Jika
arus-foto yang timbul setelah penguatan adalah 4,9 A dan efisiensi kuantumnya
0,4 hitunglah faktor penguatannya.
1.9 Sebuah fotodioda APD mempunyai efisiensi kuantum 0,45 pada panjang
gelombang 0,85 m dan faktor penguatan 250. Jika disinari dengan panjang
gelombang itu diperoleh arus-foto 10 A. Hitunglah daya sinar yang
diterimanya dan hitung pula jumlah foton yang terkandung.
1.10 Jika sinar dari 1011 foton per detik dengan energi masing-masing 0,8 eV diterima
oleh fotodiodaAPD yang efisiensi kuantumnya 0,6 dan faktor penguatannya 18,
hitunglah arus-foto yang dihasilkan.
-
18
-
19
BAB 2
GELOMBANG OPTIK
Dalam teori klassik, hukum-hukum kelistrikan dan kemagnetan secara umum
diungkapkan oleh persamaan-persamaan Maxwell. Persamaan-persamaan itu
merupakan sintesis dari teori-teori dan hasil-hasil observasi. Karena itulah maka
persamaan-persamaan Maxwell merupakan kumpulan dari hubungan-hubungan
sejumlah besaran medan listrik dan medan magnet seperti pergeseran listrik 𝐷 , induksi
medan magnet 𝐵 , kuat medan listrik 𝐸 , kuat medan magnet 𝐻 , kerapatan muatan
listrik 𝜌 dan kerapatan arus listrik 𝐽 . Dari persamaan-persamaan Maxwell itu dapat
diturunkan persamaan gelombangelektromagnet, dan salah satu keberhasilannya dapat
memperlihatkan gelombangyang bervariasi secara harmonik dalam bahan dielektrik
(bahan optik). Gelombang itulah yang disebut gelombang optik.
2.1 Persamaan Maxwell
Kuat medan listrik E
di dalam bahan dielektrik isotropik akan menimbulkan apa yang
disebut pergeseran listrik D
, dengan hubungan
ED
(2.1)
di mana adalah permittivitas bahan dielektrik yang sama ke semua arah di dalam
bahan tersebut. Tetapan dielektrik bahan didefenisikan seperti r=/o dengan
o=8,8520-12
farad/meter adalah permittivitas ruang hampa.
Hal mirip, kuat medan magnet H
dalam bahan dielektrik isotropik akan
menimbulkan induksi medan magnet B
, dengan hubungan
HB
(2.2)
di mana adalah permeabilitas bahan. Untuk ruang hampa o=410-7
henry/meter..
Persamaan (2.1) dan (2.2) disebut sebagai hubungan konstitutif bahan dielektrik
isotropik.
Dalam teori listrik-magnet ada tiga hukum penting. Pertama, hukum Faraday
yang mengungkapkan induksi gaya-gerak listrik pada suatu kumparan sebagai akibat
dari perubahan fluks magnet yang melalui kumparan itu:
AC
danBt
ldE ˆ
(2.3)
-
20
Kedua, hukum Ampere yang mengemukakan bahwa integral medan magnet
sepanjang garis tertutup yang melingkupi suatu arus listrik sebanding dengan besarnya
arus itu; ini secara umum dirumuskan sebagai berikut
tIldB e
C
(2.4)
di mana te / adalah variasi fluks listrik terhadap waktu. Karena A
dAnJI ˆ
dengan Jadalah rapat arus, dan
S
e dAnE ˆ
, maka hukum Ampere di atas dituliskan
seperti
C A
dAnt
EJldB ˆ..
(2.4)
Ketiga, hukum Gaussuntuk medan listrik dan medan magnet. Tentang medan listrik
dikemukakan bahwa fluks listrik melalui permukaan tertutup sebanding dengan
muatan listrik yang terkandung di dalamnya,
dVdAnEA V
ˆ.
(2.5)
Sehubungan denganinduksi medan magnet hukum ini mengemukakan bahwa fluks
magnet melalui permukaan tertutup adalah
A
dAnB 0ˆ.
(2.6)
Untuk memperoleh bentuk umum dari hukum-hukum di atas terlebih dahulu
diperkenalkan dua buah teorema dalam aljabar vektor. Yang pertama adalah teorema
Stokes:
AC
dAnFldF ˆ..
(2.7a)
dan yang kedua teorema divergensi:
A V
dVFdAnF
.. ˆ (2.7b)
di mana n̂ adalah vektor satuan normal (tegak lurus) pada permukaan A, dan
zˆ
yˆ
xˆ
kji . Selanjutnya penerapan persamaan (2.7 a-b) pada persamaan
(2.3) akan menghasilkan
-
21
t
BE
(2.8a)
pada persamaan (2.4) menghasilkan
(2.8b)
pada persamaan (2.5) menghasilkan
D
. (2.8c)
dan pada persamaan (2.6) menghasilkan
0. B
(2.8d)
Keempat persamaan (2.8a-d) itulah yang disebut persamaan Maxwell dalam satuan SI.
2.2 Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang elektromagnet diturunkan dari persamaan Maxwell (untuk
deteilnya lihat Yariv et al. 1984 dan Yeh 1988). Tinjaulah bahan isotropik di mana
=0, J=0, sedangkan dan berupa skalar. Dari persamaan (2.8a) dan mengingat
persamaan (2.2) berlaku
Ht
E
1
Selanjutnya dari persamaan (2.8b) dan mengingat persamaan (2.2) berlaku pula
2
2
t
EH
t
.
Karena sifat vektor
EEE
111
dan
EEE
2)( . maka
0)(ln .2
22
EE
t
EE
.
Jt
DH
-
22
Dari persamaan (2.8c) 0 EΕΕ
sehingga
ln1
. EEΕ
maka
0lnln2
22
ΕE
t
EE
. (2.9a)
Inilah persamaan umum gelombang untuk kuat medan listrik. Untuk medan magnet
dapat diturunkan
0lnln2
22
HE
t
HH
. (2.9b)
Di dalam bahan isotropik homogen ln = 0ln sehingga persamaan
gelombang (2.9a dan b) menjadi lebih sederhana, yakni
0
,0
2
22
2
22
t
HH
t
EE
(2.9c)
a. Gelombang dalam bahan dielektrik
Di dalam bahan dielektrik =0 sedangkan tetapan dielektriknya adalah r=/0.
Karena 00=1/c2, c adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa, maka persamaan
(2.9c) untuk medan listrikmenjadi lebih sederhana, yakni
02
2
2
2
t
E
cE r
(2.10)
dan medan magnet
02
2
2
2
t
H
cH r
(2.11)
Tinjaulah gelombang bidang
)(
0),(ztieEtzE
(2.12)
Persamaan (2.10) menjadi
-
23
022
2
E
cr
(2.13)
sehingga diperoleh bilangan gelombang dalam bahan dielektrik
2
22
cr
(2.14a)
Bilangan gelombang dapat dinyatakan sebagai
ckkr
00 ; (2.14b)
di mana k0 adalah bilangan gelombang dalam ruang hampa. Persamaan (2.14b) di atas
dikenal sebagai hubungan dispersi.
Dalam prakteknya bahan dielektrik seperti polimer menyerap gelombang
elektromagnet. Penyerapan itu berlangsung karena tetapan dielektriknya merupakan
besaran kompleks, misalnya
"'rrr i (2.15)
Dengan demikian maka persamaan (2.14a) menjadi
"'2
22
rr ic
(2.16)
Nyatakanlah
ik (2.27)
di mana 2/1
2
'
"'
112
r
rr
ck
(2.18a)
2/1
2
'
"'
112
r
rr
c
(2.18b)
Gelombang bidang dalam persamaan (2.12) menjadi
)(
0),(zktiz eeEtzE
(2.19)
Jelas terlihat bahwa bagian imajiner dari tetapan dielektrik menyebabkan amplitudo
berkurang secara eksponensial sepanjang penjalarannya pada sumbu-z.
-
24
Contoh 2.1:
Pandanglah gelombang bidang dalam bahan untuk medan listrik dan medan magnet
seperti
).(2
).(1 ˆ;ˆ
rktio
rktio eHuHeEuE
(2.20)
di mana Eo dan Ho adalah amplitudo kompleks yang konstan dalam ruang dan waktu.
Gunakan persamaan Maxwell untuk mengevaluasi arah-arah medan dan hubungan
kedua amplitudonya.
Untuk itu, mula-mula gunakan persamaan (2.8c)
0. E
rktiozyx
zkykxkiti
o eEuikzikyikxeeEuz
zy
yx
x zyx
.
11ˆ.ˆˆˆˆ.ˆˆˆ
sehingga diperoleh
0. Ek
(2.22a)
Selanjutnya dengan persamaan (2.8d)
0. H
rktiozyx
zkykxkiti
o eHuikzikyikxeeHuz
zy
yx
x zyx
.
22ˆ.ˆˆˆˆ.ˆˆˆ
sehingga diperoleh
0. Hk
(2.22b)
Jadi, kedua medan E
dan H
masing-masing tegak lurus terhadap arah penjalaran k
.
Kemudian dengan persamaan (2.8a)
).(2).(1 ˆˆ rktiorktio eHt
ueEu
).(21 ˆˆˆˆˆ
rktio
zkykxkitio eHuieeEu
zz
yy
xx zyx
).(2.1 ˆˆˆˆˆ rktiorktiozyx eHuieEuikzikyikx
sehingga
-
25
HEk
. (2.22c)
Cara yang sama dengan persamaan (2.8b) dengan J=0,
).(1).(2 ˆˆ rktiorktio eEt
ueHu
).(1.2
).(
12
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
rkti
o
rkti
ozyx
rkti
o
zkykxkiti
o
eEuieHuikzikyikx
eEuieeHuz
zy
yx
x zyx
sehingga dihasilkan hubungan
EHk
. (2.22d)
Dari persamaan (2.22c) dan (2.22d) jelaslah bahwa medan E
, medan H
dan k
tegak
lurus satu sama lain seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Medan E
, medan H
dan vektor gelombang k
dari suatu gelombang
elektromagnet.
Besarnya vektor gelombang dalam sesuatu bahan, secara umum adalah
vk
(2.23)
di mana v adalah kecepatan fasa gelombang dalam bahan. Dengan demikian maka
persamaan (2.22a) menjadi
H
k
Ek
(2.24)
Selanjutnya dengan rumusan gelombang bidang dalam persamaan (2. 20), hubungan
antara vektor-vektor satuan adalah
1û
2û k
E
H
E
E
H
H
-
26
21 ˆ
ˆu
k
uk
Oleh sebab itu hubungan antara amplitudo medan listrik dan amplitudo medan magnet
adalah
oo HE
(2.25)
Dari persamaan (2.25) ini, impedansi yang dialami gelombang di dalam bahan
dielektrik dapat dikemukakan seperti
o
o
H
EZ (2.26a)
Untuk ruang hampa, 0 , 0 , impedansi itu adalah
377o
o
oZ
(2.26b)
dan untuk bahan dielektrik adalah
n
Z
H
EZ o
r
o
o
o
0
(2.26c)
dengan 𝑛 = 𝜖𝑟 adalah indeks bias bahan dielektrik.
b. Gelombang dalam bahan konduktif
Untuk bahan konduktif J0, dan berlaku hukum Ohm
EJ
(2.27)
di mana adalah konduktivitas bahan. Untuk menurunkan persamaan gelombang,
gunakan kembali persamaan (2.8a) dan (2.8b) seperti
Ht
E
1
t
E
t
EH
t
2
2
Mengingata EE
2 maka persamaan gelombang menjadi
-
27
02
22
t
E
t
EE
(2.28)
Untuk gelombang bidang
)(
0),(ztieEtzE
(2.29)
maka persamaan (2.28) menjadi
022 Ei
sehingga
i 22
Untuk itu misalkan hubungan dispersi adalah
ik (2.30a)
dengan 2/1
2
21 11
k (2.30b)
2/12
21 11
(2.30c)
Maka gelombang bidang pada persamaan (2.29) dapat dinyatakan seperti
)(
0),(zktizeeEtzE
(2.32)
Jadi, seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.2, gelombang dalam bahan konduktif
mengalami redaman (loss) sepanjang penjalarannya. Jarak yang ditempuh sehingga
amplitudo menjadi 1/e dari semula disebut kedalaman kulit (skin depth).
Gambar 2.2 Penggambaran medan harmonik yang teredam; Zsd=1/adalah skindepth.
0 2 4 6 8 10
-5
0
55
10-10
z
E
zsd
-
28
Kembali ke persamaan (2.29), misalkanlah medan E
terletak pada sumbu-x,
yakni
)(
0
)(
0ˆˆ),( zktizzti eeExeExtzE
Berdasarkan persamaan (2.22c), maka HEz
ˆ menghasilkan medan H
)(
0
)(
0ˆˆ zktizzti eeEyeEyH
(2.32)
Karena adalah besaran kompleks, maka boleh dituliskan
ie (2.33a)
dengan
kk
122 tan; (2.33b)
Jadi
)(
0ˆ
zktiz eeEyH
(2.34)
Medan-medan dalam persamaan (2.32) dan (2.34) dilukiskan seperti Gambar 2.3.
Gambar 2.3 Gambaran gelombang di mana medan H
mendahului medan E
dengan
fasa sebagai akibat dari adanya redaman.
2.3 Rapat dan Fluks Energi; Teorema Poynting
Gelombang elektromagnet membawa energi dalam bentuk radiasi elektromagnet. Ada
dua aspek penting dalam hal ini, yakni (i) rapat energi yang tersimpan dalam
gelombang EM, dan (ii) fluks energi yang berkaitan dengan gelombang EM tersebut.
Dari persamaan Maxwell (2.8b) secara umum berlaku hubungan
t
DEHEEJ
... )( (2.35)
Dalam analisis vektor berlaku hubungan
k̂
ẑ H
E
x̂
ŷ
-
29
)(
)()()(
..
...
HEt
BH
HEEHHE
(2.36)
sehingga persamaan (2.35) menjadi
t
DE
t
BHHEEJ
.... )(
Tetapi karena
DEtt
DE
BHtt
BH
..
..
maka
DEBHt
HEEJ
..)(..
(2.37)
Oleh sebab itu rapat energi (joule/m3) adalah
DEBHU
.. (2.38)
Jadi, persamaan (2.37) dapat dinyatakan seperti
EJt
UHE
.. )(
(2.39)
Integral volume dari persamaan (2.39) adalah
VAV
dVUt
dAnHEdVEJ ˆ..
(2.40)
di mana telah diterapkan
AV
dAnHEdVHE ˆ..
Fihak kiri dalam persamaan (2.40) adalah penurunan energi dalam volume V, suku
kedua fihak kanan adalah laju peningkatan energi di dalam volume yang sama. Jadi,
suku pertama fihak kanan adalah daya yang mengalir keluar melalui permukaan A
yang melingkupi volume V. Oleh sebab itu besaran
HES
(2.42)
-
30
merupakan daya per satuan luas atau fluks di setiap titik di permukaan A. S
disebut
vektor Poynting, dan persamaan (2.39) bisa dituliskan seperti
EJt
US
..
(2.42)
Persamaan (2.42) merupakan persamaan kontinuitas, dan persamaan (2.40) yang
ditulis ulang seperti
VAV
dVUt
dAnSdVEJ ˆ..
(2.43)
merupakan hukum kekekalan daya secara umum untuk gelombang EM; inilah yang
disebut teorema Poynting.
Contoh 2.2:
Sebuah gelombang bidang yang menjalar pada sumbu-z mempunyai medan-medan
sebagai berikut
kztZ
EytrH
kztExtrE
y
y
cosˆ),(
cosˆ),(
0
0
Dalam hal ini telah digunakan persamaan (2.33a) di mana ZEH oo / dan
/Z . Tentukanlah vektor Poynting dan kerapatan energi listrik dan magnet
yang tersimpan.Andaikanlah suatu volume berukuran x=a, y=b dan z=c, buktikan
bahwa teorema Poynting terpenuhi.
Jawab:
Dari rumus HES
maka
kztZ
Ez
kztZ
EyxS
y
y
2
2
0
2
2
0
cosˆ
cosˆˆ
Kerapatan energi listrik dan magnet masing-masing adalah
kztEEDEU ye 22
021
2
21
21 cos.
kztEZ
HHBU ym
220221
2
21
21 cos.
-
31
Selanjutnya, dalam teorema Poynting persamaan (2.46) misalkanlah volume V tidak
mengandung arus, maka
0ˆ.
VA
dVUt
dAnS
kctZ
Edydxt
Z
Edydx
czSdydxzSdydxdAnS
ya ba b
y
a b
z
a b
z
A
22
0
0 00 0
2
2
0
0 00 0
coscos
)()0(ˆ.
tkctZ
Eab
y 22
20
coscos
atau
tkctabZ
EdAnS
y
A
2cos2cos2
ˆ
2
0.
Kemudian
dzkztdydxZ
EdVU
cba
y
V
0
2
00
2
2
021 cos
dzkztabEc
y 0
2
021 )(2cos1
t
kkct
kcabEy 2sin
2
1)(2sin
2
1202
1
tk
kctk
ct
abEdVUt
y
V
2sin2
1)(2sin
2
1202
1
tkctabZ
E
tkctk
abE
y
y
2cos)(2cos2
2cos)(2cos
2
0
2
021
Jelaslah bahwa teorema Poynting tanpa sumberterpenuhi, yakni.
0ˆ.
VA
dVUt
dAnS
2.4 Medan-medan Monokromatik dan Bilangan Kompleks
Tinjaulah fungsi ril
tAta cos)( (2.44)
-
32
di mana A adalah aplitudo. Jika didefenisikan
ieAA (2.45)
maka a(t) dalam bentuk ril dapat dituliskan seperti
tieAta Re)( (2.46)
sedangkan dalam bentuk kompleksnya adalah
tiAeta )( (2.47)
Fungsi a(t) dalam bentuk kompleks ini disebut fungsi harmonik.
Selanjutnya tinjaulah dua fungsi sinusoida berikut
tia eAtAta Re)cos()( ; aieAA (2.48a)
tib eBtBtb Re)cos()( ; bieBB (2.48b)
Perkalian keduanya dengan menggunakan fungsi ril adalah
baba
ba
titi
tBA
ttBA
BeAetbta
2coscos
coscos
ReRe)()(
21
(2.49)
Perkalian dengan menggunakan fungsi kompleks adalah
tieABtbta 2)()( =)2( batieAB
(2.49)
Jadi, hasil kali bagian-bagian ril dari dua bilangan kompleks tak sama dengan bagian
ril dari perkalian kedua bilangan kompleks itu. Dengan perkataan lain, secara umum
berlaku
tititi ABeBeAe 2ReReRe (2.50)
Medan-medan elektromagnet merupakan vektor-vektor yang berubah sangat
cepat terhadap waktu. Oleh sebab itu, yang sangat penting dari suatu medan adalah
nilai rata-ratanya terhadap waktu. Perkalian dua fungsi medan selalu diungkapkan
dalam bentuk nilai rata-rata waktu, misalnya dari persamaan (2.49)
-
33
T
ba dttBtAT
tbta0
coscos1
)()( (2.51)
di mana T=2/ adalah perioda waktu dari masing-masing fungsi. Dengan persamaan
(2.51) diperoleh
)cos()()( 21 baABtbta (2.52)
Di lain fihak, Re[AB*]=Re ieA bieB =Re ABeAB bai )( di mana tanda * menyatakan konjugasi kompleks; jadi
*21 Re)()( ABtbta (2.53) atau
)()(Re)(Re)(Re *21 tbtatbta (2.54)
Persamaan (2.54) ini sering dipakai dalam teori elektromagnet.
Dengan menggunakan bentuk kompleks dari medan-medan DHE
,, dan B
,
maka nilai rata-rata rapat energi dalam persamaan (2.38) dan vektor Poynting dalam
persamaan (2.42), mempunyai nilai rata-rata waktu sebagai berikut:
**41 ..Re HBDEU
(2.55)
*21 Re HES
(2.56)
Intensitas cahaya didefenisikan sebagai energi cahaya persatuan luas per selang
waktu. Misalkanlah energi cahaya persatuan volume dalam persamaan (2.55),
mengalir melalui suatu penampang A selama selang waktu t, maka intensitas cahaya
itu adalah
22
22
4
4
1
EHc
tA
tcAEH
I
Tetapi, dengan persamaan (2.28c): HE
/ maka
2
21
2
21 HcEcI
(2.57)
Contoh 2.3:
Sebagai kelanjutan dari contoh 2.2, tunjukkan bahwa bentuk kompleks dari teorema
Poynting terpenuhi untuk gelombang bidang.
Kompleks dari medan-medan adalah sebagai berikut.
-
34
)(
0ˆ),( kztiy eExtrE
)(0ˆ),( kztiy
eZ
EytrH
Jadi, nilai rata-rata vektor Poynting adalah
Z
EzHES
y
2
0
21*
21 ˆRe
Jelas bahwa vektor Poynting ini ril. Karena volume V tidak mengandung arus, maka
bagian ril dari teorema Poynting dalam persamaan (2.43) adalah nol,
0ˆ AdanSΑ
.
Dengan vektor Poynting di atas, maka
0
2
0
00
2
0
00
21
Z
Edydx
Z
Edydx
yba
yba
Jadi, bagian ril memenuhi teorema Poynting. Selanjutnya, karena S
ril maka =0.
Dari persamaan (2.38), harus berlaku Um=Ue. Untuk membuktikan itu
2
041
2
2
0
41
2
2
0
00 0
41
2
41
y
yyca b
V
m EabcZ
Eabc
Z
EdzdydxdVHU
2
0412
0
00 0
41
2
41
yy
ca b
V
e EabcEdzdydxdVEU
Terbuktilah Um=Ue. Jadi,bagian imajiner juga memenuhi teorema Poynting.
2.5 Indeks Bias
Kehadiran medan listrik dalam bahan optik menyebabkan pergeseran posisi muatan
positip dan muatan negatif dalam setiap atom. Dalam bahan dielektrik, pergeseran itu
menginduksikan momen dipol:
E
(2.58)
di mana disebut polarizabilitas atom. Jika N adalah jumlah atom per satuan volume,
maka polarisasi listrik yang terjadi adalah:
)SIm(
-
35
ENNP
(2.59)
Vektor polarisasi listrik biasanya dituliskan seperti
EP o
(2.60)
di mana 0 adalah permittivitas ruang hampa, dan
o
N
(2.62)
disebut suseptibilitas listrik bahan. Jika susseptibilitas listrik bahan dalam
persamaan (2.60) tidak bergantung pada medan listrik E
, maka bahan itu disebut
bersifat linier secara optik. Tetapi, jika bergantung pada medan listrik E
, maka
bahan disebut bersifat nonlinier secara optik.
Contoh 2.4:
Suseptibilitas listrik suatu bahan didefinisikan seperti persamaan (2.60), di mana E
adalah medan listrik makroskopik. Medan lokal, yakni medan listrik yang bekerja
pada atom adalah
PEEo
a
3
1
Karena EP o
maka
ao
o
ao EPPEP
)
31()
3
1(
maka
aao ENEP
33
Karena aENP
maka akhirnya diperoleh:
o
N
33
(2.62)
Inilah yang disebut persamaan Clausius-Masotti.
Hubungan antara permittivitas dan suseptibilitas bahan adalah sebagai berikut
1),1( ro (2.63)
-
36
di mana r adalah tetapan dielektrik bahan. Indeks bias adalah
rn (2.64)
Hubungan antara indeks bias dan suseptibilitas bahan adalah
o
Nn
11 (2.65)
2.6 Indeks Bias dengan Model Elektron
Misalkanlah medan listrik luar yang mengenai suatu atom adalah
ti
oeEE (2.66)
Karena medan itu, elektron berosilasi dengan persamaan gerak
ti
oo eqExmdt
dxm
dt
xdm 2
2
2
(2.67)
di mana x adalah posisi elektron relatif terhadap inti atom, m adalah massa elektron,
q=-e adalah muatan elektron, o frekuensi eigen elektron dan koefisien redaman.
Dalam persamaan itu𝑚𝜔02 adalah konstanta pegas yang dialami elektron. Misalkan
solusi persamaan (2.67) adalah
ti
oextx)( (2.68)
Substitusi ke persamaan (2.67) memberikan
)( 22 im
qEx
o
o
(2.69)
Dengan demikian maka momen dipol terinduksi adalah
Eim
qqx
o
ox)( 22
2
(2.70)
Jadi, berdasarkan persamaan (2.58) polarizabilitas atom adalah
)( 22
2
im
q
o (2.71)
-
37
Oleh sebab itu, dengan persamaan (2.65) indeks bias bahan adalah
)(1
22
2
im
Nqn
oo (2.72)
Jika suku ke dua dalam tanda akar sangat kecil terhadap 2, maka
)(21
22
2
im
Nqn
oo (2.73)
Dalam persamaan (2.73) di atas, N dan o bergantung pada bahan. Jadi, indeks bias
bahan yang dirasakan oleh cahaya bergantung pada frekuensi cahaya itu, yakni . Jika
dinaikkan mendekati o, indeks bias juga akan naik. Ini berlaku pada semua bahan
transparan. Indeks bias untuk cahaya biru lebih besar dari pada indeks bias untuk
cahaya merah. Fenomena inilah yang disebut dispersi. Karena i, indeks bias menjadi
kompleks yakni
222222
22222
222
)(2)(2
)(1
oooo
o
m
Nqi
m
Nqn (2.74)
Kebergantungan terhadap menjadi lebih signifikan apabila o. Sebagai
pendekatan berlaku 22222 )(2)( ooo
sehingga persamaan (2.74) menjadi
222
22
2
2/)(82/)(4
)(1
oooooo
o
m
Nei
m
Nen (2.75)
Jika persamaan (2.75) dituliskan seperti "' innn kurva-kurva indeks bias ril
dan imajiner dapat diperlihatkan dalam Gambar 2.4. Terlihat bahwa (n’-1) sebanding
dengan turunan dari n”.
Gambar 2.4 Indeks bias kompleks; n’=komponen ril dan n”=komponen imajiner.
0.5 1 1.5-0.5
0
0.5
w/wo
1'n "n
ω/ω0
-
38
Jika indeks bias dituliskan seperti "' innn dan andaikan gelombang EM
menjalar sepanjang sumbu-z,
)( zti
oeEE (2.76)
dengan
ckkinnnk ooo
2;)"'( (2.77)
maka )'(" zokntizokn
o eeEE
(2.78)
Jelas bahwa komponen imajiner dari indeks bias menyebabkan atenuasi amplitudo
sepanjang penjalaran gelombang.
2.7 Indeks Bias Logam
Di dalam logam terdapat banyak elektron bebas yang menyebabkan logam bersifat
penghantar listrik. Oleh sebab itu, frekuennsi eigen o=0 dan koefisien redaman kecil
sekali. Dengan gelombang medan listrik luar befrekuensi ω, elektron-elektron bebas
itu berosilasi. Dari persamaan (2.72) indeks bias menjadi:
)(1
2
2
im
Nqn
o (2.79)
Jika
-
39
Tabel 2.1 Indeks bias beberapa logam pada berbagai panjang gelombang (Yeh 1988)
Jenis logam 0.6 m 0,8 m 2.0 m
Aluminium 2,043-i6,568 2,99-i 7,05 2,992-i 9,3
Tembaga 0,285- i2.98 0,27-i 4,84 0,297-i 6,272
Emas 0,2- i2,897 0,249-i4,654 0,279-i6,044
Timah - 2,52-i4,24 2,42-i5,4
Perak 0,06-i3,75 0,09-i5,45 0,25-i6,82
Contoh 2.5:
Persamaan (2.67) bisa juga dipakai untuk mengungkapkan gerakan elektronbebas
dengan o=0 yang menyatakan tidak adanya gaya pegas, sedangkan koefisien =2/
dengan adalah waktu tumbukan. Dengan demikian maka persamaan (2.72) menjadi
/1)()(
2
2
2
in
p
r
Inilah tetapan dielektrik dari gas elektronbebas sebagai fungsi frekuensi. Besarnya
frekuensi plasma dalam ionosfer di mana N=2022
elektron/m3 adalah
2/1311238211 )101,91085,8/(106,110 p = 28 206 rad/s.
Jika maka tetapan dielekrik menjadi ril jika >p. Tetapi, jika
-
40
......)()()( 2
0
2
2
21
0
ooo kk
dk
dkk
dk
dk
(2.83)
Jika suku-suku ketiga dan seterusnya dari persamaan (2.83) diabaikan, maka substitusi
persamaan itu ke persamaan (2.82) menghasilkan
dkekAetz o
kkztodkdizoktoi )]()/[()( )(),( (2.84)
Persamaan (2.84) ini dapat dituliskan seperti
])/([),()(
tdkdzEetz oAzoktoi (2.85)
dengan
dkekAtdkdzE o
kkztodkdi
oA
)]()/[()(])/([
(2.86)
merupakan fungsi envelop. Gambaran dari persamaan (2.85) di atas diperlihatkan
dalam Gambar 2.5.
Dari persamaan (2.86) jelas bahwa pulsa menjalar dengan suatu kecepatan
o
gdk
dv
(2.87)
yang disebut kecepatan grup. Rumusan ini mengungkapkan bahwa puncak amplitudo
A(k) adalah di k=ko, dan frekuensi merupakan fungsi k yang mulus di sekitar ko.
Gambar 2.5 Pulsa laser pada t=0, dan spektrum Fourier-nya dalam ruang-k.
Contoh 2.6:
Persamaan (2.84)-(2.86) adalah deskripsi aproksimasi suatu pulsa laser. Jika
cos (koz)
vg
vf z
(z,0) EA
ko k
A(k)
-
41
A(k)=A(ko) exp[-(k-ko)2
/4q2 ]
tentukanlah fungsi EA() dengan =z-(d/dk)ot.
Jawab:
Dengan
dkekAtdkdzE o
kkztodkdi
oA
)]()/[()(])/([
maka
dkeekAE o
kkiqokk
oA
)(24/2)()()(
Misalkan x=k-ko,dk=dx, maka
dxekAE xiqxoA)24/2()()( . Dengan menggunakan
rumus integral
4/)( 22 edxe xx
maka
22)24/2( )(2)()( qoxiqx
oA ekAqdxekAE
Contoh 2.7:
Pulsa laser satu-dimensi berpusat pada frekuensio dengan bilangan gelombangko dan
fungsi amplop EA(z-vgt) untuk medan listrik Ex=EA(z-vgt)exp[i(ot-koz)] Tentukanlah
fungsi amplop untuk medan magnet.
Jawab:
Dari persamaan Maxwell (2.8a) t
BE
diperoleh
xoxx
x
o
Eikyz
Ey
y
EzEx
zz
yy
xx
Bit
BE
)(ˆˆˆ)ˆ(ˆˆˆ
)](exp[)(; zktitvzEk
HEk
B oogAo
o
yx
o
o
y
Jadi, medan magnet bersangkutan adalah
)](exp[ zktiHH ooAy
dengan fungsi amplop
-
42
)( tvzEk
H gAo
o
A
Di dalam optik, sifat dispersi suatu bahan diungkapkan oleh indeks biasn()
yang hubungannya dengan bilangan gelombangk adalah
cnk
)( (2.88)
Dalam hal ini, kecepatan fasa adalah
)(n
cv f (2.89)
Selanjutnya, dari persamaan (2.87) dan (2.88), dapat diturunkan kecepatan grup
seperti
ddnnc
vg/
. (2.90)
Untuk dipersi normal, jelaslah bahwa kecepatan fasa selalu lebih besar daripada
kecepatan grup. Dari persamaan di atas jelas pula bahwa kecepatan grup bergantung
pada frekuensi cahaya. Inilah yang disebut sifat dispersi bahan optik.
Sebagaimana telah diketahui, berkas cahaya putih yang melalui prisma terurai
menjadi pelangi. Keluar dari prisma sinar biru membelok dengan sudut yang lebih
besar daripada sinar merah. Itu berarti, sinar biru mengalami indeks bias lebih besar
daripada sinar merah, seperti terlihat dalam Gambar 2.6. Dalam komunikasi serat
optik, pulsa optik mengalami pelebaran karena sifat dispersi dari bahan pandu
gelombang.
Gambar 2.6 Indeks bias sebagai fungsi panjang gelombang.
Kembali ke persamaan (2.83), kalau suku ketiga 22221 / okkdkd tidak diabaikan, maka pulsa akan mengalami pelebaran sepanjang penjalarannya; hal itu
0,4 0,5 0,6 0,7 (m)
n
2,48
2,47
2,46
2,45
-
43
akan menyebabkan perubahan bentuk pulsa. Jika k adalah pelebaran spektral, maka
pelebaran kecepatan grup dirumuskan seperti
kdk
dvg 2
2
~
(2.92)
Jadi, ketika pulsa menjalar dalam bahan, pelebaran dalam posisi adalah tvg .
Contoh 2.8:
Berdasarkan persamaan (2.90), (a) tentukan kecepatan grup sebagai fungsi panjang
gelombang dan variasinya terhadap panjang gelombang. (b) Tunjukkan bahwa
koefisien ekspansi Taylor 2221 / dkd berbanding lurus dengan kecepatan grup.
Jawab:
(a) ddnnc
vg/
Dengan
cc
2atau2 maka
d
dnc
d
d
d
dn
d
dn2
2
d
dn
d
dnc
d
dn 2
ddnnc
vg/
(2.92)
Selanjutnya,
222
2
22
/
/
/
///
ddnn
dndc
ddnn
dndddnddnc
d
dvg
Dvd
dvg
g 2 (2.93)
dengan
2
2
d
nd
cD (2.94)
disebut dispersi material yang satuannya adalah ps/(nm. km).
(b) c
n
d
dn
cd
dk
cnk
ddnn
cv
dk
dg
/
-
44
2
2
2
2
/
////
/
ddnn
dkdndddndkddkdnc
ddnn
c
dk
d
dk
d
d
dnv
dk
d
d
dn
dk
dng
2
22
d
ndv
dk
dn
d
d
dkd
ndg
g
vddnn
dndddnc
dk
d2
222
1
2
2
21
/
//
(2.95)
Suatu pulsa monokromatik yang menjalar sejauh z sepanjang pandu gelombang
yang dispersif akan memerlukan waktu
)()(
gv
z .
Jika signal tidak monokromatik, tetapi mempunyai lebar pita , maka terjadi
pelebaran pulsa (identik dengn penyebaran waktu tiba di z)
gvd
dz
1.
Karena 1/vg=dk/d maka
2
2
d
kdz . (2.96)
Tetapi
D
d
nd
c
cd
dnn
d
d
d
kd
2
2
2
2 1
.
Dari persamaan (2.96) maka
zD (2.97)
Inilah pelebaran suatu pulsa yang lebar pitanya menjalar sejauh z dalam pandu
gelombang yang memiliki dispersi material D. Jika 0 adalah pusat panjang
gelombang dalam suatu pulsa, tiba di z pada saat t, maka gelombang dengan 0 tiba pada waktu t+.. Artinya,
gelombang dengan
-
45
gelombang dengan >0. Misalnya, cahaya biru lebih cepat daripada cahaya merah di
dalam pandu gelombang yang sama.
Berdasarkan persamaan (2.97) dapat pula dinyatakan bahwa panjang pandu
gelombang yang diperlukan hingga mulai terjadi pelebaran pulsa yang melebihi slot
waktu 2 bit adalah L=2/(BD). Jadi, dengan laju data B=20 Gbit/s, parameter
dispersi material pandu gelombang D=27 ps/(nm.km) dan lebar pita =0.2 nm,
panjang L=60 km. Artinya, pada panjangL=60 km itu pulsa sudah rusak dan
diperlukan pemasangan repeater untuk mengembalikan pulsa ke bentuknya semula.
2.9 Bahan Optik Nonlinier
Dalam paragraf 2.5 telah dikemukakan bahwa medan listrik dari cahaya yang datang
mengenai suatu bahan optik akan menginduksikan polarisasi dalam bahan itu.
Polarisasi itu selanjutnya menyebabkan dipol-dipol listrik di dalam bahan akan
meradiasikan cahaya dengan frekuensi dan arah yang sama tapi bergeser fasanya dari
cahaya datang. Cahaya yang diradiasikan itu menjalar melalui bahan dengan kecepatan
fasa v=c/ndengan n adalah indeks bias bahan,
1n
di mana adalah suseptibilitas listrik bahan. Hubungan antara medan listrik dan
polarisasi yang diinduksikan di dalam bahan adalah
xx EP 0
Secara umum adalah besaran tensor, tapi untuk sederhananya di sini dituliskan
dalam bentuk skalar.
Jika medan listrik cahaya cukup kecil, polarisasi listrik Pxberhubungan secara
linier dengan medan Ex (lihat Gambar 2.7). Tetapi jika medan listrik cukup besar,
hubungan itu menjadi tidak linier. Pada suatu material yang memiliki kisi dengan
Gambar 2.7 Untuk medan kecil Px linier terhadap Ex. Untuk medan yang besar
hubungan itu menjadi nonlinier, (a) untuk bahan yang mempunyai simetri inversi, dan
(b) bahan yang tidak bersimetri inversi.
Px
Ex
Px
Ex
(a) (b)
-
46
pusat simetri (centrosymmetric), jika x diganti dengan –x, y dengan –y dan z dengan –
z, tidak ada perubahan pada material itu. Jika medan Ex diberikan pada arah +xmaka
polarisasi Pxakan terinduksi pada arah +x itu juga. Jika kisi itu dibalik, tidak akan
terjadi perubahan polarisasi karena kisi itu tetap saja. Jadi, pembalikan kisi
menyebabkan Exmenjadi –Exdan Pxmenjadi -Px. Artinya, Pxadalah fungsi ganjil dari
Exsehingga Pxmengandung Exdan 𝐸𝑥3, tapi tidak 𝐸𝑥
2 (lihat Gambar 2.7 a).Jika
Pxmengandung 𝐸𝑥2, tandanya tetap meskipunExdiubah menjadi –Ex. Oleh sebab itu,
material yang mempunyai pusat simetri tidak memiliki (2)
. Material yang memiliki
(2)
adalah material yang tidak mempunyai pusat simetri (non-centrosymmetric) seperti
Gambar 27.b.
2.9.1 Generasi Harmonik Kedua
Misalkan gelombang optik dari cahaya berfrekuensi menjalar di dalam suatu bahan.
Pada suatu titik di dalam material itu, medan listrik dari gelombang mempunyai
kebergantungan waktu seperti
tAtE cos)(
(2.98)
A adalah amplitude medan, dan fasa di set nol di t=0. Medan ini akan menginduksikan
polarisasi
tPtPP
tEtEtP
2coscos
)()]([)(
20
)2()1(
0
(2.99)
dengan
2)2(02
1
2
)1(0
2)2(02
1
0
AP
AP
AP
(2.100)
Terlihat bahwa polarisasi yang terinduksi mengandung:
(i) 0P yang merupakan rektifikasi optikdi mana polarisasi yang statik (dc) dihasilkan
sebagai respon bahan terhadap medan listrik cahaya yang bervariasi cepat;
(ii) P yang menyebabkan dipol-dipol dalam bahan meradiasikan cahaya berfrekuensi
, dan ini menghasilkan indeks bias linier.
(iii) 2P yang menyebabkan dipol-dipol dalam material berosilasi dengan frekuensi 2
dan akan meradiasikan cahaya berfrekuensi 2.
Fenomena di mana cahaya yang diradiasikan berfrekuensi dua kali frekuensi cahaya
yang menyinarinya disebut generasi harmonik kedua(second harmonic generation,
SHG). Sifat ini dimanfaatkan dalam teknologilaser, untuk menghasilkan berkas laser
warna biru (532 nm) dari laser inframerah (1064 nm). Material yang memiliki (2)0
-
47
tidak mempunyai simetri inversi. Kaca optik yang bersifat isotropis memiliki simetri
inversi sehingga tidak memiliki suseptibilitas orde-2.
Sekarang misalkan selain gelombang optik dari cahaya berfrekuensi material
juga diberikan medan listrik statik,
tAEtE cos)( 0
(2.101)
Polarisasi yang terinduksi adalah
tPtPP
tAEtAEtP
2coscos
)cos()cos()(
20
2
0
)2(
00
)1(
0
(2.102a)
dengan
2)2(02
0)2()1(
0
2)2(00
)1(00
2
1
]2[
2
1
AP
AEP
AEP
(2.102b)
Dari P terlihat
0)2()1( 2 E
Indeks bias
)1(
0
)2()1(
0
)2()1(
1
211
21
E
En
Karena )1(
0 1 n dan 2
00
)2()1(
0
)2( /1)1/(21 nEE maka
0
0
)2(
0n
Enn
(2.103)
Dengan menuliskan
nnn 0 (2.104a)
maka
0
0)2(
n
En
(2.104b)
Jadi, medan statik E0menyebabkan timbulnya tambahan indeks bias material SHG.
Jauh sebelumnya, Pockel menemukan efek elektrooptik terhadapa indeks bias,
dengan
-
48
030
2
1rEnn
(2.105)
di mana r adalah koefisien Pockel. Beberapa contoh bahan nonlinier order-2
diperlihatkan dalam Tabel 2.2
Tabel 2.2 . Beberapa contoh bahan nonlinier order-2 (Quimby, 2006) .
Kristal Daerah
transmissi(μm)
n0 (2)
(10-12
m/V)
Kalium dihidrogen fosfat
(KDP)
0,18-1,45
1,495
0,86
Litium niobat (LiNbO3) 0,4-5,5 2,234 12
Perak gallium selenida
(AgGaSe)
0,5-13 2,316 40
CdGeAs2 2,4-18 3,530 470
Terlihat dalam tabel bahwa semakin besar n0semakin besar pula (2)
, dan daerah
transmissi bergeser ke panjang gelombang lebih besar. Hal ini berkaitan dengan
bandgap; semakin kecil bandgap semakin kuat interaksi foton-material dan akibatnya
semakin besar n0 dan (2)
.
Salah satu aplikasi efek Pockel adalah switching cahaya dalam pandu
gelombang planar. Pada suatu interferometer Mach-Zehnder seperti dalam Gambar
2.8, satu sisinya diisi dengan kristal dari bahan SHG seperti LiNbO3yang
diperlengkapi dengan sumber tegangan listrik.Kristal diposisikan sedemikian sehingga
cahaya menjalar sepanjang sumbu x, dengan medan dari tegangan listrik dc dan
medan listrik dari cahaya tepat pada sumbu z. Misalkan d tebal pandu gelombang,
sama dengan jarakantarakedua elektroda, danL panjang kristal.Perubahan fasa
Gambar 2.8 Interferometer Mach-Zehnder dengan pandu gelombang planar; satu sisi
diisi dengan kristal LiNbO3 dan diperlengkapi dengan sumber tegangan dc (Quimby,
2006)
gelombang cahaya karena pemberian medan listrik dc akan mengubah amplitudo
keluaran.Perubahan fasa itu merupakan akibat dari perubahan indeks bias:
LnnLk o )(2
.
z
x
V LiNbO3
-
49
Dengan persamaan (2.103), maka beda fasa itu adalah
LEn
0
)2(
0
12
(2.106)
Medan listrik dc E0 diperoleh dari tegangan V. Karena tegangan itu adalah tegangan
dc maka E0=V/d, sehingga beda fasa menjadi
Ld
V
n
)2(
0
12
(2.107)
Tegangan yang diperlukan agar beda fasa menjadi 1800 adalah
L
dnV
)2(
0
2
(2.108)
Jelas bahwa dengan tegangan dc bisa dilakukan switching cahaya.
Sistem yang sama bisa juga dimanfaatkan untuk memodulasi gelombang
cahaya. Dalam hal ini, tegangan listrik dc diganti dengan tegangan listrik V(m) di
mana m adalah frekuensi modulasi.
2.9.2 Generasi Harmonik Ketiga
Untuk material isotropik seperti glass yang memiliki simetri inversi, polarisasi
terinduksi oleh medan listrik adalah
)()]([)( 2)3()1(0 tEtEtP
Misalkan material disinari dengan medan listrik di suatu titik di dalam material
tAtE cos)(
sehingga
tAtAtP cos])cos([)( 2)3()1(0
Mengingat 4/)3coscos3(cos3 maka
tPtPtP 3coscos)( 3
(2.109a)
di mana
3)3(
03
2)3()1(
0
)4/1(
])4/3([
AP
AAP
(2.109b)
-
50
Di sini P0 =P2=0 karena material bersimetri inversi. Dalam material terinduksi
polarisasi berfrekuensi 3 yang akan menimbulkan tambahan cahaya dengan
frekuensi tiga kali frekuensi cahaya masuk. Ini disebut generasi harmonik ketiga (third
harmonic generatin, THG). Dari P didapat
2)3()1( )4/3( A
(2.110)
Indeks bias
0
2)3(
0
)1(
2)3()1(
2)3()1(
8
3
1
)4/3(11
)4/3(1
n
An
A
An
Dengan nnn 0 maka tambahan indeks bias itu adalah
0
2)3(
8
3
n
An
(2.111)
Karena intensitas cahaya adalah 2
00)2/1( AcnI , maka Inn 2 sehingga
Innn 20 (2.112)
dengan
0
2
0
)3(
24
3
cnn (2.113)
disebut indeks bias nonlinier. Kalau intensitas dalam satuan W/m2 maka n2 bersatuan
m2/W.Variasi indeks bias dengan intensitas cahaya disebut intensity dependent
refractive index (IDRI). Beberapa contoh bahan nonlinier order-3 diperlihatkan dalam
Tabel 2.3 (Boyd et al., 2001).
Sifat IDRI suatu bahan optik merupakan dasar bagi fenomena degenerate four
wavemixing. Fenomena ini dapat dipakai dalam penentuan respon nonlinier sangat
cepat yang diperlukan untuk devais fotonik. Selain itu, sifat ini pula yang mendasari
self-phase modulation, self-focusing, optical phase conjugation, spatial
solitondantemporal soliton (Boyd, 1992).
Jauh sebelumnya Kerr telah menemukan pengaruh listrik dc terhadap indeks
bias suatu bahan linier orde-3 yang disinari. Pengaruh ini disebut effek elektrooptik
Kerr. Misalkan bahan dikenai medan listrik seperti persamaan (2.102):
tAEtE cos)( 0
-
51
Tabel 2.3 . Beberapa contoh bahan nonlinier order-3(Quimby, 2006).
Bahan n0 n2 (cm2/W)
(3)(esu)
Al2O3 1,8 2,910-15
2,210-14
CdS 2,34 5,110-14
7,010-12
GaAs 3,47 3,310-13
1,010-10
TiO2 2,48 9,410-15
1,510-12
ZnSe 2,7 3,010-14
4,410-12
As2S3 2,4 2,010-13
2,910-11
BK-7 1,52 3,410-16
2,010-14
SF-55 1,73 2,010-15
1,510-13
SF-99 1,953 3,310-15
3,110-13
Polidiasetilen 1,56 310-12
610-10
4BCMU 1,56 -1,510-13
-9,210-12
Untuk (3)
: 1 esu=17,25410-8
(m/V)2
Polarisasi terinduksi adalah
tPtPtPP
tAEtAEtP
3cos2coscos
)cos()cos()(
320
3
0
)3(
00
)1(
0
dengan
3)3(
03
2
0
)3(
02
2)3(
0
2
0
)3()1(
0
2
0
)3(
0
3
0
)3(
00
)1(
00
4
1
2
3
)4
33(
)2
3(
AP
AEP
AAEP
AEEEP
Dalam hal ini, karena ada medan listrik dc maka P0 dan P2 tidak sama dengan nol.
Indeks bias bahan karena dikenai medan listrik dc di peroleh dari P
2
0
0
)3(
0
2
0
)3()1(
2
3
31
En
n
En
Dengan nnn 0 , maka
2
0
0
)3(
2
3E
nn
(2.114)
Inilah yang disebut effek elektrooptik Kerr. Effek ini dapat dimanfaatkan untuk
switching seperti Gambar 2.8.
-
52
Jauh sebelumnya, Kerr menemukan efek elektrooptik ini. Dia menggunakan
rumusan seperti
2
0bEn (2.115)
Untuk beberapa bahan, parameter b adalah seperti Tabel 2.4.
Tabel 2.4 Parameter elektrooptik Kerr untuk beberapa bahan (Quimby, 2006).
Bahan b (10-20
m2/V
2)
Nitrobenzen 206
Air 1,85
Kaca 10-2
-1
-
53
Soal-soal
2.1 Tuliskan ungkapan ruang-waktu dari medan-medan listrik kompleks di bawah ini:
a) ikzexrE ˆ3)(
;
b) ikzeyixrE ˆ2ˆ)(
;
c) ikzeyixrE ˆˆ2)(
2.2 Dari persamaan-persamaan Maxwell turunkan persamaan gelombang yang
bergantung waktu untuk medan magnet di dalam bahan dielektrik homogen.
2.3 Suatu gelombang elektromagnet berosilasi dengan frekuensi sudut 31015 rad/s.
tentukanlah panjang gelombangnya di dalam (a) ruang hampa, dan (b) bahan
dengan konstanta dielektrik 2,25.
2.4 Sebuah gelombang elektromagnet didefenisikan seperti E=Ey0 exp[-ik0(x+√3 z)]
di mana k0 adalah tetapan penjalaran dalam ruang hampa. Tentukanlah (a) arah
polarisasi, (b) arah penjalaran dan (c) indeks bias medium.
2.5 Gelombang optik dengan panjang gelombang 0=0,633 m menjalar dalam bahan
komlpeks yang tetapan dielektriknya 2,25-i10-8
. Tentukanlah (a) tetapan
penjalaran dan koefisien absorpsi, (b) jarak yang dilalui gelombang sehingga
dayanya 1/e daya semula.
2.6 Gelombang bidang yang menjalar sepanjang sumbu-z memiliki medan listrik