UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL“FRANCISCO DE MIRANDA”

ÁREA TECNOLOGÍAPROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL

U.C: MATEMÁTICA V

LICDA. MARÍA PÉREZ

Puerto Cumarebo; Mayo de 2015.

MÉTODOS NUMÉRICOS

Según Mijares, L (2013) son metodologías que

utilizan técnicas algebraicas y aritméticas que se aplican a

partir de un problema planteado para resolver de forma

aproximada ecuaciones o sistemas de ecuaciones complejas,

que analíticamente resultan muy difíciles de resolver. Esto se

lleva a cabo gracias a lo avanzado de

la programación (calculadoras), las cuales ayudan a resolver

problemas de iteración y matemáticos.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS DE UN NÚMERO

Son aquellas que tienen significado real o aportan

alguna información, vienen determinadas por su error y

son aquellas que ocupan una posición igual o superior al

orden o posición del error.

ERRORES NUMÉRICOS

Son aquellos errores que se generan con el uso de

aproximaciones para representar las operaciones y

cantidades matemáticas.

ERROR DE REDONDEO

Es aquel que ocurren cuando se limitan o cortan los

dígitos de un número o cifra especifica.

Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina

sin más. 

Si la cifra a eliminar es mayor que 5, se aumenta en

una unidad la última cifra retenida. 

Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra

el número par más próximo; es decir, si la cifra

retenida es par se deja, y si es impar se aumenta en

la unidad la cifra que queda.

REGLAS PARA EL REDONDEO DE NÚMEROS

EJEMPLOS: DADAS LAS SIGUIENTES CIFRAS, APLIQUE EL

ERROR DE REDONDEO.

9,2536 (a dos decimales) = 9,25|3 (3 como es menor <5) = 5,25.

7,217983 (a tres decimales) = 7,217|9 (9 como es mayor >5) = 9,218

1,217453 (a cuatro decimales) = 1,2174|53 (como es = 5, y el que queda es par) = 9,2174.

10,36358 (a tres decimales) = 10,363|58 (como es = 5, y el que queda es impar) = 10,364.

RAICES DE ECUACIONES

El cálculo de las raíces de una ecuación permite dar solución

a la misma, por tanto es importante determinar los valores de x para

los que se cumple: F(x)= 0.

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Métodos cerradosMétodos cerrados

Métodos abiertosMétodos abiertos

Bisección Regla Falsa

Newton- Raphson La Secante

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Sea F una función continua en [a,b] y k es un número

comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe por lo menos un

c є

(a,b) tal que f(c)= k.

Dados los números a y b, se dice que f(x) tiene una raíz en

[a,b] si:

1.F es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b).

2.F(a)* F(b) < 0.

3.F’(x) ≠0, para toda x que pertenezca [a,b].

MÉTODO DE BISECCIÓN

Es un método iterativo que se utiliza para encontrar

la raíz aproximada de un ecuación en un intervalo dado

[a,b], donde se sabe que existe; por tanto va dividiendo el

intervalo en 2 subintervalos de igual magnitud, reteniendo

el subintervalo en donde f cambia de signo, para conservar

al menos una raíz o cero, y repetir el proceso varias veces

hasta conseguir la raíz.

MÉTODOS CERRADOSMÉTODOS CERRADOS

ALGORITMO DEL MÉTODO DE BISECCIÓN

Verificar que F sea continua en [a,b]

F(a)* F(b)< 0

Evaluar si (b-c) <є, acepte a c como la raíz aproximada.

Si f(b)*f(c)<0, entonces a=c f(b)*f(c)>0, entonces b=c

TOLERANCIA

Es el régimen de error que se puede tener y se

expresa en % o normal. Se representa con є (épsilon).

n a b c b - c f(b) f(c) f(b)*f(c)1 2 3 2,5 0,5 3 0,25 +

2 2 2,5 2,25 0,25 0,25 -0,9375 -

3 2,2500

2,5 2,375 0,125 0,25 -0,3594 -

4 2,3750

2,5 2,4375 0,0625 0,25 -0,0586 -

5 2,4375

2,5 2,4688 0,0312 0,25 0,0947 +

6 2,4375

2,4688

2,4531 0,0156 0,0947 0,0177 +

7 2,4375

2,4531

2,4453

0,0078 0,0177 -0,0205 -

< 0,01

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

MÉTODOS CERRADOSMÉTODOS CERRADOS

Es un método iterativo que se basa en el análisis de la

magnitud existente de las imágenes f(a) y f(b), ya que f(a) esta

más cerca de cero que f(b), eso indica que a esta más cerca de

la raíz que b. La función del método es unir f(a) y f(b) con una

línea recta cuya intersección con el eje x, representa una

aproximación con la raíz. Falsa proviene de reemplazar la curva

por una línea recta.

ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA REGLA

FALSA

Verificar que f(a) y f(b) tengan signos opuestos F(a)* F(b)< 0

Evaluar si |f(c)|< є, acepte a c como la raíz aproximada.

Si f(b)*f(c)<0, entonces a=c f(b)*f(c)>0, entonces b=c

n a b f(a) f(b) c f(c) f(b)*f(c)1 1 2 0,3679 -0,5578 1,3974 -0,0874 +

2 1 1,3974 0,3679 -0,0874 1,3211 -0,0116 +

3 1 1,3211 0,3679 -0,0116 1,3113 -0,0015 +

4 1 1,3113 0,3679 -0,0015 1,3100 -0,0002 +

5 1 1,3100 0,3679 -0,0002 1,3098

-0,0000004

+

< 0,001

MÉTODOS ABIERTOSMÉTODOS ABIERTOS

MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON

  Es uno de los métodos para aproximar el cero de una

función. Suponga que c es un cero de f , es decir, f(c)=0 y

que x0 es una aproximación de c.

Desde un punto de vista geométrico, lo que hace el

método es construir la recta tangente a la gráfica de f en un

punto cercano x0 a c y encontrar el cero de la recta tangente, x1 .

La aproximación x2 es el cero de la recta tangente a la gráfica de f

en el punto x1 y así sucesivamente.

ALGORITMO DEL MÉTODO DE NEWTON-

RAPHSON

MÉTODO DE LA SECANTE

MÉTODOS ABIERTOSMÉTODOS ABIERTOS

Es un método iterativo que se usa para aproximar el

cero de una función. La interpretación geométrica del mismo,

es que la recta tangente a la curva se reemplaza por una recta

secante. El cero de f se aproxima por el cero de la recta

secante a f. Si x0 y x1 son las aproximaciones iniciales, la

aproximación x2 es la intersección de la recta que une los

puntos (x0, f(x0)) y (x1,f(x1)) y así sucesivamente.

ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA SECANTE

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Es un conjunto de ecuaciones lineales, que pueden tener

m- ecuaciones y n- incógnitas y existen diversos métodos para

encontrar su solución. La forma general de un sistema de

ecuaciones lineales A*X = b es el siguientes:

Donde:•Los números reales aij se denominan coeficientes.•Los xi se denominan incógnitas.•b se denominan términos independientes.

TEOREMA

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Métodos directosMétodos directos

Métodos iterativosMétodos iterativos

Llevan a una solución exacta

Comienzan con una aproximación inicial

y un algoritmo.

Número finitos de operaciones elementales.

Levando de forma sucesiva mejores aproximaciones.

Eliminación de Gauss.

Factorización LU

Gauss-Seidel.

Sor o relajación.

ELIMINACIÓN DE GAUSS

Dado un sistema de ecuaciones lineales general de orden

3 los pasos a seguir para resolverlo por dicho método son los

siguientes:

1. Se determina la matriz de coeficiente, para identificar los

valores que se deben hacer cero, es decir:

Se deben convertir en cero

MÉTODOS DIRECTOSMÉTODOS DIRECTOS

EJEMPLO: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, aplique eliminación de Gauss.

1. Matriz de coeficientes

COMPROBANDOCOMPROBANDO

FACTORIZACIÓN O DESCOMOSICIÓN LU

Es un método que se encarga de la transformación de

una matriz A , obtenida de un sistema de ecuaciones lineales,

en el producto de dos matrices llamadas L y U.

A= L* UA= L* U

Donde:

L= es la matriz triangular unitaria

inferior.

U= es la matriz triangular superior.

MÉTODOS DIRECTOSMÉTODOS DIRECTOS

PASOS A SEGUIR EN FACTORIZACIÓN O DESCOMOSICIÓN LU

Dado un sistema de ecuaciones lineales de orden tres, este se transforma de siguiente manera:

1. Se descompone el sistema en las matrices A= L*U

= x

A UL

2. Se determinan los elementos de la matriz L y U, Multiplicando

las filas de L con las columnas de U, igualando a los elementos de

la matriz A.

5. Se sustituye los valores encontrados en el sistema y se

verifican las igualdades.

EJEMPLO: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, aplique Factorización LU.

1. Se descompone el sistema en las matrices A= L*U

= x

A UL

2. Se determinan los valores de L y U

UL

3. Producto de L*Z=b,

*

ZL

=

b

1 9-1

1 712

Z=

4. Producto de U*X=Z,

*

XU

=

Z

1 712

1 1-1

X=

5. Se sustituye los valores encontrados en el sistema y se

verifican las igualdades.

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS

Consiste en hacer iteraciones, a partir de un vector

inicial, para encontrar los valores de las incógnitas hasta

llegar a una tolerancia deseada, la diferencia radica en que

cada vez que se desee encontrar un nuevo valor de una xi,

además de usar los valores anteriores de las x, también utiliza

valores actuales de las x encontradas antes (desde x0 hasta xi-

1).

CRITERIO DE PARE

EJEMPLO: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resuelva usando Gauss- Seidel, Ɛ=0,01

COMPROBANDOCOMPROBANDO

MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS

MÉTODO DE SOR O RELAJACIÓN

CRITERIO DE CONVERGENCIA

1. Si W= 1, la fórmula es la del método de Gauss- Seidel.

2. Si 0 < W< 1, la fórmula representa la sub-relajación y se

emplea para que un sistema no convergente sea

convergente.

3. Si 1< W< 2, La fórmula representa la sobre-relajación y se

usa para acelerar la convergencia.

Nota: se utiliza el mismo criterio de pare que del método de

Gauss- Seidel.

EJEMPLO: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resuelva usando el método de Sor o relajación con W=0,8 y Ɛ=0,01.

COMPROBANDOCOMPROBANDO

Mijares, l (2013). Métodos numéricos. Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos98/metodo-numerico/metodo-numerico.shtml#ixzz3aD1cJUvK, consultado el 15/05/2015.

http://www.monografias.com/trabajos98/metodo-numerico/metodo-numerico.shtml#ixzz3aD9UMvzi, consultado el 19/05/2015.

http://noosfera.indivia.net/metodos/posicionFalsa.htmlhttp://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf, consultado el 19/05/2015.

BIBLIOGRAFÍA