Radionavigation og relativitetsteori · Radionavigation og relativitetsteori Møde i NOVA –...

Radionavigation og relativitetsteori Møde i NOVA – Kosmologi

25. oktober 2012

Dette dokument indeholder selve den Power Point præsentation, der blev anvendt, dog er der foretaget rettelser af fejl og foretaget enkelte detaljeringer. Efter selve præsentationen er indført et afsnit, hvor visse emner, der blev taget op i løbet af mødet er søgt beskrevet og dele af selve præsentationen er uddybet. Selve dokumentet udtrykker undertegnedes holdning og forståelse af problemstillingerne og kan ikke i detaljen anvendes som autoritative udsagn.

Ole Nymann Allerød, den 29. oktober 2012

Ole Nymann

1

NOVA – KosmologiStedbestemmelse ved hjælp af radiobølger

Radionavigation

Torsdag den 25. oktober 19:30 i AstrocentretBorsholm Forsamlingshus

Ole Nymann

ONy-121025Radionavigation


Radionavigation

Disposition:

Stedbestemmelse på jorden og over jorden

DECCA

Relativitetsteori

GPS

Andre ”GPS” systemer

ONy-121025Radionavigation

2

Stedbestemmelse ved hjælp af radiobølger

RadiofyrTransitOMEGATACANDECCALORANGPS Ambition

Der er og har eksisteret et utal af radionavigationssystemer.

De fleste (alle?) har militær oprindelse.

Anvendelse: positionsbestemmelse af skibe og fly og styring af ICBM.

ONy-121025

Stedbestemmelse ved hjælp af radiobølger

RadiofyrOMEGATRANSITTACANDECCALORANGPS

BegrænsningONy-121025

3

Radionavigation

DECCA og GPS

2 forskellige principper:

HyperbelnavigationPosition af ”fyr” og afstand dertil

DECCA repræsenterer en lang udvikling, der ogsåviser overgangen fra analog til digital signalbehandling.

GPS repræsenterer et globalt, centralt styret system, der skylder Einstein sin nøjagtighed.

ONy-121025

Radionavigation

Pejling

**

*

Afstand til punkter med kendt position

Retning til punkter med kendt position

**

ONy-121025

NVi er på jorden

4

ONy-121025

Pejling

Vinkel mellem Zenith og stjerne.

Vi ved:- at vi befinder os på jorden, og- at stjernen er lodret over et bestemt sted på jorden

Radionavigation

Radionavigation

Pejling

**

*

Vinkel mellem Zenith og stjerne.

og viden om, at vi er på jordens overflade(den 4. kugle) ONy-121025

5

Radionavigation ONy-121025

Radionavigation

DECCA Historie

1936: William J. O’Brien (USA) får tuberkulose og bruger 2 år til at tænke.

1938: Demonstration i Californien. US-Navy og USAF finder systemet for kompliceret.

1939: Hans ven Harvey F. Schwarz, DECCA Record, præsenterer ideen for UK-Military, hvor Robert Watson-Watt afviser den.

1941: UK-Admirality bliver interesseret og klassificerer projektet under Admirality Outfit QM. – O’Brien ankommer til UK.

1942: 16. september system demonstration mellem Anglesey og Isleof Man. (305/610 kHz)

1943: April: Storskala demonstration i Irish Sea. (70/130 kHz)

1944: Februar-marts: Demonstration i forbindelse med invationsøvelse i Moray Firth.

ONy-121025

6

Radionavigation

1944: Admiralitetet bestilte 27 modtagere, som blev anvendt påminestrygere forud for invasionen i Normandiet. – Der var etableret Master i Chichester og Slaver i Swanage og BeachyHead. – En ekstra slave blev etableret i Thames Estuary for at narre fjenden til at tro, at invasionen ville komme via Pas de Calais.

1945: DECCA Navigator Co. Ltd. etableres og havde alle rettigheder til systemet. Finansieringen er sket ved, at modtagere lejes af DECCA.

AP Radio A/S er det første firma, der mod royalty udviklede, producerede og solgte DECCA modtagere. – AP Radio A/S betalte licens til DECCA

Nogle påstår, at DECCA betyder:

Dedicated Englishmen Causing Chaos Abroad

DECCA Historie

ONy-121025

Radionavigation

Hyperbelnavigation

X F1X – F2X = Konstant

122

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

by

ax

ONy-121025

7

Radionavigation

Hyperbelnavigation

ONy-121025

Radionavigation

Hyperbelnavigation

Afstanden mellem hvert hyperbelbensvarer til en halv bølgelængde. (λ/2)

Forudsat der sendes på samme frekvens fra alle stationer, og at signalerne udsendes synkront.

Men de sender påforskellige frekvenser.

ONy-121025

8

Radionavigation

DECCA Signaler

DECCA kæderne anvender frekvenser i området 70 – 129 kHz

Inden for dette område sender Master og Slaver på frekvenser, der er hele multipla af samme frekvens ( f = ca. 14,167 kHz).

127.5009fGreen Slave

113.3338fRed Slave

70.8335fPurple Slave

85.0006fMaster

Frequency (kHz)HarmonicStation Til beregning anvender man ”mindste fælles mangefold”F = 425 kHz (λ = 706 m)

18f×36f×29fGreen

24f×46f×38fRed

30f×56f×65fPurple

Common FrequencyMaster MultiplierMaster HarmonicSlave MultiplierSlave HarmonicPattern

I den analoge modtager dannes signalerne ved hjælp af faselåste sløjfer (?)

ONy-121025

Radionavigation

DECCA i DanmarkTil dækning af indre danske farvande, dele af Vesterhavet og dele af Østersøen var etableret en DECCA kæde med:

Master på: SamsøSlaver ved: Klintholm, Tønder og Hjørring

Ikke hele sandheden om DECCA’s virkemåde!

Periodisk udsendte alle sendere en frekvens afvigende fra den ”normale”. Dette muliggjorde dannelse af grundtonefrekvensen ( 14,167 kHz), som gjorde det muligt at bestemme mellem hvilke

hyperbelben, man befandt sig.

Rækkevidde:400 SM (740 km) om dagen, 200 – 250 SM (460 km) om natten.

Nøjagtighed: Få meter under gode forhold.ONy-121025

9

Radionavigation

DECCA sender

ONy-121025

Radionavigation

DECCA Modtager

ONy-121025

10

Radionavigation

DECCA i Danmark lukkede 31-12-1999

ONy-121025

Radionavigation

DECCA Signaler

En faselåst sløjfe indeholder en oscillator, der af-og-til får et lille ”skub”, der bringer den eller dens harmoniske i fase med det modtagne signal. – Tænk på en gynge, man skubber. – Man behøver ikke skubbe ved hver svingning.

ONy-121025

11

Radionavigation

TRANSIT – NAVSAT- første satellitbaserede navigationssystem -

1960

5 satellitter i polarbane 1.100 km over jorden.

Gav mulighed for ca. én positionsbestemmelse pr. time.

1967 – 97 også anvendt til civilt formål – inkl. USSR’s flåde.

I slutningen af 1980’erne anvendt til korrektion af højden af Mount Everest.

Satellitterne blev bl. a. benævnt:

NOVA - Satellitter

ONy-121025

Radionavigation

GPS - Global Positioning System

24 operative satellitter og et antal i reserve.

Højde: ca. 20.000 km over jordoverfladen.

Omløbstid: ca. 12 timer

Sender position og tidspunkt, som anvendes til at bestemme egen position på eller tæt ved jorden.

Tiden fra afsendelse til modtagelse af positionsinformationen anvendes til beregning af afstanden til satellitten.

Stedbestemmelse foretages ved afstanden til 4 satellitter.

ONy-121025

12

Radionavigation


Satellitfrekvenser:

1.575,42MHz, 1.227,60 MHz, 1.381,05 MHz, 1.841,40 MHz og 1.176,45 MHz

C/A: coarse/acquisition

Information fra satellitten sendes i et CDMA system (som i WI-FI og DAB ?) – 1,023 Mcps (information, identifikation og ”spreadspectrum).

Satellit reference frekvens: 10,22999999543 MHz (relativistisk kompensation).

ONy-121025

Radionavigation


Hver satellit har et navn:

C/A Gold Code.

Nøjagtighed:

Tid: 14 ns

Position: 3 m (efter år 2000)

Position: 300 m (før år 2000)

Synkronisering: 18 – 30 sekunder

ONy-121025

Hvordan får man større nøjagtighed?Ved at modtage korrektioner via GSM eller Internet.

13

Radionavigation

GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomener

Den springer vi over!

ONy-121025

Relativitetsteori for GPS

Tiden i det hurtigste tog går langsommere!

Tiden i det tungeste tog går langsommere!

Satellitten har større hastighed end jordoverfladen. –Satellittens tid er langsommere! - 7 μs/døgn.

1 kg på jorden er tungere end 1 kg i satellitten. –Satellittens tid er hurtigere! - 45 μs/døgn.

Uret i satellitten skal tabe 38 μs/døgn.


14

Radionavigation


Den specielle relativitetsreoriTidsforsinkelse som følge af forskel i hastighed:

timerstskmv

RkmRcvttt

cvtt

j

s

js

sssj

ssj

24/3,7/9,3

*2,4880.2621

1

2

2

μδ

δδδ

δδ

==

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ONy-121025

- Tilnærmet -


ForudsætningerDen generelle relativitetsteori

Stor forskel i tyngdekraften på jordoverfladen og i satellittenÆkvivalensprincippet

Intet eksperiment kan skelne mellem en jævn acceleration og et jævnt tyngdefelt.

Frit fald ”ophæver” tyngdekraften i et begrænset område, -inertialsystem.

Lyshastigheden er den samme i alle inertialsystemer (også set fra det ene til det andet).


Ref.: James B. Hartle: Gravity

15

zA

B

h g


cht

gthtz

gttz

A

B

=

+=

=

1

2

2

21)(

21)(

1t er løbetiden for første puls

)()(21

21)(

21

)()()(

21

)()0(

12

121

2

11

121

11

ABBBA

ABBBAA

B

A

BA

tttctgtgtgttgh

tttcttztztt

ctgth

cttzz

Δ−Δ+=Δ−Δ−−Δ+

Δ−Δ+=Δ+−ΔΔΔ

=−

=−

: pulsafstand ved A: pulsafstand ved B

Heraf ses let:

)1( 2cghtt AB −Δ=Δ

Den generelle relativitetsteoriRadionavigation ONy-121025Radionavigation ONy-121025


Gravitations potentiale ?Svarer til elektrisk / spændings potentiale (volt)


Det er praktisk at regne med ”tyngdepotentialer”!

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−Φ−= 21

ctt jssj δδ ( )sj

ssj c

ttt Φ−Φ=− 2δδδ

16

Radionavigation


Tidsforøgelse som følge af forskel i gravitationspotentialet:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−Φ−= 21

ctt jssj δδ

Hvad er et gravitationspotentiale? – Den forholder sig til gravitation på samme måde, som elektrisk feltstyrke (volt/m) forholder sig til spænding (volt).

Massen m på jordoverfladen:

- Fortsættelse følger ikke -s

s

js

jj

jj

j

jm

RR

GM

RR

GM

mR

mGMF

*8,9

*8,9

8,92

−=−=Φ

−=−=Φ

−=−=

Den generelle relativitetsteori ONy-121025

)1( 2cghtt AB −Δ=Δ


Men vi prøver alligevel at sætte tallene ind.

sc

ttt

RtRttt

mR

stimert

RRRGM

RGM

RR

GMc

tt

sjsjs

jsjsjs

j

s

jj

jj

s

js

jj

jj

jssj

μδδδ

δδδδ

μδ

δδ

45

*5,7)2,4

11(8,9*

10*4,6

10*60*60*2424

2,48,9

2,4

8,9

1

2

6

6

2

2

=Φ−Φ

=−

=−=−

=

==

===Φ

==Φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ−Φ−=

Uret på jorden taber 45 μs pr. døgn i forhold til uret i satellitten på grund af forskellen i tyngdekraft.

Hastigheden medfører, at uret på jorden vinder ca. 7 μs i forhold til uret i satellitten.

Resultat: Uret i satellitten skal ”tabe” 38 μs i døgnet.

GLEM FORTEGNENE.Radionavigation ONy-121025

17

Radionavigation

GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomenerMen hvad gør man ved det?

Man lader urene i satellitterne gå lidt langsommere.

USAF har rundt på jorden en række kontrol- og overvågningsstationer, som overvåger og korrigerer urene, satellitternes baner og ind- og udkobler satellitter af nettet.

ONy-121025

Radionavigation

GPS - Global Positioning SystemNøjagtighed?

Under normale forhold vil man have en nøjagtighed på +/- 3 m.

Nøjagtigheden forbedres ved adgang til de militære frekvenser.

Korrektionssignaler udsendt via GSM forbedrer nøjagtigheden så meget, at systemet anvendes af landinspektører.

Fejlkilder:

atmosfæriske forstyrrelser.ionosfærevariationerhøje bygninger og bjergeafskærmning (huse, biler m.m.)

ONy-121025

18

Hvilken tidsforskydning er der mellemgeostationære satellitter og Jorden?

timerssttimerst

skmvRR

st

st

st

js

24/5275,0/85,0*4524/18/2,6

7,6

μμδμδ

====

=


Det krumme univers

Det ”homogene” universet er som helhed plant, men omkring ”inhomogeniteter” krummer lyset som følge af lokal gravitation.

L L

g- acceleration -

s

22

21

21

)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

=

cLggts

cLtFlyvetid


19

Det krumme univers – lysets afbøjning


2

221

cgL

Lt

ts

Ls

cLg

Ls

===

==

δδ

δδ

δδϕ

ϕ

For L = solens diameter, og for små værdier af s

22

21

21

)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

=

cLggts

cLtFlyvetid eller

ϕI 1919 under solformørkelse målte Arthur Eddington φ til 1,75 buesekund, som er i overensstemmelse med Einstein.

Et forsøg

Det krumme univers – lysets afbøjning

2

221

cgL

Lt

ts

Ls

cLg

Ls

===

==

δδ

δδ

δδϕ

ϕ

For L = solens diameter, og for små værdier af s

22

21

21

)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

=

cLggts

cLtFlyvetid eller

Et forsøg

sol

sol

sol

sol

sol

RcGM

cLg

RGMg

mc

GM

22

2

32

21

10*48,1

==

=

=

ϕ

PrivatFusk!


L

φ

20

Lysets bøjning - forhistorie

Bøjning om solen1704: Newton antog (på forkert grundlag) at lys påvirkedes af tyngdekraft.1784: Henry Cavendish (upubliceret) beregner lysets bøjning om solen.1801: Johann von Soldner beregner bøjningen til 0,87 buesekund.

rcGM

rcGM

2

2

4

2

=

=

ϕ

ϕ Johan von Soldners formel (newtonsk)

Einsteins formel (relativistisk)


Lysets bøjning – Gravitations linse


21

NASA's Hubble Space Telescope captured thefirst-ever picture of a group of five star-likeimages of a single distant quasar.

The multiple-image effect is produced by a process called gravitational lensing, in which thegravitational field of a massive object -- in thiscase, a cluster of galaxies -- bends and amplifieslight from an object -- in this case, a quasar –farther behind it.

Although many examples of gravitational lensinghave been observed, this "quintuple quasar" is the only case so far in which multiple quasar images are produced by an entire galaxy cluster acting as a gravitational lens.

The background quasar is the brilliant core of a galaxy. It is powered by a black hole, which is devouring gas and dust and creating a gusher of light in the process. When the quasar's light passes through the gravity field of the galaxy cluster that lies between us and the quasar, the light is bent by the space-warping gravity field in such a way that five separate images of the object are produced surrounding the cluster's center. The fifth quasar image is embedded to the right of the core of the central galaxy in the cluster. The cluster also creates a cobweb of images of other distant galaxies gravitationally lensed into arcs.

http://www.nasa.gov/multimedia/imagegallery/image_feature_575.html

Alternativer til GPSGalileo

Mål: 27 operationelle satellitter + 3 reserveHøjde over jorden: 23.616 kmInklination: 56°Fuldt operativt: 2019Funktioner: Position og SAR funktionStatus: Satellit- og system test siden 2005Nøjagtighed: +/- 1m (?)

Formål: Uafhængighed af GPS, GLONASS og COMPASSSærkende: God dækning fra 76º S til 76ºNPrispolitik: Gratis (høj pression skal der betales for).Finansiering: EU (€20 billion project ???)

Satellite Name Date Galileo-IOV PFM Thijs ( ) 21.10.2011 Galileo-IOV FM2 Natalia ( ) 21.10.2011 Galileo-IOV FM3 David ( ) 10.10.2012 Galileo-IOV FM4 Sif ( ) 10.10.2012


22

ГЛОНАСС

GLONASS

Alternativer til GPSGLONASS


Udvikling påbegyndt: 1976.Fuldt operativt med GPS nøjagtighed: 1995.Fuld global dækning genskabt: oktober 201124 satellitter.Højde over jorden: 19.100 km.Inklination: 64,8º.Omløbstid: 11 timer 15 minutter.Transmitterer samme signal, men på forskellige frekvenser omkring 1,6 GHz.GPS og GLONASS bruger ikke samme kortdefinition.

Putins reklamebil

.

Ref.: http://en.wikipedia.org/wiki/GLONASS

Běi-dǒu dǎo-háng xì-tǒng (pin-yin)

��

BeiDou er navnet på Karlsvognen

(eller Nordstjernen)

Alternativer til GPSBeiDou

Eksperimentel drift i Kina og omliggende områder siden 200010 satellitter operative siden december 2011.Fuld dækning i Asien og Stillehavet fra 2012.Global dækning i 2020.Geostationære satellitter dækkende 70º E til 140º E og 5º N til 55ºN.Frekvens 2,49175 GHz (???).Navigation og kommunikation.Oktober 2004 tilslutter sig GALILEO og bidrager finansielt.China Galileo Industries (CGI) stiftes december 2004.BeiDou forventes at blive et rent militært projekt.

Radionavigation ONy-121025Ref.: http://en.wikipedia.org/wiki/Beidou_navigation_system

23

Alternativer til GPSBeiDou – næste generation

Kompatibelt med GPS-Next-Generation og Galileo.5 geostationære og 30 medium-orbit

Frekvens plan


Hvor er satellitterne?


24

The coordinate origin of WGS 84 is meant to be located at the Earth's center of mass; the error is believed to be less than 2 cm.

The WGS 84 meridian of zero longitude is the IERS Reference Meridian, 5.31 arc seconds or 102.5 m (336.3 ft) east of the Greenwich meridian at the latitude of the Royal Observatory.

The WGS 84 datum surface is an oblate spheroid (ellipsoid) with major (transverse) radius a = 6378137 m at the equator and flattening f = 1/298.257223563. The polar semi-minor (conjugate) radius b then equals a times (1 - f), or 6356752.3142 m.

Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/WGS_84

WGS 84World Geodetic System



- Referencer -

James B. Hartle: Gravity, Addison Wesley, 2003

H. Relster og M. Clausen: Navigation – Kyst og sætteskippereDirektoratet for Søfartsuddannelser, 1972

Global Positioning Systemhttp://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System

Celestial Navigation in a Teacup (findes på nettet)http://mysite.verizon.net/milkyway99/id1.html

DECCA Navigator Systemhttp://en.wikipedia.org/wiki/Decca_Navigator_System

DECCA Scandinaviahttp://www.jproc.ca/hyperbolic/decca_scandinavia.html

- og mange andre.


Ole Nymann

Kommentarer til

Radionavigation og relativitetsteori Møde i NOVA – Kosmologi

25. oktober 2012 Indhold:

1. Korrektioner og kommentarer til Power Point præsentationen

2. Satellitter og omløbstid

3. Tyngdekraft og tyndepotentialer

1. Korrektioner og kommentarer til Power Point præsentationen. GPS modulation: GPS satellitterne sender alle med samme frekvens. De anvender et særligt modulationssystem, der dels gør det muligt for modtagerne på jorden at adskille de enkelte satellitter fra hinanden, dels gør det systemet mindre følsomt over for forstyrrelser, hvad enten disse måtte være menneskeskabte eller naturlige. Systemet kaldes CDMA som betyder Code-Division-Multiple-Access. Modsvarende systemer er FDMA (Frequency-Division-Multiple-Access), hvor signaladskillelsen sker ved, at de forskellige sendere anvender forskellige frekvenser, og TDMA (Time-Division-Multiple-Access), hvor signal adskillelsen sker ved, at hver enkelt sender efter et system anvender hele sendekanalen. CDMA systemet fungerer ved, at hvert enkelt informationselement (en enkelt bit) sendes som en hel pakke af bits kaldet ”chip”. Skal man sende en enkelt informationsbit, kan man for eksempel sende 8 bits i et fast mønster, der er unikt for den konkrete satellit. Skal man sende informationen ”1”, kan den for eksempel sendes som ”00011011”, og skal man sende ”0” sender man ”11100100”. Hver enkelt satellit har sin egen ”chip” sekvens, hvorved modtageren både kan identificere den enkelte satellit og dekode informationen. GPS modtageren: Her er intet om, hvordan den enkelte modtager synkroniseres med satellitsignalerne, og hvordan afstanden til satellitten aktuelt beregnes. Dette må komme ved en senere lejlighed.

Ole Nymann

2. Satellitter og omløbstid Ved udregning anvendes en række naturkonstanter og fysiske størrelser. Fysiske størrelser og konstanter: Gravitationskonstanten: G = 7,7*10-11 Nm/kg2 Lyshastigheden i vakuum: c = 3,0*108 m/s Jordens masse: MJ = 6,0 * 1024 kg Jordens radius: RJ = 6,5*106 m Tyngdeaccelerationen ved jordoverfladen = 9,8 m/s2 Regnestørrelsen: GM/c2 For solen: 1,48*103 m For jorden: 4,5*10-3m Tiltrækningskraft og centrifugalkraften Hvis en satellit skal holde sig i en cirkelformet bane omkring jorden, skal den have en hastighed, hvor centrifugalkraften er lig med jordens tiltrækningskraft. Dens hastighed i sin bane skrives almindeligvis som:

rv *ω= Hvor ω er satellittens vinkelhastighed angivet i radianer pr. sekund og r er radius af satellittens bane målt fra jordens centrum. Centrifugalkraften, som hastigheden påvirker satellitten med, er:

rmF 2ω= Hvor m er satellittens masse, som skal balanceres mod jordens tiltrækningskraft:

2rmMGF J=

Ved at sætte de to ligninger lig hinanden fås:

3

2

3

2

23 8,9rR

rR

RMG

rMG JJ

J

JJ ===ω (s-1)

Ole Nymann

Sammenhæng mellem ω og omløbstid T målt i timer er:

TT

310*7,160*60*

2 −

==πω

Kombineres de to formler, fås sammenhængen mellem radius og omløbstid for en jordbunden satellit:

3 226 **10*4,3 jRTr = Hvor T indsættes i timer, og RJ (Jordens radius) og r (satellittens afstand fra Jordens centrum) er i m. Indsættes T = 12 timer og RJ = 6.500 km fås r = 27.422 km = 4,2*RJ, svarende til GPS systemets satellitter. – Tallet er på grund af afrundingsfejl ikke helt nøjagtigt. For to satellitter omkring et kugleformet objekt gælder følgende sammenhæng mellem respektive omløbstid og baneradier:

2

2

1

3

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛TT

rr

Denne formel er uafhængig af det objekt, de to satellitter kredser om. Anvendes denne formel til at finde de geostationære satellitters baneradius med en omløbstid på 24 timer ud fra GPS satellitternes baneradius og omløbstid, fås:

530.4359,1*422.2743

2

3 ===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= GPS

GPS

stGPSst r

TTrr km

Ole Nymann

3. Tyngdekraft og tyngdepotentialer Ref.: James B. Hartle: Gravity, kapitel 6.3

I det følgende gennemregnes hele forløbet. Startantagelsen er, at A og B befinder sig i samme inertial referenceramme (en raket, en elevator o. lign.), der er uden for ydre påvirkning af tyngdekræfter. Den eneste kraft, der bestemmer forholdene i rummet, er den acceleration (g), rummet er udsat for. – En acceleration, der ifølge ækvivalensprincippet svarer til et tyngdefelt med en statisk tyngdeacceleration, g. I dette rum sender A lysglimt mod B med en tidsafstand ΛtA, mens B modtager samme lysglimt med en tidsafstand ΛtB. Den fysiske afstand mellem A og B er h, og lyset bruger tiden t1 til at komme fra A til B. Lyshastigheden benævnes c. Både A og B accelererer i opadgående retning med accelerationen g. – Bevægelsesbetingelserne er derfor som følger:

cht

gthtz

gttz

A

B

=

+=

=

1

2

2

21)(

21)(

A sender det første lysglimt til t=0, og idet B under indflydelse af accelerationen g har bevæget sig opad, kan afstanden mellem A og B bestemmes som:

121

11

21

)()0(

ctgth

cttzz BA

=−

=−

Når A sender det næste lysglimt, har A bevæget sig opad svarende til A’s tid mellem lysglimtene, mens B på tilsvarende måde har bevæget sig opad svarende til løbetiden t1 plus det tidsinterval, der er mellem de lysglimt, som B modtager. Afstanden mellem A og B kan herefter beskrives ved:

Ole Nymann

)()()( 11 ABBBAA tttcttztz Δ−Δ+=Δ+−Δ Indsættes bevægelsesudtrykkene for A og B i dette udtryk, får man:

)(21

21)(

21)(

21)(

21

12

121

221

2ABBBABA tttctgtgtgttghttgtgh Δ−Δ+=Δ−Δ−−Δ+=Δ+−Δ+

Led med ΛtA2 og ΛtB

2 er små og udgår. Ligeledes udgår 212

1 gt . Herefter har man følgende:

idet:

)1(

)1(

)(

2

2

1

cghtt

cghtt

ttctchg

cth

AB

BA

ABB

−Δ=Δ

+Δ=Δ

Δ−Δ=Δ−

=

idet 12 <<cgh

Gravitationspotentiale. Udtrykket

)(1

)1(

2

2

ABA

B

BA

Signalratec

Signalrate

cghtt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ−Φ+=

+Δ=Δ

Her udtrykkes ændringen ved forskellen mellem tyngdekraft potentialerne i henholdsvis A og B. Tyngdepotentialerne er scalære størrelser. Det vil sige værdier uden retningsangivelse i modsætning til selve tyngdeaccelerationen, der både angives ved en størrelse og en retning (vektor). De to repræsentationer svarer helt til spænding (volt) og feltstyrke (volt/m) i elektricitetslæren. At anvende potentialer er en fordel i situationer, hvor der er flere masser, der har indflydelse på tidsforsinkelser og tyngdekraftstyrede bevægelser (satellittens vane afhænger ikke alene af jordens tyngdefelt, men også af tyngdefeltet fra sol og måne). I disse tilfælde vil tyngdepotentialet i et enkelt punkt bestemmes ved at beregne det for hver enkelt masse for sig og derefter addere værdierne. Selve tyngdekraften i det enkelte punkt vil så kunne findes ved den maksimale ændring pr. m i det pågældende punkt.

Radionavigation og relativitetsteori · Radionavigation og relativitetsteori Møde i NOVA –...

Documents

Transcript of Radionavigation og relativitetsteori · Radionavigation og relativitetsteori Møde i NOVA –...