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RACIOCÍNIO LÓGICO
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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1
RACIOCÍNIO LÓGICO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. Introdução
A Análise Combinatória nos ensina como
contar a quantidade de agrupamentos feitos com os
elementos de um conjunto.
Os agrupamentos podem diferenciar pela
quantidade, ordem e pela natureza, e os elementos
do agrupamento podem ser distintos ou repetidos.
2. Princípio fundamental da contagem (PFC)
Se uma ação é composta de duas etapas
sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode
ser feita de m modos e, para cada um destes, a
segunda pode ser feita de n modos, então o número de
maneiras de realizar a ação, isto é, a primeira e a
segunda etapa é m.n.
3. Princípio aditivo
Se uma ação é composta de duas etapas
sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode
ser feita de m modos e, para cada um destes, a
segunda pode ser feita de n modos, então o número de
maneiras de realizar a primeira ou a segunda etapa é
m n.
Repare a diferença:
Exemplos:
E.1) Se você tem quatro camisas e seis calças
diferentes, então terá 4 6 24 maneiras
distintas de trajar-se, usando camisa e calça.
E.2) Se você tem quatro pares de sapatos e seis pares
de tênis diferentes, então terá 4 6 10
maneiras distintas de calçar-se, usando sapato ou
tênis.
4. Arranjo Simples
São agrupamentos de elementos distintos que
diferem entre si pela ordem ou pela natureza.
Representação:
n,pA : lê-se arranjo simples de n elementos p a p
n,p
n!A n (n 1) (n 2) ... (n p 1).
(n p)!
Obs.: problemas que envolvem arranjos podem ser
resolvidos com o Princípio Fundamental da
Contagem.
5. Permutações
São agrupamentos realizados com todos os
elementos do conjunto. Se os elementos são distintos,
então chamamos Permutação Simples, se existirem
elementos repetidos no conjunto, então chamamos
Permutação de Elementos Repetidos. Representação:
5.1. Permutações Simples
nP : lê-se permutação de n elementos
nP n!
Obs.: As permutações simples são casos particulares
de arranjos simples quando n p, daí o número de
permutações simples de n elementos é dado por
n n,n
n!P A n!
(n n)!
.
5.2. Permutações de Elementos Repetidos
a,b,cnP : lê-se permutação de n elementos com a
elementos iguais, b elementos iguais e c elementos
iguais.
a,b,cn
n!P
a!b!c!
6. Combinação Simples
São agrupamentos de elementos distintos que
diferem entre si pela natureza.
Representação:
n,pC : lê-se combinação simples de n elementos p a p
n,p
n,p
A n!C
p! p!(n p)!
Observação: É Arranjo ou Combinação?
Quando estamos resolvendo problema de análise
combinatória devemos reconhecer quando envolve arranjos
ou combinações. Vamos usar os seguintes passos:
a) escolher um agrupamento qualquer que
satisfaça as condições do problema;
b) trocar as posições dos elementos desse
agrupamento escolhido. Se o novo
agrupamento for uma nova solução do
problema, ou seja, se a ordem for importante,
então trata-se de ARRANJO, caso contrário,
trata-se de COMBINAÇÃO.
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EXERCÍCIOS DE SALA
1. Calcular:
a) !5
b) !7
!8
c) !14
!16
d) !3!9
!12
2. De quantas maneiras diferentes se pode dispor as
letras da palavra CELIBATO?
3. Considere a palavra VESTIBULAR
a) quantos anagramas podem ser formados?
b) quantos anagramas iniciam pela letra E?
c) quantos anagramas terminam por R?
d) quantos anagramas iniciam por T e terminam por
B?
e) quantos anagramas começam pelas letras ATB,
nessa ordem?
f) quantos anagramas terminam pelas letras BAR,
em qualquer ordem?
g) quantos anagramas apresentam as letras LAR,
juntas nessa ordem?
h) quantos anagramas apresentam as letras VEST
juntas, em qualquer ordem?
4. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas
amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado
a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas
quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo
que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do
outro, é igual a:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 46
e) 48
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5. (CESPE) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em
um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar
seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que
lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas
por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de
Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o
leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar
o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja
dada a escolha de preparar uma lista colocando em
ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a
escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além
disso, considere que somente um trabalho seja
executado de cada vez. Com relação ao número de
possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os
itens subseqüentes.
O número máximo de possíveis listas que
Hércules poderia preparar é superior a 12 × 10!.
O número máximo de possíveis listas contendo o
trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira
posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.
O número máximo de possíveis listas contendo
os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na
primeira posição e “capturar o javali de
Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 × 42
× 20 × 6.
O número máximo de possíveis listas contendo
os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e
“capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas
posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! × 8!.
6. Quantos anagramas apresenta a palavra
ARAGUARI?
7. (CESPE) Em um tabuleiro quadrado, de 5x5,
mostrado na figura a seguir, deseja-se ir do quadrado
esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior
(DI).
ES
DI
Somente são permitidos os movimentos horizontal
(H), vertical (V) e diagonal (D), conforme
ilustrado nas representações seguintes.
(H) (V) (D)
Com base nessa situação e com o auxílio dos
princípios de análise combinatória, julgue os
itens que se seguem.
Se forem utilizados somente movimentos
horizontais e verticais, então o número de
percursos possíveis será igual a 70.
Se forem utilizados movimentos horizontais,
verticais e apenas um movimento diagonal, o
número de percursos possíveis será igual a 140.
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Utilizando movimentos horizontais, verticais e
três movimentos diagonais, o número de
percursos possíveis é 10.
8. Quantos anagramas das palavras seguintes tem as
vogais em ordem alfabética?
a) PADRE
b) PERNAMBUCO
9. (ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de
Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado
a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados.
Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em
qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam
ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda
para a direita. O número de diferentes maneiras que os
seis quadros podem ser expostos é igual a:
a) 20
b) 30
c) 24
d) 120
e) 360
10. (UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de
segunda a sexta-feira, estas cinco atividades:
1ª) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a
escola;
2ª) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;
3ª) passeia com o cachorro da família;
4ª) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na
escola;
5ª) rega as plantas do jardim de sua casa.
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre
na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia,
vai realiza-las em uma ordem diferente.
Nesse caso, o número de maneiras possíveis de
ele realizar essas cinco atividades, em ordem
diferente, é:
a) 24
b) 60
c) 72
d) 108
e) 120
11. Quantos são os números com 3 algarismos diferentes
que poderemos formar, empregando os caracteres
{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?
12. Na cidade de Brasília (DF) os telefones são
identificados por um número constituído de oito
algarismos. Os quatro primeiros algarismos
constituem um número denominado prefixo. Na
região próxima a este curso o prefixo é 3345. Nessa
região:
O número máximo possível de telefones é igual a 410 .
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O número máximo de telefones que terminam
por um algarismo par é 3600.
O número máximo de telefones que, exceto o
prefixo, têm todos os algarismos distintos é 5040.
É possível ter 1680 telefones que não possuem o
algarismo zero.
É possível ter 1000 (mil) telefones que, exceto o
prefixo, têm o número com o primeiro algarismo
igual a 2 e o último algarismo par.
13. (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones
têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três
primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se
que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos
são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o
número de telefones que podem ser instalados nas
farmácias é igual a:
a) 504
b) 720
c) 684
d) 648
e) 842
14. Uma empresa possui sete gestores, entre os quais, o
presidente e o vice-presidente da empresa. Responda:
a) Quantas comissões diferentes, com 3 membros,
poderemos constituir empregando os sete
gestores dessa empresa?
b) Em quantas comissões não figura o presidente da
empresa?
c) Em quantas aparecem juntos, o presidente e o
vice-presidente da empresa?
15. (FGV) Uma comissão de três membros vai ser
escolhida ao acaso dentre um grupo de quinze
pessoas, entre as quais estão Alice e Bárbara. Calcular
o número de diferentes comissões que poderão ser
formadas, de tal forma que Alice e Bárbara participem
dessas comissões.
a) 13
b) 39
c) 420
d) 210
e) 840
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16. Considera-se um conjunto de 4 rapazes e 7 moças.
Responda:
a) Quantas comissões de 4 elementos podem ser
formadas?
b) Quantas destas comissões conterão 2 rapazes e 2
moças?
17. Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se
comissões de 4 alunos e 2 alunas. O número de
comissões em que participa o aluno X e não participa
a aluna Y é:
a) 1260
b) 2100
c) 840
d) 504
e) 336
18.(ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por
sete meninos e quatro meninas foi convidado a
realizar apresentações de dança no exterior.
Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear
as passagens de apenas seis dessas crianças.
Sabendo-se que nas apresentações do programa de
danças devem participar pelo menos duas meninas,
o número de diferentes maneiras que as seis
crianças podem ser escolhidas é igual a:
a) 286
b) 756
c) 468
d) 371
e) 752
19. Considere duas retas r e s paralelas e distintas. Sobre a
reta r são marcados 5 pontos distintos (A, B, C, D, E)
e sobre a reta s, três pontos, também distintos (F, G,
H). Considerando apenas esses oito pontos, calcule:
a) o número de quadriláteros convexos
determinados.
b) o número de triângulos determinados.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Nas questões de 1 a 4 calcule o que se pede.
1. (UFPA) Quantos são os anagramas da palavra
BRASIL começados por B e terminados por L?
a) 24
b) 120
c) 720
d) 240
e) 1.440
2. Quantas são as permutações distintas das letras
da palavra ARARUTA?
3. Encontrar o número de números diferentes que
obteremos permutando os algarismos do número
2.718.281.828.
4. Quantos números diferentes acharemos,
permutando de todos os modos possíveis, os
algarismos do número 37.774.373?
5. Quantos números com 5 algarismos poderemos
formar empregando os algarismos ímpares 1, 3,
5, 7 e 9? Em quantos aparecem os algarismos 5 e
7 juntos? Em quantos deles comparece o
agrupamento 357, nessa ordem?
6. De quantos modos podemos sentar-se 6 pessoas
em linha, admitindo-se que dois indivíduos A e B
estejam sempre juntos?
7. Num determinado setor de um hospital trabalham
5 médicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes
distintas, constituídas cada uma de um médico e
4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor?
a) 210
b) 1.050
c) 5.050
d) 10.080
e) 25.200
8. (VUNESP) Um certo número de garrafas
distinguíveis foi arranjado de 3 em 3, de todas as
maneiras possíveis. O número desses arranjos foi
120. Então, o número de garrafas era:
a) 12
b) 10
c) 6
d) 5
e) 4
9. (FUVEST) O número de anagramas da palavra
FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 144
10. (PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e
Ernesto querem formar uma sigla com cinco
símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de
cada nome. O número total de siglas possíveis é:
a) 10
b) 24
c) 30
d) 60
e) 120
11. Dadas as letras A, B, C, p, q e r determinar o
número de permutações das mesmas que:
a) começam por maiúscula;
b) começam e finalizam por maiúscula.
12. (FGV) Um viajante, partindo da cidade A, deve
chegar à cidade D, passando obrigatoriamente
pelas cidades B e C.
Para viajar de A e B existem 3 meios de transporte:
avião, navio e trem; de B para C, 2 meios; táxi e
ônibus; e de C para D, 3 meios: carroça, moto e
bicicleta.
Quantas maneiras diferentes existem para viajar
de A para D?
a) 8
b) 3
c) mais de 15
d) menos de 10
e) n.r.a
13. (PUC) Com os algarismos do sistema decimal
formam-se todos os números de 4 algarismos
distintos, sendo que “x” deles possuem um
algarismo ímpar na ordem das centenas. O Valor
de “x” é:
a) 336
b) 567
c) 2.240
d) 3.335
e) 3.403
14. (UFRN) A quantidade de números pares de 5
algarismos, sem repetição, que podemos formar
com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 é igual a:
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8
a) 720
b) 1.440
c) 2.160
d) 2.880
e) 3.600
15. (MACK) Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4,
5, 6 e 7, e sem repeti-los, podemos formar:
a) 1.080 números pares;
b) 2.160 números pares;
c) 2.520 números pares;
d) 5.040 números pares;
e) 360 números pares.
16. Um grupo de 10 pessoas revolve jogar na MEGA
SENA, formando todos os cartões possíveis, cada
um com seis dezenas, usando 10 dezenas
distintas, previamente escolhidas pelos mesmos.
Depois de efetuado o jogo, dividiu-se o número
de cartões igualmente pelo jogadores. Quantos
cartões coube a cada um deles?
17. De quantas formas diversas podemos escolher
um romance, uma revista e um jornal entre 7
romances, 5 revistas e 10 jornais?
18. (FGV) Um restaurante oferece no cardápio 2
saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5
variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes.
Uma pessoa deseja uma salada, um prato de
carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas
maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
a) 120
b) 144
c) 14
d) 60
e) 12
19. (CESPE) Uma pessoa faz uma relação de nomes
de 9 pessoas amigas. De quantas maneiras
distintas ela poderá convidar 5 dessas pessoas,
sabendo que na relação há um único casal
inseparável?
20. (PUC) O número de anagramas da palavra
ALUNO que têm as vogais em ordem alfabética
é:
a) 20
b) 30
c) 60
d) 80
e) 100
21. (FGV) As placas de automóveis constam de duas
letras e quatro algarismos. O número de placas
que podem ser fabricadas com as letras P, Q, R e
os algarismos 0, 1, 7 e 8 é:
a) 2.412
b) 2.304
c) 144
d) 216
e) 1.536
22. (CESPE) Em uma empresa existem 9 diretores,
sendo 3 desses de uma mesma família. Quantas
comissões de 3 diretores podem ser formadas
contendo cada uma, no máximo, 2 diretores da
mesma família?
23. (CESPE) Sete pessoas trabalham num setor de
uma fábrica que funciona em três turnos diários.
No primeiro turno trabalham 2 pessoas, no
segundo trabalham 2 e no terceiro 3. Calcule de
quantas maneiras pode-se fazer a escala do dia,
sabendo-se que as duas únicas mulheres da
equipe não podem trabalhar no terceiro turno.
24. (CESPE) Ao final de uma festa, ocorrem 28
apertos de mão para as despedidas. Considere
que cada participante despediu-se de todos os
demais. Calcule o número de pessoas que
estavam presentes.
25. (FAG) Com base nos princípios de contagem e
lógicos, julgue os itens que se seguem.
1. Uma proposição composta por 2 variáveis
proposicionais simples apresenta uma tabela-
verdade com 4 linhas.
2. O número de valorações possíveis para
Q ~ R P é inferior a 9.
3. O número de tabelas de valorações distintas
que podem ser obtidas para proposições com
exatamente duas variáveis proposicionais é
igual a 24.
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GABARITO
1. a
2. 420
3. 12.600
4. 280
5. 120, 48 e 6
6. 240
7. b
8. c
9. b
10. c
11. 360 e 144
12. c
13. c
14. b
15. a
16. 21
17. 350
18. a
19. 56
20. a
21. b
22. 83
23. 60
24. 8
25. CCC
GABARITO COMENTADO
01.São 6 letras distintas e duas destas estão presas em
certas posições, então sobram 4 letras livres para
trocarem (permutação simples)
4P 4! 24
Letra A
02.ARARUTA
A R
3 2
7
7!PR 420
3! 2!
03.O raciocínio dessa questão é idêntico ao de se
perguntar: Quantos anagramas tem a palavra
ARARA?
Só que nesta questão ao invés de letras na
composição da palavra, temos algarismos na
composição do número. E como os elementos
(algarismos) repetem, trata-se de uma permutação
com repetição:
2 3 4
10
10!PR 12.600
2!3!4!
1 2 8
04. 37.774.373 (mesmo raciocínio da anterior)
3 4
8
8!PR 280
3! 4!
3 7
05.Observe que são pedidas 3 coisas:
(1ª Parte) Cada troca entre algarismos na
composição do número, forma-se um novo
número. Como é pedido o total de números, então
tem de se fazer o total de trocas (permutações):
5P 5! 120
(2ª Parte) Vê raciocínio da questão 3 de aula, letra
(f). Entende-se 5 e 7 como um único algarismo,
uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando,
então, 4 algarismos para permutar (permutação
externa). Lembrando também que eles podem
trocar entre si (permutação interna).
4 2
permutação permutaçãoexterna int erna
P P 24 2 48
(3ª Parte) Vê raciocínio da questão 3 de aula, letra
(e). Entende-se 3, 5 e 7 como um único algarismo,
uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando,
então, 3 algarismos para permutar (permutação
externa). Nesse caso esses 3 algarismos não podem
trocar entre si, pela restrição do problema, já que
eles devem ficar nessa ordem.
3
permutaçãoexterna
P 6
06.São 6 pessoas, mas como A e B devem ficar
juntos, imagina-se que AB ocupa apenas um lugar,
ficando, então, uma permutação de 5 elementos
(permutação externa). Observe ainda que se A e B
trocarem entre si, muda-se a composição da fila
(permutação interna)
5 2
permutaçãopermutaçãoint ernaexterna
P P 120 2 240
07.Precisa-se escolher 1 médico, dentre 5; e 4
enfermeiros dentre 10
E
5,1 10,4C C 5 210 1.050
Letra B
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10
08. n,3A 120 n (n 1) (n 2) 120
Testando as alternativas, temos:
a) n 12 12 11 10 1.320 120
b) n 10 10 9 8 720 120
c) n 6 6 5 4 120 120 (funcionou!)
Letra C
09.Nesse caso vale a pena montar aquele esquema,
sempre lembrando de começar o preenchimento
pela(s) restrição(ões):
Restrições vogal vogal Total de opções 2 4 3 2 1 1 = 48
Letra B
10.A sigla é, então, formada pelas letras:
A,A,R,R,E , portanto o total de siglas diferentes é
igual ao total de possíveis trocas (permutação com
elementos repetidos):
A R
2 2
5
5!PR 30
2! 2!
Letra C
11.a) Restrição: Começar por maiúscula.
Restrição A,B,C Total de opções 3 5 4 3 2 1 = 360
b) Restrição: Começar e terminar por maiúscula.
Restrição A,B,C A,B,C Total de opções
3 4 3 2 1 2 = 144
12. A 3 B
2 C 3 D
3 2 3 18
Letra C
13.Formar números de 4 algarismos distintos,
escolhidos do sistema decimal
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e com a restrição de o
algarismo das centenas ser ímpar:
Restrições 0 não Ímpar Total de opções 8 5 8 7 = 2.240
Obs. O primeiro algarismo nunca pode ser 0.
Letra C
14.Formar números pares de 5 algarismos distintos,
escolhidos do conjunto 2,3,4,5,6,7,8 . Restrição:
terminar com algarismo par (para o numero ser
par)
Restrições par Total de opções 6 5 4 3 4 = 1.440
Letra B
15.Formar números pares (observar as alternativas)
de 5 algarismos distintos, escolhidos do conjunto
1,2,3,4,5,6,7 . Restrição: terminar com
algarismo par (para o numero ser par)
Restrições par Total de opções 6 5 4 3 3 = 1.080
Letra A
16.Das 10 dezenas, escolhem-se 6 para montar um
cartão da mega-sena, então o total de diferentes
cartões é dado por:
10,6C 210
Como há 10 pessoas para dividirem os 210 cartões,
então sobram-se 21 cartões para cada pessoa.
17.Dos 7 romances, escolhe-se um e das 5 revistas,
escolhe-se uma e dos 10 jornais, escolhe-se uma:
E E
7,1 5,1 10,1C C C 7 5 10 350
18.Das 2 saladas, escolhe-se uma e dos 4 tipos de
carne, escolhe-se um e das 5 bebidas, escolhe-se
uma e das 3 sobremesas, escolhe-se uma:
E E E
2,1 4,1 5,1 3,1C C C C 2 4 5 3 120
Letra A
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19.Tem-se 9 pessoas, 2 inseparáveis e 7 outras que
não têm restrição. Como o referido casal é
inseparável, então ou o casal é convidado (das 5
pessoas convidadas, sobram-se 3 vagas,
disputadas entre as 7 pessoas), ou o casal não é
convidado (as 5 vagas são disputadas entre as 7
pessoas).
OU
7,3 7,5C C 35 21 56
20.Anagramas da palavra ALUNO com as vogais em
ordem alfabética. Uma vez que essa ordem for
estabelecida elas (as vogais) não podem trocar
entre si. Entenda, não é que as vogais não possam
permutar, mas é que elas não podem trocar entre si.
É como se fosse pedido para calcular os anagramas
da palavra ALANA, pois nesse caso, trata-se de
uma permutação com repetição da letra A, uma vez
que mesmo que esses A‟s troquem entre si a
palavra continua a mesma, ou seja, para calcular
esse anagrama de 5 letras, calcula-se 5! e divide o
resultado por 3!, originando a formula que já se
conhece para permutação com repetição:
A
3
5
5!PR 20
3!
A divisão por 3! deve ser entendida como uma
correção que se faz, pois àqueles A‟s não podem
trocar entre si (da mesma maneira que àquelas
vogais não podiam trocar entre si), uma vez que
essa troca não altera o anagrama.
Letra A
21.Note que é um problema de arranjo, pois ao se
mudar a ordem das letras ou números, muda-se a
placa do carro. Note também que se pode repetir os
elementos. Observe o esquema:
P, Q, R 0, 1, 7, 8 Total de opções 3 3 4 4 4 4 = 2.304
Letra B
22.Tem-se 9 diretores, sendo 3 de uma família A e 6
outros. Quer-se montar comissões de 3 diretores
com, no máximo, 2 diretores da família A, isto é,
dos 3 escolhidos, pode-se 2 ser da família A ou 1
ser da família A ou não ter diretor da família A,
observe:
E OU E OU
3,2 6,1 3,1 6,2 6,3
dos 3 de A, dos 6 outros, dos 3 de A, dos 6 outros, dos 6 outros,escolhe se 2 escolhe se 1 escolhe se 1 escolhe se 2 escolhe se 3
C C C C C
3 6 3 15 20 83
23.Das 7 pessoas, 5 são homens e 2 são mulheres.
Temos 3 turnos de trabalho (com 2 pessoas
trabalhando no 1º turno; 2 no 2º e 3 no 3º) e no 3º
as mulheres não podem trabalhar.
Iniciemos o trabalho montando a equipe para o 3º
turno (dos 5 homens, escolhem-se 3 para esse
turno), pois é o único que tem restrição, e depois
para o 2º (dos 4 funcionários, 2 mulheres e os 2
homens não escolhidos, escolhem-se 3 para esse
turno) e para o 1º (dos 2 funcionários restantes,
escolhem-se 2 para esse turno). Observe:
E E
5,2 4,2 2,2
dos 5 homens, dos 4 funcionários, dos 2 funcionários,escolhem se 2 escolhem se 2 escolhem se 2
C C C
10 6 1 60
24.Cada aperto de mão é dado entre duas pessoas, ou
seja, escolhe-se duas pessoas da festa e elas se
cumprimentam. Como na festa há n pessoas e
todos os apertos de mãos possíveis são dados
totalizando 28, faz-se o seguinte:
n,2
das n pessoas, escolhem se 2para darem um aperto de mão
2 2
n n 1C 28 28
2
n n 56 n n 56 0
n 8
ou
n 7 não serve
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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12
PROBABILIDADE
1. Introdução
A teoria das probabilidades estuda situações
onde queremos estimar as chances de ocorrer um
determinado acontecimento.
2. Nomenclatura e notações
2.1. Experimento Aleatório
Denominamos experimento aleatório a todo
experimento que, repetido em condições idênticas,
produzem resultados que não podem ser previstos
com certeza.
Exemplos:
E.1) Lançar uma moeda e observar a face voltada para
cima.
E.2) Lançar um dado e observar o número da face
voltada para cima.
E.3) De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta
e observar o naipe.
2.2. Espaço Amostral
Denominamos espaço amostral de um
experimento aleatório ao conjunto de todos os
resultados possíveis deste experimento. Indicaremos o
espaço amostral pela letra S.
Exemplos:
E.1) No lançamento de uma moeda, o espaço amostral
é S {cara, coroa}.
E.2) No lançamento de um dado, o espaço amostral é
S {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
E.3) Na retirada de uma carta de um baralho e
posterior verificação do naipe, o espaço amostral
é S {ouros, copas, paus, espadas}.
2.3. Espaço Amostral Equiprovável
É quando os seus elementos têm a mesma
chance de ocorrer.
2.4. Evento
Denominamos evento a qualquer subconjunto
do espaço amostral de um experimento aleatório.
Exemplos:
E.1) No lançamento de uma moeda, o evento cara é A
{cara}.
E.2) No lançamento de um dado, o evento face com
número par é B {2, 4, 6}.
E.3) Na retirada de uma carta de um baralho, o evento
dama é C {dama de ouros, dama de copas,
dama de paus, dama de espadas}.
Observações:
O.1) O conjunto vazio, , é chamado evento
impossível.
O.2) O espaço amostral, S, é chamado evento certo.
2.5. Eventos Complementares
São eventos que não tem elementos comuns e
a união é igual ao espaço amostral.
3. Cálculo da Probabilidade
Quando o espaço amostral é equiprovável,
isto é, o experimento tem n resultados possíveis todos
com chances iguais de ocorrer, se um evento A é
constituído de k elementos, então a probabilidade de
ocorrer A é k
P(A)n
Neste caso, e somente neste caso, indicando
por n(A) e n(S) os números de elementos de A e S,
respectivamente, podemos escrever:
n(A)P(A)
n(S) .
Exemplo:
E.1) Ao jogar um dado “honesto”, cada resultado
possível tem probabilidade 1
6. A probabilidade
de ocorrer um número par, ou seja, a
probabilidade de ocorrer o evento A {2, 4, 6} é:
3 1P(A) 0,5 50%
6 2
4. Probabilidade de ocorrer o evento A ou B
Dados dois eventos A e B, a probabilidade de
ocorrer A ou ocorrer B significa a probabilidade de
ocorrer o evento A B.
A probabilidade de ocorrer A ou B é igual à
soma da probabilidade de A com a de B, menos a
probabilidade da intersecção A B.
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
Observação:
O.1) Se A e B são mutuamente exclusivos, ou seja
A B , a probabilidade de ocorrer A ou B é
igual à soma da probabilidade de A com a de B,
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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13
pois P(A B) P( ) 0 .
P(A B) P(A) P(B)
Exemplo:
E.1) No sorteio de um número natural de 1 a 100, a
probabilidade de sair um número múltiplo de 10
é a probabilidade do evento A {10, 20, 30, 40,
50, 60, 70, 80, 90, 100}. Temos 10
P(A)100
A probabilidade de sair um múltiplo de 15 é a
probabilidade do evento
B {15, 30, 45, 60, 75, 90}. Temos 6
P(B)100
Como A B {30, 60, 90}, temos
3P(A B)
100
Então,
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
10 6 3 13
100 100 100 100
Assim, a probabilidade de sair um múltiplo de 10
ou 15 é igual a 13
100
5. Probabilidade Condicional
A probabilidade de um evento B ocorrer dado
que o evento A já ocorreu é calculado por:
P B AP B/ A
P A
6. Probabilidade de Eventos Independentes
O valor da probabilidade dos eventos A e B que são
independentes é dado por
P B A P B P A
Propriedades
P.1) A probabilidade de ocorrer o evento impossível é
zero.
P( ) 0 .
P.2) A probabilidade de ocorrer o evento certo é um.
P(S) 1 .
P.3) Qualquer que seja o evento A, a probabilidade de
ocorrer A é um número real compreendido entre
zero e um, inclusive.
0 P(A) 1 .
P.4) A probabilidade de não ocorrer o evento A é
igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer A.
P(A) 1 P(A) , onde A é o evento
complementar de A.
Exemplo:
E.1) Se a probabilidade de um atirador acertar um alvo
é 0,7, então a probabilidade de não acertar este
mesmo alvo é 1 0,7 0,3 .
7. Lei binomial de probabilidade
Considere a seguinte situação:
i. uma experiência é repetida n vezes (n N e n
2);
ii. cada experiência pode ter apenas dois resultados:
“SIM” com probabilidade p (constante em todos os
experimentos) e “NÃO” com probabilidade
1 p;
iii. as experiências devem ser realizadas sucessiva-
mente e nas mesmas condições.
Assim, a probabilidade de se obter k
resultados “SIM” (k N e k n) em n tentativas é
dada por
n kkn
p 1 pk
, onde
n n
k k n k
!
! !.
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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14
EXERCÍCIOS DE SALA
1. Um número é escolhido ao acaso entre os 20
inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade de o
número escolhido:
a) Ser par?
b) Ser ímpar?
c) Ser primo?
d) Ser quadrado perfeito?
2. (CESPE) Um baralho comum contém 52 cartas
de 4 tipos (naipes) diferentes: paus (♣), espadas
(♠), copas (♥) e ouros (♦). Em cada naipe, que
consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as
figuras do rei, da dama e do valete,
respectivamente. Com base nessas informações,
julgue os itens subseqüentes.
A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma
carta de um baralho e ela conter uma das figuras
citadas no texto é igual a 3
13.
Sabendo que há 4 ases em um baralho comum,
sendo um de cada naipe, conclui-se que a
probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser
um ás de ouros é igual a 1
52.
A probabilidade de se extrair uma carta e ela
conter uma figura ou ser uma carta de paus é
igual a 11
26.
3. Uma cidade tem 50.000 habitantes e 3 jornais A,
B, C. Sabe-se que:
17.000 lêem o jornal A;
13.000 lêem o jornal B;
9.000 lêem o jornal C;
5.000 lêem os jornais A e B;
4.000 lêem os jornais A e C;
3.000 lêem os jornais B e C;
1.000 lêem os três jornais.
Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a
probabilidade de que
a) ela leia pelo menos um jornal?
b) leia só um jornal?
c) não leia nenhum dos três jornais?
d) leia exatamente dois dos três jornais?
e) não leia o jornal A?
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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15
4. (ESAF) Quando Lígia pára em um posto de
gasolina, a probabilidade de ela pedir para
verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade
de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é
0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar
ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a
probabilidade de Lígia parar em um posto de
gasolina e não pedir nem para verificar o nível de
óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é
igual a:
a) 0,25
b) 0,35
c) 0,45
d) 0,15
e) 0,65
5. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo
daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão
estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os
eventos independentes, a probabilidade de
somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
a) 2
25
b) 8
25
c) 2
5
d) 3
25
e) 4
5
6. (ESAF) Em uma sala de aula estão 10 crianças
sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças
são sorteadas para participarem de um jogo. A
probabilidade de as três crianças sorteadas serem
do mesmo sexo é:
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 35%
7. Extrai-se duas bolas, com reposição da primeira,
de uma caixa contendo 3 bolas brancas e 2 bolas
pretas.
a) Determine a probabilidade de que as bolas
extraídas sejam da mesma cor.
b) Determine a probabilidade de que, pelo menos uma das
bolas extraídas, seja branca
8. Jogando ao mesmo tempo dois dados honestos,
qual a probabilidade de o produto dos pontos ser
12?
a) 1
3
b) 1
6
c) 1
9
d) 1
12
e) 1
15
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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16
9. Lúcia lança um dado sem que Lúcio veja. Lúcia
diz que o número mostrado pelo dado é par. A
probabilidade agora de Lúcio acertar é:
a) 1
2
b) 1
6
c) 4
6
d) 1
3
e) 3
36
10. Dois jogadores A e B vão lançar um par de
dados. Eles combinam que, se a soma dos
números dos dados for 5, A ganha e se essa soma
for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados.
Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade
de B ter ganho?
a) 10
36
b) 5
32
c) 5
36
d) 5
35
e) Não se pode calcular sem saber os números
sorteados.
11. (ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão
viajando pela Europa. Com as informações que
dispõe, ele estima corretamente que a
probabilidade de Ana está hoje em Paris é 3/7,
que a probabilidade de Beatriz está hoje em Paris
é 2/7 e que a probabilidade de ambas, Ana e
Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos,
então, recebe um telefonema de Ana, informando
que ela esta hoje em Paris. Com a informação
recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora
estima corretamente que a probabilidade de
Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:
a) 1/7
b) 1/3
c) 2/3
d) 5/7
e) 4/7
12.(ESAF) Uma grande empresa possui dois
departamentos: um de artigos femininos e outro de
artigos masculinos. Para o corrente ano fiscal, o
diretor da empresa estima que as probabilidades de
os departamentos de artigos femininos e
masculinos obterem uma margem de lucro de 10%
são iguais a 30 % e 20 %, respectivamente. Além
disso, ele estima em 5,1% a probabilidade de
ambos os departamentos obterem uma margem de
lucro de 10 %. No final do ano fiscal, o diretor
verificou que o departamento de artigos femininos
obteve uma margem de lucro de 10%. Desse
modo, a probabilidade de o departamento de
artigos masculinos ter atingido a margem de lucro
de 10% é igual a:
a) 17%
b) 20%
c) 25 %
d) 24 %
e) 30 %
13. Um colégio é composto de 70% de homens e 30%
de mulheres. Sabe-se que 40% dos homens e
60% das mulheres são fumantes. Qual é a
probabilidade de que um estudante que foi visto
fumando seja homem?
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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17
14. (ESAF) Carlos diariamente almoça um prato de
sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de
forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá
trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João;
40% das vezes por José, e 20% das vezes por
Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes,
José o faz em 5% das vezes e Maria 20% das
vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos
pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está
salgada demais. A probabilidade de que essa sopa
tenha sido feita por José é igual a
a) 0,15
b) 0,25
c) 0,30
d) 0,20
e) 0,40
15. (FGV) Em uma eleição para a prefeitura de uma
cidade, 30% dos eleitores são favoráveis a um
certo candidato A. Se uma pesquisa eleitoral for
feita sorteando-se 5 pessoas (sorteio com
reposição) entre os eleitores, qual a probabilidade
de que, nessa amostra:
a) todos sejam favoráveis ao candidato A?
b) haja exatamente 3 eleitores favoráveis ao
candidato A?
16. (ESAF) Luís é prisioneiro do temível imperador
Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portas e lhe
diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma
barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um
tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes
escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha,
abrirei uma das portas, entre as que não escolheste,
atrás da qual sei que se encontra um dos tigres,
para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se
quiseres, poderás mudar a tua escolha”. Luís,
então, escolhe uma porta e o imperador abre uma
das portas não escolhidas por Luís e lhe mostra um
tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do
que dissera o imperador, muda sua escolha e diz:
“Temível imperador, não quero mais a porta que
escolhi; quero, entre as duas portas que eu não
havia escolhido, aquela que não abriste”. A
probabilidade de que, agora, nessa nova escolha,
Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de
ouro é igual a:
a) 1/2
b) 1/3
c) 2/3
d) 2/5
e) 1
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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18
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
PROBABILIDADE
1. Uma urna contém 8 bolas brancas, 7 vermelhas e
6 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso na urna.
Qual a probabilidade de a bola escolhida ser:
a) branca?
b) vermelha?
c) azul?
2. Uma caixa contém 10 bolas numeradas de 1 a 10.
Extrai-se ao acaso uma bola da caixa. Determine a
probabilidade de que o número da bola seja 2, 6 ou
9.
3 (CESGRANRIO) Em uma amostra de 500 peças,
existem exatamente quatro defeituosas.
Retirando-se, ao acaso, uma peça dessa amostra,
a probabilidade de ela ser perfeita é de:
a) 99,0%
b) 99,1%
c) 99,2%
d) 99,3%
e) 99,4%
4. Uma urna contém 12 bolas pretas, 4 bolas
brancas e 20 amarelas. Uma bola é escolhida ao
acaso. Qual a probabilidade de:
a) a bola não ser amarela?
b) a bola ser branca ou preta?
c) a bola não ser branca, nem amarela?
5. Um indivíduo possui 2 notas de R$ 50,00, 4 de
R$ 10,00 5 de R$ 5,00, 8 de R$ 1,00 e 3 de
R$ 0,50. Escolhendo duas notas simultaneamente
e ao acaso, qual é a probabilidade de que ambas
sejam de R$ 5,00?
6. Numa cidade, 30% dos homens são casados, 40%
são solteiros, 20% são desquitados e 10% são
viúvos. Um homem é escolhido ao acaso.
a) Qual a probabilidade de ele ser solteiro?
b) Qual a probabilidade de ele não ser casado?
c) Qual a probabilidade de ele não ser solteiro
7. Suponha que uma caixa contenha 6 bolas
vermelhas e 4 bolas pretas. Extrai-se ao acaso uma
bola da caixa e a seguir extrai-se, também ao acaso,
uma segunda bola dentre as que ficaram na caixa.
Determine a probabilidade de que
a) ambas as bolas sejam vermelhas;
b) a primeira bola seja vermelha e a segunda preta;
c) a primeira bola seja preta e a segunda vermelha;
d) ambas as bolas sejam pretas.
8. Suponha que A e B sejam eventos tais que
P A 2/5 , P B 2/5 e P A B 1/ 2 .
Determine P A B .
9. Se P A 1/3 , P A B 1/ 2 , e
P A B 1/ 4 , determine P B .
10. Em um grupo de 1.500 estudantes, 240 estudam
Engenharia, 450 estudam Economia e 30
estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é
escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:
a) Ele estude Economia e Engenharia?
b) Ele estude somente Engenharia?
c) Ele estude somente Economia?
d) Ele não estude Engenharia nem Economia?
e) Ele estude Engenharia ou Economia?
11. Uma cidade tem 5.000 habitantes e 3 jornais, A,
B, C. Sabe-se que:
1.500 lêem o jornal A;
1.000 lêem o jornal B;
800 lêem o jornal C;
600 lêem os jornais A e B;
400 lêem os jornais A e C;
300 lêem os jornais B e C;
100 lêem os três jornais.
Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a
probabilidade de que:
a) ela leia pelo menos um jornal?
b) leia só um jornal?
12. De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator Rh
positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têm fator
Rh positivo e sangue tipo O. Se uma dessas
pessoas for selecionada ao acaso, qual a
probabilidade de:
a) seu sangue ter fator Rh positivo?
b) seu sangue não ser tipo O?
c) seu sangue ter fator Rh positivo ou ser tipo O?
13. (U.C.SALVADOR) Das 180 pessoas que
trabalham em uma empresa, sabe-se que 40%
têm nível universitário e 60% são do sexo
masculino. Se 25% do número de mulheres têm
nível universitário, a probabilidade de selecionar-
se um funcionário dessa empresa que seja do
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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19
sexo masculino e não tenha nível universitário é:
a) 5
12
b) 3
10
c) 2
9
d) 1
5
e) 5
36
14. Um colégio tem 10.000 alunos. Destes:
2.000 estudam Matemática;
1.800 estudam Física ;
2.000 estudam Química;
200 estudam Matemática, Física e Química;
500 estudam Física e Química;
700 estudam somente Química;
500 estudam Matemática e Física.
Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual
a probabilidade de:
a) ele estudar só Matemática?
b) ele estudar só Física?
c) ele estudar Matemática e Química
15. (VUNESP) No lançamento simultâneo de dois
dados perfeitos, a probabilidade de sair como
soma dos pontos um número primo é um número:
a) que está entre 1
3 e
1
2;
b) que está entre 1
6 e
1
4;
c) que está entre 1
9 e
1
6;
d) maior que 1
2;
e) menor que 1
6.
16. (CESPE) Um levantamento estatístico efetuado
em uma videolocadora permitiu estabelecer a
seguinte distribuição dos filmes alugados,
disponíveis apenas nos formatos VHS e DVD.
60% dos filmes são produzidos nos Estados
Unidos da América (EUA), sendo 1
4 desses está
em formato DVD:
25% são filmes nacionais, sendo que 1
5 desses
está em formato DVD;
os demais são filmes de origem européia, sendo que 2
3
deles estão no formato VHS.
Caso se escolha um filme ao acaso, entre os
mencionados no texto acima,
a probabilidade de esse filme ser um DVD de origem
européia será igual a 0,1.
a probabilidade de esse filme não ser originário
dos EUA será igual a 0,6.
a probabilidade de esse filme ter sido produzido
nos EUA ou estar em formato VHS será igual a
0,75.
se esse filme for de origem européia, a
probabilidade de ele estar em formato DVD será
inferior a 0,3.
17. (ESAF) Genésio vai à Genebra para participar de
uma conferência. Ele ou vai de avião, ou vai de
navio, e a probabilidade de ele ir de navio é 60%.
Se ele for de avião, a probabilidade de chegar
atrasado é de 20%. Se ele for de navio, a
probabilidade de ele chegar atrasado é de 80%.
Sabendo que Genésio chegou atrasado, qual a
probabilidade de ele ter ido de avião?
18. Suponha que uma fábrica tem duas máquinas A e
B, responsáveis, respectivamente, por 60% e
40% da produção total. A máquina A produz 3%
de itens defeituosos, enquanto que a máquina B
produz 5% de itens defeituosos. Determine a
probabilidade de que um dado item defeituoso foi
produzido pela máquina B.
19. (CESPE) A tabela abaixo mostra os diferentes tipos
sanguíneos, com os correspondentes antígenos, e sua
distribuição em uma população de 10.000 indivíduos.
Antígenos presentes Tipo
sanguíneo
Número de
indivíduos A B Rh
Não Não Não O- 660
Não Não Sim O+ 3.740
Sim Não Não A- 630
Sim Não Sim A+ 3.570
Não Sim Não B- 150
Não Sim Sim B+ 850
Sim Sim Não AB- 60
Sim Sim Sim AB+ 340
No processo de doação de sangue, é preciso que
seja observada a seguinte restrição: se um dos
antígenos não está presente no sangue de um
indivíduo, esse não pode receber sangue que
contenha aquele antígeno. Com base nessas
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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20
informações, julgue os seguintes itens, relativos à
população estudada.
Se um indivíduo for escolhido aleatoriamente na
população, a chance de ele possuir pelo menos
um dos três antígenos será inferior a 90%.
Se um indivíduo for escolhido aleatoriamente na
população, a chance de ele possuir pelo menos
dois dos antígenos será superior a 50%.
Se um indivíduo tiver sanguíneo O+, a chance de
alguém, escolhido aleatoriamente, poder doar
sangue para esse indivíduo será superior a 50%.
Se um indivíduo tiver tipo sanguíneo O+, a chance
de alguém, escolhido aleatoriamente, poder
receber sangue desse indivíduo será superior a
80%.
GABARITO
1. a) 8
21,
b) 1
3,
c) 2
7
2. 3
10
3. c
4. a) 4
9,
b) 4
9,
c) 1
3
5. 10
231
6. a) 0,4,
b) 0,7,
c) 0,6
7. a) 1
3
b) 4
15
c) 4
15
d) 2
15
8. 3
10
9. 5
12
10. a) 1
50
b) 7
50
c) 7
25
d) 14
25
e) 11
36
11. a) 21
50
b) 1
5
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
___________________________________________________________________________________________________________________________
21
12. a) 4
5
b) 1
2
c) 9
10
13. b
14. a) 7
100
b) 1
10
c) 1
10
15. a
16. EEEE
17. 1
7
18. 10
19
19. EEEC
GABARITO COMENTADO
Importante lembrar que para cálculos de
probabilidades devemos considerar a existência de
dois conjuntos:
Conjunto S : representa o espaço amostral, onde
teremos todos os casos possíveis de ocorrerem no
experimento.
Conjunto A : representa a parte que nos é favorável
do conjunto S , como ilustrado na figura abaixo.
Assim, para o cálculo da probalidade, de ocorrer o
evento A teremos:
( )
( )( )
n A númerodecasos favoráveisP A
n S númerodecasos possíveis
AA
S
S
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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22
01) total de bolas: 3 2 5 10n S
a) evento A : escolher bola branca.
( ) 3( )
( ) 10
n AP A
n S
b) evento B : escolher bola vermelha.
( ) 2 1( )
( ) 10 5
n BP B
n S
c) evento C : escolher bola azul.
( ) 5 1( )
( ) 10 2
n CP C
n S
02) 3,4,5A
( ) 3( )
( ) 10
n AP A
n S
03) evento A : retirar peça perfeita (ou seja, retirar
peça não defeituosa).
( ) 500 4 496
( ) 496( ) 100% 99,2%
( ) 500
n A
n AP A
n S
04) total de bolas: 6 2 10 18n S
a) evento A : escolher bola não amarela (ou seja,
escolher bola preta ou branca).
( ) 6 2 8 4( )
( ) 18 18 9
n AP A
n S
b) evento B : escolher bola branca ou preta.
( ) 2 6 8 4
( )( ) 18 18 9
n BP B
n S
c) evento C : não escolher bola branca e nem bola
amarela (ou seja, escolher bola preta).
( ) 6 1( )
( ) 18 3
n CP C
n S
05) Como as notas devem ser retiradas
„simultâneamente‟ isto nos indica que não haverá
reposição da primeira. Assim:
Total de notas: 2 4 5 8 3 22n S
evento A: a primeira nota retirada ser de $ 5,00
evento B: a segunda nota retirada ser de $ 5,00
( ) 5 ( ) 4( ) ( )
( ) 22 ( ) 21
( ) ( )
5 4 10
22 21 231
n A n BP A P B
n S n S
P Ae B P A P B
06) Imaginando uma população de 100 homens,
temos::
hom :30
hom : 40
hom :20
hom :10
número de ens casados
número de ens solteiros
número de ens desquitados
número de ens viúvos
a) evento A : escolher um homem solteiro.
( ) 40( ) 0,4
( ) 100
n AP A
n S
b) evento B : escolher homem não casado (ou seja,
o homem escolhido deve ser solteiro,
desquitado ou viúvo).
( ) 40 20 10 100 30( )
( ) 100 100
700,7
100
n BP B
n S
c) evento C : escolher homem não solteiro (ou seja,
o homem escolhido deve ser casado,
desquitado ou viúvo).
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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23
( ) 30 20 10 100 40( )
( ) 100 100
600,6
100
n CP C
n S
07) Importante: duas bolas serão retiradas sem haver
reposição da primeira.
Total de bolas: 6 vermelhas ( )V 4 pretas ( )P
a) evento A : retirar duas bolas vermelhas.
A VV
6 5 1( )
10 9 3P A
b) evento B : retirar a primeira bola vermelha e a
segunda bola preta (importante notar
que apenas esta ordem interessa).
B VP
6 4 4( )
10 9 15P B
c) evento C : retirar a primeira bola preta e a
segunda bola vermelha (importante
notar que apenas esta ordem
interessa).
C PV
4 6 4( )
10 9 15P C
d) evento D : retirar duas bolas pretas.
D PP
4 3 2( )
10 9 15P D
08)
1 2 2
2 5 5
2 2 1 4 4 5 3
5 5 2 10 10
P A B P A P B P A B
P A B
P A B
09)
1 1 1( )
2 3 4
1 1 1 6 4 3 5
2 3 2 12 12
P A B P A P B P A B
P B
P B
10)
a) evento A : estude economia e engenharia.
( ) 10 1( )
( ) 500 50
n AP A
n S
b) evento B : estude somente engenharia.
( ) 70 7( )
( ) 500 50
n BP B
n S
c) evento C : estude somente engenharia.
( ) 140 7( )
( ) 500 25
n CP C
n S
d) evento D : não estude engenharia e nem
economia.
( ) 280 14( )
( ) 500 25
n DP D
n S
70 10 14
0
280
eng. eco
n.
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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24
e) evento E : estude engenharia ou economia (ou
seja, a união dos dois conjuntos) .
( ) 220 11( )
( ) 500 25
n EP E
n S
11)
a) evento A : leia pelo menos um jornal (ou seja,
todos aqueles que lêem).
( ) 21.000 21( )
( ) 50.000 50
n AP A
n S
b) evento B : leia só um jornal (ou seja,ler apenas A
ou apenas B ou apenas C).
( ) 6.000 2.000 2.000 1( )
( ) 50.000 5
n BP B
n S
12)
a) evento A : ter sangue fator RH positivo.
( ) 160 4( )
( ) 200 5
n AP A
n S
b) evento B : não ter sangue tipo O.
( ) 80 20 100 1( )
( ) 200 200 2
n BP B
n S
c) evento C : ter sangue com fator RH positivo ou
ser tipo O.
( ) 160 20 180 9( )
( ) 200 200 10
n CP C
n S
13)
evento A : sexo masculino e não tenha nível
universitário.
( ) 54 3( )
( ) 180 10
n AP A
n S
RH + RH -
TIPO TIPO
= O O = O O
80 80 20 20
160 40
HOMENS MULHERES
NÍVEL
UNIVERSITÁRIO
NÍVEL
UNIVERSITÁRIO
COM SEM COM SEM
54 54 18 54
108 72
B U
6
2
2
2
3 2
5
1 2
A
C 29
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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25
14)
a) evento A : estude somente matemática.
( ) 70 7( )
( ) 1000 100
n AP A
n S
b) evento B : estude somente física.
( ) 100 1( )
( ) 1000 10
n BP B
n S
c) evento C : estude matemática e química.
( ) 80 20 1( )
( ) 1000 10
n CP C
n S
15) evento A : obter soma igual a um número primo.
(1,1) (1,2) (1,4) (1,6) (2,1)
(2,3) (2,5) (3,2) (3,4) (4,1)
(4,3) (5,2) (5,6) (6,1) (6,5)
( ) 15 5( )
( ) 36 12
A
n AP A
n S
opção a)
1 5 1 4 5 6
3 12 2 12 12 12
16) Supondo o número de fitas igual a 100, podemos
planilhar os dados da forma abaixo:
EUA BRA EUR TOTAL
VHS 45 20 10 75
DVD 15 5 5 25
TOTAL 60 25 15 100
5
0,05100
40
0,4100
45 15 20 10
0,9100
5
0,333... 0,315
17)
60% 80% 60% 48%
40% 20% 40% 8%
48% 8% 56%
atrasar
atrasar
atrasar
Navio de
Avião de
Total
evento A : ter ido de avião sabendo que atrasou
( ) 8 1( )
( ) 56 7
n AP A
n S
18) Supondo uma produção de 100 unidades;
60
40
máquina Aprodução
máquina B
3% 60 1,8
5% 40 2
1,8 2 3,8
ítens defeituosos
máquina A de
máquina B de
total deítens defeituosos
evento A : item ter sido produzido pela máquina
A sabendo que é defeituoso.
( ) 2 20 10( )
( ) 3,8 38 19
n AP A
n S
30
U
70
100
70
30 2
20
80
M F
600 Q
RACIOCÍNIO LÓGICO com Antonio Geraldo
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26
19) em cada item serão indicados os tipos sangüíneos
que verificam a situação especificada.
evento A : escolher indivíduo com pelo menos 1
dos 3 antígenos (ou seja, somente não
interessa o tipo sangüíneo O ).
( ) 10.000 660 9.340
( ) 9340( ) 100% 93,4%
( ) 10000
n A
n AP A
n S
evento B : escolher indivíduo com pelo menos 2
antígenos.
, , ,
( ) 3.570 850 60 340 4.820
( ) 4820( ) 100% 48,2%
( ) 10000
B A B AB AB
n B
n BP B E
n S
Como o sangue tipo O apresenta apenas o
antígeno RH (ou seja, não apresenta os antígenos A e
B), um indivíduo deste grupo sangüíneo não poderá
receber sangue que contenha os antígenos A e B.
evento C : escolher indivíduo dos grupos
sangüíneos O eO .
,
( ) 660 3.740 4.400
( ) 4400( ) 100% 44%
( ) 10000
C O O
n C
n CP C
n S
O sangue tipo O apresenta apenas o antígeno
RH (ou seja, não apresenta os antígenos A e B),
Assim, um indivíduo deste grupo não poderá doar
sangue para indivíduos que contenham em seus
sangues o antígeno RH..
evento D : escolher indivíduo dos grupos
sangüíneos , ,O A B e AB .
, ,
( ) 3.740 3.570 850 340 8.500
( ) 8500( ) 100% 85%
( ) 10000
D O A B e AB
n D
n DP D
n S