Raciocínio Lógico PF: Agente de Polícia Federal - 2014...
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Aulas 01 a 28
Raciocínio Lógico – PF: Agente de Polícia Federal - 2014
Professor: Fabiano Vieira
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Aulas 01 a 16
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RACIOCÍNIO LÓGICO
Introdução
Seja bem-vindo (a) ao curso de raciocínio lógico!!!
O Curso de Raciocínio Lógico preparatório terá como base a linha de ação dos concursos
públicos.
Na primeira parte, o raciocínio lógico proposicional, trabalharemos com metodologia pautada no
objetivo de que o aluno possa assimilar de maneira prática o que muitas vezes parece-nos abstrato no
estudo do raciocínio lógico. Através de exemplos práticos e exercícios, nosso material visa assimilação
rápida e eficaz de conteúdo. Assim traremos o raciocínio lógico, trazendo do abstrato para o prático, para
o cotidiano, dentro da vivência do aluno.
Na segunda parte, onde engloba o raciocínio lógico matemático, ou matemática quantitativa,
estudaremos o princípio de contagem, também de uma forma mais prática, entendendo não “fórmulas”,
mas a “forma” de tratar a matéria, sob a ótica dos princípios multiplicativo e aditivo. Entenderemos de
forma simples e direta o que são arranjos, combinações e permutações.
Na sequência, estudaremos probabilidades sob a ótica CESPE, na qual pauta-se em situações
hipotéticas.
Para finalizar, estudaremos aritmética, geometria e álgebra linear, que engloba matrizes,
determinantes e sistemas lineares.
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PLANO DE AULAS*
Aula Tema da aula
Aula 01 Apresentação do Curso. Proposições e conectivo negação
Aula 02 Conectivos: conjunção, disjunções e implicação lógica
Aula 03 Conectivo: dupla implicação e exercícios de fixação dos valores lógicos
Aula 04 Negações da conjunção de disjunção inclusiva – leis de Morgan
Aula 05 Negação da implicação e da dupla implicação
Aula 06 Equivalências lógicas
Aula 07 Tautologia, contradição e contingência
Aula 08 Argumentos lógicos - Parte I
Aula 09 Argumentos lógicos - Parte II, Quantificadores lógicos - Parte I
Aula 10 Quantificadores lógicos - Parte II e negações de quantificadores
Aula 11 Princípio de contagem – Análise combinatória – Parte I
Aula 12 Princípio de contagem – Análise combinatória – Parte II
Aula 13 Princípio de contagem – Análise combinatória – Parte III
Aula 14 Princípio de contagem – Análise combinatória – Parte IV
Aula 15 Probabilidade – Parte I
Aula 16 Probabilidade – Parte II
Aula 17 Probabilidade – Parte III, Operações com conjuntos - Parte I
Aula 18 Operações com conjuntos - Parte II
Aula 19 Operações com conjuntos - Parte III
Aula 20 Cálculos aritméticos – Parte I
Aula 21 Cálculos aritméticos – Parte II
Aula 22 Cálculos aritméticos – Parte III
Aula 23 Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte I
Aula 24 Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte II
Aula 25 Geometria – parte I
Aula 26 Geometria – parte II
Aula 27 Geometria – parte III
Aula 28 Geometria – parte IV
* O Plano de Aulas pode sofrer alterações no decorrer do curso.
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RACIOCÍNIO LÓGICO PROPOSICIONAL
Introdução:
O Raciocínio Lógico Proposicional (denominaremos apenas por RLP), como o próprio nome
propõe, trata das proposições lógicas. Tal estudo engloba a identificação de proposições lógicas;
conectivos lógicos e suas regras; negações e equivalências de proposições compostas; tautologia,
contradição e contingência e; por fim, argumentos lógicos.
Para que tal conteúdo seja assimilado com maior eficácia e velocidade, há necessidade de que,
em cada tópico, haja o esforço do aluno em memorizar, através de revisão de material, as conclusões de
tais tópicos, essenciais para o trabalho com o próximo tópico. Assim, o estudo do raciocínio lógico é
cumulativo.
Valorações Lógicas
Na matemática têm-se infinitos valores possíveis para cada expressão, mas no raciocínio lógico
temos somente dois valores, o verdadeiro e o falso.
Dizemos que algo é VERDADEIRO quando ACONTECE, e dizemos que algo é FALSO quando
NÃO ACONTECE.
Vejamos alguns exemplos:
1) O professor Fabiano Vieira é professor de raciocínio lógico do Aprova Concursos. Verdadeiro.
Por quê? Porque acontece, ou seja, porque é isto mesmo.
2) O professor Fabiano Vieira é professor de direito tributário do Aprova Concursos. Falso. Por
quê? Porque não acontece.
Proposições lógicas – identificação e codificação
Proposições lógicas são frases afirmativas que aceitam verdadeiro ou falso como resposta, ou
como julgamento. Desta forma, a proposição lógica, em primeiro lugar, deverá afirmar algo. Além disso,
além de afirmar algo, este algo deve ser de tal forma afirmado que seja possível emitir o julgamento
verdadeiro ou falso.
Para fins de simbologia, podemos relacionar uma proposição lógica com uma letra do alfabeto
como A, B, C, D ou P, Q, R, S ou p, q, r, s, etc. Vejamos o exemplo:
1) A: João é rico
B: Maria é estudiosa.
Desta forma, poderemos não mais trabalhar com frases longas, mas somente com letras, o que
facilita em muito o que chamamos de cálculo proposicional, que nada mais é do que a determinação de
Verdades ou Falsidades das sentenças lógicas – proposições lógicas.
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Sentenças que não são proposições lógicas – identificação
Então, há frases que não aceitam verdadeiro ou falso como julgamento, não sendo, portanto,
proposições lógicas. Vamos ver alguns exemplos mais comuns?
Exemplo 1) “Qual seu nome?”
Perceba que não é possível responder ou julgar como verdadeiro ou falso, pois não é uma
afirmação, é um questionamento. Ficaria até mesmo estranho a pessoa fazer esta pergunta e alguém
responder VERDADEIRO ou FALSO. Desta forma, frases interrogativas não são proposições lógicas.
Exemplo 2) “Viva!!!”; “Que Bom!”; “Legal!”; “Que jogador fenomenal!”
Frases exclamativas não são proposições lógicas, pois não cabe, após o enunciado das mesmas,
emitir julgamento VERDADEIRO ou FALSO.
Exemplo 3) “Faça seu trabalho bem feito”; “Eu quero este tópico lido ainda hoje”.
Perceba que são ORDENS ou PEDIDOS, o que não possibilita julgamento Verdadeiro ou Falso. O
máximo que possibilita é disser “Sim, senhor”, “não senhor”.
Desta forma, as ORDENS não são proposições lógicas.
Atenção: Cuidado com as ordens, pois muitas vezes pensamos que são proposições lógicas e
não são.
Exemplo 4) “Esta frase é falsa”; “A frase nesta linha é verdadeira”.
Estas eu as chamo de inexistentes. E isto por quê? Porque não existe efetivamente uma frase
para emitir VERDADEIRO ou FALSO. Vejamos:
“Esta frase é falsa”. Mas, que frase? “Esta frase”. Qual? “Esta”. Perceba que não há frase de fato.
Além disso, tais sentenças, em geral, dão valor a si mesmas. Quando emitem valor falso, caímos
em um paradoxo. Por exemplo: “Esta frase é falsa”. Se dissermos Verdadeiro, então é verdadeiro que é
falsa? Afinal, é verdadeira ou falsa? Se dissermos que é Falsa; então é falsa que é falsa, logo é
verdadeira. Afinal, é falsa ou verdadeira?
Desta forma, tais sentenças não são proposições lógicas.
Exemplo 5) “X é positivo”; “Y é um número par”.
Nestes casos nós temos incógnitas, ou seja, variáveis. Variável é toda letra que pode assumir um
valor numérico. Assim, não podemos julgar como Verdadeiro ou Falso pelo simples fato que não
dispomos de determinação do valor de X ou de Y ou, pelo menos, seu período de extensão. Dependerá
do valor de X e de Y serem definidos para que seja possível emitir tais julgamentos.
Desta forma, como foi apresentada, as variáveis encontram-se livres, o que caracteriza como
Sentença Aberta. Assim, tal situação não se caracteriza como proposição lógica.
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Certamente que, uma vez definida a variável, torna-se possível emitir Verdadeiro ou Falso como
julgamento. Por exemplo: “X é positivo, se X < 0”. Podemos dizer FALSO, pois para X menor que zero ele
é negativo e não positivo. Se podemos emitir o julgamento FALSO, é porque esta sentença é proposição
lógica.
Concluindo, temos que entender que, se ao olhar uma sentença, não houver condições de julgar
como Verdadeiro ou Falso, não é proposição lógica.
Exemplos:
1) Uma bela árvore.
2) Não sei como julgar esta questão.
3) 4 + 9
4) Juntos outra vez.
CONECTIVOS LÓGICOS
Conectivos ou conectores lógicos são elementos que conectam as proposições, como seu próprio
nome diz. Tais conectivos, ao unirem-se com as proposições, causam um efeito em particular, o que
caracteriza o conectivo, o que chamamos de Regras de Conectivos. Vamos analisar, para cada
conectivo, a expressão que o caracteriza, a simbologia utilizada, o diagrama lógico que o descreve e, por
fim, sua regra através de exemplo prático.
A base de todo RLP é compreender, memorizar e aplicar as regras dos conectivos em cada seção
abordada neste estudo.
Assim como as proposições lógicas podem ser descritas por letras, os conectivos lógicos
possuirão símbolos para indicar sua presença. Por exemplo: Considerando como P e Q as proposições
“João é alto” e “Maria é baixa”, respectivamente, teremos que a expressão P ^ Q significa “João é alto e
Maria é baixa”. O conectivo conjunção “e” é indicado pelo símbolo “^”.
As proposições do exemplo anterior “João é alto” e “Maria é baixa” são chamadas de proposições
simples ou átomos. Quando as unimos com conectivos, passam a ser proposições compostas ou
moléculas.
Algumas bancas como, por exemplo, o CESPE, em algumas questão expressa “...considerando
que R significa a expressão ‘João não é alto’...”. Uma vez que a banca expressa “...considerando...”,
vamos considerar. Assim, quando virmos R, entenderemos “João não é alto”. Além disto, a mesma banca
já indicou que podemos simbolizar “João não é alto e Maria é baixa” como P. Caso a banca indicar ou
perguntar se é possível indicar como P expressões com “e” ou “ou”, entendamos que é possível.
Veremos tais casos mais adiante. Por ora basta entendermos que tanto as proposições quanto os
conectivos serão expressos de modos mais resumidos visando facilitar o cálculo proposicional, que é a
determinação das valorações Verdadeiro ou Falso das proposições, sejam simples ou compostas.
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Conectivo Negação
Percebemos a presença de tal conectivo quando, na proposição, houver um elemento de
negação. Assim ele aparece em frases como “João não é alto”, “Não chove”, “Nenhum homem é imortal”,
“Ana e Pedro nunca foram ao shopping juntos”, “Não é verdade que há cão voador”, “É falso que há cão
voador”, “Nem Ana, nem Pedro foram ao shopping”. Nesta última entendamos que há duas negações e o
conectivo “e”, pois a enunciar “Nem Ana, nem Pedro foram ao shopping”, entendemos que Ana não foi ao
shopping e Pedro não foi a shopping.
Os símbolos utilizados para expressar este conectivo são “ ~ ” ou “⌐”. Assim, seja “A” a proposição
“João é alto”; então ~A significa “João não é alto”.
O diagrama lógico descritivo da negação será o seguinte:
Se no diagrama oval tivermos o grupo das pessoas que estudam para concursos, fora dele
teremos as pessoas que não estudam para concursos.
Se no diagrama oval tivermos o grupo das pessoas que não são bondosos, fora dele teremos as
pessoas bondosas.
Assim, se dentro é sim, fora e não e, se dentro é não, fora é sim. Desta forma, a negação é o
AVESSO; ou seja, a regra da negação é inverter o valor lógico anteriormente dado.
~ V = F e ainda ~ F = V
A dupla negação
Quando negamos uma proposição duas vezes consecutivas, obtemos a mesma proposição.
Assim, se dissermos que “não temos nenhum dinheiro”, em raciocínio lógico indica que possuímos algum
dinheiro, pois não temos nenhum. O mesmo acontece com a expressão “Maria não tem nenhuma
vontade”; é indicativo, em raciocínio lógico, que ela possui vontade.
Tal interpretação dá-se exclusivamente quando a banca organizadora elabora uma questão
fazendo a relação entre a dupla negação e a interpretação segundo o raciocínio lógico. Demais situações
onde aparecem tais expressões, interpretaremos como o fazemos segundo o senso comum, onde a
dupla negação possui a forma de um reforço da própria negação.
Tabela-verdade – conceito e preenchimento.
A tabela-verdade é um elemento utilizado amplamente no RLP, pois vem em nosso auxílio quando
temos alguma dúvida e queremos saber a VERDADE. Esta tabela descreve todas as possibilidades, ou
seja, tudo o que pode acontecer com determinada situação.
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Suponha que A e B correspondem respectivamente às proposição simples “João é alto” e “Maria é
baixa”, respectivamente. Vamos montar a tabela-verdade para estas duas proposições.
Primeiramente temos que determinar quantas linhas terá nossa tabela-verdade. O número de
linhas corresponde ao número de possibilidades de acontecimentos.
Para A teremos duas possibilidades, podendo ser Verdadeiro ou Falso. Para B teremos
igualmente 2 possibilidades. Assim, para formar uma tabela-verdade para A e B, teremos 2 x 2 = 4
possibilidades, ou seja, 4 linhas na tabela-verdade.
Ainda tais possibilidades, ou número de linhas da tabela, podem ser expressar por 2n, onde “n”
indica o número de proposições.
Então iremos descrever as 4 possibilidades conforme a tabela abaixo.
A B
V V Aqui descreve que João é alto e Maria é baixa
V F Aqui descreve que João é alto e Maria não é baixa
F V Aqui descreve que João não é alto e Maria é baixa
F F Aqui descreve que João não é alto e Maria não é
baixa Perceba que a tabela descreve todas as possibilidades.
Como ficaria uma tabela com três proposições lógicas A, B e C? Como há duas possibilidades
para cada uma destas proposições simples, teremos 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades. Mas, como montaremos
tal tabela-verdade de uma forma rápida e prática? Eu sempre indico que se “pense nas metades”. Vamos
ver?
A metade de 8 é 4, então dividiremos A com 4 verdadeiros e 4 valores falsos. Para a proposição
B, pensamos na metade de 4 que é 2, logo dividiremos B com 2 verdadeiros e 2 falsos na sequência.
Então basta, com C, pensar na metade de 2. Se B foi dividido de 2 em 2, C o será de 1 em 1. Então
teremos a seguinte tabela:
A B C
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
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O que importa, para que uma tabela-verdade esteja completa, é que existam todas as
possibilidades, independentemente da ordem na qual foi montada. Eu indico para “pensar nas metades”
somente para fazer mais rapidamente a tabela.
Desta forma, poderemos comprovar que, ao negar uma proposição duas vezes consecutivas,
obteremos a mesma proposição, ou seja, a dupla negação de uma proposição possui valores lógicos
idênticos, sendo dita como equivalente à própria proposição. Na tabela a seguir, tal condição é
demonstrada pelas colunas com valores em negrito.
A B ~A ~(~A)
V V F V
V F F V
F V V F
F F V F
Conectivo Conjunção
Este conectivo indica que elementos acontecem juntos, aconteceram juntos, um acontece e outro
também acontece, etc.
Ocorre em proposições compostas unidas pela partícula “e” ou similar, indicando que ambos
elementos acontecem.
Exemplos:
1) João é alto e Maria é baixa;
2) João é alto, mas Maria é baixa;
3) João é algo, porém Maria é baixa;
Podem ser utilizados outros termos como “entretanto”, “contudo”, etc.
O diagrama de conjuntos indica eventos independentes, nos quais há a possibilidade de
acontecimento de ambos eventos.
Exemplo:
1) João já viajou para Argentina e para Bolívia.
A: Viajar para Argentina B: Viajar para Bolívia
João está aqui, no grupo dos que já viajaram para Argentina e Bolívia. Na intersecção.
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Dessa forma, o conectivo conjunção indica a intersecção dos conjuntos. O símbolo lógico utilizado
será “^”, que é parecido com o símbolo da intersecção matemática (∩). Assim, para a proposição
composta A e B, simboliza-se A ^ B.
A regra deste conectivo, devido ser este a intersecção dos conjuntos, indica que a conjunção só
acontece quando ambos acontecem. Quando dizemos que João viajou para Argentina e Bolívia, estamos
expressando que ele viajou para ambos lugares, ou seja, ambos são verdadeiros. Se um dos termos for
falso, já não poderemos dizer que João viajou para a Argentina e Bolívia.
Desta forma, a tabela-verdade deste conectivo será a seguinte:
A B A ^ B
V V V
V F F
F V F
F F F
Resumo: O “e” só será verdadeiro se ambos os termos forem verdadeiros (V^V = V). Se houver
um termo falso, o “e” já será falso, independentemente do valor lógico do outro elemento (F ^ .... = F).
Conectivos Disjunções
Há dois tipos de disjunções: a inclusiva e a exclusiva. Uma inclui a possibilidade do acontecimento
da intersecção, a outra exclui tal possibilidade.
A disjunção inclusiva possui a partícula “...ou...”, enquanto que a exclusiva é expressa pela
partícula “ou...ou...”. Estudaremos cada uma isoladamente.
Conectivo Disjunção Inclusiva
Expressa pela partícula “...ou...”, inclui a possibilidade da ocorrência de ambos elementos.
Exemplo:
1) Quem já viajou para Argentina ou para Bolívia deve comparecer à Polícia Federal.
Quem viajou somente para a Argentina, deve comparecer. Quem viajou somente para Bolívia,
deve comparecer. Quem viajou para ambos países, deve comparecer. Logo, uma vez que se trata de
eventos independentes, este conectivo indica a união dos conjuntos. Tanto é que seu símbolo () é
parecido com o da união de conjuntos matemáticos (U).
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A: viajou para Argentina B: viajou para Bolívia
União dos conjuntos: Pessoas que viajaram para Argentina ou Bolívia
Em análise, para que o evento com a partícula “...ou...” aconteça, basta que um deles aconteça.
Desta forma, se um dos termos forem verdadeiros, o “...ou...” já será verdadeiro. Só não acontecerá o
“...ou...” quando ambos forem falsos. No exemplo, só não há necessidade de comparecer à Polícia
Federal a pessoa que não viajou para estes lugares. Assim, só será falso quando ambos são falsos.
Desta forma, a tabela-verdade descritiva deste conectivo será a seguinte:
A B AvB
V V V
V F V
F V V
F F F
Resumo: O “...ou...” será verdadeiro se houver pelo menos um verdadeiro (V v... = V). Somente
será falso se ambos forem falsos (F v F = F).
Conectivo Disjunção Exclusiva
Expressa pela partícula “ou...ou...”, este exclui a possibilidade da ocorrência de ambos elementos.
Exemplo:
1) Ou bebo leite ou como manga.
O que isso quer dizer? Se bebo leite, não como manga. Se não bebo leite, como manga.
Não é possível que ambos aconteçam e também não é possível que ambos não aconteçam.
Desta forma, só será verdadeiro se houver valores distintos. Uma vez que o símbolo para este
conectivo será v . Com isto, a tabela-verdade será a seguinte:
L M LvM
V V F
V F V
F V V
F F F
Resumo: O “ou...ou...” será verdadeiro somente para valores contrários. Valores idênticos serão
falsos.
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Conectivo Implicação Lógica – Condicional
Este conectivo é expresso por partículas que indicam condição.
Considerando as proposições C e P como “João foi a Curitiba” e “João foi ao Paraná”,
respectivamente, teremos este conectivo indicado como C P que pode ser expresso por “Se João foi a
Curitiba, então foi ao Paraná”; “Se João foi a Curitiba, foi ao Paraná”; “Como João foi a Curitiba, foi ao
Paraná”; “Quando João vai a Curitiba, vai ao Paraná”; “Caso João vá a Curitiba, irá ao Paraná”, entre
outros.
Ainda é possível que a banca organizadora inverta os termos. Assim CP pode estar expressa
de forma invertida quando diz-se “João foi ao Paraná, se foi a Curitiba”. Desta forma, a partícula “se” ou
similar (caso, quando, como,..) indicará o primeiro elemento da implicação.
O diagrama de conjuntos é descrito como
P
C
O diagrama indica que ir a Curitiba, implica logicamente em ir ao Paraná. Ainda podemos
entender que ao sabermos que alguém vai a Curitiba, podemos CONCLUIR que irá ao Paraná. Assim, a
implicação pode ser vista como uma conclusão.
Ir a Curitiba, entende-se que vai ao Paraná; mas ir ao Paraná não implica ir a Curitiba. Assim, a
implicação é como uma via de mão única.
Na implicação lógica há duas condições, sendo uma SUFICIENTE e outra NECESSÁRIA.
Supondo ainda nosso exemplo: quando uma pessoa diz que vai a Curitiba, é suficiente para
compreender que vai ao Paraná. Mas, para que uma pessoa vá a Curitiba, é necessário ir ao Paraná.
Desta forma, o primeiro termo da implicação é a condição suficiente, enquanto que o segundo termo é
condição necessária; ou seja, o termo anterior símbolo é condição suficiente, e o posterior é condição
necessária.
Para facilitar, basta pensar na bússola, cuja agulha aponta para o NORTE e tem como outro pólo
o SUL
( S N) (Suficiente Necessária).
Com isto, a implicação do exemplo pode ainda ser expressa como “João ir a Curitiba é condição
suficiente para ir ao Paraná”, ou ainda, “João ir ao Paraná é condição necessária para ir a Curitiba”
Analisando a regra deste conectivo, a única situação cujo acontecimento é impossível, é que uma
pessoa diga que viajou a Curitiba e não viajou ao Paraná. Isto é impossível, pois ir a Curitiba é suficiente
para concluir que irá ao Paraná. Então teremos a seguinte tabela-verdade:
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C P CP
V V V É possível a pessoa ir a Curitiba e ir ao Paraná
V F F É impossível a pessoa ir a Curitiba e não ir ao Paraná
F V V É possível a pessoa não ir a Curitiba e ir ao Paraná
F F V É possível a pessoa não ir a Curitiba e não ir ao Paraná
Conclusões e Resumo:
A única forma da implicação ser falsa é quando temos V F = F. Assim, como conseqüência, se
tivermos Falso no primeiro termo, já teremos que a implicação será verdadeira, independentemente do
valor lógico da condição necessária (F ... = V). Da mesma forma, quando o segundo termo for
verdadeiro, a implicação também será verdadeira, independentemente do valor lógico da condição
suficiente ( ... V = V).
Conectivo Dupla Implicação Lógica – Bi-condicional
Este conectivo indica que os termos são idênticos, ou seja, o acontecimento do primeiro acarreta
o acontecimento do segundo e vice-versa. É uma via de mão dupla.
Considerando C e E como “João viajou para Curitiba” e “João viajou para a Capital Ecológica”,
respectivamente, então teremos como C ↔ E, significa “João foi a Curitiba se e somente se foi à Capital
Ecológica”; “João foi a Curitiba se e só se foi à Capital Ecológica”.
Equivale a dizer que “Se João foi a Curitiba, então foi à Capital Ecológica e se João foi a Capital
Ecológica, então foi a Curitiba”
O diagrama de conjuntos para tal situação, visto que os termos são idênticos, será um só
diagrama para ambos os termos.
C = E
Assim, ambos elementos indicam duas condições lógicas. Ambos são condições suficiente e
necessária.
Desta forma, poderíamos até mesmo expressar tal conectivo sob a forma “João ir a Curitiba é
condição suficiente e necessária para ir à Capital Ecológica” ou ainda “João ir à Capital Ecológica é
condição suficiente e necessária para ir a Curitiba”.
Com isto, temos que este conectivo só será verdadeiro quando ambos os termos forem idênticos.
É possível ir a Curitiba e ir à Capital Ecológica e ainda é possível não ir a ambas. O que não pode é dizer
que foi a uma e não foi a outra.
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Ao perceber o conectivo dupla implicação, podemos perguntar sobre os termos: São Idênticos?
Se sim, verdadeiro; se não, falso.
Desta forma, a tabela-verdade deste conectivo será a seguinte:
C E C ↔
E
V V V
V F F
F V F
F F V
Resumo: A dupla implicação só é verdadeira quando se tem elementos com valores idênticos.
Será falsa nos demais.
RESUMÃO DAS REGRAS DOS CONECTIVOS
CONECTIVO TERMO MAIS USADO REGRA CONCLUSÃO
Negação ...não... ~V = F ~F = V
(avesso)
Conjunção ... e ... V^V=V F^....=F
Disjunção Inclusiva ... ou ... V˅...=V F˅F=F
Disjunção Exclusiva Ou ... ou ... Valores distintos = V Valores idênticos =F
Implicação Lógica Se ...., então .... V F = F F ...=V ... V = V
Dupla Implicação
Lógica
... se e somente se ... Valores idênticos =V Valores distintos = F
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NEGAÇÕES E EQUIVALÊNCIAS DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Para o melhor entendimento deste tópico, é importante que o resumão acima descrito já esteja
memorizado, pois o entendimento das negações e equivalências também se dá com o entendimento das
regras dos conectivos.
Uma proposição é a negação de outra quando os valores de sua coluna da tabela-verdade são
exatamente o avesso. Uma proposição é equivalente quando possui os mesmos valores lógicos.
Quando a banca solicita o equivalente da negação, trata-se da própria negação, pois esta palavra
EQUIVALENTE quer dizer: “o mesmo que...”, “mesmo valor lógico de...”, “pode ser expressa por...”.
Assim, além do entendimento do mesmo valor lógico, podemos entender que a expressão “Como
João foi a Curitiba, foi ao Paraná” é equivalente a “Se João foi a Curitiba, então foi ao Paraná”.
Leis de Morgan – negação da conjunção de disjunção inclusiva
A negação de (A ^ B) será ~(A ^B), que é equivalente, segundo Morgan, a (~A˅~B). Similarmente,
a negação de (A˅B) tem como negação ~(A˅B) que é equivalente a (~A^~B).
Na prática, podemos entender através de um exemplo. Suponha que A seja “João viajou para
Argentina” e B seja “João viajou para Bolívia”. Suponha ainda que João nunca tenha saído do Brasil.
Assim, se perguntar a João se ele já viajou para Argentina “ou” Bolívia, ele dirá NÃO, ou seja, ~(A˅B). O
que ele está dizendo? Está dizendo que não viajou para Argentina “e” não viajou para Bolívia (~A^~B).
Podemos ver que isto realmente é verdade na tabela-verdade. Vide itens em negrito.
A B ~A ~B A˅B A^B ~(A˅B) (~A^~B) ~(A^B) (~A˅~B)
V V F F V V F F F F
V F F V V F F F V V
F V V F V F F F V V
F F V V F F V V V V
Negação da Disjunção Exclusiva
Se uma pessoa disser que “ou bebe leite ou come manga”, a negação seria “Se bebe leite, come
manga e se não bebe leite, não come manga” [(LM)^(~L~M) que nada mais é que “bebe leite se e
somente se come manga” (L ↔M).
Facilmente entendemos pelo resumão que a disjunção exclusiva é a negação da dupla-
implicação. Logo, a negação da dupla-implicação será a disjunção exclusiva.
Ainda teremos como negação da disjunção exclusiva, no exemplo, o termo [(LM)^(~L~M), que
equivale à dupla-implicação.
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Negação da Implicação Lógica
Consideremos o exemplo onde C e P são respectivamente “João foi a Curitiba” e “João foi ao
Paraná”, onde a implicação será “Se João foi a Curitiba, então foi ao Paraná”. A única situação
impossível, que não acontece, é o fato de dizer que “João foi a Curitiba ‘e’ não foi ao Paraná”. Perceba o
conectivo desta última expressão: será o “e”.
Assim, a negação de A B será ~(A B) que é equivalente a A ^ ~B.
Importante salientar que a negação de um conectivo não recai nele mesmo, sendo válido também
para a implicação lógica.
NOMENCLATURAS DAS PROPOSIÇÕES
Dependendo da disposição dos valores verdadeiro ou falso das proposições, elas podem ser
classificadas como:
Tautologia – Quando uma proposição sempre é verdadeira, o que acarreta que toda sua coluna
na tabela-verdade possui somente valores Verdadeiros.
Contradição – Oposto à anterior, diz-se de uma proposição que sempre é falsa, o que acarreta
que toda sua coluna na tabela-verdade possui somente valores Falsos.
Contingência – Diz-se da proposição que possui valores mesclados na tabela verdade.
Como determinar se uma proposição é tautologia, contradição ou contingência, sem o uso da
tabela-verdade? Há duas formas: Através da relação entre as proposições que a compõem, caso houver
relação de negação ou equivalência, ou através do que chamo de teste lógico. Este, caso afirmar que
uma proposição é tautologia, por exemplo, seja no enunciado ou em alternativas, podemos tentar que
seja falso. Se for possível ser falso, tautologia não será. Poderá até ser contradição ou contingência, mas
tautologia certamente não será.
Para determinar através da análise dos termos que compõem a proposição, através de negações
ou equivalências, deveremos analisar os termos compostos como um todo, compreendendo que uma
proposição, mesmo composta, pode ser verdadeira ou falsa.
Se tivermos uma proposição unida com sua negação através de algum conectivo, temos que
entender que, quando uma proposição for verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. Vide quadro a
seguir.
PROPOSIÇÃO CONECTIVO NEGAÇÃO RESULTADO NOMENCLATURA
V ^ F F CONTRADIÇÃO
F ^ V F
V ν F V TAUTOLOGIA
F ν V V
V F V TAUTOLOGIA
F
V V
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Aulas 01 a 28
V F F CONTINGÊNCIA
F V V
V ↔ F F CONTRADIÇÃO
F ↔ V F
Similarmente acontece quando unimos uma proposição com seu equivalente, sendo que, neste
caso, quando uma proposição for verdadeira, seu equivalente também o será; quando a proposição for
falsa, seu equivalente também o será. Vide quadro a seguir.
PROPOSIÇÃO CONECTIVO EQUIVALENTE RESULTADO NOMENCLATURA
V ^ V V CONTINGÊNCIA
F ^ F F
V ν V V CONTINGÊNCIA
F ν F F
V V F CONTRADIÇÃO
F
F F
V V V TAUTOLOGIA
F F V
V ↔ V V TAUTOLOGIA
F ↔ F V
Não se trata de decorar os quadros, mas estes somente servem para informar que é possível
determinar tais nomenclaturas sem o uso de tabela-verdade.
Veja o exemplo a seguir:
1) (A ^B) ^ (~A ν ~B)
Uma vez que temos uma proposição unida com sua negação pelo conectivo “e”, quando a
proposição for verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. Em ambos os casos, o resultado será
falso. Assim, temos uma contradição. Vamos verificar pela tabela-verdade?
A B ~A ~B A ν B A^B (~Aν~B) (A ^B) ^ (~A ν~B)
V V F F V V F F
V F F V V F V F
F V V F V F V F
F F V V F F V F
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Outra forma de avaliar é quando uma questão afirma que uma proposição é, por exemplo, uma
tautologia. Esta afirmação pode estar na própria questão, como se dá no caso que questões de Certo e
Errado, ou ainda estar nas alternativas.
Uma vez que a banca afirma ser uma tautologia, podemos fazer o teste lógico tentando falsificar a
proposição. Caso conseguirmos falsificar, tautologia não será. Quando afirmar que é uma contradição,
tentaremos o oposto, tornar verdadeiro.
Pelo exemplo a seguir explicarei melhor a situação:
1) A (A ν B). Vamos verificar se pode ser tautologia. Então tentaremos falsificar esta proposição.
Para que a implicação seja falsa, temos de ter o primeiro termo verdadeiro e o segundo termo
falso. Mas perceba que, ao colocar o primeiro termo verdadeiro “A”, teremos um segundo termo com o
“A” também verdadeiro. Assim teremos obrigatoriamente o termo (A ν B) verdadeiro, independentemente
do valor de B. Logo teremos V V que será Verdadeiro. Desta forma, tentamos falsificar e não
conseguimos. Uma vez que não foi possível falsificar a proposição, concluímos que sempre será
verdadeira, ou seja, será uma Tautologia.
Em último caso, poderemos montar a tabela-verdade, até porque esta serve para mostrar a
verdade que não enxergamos.
ARGUMENTOS LÓGICOS
Argumentos lógicos são encadeamentos lógicos de proposições dadas como base, chamadas
premissas, juntamente com a conclusão das mesmas. As premissas são valoradas como verdadeiras
somente para efeito de raciocínio de encadeamento lógico. Caso a conclusão, a partir desta
determinação, for verdadeira, ou seja, a conclusão ser derivada com certeza das premissas, o argumento
é válido. Caso a conclusão for falsa ou puder ser verdadeira ou falsa, o argumento será dito inválido ou
não-válido.
Importa ressaltas que as premissas são dadas como verdadeiras somente para efeito de
raciocínio de encadeamento lógico, não que sejam verdadeiras de fato.
Por exemplo:
Premissa 1: Todo cão é animal
Premissa 2: Todo animal é verde
Conclusão: Logo, todo cão é verde
Se considerarmos as premissas 1 e 2 como verdadeiras para determinar a validade ou não do
argumento, veremos que o conjunto cão estará contido no conjunto animal e este último no conjunto
verde. Assim, realmente teremos que todo cão é verde. Assim sendo, considerando verdadeiras as
premissas, entendemos que a conclusão sai como encadeamento das premissas, sendo, portanto, um
argumento válido.
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Mas se considerarmos a realidade dos fatos, vemos que a premissa 1 é verdadeira e a premissa 2
é falsa e, por causa da premissa falsa, teremos uma conclusão falsa segundo a realidade dos fatos. Mas,
o argumento é válido.
Assim, a validade real das premissas ou conclusão não determina validade ou não de
argumentos. A determinação da validade ou não é avaliada somente a partir do encadeamento lógico e,
para isso, supomos verdadeiras as premissas para avaliar tal encadeamento.
Os argumentos sempre possuem um ponto de partida, sendo aquele ponto de onde poderemos
valorar com certeza alguma proposição simples e faremos o encadeamento das demais. Em último caso,
poderemos supor a conclusão falsa e avaliar se conseguimos, a partir da falsidade da conclusão, as
premissas verdadeiras. Se conseguirmos, o argumento é inválido, se não conseguirmos, o argumento é
válido. É um teste lógico para argumentos.
Quando temos uma premissa isolada, esta é o melhor ponto de partida.
Exemplo:
1) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma
bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim,
a) não viajo e caso.
b) viajo e caso.
c) não vou morar em Pasárgada e não viajo.
d) compro uma bicicleta e não viajo.
e) compro uma bicicleta e viajo.
Teremos
Premissa 1: C ν B (V)
Premissa 2: V ν ~ C (V)
Premissa 3: P ν ~ B (V)
Premissa 4: ~ P (V)
Neste exemplo, o nosso ponto de partida será a P4. Para que esta seja verdadeira, ~ P deve ser
verdadeiro. Assim, P será falso. Com P falso, pela P3 concluiremos que ~B deve ser verdadeiro para que
esta premissa seja verdadeira. Com ~ B, teremos que B é falso. Assim, na P1 teremos que C deve ser
verdadeiro, já que B é falso. Sendo C verdadeiro, ~C será falso. Então, na P2 teremos obrigatoriamente
V verdadeiro.
Todos os valores estão determinados:
Caso? (V) sim. Compro uma bicicleta? (F) não. Viajo? (V) sim. Vou morar em Pasárgada? (F) não.
Com estes valores determinados, a alternativa correta será aquela que conduz a um argumento
válido, ou seja, a conclusão seja verdadeira a partir das premissas dadas. Das alternativas, somente a
“b)” será verdadeira.
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Vamos ver outro exemplo com outro ponto de partida.
2) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti
disposto, logo podemos concluir que...
a) Se estudei, então me senti disposto.
b) Senti-me disposto e me alimentei bem
c) Estudei se e somente se não obtive boas notas.
d) Não obtive boas notas ou me alimentei bem
e) Senti-me disposto ou estudei.
Teremos
Premissa 1: E B (V)
Premissa 2: A D (V)
Premissa 3: E ^ ~ D (V)
O ponto de partida será na P3, onde temos o conectivo “e”. Neste, ambos os termos devem ser
verdadeiros. Assim E será verdadeiro e ~D será verdadeiro, o que acarreta que D será falso.
Com E verdadeiro, na P1 concluímos que B será verdadeiro. Com D falso, na P2 concluímos que
A será falso.
Todos os valores estão determinados:
Estudo? (V) sim. Obtenho boas notas? (V) sim. Alimentei-me bem? (F) não. Senti-me disposto?
(F) não.
Com estes valores, teremos que somente a alternativa “e) ” será verdadeira, ou seja, será uma
conclusão que conduz a um argumento válido.
Veremos agora um exemplo onde faremos o teste lógico.
3) A partir das proposições “Se um policial não tem informações precisas ao tomar decisões, então o
policial toma decisões ruins” e “Se o policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então
o policial tem informações precisas ao tomar decisões”, é correto inferir que “O policial que tenha tido
treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” é uma proposição
verdadeira.
Como os termos “o policial teve treinamento adequado” e “ se dedicou nos estudos” sempre
aparecem juntos, simbolizarei esta proposição que seria A ^ B apenas por P.
Assim teremos:
Premissa 1: ~I R (V)
Premissa 2: P I (V)
Conclusão: P ~ R
Este argumento será válido? Vamos ver se a conclusão pode ser falsa. Se puder, não será válido.
Assim, para P ~ R falsa, teremos P verdadeiro que deverá acarretar ~ R falsa. Vamos ver se é
possível termos P verdadeiro e ~R falsa, mesmo com as premissas verdadeiras.
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Com P verdadeira, na P2 teremos I verdadeiro. Assim ~I é falso. Então pela P1, poderemos ter
qualquer valor para R que já deixa a P1 verdadeira. Assim, R pode ser verdadeira ou falsa. Desta forma,
~R pode ser falsa ou verdadeira. Assim, o argumento é inválido, pois pode ter conclusão falsa.
QUANTIFICADORES LÓGICOS
Temos por quantificadores lógicos o UNIVERSAL e o PARTICULAR. O universal é percebido
quando temos a partícula TODO, cujo símbolo é , enquanto que o particular é percebido quando temos
termos como “algum”, “alguns”, “existe”, “existe algum”, “existe pelo menos um”, etc; cujo símbolo é .
Quando temos argumentos lógicos contendo quantificadores, devemos resolvê-los
preferencialmente por diagramas de conjuntos.
Simbolizamos o universal da seguinte forma:
Todo A é B
B
A
Simbolizamos o particular da seguinte forma:
Algum C é D
C D
O segredo das questões com quantificadores lógicos é expressar via diagramas o que a questão
indica no texto, percebendo todas as possibilidades e não garantindo situações além das garantidas no
texto.
Exemplo:
1) Um casal tem vários filhos, dentre eles algumas crianças gostam de legumes e também de verduras,
sendo que nenhum dos que gostam de doce gostam de verdura. Portanto, dentre essas crianças, é
verdade que:
a) Alguém que gosta de legumes, gosta de doce.
b) Alguém que gosta de legumes, não gosta de doce.
c) Alguém que gosta de doce não gosta de legumes.
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d) Ninguém que gosta de doce, gosta de legumes.
Temos que desenvolver diagramas, de tal forma, que contemple todas as possibilidades e, ao
mesmo tempo, não afirme nada mais do que já está afirmado no texto.
A partir da afirmação “Algumas crianças gostam de legumes e também de verduras”, teremos o
seguinte diagrama:
L V
Agora, considerando a próxima afirmação “...nenhum dos que gostam de doce gostam de
verdura...”, teremos várias possibilidades para o diagrama de doce. O que importa é que este não possui
conexão com verdura. Mas todas as posições abaixo descritas não podem ser garantidas. Pode ser
qualquer uma delas.
L V
A única coisa que podemos afirmar é que há pessoas que gostam de legumes que não gostam de
doce. Quais? Aquelas pessoas que gostam também de verduras.
NEGAÇÕES DE QUANTIFICADORES LÓGICOS
Quando afirmamos que algo não total, é porque é parcial. Quando afirmamos que algo não é
parcial, é porque é total. Assim a negação do todo recai no existe algum e vice-versa. É o contraditório.
A regra básica é mudar o quantificador, mudando a posição da negação. Além disso, é entender
que o SUJEITO da sentença não muda, mudando somente o PREDICADO.
Por exemplo: Se alguém diz que “todo homem é careca”. Uma pessoa pode não concordar e
negar dizendo “Nem todo homem é careca”. O que ela está dizendo? Está dizendo que existe algum ou
alguns homens que não são carecas. Assim, basta trocar a posição da negação e mudar o quantificador
lógico.
Importa não esquecer que a negação da negação torna-se o próprio elemento.
doce
doce
doce
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Por exemplo: “Não existe homem que não seja mortal”. Está dizendo que todo homem é mortal,
pois o “não existe” recai em “todo não”; o não mortal permanece. Assim teremos que “todo homem não
não é mortal”, resultando em “todo homem é mortal”.
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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
PRINCÍPIO DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA
Chamamos princípio de contagem à parte da matemática que se utiliza das quantidades para
determinar o número de possibilidades dos acontecimentos. Para isto, trabalhamos com os princípios
multiplicativo e aditivo.
Deste tópico surgem as permutações, arranjos e combinações.
Alguns termos são essenciais para a compreensão do processo lógico deste tema, são eles:
“e” – Este termo, quando surge em encadeamento sucessivo, indica multiplicação. Em conjuntos,
significa intersecção de conjuntos.
“ou” – Este termo, quando surge como indicação de outra possibilidade, indica soma. Em conjuntos, em
eventos independentes, significa união de conjuntos.
Tais termos são utilizados da mesma forma no estudo das probabilidades.
Identificação das quantidades envolvidas
O primeiro passo é entender que neste processo trabalhamos com quantidades para determinar
número de possibilidades. Para isto nos utilizamos dos termos descritos.
Por exemplo: Dispondo das letras vogais e dos algarismos ímpares do sistema de numeração,
quantas placas de veículos com 3 letras e 4 algarismos podemos fabricar com as seguintes
especificações:
1) Contendo 3 letras e 4 algarismos.
* Quando não há especificação quanto a termos repetidos, entendemos que é possível haver repetições *
Desta forma, a placa terá
Letra vogal e letra vogal e letra vogal e algarismo ímpar e algarismo ímpar e algarismo ímpar e algarismo
ímpar
Como são 5 vogais: A, E, I, O e U – são 5 letras possíveis para qualquer vaga de letra vogal
5 x 5 x 5
Quanto aos algarismos ímpares – 1,3,5,7,9 – São igualmente 5 algarismos ímpares disponíveis para
cada posição de algarismo ímpar, o que, juntamente com as letras, ficaremos com
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5.
Assim teremos 15.625 placas distintas que podemos formar com tal configuração.
2) Contendo 3 letras distintas e 4 algarismos distintos.
* Com tal especificação, impede qualquer repetição. Desta forma, se utilizou uma letra em uma posição,
não pode dispor dela para outra. Sempre vai reduzindo o número. *
5 x 4 x 3 x 5 x 4 x 3. Teremos estes valores, pois tal distinção deve-se às letras e aos algarismos,
segundo enunciado.
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Aulas 01 a 28
Assim, teremos 3.600 placas distintas que podemos formar com letras e algarismos distintos, dispondo
das letras vogais e dos algarismos ímpares.
Exemplo: Dispondo de dois sinais distintos, traço e ponto, quantos sinais distintos podem ser
formados utilizando-se de até 3 sinais?
Até 3 sinais, indica que podemos utilizar um, dois ou três sinais. Então teremos
___ ou ____ e ____ ou ____ e ____ e ____
Para cada espaço, podemos utilizar qualquer um dos dois sinais (traço e ponto), assim teremos
2 ou 2 x 2 ou 2 x 2 x 2 = 2 + 4 + 8 = 14 sinais. Estes podem ser verificados na sequencia a seguir:
. - . . - - . - - . . . . . . - . - . . - - - . . - . - - - . - - -
FATORIAL (!)
O fatorial é um operador que nos auxilia em cálculos que envolvem TROCA. Pensou em TROCA
(permuta), pensou em FATORIAL.
Exemplo: Três pessoas sentar-se-ão em três cadeiras. De quantas formas distintas este evento pode se
dar?
Podemos pensar... Para a primeira pessoa, há 3 cadeiras disponíveis, para a segunda, 2 cadeiras
disponíveis e para a última pessoa, uma cadeira disponível. Assim teremos 3 x 2 x 1 = 6 formas distintas.
Podemos também pensar: São 3 pessoas que podem TROCAR de lugar = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Assim, este operador define uma multiplicação regressiva a partir do número que aparece antes
do operador “!” até finalizar em 1. Assim 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120; 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3! = 3 x 2 x 1
= 6 ; 2! = 2 x 1 = 2 ; 1! = 1. Por convenção 0! = 1.
Divisão de Fatoriais
Quando dividimos fatoriais, podemos fazer com que o fatorial maior chegue até o menor e
simplifica-se este último. Assim 5! / 3! = 5 x 4 x 3! / 3! = 5 x 4 = 20.
“Tanto faz a troca”
A fim de trabalhar com um processo lógico de raciocínio, instituí este termo para indicar uma
forma de excluir as possibilidades de repetições desnecessárias ou não desejadas em nosso cálculo. Tal
termo indicará para nós a operação de DIVISÃO, tendo no denominado um FATORIAL (TROCA).
Com esta metodologia, poderemos avaliar de forma lógica e prática as combinações e
permutações com repetição.
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Aulas 01 a 28
ANAGRAMAS
Sem letras repetidas – Permutação
Podemos interpretar o anagramas como “letras que trocam de lugar”. Quando não há letras
repetidas nas letras-base, basta fazer a pura permutação.
Exemplo: Tomando por base a palavra TROCA, quantos anagramas podemos formar:
1) Começando por vogal.
Teremos duas possibilidades para a primeira letra ( A ou O). Restam 4 posições, a letras para trocar de
lugar (4!)
Assim teremos 2 x 4! = 2 x 4 x x 2 x 1 = 48 anagramas
2) Iniciando por vogal e terminando por consoante.
Devemos analisar primeiramente os casos específicos.
Teremos 2 letras possíveis para serem a primeira e 3 letras possíveis para ser a última. Restarão 3 letras
que podem trocar de lugar.
2 x 3! X 3 = 2 x 3 x 2 x 1 x 3 = 36 anagramas
A permutação é simbolizada por P. Assim, a permutação de 3 elementos, ou seja, 3 elementos
que TROCAM de lugar, é 3! e pode ser simbolizada por P3.
Com letras repetidas – Permutação com repetição
Quando temos palavra com letras repetidas, haverá, ao se pensar em anagramas, situações de
anagramas repetidos. Por exemplo: tomando por base as letras da palavra REPETE, podemos observar
que haverá trocas repetidas. Assim, para calcular o número de anagramas distintos, podemos pensar:
São 6 letras que trocam de lugar, mas TANTO FAZ A TROCA de 3 letras E. Sim, pois, se trocarmos
apenas tais letras, permanece a palavra REPETE.
Então, com este raciocínio, teremos 6! / 3! = (6 x 5 x 4 x 3!) / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 anagramas
distintos.
Podemos ainda calcular o número de repetições que acontecem pensando em “todas as
possibilidades menos a quantidade de anagramas distintos”. No caso em questão será 6! – 120 = 720 –
120 = 600 repetições.
Podemos ainda pensar: quantas vezes aparecerá a palavra REPETE? Basta deixar as outras
letras em suas posições, o R, P e T e pensar nas trocas das 3 letras E. São 3 letras E que trocam de
lugar. Será 3! = 6 vezes, nas 720 mudanças, aparecerá a palavra REPETE.
Podemos simbolizar este exemplo 6! / 3! como sendo permutação com elementos repetidos, da
seguinte forma:
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Arranjos
Dispomos de arranjos nos casos onde termos AB são distintos de BA. Isto ocorre em senhas, em
placas de veículos, etc; sendo que, além deste fato, ainda os termos envolvidos devem admitir somente
letras ou números distintos, onde os algarismos vão decrescendo no cálculo.
Exemplo: Dispondo das vogais, quantos códigos de 3 letras distintas podemos fazer?
As vogais: A,E,I,O,U. Como são 3 letras distintas que compõem o código, teremos 5 x 4 x 3 = 60 códigos
distintos com letras distintas. Mas porque fiz questão de colocar “códigos distintos com letras distintas”?
Somente para destacar que sempre serão códigos distintos que resultam dos cálculos, mesmo que
possibilitasse repetições. Pois se fosse possível repetição, o código 112 é diferente de 121. Há repetição,
porém são códigos distintos.
Mas no caso dos arranjos, vale somente para situações onde os componentes dos códigos ou
senhas são distintos. Logo, 5 x 4 x 3 será “Arranjo de 5, 3 a 3” que pode ser simbolizado por A5,3 ou .
Podemos expressar o arranjo através de uma fórmula, onde “n” é o numero disponível de
elementos e o “p” é o número de elementos para ser formados.
Pelo raciocínio lógico, ao visualizar, por exemplo a multiplicação 10 x 9 x 8 x 7 , já podemos
identificar um arranjo de 10 (o primeiro número) 4 a 4 ( número de vagas, número de algarismos que
multiplicam).
Combinações
A combinação ocorre quando elementos AB significam o mesmo que BA. Isto acontece em
grupos, equipes, comissões, etc. Assim vemos que “tanto faz a troca” da ordem das duas letras, pois é o
mesmo elemento.
Exemplo: 5 médicos e 8 enfermeiros devem formar equipes com dois médicos e três enfermeiros
cada.
Note que o “tanto faz a troca” aparecerá por situação distinta: ser médico, ser enfermeiro; pois tanto faz a
troca da ordem dos nomes dos dois médicos, pois é a mesma dupla de médicos na grande equipe;
também tanto faz a troca da ordem dos nomes dos três enfermeiros, pois é o mesmo trio de enfermeiros
na grande equipe.
Assim teremos [(5 x 4) / 2!] x [ (8 x 7 x 6) / 3! ]
Veja que a combinação pode ser identificada quando há algarismos em multiplicação de forma
decrescente, tendo no denominador um número em fatorial igual ao número de vagas.
Assim, no exemplo, temos combinação de 5, 2 a 2 multiplicado por combinação de 8, 3 a 3.
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Aulas 01 a 28
A combinação de 5, 2 a 2 pode ser simbolizada por C5,2 ou ou ainda
A fórmula da combinação é a seguinte:
Ainda há a combinação com repetição, onde há o número “n” de elementos disponíveis e o
número “p” de vagas, ou de elementos a escolher. A diferença é que estes elementos “p” admitem a
possibilidade de repetição.
Para tal, necessitamos utilizar uma fórmula, que é a seguinte:
CR m,p = C m+p-1, p
PROBABILIDADES
Probabilidade é a relação (Razão = divisão) entre uma parte específica e um total, seja ele geral
ou específico. Assim, trata-se de um valor relativo, uma espécie de comparação de uma parte menor com
uma maior.
Bem como no princípio de contagem, na probabilidade também há os seguintes termos:
“e” – Este termo, quando surge em encadeamento sucessivo, indica multiplicação. Em conjuntos,
significa intersecção de conjuntos.
“ou” – Este termo, quando surge como indicação de outra possibilidade, indica soma. Em conjuntos, em
eventos independentes, significa união de conjuntos.
Além destes, há alguns termos que fazem com que o espaço amostral seja reduzido, ou seja, será
reduzido o total a considerar, não mais sendo o total geral, mas um total específico. Tais termos são:
...considerando que..., ...sabendo que..., ...tendo em vista que... , etc.
Uma vez que a probabilidade é a relação entre valores que exprimem quantidades, podemos
também resolver as probabilidades pensando em princípio de contagem, onde o numerador indica a
quantidade específica solicitada e o denominador a quantidade total geral ou específica.
Uma vez que os termos “e” e “ou” são, em se tratando de conjuntos, respectivamente, a
intersecção e a união de conjuntos, quando há a possibilidade de intersecção entre eles, ou seja, para
eventos ditos independentes, teremos que:
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Aulas 01 a 28
P (AUB) = P(A) + P(B) – P (A∩B)
Isto indica que, ao somarmos A e B, somaríamos duplamente sua intersecção, então teremos que
extrair uma intersecção.
Tal teoria pode ser estendida para maiores quantidades de conjuntos em eventos independentes.
Desta forma, por exemplo, em quatro conjuntos:
P(A U B U C U D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) – 1 x (soma da intersecção de apenas 2 conjuntos)
– 2 x (soma da intersecção de apenas 3 conjuntos) – 3 x (intersecção de 4 elementos)
O segredo das probabilidades está em justamente determinar as partes específicas e a total. O
cálculo pauta-se apenas em efetuar a divisão destes termos.
Probabilidade em Urnas
Em urnas dispomos de eventos exclusivos, pois retirar uma bola azul é plenamente exclusivo de
retirar uma bola verde, pois não há bolas azuis e verdes ao mesmo tempo. Assim, não há a intersecção
de conjuntos, o que determina que o termo “ou” significa pura SOMA.
Quando da retirada de bolas sucessivas de uma urna, poderemos ter os termos “com reposição”
ou “sem reposição”, o que significa, respectivamente, que a bola retirada deve ser devolvida (o que faz
com que permaneça o total de bolas na urna) e em outra significa que a bola retirada não é devolvida (o
que faz com que se reduza o total a cada retirada).
Atenção especial deve ser dada quando há retiradas sucessivas e independe da ordem de
retirada, o que dobra a probabilidade. Por exemplo: Uma urna contém 2 bolas brancas e 3 pretas. Ao se
retirar duas bolas sucessivamente e sem repetição, qual a probabilidade de que as duas bolas retiradas
tenham cores distintas? Percebamos que poderemos retirar uma bola branca e outra preta ou vice-versa,
o que dobra a probabilidade. Assim teremos 2/5 x 3/4 x 2 = 12/20 = 6/10 = 60%.
A B
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Aulas 01 a 28
Probabilidade em Dados de Jogo.
A forma mais rápida de se determinar a probabilidade em dados de jogo é colocando todas as
possibilidades. Depois de exprimir todas as possibilidades, faz-se a probabilidade como sucessão.
Importa ressaltar que podemos ter dados não-viciados, onde a probabilidade de retirar qualquer
número de 1 a 6 é a mesma, a saber: 1/6. Ainda podemos ter dado viciado, onde a probabilidade de se
retirar algum número é maior que outros, o que deverá ser expresso no texto da questão. Mas a forma de
solução é a mesma.
Exemplo:
1) Supondo o lançamento de 2 dados, qual a probabilidade de que nos dois lançamentos a soma
dos resultados seja 5?
Vamos exprimir as possibilidades para soma 5: (1,4)(2,3)(3,2)(4,1). Para cada um destes quatro a
probabilidade será 1/6 x 1/6 = 1/36. Como são 4 vezes que tal situação se repete, teremos 1/36 x 4 =
4/36 = 1/9
2) Supondo o lançamento de 3 dados, qual a probabilidade de que no segundo lançamento saia o
número 2, sabendo que a soma dos resultados seja 5?
Como expressa “sabendo que”, temos que expressar todas as possibilidades para a soma 5 em 3
lançamentos, são elas: (1,1,3) (1,3,1)(3,1,1)(2,2,1)(2,1,2)(1,2,2) . Perceba que há 2 possibilidades onde o
número 2 saiu no segundo lançamento. Assim, a probabilidade será 2/6 = 1/3
Probabilidade em Moedas.
Assim como nos dados, a melhor forma de determinar é expressando as possibilidades descritas
no problema e sabendo que a probabilidade de sair cara é 1/2, bem como coroa; salvo se a moeda for
viciada.
Probabilidade em Cartas.
Nas cartas, parte-se do princípio de um baralho com 52 cartas, contendo 4 naipes de 13 cartas
cada.
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Aulas 01 a 28
CONJUNTOS
Há vários problemas que podem envolver conjuntos, desde os que expressam relações entre
conjuntos, entre elementos e conjuntos, até situações onde há quantidades distribuídas nas diversas
partes dos conjuntos.
Dados os conjuntos A={1;2;3} B={2;4} e C={3} , vamos determinar algumas relações entre
conjuntos e entre elementos e conjuntos.
Entre conjuntos, podemos ter as relações “contém”, “não contém”, “está contido”, “não está
contido”. Ainda podemos ter “união”, “intersecção”, “diferença” e “complementar”.
A partir dos conjuntos dados, veremos tais relações.
A união com B, ou seja, (A U B)={1;2;3;4}
A intersecção com B, ou seja, (A ∩ B)={2}. Observe que (B ∩ C) = { } ou ф, que é conjunto
vazio.
O conjunto A contém o conjunto C, ou seja, A C. Da mesma forma, C está contido em A, ou
seja, C A.
Ainda podemos simbolizar “não contém” e “não está contido”, respectivamente, como e .
A diferença entre conjuntos expressa os elementos que há em um conjunto, excluindo aqueles
que há no outro. Por exemplo, A – B ={1;3} . O elemento “2” não faz parte, pois está também em B e se
quer excluir tais elementos. Disto decorre que, quando temos um conjunto contido em outro, como o C
está contido em A, chama-se complementar de C em A os elementos A – C={1;2}, pois é o que falta a C
para ser A.
Além de tais relações, temos as relações entre elementos e conjuntos, onde teremos pertence e
não pertence, simbolizados, respectivamente, por “Є” e “ ”.
Importa ressaltar que, em se tratando de conjuntos numéricos, poderemos expressá-los em reta
horizontal numérica, considerando como “bola aberta” a situação onde exclui tal número e “bola fechada”
quando inclui tal número. Exemplo: A={ x Є / 1< x ≥ 6} . Lê-se “x pertence aos números naturais, tal
que, x é maior que 1 e menor ou igual a 6”. Desta forma, trata-se do seguinte conjunto A={2;3;4;5;6}.
Caso tal intervalo fosse dos números Reais, simbolizaríamos com uma reta numérica com bola
aberta em 1 e bola fechada em 6. No intervalo, faríamos um simbolismo indicando que todos os números
de tal intervalo incluem-se no conjunto.
Quantidades e conjuntos
Quando há problemas que envolvem quantidades localizadas nos espaços dos conjuntos, só
temos de ter cuidado com os termos “somente”, “apenas”, etc... Estes termos indicam que há exclusão de
algum conjunto ou parcela dele.
1 6
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Aulas 01 a 28
No exemplo a seguir poderemos indicar tais situações.
Supondo que o diagrama acima indique o número de pessoas entrevistadas quanto a utilização
dos produtos A, B e C.
O número de pessoas que usam A e B são 4, mas o número de pessoas que usam SOMENTE A
e B são 3. Ou seja, este somente, exclui o uso do C.
O número de pessoas que não Usam o produto C são 9 + 3 + 11 + 15 = 38 pessoas
O número de pessoas que usam apenas um produto são 11 + 9 + 13 = 33 pessoas.
O número de pessoas que usam pelo menos dois produtos são 3 + 1 + 5 + 7 = 16 pessoas.
Desta forma é que indicamos as quantidades com os termos “somente”, “apenas”, etc.
DICA: Quando não for dada a intersecção dos conjuntos, chamemos de “x” e analisemos passo a
passo até determinar os devidos valores.
A=18 B=22
C=26
9
1
3
5 7
11
13
+ 15
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Aulas 01 a 28
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
NÚMEROS PRIMOS
Os números primos ou fatores primos são a base dos outros números em sistema multiplicativo.
Podemos desmembrar qualquer outro número tendo como base os fatores primos. Estes, são aqueles
divisíveis somente por 1 e por si mesmo, sendo que o 1 não é primo.
Desta forma, são primos {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 31, 37, 41, 43, 47, etc...}
Com base nos fatores primos, avaliamos o Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O Mínimo Múltiplo Comum aparece em situações nas quais se possui valores distintos e se quer
um valor maior que seja múltiplo ao mesmo tempo de cada elemento dado. Em se tratando de tempo,
aparece em múltiplo comum de tempo, ou seja, quando há um encontro e se quer saber quando haverá
novo encontro. Se quisermos o próximo encontro, será o MMC; se quiser outro encontro, poderá ser
qualquer outro múltiplo comum, que pode ser calculado multiplicando-se o MMC.
Exemplo:
Numa estação rodoviária, sai um ônibus para uma cidade A, a cada 30 minutos, e um ônibus para
uma cidade B, a cada 50 minutos. Os ônibus saem juntos pela primeira vez às 6 horas da manhã. A
próxima saída conjunta ocorre às:
Trata-se do MMC entre 30 minutos e 50 minutos. Isto porque se quer saber o próximo encontro.
30,50 Dividindo por 2
15, 25 Dividindo por 3
5, 25 Dividindo por 5
1, 5 Dividindo por 5
1,1
Desta forma, o MMC será 2 x 3 x 5² = 150 minutos, que será 2horas e 30 minutos
Assim, se saíram às 06:00h, sairão novamente às 08:30h. E continuarão a sair novamente de
2h30min a 2h30min.
MÁXIMO DIVISOR COMUM
O cálculo do Máximo Divisor Comum aparece quando temos lotes grandes e com quantidades
distintas e se quer dividir em partes menores, sendo que estas pequenas partes devem conter a mesma
quantidade e o mesmo tipo de elemento. Será o MDC quando se pedir qual o maior número de
elementos em cada pequena parte ou qual o menor número de partes, o que reporta a ter o máximo de
elementos por pequena parte.
Importante observar que só se utiliza um fator primo que seja divisor comum.
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Aulas 01 a 28
Exemplo:
Dispõe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336 unidades, e outro, com
432 unidades. Um técnico judiciário foi incumbido de empacotar todos os boletins dos lotes, obedecendo
as seguintes instruções:
- todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins;
- cada pacote deve ter um único tipo de boletim.
Nessas condições, o menor número de pacotes que ele poderá obter é
336, 432 Dividir por 2, pois é divisor comum
168, 216 Dividir por 2, pois é divisor comum
84, 108 Dividir por 2, pois é divisor comum
42, 54 Dividir por 2, pois é divisor comum
21, 27 Dividir por 3, pois é divisor comum
7, 9
O MDC será 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3 = 48. Como o MDC foi feito entre boletins, então são 48
boletins por pacote, o que resultará 7 pacotes do boletim tipo A, cujo total são 336, e 9 pacotes do tipo B,
cujo total são 432.
Assim haverá 48 boletins por pacote, o que acarreta um mínimo de 16 pacotes utilizados.
PROPORÇÕES
Quando se fala em proporções, fala-se de uma forma de análise onde a forma real resulta da
proporção multiplicada por um fator comum das partes. Por exemplo: Se A e B são proporcionais,
respectivamente, a 2 e 3, teremos que A está para B assim como 2 está para 3. Daí já vamos entender
que B terá uma quantidade maior do que A, pois assim o é na proporção.
Caso a soma real de A e B for 15, como a soma proporcional é 5 (2 + 3), então há entre o
proporcional e o real uma multiplicação por 3, pois 5 x 3 = 15. Isto que dizer que o real é três vezes maior
que o proporcional. Assim o será para as partes. Assim A será 2 x 3 = 6 e B será 3 x 3 = 9. Perceba que
6 + 9 = 15.
Então a proporção se dá nas partes, na soma dos termos e na subtração dos termos.
Ainda, tendo A está para B assim como 2 está para 3. Como 2 + 3 = 5, então a parcela de A será
2/5 do total, enquanto que B será 3/5 do total.
Proporcionalidade Direta e Inversa
Quando, por exemplo, divide-se algum dinheiro em partes proporcional ao valor investido; temos
que quem investe mais recebe mais e quem investe menos recebe menos. É proporcional, ou
diretamente proporcional às partes.
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Aulas 01 a 28
Quando, por exemplo, divide-se um prêmio de forma inversa às faltas na empresa; quem falta
menos ganha mais e quem falta mais ganha menos. É inversamente proporcional.
Em termos numéricos, o inverso de 2 será 1/2. Assim, se um valor for dividido de forma
inversamente proporcional às faltas e se Ana tiver 2 faltas, o valor proporcional de Ana será 1/2 .
Para a divisão proporcional ou inversamente proporcional, utilizamos o mesmo raciocínio:
Passo 1: Somamos as partes proporcionais, sejam diretas ou inversas.
Passo 2: Verificar de quanto temos que multiplicar o proporcional para chegar ao real.
Passo 3: Este fator de multiplicação é comum ao total e a todas as partes.
REGRA DE TRÊS
A regra de três, seja direta ou inversa, seja simples ou composta, parte do princípio da análise de
proporcionalidade que há entre as grandezas, que são os termos quantificados (que recebem
quantidade).
Se há algum local a se colocar “setas”, este lugar é ao lado das grandezas. Os números apenas
obedecerão a regra que as grandezas indicarão.
A regra de três seguirá os seguintes passos:
Passo 1: Escolher uma grandeza para isolar do lado esquerdo da igualdade. Esta será nossa
referência. Grandezas boas para comparação são as que executam serviço: operários, funcionários,
máquinas, etc. Não há necessidade de ser quem possui “x”.
Passo 2: Colocar os valores conforme o texto. Caso houver grandezas como horas e minutos,
trabalharemos com a menor grandeza que, neste caso, será minutos.
Passo 3: Simplificar “dentro da coluna” os números colocados. Caso houver o mesmo número
acima e abaixo na mesma grandeza, indicará que esta grandeza não entrará no raciocínio. É como se ela
não existisse.
Passo 4: Sem se preocupar com os números, imaginemos a grandeza de referência aumentando
e comparemos UMA A UMA, separadamente, para avaliar se, com o suposto aumento da grandeza de
referência, a outra aumentará (diretamente proporcional) ou reduzirá (inversamente proporcional).
Passo 5: Agora é só fazer os números obedecerem a indicação das setas. Caso for diretamente
proporcional, escrevemos como aparece. Se for inversamente proporcional, inverteremos os termos na
fração resultante.
Somente a grandeza de referência deve ficar do lado esquerdo da igualdade.
MATRIZES E DETERMINANTES
Matrizes são compostos que possuem elementos indicativos de linha em que se encontra (i) e
coluna (j).
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Aulas 01 a 28
Exemplo: Uma matriz A2x3 (2 linhas e 3 colunas) pode ser expressa por
a11 a12 a13
a21 a22 a23
Desta forma, poderemos ter matrizes com apenas uma linha (matriz linha), apenas uma coluna
(matriz coluna), bem com matrizes quadradas (número de linhas igual ao número de colunas).
Matriz Transposta
A matriz transposta é a que possui linhas e colunas invertidas em relação à matriz original. Se na
matriz original temos algum valor em a23 , na matriz transposta tal valor estará no termo a32.
Uma forma prática de montar a matriz transposta é considerar a matriz como um objeto. Fazer
uma rotação no sentido horário. Depois fazer um giro em um eixo imaginário central.
Vejamos um exemplo:
1 2 3
4 5 6
Girando sob forma horária...
4 1
5 2
6 3
Girando em eixo central...
1 4
2 5
3 6
Esta é a matriz transposta.
Operações entre matrizes
As operações de soma e subtração devem ser efetuadas com matrizes com mesmo número de
linhas e colunas. A soma ou subtração deve ser feita termo a termo, ou seja, cada um com seu
correspondente.
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Aulas 01 a 28
O produto entre matrizes só poderá ser executado se o número de colunas da primeira matriz for
igual ao número de linhas da segunda matriz.
O produto se dá da seguinte forma:
1) Produto da primeira linha pela primeira coluna, termo a termo, depois efetua-se a soma. O
resultado será o termo da primeira linha e primeira coluna.
2) O termo da primeira linha e segunda coluna dá-se multiplicando termo a termo a primeira linha
pela segunda coluna. Depois soma-se os termos, e assim sucessivamente.
DETERMINANTES
Os determinantes são números que estão relacionados com matrizes quadradas. É o resultado do
produto de diagonais principais (analizando de cima para baixo e da esquerda para direita), mantendo o
sinal do produto; com o produto de diagonais secundárias (de cima para baixo e da direita para
esquerda), mudando o sinal do produto. Depois, basta efetuar a soma dos resultados.
Para uma matriz 3 por 3, para fazer o cálculo do determinante, deve-se repetir as duas primeiras
colunas do lado direito da matriz. Desta forma teremos 3 diagonais no sentido principal e 3 no sentido
secundário.
Propriedades dos Determinantes
O determinante será zero quando:
* Uma matriz conter todos os elementos de uma linha ou coluna igual a zero
* Quanto houver igualdade de elementos de linha ou coluna
* Quando linhas ou colunas tiverem valores proporcionais
OBSERVAÇÃO: Ao multiplicar ou dividir todos os elementos de uma linha ou coluna, o
determinante ficará multiplicado ou dividido pelo mesmo valor.
Exemplo: Se multiplicarmos a primeira linha por 2 e dividirmos a segunda coluna por 3, o
determinante ficará multiplicado por 2/3
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O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.
Tendo por “n” a ordem da matriz, ou seja, se n=3 a matriz é 3x3; se n=4 a matriz é 4x4. Com base
nisto, se multiplicarmos uma matriz por um valor “V”, teremos que det(VxA) = Vn x det(A).
Além disso, det(Ax)=[det(A)]x
GEOMETRIA
GEOMETRIA PLANA – Através de fórmulas há a determinação dos valores das áreas e
perímetros dos POLÍGONOS e da CIRCUNFERÊNCIA.
A base do cálculo de volumes da geometria espacial é o cálculo da área das figuras planas.
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das
medidas dos catetos.
Os triângulos retângulos que mais caem em prova são os triângulos proporcionais aos triângulos
3,4 e 5 e ainda 5, 12 e 13.
A = πR²
C = 2πR
A = L²
Per = 4L
A = B x h
Per = 2x(B + h)
A = B x h
A = B x h/2
A = L²√3/4
A = (B+b)xh/2
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Aulas 01 a 28
Por exemplo:
Se um triângulo retângulo possuir catetos com valores 9 e 12, podemos perceber que este é 3
vezes maior que o 3,4 e 5, pois 3 x 3 = 9 e 4 x 3 = 12. Logo, a hipotenusa será 5 x 3 = 15.
GEOMETRIA ESPACIAL
Quando temos figuras cujas áreas da base e do topo são iguais (com exceção do círculo), tendo
apenas uma distância separando-as, chamamos de prismas. O prisma leva o nome de sua base. Por
exemplo: um prisma triangular indica que a base e o topo são triângulos.
Para o cilindro e os prismas, o volume é o produto entre a área da base e a altura.
Além dos volumes, temos a área superficial, que é a soma das áreas das faces das figuras
espaciais.
O volume das pirâmides serão 1/3 dos volumes das figuras que as originaram.