Rachunek predykatów pierwszego rzędu
-
Upload
aleksander-pohl -
Category
Education
-
view
2.710 -
download
0
Transcript of Rachunek predykatów pierwszego rzędu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Sztuczna Inteligencja i Systemy EkspertoweRachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Aleksander Pohl
Wyzsza Szkoła Zarzadzania i Bankowosci
10 marzec 2009
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Plan prezentacji
Wstep
Twierdzenia
Prawa Rachunku Predykatów
Postscriptum
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Plan prezentacji
Wstep
Twierdzenia
Prawa Rachunku Predykatów
Postscriptum
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu◮ Klasyczny rachunek logiczny to system logiczny, na
który składaja sie rachunek zdan oraz rachunekpredykatów pierwszego rzedu (czyli rachunekkwantyfikatorów ). Klasyczny rachunek logiczny w pełniwystarcza do przeprowadzenia zdecydowanej wiekszoscirozumowan matematycznych.
◮ Tautologia to definicja, twierdzenie lub zdanie warunkowe,które jest uniwersalnie prawdziwe w kazdej niepustejdziedzinie (np. Zachodzi p lub nie p)
◮ Term to wyrazenie składajace sie ze zmiennych orazsymboli funkcyjnych o dowolnej liczbie argumentów(w tym o zerowej liczbie argumentów, czyli stałych)z pewnego ustalonego zbioru.
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
◮ Rachunek predykatów pierwszego rzedu (ang. firstorder predicate calculus) to system logiczny, w którymkwantyfikatory moga mówic tylko o obiektach, nie zas o ichzbiorach. Tak wiec nie moga wystepowac kwantyfikatorytypu dla kazdej funkcji X na Y. . . istnieje własnosc p, takaze. . . czy dla kazdego podzbioru X zbioru Z. . .
◮ Rachunek ten nazywa sie tez po prostu rachunkiemkwantyfikatorów .
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
System rachunku predykatów pierwszego rzedu składa sie z:◮ 1, “a“, π – stałych◮ a, b, c, x , y , z – zmiennych◮ f (x), g(x , y) – funkcji n-argumentowych dla pewnego
n naturalnego◮ has(x , y) – relacji n-argumentowych dla pewnego
n naturalnego◮ ∨ ∧ ¬ ⇒ – symboli logicznych (takich jak alternatywa,
koniunkcja, negacja czy implikacja)◮ ∀ ∃ – kwantyfikatora ogólnego i egzystencjalnego
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Rachunki wyzszych rzedów
Rachunek drugiego rzedu:◮ ∀F : F (x) ∨ ¬F (x)
◮ W ogólnym wypadku nie jest równowazny rachunkowipierwszego rzedu
◮ Nie istnieje dobry model dowodów dla rachunków drugiegorzedu – nie uzywany przez logików
◮ W teorii złozonosci definiujemy klasy problemówrachunkiem drugiego rzedu
W rachunkach wyzszych rzedów predykaty staja sieparametrami
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Plan prezentacji
Wstep
Twierdzenia
Prawa Rachunku Predykatów
Postscriptum
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu –twierdzenia
Wazniejsze twierdzenia:◮ twierdzenie o zwartosci◮ twierdzenie Herbranda◮ twierdzenie Craiga
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Twierdzenie o zwartosci
Twierdzenie o zwarto sci (ang. compactness theorem) totwierdzenie mówiace, ze nieskonczony zbiór zdan rachunkupredykatów pierwszego rzedu jest spełnialny (istnieje jegomodel – czyli zbiór obiektów matematycznych, które gospełniaja), jesli tylko kazdy jego skonczony podzbiór jestspełnialny.
Równowaznie, jesli taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jegoskonczony podzbiór, który jest sprzeczny.
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Twierdzenie Herbranda
Rozwiniecie Herbranda dla formuły rachunku predykatówpierwszego rzedu, to formuła, w której:
◮ wszystkie kwantyfikatory ogólne (takze zmienne wolne)∀x : φ(x) zostały zastapione przez koniunkcjeφ(x1) ∧ φ(x2) ∧ . . . ∧ φ(xn),
◮ wszystkie kwantyfikatory egzystencjalne ∃x : φ(x) przezalternatywy φ(x1) ∨ φ(x2) ∨ . . . ∨ φ(xn),
◮ gdzie x1, x2, . . . , xn to pewien podzbiór skonczonyuniwersum Herbranda (które zawiera wszystkie zamknietetermy złozone ze stałych i symboli funkcyjnychwystepujacych w formule).
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Twierdzenie Herbranda
◮ Formuła jest tautologia , gdy kazde jej rozwiniecieHerbranda jest tautologia.
◮ Formuła nie jest tautologia , gdy któres jej rozwiniecieHerbranda nie jest tautologia.
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Twierdzenie Craiga
Twierdzenie Craiga mówi, ze:◮ dla kazdego zdania rachunku predykatów pierwszego
rzedu postaci X ⇒ Y bedacego tautologia◮ istnieje interpolant, czyli taka formuła Z , ze:
◮ X ⇒ Z i Z ⇒ Y sa tautologiami i◮ w Z nie wystepuje zadna relacja ani symbol funkcyjny
(w tym stała), która nie wystepuje jednoczesnie w X i Y .
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Problem rozstrzygalnosci
◮ Teoria T w jezyku L jest rozstrzygalna, jesli istniejealgorytm, który dla kazdego zdania X napisanego w jezykuL rozstrzyga, czy T dowodzi X .
◮ Rachunek predykatów pierwszego rzedu jestnierozstrzygalny (w przeciwienstwie do rachunku zdan),ale nadaje sie do komputerowej analizy (co juzniekoniecznie mozna powiedziec o rachunku predykatówwyzszych rzedów, które dopuszczaja kwantyfikowanie pozbiorach).
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Nierozstrzygalnosc Problemu Stopu
def f(g)if(zatrzyma_sie(g))nieskonczona_petla
elsereturn
endend
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Nierozstrzygalnosc Problemu Stopu
Sprawdzamy f(f):◮ jesli sie zatrzyma , to zatrzyma_sie(f) zwróciło false,
czyli f nie moze sie zatrzymac – sprzecznosc◮ jesli sie nie zatrzyma , to
◮ albo zatrzyma_sie(f) nie zatrzymało sie – wadliezatrzyma_sie,
◮ albo f powinno wykonac return – sprzecznosc
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Plan prezentacji
Wstep
Twierdzenia
Prawa Rachunku Predykatów
Postscriptum
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Definicje
◮ A – wyrazenie◮ x – zmienna◮ t – term◮ Sx
t A – instancjacja A, t instancja x◮ ∀x : φ(x) – kwantyfikator uniwersalny◮ ∃x : φ(x) – kwantyfikator egzystencjalny
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Prawa Klasycznego Rachunku Zdan
◮ (X ⇒ Y ∧ ¬Y ) ⇒ ¬X – kontrapozycja, Modus Tolens◮ ((X ⇒ Y ) ∧ X ) ⇒ Y – dedukcja, twierdzenie o odrywaniu,
Modus Ponens
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Prawa dla kwantyfikatorów
∀x : φ(x) ⇒ Sxt φ instancjacja uniwersalna
φ ⇒ ∀x : φ(x) generalizacja uniwersalna
Sxt φ ⇒ ∃x : φ(x) generalizacja egzystencjalna
∃x : φ(x) ⇒ Sxaφ instancjacja egzystencjalna
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Formuły równowaznosci (1)
∃x : A ⇔ A dla x wolnej w A
∀x : A ⇔ A dla x wolnej w A
∃x : A ⇔ Sxt A ∨ ∃x : A dla dowolnego t
∀x : A ⇔ Sxt A ∧ ∀x : A dla dowolnego t
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Formuły równowaznosci (2)
∃x : A ⇔ ∃y : Sxy A dla x wolnej w A
∃x : A ∧ B ⇔ A ∧ ∃x : B dla x wolnej w A
¬∀x : A ⇔ ∃x : ¬A
¬∃x : A ⇔ ∀x : ¬A
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Formuły równowaznosci (3)
∃x ∃y : P(x , y) ⇔ ∃y ∃x : P(x , y)
∀x ∀y : P(x , y) ⇔ ∀y ∀x : P(x , y)
∀x : A(x) ∧ ∀x : B(x) ⇔ ∀x : (A(x) ∧ B(x))
∃x : A(x) ∨ ∃x : B(x) ⇔ ∃x : (A(x) ∨ B(x))
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Formuły wnioskowania
∃x ∀y : P(x , y) ⇒ ∀y ∃x : P(x , y)
∃x : P(x) ∧ ∀x : Q(x) ⇒ ∃x : (P(x) ∧ Q(x))
∀x : P(x) ∨ ∀x : Q(x) ⇒ ∀x : (P(x) ∨ Q(x))
∃x : P(x) ∧ ∃x : Q(x) ⇐ ∃x : (P(x) ∧ Q(x))
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych Peano (1889)
◮ 0 jest liczba naturalna◮ s(n) – nastepnik liczby n◮ Jesli n jest liczba naturalna to s(n) jest liczba naturalna◮ ∀n : s(n) 6= 0◮ s(n) = s(m) ⇒ n = m
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych – cd.
◮ Suma:◮ ∀n : n + 0 = n◮ ∀n ∀m : (m + s(n)) = s(m + n)
◮ Iloczyn:◮ ∀n : (n ∗ 0 = 0)◮ ∀n ∀m : (n ∗ s(m) = n ∗ m + n)
◮ Indukcja◮ P(0) ∧ ∀n : (P(n) ⇒ P(s(n))) ⇒ ∀n : P(s(n))
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Rekurencja
◮ G-ciag dla predykatu binarnego G(x , y)x = s(y) ⇒ G(x , y) – zachodzi
◮ Domena jest dobrze okreslona ze wzgledu na G jesliwszystkie G-ciagi sa skonczone
◮ Dowód rekurencyjny:◮ Wybieramy predykat G i dowodzimy, ze wszystkie G-ciagi
sa skonczone◮ Jesli x jest elementem minimalnym, to dowodzimy, ze P(x)
zachodzi◮ Dla dowolnego x zakładamy, ze P(y) zachodzi dla
wszystkich y , takich, ze G(x , y) zachodzi◮ Udowadniamy, ze P(x) zachodzi◮ Wniosek: ∀x : P(x)
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Plan prezentacji
Wstep
Twierdzenia
Prawa Rachunku Predykatów
Postscriptum
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Materiały zródłowe
◮ W.K. Grassman, J.P. Tremblay „Logic and DiscreteMathematics – A Computer Science Perspective”
◮ Slajdy zostały przygotowane za zgodadr. Michała Korzyckiego na podstawie jego wykładu.
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum
Dziekuje!
Aleksander Pohl WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu