Rabotna tetratka po MATEMATIKA - matematickitalent.mk
Transcript of Rabotna tetratka po MATEMATIKA - matematickitalent.mk
KOSTADIN TREN^EVSKI IVAN TRAJKOV GERASIM DAVIDOVSKI ZANKO MILANOV STOJKO STOJOSKI
Rabotna tetratka po
MATEMATIKA za VII oddelenie
PROSVETNO DELO AD SKOPJE, 2002
Urednik
Aleksandra Masin
Recenzenti
D-r. Jordanka Mitevska, prof. na Prirodno – matemati~ki fakultet, Skopje
Sofija Nikolovska, nast. vo OU “Nevena Georgieva – Duwa”, Skopje
Liljana Katevenovska, nast. vo OU “Grigor Prli~ev”, Skopje
PREDGOVOR
Pri izu~uvaweto na matematikata vo VII oddelenie ti pomaga u~ebnikot po matematika od koj mo`e{ da razbere{ i nau~i{ mnogu novi poimi, kako i da se potseti{ na ve}e izu~enite, da se zapoznae{ so mnogu pravila {to ti ovozmo`u-vaat da navleze{ vo tajnite na matematikata.
Rabotnata tetratka po matematika za VII oddelenie, kako sostaven del na u-~ebnikot ti pomaga da gi prodlabo~i{, pro{iri{ i proveri{ so kakvi i kolka-vi znaewa si se steknal vo nastavata. Rabotnata tetratka isto kako i u~ebnikot e podelena na ~etiri delovi sog-
lasno temite so nastavnata programa po matematika za VII oddelenie. Taa sodr`i:
Tematski ve`bi po 1 list za sekoja od nastavnite sodr`ini so po 10 zada-~i (nekade i pomalku) zavisno od obemnosta na sodr`inata.
Testovi za samoproverka za sekoja tema, {to se dadeni na krajot od sekoja tema, koi sodr`at po 10 zada~i od koi prvite 5 vo vid na pra{awa, a vtorite 5 se zada~i za re{avawe.
Prvite 5 pra{awa (zada~i, koi se re{avaat usno ili bez pogolemi pote{ko-tii), predlagame da se vrednuvaat so 5 bodovi, dodeka pak vtorite 5 zada~i od tes-tot da se vrednuvaat so 15 bodovi ili vkupno testot da se vrednuva so 100 bodovi. Za pretvorawe na bodovite od testot vo ocenki ja predlagame slednava tabe-la:
Bodovi 85 – 100 65 – 84 45 – 64 25 – 44 0 – 24
Ocenka Odli~en
(5) Mnogu
dobar (4) Dobar (3)
Dovolen (2)
Nedovolen (1)
Na krajot se izvinuvame za eventualni pe~atni gre{ki ili propusti, a istovre-meno gi zamoluvame site ~itateli – korisnici na rabotnata tetratka, da dadat dob-ronamerni zabele{ki, sugestii i predlozi, koi vnimatelno }e gi razgledame i pri-fatime, pri {to }e gi vneseme vo narednoto izdanie.
5
Tema 1 VEKTORI.
TRANSLACIJA. ROTACIJA
1. PRAVEC I NASOKA. NASO^ENA OTSE^KA - VEKTOR
1. Relacijata R: “pravata p e paralelna na ...” gi ima slednite svojstva:
a) Pravata p e ________________________________________________________ sama na sebe.
b) Ako pravata p e paralelna na pravata q, toga{ ___________________________________ .
v) Ako p II q i q II r, toga{ i ________________________________________________________ .
2. a) [to e pravec opredelen so dadena prava? b) Kolku nasoki ima daden pravec?
Odgovor: a) Mno`estvoto ____________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b) Sekoj pravec ____________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3. Kolku pravi minuvaat niz: a) edna to~ka; b) dve razli~ni to~ki. Odgovor: a) Niz edna to~ka __________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b) Niz dve razli~ni to~ki __________________________________________________
___________________________________________________________________________
4. Dadeni se pravite a, b, c i d, taka {to a b, a c, i pravata d gi se~e trite pravi. Vo vrska
so tie pravi, dadeni se nekolku iskazi. Koj od niv e to~en?
a) O1A2 O1A3 g) O2B1 O1A3
b) O1A3 O1A1 d) O2B2 O3C2
v) O1A1 O3C3 |) O1A1 O3C1
Odgovor: To~ni se slednite iskazi: ___________________________________________________
5. Koja otse~ka se vika vektor? Odgovor: Otse~kata _________________________________________________________________
__________________________________________________________________________ .
6
6. Izberi tri razli~ni to~ki A, B i C. Kolku vektori mo`at da se formiraat so po~etok vo edna, a krajot vo druga dadena to~ka? Kolku vkupno vektori obrazuvaat dadenite to~ki.
Odgovor: Mo`e da se formiraat ____________________ vektori.
Ima vkupno ____________________ vektori.
7. Dadeni se vektorite fedcba
,,,,, . Koi od niv se:
a) kolinearni; b) istonaso~eni; v) sprotivnonaso~eni?
Odgovor: a) Kolinearni se: __________, __________ . b) Istonaso~eni se: __________.
v) Sprotivnonaso~eni se: __________, __________ .
8. Vektorot a
e napolno (ednozna~no) opredelen so:
Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .
b) _______________________________________________________________________ .
v) ________________________________________________________________________ .
9. Neka to~kite M i N se sovpa|aat vo edna ramnina. a) Zapi{i vektor so po~etna to~ka M i krajna N; b) Zapi{i ja goleminata na toj vektor; v) Koja otse~ka se narekuva nulti vektor? Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .
b) _______________________________________________________________________ .
v) ________________________________________________________________________ .
7
2. EDNAKVOST NA VEKTORI 1. Na crte`ot se dadeni pove}e vektori: a) Istonaso~eni se vektorite _________________ .
b) Sprotivnonaso~eni se vektorite ___________ .
v) Ednakvi se vektorite _______________________ .
2. Koga dva vektora a
i b
se ednakvi?
Odgovor: Vektorite a
i b
se ednakvi ako:
a) _______________________________________________________________________________ .
b) ______________________________________________________________________________ .
3. Za koi dva vektori m
i n
velime deka se sprotivni?
Odgovor: Vektorite m
i n
se sprotivni ako:
a) _______________________________________________________________________ .
b) ________________________________________________________________________ .
4. Daden e vektorot MN ( MN = 3 sm). Prenesi go vektorot MN , taka {to to~kata SM .
Kolku takvi vektori ima?
Odgovor: __________________________________________________________________________ .
5. Daden e vektorot AB . Konstruiraj:
a). Vektor MNednakov na AB ,
b). Vektor EF sprotiven na AB . Odgovor: a) b)
8
6. Daden e paralelogramot ABCD (AB II CD i AD II BC) i to~kata S, presek na dijagonalite
AC i BD. a). Koi vektori se kolinearni, a ne se ednakvi? b). Koi vektori se ednakvi? v). Koi vektori se sprotivni?
Odgovor: a) _____________________________ . b) ________________________________ .
v) _____________________________ .
7. Dadena e kru`nicata k (O,r) i na nea se ozna~eni vektorite OP i MN . Konstruiraj vektor,
a) Sprotiven na vektor OP ?
b) Ednakov na vektor MN ?
8. Proveri ja to~nosta na iskazot:
Ako vektorot EFMN , toga{ i vektorot NFME . (Napravi crte`!).
9. Ako vektorite CDAB i CNAM , toga{ sleduva i vektorot DNBM . Doka`i!
Dadeno: CDAB i CNAM
Tvrdime: DNBM
Dokaz:
9
3. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA 1. Najdi go zbirot, konstruktivno, na kolinearnite vektori:
a). ba
, b). cba
Odgovor: a) b)
2. Najdi go zbirot na vektorite ABi CD , konstruktivno, po praviloto na triagolnikot.
Odgovor: CDAB _____________________
3. Konstruiraj go zbirot na nekolinearnite vektori m
, n
i p
so nadovrzuvawe i po~etna
to~ka S.
Odgovor: S
pnm _____________________
4. Na {to e ednakov zbirot na vektorite:
a) CABCAB b) DACDBCAB
Odgovor:
a) CABCAB = _______________ b) DACDBCAB = _______________
10
5. Konstruiraj go zbirot na vektorite MN i PQ po praviloto na paralelogram so po~etna
to~ka S.
Odgovor: PQMN _____________________
6. Poka`i deka za koi bilo vektori m
i n
va`i mnnm
(koristi go praviloto na pa-
ralelogram za sobirawe na vektori).
7. Neka vektorite e
i f
se sprotivni. Konstruiraj go nivniot zbir fe
.
8. Daden e trapezot ABCD (ABIICD). To~kite M i N se sredini na kracite AD i BC soodvet-
no. Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorot ABi CD (obrazlo`i go odgovorot).
Odgovor: MN _____________________
9. Daden e ~etiriagolnikot ABCD kako na crte`ot. Izrazi go vektorot:
a) ACso pomo{ na vektorite a
i b
;
b) BD so pomo{ na vektorite b
i c
;
v) AD so pomo{ na vektorite ACi c
;
g) AD so pomo{ na vektorite a
i BD ;
[to zaklu~uva{ za operacijata sobirawe vektori:
a) _________________ b) ___________________ v) ___________________ g) ________________
Odgovor: Operacijata sobirawe vektori e ____________________________________________
11
4. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ
1. Opredeli go zbirot na sprotivnonaso~enite vektori a
i b
:
a) ba
ako ba
, b) ba
ako ba
.
Odgovor: a) ba
= __________ b) ba
= __________
2. Opredeli ja, konstruktivno, razlikata na kolinearnite vektori m
i n
:
a) nm
ako nm
, b) nm
ako nm
.
Odgovor: a) nm
=__________ b) nm
= __________
3. [to zna~i vektorot b
da se odzeme od vektorot a
?
Odgovor: Da se odzeme vektorot b
od vektorot a
_______________________________________
___________________________________________________________________________
4. Dadeni se nekolinearnite vektori ABi CD . Konstruiraj ja razlikata CDAB so po~etna
to~ka S.
Odgovor: CDAB =________
5. Neka n
e proizvolen vektor. Opredeli ja razlikata:
a) on
b) nn
v) mn
kade nm
12
6. Daden e paralelogramot ABCD (ABIICD i ADIIBC) i S prese~na to~ka na dijagonalite AC i
BD. Razlikata na vektorite e:
a) ADAB ______________
b) BDBC _______________
v) BCAB _______________
g) SCAS _______________
7. Vo koi slu~ai va`i ravenstvoto:
a) baba
b) baba
v) baba
Odgovor: a) _________________________________________________________________________
b) ________________________________________________________________________
v) _________________________________________________________________________
8. Neka a
e proizvolen vektor. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:
a) am
3 b) an
4
3
9. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:
a) ba
32 b) ba
23 ako a
i b
se dadeni vektori.
13
5. TRANSLACIJA 1. Neka vagon~eto se dvi`i pravoliniski po
{inite na prugata, pri {to vo sekoja na-
redna polo`ba ostanuva paralelno so pr-
vobitnata i pritoa formata i goleminata
ostanuvaat postojani. Vakvoto dvi`ewe
se vika paralelno pomestuvawe ili
______________________________________
2. Koe preslikuvawe se vika translacija? Odgovor: Translacija za vektorot a
se vika
_____________________________________________________________________________________
3. So pomo{ na translacija nacrtaj:
a) prava a paralelna na dadena prava p, b) prava b paralelna na dadena prava p i minuva niz dadena to~ka B.
4. a) Pri translacija a , vektorot a
se vika __________________________________________
to~kata MM1 a e _________________________________ na originalot ________________
b) Translacijata a
se narekuva _________________________ za translacijata _________
5. Dadeni se nekolinearnite to~ki A, B i C. Konstruiraj gi slikite na ovie to~ki pri
translacija AB
.
14
6. Dadena e pravata p i to~kite M, N, P i Q od taa prava. Konstruiraj gi slikite na tie to~-
ki pri translacijaPN
.
Odgovor: PN
(M) = _________; PN
(N) = _________; PN
(P) = _________; PN
(Q) = _________.
7. Dadena e otse~kata MN i vektorot n
. Konstruiraj ja slikata M1N1 na otse~kata MN pri
translacija n .
Odgovor: n (MN) = _________
8. Konstruiraj ja slikata na ABC pri translacija za vektorot a
.
Odgovor: a (ABC) = _________
9. Neka a
i b
se dva nekolinearni vektora i M dadena to~ka. Da se konstruiraat to~kite
M1 = ba
(M) i M2 =
ab
(M). Dali to~kite M1 i M2 se sovpa|aat?
Odgovor: To~kite M1 i M2 __________________________________________________________ .
15
6. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA 1. Osnovni svojstva na translacijata a
se:
a) Translacijata go zapazuva ________________________________________________________
b) Ako to~kata M le`i me|u to~kite A i B, toga{ i ___________________________________
v) Sekoja figura F pri translacija a se preslikuva vo _______________________________
2. Izvr{i translacija za vektorot a
na otse~kata MN. Ako a1M i NN1 a
, to-
ga{ sporedi gi otse~kite MN i M1N1.
Odgovor: MN __________________ 11NM
3. Dadena e otse~kata AB i to~kata P sredina na AB. Konstruiraj ja slikata na AB pri
translacija n . Sporedi go redosledot na to~kite A, M i B i nivnite sliki.
Odgovor: Redosledot na slikite od to~kite A, M i B e ______________________________
redosledot na to~kite A, M i B.
4. Daden e ABC i vektor a
. Konstruiraj ja slikata na ABC pri translacija a . [to mo-
`e{ da zaklu~i{ za ABC i negovata slika pri translacija a .
Odgovor: ABC i negovata slika ________________________________________________________
16
5. Nacrtaj proizvolen ostar agol, a potoa konstruiraj ja slikata pri translacija za dade-
niot vektor a
.
6. Konstruiraj ja slikata na pravata p pri translacija za vektorot a
, ako a p.
Odgovor: Pri ovaa translacija pravata p se preslikuva vo_______________________________
7. Dadeni se paralelnite pravi p i q i to~kite P i Q taka {to pP i qQ . Izvr{i trans-
lacija na pravite p i q za vektorot PQ.
Odgovor: Pravata p pri
PQ se preslikuva vo ____________, a pravata q vo _____________ .
8. Konstruiraj ja slikata na pravoagolnikot ABCD pri translacija za vektorot
DCADx
.
9. Izvr{i translacija na kru`nicata k (O,r = 2 sm) za vektorot ОPа
, P to~ka od kru`-
nicata k.
17
7. PRIMENA NA TRANSLACIJA 1. Izvr{i translacija na kru`nicata k (O,r = 2,5 sm) pri translacija za vektor x
so dol-
`ina rx 2
, pravec i nasoka po tvoj izbor.
2. Dadeni se pravata a, b i vektorot n
. Konstruiraj ja slikata M1 na pravata b pri transla-
cija n na to~ka M od pravata a.
3. Dadeni se dva agla so zaemno paralelni i sprotivnonaso~eni kraci. So pomo{ na trans-
lacija doka`i deka tie se ednakvi.
Dadeno: OAO1A1 i OBO1B1
Tvrdime: AOB A1O1B1
Dokaz: 4. So pomo{ na translacija, doka`i deka sosednite agli kaj rombot se suplementni.
18
5. Konstruiraj kru`nica koja minuva niz dadena to~ka P i dopira dve paralelni pravi p i q.
6. Ako pravite a, b se zaemno normalni i ako a1= n (a) i b1= n
(b), toga{ i pravite a1 i b1 se,
isto taka, zaemno normalni. Doka`i!
Dadeno: a b i bbaa nn 11 ,
Tvrdime: a1 b1
Dokaz:
7. Konstruiraj ramnokrak trapez ABCD (ABCD), ako se dadeni osnovite a, b i krakot c.
Dadeno Skica Konstrukcija
8. Dadena e kru`nica k (0,r), pravata p i vektorot a
. Konstruiraj ja to~kata M1 na pravata p,
slika na to~kata M {to le`i na kru`nicata k pri translacijata a .
19
8. NASO^EN AGOL. ROTACIJA. 1. Polupravata OA, vrtej}i se okolu to~ka-
ta O zastanuva vo polo`bite OA1, OA2, OA3 i OA4, kako na crte`ot. Kako gi nare-kuvame aglite: AOA1, AOA2, AOA3 i AOA4.
Odgovor: Aglite AOA1, AOA2, AOA3 i AOA4 se vikaat ___________________________________
i pritoa AOA1 i AOA2 se _______________________________, a aglite AOA3 i
AOA4 se ______________________________
2. Na crte`ot dadeni se pove}e naso~eni agli: a) Koi od niv se pozitivni? b) Koi od niv se negativni? Odgovor: a) Pozitivni agli se ___________________________________________________
b) Negativni agli se ___________________________________________________
3. Za kolku stepeni e zavrten pravoagolni-kot ABCD okolu to~kata S, za da se dobie pravoagolnikot A1B1C1D1. (Agolot izmeri go so aglomer).
Odgovor: Agolot na vrtewe (rotacija) e ______________ i toj iznesuva ________________.
Centar na rotacija e to~kata ________________.
4. Koe preslikuvawe se vika rotacija (vrtewe)?
Odgovor: Rotacija so centar O i agol (ili Ro, ) se vika ____________________________
___________________________________________________________________________________
20
5. Dadeni se to~kite A i B i agolot =30o. Konstruiraj ja slikata:
a) na to~kata A pri rotacija RB,
b) na to~kata B pri rotacija RA,
a) b)
6. Dadeni se to~kite O i M. Konstruiraj ja slikata M1 na to~kata M pri rotacija Ro, ako:
a) = 60o i b) = -300o
a) b)
7. Odredi go agolot na rotacija so centart O, taka {to to~kata M e centralno simetri~na
so nejzinata slika M1 vo odnos na centarot O.
Odgovor: Agolot e ______________________________.
8. Pri koja rotacija kru`nicata se preslikuva sama vrz sebe. Poka`i! 9. Dadeni se to~kite O i S. Konstruiraj ja slikata S1 na to~kata S pri rotacija Ro,180
o, a
potoa slikata S2 na to~kata S1 pri rotacija Ro,-180o. [to mo`e{ da zaklu~i{?
Odgovor:
Pri ovaa rotacija mo`e da se zaklu~i deka ______________________________________________
______________________________________________________________________________________
21
9. SVOJSTVA NA ROTACIJATA 1. Koi svojstva gi ima rotacijata Ro,?
Rotacijata Ro, gi ima slednite svojstva:
a) Pri rotacijata Ro, za sekoi dve to~ki A i B i nivnite sliki __________________ va`i
ravenstvoto ______________________________________________________________________ .
b) Ako to~kata M e me|u to~kite A i B, toga{ i slikata M1 = Ro, (M) e _____________
slikite A1 i B1 na to~kite A i B.
v) Pri rotacijata Ro, sekoja figura F se preslikuva vo _____________________________ .
2. Dadena e otse~kata MN i to~kata O. Konstruiraj ja slikata M1N1 na MN pri rotacija Ro,
ako = -120o. Izmeri gi dol`inite na otse~kite MN i M1N1 i zapi{i {to zabele`uva{.
Odgovor: ____________________________________________________________________________ .
3. Dadeni se kolinearnite to~ki A, B, C, kade B e me|u to~kite A i C i proizvolna to~ka O.
a) Konstruiraj gi slikite na ovie to~ki pri rotacija Ro,, ako = 60o.
b) Proveri ja to~nosta 111111 CACBBA , ako A1, B1 i C1 se sliki na to~kite A, B i C
soodvetno pri rotacijata Ro,.
4. Daden e ABC i to~kata O nadvor od ABC. Konstruiraj ja slikata A1B1C1 na ABC pri
rotacija Ro,. [to mo`e{ da zaklu~i{ za ABC i negovata slika A1B1C1.
Odgovor: ABC _________________ A1B1C1
22
5. Pri sekoja Ro, va`i:
a) Pravata se preslikuva vo _______________________________________________________ .
b) Otse~kata se preslikuva vo _____________________________________________________ .
v) Agolot se preslikuva vo ________________________________________________________ .
g) Kru`nicata se preslikuva vo ____________________________________________________ .
d) Mnoguagolnikot se preslikuva vo ________________________________________________ .
6. Dadeni se pravata m, to~kata M ( M m) i agolot . Konstruiraj ja slikata m1 na pravata
m pri rotacija Rm .
7. Dadeni se zaemnonormalnite pravi p i q, to~kata O i agolot = 120O. Konstruiraj gi sli-
kite p1, q1 na pravite p i q pri rotacija Ro,. [to mo`e{ da zaklu~i{ za pravite p1 i q1.
Odgovor: Pravite p1, q1 se ____________________________________ 8. Dadeni se to~kite M, N, P, Q, taka {to, sekoi tri od niv se nekolinearni.
a) Izvr{i rotacija RM, ako = 45o
b) Izvr{i rotacija RP,, ako = NPQ.
23
10. PRIMENA NA ROTACIJATA
1. Dadena e kru`nica k (O,r) i tetivite MN i PQ, takvi {to PQMN . So pomo{ na rotacija
doka`i deka centralnite agli MON i POQ se ednakvi.
Dadeno: k(O,r); PQMN
Tvrdime: MON POQ
Dokaz:
2. To~kata S e sredina na otse~kata AB. Nad otse~kite AS i SB od ista strana konstruiraj
ramnostrani triagolnici ASM i BSN. Doka`i, so pomo{ na rotacija, deka SMN e ram-
nostran triagolnik.
Dadeno: SA=SB; ASM i BSN –
ramnostran triagolnik
Tvrdime: SMN – ramnostran triagolnik
Dokaz:
3. To~kite M i M1 dobieni se soodvetno pri rotacija Ro,. Odredi go centarot O i agolot na
rotacijata , ako se znae deka centarot O le`i na prava koja minuva niz dadena to~ka M.
Odgovor: Centarot O le`i na ___________, a agolot = _____________.
4. Na stranite AB i BC od pravoagolniot triagolnik ASM (C = 90o), konstruirani se ram-
nostrani triagolnici ABM i BCN, taka {to ABM e nadvor, a BCN vo ABC. Doka`i,
so pomo{ na rotacija, deka ACMN .
Dokaz:
24
5. Konstruiraj ramnostran triagolnik ABC i opi{i kru`nica okolu nego, so centar vo
to~ka O. So pomo{ na rotacijata Ro,120o, odredi ja slikata A1B1C1 na ABC. Dali dobie-
niot {estagolnik AA1BB1CC1 e centralno i osno simetri~en. Odgovor: [estagolnik AA1BB1CC1 e ____________________________________________. 6. So pomo{ na rotacija konstruiraj kvadrat, taka {to tri negovi temiwa da le`at na tri
dadeni paralelni pravi a, b i c.
(pomo{: neka temeto B b i BP b,
izvr{i rotacija Ro,90o i vo taa to~-
ka povle~i normala koja pravata c ja presekuva vo to~ka C. (To~kata C e teme, a otse~kata BC – strana na ba-raniot kvadrat). Prodol`i sam.
7. Dadeni se pravite p, q i otse~kata AB. Konstruiraj otse~ka CD paralelna i ednakva na
AB, taka {to C p i D q.
8. Dadeni se dva ostri agla so zaemnonormalni kraci. So pomo{ na rotacija, doka`i deka
tie se skladni.
Dadeno: O1A1 OA i O1B1 OB
Tvrdime: AOB A1O1B1 (ako i dvata se ostri) Dokaz:
25
TEST - 1 1. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
a) Mno`estvoto P od site pravi {to se ___________________________________ so pravata a
se vika ____________________________________ zadaden so pravata a.
b) Dva vektora se sprotivni samo, ako _______________________________________________ 2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:
a) CBAC b) CBDCAD
Odgovor: a) CBAC = ________________ b) CBDCAD = ________________
3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:
a) ADAB b) ABAC
Odgovor: a) ADAB =________________ b) ABAC = ________________
4. Vo paralelogramot ADPN vektorite n
CDBCAB i m
MNAM .
Izrazi go vektorot AP so pomo{ na vektorite m
i n
.
Odgovor: AP= _________________________________________
5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
a) Pri translacija a pravata se preslikuva _________________________________________
b) Agolot e negativno naso~en (negativen), ako _____________________________________
___________________________________________________________________________________
6. Daden e trapezot ABCD (AB CD), to~kite M i N sredini na kracite AD i BC, soodvetno
i MP BC. Izrazi go zbirot MPMN so pomo{ na vektorite AB , DCi CB .
Odgovor: MPMN = ___________________________________
26
7. Dadeni se nekolinearnite vektori m
i n
.
Konstruiraj go vektorot:
a) m
+ n
b) m
- n
Odgovor:
a) m
+ n
= ________________
b) m
- n
= ________________
8. Dadeni se pravite p, q i vektorot a
. Konstruiraj otse~ka AB, taka {to A p, B q i
a
AB .
9. Nacrtaj kru`nica k (O,r = 2,5 cm), a potoa preslikaj ja so pomo{ na rotacijata RS,90o, ako
centarot S e nadvor od kru`nicata k.
10. Nacrtaj dva agla so zaemnonormalni kraci od koi edniot da bide ostar, a drugiot tap. Doka`i, so pomo{ na rotacija, deka tie agli se suplementni.
27
TEST - 2 1. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
a) Dve polupravi se istonaso~eni, ako le`at na edna prava i imaat _____________________
______________________ili le`at na razli~ni paralelni pravi, ako ___________________
___________________________________________________________________________________
b) Dva vektora se ednakvi, ako ______________________________________________________
2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:
a) CBAC b) DADC
Odgovor: a) CBAC = ________________ b) DADC = ________________
3. Spored crte`ot opredeli go vektorot:
a) ABAC b) ACAD
Odgovor: a) ABAC = ________________ b) ACAD = ________________
4. Vo ABC vektorite a
NBMNAM i
b
PCAP . Izrazi go vektorot CB so
pomo{ na vektorite a
i b
.
Odgovor: CB = ___________________________________
5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
a) Pri translacijata a agolot se preslikuva vo _____________________________________
b) Ako pri rotacijata Ro,, to~kata M le`i me|u to~kite A i B, toga{ i slikata
M1=Ro,(M) le`i __________________________________________________________________
6. Neka m
, n
i p
se tri proizvolni vektori. Poka`i ja konstruktivno to~nosta na ravenst-
voto pnmpnm
- asocijativniot zakon.
28
7. Dadeni se kolinearnite vektori a
i b
.
Konstruiraj go vektorot:
a) ba
b) ba
Odgovor:
a) ba
= ________________
b) ba
= ________________
8. Nacrtaj kru`nica k (O,r). So pomo{ na translacija m preslikaj ja kru`nicata, ako
OP2 m
i P to~ka od kru`nicata.
9. Nacrtaj otse~ka AB= 4 cm. So pomo{ na rotacijata Ro, preslikaj ja otse~kata AB , ako
centarot O e sredina na ABi agolot = 75o .
10. Nad stranite AB i AC od ABC konstruiran e ramnostran triagolnik ABM od nadvo-
re{nata strana i ACN od vnatre{nata strana, na ABC. So pomo{ na rotacija doka`i
deka otse~kata BCMN .
Dadeno: AMBMAB i NCANAC
Tvrdime: BCMN
Dokaz:
29
TEST - 3 1. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
a) Podredeniot par to~ki (A,B) go opredeluva ________________________________________
b) Vektorite m
i n
se kolinearni, ako ______________________________________________
2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) BDAB b) CDBC
Odgovor: a) BDAB = ________________ b) CDBC = ________________
3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) MQMN b) QPMN
Odgovor: a) MQMN = ________________ b) QPMN = ________________
4. Daden e trapezot ABCD (ABCD). Neka M i N
se sredini na kracite AD i BC, soodvetno.
Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorite
a
AB i b
DC .
Odgovor: MN = ___________________________________
5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -
a) Translacija za vektorot a
se vika ____________________________pri koe na sekoja
to~ka M i se pridru`uva ___________________________________________________________
b) Pri rotacijata Ro, kru`nicata se preslikuva vo _________________________________
6. Otse~kite AA1, BB1 i CC1 se medijani na ABC.
Izrazi go vektorot 111 CCBBAA so pomo{
na vektorite bac
CA,BC,AB .
Odgovor: 111 CCBBAA = _______________________
30
7. Dadeni se nekolinearnite vektori a
i b
.
Opredeli go konstruktivno vektorot:
a) ba
b) ba
Odgovor:
a) ba
= ________________
b) ba
= ________________
8. Preslikaj go ramnokrakiot ABC so pomo{ na
translacijata a , kade vektorot AMa
i M e
sredi{na to~ka na stranata BC od ABC.
9. Daden e pravoagolnikot ABCD i to~kata O kako presek na dijagonalite AC i BD. Izvr{i
rotacija Ro, , ako = ABC od
pravoagolnikot ABCD.
10. Nad stranite AB i CD od paralelogramot ABCD konstruirani se kvadratite ABB1A1 i
DCC1D1, taka {to vektorite 1AA i 1DD se istonaso~ni. Ako prese~nite to~ki od dijago-
nalite na tie kvadrati se M i N, toga{ so pomo{ na rotacija doka`i deka BCMN .
Dadeno: ABB1A1 i DCC1D1
M=AB1BA1; N=DC1CD1
Tvrdime: BCMN
Dokaz:
31
TEST - 4 1. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
a) Vektorot e napolno opredelen so _________________________________________________
b) Niz sekoja to~ka od ramninata _______________________________________ daden pravec.
2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) BCAB b) MNAP
Odgovor: a) BCAB = ________________ b) MNAP = ________________
3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) ADAB b). DCAB
Odgovor: a) ADAB = ________________ b) DCAB = ________________
4. Dadena e otse~kata MN, to~kata P sredina na
MN i to~kata S AB. Izrazi go vektorot SP so
pomo{ na vektorot SM i SN .
Odgovor: SP = ___________________________________
5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
a) Translacijata a gi ima slednite svojstva:
- __________________________________________________________________________________
- __________________________________________________________________________________
- __________________________________________________________________________________
b) Pri rotacija Ro,, otse~kata se preslikuva vo _____________________________________
6. Vo ABC, to~kite M, N i P se sredini na
stranite AB, BC i AC, soodvetno.
Izrazi go vektorot PMPN so vektorite ABi
CB .
Odgovor: PMPN = _____________________________
32
7. Dadeni se nekolinearnite vektori a
i b
.
Konstruiraj go vektorot:
a) ba
b) ba
Odgovor:
a) ba
= ________________
b) ba
= ________________
8. So pomo{ na translacija a preslikaj go
rombot ABCD za vektorot ADABa
.
9. Konstruiraj ramnostran triagolnik ABC so strana 3 cm. So pomo{ na rotacijata Ro,
preslikaj go ABC so centar vo to~ka O koja se sovpa|a so temeto B i agol = 120o.
Dadeno Skica Konstrukcija
10. So pomo{ na translacija konstruiraj trapez ABCD, ako se dadeni site strani, t.e. aAB ,
dBC , bCD i cAD
Dadeno Skica Konstrukcija
33
TEST - 5 1. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
a). Za sekoi dva vektora va`i ____________________________ zakon, a za sekoi tri vektori
va`i ____________________________ zakon.
b). Proizvod na nenulti vektor a
so brojot K 0 se vika ______________________________
2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot
a) BCAB b) CDBCAB
Odgovor: a) BCAB = ________________ b) CDBCAB = ________________
3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot -
a) ABAC b) ACAD
Odgovor: a) ABAC = ________________ b) ACAD = ________________
4. Po te~enieto na edna reka se dvi`i brod so brzina 42 km/h, a sproti te~enieto na rekata
so brzina 28 km/h. Kolkava e brzinata samo na brodot, a kolkava na vodata na rekata.
Odgovor: Brzinata na brodot e _______________________, a na vodata e _____________________
5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -
a). Translacijata za vektorot - a
, t.e. a
e _______________________ na translacija a .
b). Rotacijata Ro, gi ima slednite svojstva
1. _________________________________________________________________________________
2. _________________________________________________________________________________
3. _________________________________________________________________________________
6. Neka vektorot CDAB i CTAS . Doka`i deka TDSB .
Dadeno: CDAB i CTAS
Tvrdime: TDSB
Dokaz:
34
7. Dadeni se nekolinearnite vektori a
, b
i c
.
Odredi go konstruktivno vektorot:
a) cba
b) ca
Odgovor:
a) cba
= ______________________
b) ca
= ______________________
8. Dadeni se dva agla so zaemnoparalelni kraci od koi edniot par kraci se istonaso~eni, a
drugiot sprotivnonaso~eni. Doka`i so pomo{ na translacija deka tie agli se suplement-ni.
Dadeno: OAO1A1 i OBO1B1
Tvrdime: AOB + A1O1B1 = 180o
Dokaz:
9. Daden e trapezot ABCD (ABCD). Izvr{i trans-
lacija na trapezot za vektorot DCADx
.
10. Dadeni se dve skladni kru`nici k1 (S1,r) i k2 (S2,r) koi se se~at vo to~kite M i N. Odredi go
centarot i agolot na rotacija R, taka {to R(k1) = k2. Odgovor:
Centar na rotacijata e to~kata _________,
a agolot na rotacija e __________________
35
Tema 2 STEPENI.
KVADRATEN KOREN. POLINOMI
1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ.
1. Zapi{i gi najkratko slednive izrazi:
a) 444 i 444 b) xxxx i xxxx
v) 22222
aaaaa
g) mno`iteli10
xxxx 2.....222
2. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednite stepeni:
a) 3
4 b) 4
2x v)
2
4
3 g)
53a
3. Popolni ja tablicava:
Stepen 32 2
4
2
42x
5
2
5
3
01x 73
Osnova 3 1,3 3n 3
2
Eksponent 1 0 5 4
4. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 32 23 ; b) 52 25 ; v) 32 32 xx ; za 2,1,0,1,2 x
36
5. Odredi go znakot na brojot:
a) 201 ; b) 15
1 ; v) 33 ; g) 1004 .
6. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 10 broevite:
a) 1000; b) 100 000; v) 1500; g) 74 000 000.
7. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 0,1 broevite:
a) 0,001; b) 0,000001; v) 0,0000001; g) 0,1.
8. Presmetaj ja vrednosta na sekoj od izrazite:
a)
64
1449:7104,0 343 b) 332 104:8200
37
2. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI. STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN
1. Izvr{i go mno`eweto na stepenite:
a) 442 b) 52
33 v) 34 xxx g) 20
222 aaa
2. Za koj broj n e to~no tvrdeweto:
a) 72 222 n ; b) nxxxx 32 .
3. Poka`i deka:
a) izrazot 45 1212 e deliv so 11; b) izrazot 1012 55 e deliv so 24.
4. Presmetaj gi slednive koli~nici:
a) 24 3:3 b)
310
5
4:
5
4 v) 1230 : aa g)
553:3 xx
5. Presmetaj:
a) 325 : xxx ; b) 3210 : yyy ; v)
13
238
a
aaa ; g)
5
555 054 .
38
6. Izrazi go stepenuvaweto:
a) 24xy ; b) 3axy ; v)
4
23
2
1
xa ; g)
233
5
2
yx.
7. Stepenuvaj gi dropkite:
a)
3
4
3
; b)
2
2
a; v)
3
12
7
; g)
5
35
43
3
2
ya
ya.
8. Zapi{i go izrazot vo vid na stepen so osnova a:
a) 23a ; b) 4224 aa ; v) 283 aa ; g)
7
233
a
aaa .
9. Presmetaj ja vrednosta na izrazot 10
325
x
xx za 2,4x .
39
3. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ. POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ
1. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednive stepeni:
a) 24 ; b) 23 ; v) 25,0 ; g)
2
7
4
.
2. Zapi{i gi proizvodite vo vid na kvadrat (stepen) na broj:
a) 33 ; b) 44 ; v) 3
2
3
2 ; g) 00 .
3. Popolni ja tablicata:
x 2
1
3
1 1 1 0 4,0
7
3 01,0 10 3 2
2x
4. Presmetaj go kvadratot na broevite: -6, 6, -2, -10, 7, -5. 5. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 2234 ; b) 1434
2 ; v) 0370 22
; g)
22
4
1
3
1
.
40
6. Re{i gi ravenkite:
a) 492 a ; b) 642 x ; v) 12 a ; g) .1002 x
7. Presmetaj ja vrednosta na kvadratniot koren:
a) 9 ; b) 144 ; v) 25,6 ; g) 225
169.
8. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 254 ; b) 1002 ; v) 01,010 ; g) 5
625.
9. Odredi ja vrednosta na izrazot:
a) 26 ; b)
2
7
4
; v) 25,0100 ; g) 04,0:64 .
10. Uprosti go izrazot:
a) 264a ; b) 2100x ; v) 2
2
64
25
b
a; g) 22 81:36 yx .
41
4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ 5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ. 6. REALNI BROEVI. 7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA.
1. So primena na poka`anata postapka za odreduvawe na kvadraten koren presmetaj:
a) 256 ; b) 3600 ; v) 25,12 ; g) 04,27 .
2. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja pribli`nata vrednost na broevite na dve
decimali:
a) 28 ; b) 280 ; v) 5,12 ; g) 8,47 .
3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 25,725,664 ; b) 26,025,23253252 .
4. Odredi ja vrednosta na:
a) 2 ; b) 3 ; v) 10 ; g) 200 so to~nost od 0,01.
5. Na brojnata oska pretstavi gi iracionalnite broevi:
a) 5 ; b) 7 ; v) 6 ; g) 13 .
42
6. Re{i gi ravenkite:
a) 102 x ; b) 252 x ; v) 502 a ; g) 1002 b .
7. Dadeno e mno`estvoto:
5,2,3,3
1,2,3,3R . Zapi{i gi mno`estvata tabelarno:
RA xx i Qx i RB xx i Jx
8. Odredi gi decimalnite zapisi na broevite ;10
15;2;
100
141 a potoa sredi gi.
9. Na brojnata oska xO , pretstavi gi realnite broevi:
a) 3
1; b) 17 ; v) 3,75; g) 10 .
10. Na brojnata oska na crte`ot pretstavi gi to~kite:
A(-2), B(+4), C(-3,5), D( 2 ), E( 2 ) i F( 21 )
43
8. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ (BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI)
1. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:
a) 2423 ; b) 222
4:820
; v)
1,0
64:8)4( 22 ; g) 24:86532 224 .
2. Odredi koj od dadenite brojni izrazi nemaat (brojna vrednost) smisla i zo{to:
a)
4
1205
5,0314
; b)
3557
168
; v)
112
1001,0103
2
; g)
42
2
24
11417
.
3. Odredi ja brojnata vrednost na algebarskiot izraz:
a) 232 3 xx za 1x ; b) 2
2
3
5
ab
ba
za 1a i 3b .
4. Za racionalniot izraz x
xx
3
1)(A
3
, odredi )2(A i )0(A
44
5. Na polesen na~in opredeli ja vrednosta na izrazot:
a)
3
5
34
aa
aaza 2a ; b)
2
3
54
b
bbza 2b ; v)
45
234
xx
xxx
za 1x .
6. Daden e izrazot P1
222
2
a
aa. Odredi ja negovata brojna vrednost za 24,1,0,1,2 a .
Za koi od dadenite vrednosti na promenlivata a izrazot ne e definiran.
7. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: yxx 33 , za:
a) 1,2 yx ; b) 0,2 yx ; v) 1,0 yx ; g) 3
1x .2y
8. Popolni ja tablicata na vrednosta na izrazite:
),( ba ba ab ba 2 ab 2
)2,1(
)1,3(
)4,2(
)5,1;2
1(
[to zabele`uva{? Kakvi se vrednosite na izrazite ba i ab t.e. ba 2 i ab 2 za ist
par vrednosti na promenlivite a i b .
45
9. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI
1. Dovedi gi vo normalen vid monomite:
a) 42 aa ; b) )6(5,0 223 baab ; v) )5
22(
4
1 2 aa ; g) )2
1(10
5
2 32 yyxx .
2. Odredi ja glavnata vrednost i koeficientot na monomot:
a) )2(5 4yx ; b) )4
3(
3
2 32 aba ; v) 34axy ; g) 42 32 aab
3. Napi{i monomi so:
a) glavna vrednost 2xy i koeficient 2
1 ; b) koeficient a
3
1i glavna vrednost 23 yx
v) koeficient 1 i glavna vrednost yx3 ; g) glavna vrednost 23ba i koeficient 1 .
4. Presmetaj ja brojnata vrednost na monomot:
a) 324 ba za 1a i 2b ; b) yx2
2
1 za
2
1x i 4y .
46
5. Popolni ja tablicata:
monom sprotiven monom sli~en monom
23axy
bxy3
1
425,0 yx
axy2
14
6. Odredi koi, od dadenive monomi se sli~ni:
a) 32xy ; b) xy3 ; v) xy3
1 ; g) 32,0 xy .
7. Odredi koi od slednive monomi se sprotivni:
a) ab3
1 ; b) 322,0 ba ; v) ab
3
1; g) ab2,0 .
47
10. BINOM. TRINOM. POLINOM. 11. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT.
1. Od monomite: ;4ax ,2 2xa ,7ay ,2x ,8 ,3x formuliraj
a) 1 binom; b) 1 trinom; v) 1 polinom.
2. Dovedi go polinomot vo normalen vid:
a) )3(4)3(2 22 yxyxyx ; b) 322232 4,23,45,25,1 yaayayya .
3. Pretstavi gi vo vid na polinom broevite:
a) xy ; b) yx ; v) xyz ; g) abcd.
4. Odredi ja definicionata oblast na polinomot:
a) 322 23 aa ; b) 23
1 2 xyx ; v) 5
134 ba.
5. Svedi go polinomot vo normalen vid:
a) bababaaba 222 53473 ; b) 3333
10
3
5
1yxyx + baba 22
2
1
4
3 .
48
6. Odredi ja brojnata vrednost na polinomot:
a) 532 2 aa za 5a ; b) yxxyxy 234 22 za 2x i 5y
7. Odredi go stepenot na monomot:
a) 2
3
12 xy ; b) 2a ; v) 232 yx ; g)
5
14 .
8. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:
a) 122 23 xxx ; b) yxyxxy 3222 3,45,12,0 .
9. Odredi go stepenot na sekoj od dadenite polinomi so promenliva x i y
a) 753 6423 xyyy ; b) xxyyxx 426,45,0 2536 .
10. Podredi gi spored stepenot na promenlivata x , po~nuvaj}i od najvisokiot stepen poli-
nomite:
a) 32543 352 xxxx ; b) 7543 5,02,112 xyxyx
49
12. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI 13. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI
1. Odredi go zbirot na monomite:
a) 22xy , 2xy , 23xy , 25,0 xy ; b) 324 yx , xy2 , xyyx 2,2
1 22
2. Od monomot 233 yx odzemi go monomot:
a) 235 yx ; b) 233 yx ; v) 233 yx ; g) 23 yx
3. Odredi go monomot x za koj e to~no ravenstvoto:
a) 2323
4
1
2
13 babax ; b) baxba 22 2,35,4 .
4. Odredi momom {to e ednakov na izrazot:
a) 2222 25,535,4 xyxyxyxy ; b) 222
3
1
4
1bababa .
5. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:
a) 122 23 xxx ; b) yxyxxy 3222 3,45,12,0
50
6. Transformiraj go izrazot vo polimom od normalen vid:
a) );3()22( 2 xxx b) )4()4( 33 aaaa .
7. Uprosti go izrazot:
a) )22()2( 2323 xxxxx ; b) )342()342( 22 xxxx .
8. Re{i gi ravenkite:
a) a24 7)43( a ; b) 100)107()34( xx .
9. Doka`i deka vrednosta na izrazot:
)152()235()123( bababa ne zavisi od a i b .
10. Pretstavi go trinomot:
a) 242 2 aa ; b) 233 2 xx vo vid na zbir od dva binoma.
51
14. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI 1. Transformiraj go vo normalen vid, polinomot:
a) )1()12( 22 xxxx b) )32()34( 2222 abbaabba
2. Dadeni se polinomite: A ,132 2 xx B 122 xx , i C 32 x .
Poka`i deka va`at zakonite:
a) ABBA ; b) )CB(AC)BA(
3. Odredi polinom A , koj e ednakov na zbirot na polinomite:
a) xyxyyx 23 42 i xyxyyx 23 2 ; b) 33
1
4
1 2 abba i 54
1
2
1 2 abba
4. Odredi polinom M , koj e ednakov na razlikata na polinomite:
a) 224 xx i 423 2 xx ; b) 52 23 xxax i 54 23 xxax
52
5. Za polinomite: A 132 23 xxx , B 422 23 xxx i C 522 23 xxx odredi:
a) CBA ; b) )CB(A ; v) )CB(A ; g) )CB(A .
6. Poka`i deka e to~no ravenstvoto:
a) 0)432()423( 22 xxxx ; b) 3232233223 8,4)4,23()4,23( xaxaxaxaxa
7. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot )5()54( xx e ednakva na 0.
8. Doka`i deka zbirot od koj bilo dvocifren broj i brojot napi{an so isti cifri, no po
obraten red e deliv so 11.
53
15. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI 16. STEPENUVAWE NA MONOMI 17. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM
1. Presmetaj go proizvodot na monomite:
a) 34 aa ; b) )3(4 2 abab ; v) )3(2 2 xx ; g) )5,0()4( 22 xxy .
2. Presmetaj:
a) xyyx4
34 24 ; b) )4(6 22 ababx ; v) )5,0()6,0( 2332 yxyx .
3. Odredi gi slednive proizvodi:
a) nn xyyx 33 2 ; b) nnn yxyx 2221
5
4
4
1 .
4. Izvr{i go nazna~enoto delewe na monomite:
a) )6(:24 45 xyccyx ; b) yxyx 424 12,0:6,3 ; v) 222244
2
11:
3
11 yxayxa .
5. Presmetaj:
a) )5,0(:4,0 333457 zyxzyx ; b) )2
1(:
3
2 23234 xyayxa .
54
6. Stepenuvaj gi monomite:
a) 2)2( x ; b) 23)3( abx ; v) 32 )( zxy ; g) 342 )2
1( ba
7. Presmetaj:
a) 2)4( xy ; b) 3222 )2(4
3abba ; v) )()4( 2232 xyyx .
8. Presmetaj:
a) xyx 2)32( ; b) )2()346( 2 abaabab .
9. Odredi go polinomot P , taka {to:
a) 222 P)1()1( aaaaa ; b) )12(3)2(P 22 xxxxx .
10. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot:
a) 6)2(3 x e ednakva na 10; b) )2(3)1(2 xx e ednakva na 8.
55
18. MNO@EWE NA POLINOMI 1. Presmetaj gi proizvodite:
a) )5()12( aa ; b) )33()1( 2 xxx ; v) )53()24( yxyxxy .
2. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )2()4()2()2()3()1( xxxxxx ; b) )13(4)1()12( 22 xxxxxx .
3. Dadeni se polinomite: 1A x , 23B x , 32C x . Presmetaj:
a) CA ; b) CB ; v) CBA ; g) B)(A)(C .
4. Pretstavi go, kako polinom vo normalen vid, izrazot:
a) 10)4()32()23)(126( 22 xaaaa ; b) )1()1( 234 aaaaa .
56
5. Poka`i deka ravenstvoto e to~no:
2)1)(1()1()1( 22 aaaaaa .
6. Odredi ja vrednosta na x za koja izrazot:
)23)(32(6 2 xxx ima vrednost 7.
7. Doka`i deka za Na izrazot:
)5)(11()5( aaaa e deliv so 11.
8. Odredi )(C)(B)(A xxx ako 1)12()(A xxx .
12)1()(B 2 xxx i 2)(C2 xxx
9. Doka`i deka, pri sekoja vrednost na n, izrazot
)23(3)12(5)2()3( 2 nnnnn e sekoga{ pozitiven.
57
19. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE 1. Presmetaj gi proizvodite:
a) )2)(2( aa ; b) )12)(12( xx ; v) )53)(35( xyyx .
2. Uprosti go izrazot:
a) ),())(( 22 yxyxyx b) )1()1)(1( 2aaa .
3. Transformiraj go izrazot vo vid na polinom vo normalen vid:
a) )2()3()3( xxxx ; b) ( xyyxxyxyx 2)(2)2)(2 .
4. Presmetaj gi proizvodite:
a) 1723 ; b) 5,65,7 ; v) 10298 ; g) 2
19
2
110 .
5. So koristewe na formulata za kvadrat na binom, presmetaj:
a) 2)3( x ; b) 2)4( a ; v) 2)12
1( x ; g) .)23( 2ba
58
6. Odredi go monomot M , taka {to ravenstvoto da bide to~no:
a) ,8M)4( 2222 bbaba b) 422 4129)M3( xx .
7. Uprosti go izrazot:
a) )3)(3()32()52( 22 xxxx ; b) )1)(1(6)1(4)1( 22 aaaa
8. Re{i gi ravenkite:
a) 20)5(2)1(2 2 xxx ; b) 22)1)(1(4)12( 2 xxx .
9. So pomo{ na formulata za kvadrat na binom kvadriraj gi broevite:
a) 251 ; b) 25,199 ; v) 22 99101 ; g) 2105 .
59
20. DELEWE NA POLINOM SO MONOM. 21. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM
1. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) 3:)186( yx ; b) )5(:)1525( 2243 xyyxyx ; v) xxxx 8,0:)22,14,0( 23 .
2. Transformiraj gi vo polinom vo normalen vid izrazite:
a) )42(65:)1510( xx ; b) )4
3
2
1(4)4(:)816( 2 aaaa
3. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:
)13(:)1378169( 33334334 babababa za 1a i 2b
4. Re{i ja ravenkata:
92
1:)32()2(:10 223 xxxxx
5. Odredi go koli~nikot:
a) )3(:)12( 2 aaa ; b) )1(:)12( 2 xxx .
60
6. Prvo, podredi go polinomot, a potoa izvr{i go deleweto:
451020164120 4734 xxxxx
7. Presmetaj gi koli~nicite:
a) )1(:)1( 2 aa ; b) )1(:)1( 5 aa ; v) )1(:)1( 9 xx .
8. Re{i gi ravenkite:
a) 4)12(:)352( 2 aaa ; b) 4)32(:)6136( 2 xxx .
9. Ako 3223 24128)(B)(A yxyyxxxx i yxx 2)(B . Opredeli go )(A x .
10. Izvr{i go nazna~enoto delewe na polinomot so ostatok:
a) )23(:)4415( 2 aaa ; b) )532(:)2537( 2234 xxxxxx
61
22. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI 1. Odredi koi od slednive racionalni izrazi se celi, a koi drobni racionalni izrazi:
a) x2 ; b) 4
2 yx ; v)
y
2; g)
1
32
a
a.
2. Zapi{i dva algebarski izraza: a)koi se racionalni b)koi ne se racionalni 3. Odredi ja definicionata oblast na drobno-racionalniot izraz:
a)1
2
x
x; b)
ya
12 ; v)
)2)(1(
2
xx; g)
a
aa
31
12
.
4. Skrati gi dropkite:
a)2
2
)1(
1
x
x; b)
)3)(3(
92
xx
x; v)
22
2)(
ba
ba
.
62
5. Za koja vrednost na a izrazot ne e definiran:
a)a
a
31
4
; b)
a
a
22
1
; v)
a
a
51
3
; g)
)23)(3(
aa
ba.
6. Odredi go mno`estvoto na dopu{tenite vrednosti na promenlivata, za koi racionalnite
izrazi imaat smisla:
a)12
1
a; b)
4
22 a
a; v)
)23)(3(
aa
ba.
7. Za koja vrednost na promenlivata x dadeniot izraz ima smisla?
a)x
x
32
4
; b)
x
x
22
2
; v)
x
x
71
1
; g)
6
5
x
x.
63
23. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI
1. Izvle~i gi zaedni~kite mno`iteli pred zagrada:
a) 22 a ; b) xyx 2 ; v) axay 63 ; g) xax 43 .
2. Razlo`i gi polinomite na mno`iteli:
a) 23 4 xyxyxy ; b) 4332 201510 yxxyyx ; v) abbaba 24126 2243 .
3. Skrati ja dropkata:
a)2)(
22
yx
yx
; b)
x
x
927
)3( 2
; v)
yyx
xyyxx
)(
2)(; g)
)(3
)(2 2
ba
aabba
.
4. So razlo`uvawe na mno`iteli poka`i deka izrazot:
a) 456 888 e deliv so 57; b) 12137 6636 e deliv so 31.
5. Razlo`i go na prosti mno`iteli izrazot cxbxax , a potoa presmetaj ja brojnata vred-
nost za: 41a , 34b , 25c i 55,0x
6. Razlo`i gi slednive binomi na mno`iteli:
a) 19 22 ba ; b) 222 25 yxx ; v) 22 9100 yx .
64
7. Presmetaj:
a) 22 1939 ; b) 22 39111 ; v) 22 )4
25()
4
37( .
8. Skrati gi dropkite:
a)25
52
2
a
aa; b)
4
242
x
x; v)
1
1 2
x
x.
9. Doka`i deka, za koj bilo Na vrednosta na izrazot:
a) 22)11( aa e deliv so 11, b) 1)74( 2 a e deliv so 4.
10. Razlo`i gi na mno`iteli polinomite:
a) 269 xx ; b) 22 44 yxyx ; v) 2
3
2
9
1aa ; g) 22 92416 baba .
11. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 962 xx za 2x ; b) 22 4129 baba za 3
1a i
2
1b
12. Presmetaj ja na najednostaven na~in vrednosta na izrazot:
a) 22 232369269 b) 22 8,58,53,823,8
13. Skrati ja dropkata:
a) 169
3
yy
xxy b)
2
2
925
25159
x
xx
65
TEST - 1
1. Izvr{i gi nazna~enite operacii so sistemi:
a) 503 aaaa
b) 73)(a
v) 2
4
6
3
x
x
g)
2
23
83
)(xxx
xxx
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 3600 b) 25,12
3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
222 )8,0(55,42
4. Daden e monomot 43
2
1yx odredi:
a) sli~en monom -
b) sprotiven monom -
v) stepen na monomot -
g) koeficient na monomot -
5. Zbirot na polinomite: 234 2 xx i xx 445 2 namali go za trinomot 462 xx .
66
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) 232
3
2
2
1xyyx =
b) 342 )2
1( ba =
v) )22( 232 aaaa =
g) )22)(125( 2 xxx =
7. Pretstavi go so polinom vo normalen vid, proizvodot:
a) )3)(3( xx
b) 2)2(x
v) 272
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) abbaab3
2:)
8
7
4
3( 322 ; b) )347(:)7612139( 524725 xxxxxx .
9. Razlo`i go na polinomot na prosti mno`iteli:
a) 1644 23 aaa ; b) adacab 8124 ; v) xxcxb 3)3()3(
10. Doka`i go identitetot:
25)1(100)510( 2 nnn
67
TEST - 2
1. Zapi{i gi kako stepen so osnova x, slednive izrazi:
a) 23 xxx
b) 46 )(x
v) 3
12
x
x,
g) 2
32
45
)(xx
xxx
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 2116 b) 04,27
3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
2332 4)2
1()2()
4
3(
4. Daden e monomot 235,0 xya odredi:
a) sli~en monom -
b) sprotiven monom -
v) stepen na monomot -
g) koeficient na monomot -
5. Od polinomot 3642 23 aaa odzemi go zbirot na polinomite:
524 23 aaa i 132 23 aaa
68
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) yaxax 2121,0 =
b) 232 )2,0( yx =
v) )22(2 22 yxxyx =
g) )1()72( 2 aaa =
7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:
a) )5)(5( aa
b) 2)3( a =
v) 2)32( a =
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) xyxyx 4:)1816( 243 b) )43(:)91212228( 432 xxxxx
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 32223 1269 bababa ; b) nynxyxn )( ; v) yxayaxyaxa 22 .
10. Doka`i go identitetot:
2
6
)12)(1(
6
)12)(1(n
nnnnnn
69
TEST - 3
1. Izvr{i gi nazna~enite operacii so stepeni:
a) 056 xxx
b) 1510 : xx
v) 53 )(x
g)
236
327
)(
)(
xx
xx
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 57 ; b) 5,38 .
3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
)7529(439 22
4. Daden e monomot 42
4
3ba odredi:
a) koeficient na monomot -
b) stepen na monomot -
v) sli~en monom -
g) sprotiven monom -
5. Na polinomot 3653 23 xxx , dodaj ja razlikata na polinomite: 5452 32 xxx i
xxx 321 23
70
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )3()2( 2xyxy =
b) nyx )( 32 =
v) )32(4 cba =
g) )()2( 22 yxyxyx =
7. Pretstavi go vo normalen vid proizvodot:
a) 2)52( x
b) )72)(72( xx
v) 692 =
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )5(:)1525( 322 abbyxyax ; b) )32(:)610159( 2432 xxxxx .
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) mxxmxm 36 23 ; b) )1()1()1( yxryxqyxp ; v) babzazbzaz 22 .
10. Doka`i go identitetot:
4
1)1()
2
1( 2 aaa
71
TEST - 4 1. Zapi{i gi kako stepen so osnova a izrazite:
a) aaaa 035
b) 84 )(a
v)
3
543
32
)(aaa
aaa
g) 10
20
a
a
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 13600= b) 25,2 =
3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
5333 )1()2()3(2
4. Dovedi go vo normalen vid monomot )()2( 3332 yxyx , a potoa odredi:
a) sprotiven monom -
b) sli~en monom -
v) stepen na monomot -
g) koeficient na monomot -
5. Od zbirot na polinomite 22 24 abab i 22 552 baba , odzemi ja razlikata na polinomi-
te 22 432 baab i 22 323 aabb .
72
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )3
2(:
4
14 322 yxxyyx =
b) 322 )4()5,0( xyxy =
v) )32(4 32 xaxaxx =
g) )34()1( 222 yxyxxx =
7. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) 2)32( a
b) )3)(3( yxyx
v) 273
8. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:
a) 334253 2:)268,4( ababbaba
b) )1(:)1( 7 aa
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 2324 3126 xyyxxy ; b) )1()1( xbxa ; v) bcacaba 224 2
10. Ako 10 cb , toga{ bcaacaba )1(100)10)(10( . Doka`i!
73
TEST - 5 1. Presmetaj:
a) 085 xxx
b) 2)2( 43 yx
v) 714 : xx
g)
243
)2
(yx
yx
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 625= b) 437,94 =
3. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
323 2:1249:33)2(5
4. Dovedi go vo normalen vid monomot )2(93
1 22 xyxyx , a potoa odredi:
a) koeficient na monomot -
b) stepen na monomot -
v) sprotiven monom -
g) sli~en monom -
5. Presmetaj )B(A C , ako e:
2562A 23 xxx ; 634B 23 xxx i 1422C 23 xxx .
74
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )(:)2(2 222 axyaxxya =
b) 2432 )2
1()( xyyx =
v) axxxx 2)765( 32 =
g) )3)(42( xx =
7. Pretstavi go kako binom vo normalen vid, proizvodot:
a) )43()34( ayya
b) 2)72( yx
v) 298
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )2(:)46( 24 abbaba
b) )1(:)1( 9 aa
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 243322 423630 bababa ; b) )(4)(5 baxybax ; v) yaxbybxa
10. Doka`i deka izrazot 22 22 ba mo`e da se pretstavi kako zbir od dva kvadrata.
75
TEST - 6 1. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 3)2(
b) 610
v) 100)1(
g) 4)1,0(
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 961= b) 25,42 =
3. Daden e izrazot 1
32B
2
2
x
xxx . Odredi:
a) 0B ; b) 1B .
4. Od monomite: 33 ;4;2 xyxyxy i xy7
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po )(y -
g) odredi go sprotivniot polinom -
5. Presmetaj ja tretata strana na triagolnikot, ako perimetarot e ba 340 , a dvete strani
se ba 317 i ab 311
76
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )3(2 25 abba =
b) )2
1()4( 2235 xayx =
v) )3()52( xx =
g) )2
12(4 32 xxx =
7. Pretstavi go proizvodot vo normalen vid:
a) )53()35( xyyx
b) 2)53( ba
v) 284
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) 32325344
2
3:)639( pcpcpcpc
b) )1(:)1( 7 xx
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 222443
3
13
3
12
9
5yxyxyx ; b) )8)(2(4)2( 22 xyayxa ; v) ybyaybxa 2222 .
10. Doka`i go identitetot:
))(()()( 222222 yxbabxaybyax
77
TEST - 7 1. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
a) 2)3
2(
b) 4105
v) 3)4,0(
g) 20)1(
2. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 1681= b) 12,8 =
3. Daden e izrazot 1
13A
2
)(
a
aaa odredi:
a) )2(A , b) )2(A
4. Od monomite: yx32 ; 222 yx ; 3xy ; yx34
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po )(xy -
g) odredi go sprotivniot polinom -
5. Zbirot 2073 x denari e podelen na tri lica, taka {to liceto A dobilo 531 x denari,
liceto B dobilo 520 x denari, a tretoto lice go dobilo ostatokot. Po kolku denari
dobile licata A, B i C.
78
6. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )3(:24 243 yxyx =
b) 33 )4
3( xy =
v) )534(2 2 xxax =
g) )23()458( 223 xxxx =
7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:
a) 1624
b) 2)12
1( a
v) 2)32( yx
8. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) 2356 4:)42,56( aaaa
b) )1(:)1( 9 xx
9. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 2534 86,1 yaxa b) )(3)(12 yxabyxa v) pxpxp 22 2
10. Doka`i deka ravenstvoto e to~no:
4245232 6)6
13(6)
3
142(3 ccccccc
79
TEST - 8 1. Pretstavi go vo vid na stepen proizvodot:
a) )3()3()3()3( aaaa
b) 3
2
3
2
3
2
2. Presmetaj ja vrednosta na sistemot:
a) 200)1(
b) 4)1,0(
3. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 280 = b) 5,12 =
4. Daden e izrazot 1
41C
2
3
)(
y
yyy . Odredi:
a) )2(C , b) )
2
1(
C
5. Od monomite: xy , 222 yx , xy3 i 22
2
1yx
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po )(x -
g) odredi go sprotivniot polinom -
6. Za polinomite: 12A 23 xxx , 42B 2 xx i 24C 23 xxx , odredi B)(AC .
80
7. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )3
2(:
4
3 3245 yxzyx =
b) 332 )6( yx =
v) )3()24( 223 axaxx =
g) )32)(236( 222 xyyxxyxy =
8. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:
a) 2)35( a
b) 5,65,7
v) 22 )34( x
9. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) 2
1:)1( ba b) )2(:)65( 22 bababa
10. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) )23(7)32(9 ybya
b) 2222 12186 yxyxxy
v) yaxbybxa
11. Doka`i deka za sekoja vrednost na x izrazot:
)21(5)424(5,1)87)(43( xxxxx e negativen.
81
TEST - 9 1. Preststavi go vo vid na proizvod, stepenot:
a) 2)5( x
b) 4)3
2( a
2. Presmetaj ja vrednosta na stepenot:
a) 3)3(
b) 4)2
1(
3. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 121= b) 16,25 =
4. Daden e izrazot 2
222A
2
)(
x
xxx . Odredi:
a) )4(A ; b) )0(A .
5. Od monomite: 32ba ; ab3 ; ab
2
1 i 327 ba
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po ),( ba -
g) odredi go sprotivniot polinom -
6. Odredi go polinomot M , taka {to: 422M)132( 2332 xxxxxx
82
7. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )5(7 2223 yxzyx =
b) 23 )4
3( cxy =
v) 323 3)24( axaxa =
g) )34()912( 23 xxx =
8. Pretstavi go kako polinomot vo normalen vid, proizvodot:
a) 2)32( ba
b) 2)4
3
2
1( yx
v) 10298
9. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) 2234 4,0:)32,104,04,2( xxxx b) )53(:)15953( 23 xxxx
10. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 222443
3
13
3
12
9
5nmnmnm
b) )2(8)2(4 22 axyayx
v) xbyaybxa 2222
11. Doka`i deka ravenstvoto e to~no:
222 3148))((2)4( nmmnnmnmnm
83
TEST - 10 1. Pretstavi go vo vid na proizvod, stepenot:
a) 3)( nm
b) 2)4
3( b
2. Presmetaj ja vrednosta na stepenot:
a) 4)3(
b) 5)3
2(
3. Presmetaj i izvr{i proverka:
a) 256 = b) 25,6 =
4. Daden e izrazot 1
5B
2
2
)(
x
xxx . Odredi:
a) )
2
1(
B ; b) )2(B .
5. Od monomite: 2
2
1ac , ac4 , 2
2
1ac i ac10
a) sostavi polinom -
b) svedi go vo normalen vid -
v) odredi go stepenot na polinomot po ),( ca -
g) odredi go sprotivniot polinom -
6. Odredi go polinomot N , taka {to:
342)122(N 2323 aaaaaa
84
7. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) )4(:16 3268 yxyx =
b) 43 )3( zxy =
v) )532(4 2 xxx =
g) )354()27( 2 aaa =
8. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:
a) 5,95,10
b) 22 )53( xx =
v) 2)32( ca
9. Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) xyxyyxyx 4:)163224( 5245 b) )32(:)674( 223 yyyyy
10. Razlo`i go polinomot na prosti mno`iteli:
a) 33245
10
5
4
11
2
12 bababa
b) )(18)(9 32 bayxbax
v) bybxayax 3232 =
11. Doka`i deka ravenstvoto e to~no:
22)432()12()2( 22322 xxxxxxxx
85
Tema 3 KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK.
PLO[TINA.
1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA
1. Eden kru`en lak pretstavuva:
a) 12
5; b)
5
3; od kru`nicata.
Odredi go soodvetniot centralen agol, a potoa nacrtaj go vo dadenata kru`nica. a). b). 2. Kolkav centralen agol odgovara na edna polukru`nica kako del od kru`nica?
Odgovor: ________________________________
3. Kolkav del od kru`nicata zafa}a eden centralen agol so golemina od 135O? Odgovor: ________________________________
4. Centralniot agol na dadenata kru`nica razdeli go na tri agli, ~ii golemini se odnesu-vaat kako 1 : 2 : 3.
5. Neka ABCDEF e {estagolnik ~ii temiwa le`at na edna kru`nica so centar vo to~ka O i
pritoa EFCDAB i FADEBC . Doka`i deka AOC = 120O.
86
2. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA 1. Vo dadena kru`nica ozna~i periferen agol so golemina: a) 70O; b) 130O; v) 90O. 2. Kolkav periferen agol odgovara na eden centralen agol so golemina: a) 180O; b) 43O; v) 235O 25’ 36”. Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ 3. Doka`i deka perifernite agli nad dva skladni kru`ni laka vo edna kru`nica se skladni.
4. Doka`i deka bisektrisite na site periferni agli nad ist kru`en lak se se~at vo sredi-nata S na toj lak.
5. Konstruiraj pravoagolen triagolnik, ako se poznati hipotenuzata c i visinata hc kon nea.
87
3. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA 1. Konstruiraj tangenta od to~kata A kon dadenata kru`nica k. a) b) 2. Kakvo mno`estvo od to~ki obrazuvaat centrite na kru`nicite koi se dopiraat: a) do kracite na daden konveksen agol, b) do dve paralelni pravi ? Odgovor: a) ____________________ b) ____________________
3. Neka pravite p i q se tangenti na kru`nica k pri {to p q i p q. Doka`i deka dopirni-
te to~ki p q i q k se dijametralno sprotivni to~ki na kru`nicata.
4. Dadena e kru`nicata k i dve zaemnonormalni tangenti p i q na k. Kakvo mno`estvo od to~-
ki obrazuvaat presecite p q na site pravi p i q so toa svojstvo?
5. Neka AOB e centralen agol na kru`nicata k. Ako a i b se tangenti na kru`nicata k vo
to~kite A i B, kolkav e agolot me|u to~kite A i B?
88
k
4. AGOL POME\U TANGENTA I TETIVA 1. Vo dadenata kru`nica k nacrtaj tetiva AB i od to~kata B povle~i tangenta t. Potoa ozna-
~i go agolot pome|u tetivata AB i tangentata t.
2. Kolkav e agolot me|u tangentata i tetivata na edna kru`nica, ako periferniot agol nad istiot kru`en lak {to odgovara na tetivata e :
a) 15O; b) 90O; v) 125O? Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ . 3. Kolkav e agolot me|u tangentata i tetivata na edna kru`nica, ako centralniot agol {to
odgovara na dadenata tetiva e: a) 35O; b) 180O; v) 148O?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ .
4. Periferniot agol nad eden kru`en lak AB e 35O. Opredeli go agolot me|u tangentite a i b povle~eni od to~kite A i B.
5. Dadena e otse~ka AB i prava p koja minuva niz A i ne minuva niz B. Konstruiraj kru`nica
koja minuva niz to~kata B i ja dopira pravata p vo to~kata A.
89
5. TETIVEN ^ETIRIAGOLNIK 1. Dali okolu pravoagolen trapez mo`e da se opi{e kru`nica? Obrazlo`i go odgovorot i
napravi crte`.
Odgovor: ________________________________ 2. Dali okolu eden ~etiriagolnik ~ii tri agli se:
a) A = 50O, B = 70O, C = 130O, b) A = 65O, B = 115O, D = 80O,
v) B = 50O, C = 60O, D = 80O, mo`e da se opi{e kru`nica?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ 3. Dali mo`e da se konstruira tetiven ~etiriagolnik, ako zbirot na tri negovi agli se ed-
nakvi na: a) 80O, 56O, 124O, b) 130O, 150O, 40O, v) 20O, 70O, 160O?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ .
4. Dali okolu deltoid mo`e da se opi{e kru`nica? Obrazlo`i go odgovorot?
Odgovor: ________________________________
5. Vo dadenata kru`nica vpi{i ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni agli se 70O, 80O i 140O.
90
6. TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK 1. Vo koi paralelogrami mo`e da se vpi{e kru`nica? Zo{to?
Odgovor: _________________________________
2. Odredi ja dol`inata na ~etvrtata strana na eden ~etiriagolnik ABCD, za toj da bide tan-
genten, ako:
a) AB= 5 cm, CD = 7 cm i AD = 8 cm ; b) BC = 6 cm, CD = 8 cm i DA = 5 cm .
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; 3. Dali postoi tangenten ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni strani imaat dol`ini
2 cm, 8 cm i 5 cm? Zo{to? Odgovor: _________________________________ 4. Doka`i deka vo pravoagolnik {to ne e kvadrat ne mo`e da se vpi{e kru`nica!
5. Nacrtaj trapez vo koj mo`e da se vpi{e i se opi{e kru`nica.
91
7. OP[TO ZA MNOGUAGOLNIKOT 1. Nacrtaj konveksen ~etiriagolnik i nekonveksen petagolnik. 2. Kolku dijagonali mo`e da se povle~at: a) od edno teme, b) od site temiwa na eden sedumagolnik? Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; 3. Eden n – agolnik e takov {to vo nego mo`e da se povle~at vkupno n dijagonali. Koja e
vrednosta na n?
Odgovor: ________________________________
4. Odredi go {estiot agol na eden {estagolnik, ako pet negovi agli imaat golemini: 165O,
148O, 172O, 155O i 163O. 5. Dali postoi konveksen n – agolnik, ako osum negovi vnatre{ni agli se ednakvi na 130O?
Zo{to? (Upatstvo: Razgledaj gi nadvore{nite agli!)
Odgovor: ________________________________
92
8. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI 1. Nacrtaj mnoguagolnik so ednakvi: a) agli, b) strani, koj ne e pravilen mnoguagolnik. 2. Kaj koj pravilen mnoguagolnik eden nadvore{en agol iznesuva 45O? 3. Doka`i deka kaj sekoj pravilen mnoguagolnik, negoviot centralen agol e ednakov so nad-
vore{niot agol.
4. Neka za petagolnikot ABCDE, triagolnicite ABC, BCD, CDE, DEA i EAB se skladni ram-nokraki triagolnici so temiwa vo B, C, D, E i A, soodvetno. Dali ABCDE e pravilen pet-agolnik?
Odgovor: _________________________________
5. Ako A1A2A3A4 ..... An e pravilen n – agolnik, doka`i deka A1A4 A2A3.
93
9. OPI[ANA I VPI[ANA KRU@NICA 1. Odredi go mno`estvoto od site to~ki vo ramninata koi se ednakvo oddale~eni od: a) temiwata, b) sredinite na stranite, na eden pravilen mnoguagolnik. Odgovor: a) __________ ; b) __________ ;
2. Za koj pravilen n – agolnik karakteristi~niot triagolnik e ramnostran triagolnik? Odgovor: n = __________ 3. Ako A1A2A3 ..... A2k e pravilen 2k – agolnik (k > 2), poka`i deka A1A3A5 ..... A2k-1 e pravilen
k – agolnik.
4. Eden pravilen n – agolnik ima 9 oski na simetrija. Kolkav e negoviot centralen agol?
Odgovor: ________________________________
5. Vo koj pravilen mnoguagolnik vnatre{niot agol e za 108O pogolem od centralniot agol? Odgovor: ________________________________
94
10. KONSTRUKCIJA NA NEKOI PRAVILNI MNOGUAGOLNICI
1. Konstruiraj ramnostran (pravilen) triagolnik koj e vpi{an vo dadenata kru`nica.
2. Okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen {estagolnik.
3. So pomo{ na aglomer, okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen petagolnik.
4. So pomo{ na aglomer, konstruiraj pravilen petagolnik so strana a = 1,5 cm. 5. Vo dadenata kru`nica so pomo{ na aglomer vpi{i pravilen desetagolnik.
95
11. PITAGOROVA TEOREMA 1. Najdi ja dol`inata na ednata kateta, ako se dadeni hipotenuzata i drugata kateta: a) c = 20 cm, b = 16 cm ; b) c = 29 cm, b = 21 cm ; v) c = 7 cm, b = 3 cm . Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ 2. Strelkite na eden ~asovnik se dolgi 2,4 cm i 1,8 cm. Kolku se oddale~eni vrvovite na
strelkite koga tie poka`uvaat 3 ~asot? Odgovor: ________________________________ 3. Kolkav e dijametarot na opi{anata kru`nica okolu pravoagolen triagolnik, ~ii kateti
se dolgi: a = 6 cm, b = 2,5 cm?
4. Katetite na eden pravoagolen triagolnik se dolgi 2,4 dm i 7 dm. Odredi ja dol`inata na te`i{nata linija {to e povle~ena kon hipotenuzata.
Odgovor: ________________________________ 5. Dali triagolnikot so strani: a) 15 cm, 2 dm i 2,5 dm ; b) 5 cm, 1 cm i 14 cm, e pravoagolen? Odgovor: a) __________ ; b) __________ ;
96
12. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA 1. Odredi ja katetata na ramnokrak pravoagolen triagolnik so hipotenuza c = 20 cm.
Odgovor: _________________________________ 2. Vo pravilen {estagolnik so strana 4 cm vpi{ana e kru`nica. Presmetaj go radiusot na
taa kru`nica. Odgovor: _________________________________ 3. Presmetaj go perimetarot na pravoagolen trapez, ako se poznati negovite osnovi a = 5,7
cm, b = 1,9 cm i visinata h = 2,5 cm. Odgovor: _________________________________ 4. Centrite na dve ednakvi kru`nici so radius 3,9 cm se na rastojanie eden od drug 7,2 cm.
Presmetajte ja dol`inata na nivnata zaedni~ka tetiva.
Odgovor: _________________________________
5. Vo edna kru`nica so radius 5 cm e vpi{an ramnokrak triagolnik, kaj koj viso~inata kaj osnovata e dolga 6,4 cm. Odredete gi dol`inite na stranite na triagolnikot.
Odgovor: _________________________________
97
13. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKA
KOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , ...
1. Da se konstruira otse~ka so dol`ina:
a) 10 cm; b) 13 cm.
2. Da se konstruira otse~ka so dol`ina:
a) 15 cm; b) 21 cm.
3. Dadeni se otse~ki so dol`ini a i b. Da se konstruira otse~ka so dol`ina 22 9ba .
4. Dadeni se otse~ki so dol`ini a i b. Da se konstruira otse~ka so dol`ina 224 ab .
5. Dadeni se otse~ki so dol`ini a i b. Da se konstruira otse~ka so dol`ina ab4 .
(Upatstvo: 224 babaab )
98
14. POIM ZA PLO[TINA 1. Nacrtaj eden triagolnik i eden ~etiriaglonik koi se ednakvoplo{ni. 2. Plo{tinata od 4 m 2, izrazi ja vo: a) cm 2 ; b) mm 2 .
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ;
3. Daden e paralelogram ABCD. Na polupravata AB odredi to~ka M, taka {to triagolnikot AMB e ednakvoplo{ten so paralelogramot ABCD.
4. Dadeniot triagolnik ABC razdeli go na 4 ednakvoplo{ni delovi.
5. Neka F1 i F2 se dve geometriski figuri. Obidi se da doka`e{ deka:
P (F1 F2) = P (F1) + P (F2) - P (F1 F2).
99
15. PLO[TINA NA PRAVOAGOLNIK 1. Edna niva vo forma na pravoagolnik so strani 240 m i 180 m treba da se nasadi so lozje.
Kolku lozi }e se nasadat na taa niva, ako rastojanieto na lozite vo redot e 1 m, a rastojanieto me|u redovite e 1,2 m?
Odgovor: ________________________________ 2. Kvadrat so strana 12 cm i pravoagolnik so edna strana 8 cm imaat ednakvi plo{tini. Ko-
ja od tie dve figuri ima pogolem perimetar?
Odgovor: ________________________________
3. Konstruiraj kvadrat ~ija plo{tina e ednakva na zbirot od plo{tinite na dva dadeni kvadrata so strani a i b.
4. Vo kvadrat ABCD so strana 8 cm vpi{an e drug kvadrat MNKL, ~ii temiwa le`at na stra-nite na kvadratot ABCD. Presmetaj ja plo{tinata na kvadratot MNKL.
Odgovor: _________________________________ 5. Vo kru`nica so radius 6,5 cm vpi{an e pravoagolnik na koj ednata strana mu e dolga 5 cm.
Presmetaj go perimetarot i plo{tinata na toj pravoagolnik.
Odgovor: _____________________________________________________________________________
100
16. PLO[TINA NA PARALELOGRAM 1. Ako dol`inata na osnovata na paralelogramot ja zgolemime 3 pati, kako treba da ja prome-
nime soodvetnata viso~ina pri {to plo{tinata na paralelogramot da ostane nepromene-ta?
Odgovor: _________________________________
2. Romb so strana a = 8 cm ima plo{tina 43,2 cm 2. Presmetaj ja viso~inata na rombot. Odgovor: _________________________________ 3. Edna niva ima forma na paralelogram so osnova 500 m i soodvetna viso~ina 280 m. Za
kolku dena taa }e bide izorana: a) so dva kowa koi za eden den izoruvaat 40 ari; b) od eden traktor koj izoruva po 3,5 ha dnevno?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ .
4. Da se presmeta plo{tinata na eden romb ako se znae deka negovata strana ima dol`ina 6 cm, a pomaliot agol me|u stranite iznesuva 60O.
Odgovor: _________________________________
5. Presekot na dijagonalite na eden paralelogram e na rastojanie 2,5 cm i 3 cm od pravite na koi le`at negovite strani. Presmetaj go perimetarot na toj paralelogram, ako negova-ta plo{tina iznesuva 60 cm 2.
Odgovor: _________________________________
101
17. PLO[TINA NA TRIAGOLNIK 1. Stranata i soodvetnata viso~ina na eden triagolnik se dolgi 5 cm i 8 cm. Mo`e li nego-
vata plo{tina da bide ednakva na: a) 16 cm 2; b) 20 cm 2; v) 25 cm 2? Zo{to?
Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ .
2. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak triagolnik ~ij krak e b = 4,8 cm, a viso~inata {to í odgovara na osnovata ima dol`ina 3,6 cm.
Odgovor: ________________________________
3. Vo kru`nica so radius 6,6 cm vpi{an e ramnostran triagolnik. Presmetaj gi perimeta-rot i plo{tinata na triagolnikot.
Odgovor: ________________________________ 4. Eden dvor vo forma na triagolnik ima strana 15 m, 10 m i 12 m. Presmetaj ja plo{tinata
na dvorot. Odgovor: ________________________________
5. Poznato e deka triagolnikot ABC ima plo{tina P = 10 cm2 i perimetar 20 cm. Presmetaj go radiusot na vpi{anata kru`nica.
Odgovor: ________________________________
102
18. PLO[TINA NA TRAPEZ 1. Da se presmeta plo{tinata na trapez ako negovite osnovi se 7 cm i 5 cm, a viso~inata mu
e 5,5 cm.
Odgovor: _________________________________
2. Osnovite na pravoagolen trapez se dolgi 2 dm i 2,5 dm, a podolgiot krak e 13 cm. Presme-tajte go perimetarot i plo{tinata na toj trapez.
Odgovor: _________________________________ 3. Presmetajte ja plo{tinata na ramnokrak trapez, ako se poznati negovite osnovi: a = 26
cm, b = 12 cm i krakot c = 17 cm.
Odgovor: _________________________________
4. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez e P = 68 cm 2, a osnovite mu se dolgi 13 cm i 4 cm. Presmetaj go negoviot perimetar.
Odgovor: _________________________________
5. Perimetarot na eden ramnokrak trapez iznesuva 149 cm, a osnovite mu se dolgi 63 cm i 32 cm. Presmetaj ja negovata plo{tina.
Odgovor: _________________________________
103
19. PLO[TINA NA DELTOID 1. Dijagonalite na eden romb se dolgi d1 = 7,3 dm i d2 = 5,6 dm. Presmetaj ja negovata plo{-
tina. Odgovor: ________________________________
2. Plo{tinata na eden deltoid e 256 cm2. Presmetaj gi dol`inite na negovite dijagonali, ako se znae deka ednata dijagonala e dvapati podolga od drugata dijagonala.
Odgovor: ________________________________ 3. Presmetaj ja plo{tinata na eden tetiven deltoid, ako se znae deka podolgata strana ima
dol`ina 3 cm, a pokratkata dijagonala isto taka ima dol`ina 3 cm.
Odgovor: ________________________________
4. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako pokratkata negova strana ima dol`ina 2 cm i ako se znae deka dijagonalata koja ne e simetrala na deltoidot zafa}a agli od 45O i 60O so pomalata i pogolemata strana, soodvetno.
Odgovor: ________________________________
5. Presmetaj ja plo{tinata na eden ~etiriagolnik so normalni dijagonali, ako negovite di-jagonali imaat dol`ini d1 = 7 cm i d2 = 11 cm.
Odgovor: ________________________________
104
20. PLO[TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK 1. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo ramnostran triagolnik e r = 2,5 cm. Presmetaj gi pe-
rimetarot i plo{tinata na triagolnikot. Odgovor: _________________________________
2. Stranata na pravilen {estagolnik e 3,4 cm. Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na {estagolnikot.
Odgovor: _________________________________ 3. Stranata na eden pravilen osumagolnik e a = 2 cm. Da se presmeta plo{tinata na osuma-
golnikot, ako se znae deka radiusot na vpi{anata kru`nicata ima dol`ina 21r cm.
Odgovor: _________________________________ 4. Okolu kru`nica so radius r opi{ani se ramnostran triagolnik, kvadrat i pravilen
{estagolnik. Koj od opi{anite mnoguagolnici ima najgolema, a koj najmala plo{tina?
Odgovor: _________________________________
5. Okolu kru`nica so radius 3 cm opi{an e petagolnik so perimetar 32 cm. Presmetaj ja plo{tinata na petagolnikot.
Odgovor: _________________________________
105
21. DOL@INA NA KRU@NICA 1. Presmetaj ja dol`inata na edna kru`nica so radius r = 3,14 cm. Odgovor: ________________________________
2. Okolu kvadrat so dijagonala d = 4,6 cm opi{ana e kru`nica. Presmetaj ja dol`inata na taa kru`nica.
Odgovor: ________________________________ 3. Trkalata na eden avtomobil imaat dijametar 0,6 m. Kolku zavrtuvawa }e napravi ednoto
trkalo otkako avtomobilot }e izmine pat dolg 17 km?
Odgovor: ________________________________
4. Edna trka~ka pateka ima radius 350 m. Eden motociklist taa kru`na pateka ja obikoluva 6 pati za 11 minuti. Presmetaj ja brzinata na motociklistot vo:
a) metri vo sekunda, b) kilometri na ~as.
Odgovor: ________________________________
5. Eden kru`en stolb mo`e da se namota to~no 4 pati so edno ja`e ~ija dol`ina e 5 m. Pres-metaj go radiusot na stolbot.
Odgovor: ________________________________
106
22. DOL@INA NA KRU@EN LAK 1. Presmetaj ja dol`inata na kru`en lak od kru`nicata so radius r = 6,8 cm, {to odgovara
na centralen agol od 75O. Odgovor: _________________________________
2. Eden kru`en obra~ so radius r = 0,7 m e prese~en i od nego e napraven kru`en lak {to od-govara na kru`nica so radius 0,9 m. Presmetaj go centralniot agol {to odgovara na toj kru`en lak.
Odgovor: _________________________________
3. Pri vrteweto na Zemjata okolu svojata oska, kolkav pat izminuva sekoja to~ka od ekvato-rot za vreme od:
a) 1 ~as, b) 1 minuta, v) 1 sekunda? (Radiusot na Zemjata e 6370 km.) Odgovor: _________________________________ 4. Ohrid i Belgrad se nao|aat pribli`no na ist meridijan. Presmetaj ja nivnata me|usebna
oddale~enost, ako e poznato deka geografskata {irina na Ohrid e 1 = 41O7’, a na Belgrad
e 2 = 44O48’. (Radiusot na Zemjata e 6370 km.)
Odgovor: _________________________________
5. Eden gumen kai{ opfa}a tri kru`nici so radiusi 1 cm koi me|usebno se dopiraat (vidi go crte`ot). Presmetaj ja dol`inata na kai{ot.
Odgovor: _____________________________________
107
23. PLO[TINA NA KRUG 1. Presmetaj ja plo{tinata na eden kru`en bazen, ako perimetarot na bazenot e 100 m.
Odgovor: ________________________________ 2. Kvadrat so strana 15,7 cm i eden krug imaat pribli`no ednakvi perimetri. Koja od tie
dve figuri ima pogolema plo{tina i za kolku?
Odgovor: ________________________________
3. Zemjotresot se {iri so brzina od 800 m/s. Presmetaj kolkava povr{ina mo`e da zafati zemjotresot po 5 sekundi od negoviot po~etok?
Odgovor: ________________________________
4. Edna {uma ima forma na krug so radius 2 km. Drvjata vo {umata se rasporedeni pribli`-no po 3 drva na sekoi 10 m2. Presmetaj go pribli`no brojot na drvata vo taa {uma.
Odgovor: ________________________________ 5. Edna kru`na sala so radius r = 10 m e poplo~ena so plo~ki vo forma na pravilen {esta-
golnik. Kolku plo~ki pribli`no se koristeni za poplo~uvawe, ako stranata na sekoja plo~ka iznesuva 10 cm ?
Odgovor: ________________________________
108
24. PLO[TINA NA KRU@EN ISE^OK I KRU@EN PRSTEN 1. Plo{tina na eden krug e P = 140 cm 2. Presmetaj ja plo{tinata na kru`en ise~ok, {to mu
odgovara na centralen agol od 70O. Odgovor: _________________________________
2. Perimetarot na eden krug e L = 25,2 cm, a dol`inata na lakot na eden kru`en ise~ok od nego e l = 8,4 cm. Odredi go centralniot agol i plo{tinata na kru`niot ise~ok.
Odgovor: _________________________________ 3. Dve koncentri~ni kru`nici imaat dol`ini L1 = 9,42 dm i L2 = 6,28 dm. Presmetaj ja plo{-
tinata i {irinata na kru`niot prsten, {to tie go obrazuvaat.
Odgovor: _________________________________
4. ^etiri kru`nici so ednakvi radiusi r = 2,8 cm se dopiraat edna so druga odnadvor. Pres-metaj ja plo{tinata na delot od ramninata me|u niv. Napravi crte`.
Odgovor: _________________________________ 5. Presmetaj go radiusot na kru`nicata, koja razdeluva daden krug so radius r na dve ednak-
voplo{ni figuri – kru`en prsten i krug.
Odgovor: _________________________________
109
25. DIJAGRAMI 1. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so zelen~uk, 2,6 dekari so ovo{je, a 3,5 dekari posadil
so `itarici. Ovie podatoci pretstavi gi so: a) stolbest dijagram, b) sektoren dijagram. 2. Podatocite od sektorniot dijagram pretstavi gi so stolbest dijagram. 3. Vo edna fabrika vo poslednite 5 godini se proizvedeni slednite koli~estva na hrana:
1997 1998 1999 2000 2001
1600 toni 1750 toni 1870 toni 1720 toni 1690 toni Ovie podatoci pretstavi gi so dijagram. Koj dijagram }e go izbere{? 4. Na eden natprevar na koj u~estvuvale 163 sportisti dodeleni se 5 zlatni, 16 srebreni i 40
bronzeni medali. Pretstavi gi ovie podatoci so sektoren dijagram. Na kolku delovi }e go podeli{ krugot?
5. Edna fabrika ima proizvedeno 105 proizvodi. 9% od proizvodite se so lo{ kvalitet, 53% se so zadovoluva~ki kvalitet, a ostanatite proizvodi se so prvoklasen kvalitet. Pret-stavi gi ovie podatoci so sektoren i stolbest dijagram.
110
26. POPULACIJA. PRIMEROK 1. Od 25600 proizvodi vo edna fabrika na proizvolen na~in se izbrani 100 proizvodi. Se
poka`alo deka 9 proizvodi se neispravni. Kolku neispravni proizvodi se pretpostavuva deka ima me|u vkupniot broj na proizvodi?
Odgovor: _________________________________ 2. Od eden ribnik koj ima okolu 1200 ribi, na proizvolen na~in izvle~eni se 25 ribi. Se po-
ka`alo deka 60 % od ribite te`at pomalku od 500 grama. Kolkav e pribli`no brojot na ribi koi se pote{ki od 500 grama?
Odgovor: _________________________________
3. Na proizvolen na~in se izbrani 1000 rabotosposobni lica i ustanoveno e deka 8,5 % se nevraboteni. Na kolku se procenuva brojot na nevraboteni gra|ani vo taa dr`ava, ako se znae deka vo nea `iveat 3.500.000 rabotosposobni gra|ani?
Odgovor: _________________________________ 4. Na 25 prodadeni vozila vo edna prodavnica, vo garantniot rok se prijaveni 3 reklamacii.
Kolku reklamacii se o~ekuvaat da pristignat na 156 vozila koi gi nara~ala prodavnica-ta?
Odgovor: _________________________________ 5. Po is~eznuvaweto na epidemijata na grip, anketirani se proizvolno izbrani 160 gra|ani.
Od niv 73 odgovorile deka bile zaboleni od gripot. Na kolku se procenuva brojot na `i-teli koi bile zaboleni od grip vo toj grad, ako se znae deka vo nego `iveat 850 000 `ite-li?
Odgovor: _________________________________
111
TEST - 1 1. Neka ABCDE e pravilen petagolnik, a ta tangenta na opi{anata kru`nica okolu
petagolnikot. Agolot pome|u ta i AB e ednakov na _____________________________________
2. Proizvolen pravilen n – agolnik ima _______________ oski na simetrija.
3. Dve figuri koi imaat ednakvi plo{tini se vikaat ___________________________________
4. [irinata (R - r) na eden kru`en prsten e 1 cm, a negovata plo{tina e 5 cm 2. Radiusite na
dvete koncentri~ni kru`nici se ____________________________________________________
5. Dali postoi pravilen n – agolnik so nadvore{en agol 37O? Odgovor: ___________________________ , bidej}i ______________________________________ 6. Obem na populacija e ______________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
112
7. Konstruiraj otse~ka so dol`ina 13 , ako e dadena edini~na dol`ina 1.
8. Presmetaj ja plo{tinata na eden triagolnik, ako dve negovi strani imaat dol`ini 3 cm i
6 cm, a agolot me|u niv e 60O.
Odgovor: _________________________________ 9. Daden e krug so centar vo O i radius 6 cm. Presmetaj go radiusot na krug so centar vo
istata to~ka O, takov {to, plo{tinata na kru`niot prsten e 8 pati pogolema od plo{ti-nata na toj krug.
Odgovor: _________________________________ 10. Konstruiraj pravoagolen triagolnik ABC so prav agol vo to~kata C, ako se poznati ot-
se~kite c1 i c2 na koi viso~inata spu{tena od praviot agol ja razdeluva hipotenuzata.
113
TEST - 2 1. Neka ABCDEF e pravilen {estagolnik so centar vo to~kata O. Goleminata na agolot
BAD e ______________________________ .
2. Neka aglite na eden tetiven ~etiriagolnik se 60O, 80O, 100O, 120O. Toga{ eden mo`en
posledovatelen redosled na goleminite na negovite agli e ____________________________
3. Perimetarot na eden deltoid iznesuva 30 cm, a radiusot na vpi{anata kru`nica e 1,5 cm.
Plo{tinata na deltoidot e _________________________________________________________
4. Dol`inata na kru`en lak {to odgovara na centralen agol i radius r e ednakva na _____
___________________________________________________________________________________
5. Plo{tinata na pravilen {estagolnik so strana 2 cm iznesuva _________________________ 6. Ako od edno ezero na proizvolen na~in odbereme 100 ribi, toga{ ovie ribi pretstavuva-
at ________________________, a mno`estvoto na site ribi vo ezeroto e __________________
114
7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 10 cm se dopiraat odnadvor. Presmetaj ja dol`inata na nivnata zaedni~ka tangenta, {to e zaklu~ena me|u to~kite na dopir.
Odgovor: _________________________________ 8. Edna kru`na sala so dijametar 15 m pokriena e so parket. Dimenziite na edno par~e par-
ket se 4 cm h 22 cm. Kolku takvi par~iwa pribli`no se potrebni za pokrivawe na salata?
Odgovor: _________________________________
9. Vo dadenata kru`nica vpi{i deltoid, a potoa vo deltoidot vpi{i kru`nica.
10. Vo eden grad ima okolu 20 000 priklu~oci na fiksnata telefonija. Za da se izvr{i anke-ta po telefon, eden slu`benik dobil zada~a da se javi po telefon na site pretplatnici ~ii broevi zavr{uvaat na 25 ili na 34. Kolku telefonski javuvawa pribli`no treba da napravi slu`benikot?
Odgovor: _________________________________
115
TEST - 3 1. Site periferni agli vo edna kru`nica {to se nad ist kru`en lak se ___________________ 2. Zbirot na site nadvore{ni agli vo eden konveksen n – agolnik iznesuva ________________ 3. Kako }e se promeni plo{tinata na eden triagolnik, ako negovata osnova se namali 6
pati, a viso~inata se nagolemi 2 pati. Odgovor : _____________________________________________________________________________ 4. Kako }e se promeni plo{tinata na eden krug ako negoviot radius se zgolemi 3 pati? Odgovor : _____________________________________________________________________________
5. Viso~inata na eden ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ____________________ 6. Plo{tinata na triagolnik so strani a, b i c e dadena so __________________________ , kade
___________________________________________________________________________________
116
7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 8 cm se se~at, pri {to tangentata na ednata kru`nica vo edna od prese~nite to~ki minuva niz centarot na drugata kru`nica. Presmetaj go rastoja-nieto me|u centrite na dvete kru`nici.
Odgovor: _________________________________ 8. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako dvete pomali strani zafa}aat agol od 60O i
imaat dol`ina 3 cm, a podolgata dijagonala ima dol`ina 8 cm.
Odgovor: _________________________________ 9. Od kru`en lak od edna kru`nica so radius 20 cm {to odgovara na centralen agol od 72O
napravena e kru`nica. Kolkava e plo{tinata na taka dobienata kru`nica?
Odgovor: _________________________________
10. ^etiri agli na eden petagolnik se ednakvi na 110O, 111O, 112O, 113O. Najdi go pettiot agol na petagolnikot.
Odgovor: _________________________________
117
TEST - 4 1. Neka radiusite na OA i OB na kru`nicata k (O,r) zafa}aat agol . Toga{ agolot pome|u
tangentite ta i tb na kru`nicata k vo to~kite A i B e __________________________________
2. Pravilen mnoguagolnik e takov mnoguagolnik na koj __________________________________
___________________________________________________________________________________
3. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez so normalni dijagonali so dol`ini 8 cm iznesuva
___________________________________________________________________________________
4. Dol`inata na kru`en lak iznesuva 4,5 cm, a radiusot na kru`nicata e 6 cm. Plo{tinata
na soodvetniot kru`en ise~ok e _____________________________________________________
5. Eden pravilen n – agolnik ima neparen broj oski na simetrija. Dali toj e centralno
simetri~en? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 6. Nabroj gi vidovite dijagrami koi gi poznava{:
___________________________________________________________________________________
118
7. Neka triagolnikot ABC e pravoagolen so prav agol vo temeto C. Nad stranite AB, BC i CA od nadvore{nata strana na triagolnikot nacrtani se polukrugovi so dijametri AB, BC i CA. Doka`i deka PAB = PAC + PBC, kade PAB e plo{tina na polukrugot so dijametar AB itn.
8. Najdi ja plo{tinata na eden paralelogram so strani 6 cm i 2 cm, ako agolot me|u osnovite e ednakov na 60O.
Odgovor: _________________________________
9. Plo{tinata na kru`en ise~ok {to odgovara na centralen agol od 130O e 25 cm2. Presme-taj go radiusot na kru`nicata.
Odgovor: _________________________________ 10. Neka ABCDE e pravilen petagolnik. Presmetaj gi aglite na triagolnikot ACD.
Odgovor: _________________________________
119
TEST - 5
1. Centralen agol {to odgovara na 8
5 od kru`nicata iznesuva ___________________________
2. Neka dol`inite na stranite na eden ~etiriagolnik se 6 cm, 7 cm, 9 cm i 4 cm. Toga{ eden
mo`en posledovatelen redosled na dol`inite na negovite strani e _______________________
3. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo pravilen {estagolnik so strana 6 cm iznesuva
___________________________________________________________________________________
4. Kako }e se promeni dol`inata na eden kru`en lak, ako centralniot agol se namali 9 pa-
ti, a radiusot se zgolemi 3 pati? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 5. Dijagonalata na eden pravoagolnik iznesuva 10 cm, a ednata strana e dolga 8 cm. Drugata
strana ima dol`ina ________________________________________________________________
6. Obem na primerokot e ______________________________________________________________
120
7. Presmetaj ja plo{tinata na eden pravoagolnik ako edna negova strana ima dol`ina 21 cm, a dijagonalata ima dol`ina 29 cm.
Odgovor: _________________________________ 8. Dol`inata na edna kru`nica e za 5 cm podolga od nejziniot dijametar. Presmetaj ja plo{-
tinata na krugot. Odgovor: _________________________________ 9. Najdi go vkupniot broj dijagonali vo konveksen mnoguagolnik so: a) 7 strani, b) 9 strani.
Odgovor: _________________________________ 10. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so lozje, 2 dekari so praski i 2,5 dekari so kajsii.
Pretstavi go toa so sektoren dijagram.
121
TEST - 6 1. Goleminata na eden centralen agol e 146O. Soodvetniot periferen agol e ______________
2. Brojot na site dijagonali vo eden n – agolnik iznesuva ________________________________ 3. Plo{tinata na ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ________________________
4. Ako dol`inata na kru`en lak e l, a soodvetniot centralen agol e , toga{ radiusot na
kru`nicata iznesuva ______________________________
5. Dijagonalite na eden romb imaat dol`ini 6 cm i 8 cm. Stranata na rombot iznesuva
__________________________
6. Plo{tinata na eden mnoguagolnik so perimetar L, vo koj mo`e da se vpi{e kru`nica so
radius r, e ednakva na _______________________________________________________________
122
7. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 2 cm i 10 cm, a krakot ima dol`i-na 5 cm.
Odgovor: _________________________________ 8. Eden kai{ povrzuva tri kruga so centri vo to~kite A, B i C so radius 1 cm. Presmetaj ja
dol`inata na kai{ot ako se znae deka AB = 3 cm, BC = 4 cm i CA = 5 cm.
Odgovor: _________________________________ 9. Vo deltoid eden od vnatre{nite agli obrazuvan od neednakvi strani e 40O. Odredi gi dru-
gite agli, ako deltoidot e tetiven. Odgovor: _________________________________ 10. Tri posledovatelni strani na eden tangenten ~etiriagolnik imaat dol`ini 5 cm, 10 cm, 8
cm. Najdi ja dol`inata na ~etvrtata strana.
Odgovor: _________________________________
123
Tema 4 FUNKCIJA.
PROPORCIONALNOST.
1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA
1. Vo podredeniot par ),( yx , prva komponenta e _________ , a vtora komponenta e _________ .
2. Zapi{i gi site podredeni parovi koi mo`at da se formiraat od elementite na mno`est-
voto 6,4,2A
Odgovor: ____________________________________________________________________________ 3. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta mu pripa|a na mno`estvoto
6,5,2A , a vtora komponenta na mno`estvoto ba,B .
Odgovor: ____________________________________________________________________________ 4. Pretstavi gi so graf podredenite parovi: a) (4,5); b) (6,2); v) (3,3). Odgovor:
5. Dadeni se mno`estvata 7,5,3A i 4,2B . Zapi{i go tabelarno i pretstavi go so graf
mno`estvoto:
a) BA b)
124
6. Dadeni se mno`estvata ba,A i 5,4,3B . Pretstavi go: tabelarno i so koordinantna
{ema mno`estvoto AB Re{enie:
a) AB b)
7. Dadeno e mno`estvoto NxxA i 74 x . Pretstavi go na a) tabelaren na~in i b) so
graf mno`estvoto 2AAA Re{enie:
a) 2A b)
8. Dadeno e mno`estvoto )9,5(),8,2(),4,3(),4,2(),4,5(),8,3(BA . Zapi{i gi tabelarno mno-
`estvata:
A B
9. Dadeni se mno`estvata 5,3,1M i 4,2B . Formiraj gi mno`estvata BA i AB i
obrazlo`i zo{to ABBA Re{enie:
a) BA b) AB
v) ABBA bidej}i ... __________________________________________________________
10. Dadeni se mno`estvata 2,1,0A , 3,2B i 5,4C . Poka`i deka e to~no slednovo
ravenstvo: C)(BC)(ACB)(A
125
2. PRAVOAGOLEN KOORDINATEN SISTEM
1. Na brojnata oska odredi ja mestopolo`bata na to~kite: )5,2(A ,
4
31B ; )3(C ; )0(0 .
Odgovor:
2. Odredi go rastojanieto na to~kata M
od pravite Ox i Oy na crte`ot.
Odgovor: To~kata M:
od Ox e oddale~ena _____ edinici.
od Oy e oddale~ena _____ edinici.
3. Odredi gi apscisata i ordinatata na
to~kata )5,2;2
1(A
Odgovor:
apscisa e: ___________________________
ordinata e: _________________________
4. Vo koj kvadrant se nao|aat
to~kite NT,M, i K , crte` 2.
Odgovor:
M se nao|a vo ___________________
T se nao|a vo ____________________
N se nao|a vo ___________________
K se nao|a vo ___________________
5. Zapi{i gi koordinatite na
to~kite NT,M, i K , crte` 2.
Odgovor:
M ( , ); T ( , ); N ( , ); K (
, ).
6. Vo pravoagolniot koordinaten sistem pretstavi gi to~kite:
3,2)A( ; )4,1(B ; )3;3(C ;
)2;0(D ; )0;1(E
126
7. Vo pravoagolen koordinaten sistem
pretstavi ja otse~kata AB , ako:
)1;2(A i )4;3(B
8. Vo pravoagolen koordinaten sistem
pretstavi go triagolnikot ABC, ako
)2;1(A )2;1(B i )3,3(C
9. Vo pravoagolen koordinaten
sistem dadeni se koordinatite
na to~kite )2;4(A i )3;2(D .
Konstruiraj go trapezot ABCD ,
na koj temiwata B i C se
simetri~ni so A i D soodvetno vo odnos na koordinatnite oski.
10. Odredi gi koordinatite na
temiwata na kvadrat na koj
ednoto teme e to~kata )2;1(A ,
dve po dve strani mu se paralel-ni so koordinantnite oski i stranata mu e dolga 4 edinici.
127
3. RELACIJA. SVOJSTVA NA RELACIITE 1. Ako A i B se neprazni mno`estva, sekoe podmno`estvo od Dekartoviot proizvod BA se
vika_______________________ od A vo B .
2. Vo mno`estvoto M so graf zadadena e relacijata R . Zapi{i ja tabelarno relacijata R .
Odgovor: R = ______________________________________________
3. Vo mno`estvoto 8,7,6,5,4,3,2,1A zadadena e relacijata R “...... e za dva pogolemo od ..... “.
Pretstavi ja relacijata : a) na tabelaren na~in; b) na opisen na~in.
Odgovor: a) R = _______________________ b) R = _______________________
4. Od mno`estvoto 10,8,6,4,2A kon mno`estvoto 5,4,3,2,1B dadena e relacijata:
R ”..... e dva pati pomal od ..... “.
a) Relacijata R pretstavi ja so graf;
b) Grafikonot na relacijata R zapi{i go na tabelaren na~in. Odgovor: a) b) R = _______________________ 5. Spored grafovite na relaciite :
),(),,(),,(),,(),,(R1 cccabbbaaa i )3,2)(2,3)(3,1)(1,3)(1,1)(1,2(),2,1(R2 ,
opredeli koja od niv e refleksivna, a koja e simetri~na.
Odgovor: a) 1R e ______________________; b) 2R e ______________________.
128
6. Koja od relaciite vo mno`estvoto A e antisimetri~na, a koja tranzitivna. Odgovor: a) tranzitivni relacii se: ________; b) antisimetri~ni relacii se: ________;
7. Vo grafot na relaciite docrtaj u{te edna strelka za da bidat relaciite:
1R refleskivna, 2R simetri~na, 3R antisimetri~na, 4R tranzitivna.
8. Vo mno`estvoto cba ,,A dadena e relacijata ..":"..R
a) pretstavi ja relacijata so graf b) utvrdi dali ovaa relacija e za ekvivalentnost (obrazlo`i go odgovorot) Odgovor: a) b)
Relacijata _____________________________________,
bidej}i ________________________________________
9. Vo mno`estvoto 6,4,2M e dadena relacijata ":"R
a) pretstavija relacijata tabelarno; b) utvrdi dali ovaa relacija e za podreduvawe (obrazlo`i go odgovorot). Odgovor: a) b) Relacijata _____________________________________,
bidej}i ________________________________________
10. Vo mno`estvoto 8,6,4,2M dadeni se relaciite 1R 2R i 3R so svoite grafovi. Utvrdi
koja relacija e za ekvivalentnost, a koja za podreduvawe: yxyxyx ,M,),(R1 ,
M,)(,(R2 yxyx x e delitel na y , yxyxyx ,M,)(,(R3
Odgovor: a) relacija za ekvivalentnost e ___________
b) relacija za podreduvawe e ___________
129
4. FUNKCIJA. VIDOVI FUNKCII. 1. Na crte`ot so graf dadeni se tri relacii. Opredeli: a) koja od tie relacii e funkcija; b) domenot i kodomenot na funkcijata. Odgovor: a) Funkcija e _______ ; b) Domen e mno`estvo _______ ; v) Kodomen e mno`estvo _______ . 2. Kaj funkcijata BA: f , simbolot Ax se vika ___________, a y ili B(x)f se vika
___________.
3. Funkcijata BA: f se vika injekcija, ako i samo ako sekoi dva _______________________
od A imaat _____________________ vo V. 4. Zaokru`i ja bukvata pred to~niot odgovor: mno`estvoto A e ekvivalentno na
mno`estvoto V (AB), samo toga{ koga postoi barem edna:
a) biekcija od BA ; b) surjekcija od BA ; v) injekcija BA
5. Neka se dadeni mno`estvata 4,3,2,1A i cba ..B .
Preslikuvaweto ),4(),,2(),,3(),,1( ccbaf e surjekcija,
dodeka preslikuvaweto ),4(),,3(),,2(),,1(q baba ne e surjekcija.
Zo{to? (Obrazlo`i) Odgovor:
6. Funkcijata f e zadadena so grafikonot:
)5,2(),4,1(),3,0(),2,1(),1,2(),0,3( f . Opredeli gi :
a) domenot na f ; b) kodomenot na f .
Odgovor:
a) D = ____________________ ; b) B = ____________________ ;
130
7. Od mno`estvoto 7,6,5A , kon mno`estvoto 16,14,13,12,10B zadadena e funkcijata
:"...f e delitel na ..." .
Opredeli: a) )6(),5( ff i )7(f ; b) mno`estvoto na vrednosti na funkcijata, unija 8,7 .
Odgovor: a) )5(f = __________ ; )6(f = __________ ; )7(f = __________ ; b) 8,7V = __________
8. Od mno`estvoto NxxA i 8x kon mno`estvoto cba ,,B dadeno e preslikuvawe-
to :"...f ako x e prost broj, toga{ ax , ako x e slo`en broj, toga{ bx , ako x ne e ni
prost ni slo`en broj, toga{ cx . Preslikuvaweto treba da se pretstavi so graf, a po-
toa da se opredeli vidot na preslikuvaweto.
9. Od mno`estvoto BA dadeno e surjektivno preslikuvawe ),5(),,7(),,3(),,1(: xyyxf . Da
se opredelat domenot i kodomenot na preslikuvaweto. Odgovor: Domen e mno`estvoto _______________ , a kodomenot e mno`estvoto _____________ .
10. Sekoja to~ka ),K( yx od koordinatnata ramnina se preslikuva vo to~ka ),('K xy .
Pri toa preslikuvawe, vo koja to~ka }e se preslika sekoja od to~kite:
)0,5(D);2,0(C);4,3(B);3,1(A .
a) Napravi crte`i: b) Od koj vid e toa preslikuvawe. Odgovor: a) b)
131
5. ZADAVAWE NA FUNKCII
1. Zadadeni se funkciite: ),4)(,3)(,2)(,1( acbaf ),3)(,2)(,1( cbaq i ),4)(,3)(,2)(,1( cacbh .
Koi od ovie funkcii se ednakvi: Odgovor: Ednakvi se funkciite _______________________________________________________
2. Za edna funkcija BA: f velime deka e zadadena, ako se poznati:
__________________________________________________________________________________ 3. Traktor pri orawe pominuva prese~no po 4,5 km na ~as. Izrazi ja zavisnosta pome|u po-
minatiot pat i potro{enoto vreme: Odgovor:
4. Grafikot na funkcijata e )1,2(),4,5(),1,3(),0,2(),1,1( f .
Pretstavi ja funkcijata so tablica. Odgovor:
x
f(x)
5. Dnevnata temperatura vo edno mesto se meri sekoi 3 ~asa i e dobiena slednata tablica.
~as 6 9 12 15 18 21 24
tem -6 -2 8 6 2 0 -4
Od tablicata odredi:
a) )24()18();9( fff . b) vo kolku ~asot temperaturata bila najvisoka
Odgovor: a) )9(f _______________; )18(f _______________; )24(f _______________;
b) Temperaturata bila najvisoka vo _________ ~asot.
6. Grafikot na edna funkcija e )1,0(),3,2(),1,1)(3,1(),5,2( f .
Pretstavi ja funkcijata )(xf : a) tabelarno , b) grafi~ki.
Re{enie: a) b)
x
f(x)
132
7. Zapi{i ja analiti~ki funkcijata definirana vo mno`estvoto Z so koja e izrazeno:
“sekoj argument x e za tri pogolem od vrednosta na funkcijata”.
Odgovor: )(xf ___________________________
8. Pretstavi ja tabelarno i grafi~ki funkcija-
ta ZA: f 2)( xxf , ako definicionata
oblast na funkcijata e mno`estvoto
2;1;0;1;2;3A
x
f(x)
9. Dadena e funkcijata 1:)ZA(: xxq . Opredeli go mno`estvoto podredeni parovi
qyx ),( , ako 4;2;0;1;3;5A
Odgovor: q _____________________________
10. Funkcijata h e zadadena so tablica.
x -2 -1 0 1 2
h(x) 5 3 1 -1 -3
Pretstavi ja grafi~ki.
133
6. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA 1. Koi od slednive koli~nici se razmeri
a) 7 : 9; b) 5
4:
4
3; v) 9 m : 5 km ; g) 0,7 : 2 kg ; d) gg
2
1:1,0 .
Odgovor: Razmeri se: __________________________________________________________________
2. Zapi{i go obratniot razmer na razmerot y
x.
Odgovor: Obratniot razmer e: _________________________________________________________ 3. Napi{i gi to~no slednite odnosi:
a) 64 km : 8 m; b) 5 ~asa : 2 min; v) 1,2m2:4dm
2.
Odgovor: a) _____________ b)_______________ v)_________________ 4. Slednive razmeri pretstavi gi so celi broevi:
a) 0,6 : 0,7; b) 4
1:
3
2; v) 4,0:
4
38 .
Re{enie: Odgovor: a) _____________ b)_______________ v)_________________ 5. Presmetaj go nepoznatiot ~len na razmerot:
a) 6:72 b) 5
11
4
12: x
Odgovor:
a) x = _____________ ; b) x =_______________ .
134
6. Sostavi proporcija od slednive ravenstva na proizvodite:
a) 12503020 b) 56,142
Odgovor: a) 20 : 50 = b) 2 : 1,6 =
7. Kolku treba da iznesuva x vo ravenstvoto: 20:9:5,4 x
Odgovor: x = _____________ ; 8. Presmetaj go x vo slednata proporcija: 21:42)2(:18 x
Odgovor:
x = _____________ ; 9. Vo edno u~ili{te brojot na ma{kite sprema brojot na `enskite u~enici se odnesuva
kako 4 : 5. Opredeli kolku bile ma{ki, a kolku `enski u~enici, ako vo u~ili{teto ima-lo vkupno 990 u~enici.
Re{enie: Odgovor: ma{ki u~enici bile __________________
`enski u~enici bile _________________
10. Opredeli gi vnatre{nite agli na triagolnikot, ako nivnite golemini se odnesuvaat ka-
ko 3 : 4 : 5. Re{enie:
Odgovor:
135
7. PRAVA PROPORCIONALNOST
1. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta 3
2.
Zapi{i ja zavisnosta so formula. Odgovor:
2. Ako elementot x od mno`estvoto A (domen) se preslikuva vo elementot y od mno`est-
voto B (kodomen) po formulata kxy , toga{ zavisnosta me|u tie dve veli~ini e________
__________________________________________________________________________________ 3. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y se dadeni so podredenite parovi: (2,8),
(3,12), (5,20). Odredi go koeficientot na proporcionalnosta:
Odgovor: ______k _________
4. Eden avtobus se dvi`i so 75 km na ~as. Kolkav pat }e pomine za t ~asa.
Odgovor: Za t ~asa }e pomine_______ km.
5. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4k .
Opredeli go mno`estvoto na vrednosta y , ako 5,4,0,1,2,3 x .
Re{enie:
Odgovor: y
6. Opredeli koi od veli~inite dadeni so tablicata se pravoproporcionalni. a) b) v)
x 3 6 9 12 x 4 8 12 16 x 9 12 15 18
y 5 10 15 20 y 6 12 8 4 y 3 4 5 6
Odgovor: Pravoproporcionalni veli~ini se: __________________________________________
136
7. Popolni ja tablicata, ako veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na
porcionalnosta 4,0k .
x 0.5 1,25 2
11
8
1 2
y
8. Popolni ja tablicata, ako e poznato deka veli~inite x i y se pravoproporcionalni:
x -3 -2 5 8
y -10 10 25 50
9. Pretstavi ja grafi~ki pravata proporcionalnost xy 2
x -2 -1 0 1 2 3
y
10. Koeficientot na pravoproporciolanost e 2
12 .
Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik
x -4 -2 0 2 4
y
137
8. OBRATNA PROPORCIONALNOST
1. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni. Zapi{i ja taa zavisnost so formula ako ko-eficientot na proporcionalnost e 5.
Odgovor: 2. So koja od slednite formuli e pretstavena obratnata proporcionalnost.
a) x
y2
; b) xy4
3 ; v)
xy
12
Odgovor: Obratnoproporcionalni se: _________________.
3. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost 2
1k .
Odredi ja vrednosta na y , ako 6,0x
Odgovor: _________y
4. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta 5
2.
Odredi ja vrednosta x ako 4,0y .
Odgovor: _______x _____
5. Odnosot na dve proizvolni vrednosti od domenot e ednakov na obratniot odnos na : __________________________________________________________________________________ 6. Veli~inite x i y se obratno proporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4.
Sostavi tablica za ovie veli~ini ako 5,2,1,0,1,2,5 x .
Re{enie:
x -5 -2 -1 0 1 2 5
y
138
7. Ako x i y se obratnoproporcionalni veli~ini. Popolni ja tablicata otkako }e go od-
redi{ koeficientot na proporcionalnosta.
Re{enie: k = _____________________
x 4 6 8 24
y 8 4
8. Veli~inite x i y zadadeni so tablicata se obratnoproporcionalni. Od tablicata opre-deli go koeficientot na proporcionalnost i zapi{i ja formulata so koja e izrazena za-visnosta me|u x i y .
x 24 12 6 3
y 2 1 2
1
4
1
Odgovor: a) ______k b) y =
9. Popolni ja tablicata i nacrtaj go grafot na funkcijata x
y4
x 1 2 2
1 -
2
1 -1 -2 -4 4
y
10. Nacrtaj go grafikot na funkcijata x
y8
x
y
139
9. PROSTO TROJNO PRAVILO
1. Za {iewe na 12 ma{ki kostumi upotrebeno e 36 m {tof. Kolku metri e potrebno za {ie-we na 16 takvi kostumi.
Odgovor: Potrebni se _________ metri {tof.
2. Od 0,5 toni sve`i jabolka se dobivaat 95 kg suvi jabolka. Kolku kilogrami suvi jabolka }e se dobijat od 2,1 ton sve`i jabolka.
Odgovor: ]e se dobijat _________ jabolka.
3. Edna pumpa za voda dava 72 m3 voda za 4 ~asa i 12 minnuti. Za kolku vreme pumpata }e dade
2143 m3voda. Odgovor: Za vreme od ____________ 4. 24 kravi se hranat so nekoja hrana 6 dena. Kolku dolgo }e se hranat so istata hrana 36
kravi? Odgovor: 36 kravi }e se hranat _________ dena.
5. Eden avtomobil na 120 km vozewe tro{i 9 litri benzin. Kolku benzin }e potro{i na pat
od 216 km? Odgovor: ]e potro{i _________ litri benzin.
140
6. Edno ni{alo pravi 67 oscilacii (ni{awa) vo edna minuta. Za kolku sekundi }e napravi 2278 oscilacii?
Odgovor: ]e napravi za ________ oscilacii ___________ minuti. 7. Eden traktor so tri pluga mo`e da izora 84 dekari zemja. Kolku dekari zemja }e izora
ako raboti so 4 pluga so ista brzina. Odgovor: ]e izora ________ dekari zemja. 8. Eden zap~enik so 30 zapci pravi 80 zavrtuvawa vo minuta. Kolku zapci ima drug zap~enik
koj e svrzan so nego, ako za isto vreme pravi 60 zavrtuvawa. Odgovor: Ima ________ zapci. 9. Edna rabota ja zapo~nale 33 rabotnici, i po planot bi ja zavr{ile za 80 dena. Me|utoa
posle 16 dena rabotewe, 9 rabotnici se premesteni na drugo gradili{te. Za kolku dena e zavr{ena rabotata.
Odgovor: Rabotata }e se zavr{i za ________ dena. 10. 32 rabotnika mo`at da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite se
zgolemil za 16. Za kolku dena }e se zavr{i istata rabota. Odgovor: Istata rabota }e se zavr{i za _______ dena.
141
10. RABOTA SO PODATOCI
1. Prose~nata temperatura vo tekot na edna nedela vo mesec januari iznesuva:
-9OC, -11,5
OC, -7,8
OC, -3,2
OC, 2
OC, 5,5
OC i 6
OC. Presmetaj ja srednata temperatura na
vozduhot vo taa nedela: Re{enie:
Odgovor: Srednata temperatura e: _____ OC
2. Odredi ja geometriskata sredina na broevite
a) 3 i 27 b) 36
5i
5
4
Odgovor: a) _______________ ; b) _______________. 3. Vo nizata (podatoci) broevi: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7 opredeli go modot. Odgovor: Mod _________
4. Dadena e nizata broevi 2; ;3
12 3; 3,5; 4; 5; 6. Opredeli go rangot.
Odgovor: Rang _________
5. Opredeli go rangot, modot i medijanata na podatoci. 2; ;4
36;
2
13 8; 8; 9; 9; 9; 12.
Odgovor: a) Rang ___________ ; b) Mod ___________ ; v) Medijana ___________
142
6. Vo edna kutija ima 15 beli, 25 crveni i 20 sini top~iwa. Koja e verojatnosta so edno izv-
lekuvawe da se izvle~e: belo, crveno ili sino top~e. Odgovor: belo: __________ ; crveno: __________ ; sino: __________ ; 7. Koja e verojatnosta na frlena kocka za igrawe da se poka`e brojot 6. Odgovor: _________ 8. Dali e mo`no? Ako na polno} vrne do`d, dali mo`eme da se nadevame deka po 48 ~asa vre-
meto }e bide son~evo? Odgovor: _________ 9. Da se doka`e deka me|u 367 lu|e sekoga{ ima barem dvajca {to imaat zaedni~ki roden-
den? Odgovor: __________ 10. Dadeni se pet proizvolni prirodni broevi. Doka`i deka pome|u niv postojat barem dva,
taka {to nivnata razlika e deliva so 4. Odgovor: ___________
143
TEST - 1
1. Mno`estvo R od podredenite parovi na relacijata R, }e go vikame ____________________ 2. Ako razli~ni elementi od mno`estvoto A se preslikuvaat vo razli~ni elementi od mno-
`estvoto B t.e. 21 xx , toga{ e )()( 21 xfxf preslikuvaweto BA: f velime deka e
__________________________ ili _______________________ preslikuvame.
3. Razmerite 24 : 6 i 16 : x se ednakvi za x = _____________________________________________
4. Daden e grafikot na funkcijata )6,3)(4,2();2,1();0,0();2,1( f .
Nejziniot analiti~ki zapis e: )(xf _______________________________
5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se obratnoproporcionalni veli~ini:
x 2 3 6
y 12 4
6. Presmetaj ja geometriskata sredina za broevite 8 i 18.
Re{enie: Odgovor: Geometriskata sredina e brojot ____________ .
7. Dadeno e mno`estvoto 5,3,1A . Zapi{i go so graf i tabelarno mno`estvoto A2.
Odgovor: a) b)
2A
144
8. Presekot na dijagonalite na kvadratot le`i vo koordinatniot po~etok. Temeto A ima koordi-nati (-4,-4). Opredeli gi koordinatite na osta-natite tri temiwa na kvadratot.
9. Vo eden den dvi`eweto na temperaturata na vozduhot bilo zapi{ano so sledniov grafik.
~as 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
temp. OC
Koristej}i go grafikot popolni ja tablicata, a potoa opredeli ja najniskata i najvisoka-ta temperatura na denot:
Odgovor: b) temperaturata bila najvisoka vo _______ ~asot, a najniska vo _______ ~asot. 10. Masata na `elezoto od 120 m
3 e 93,6 g. Kolkava e masata na `elezoto od 20 cm
3?
Re{enie: Odgovor: Masata na `elezoto od 20 cm
3 e ________ g.
145
TEST - 2
1. Mno`estvoto od podredenite parovi na koi prvata komponenta e od mno`estvoto A, a
vtorata od B se vika __________________ na mno`estvoto A i B i se ozna~uva so _________.
2. Vrednostite na apscisata i ordinatata na edna to~ka so edno ime se vikaat _____________
na to~kata.
3. Izrazi ja so formula zavisnosta me|u stranite i perimetarot na kvadrat. Odgovor:
4. Kolku treba da iznesuva h vo ravenstvoto 3 : h = 6 : 8, za ravenstvoto da bide proporcija. Odgovor: h=_________ 5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se pravoproporcionalni veli~ini so koeficient na
proporcionalnost 12k
Odgovor:
x 2 3 4
y
6. Opredeli go procentot na sol vo rastvor, ako vo 5 kg rastvor ima 250 g sol.
Re{enie: Odgovor: Vo rastvorot ima _________% sol.
7. Vo mno`estvoto NxA x i 13x zadadena e relacijata A),(R xyx i y A i
12 yx
a) pretstavi ja relacijata tabelarno; b) koe svojstvo go ima ovaa relacija Re{enie: Odgovor: a) R = ______________________________________________________________
b) Relacijata R e ____________________________________________________
146
8. Vodostojot na rekata od 1 do 6 juni se menuva spored dadenata tablica. Nacrtaj go grafi-kot na vodostojot na rekata vo ovoj vremenski period.
Datum 1 2 3 4 5 6
Vodostoj 4 0 -2 -3 -5 -6
9. Veli~inite x i y vo dadenata tablica se obratnoproporcionalni. Odredi go koefici-
entot na proporcionalnosta, a potoa popolni ja tablicata. Odgovor: a)
______k ;
b)
x 8 4 1 0,5
y 5 20 2
1
10. ^etiri traktori mo`at da izoraat edna niva za 12 dena. Za kolku dena istata niva }e ja
izoraat 6 traktori so ista mo}nost.
Re{enie: Re{enie: [este traktori }e ja izoraat nivata za __________ dena.
147
TEST - 3
1. Mno`estvoto AA se vika________________________________ i se ozna~uva so __________.
2. Kako od grafot na edna relacija se utvrduva deka taa e simetri~na? Odgovor: _____________________________________________________________________________
3. Ako grafikot na funkcijata e )7,5(),6,4(),5,3(),4,2(),3,1(),2,0f . Zapi{i ja funkcijata
analiti~ki. Odgovor: )(xf
4. So formulata 3x
y iska`ana e _______________________ proporcionalnost me|u veli~i-
nata x i y so koeficient na proporcionalnosta ______k ____.
5. Popolni ja tablicata vo koja veli~inite x i y se vo obratna proporcionalnost.
x 1 3 9
y 18 6 1
6. Konstruiraj go grafikot na prvata proporcionalnost xy 2 .
Re{enie:
x
y
148
7. Grafikot na edna funkcija e )6,3(),4,2(),1,1(),0,0(),0,3(),4,2(),1,1( f .
Pretstavi ja grafi~ki funkcijata.
Re{enie:
x
y
8. Opredeli ja vrednosta m vo proporcijata 2:149:)3( m .
Re{enie:
Odgovor: m = ____________ 9. Na slikata grafi~ki e pretstavena zavisnosta na vremeto t i brzinata v na telo koe se
dvi`i od mestoto A do mestoto B. So pomo{ na grafikot opredeli so koja brzina }e se dvi`i teloto na patot od A do B, ako mu e potrebno vreme od: a) 1 ~as; b) 2 ~asa; v) 4 ~asa; g) 8 ~asa.
Odgovor: a)________km,
b)________km,
v)________km,
g)________km
10. Eden patnik za 11 ~asa }e pomine 55 km. Kolku km pat, patnikot }e pomine za 9 ~asa, ako
se dvi`i so ista brzina.
Re{enie: Odgovor: Za 9 ~asa }e pomine ________ km.
149
TEST - 4
1. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija{to prva komponenta mu pripa|a na mno`estvoto
8,5,2A a vtorata na mno`estvoto ba,B .
Odgovor:
2. Vo grafot docrtaj dve strelki za relacijata da bide relacija za podreduvawe.
3. Dopolni ja re~enicata za tvrdeweto da bide to~no. Za edna relacija R od mno`estvoto A
kon mno`estvoto B velime deka e preslikuvawe (funkcija), ako ________________________
___________________________________________________________________________________
4. Od broevite 3, 5, 9 i 15 sostavi edna proporcija. Odgovor:
5. So formulata x
y6
opredlena e ________________________ proporcionalnost so koefi-
cient na proporcionalnost _________k
6. Vo edno oddelenie imalo 30 u~enici, od koi 6 bile odli~ni. Izrazi go brojot na drugite
u~enici vo procent.
Re{enie: Odgovor: Procentot na drugite u~enici bil_________%.
7. Funkcijata f e zadadena so mno`estvoto parovi, )3,2(),2,1(),1,0(),0,1(),1,2(),2,3(),1,4( .
Opredeli: a) definiciona oblast (mno`estvo) i b) mno`estvo na vrednosti
Odgovor:
a) D b) V
150
8. Dadena e funkcijata R,2 xxy .
Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik. Re{enie:
x -2 -1 0 1 2
y
9. Opredeli dali se pravoproporcionalni veli~inite dadeni vo tabelata, a potoa opredeli go koeficientot na proporcionalnost ako go ima.
x 3 -4 -3 2,5 -6,1
y 9 -12 -9 7,5 -18,3
Odgovor: a) Veli~inite se: _______________ ; b) Koeficient na proporcionalnosta e ________k .
10. Edna rabota 72 rabotnika }e ja zavr{at za 45 dena. Za kolku dena istata rabota }e ja zavr-{at 60 rabotnici? Re{enie:
Odgovor: 60 rabotnici rabotata }e ja zavr{at za ___________ dena.
151
TEST - 5
1. Dadeno e mno`estvo )6,5)(5,4)(4,3)(3,2)(2,1(BA . Zapi{i gi na tabelaren na~in
mno`estvata:
A B
2. To~kata A (-3,-2) le`i vo _____________________ kvadrat od koordinatnata ramnina.
3. Od mno`estvoto A kon mno`estvoto B so graf zadadena e funkcijata f
Od grafot odredi: _______)1( f ; _____)3( f __; _____)4( f ___
Odgovor:
_______)1( f ; _____)3( f __; _____)4( f ___
4. Funkcijata f zadadena e so mno`estvo poredeni parovi )5,2(),4,1(),2,1(),0,3(),2,5( .
Pretstavi ja funkcijata so tablica:
x
y
5. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y dadena e so podredenite parovi (2,8);
(3,12); (4,16); (6,24). Odredi go koeficientot na proporcionalnost? Odgovor:
_______k
152
6. Konstruiraj go grafot na obratna proporcionalnost x
y8
.
x -1 -2 -4 -8 1 2 4 8
y
7. Vo mno`estvoto M = {A,B,V,G,D,\,E} e zadadena relaci-
jata R, “.... e sestra na ....”. a) relacijata pretstavi ja na tabelaren na~in
R =________________________________________ b) zapi{i go mno`estvoto na ma{ki deca
A ________________________________________
8. Vo edno u~ili{te brojot na u~enici ~lenovi na grupite, mladi matemati~ari, mladi fi-
zi~ari i mladi biolozi se odnesuva kako 5 : 4 : 2 soodvetno, a nivniot vkupen broj e 55. Opredeli go brojot na ~lenovite vo sekoja grupa:
Re{enie: Odgovor: matemati~ari: ________; fizi~ari: ________ ; biolozi: ________ . 9. Se znae deka veli~inite x i y se obratnoproporcionalni.
a) popolni ja slednava tabela
x 1 2 4 8 -1 -2 -4
y -2
b) napi{i ja formulata {to ja izrazuva proporcionalnosta me|u veli~inite x i y
___________________________________)( xf
10. 32 rabotnika mo`at da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite se zgolemil za 16. Za kolku dena }e bide zavr{ena istata rabota.
Re{enie: Odgovor: Rabotata }e bide zavr{ena za _________ dena.
153
SODR@INA
TEMA 1 - VEKTORI. TRANSLACIJA. ROTACIJA
1. PRAVEC I NASOKA. NASO^ENA OTSE^KA – VEKTOR ..................................................................................... 05 2. EDNAKVOST NA VEKTORI .................................................................................................................................. 07 3. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA ............................................................................................................... 09 4. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ ...................................................................... 11 5. TRANSLACIJA ...................................................................................................................................................... 13 6. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA ........................................................................................................................ 15 7. PRIMENA NA TRANSLACIJA .............................................................................................................................. 17 8. NASO^EN AGOL. ROTACIJA ............................................................................................................................... 19 9. SVOJSTVA NA ROTACIJATA ............................................................................................................................... 21 10. PRIMENA NA ROTACIJATA ................................................................................................................................ 23 TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 25 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 27 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 29 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 31 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 33
TEMA 2 – STEPENI. KVADRATEN KOREN. POLINOMI
1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ ..................................................................................... 35 2. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI. STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN .................................................................................. 37 3. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ. POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ................................................................................... 39
4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ..................................................................... 41 5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ ......................................................................................................................... 41 6. REALNI BROEVI .................................................................................................................................................. 41 7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA ....................................................................... 41
8. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ (BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI) ................................................................................................ 43
9. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI .................................................................................... 45 10. BINOM. TRINOM. POLINOM .............................................................................................................................. 47 11. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT ............................................................................................................. 47 12. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI ........................................................................................................... 49 13. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI ............................................................................ 49 14. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI ....................................................................................................... 51 15. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI .................................................................................................................. 53 16. STEPENUVAWE NA MONOMI .............................................................................................................................. 53 17. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM ............................................................................................................... 53 18. MNO@EWE NA POLINOMI ................................................................................................................................ 55 19. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE ................................................................................................................ 57 20. DELEWE NA POLINOM SO MONOM ................................................................................................................... 59 21. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM ............................................................................................................... 59 22. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI ......................................................................................................................... 61 23. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI ...................................................................... 63 TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 65 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 67 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 69 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 71 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 73 TEST 6 ............................................................................................................................................................................ 75 TEST 7 ............................................................................................................................................................................ 77 TEST 8 ............................................................................................................................................................................ 79 TEST 9 ............................................................................................................................................................................ 81 TEST10 ........................................................................................................................................................................... 83
154
TEMA 3 – KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK. PLO[TINA
1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA ............................................................................................................................ 85 2. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA ......................................................................................................... 86 3. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA ............................................................................................... 87 4. AGOL POME\U TANGENTA I TETIVA ................................................................................................................. 88 5. TETIVEN ^ETIRIAGOLNIK ................................................................................................................................ 89 6. TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK ........................................................................................................................... 90 7. OP[TO ZA MNOGUAGOLNIKOT .......................................................................................................................... 91 8. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ............................................................................................................................ 92 9. OPI[ANA I VPI[ANA KRU@NICA .................................................................................................................. 93 10. KONSTRUKCIJA NA NEKOI PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ........................................................................... 94 11. PITAGOROVA TEOREMA ....................................................................................................................................... 95 12. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA .............................................................................................................. 96 13. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKA
KOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , ... ...................................................................................... 97
14. POIM ZA PLO[TINA............................................................................................................................................ 98 15. PLO[TINA NA PRAVOAGOLNIK ......................................................................................................................... 99 16. PLO[TINA NA PARALELOGRAM ....................................................................................................................... 100 17. PLO[TINA NA TRIAGOLNIK ............................................................................................................................ 101 18. PLO[TINA NA TRAPEZ ...................................................................................................................................... 102 19. PLO[TINA NA DELTOID ................................................................................................................................... 103 20. PLO[TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK .................................................................................................. 104 21. DOL@INA NA KRU@NICA .................................................................................................................................. 105 22. DOL@INA NA KRU@EN LAK ............................................................................................................................... 106 23. PLO[TINA NA KRUG ........................................................................................................................................... 107 24. PLO[TINA NA KRU@EN ISE^OK I KRU@EN PRSTEN ................................................................................. 108 25. DIJAGRAM ............................................................................................................................................................. 109 26. POPULACIJA. PRIMEROK ................................................................................................................................. 110 TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 111 TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 113 TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 115 TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 117 TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 119 TEST 6 .......................................................................................................................................................................... 121
TEMA 4 – FUNKCIJA. PROPORCIONALNOST
1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA ........................................................................................................ 123 2. PRAVOAGOLEN KOORDINATIVEN SISTEM ................................................................................................... 125 3. RELACIJA. SVOJSTVA NA RELACIITE ........................................................................................................... 127 4. FUNKCIJA. VIDOVI FUNKCII ........................................................................................................................ 129 5. ZADAVAWE NA FUNKCII .................................................................................................................................. 131 6. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA ................................................................................ 133 7. PRAVA PRAPORCIONALNOST .......................................................................................................................... 135 8. OBRATNA PROPORCIONALNOST .................................................................................................................... 137 9. PROSTO TROJNO PRAVILO .............................................................................................................................. 139 10. RABOTA SO PODATOCI ..................................................................................................................................... 141 TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 143 TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 145 TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 147 TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 149 TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 151
155
Akcionersko dru{tvo za izdavawe na u~ebnici i nastavni sredstva
PROSVETNO DELO – SKOPJE, ul.”Dimitrie ^upovski” br.15
Za izdava~ot:
m-r Pavle PETROV, generalen direktor
Avtorite
Kostadin TREN^EVSKI, Ivan TRAJKOV, Gerasim DAVIDOVSKI, Zanko MILANOV, Stojko STOJOSKI
RABOTNA TETRATKA
PO MATEMATIKA
ZA VII ODDELENIE
Lektor
Elena TO[EVA
Tehni~ki urednik
Bla`e TAN^EVSKI
Korektor
Sofija VULOVSKA Vildan HAXIMUHAREM
Prelom na tekst
Metodija ANDONOV
Rakopisot e predaden vo pe~at vo avgust 2002 godina. Pe~ateweto e zavr{eno vo avgust 2002 godina. Obem 156 stranici.
Format: 20 h 28 cm. Tira`: 3.000 primeroci. Knigata e
otpe~atena vo Pe~atnica “Ilinden” – [tip.