Subtema 4.1.2. Fuerzas en el espacio.

• Una fuerza F en el

espacio tridimensional

se puede descomponer

en componentes

rectangulares Fx , Fy y

Fz. Denotado por:

xx θFF cos

yy θFF cos

zz θFF cos

Los ángulos que F

forma,

respectivamente, con

los ejes x, y, y z se

tiene:

zyx θ ,θθ y

Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical Fy

y una componente horizontal Fh ; esta operación , se lleva acabo en

el plano OBAC siguiendo

las reglas desarrolladas en la primera parte de este capitulo.

*Las componentes escalares correspondientes son:

Fy= F cos θy Fh= F sen θy

*Fh se puede descomponer en dos componen-

tes rectangulares Fx y Fz a lo largo de las ejes

x y z , respectivamente.

De esta forma, se obtiene las siguientes expresiones

para las componentes escalares de Fx y Fz:

Fx= Fh cos Ф = F sen θ y cos Φ

Fz= Fh sen Φ = F sen θ y sen Φ

La fuerza dada F se descompone en tres

componentes vectoriales rectangulares :

Fx, Fy y Fz.

Aplicando el teorema el teorema de Pitágoras a los triángulos OBA y OCD:

F²= (OA)² =(OB)²+(BA)²=F²y + F²h

F²= (OC)² =(OD)²+(DC)²=F²x + F²z

Eliminando Fh de estas dos escalares y resolviendo para F, se obtiene la siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares :

_______________

F=√ Fx² + Fy² + Fz²

Problemas de vectores en el espacio

1.- Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45°, y 120° con los ejes x, y, y z respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy, y Fz de la fuerza.

A) Fx = F cos θx = Fx = 500 N x cos 60

Fx = 500 N x 0.5 = 250 N.

Fy = F cos θy = Fy = 500 N x cos 45

Fy = 500 N x 0.7071 = 354 N.

Fz = F cos θz = Fz = 500 N x cos 120

Fz = 500 N x -0.5 = -250 N.

Este último resultado es importante. Siempre

que una componente tenga un ángulo

obtuso, la componente tendrá un signo

negativo y viceversa.

2.- Una fuerza tiene las componentes Fx= 20 lb, Fy = -30 lb, Fz = 60 lb. Determine la magnitud de la fuerza resultante F, y los ángulos Θx, Θy y Θz.

_______________

F=√ Fx² + Fy² + Fz²

________________________

F =√(20 lb)2 + (-30 lb)2 + (60 lb)2

_____________________________

F =√400 lb + 900 lb + 3600 lb

________

F = √4900 lb F = 70 lb.

b) cos θx = Fx/F θx = 20 lb/70 lb = 0.2857.

θx = cos-1 0.2857 = 73.4

.

cos θy = Fy/F θy = - 30 lb/70 lb = -0.4285

θy = cos -1 -0.4285 = 115.4

.

cos θz = Fz/F θz = 60 lb/70 lb = 0.8571.

θz = cos-1 0.8571 = 31

.

3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus componentes Fx = -1060 N, Fy= +2120 N, Fz = +795 N. Calcular los ángulos de dicha fuerza, con respecto a los ejes x, y, y z (Θx, Θy, Θz).

Cos Θx = Fx/F =- 1060 N/2500 N = - 0.424

Θx = cos-1 - 0.424 = 115.1°.

Cos Θy = Fy/F = 2120 N/2500 N = 0.848.

Θy = cos-1 0.848 = 32°.

Cos Θz = Fz/F = 795 N/2500 N = 0.318

Θz = cos-1 0.318 = 71.5°.

4.- Determine la magnitud y dirección (Θx, Θy, Θz) de la fuerza F= (260 N)i-(320 N)j+(800 N)k.

____________

F = √Fx² + Fy² + Fz²

___________________________

F = √(260 N)2 + (-320 N)2 + (800 N)2

____________________________

F= √67600 N + 102400 N + 640000 N

________

F = √810000 N

F = 900 N.

b) cos θx = Fx/F θx = 260 N/900 N = 0.2888.

θx = cos-1 0.2888 = 73.2

.

cos θy = Fy/F θy = - 320 N/900 N =

-0.3555 θy = cos-1 – 0.3555 = 110.8

.

cos θz = Fz/F θz = 800 N/900 N = 0.8888

θz = cos-1 0.8888 = 27.3

.

5.- Determine la magnitud y dirección de la fuerza F, (cosenos directores) (Θx, Θy, Θz) dada por la ecuación:

F= (320 N)i+(400 N)j-(250 N)k.

____________

F = √Fx² + Fy² + Fz²

___________________________

F = √(320 N)2 + (400 N)2 + (- 250 N)2

____________________________

F= √102400 N + 160000 N + 62500 N

________

F = √324900

F = 570 N.

b) cos θx = Fx/F θx = 320 N/570 N = 0.5614.

θx = cos-1 0.5614 = 55.8

.

cos θy = Fy/F θy = 400 N/570 N =

0.7017 θy = cos-1 0.7017 = 45.4

.

cos θz = Fz/F θz = -250 N/576 N =

- 0.4340. θz = cos-1 -0.4340 = 116

.

6.- El tirante de una torre, está anclado por

medio de un perno en A. La tensión en dicho

cable es de 2500 Newtons. Determine las

componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que

actúa sobre el perno, conociendo que dx = -

40 m, dy = +80 m, dz = +30 m..

____________

d = √dx² + dy² + dz²

_______________________

d = √(-40m)2 + (80 m)2 + (30 m)2

____________________________________

d = √ 1600 m2 + 6400 m2 + 900 m2.

________

d = √8900 m2.

d = 94.33 m

Fx = dx F

d

Fx = - 40 m (2500 N)

94.33 m

Fx = - 0.4240 (2500) = -1060 N.

Fy = dy F

d

Fy = 80 m (2500 N)

94.33 m

Fy = 0.8480 (2500) = 2120 N.

Fz = dz F

d

Fy = 30 m (2500 N)

94.33 m

Fy = 0.3180 (2500) = 795 N.

7.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección dada por los ángulos Θy=55° y Θz=45°. Sabiendo que la componente de la fuerza en x (Fx)= -500 lb, determine a) las otras componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de Θx.

Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θx.

cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando

cos2 Θx tenemos:

cos2 Θx= 1- (cos2 Θy + cos2Θz).

Sustituyendo valores:

cos2 Θx = 1 - (cos2 55°+ cos2 45°)

cos2 Θx= 1 - (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711.

Este resultado es el resultado del coseno cuadrado

de Θx, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para

obtener el valor del coseno de Θx:

______

cos Θx= √0.1711 = 0.4136.

Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0.4136)

se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F,

utilizando la componente Fx, tomando su valor

absoluto, es decir de forma positiva. con la

ecuación:

Fx = F cos Θx. despejando F tenemos:

F= Fx/cos Θx

Sustituyendo valores: F= 500 lb /0.4136 =

1209 lb.

Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F,

ya se pueden hallar las otras dos componentes de la

fuerza Fy y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fy=

FcosΘy y Fz= Fcos Θz.

Sustituyendo valores:

Fy= 1209 N x cos 55° F y= 1209 N x 0.5735

Fy= +694 N

Fz= 1209 N x cos 45° F= 1209 N x 0.7071= +855 lb.

Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la siguiente ecuación:

Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θx= -500 lb/1209 lb= cos Θx= -0.4135.

Θx= cos-1 -0.4135. Θx= 114.4°.

Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.

Recapitulando: las respuestas son:

Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4

8.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección, definida por los ángulos, Θx=69.3° y Θz=57.9°. Sabiendo que la componente y de la fuerza es de Fy = -174 lb, determine: a) el ángulo Θy, b) las componentes Fx y Fz de la fuerza y la magnitud de la fuerza F.

Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θy.

cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando

cos2 Θy tenemos:

cos2 Θy= 1- (cos2 Θx + cos2Θz).

Sustituyendo valores:

cos2 Θy = 1 - (cos2 69.3°+ cos2 57.9°)

cos2 Θy= 1 - (0.1249 + 0.2823)= 1-(0.4072)= 0.5928.

Este resultado es el coseno cuadrado de Θy, por lo

tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el

valor del coseno de Θx:

______

cos Θx= √0.5928 = 0.7699.

Una vez obtenido el valor del coseno de Θy (0.7699)

se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F,

utilizando la componente Fy, tomando su valor

absoluto, es decir de forma positiva. con la

ecuación:

Fy = F cos Θy. despejando F tenemos:

F= Fy/cos Θy

Sustituyendo valores: F= 174 lb /0.7699 =

226 lb.

Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F,

ya se pueden hallar las otras dos componentes de la

fuerza Fx y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fx=

FcosΘx y Fz= Fcos Θz.

Sustituyendo valores:

Fx= 226 lb x cos 69.3 ° Fx= 226 lb x 0.3534

Fx= 79.9 lb

Fz= 226 lb x cos 57.9° Fz = 226 lb x 0.5313 =120.1

lb.

Finalmente se halla el valor del ángulo Θy, mediante la siguiente ecuación:

Fy= Fcos Θy. Despejando cos Θy= Fy/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θy= -174 lb/226 lb= cos Θy=

-0.7699

Θy= cos-1 -0.7699. Θy= 140.3°.

Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.

Recapitulando: las respuestas son:

Fx= 76.9 lb, Fz= 120.1 lb, b) F= 226 lb, c) Θy= 140.3°

9. Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección definida por los ángulos Θx=70.9°,y Θy=144.9°. Sabiendo que la componente z de la fuerza es de Fz = -52 lb, determine: a) el ángulo Θz y b) las componentes restantes (Fx y Fy) y la magnitud de la fuerza F.

Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θz.

cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando

cos2 Θz tenemos:

cos2 Θz= 1- (cos2 Θx + cos2Θy).

Sustituyendo valores:

cos2 Θz = 1 - (cos2 70.9°+ cos2 144.9°)

cos2 Θz= 1 - (0.1070 + 0.6693)= 1-(0.7763)= 0.2237.

Este resultado es el coseno cuadrado de Θz, por lo

tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el

valor del coseno de Θz:

______

cos Θz= √0.2237 = 0.4729.

Una vez obtenido el valor del coseno de Θz (0.4729)

se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F,

utilizando la componente Fz, tomando su valor

absoluto, es decir de forma positiva, con la

ecuación:

Fz = F cos Θz. despejando F tenemos:

F= Fz/cos Θy

Sustituyendo valores: F= 52 lb /0.4729 =

110 lb.

Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F,

ya se pueden hallar las otras dos componentes de la

fuerza Fx y Fy con las ecuaciones ya conocidas: Fx=

FcosΘx y Fy= Fcos Θy.

Sustituyendo valores:

Fx= 110 lb x cos 70.9 ° Fx= 110 lb x 0.3272

Fx= 36 lb

Fy= 110 lb x cos 144.9° Fy = 110 lb x - 0.8181 = - 90

lb.

Finalmente se halla el valor del ángulo Θz, mediante la siguiente ecuación:

Fz= Fcos Θz. Despejando cos Θz= Fz/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θz= - 52 lb/110 lb= cos Θz=

-0.4727

Θz= cos-1 -04727. Θz= 118.2°.

Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.

Recapitulando: las respuestas son:

Fx= 36 lb, Fy= - 90 lb, b) F= 110 lb, c) Θz= 118.2°

10.- Una fuerza F de magnitud 230 Newtons, actúa

en el origen de un sistema coordenado. Sabiendo

que θx = 32.5

, Fy = - 60 Newtons y Fz>0, determine

a) las componentes Fx, y Fz y b) los ángulos θy, y

θz.

a) Primero hallamos Fx, con la fórmula

Fx = F cos θx. Sustituyendo tenemos:

Fx = 230 N x cos 32.5

Fx = 230 N x 0.8433 = 193.98 Newtons.

Como conocemos Fy y F, obtenemos ahora θy, con la fórmula:

Fy = F cos θy. Despejando cos θy tenemos:

Cos θy = Fy/ F. Cos θy = - 60 N = - 0.2608

230 N

θy = cos-1 -0.2608 = 105.12

.

Para hallar la componente Fz, debemos hallar primero θz, con la fórmula:

cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1. Despejando cos2Θz, tenemos:

cos2Θz = 1- (cos2 Θx + cos2 Θy)

Sustituyendo valores tenemos:

cos2Θz = 1- (cos2 32.5° + cos2 105.12°)

cos2Θz = 1- (0.7113 + 0.0680)

cos2Θz = 1-0.7793 = 0.2207.

______

Cos Θz = √0.2207 = 0.4697

Θz = cos-1 0.4697 = 61.97°.

Fz = F cos Θz. F = 230 N x 0.4697 = 108.05 N.

Los resultados son entonces:

a) Fx = 193.98 N, Fz = 108.05 N b) Θy = 105.12°, Θz = 61.97°.

11.- Una fuerza F de magnitud 210 Newtons, actúa

en el origen de un sistema coordenado. Sabiendo

que Fx = 80 N, θz = 151.2

y Fy >0. Determine a) las

componentes Fy y Fz y los ángulos θx y θy.

a) Primero hallamos Fz, con la fórmula

Fz = F cos θz. Sustituyendo tenemos:

Fz = 210 N x cos 151.2

Fz = 230 N x - 0.8763 = 184 Newtons.

Como conocemos Fx y F, obtenemos ahora θx, con la fórmula:

Fx = F cos θx. Despejando cos θx tenemos:

Cos θx = Fx/ F. Cos θx = 80 N = 0.3809

210 N

θx = cos-1 0.3809 = 67.6

.

Para hallar la componente Fy, debemos hallar primero θy, con la fórmula:

cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1. Despejando cos2Θy, tenemos:

cos2Θx = 1- (cos2 Θx + cos2 Θz)

Sustituyendo valores tenemos:

cos2Θy = 1- (cos2 67.6° + cos2 151.2°)

cos2Θy = 1- (0.1452+ 0.7679)

cos2Θy = 1-0.9131 = 0.0869.

______

Cos Θy = √0.0869 = 0.2947

Θy = cos-1 0.2947 = 72.85°.

Fy = F cos Θy. F = 210 N x 0.2947 = 61.88 N.

Los resultados son entonces:

a) Fz = 184 N, Fy = 61.88 N b) Θx = 67.6°, Θy = 61.88°.