R eduction des endomorphismes -...
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Chapitre 8Reduction des endomorphismes
1 Etude sur des exemples
2 Elements propres d’un endomorphisme
3 Diagonalisation en dimension finie
4 Trigonalisation
5 Applications de la reduction
Partie 1
Etude sur des exemples
Reduction des endomorphismes
1. Les projections
Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73
1. Les projections
On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.
Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73
1. Les projections
On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.
‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E
E “ F ‘ G
x
xF
xG
F
G
Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73
1. Les projections
On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.
‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E
E “ F ‘ G
‚ @x P E, x “ xF`xG ou xF P F et xG P G
Cette decomposition est unique.x
xF
xG
F
G
Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73
1. Les projections
On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.
‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E
E “ F ‘ G
‚ @x P E, x “ xF`xG ou xF P F et xG P G
Cette decomposition est unique.
‚ xF est le projete de x sur F parallelementa G.
x
xF
xG
F
G
Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73
1. Les projections
On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.
‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E
E “ F ‘ G
‚ @x P E, x “ xF`xG ou xF P F et xG P G
Cette decomposition est unique.
‚ xF est le projete de x sur F parallelementa G.
‚ L’application pF : E ÝÑ Ex ÞÝÑ xF
est la pro-
jection de E sur F parallelement a G.
x
xF
xG
F
G
Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73
1. Les projections
On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.
‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E
E “ F ‘ G
‚ @x P E, x “ xF`xG ou xF P F et xG P G
Cette decomposition est unique.
‚ xF est le projete de x sur F parallelementa G.
‚ L’application pF : E ÝÑ Ex ÞÝÑ xF
est la pro-
jection de E sur F parallelement a G.
‚ On definit de meme la projection pG .
x
xF
xG
F
G
Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73
1. Les projections
Proposition (Proprietes des projections)
Les applications pF et pG sont des endomorphismes de E. On a les relations
‚ Ker pF “ G, Im pF “ F “ KerppF ´ idEq (et idem pour pG)
‚ pF ` pG “ idE , pF ˝ pG “ pG ˝ pF “ 0 (l’endomorphisme nul) et pF ˝ pF “ pF(idem pour pG).
Partie 1 : Etude sur des exemples 2/73
1. Les projections
Proposition (Proprietes des projections)
Les applications pF et pG sont des endomorphismes de E. On a les relations
‚ Ker pF “ G, Im pF “ F “ KerppF ´ idEq (et idem pour pG)
‚ pF ` pG “ idE , pF ˝ pG “ pG ˝ pF “ 0 (l’endomorphisme nul) et pF ˝ pF “ pF(idem pour pG).
§ pF est un projecteur (lineaire et pF ˝ pF “ pF ).
Partie 1 : Etude sur des exemples 2/73
1. Les projections
NOTATION
� pF ˝ pG se note souvent comme un produit pFpG sans le ˝.
Partie 1 : Etude sur des exemples 3/73
1. Les projections
NOTATION
� pF ˝ pG se note souvent comme un produit pFpG sans le ˝.
� pF ˝ pF se note p2F .
Partie 1 : Etude sur des exemples 3/73
1. Les projections
§ On peut generaliser la definition a plus de 2 sous-espaces de E.
E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq
F1 F2
Fq
x
x1 x2
xq
Partie 1 : Etude sur des exemples 4/73
1. Les projections
§ On peut generaliser la definition a plus de 2 sous-espaces de E.
E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq
‚ @x P E, on a de maniere unique
x “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xq
avec xi P Fi , i P v1, qw.
F1 F2
Fq
x
x1 x2
xq
Partie 1 : Etude sur des exemples 4/73
1. Les projections
§ On peut generaliser la definition a plus de 2 sous-espaces de E.
E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq
‚ @x P E, on a de maniere unique
x “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xq
avec xi P Fi , i P v1, qw.
‚ On pose pi pxq “ xi .
F1 F2
Fq
x
x1 x2
xq
Partie 1 : Etude sur des exemples 4/73
1. Les projections
§ On peut generaliser la definition a plus de 2 sous-espaces de E.
E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq
‚ @x P E, on a de maniere unique
x “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xq
avec xi P Fi , i P v1, qw.
‚ On pose pi pxq “ xi .
F1 F2
Fq
x
x1 x2
xq
Les pi sont les projections associes a la somme directe.
Partie 1 : Etude sur des exemples 4/73
1. Les projections
EXERCICE 1
Enoncer les proprietes des projections pi correspondant a la proposition precedente.Preciser en particulier leurs noyaux, images, ainsi que les relations qu’ils verifient entreeux.
Partie 1 : Etude sur des exemples 5/73
1. Les projections
EXERCICE 2
Soit f un endomorphisme de E. Montrer que f est une projection de E si et seulementsi c’est un projecteur de E (c’est-a-dire que f ˝ f “ f ).
Partie 1 : Etude sur des exemples 6/73
1. Les projections
Ecriture matricielle
Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73
1. Les projections
Ecriture matricielle
‚ Elle depend du choix de la base.
Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73
1. Les projections
Ecriture matricielle
‚ Elle depend du choix de la base.
‚ Une base adaptee a F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.
Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73
1. Les projections
Ecriture matricielle
‚ Elle depend du choix de la base.
‚ Une base adaptee a F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.
F
G
e1 ek
en
Une base adaptee a F‘G
Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73
1. Les projections
Ecriture matricielle
‚ Elle depend du choix de la base.
‚ Une base adaptee a F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.
F
G
e1 ek
en
Une base adaptee a F‘G
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˝
1. . .
1
0
0
0. . .
0
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‚
looooomooooon
F
looooomooooon
G
,
.
-
F
,
.
-
G
Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73
1. Les projections
Ecriture matricielle
‚ Elle depend du choix de la base.
‚ Une base adaptee a F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.
F
G
e1 ek
en
Une base adaptee a F‘G
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˝
1. . .
1
0
0
0. . .
0
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‚
looooomooooon
F
looooomooooon
G
,
.
-
F
,
.
-
G
‚ C’est une matrice diagonale et construite en blocs.
Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73
1. Les projections
‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .
Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73
1. Les projections
‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .
‚ On a les relations
pF pe1q “ e1 “ 1ˆ e1 (invariant) etc... jusqu’a ek
pF pek`1q “ 0 “ 0ˆ ek`1 (annule) etc... jusqu’a en
Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73
1. Les projections
‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .
‚ On a les relations
pF pe1q “ e1 “ 1ˆ e1 (invariant) etc... jusqu’a ek
pF pek`1q “ 0 “ 0ˆ ek`1 (annule) etc... jusqu’a en
‚ Les coefficients 0 et 1 sont des valeurs propres de la projection et les vecteurse1, . . . , en des vecteurs propres associes.
Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73
1. Les projections
‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .
‚ On a les relations
pF pe1q “ e1 “ 1ˆ e1 (invariant) etc... jusqu’a ek
pF pek`1q “ 0 “ 0ˆ ek`1 (annule) etc... jusqu’a en
‚ Les coefficients 0 et 1 sont des valeurs propres de la projection et les vecteurse1, . . . , en des vecteurs propres associes.
‚ Les espaces F et G sont des espaces propres de la projection associes aux valeurspropres 1 et 0.
Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73
1. Les projections
‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .
‚ On a les relations
pF pe1q “ e1 “ 1ˆ e1 (invariant) etc... jusqu’a ek
pF pek`1q “ 0 “ 0ˆ ek`1 (annule) etc... jusqu’a en
‚ Les coefficients 0 et 1 sont des valeurs propres de la projection et les vecteurse1, . . . , en des vecteurs propres associes.
‚ Les espaces F et G sont des espaces propres de la projection associes aux valeurspropres 1 et 0.
La diagonalisation est la forme la plus simple de reductionOn l’obtient grace a une base de vecteurs propres
Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73
1. Les projections
EXERCICE 3
Determiner la matrice A dans la base canonique de R3 de la projection pF sur F
d’equation x ´ y ` 2z “ 0 parallelement a G “ Vect
ˆ
0
1
1
˙
.
Partie 1 : Etude sur des exemples 9/73
1. Les projections
EXERCICE 3
Determiner la matrice A dans la base canonique de R3 de la projection pF sur F
d’equation x ´ y ` 2z “ 0 parallelement a G “ Vect
ˆ
0
1
1
˙
.
‚ Pourquoi n’obtient-on pas une matrice diagonale ?
Partie 1 : Etude sur des exemples 9/73
1. Les projections
EXERCICE 3
Determiner la matrice A dans la base canonique de R3 de la projection pF sur F
d’equation x ´ y ` 2z “ 0 parallelement a G “ Vect
ˆ
0
1
1
˙
.
‚ Pourquoi n’obtient-on pas une matrice diagonale ?
‚ Verifier la relation A2 “ A sur cet exemple.
Partie 1 : Etude sur des exemples 9/73
1. Les projections
EXERCICE 3
Determiner la matrice A dans la base canonique de R3 de la projection pF sur F
d’equation x ´ y ` 2z “ 0 parallelement a G “ Vect
ˆ
0
1
1
˙
.
‚ Pourquoi n’obtient-on pas une matrice diagonale ?
‚ Verifier la relation A2 “ A sur cet exemple.
‚ Donner une base dans laquelle la matrice de pF est diagonale.
Partie 1 : Etude sur des exemples 9/73
2. Les symetries
Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73
2. Les symetries
Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.
F
G
x
xF
xG
sF (x)
Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73
2. Les symetries
Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.
F
G
x
xF
xG
sF (x)
‚ La symetrie sF par rapport a F par-allelement a G est definie par,
@x P E, sF pxq “ pF pxq ´ pGpxq
Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73
2. Les symetries
Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.
F
G
x
xF
xG
sF (x)
‚ La symetrie sF par rapport a F par-allelement a G est definie par,
@x P E, sF pxq “ pF pxq ´ pGpxq
‚ En terme d’endomorphismes, on a sF “pF ´ pG .
Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73
2. Les symetries
Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.
F
G
x
xF
xG
sF (x)
‚ La symetrie sF par rapport a F par-allelement a G est definie par,
@x P E, sF pxq “ pF pxq ´ pGpxq
‚ En terme d’endomorphismes, on a sF “pF ´ pG .
‚ Comme pF ` pG “ idE , on a aussi,
sF “ 2pF ´ idE
Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73
2. Les symetries
Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.
F
G
x
xF
xG
sF (x)
‚ La symetrie sF par rapport a F par-allelement a G est definie par,
@x P E, sF pxq “ pF pxq ´ pGpxq
‚ En terme d’endomorphismes, on a sF “pF ´ pG .
‚ Comme pF ` pG “ idE , on a aussi,
sF “ 2pF ´ idE
§ Matriciellement, on a aussi S “ 2P ´ In.
Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73
2. Les symetries
‚ On peut diagonaliser sF .
Partie 1 : Etude sur des exemples 11/73
2. Les symetries
‚ On peut diagonaliser sF .
‚ Une base adaptee a F ‘G est de la forme pe1, . . . , ek , ek`1, . . . , enq ou pe1, . . . , ekqest une base de F et pek`1, . . . , enq est une base de G.
Partie 1 : Etude sur des exemples 11/73
2. Les symetries
‚ On peut diagonaliser sF .
‚ Une base adaptee a F ‘G est de la forme pe1, . . . , ek , ek`1, . . . , enq ou pe1, . . . , ekqest une base de F et pek`1, . . . , enq est une base de G.
‚ On a la matrice
Mpe1,...,enqpsF q “
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˝
1. . .
1
0
0
´1. . .
´1
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‚
looooomooooon
F
loooooooomoooooooon
G
,
.
-
F
,
.
-
G
Partie 1 : Etude sur des exemples 11/73
2. Les symetries
‚ On peut diagonaliser sF .
‚ Une base adaptee a F ‘G est de la forme pe1, . . . , ek , ek`1, . . . , enq ou pe1, . . . , ekqest une base de F et pek`1, . . . , enq est une base de G.
‚ On a la matrice
Mpe1,...,enqpsF q “
¨
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˚
˝
1. . .
1
0
0
´1. . .
´1
˛
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹
‚
looooomooooon
F
loooooooomoooooooon
G
,
.
-
F
,
.
-
G
‚ Elle est encore diagonale et construite en blocs, mais avec des coefficients differents.
Partie 1 : Etude sur des exemples 11/73
2. Les symetries
‚ On a les relations sF pe1q “ e1, . . . , sF pekq “ ek et sF pek`1q “ ´ek`1, . . . sF penq “´en.
Partie 1 : Etude sur des exemples 12/73
2. Les symetries
‚ On a les relations sF pe1q “ e1, . . . , sF pekq “ ek et sF pek`1q “ ´ek`1, . . . sF penq “´en.
‚ 1 et ´1 sont valeurs propres de sF et e1, . . . , en sont des vecteurs propres associes.
Partie 1 : Etude sur des exemples 12/73
2. Les symetries
‚ On a les relations sF pe1q “ e1, . . . , sF pekq “ ek et sF pek`1q “ ´ek`1, . . . sF penq “´en.
‚ 1 et ´1 sont valeurs propres de sF et e1, . . . , en sont des vecteurs propres associes.
‚ F est l’espace propre de sF associe a la valeur propre 1 et G l’espace propre de sFassocie a la valeur propre ´1.
Partie 1 : Etude sur des exemples 12/73
2. Les symetries
EXERCICE 4
Soit f un endomorphisme de E. Donner une condition necessaire et suffisante faisantintervenir f ˝ f “ f 2 pour que f soit une symetrie.
Partie 1 : Etude sur des exemples 13/73
2. Les symetries
EXERCICE 5
Determiner la matrice dans la base canonique de la symetrie sF par rapport a F ,parallelement a G ou les espaces F et G sont ceux de l’exercice 3. On rappelle quel’on a obtenu la matrice de pF ,
A “
¨
˝
1 0 0´1 2 ´2´1 1 ´1
˛
‚
Partie 1 : Etude sur des exemples 14/73
2. Les symetries
EXERCICE 5
Determiner la matrice dans la base canonique de la symetrie sF par rapport a F ,parallelement a G ou les espaces F et G sont ceux de l’exercice 3. On rappelle quel’on a obtenu la matrice de pF ,
A “
¨
˝
1 0 0´1 2 ´2´1 1 ´1
˛
‚
Pour un endomorphisme f de E,f est une symetrie ðñ f 2 “ idE, f est une projection ðñ f 2 “ f .
Partie 1 : Etude sur des exemples 14/73
3. Les homotheties
Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73
3. Les homotheties
‚ L’homothetie hλ de E de rapport λ ‰ 0 est definie par :
@x P E, hλpxq “ λx
Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73
3. Les homotheties
‚ L’homothetie hλ de E de rapport λ ‰ 0 est definie par :
@x P E, hλpxq “ λx
‚ En terme d’endomorphismes hλ “ λ idE .
Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73
3. Les homotheties
‚ L’homothetie hλ de E de rapport λ ‰ 0 est definie par :
@x P E, hλpxq “ λx
‚ En terme d’endomorphismes hλ “ λ idE .
‚ Toute base de E est adaptee a hλ. On a la matrice
Hλ “
¨
˝
λ 0. . .
0 λ
˛
‚“ λIn
Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73
3. Les homotheties
‚ L’homothetie hλ de E de rapport λ ‰ 0 est definie par :
@x P E, hλpxq “ λx
‚ En terme d’endomorphismes hλ “ λ idE .
‚ Toute base de E est adaptee a hλ. On a la matrice
Hλ “
¨
˝
λ 0. . .
0 λ
˛
‚“ λIn
‚ L’homothetie hλ est diagonalisable. Elle n’a qu’une valeur propre λ et un seul espacepropre, E tout entier.
Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73
Partie 2
Elements propres d’un endomorphisme
Reduction des endomorphismes
1. Definitions
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 16/73
1. Definitions
Definition (Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme)
Soient E un espace vectoriel sur K et f un endomorphisme de E. On dit qu’unscalaire λ P K est valeur propre de f s’il existe un vecteur non nul x de E tel que
f pxq “ λx
On dit aussi que x est vecteur propre de f associe a la valeur propre λ.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 16/73
1. Definitions
REMARQUES
‚ Un vecteur propre x est toujours non nul.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 17/73
1. Definitions
REMARQUES
‚ Un vecteur propre x est toujours non nul.
‚ Une valeur propre λ depend du vecteur propre x associe (pas comme les ho-motheties).
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 17/73
1. Definitions
Definition (Spectre d’un endomorphisme)
On appelle spectre de f , l’ensemble de ses valeurs propres. On le note sp f .
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 18/73
1. Definitions
EXEMPLES
Traduction des resultats deja obtenus :
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73
1. Definitions
EXEMPLES
Traduction des resultats deja obtenus :
� pour une projection pF , on a spppF q “ t0, 1u,
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73
1. Definitions
EXEMPLES
Traduction des resultats deja obtenus :
� pour une projection pF , on a spppF q “ t0, 1u,
� pour une symetrie sF , on a sppsF q “ t´1, 1u,
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73
1. Definitions
EXEMPLES
Traduction des resultats deja obtenus :
� pour une projection pF , on a spppF q “ t0, 1u,
� pour une symetrie sF , on a sppsF q “ t´1, 1u,
� pour une homothetie hλ, on a spphλq “ tλu.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73
1. Definitions
EXEMPLES
Traduction des resultats deja obtenus :
� pour une projection pF , on a spppF q “ t0, 1u,
� pour une symetrie sF , on a sppsF q “ t´1, 1u,
� pour une homothetie hλ, on a spphλq “ tλu.
§ Le spectre resume l’action de l’endomorphisme sur l’espace.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73
2. Espaces propres
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73
2. Espaces propres
La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire
pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73
2. Espaces propres
La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire
pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq
Definition (Espaces propres d’un endomorphisme)
S’il est non nul, le noyau Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq s’appelle sous-espace propre de fassocie a la valeur propre λ. C’est un sous-espace vectoriel de E.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73
2. Espaces propres
La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire
pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq
Definition (Espaces propres d’un endomorphisme)
S’il est non nul, le noyau Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq s’appelle sous-espace propre de fassocie a la valeur propre λ. C’est un sous-espace vectoriel de E.
§ On note aussi Eλpf q “ Eλ.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73
2. Espaces propres
La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire
pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq
Definition (Espaces propres d’un endomorphisme)
S’il est non nul, le noyau Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq s’appelle sous-espace propre de fassocie a la valeur propre λ. C’est un sous-espace vectoriel de E.
§ On note aussi Eλpf q “ Eλ.
Il contient tous les vecteurs propres de f associes a la valeur propre λ, ainsi que levecteur nul (qui n’est pas propre).
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73
2. Espaces propres
La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire
pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq
Definition (Espaces propres d’un endomorphisme)
S’il est non nul, le noyau Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq s’appelle sous-espace propre de fassocie a la valeur propre λ. C’est un sous-espace vectoriel de E.
§ On note aussi Eλpf q “ Eλ.
Il contient tous les vecteurs propres de f associes a la valeur propre λ, ainsi que levecteur nul (qui n’est pas propre).
Un vecteur propre ne peut pas etre nulUn sous-espace propre ne peut pas etre reduit au vecteur nul
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73
2. Espaces propres
Cas particuliers usuels
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73
2. Espaces propres
Cas particuliers usuels
‚ Si λ “ 0 est valeur propre de f , alors l’espace propre E0pf q “ Ker f associe est lenoyau de f .
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73
2. Espaces propres
Cas particuliers usuels
‚ Si λ “ 0 est valeur propre de f , alors l’espace propre E0pf q “ Ker f associe est lenoyau de f .
§ On peut caracteriser l’injectivite de f a l’aide de son spectre :
f est injectif ðñ Ker f “ Vectp0q ðñ 0 R sppf q
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73
2. Espaces propres
Cas particuliers usuels
‚ Si λ “ 0 est valeur propre de f , alors l’espace propre E0pf q “ Ker f associe est lenoyau de f .
§ On peut caracteriser l’injectivite de f a l’aide de son spectre :
f est injectif ðñ Ker f “ Vectp0q ðñ 0 R sppf q
‚ Si λ “ 1 est valeur propre de f , alors l’espace propre E1pf q “ Kerpf ´ idEq contientles vecteurs x de E tels que
f pxq “ x
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73
2. Espaces propres
Cas particuliers usuels
‚ Si λ “ 0 est valeur propre de f , alors l’espace propre E0pf q “ Ker f associe est lenoyau de f .
§ On peut caracteriser l’injectivite de f a l’aide de son spectre :
f est injectif ðñ Ker f “ Vectp0q ðñ 0 R sppf q
‚ Si λ “ 1 est valeur propre de f , alors l’espace propre E1pf q “ Kerpf ´ idEq contientles vecteurs x de E tels que
f pxq “ x
Ce sont les vecteurs invariants de f .
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73
2. Espaces propres
Propriete (Stabilite des espaces propres)
Pour tout λ P sp f , le sous-espace propre associe Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq de f eststable par f . Si λ ‰ 0, alors l’endomorphisme induit par f sur Eλpf q est l’homothetiede Eλ de rapport λ.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 22/73
2. Espaces propres
Propriete (Stabilite des espaces propres)
Pour tout λ P sp f , le sous-espace propre associe Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq de f eststable par f . Si λ ‰ 0, alors l’endomorphisme induit par f sur Eλpf q est l’homothetiede Eλ de rapport λ.
‚ Si λ R sp f , alors Eλpf q “ Vectp0q n’est pas un espace propre de f . Il est quandmeme stable par f .
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 22/73
2. Espaces propres
Propriete (Stabilite des espaces propres)
Pour tout λ P sp f , le sous-espace propre associe Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq de f eststable par f . Si λ ‰ 0, alors l’endomorphisme induit par f sur Eλpf q est l’homothetiede Eλ de rapport λ.
‚ Si λ R sp f , alors Eλpf q “ Vectp0q n’est pas un espace propre de f . Il est quandmeme stable par f .
‚ Les espaces propres de f decoupent E en sous-espaces sur lesquels f agit commeune homothetie.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 22/73
2. Espaces propres
Propriete (Stabilite des espaces propres)
Pour tout λ P sp f , le sous-espace propre associe Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq de f eststable par f . Si λ ‰ 0, alors l’endomorphisme induit par f sur Eλpf q est l’homothetiede Eλ de rapport λ.
‚ Si λ R sp f , alors Eλpf q “ Vectp0q n’est pas un espace propre de f . Il est quandmeme stable par f .
‚ Les espaces propres de f decoupent E en sous-espaces sur lesquels f agit commeune homothetie.
‚ Il permettent de visualiser l’action de f dans l’espace.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 22/73
2. Espaces propres
EXEMPLES
� Pour une projection f (sur F parallelementa G), on a
E0pf q “ G et E1pf q “ F
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 23/73
2. Espaces propres
EXEMPLES
� Pour une projection f (sur F parallelementa G), on a
E0pf q “ G et E1pf q “ F
E1 = ker(f ! id)
E0 = ker(f)
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 23/73
2. Espaces propres
EXEMPLES
� Pour une projection f (sur F parallelementa G), on a
E0pf q “ G et E1pf q “ F
E1 = ker(f ! id)
E0 = ker(f)
� Pour une symetrie f (par rapport a Fparallelement a G), on a
E1pf q “ F et E´1pf q “ G
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 23/73
2. Espaces propres
EXEMPLES
� Pour une projection f (sur F parallelementa G), on a
E0pf q “ G et E1pf q “ F
E1 = ker(f ! id)
E0 = ker(f)
� Pour une symetrie f (par rapport a Fparallelement a G), on a
E1pf q “ F et E´1pf q “ G
E1 = ker(f ! id)
E!1 = ker(f + id)
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 23/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 24/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
Propriete (Propriete de liberte des vecteurs propres)
Soient x1, . . . , xn des vecteurs propres de f associes a des valeurs propres deux adeux distinctes λ1, . . . , λn de f , alors la famille px1, . . . , xnq est libre.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 24/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
Propriete (Propriete de liberte des vecteurs propres)
Soient x1, . . . , xn des vecteurs propres de f associes a des valeurs propres deux adeux distinctes λ1, . . . , λn de f , alors la famille px1, . . . , xnq est libre.
§ Les espaces propres de f associes a des valeurs propres distinctes sont en sommedirecte.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 24/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
EXEMPLE
� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
EXEMPLE
� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie
‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
EXEMPLE
� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie
‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.
‚ Ses vecteurs propres verifient l’equation differentielle,
Dpf q “ λf “ f 1
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
EXEMPLE
� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie
‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.
‚ Ses vecteurs propres verifient l’equation differentielle,
Dpf q “ λf “ f 1
‚ On obtient f ptq “ Ceλt , t P I avec C P C une constante.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
EXEMPLE
� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie
‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.
‚ Ses vecteurs propres verifient l’equation differentielle,
Dpf q “ λf “ f 1
‚ On obtient f ptq “ Ceλt , t P I avec C P C une constante.
‚ Tout complexe λ est valeur propre de D et l’espace propre associe estEλ “ Vectpt ÞÑ eλtq.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
EXEMPLE
� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie
‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.
‚ Ses vecteurs propres verifient l’equation differentielle,
Dpf q “ λf “ f 1
‚ On obtient f ptq “ Ceλt , t P I avec C P C une constante.
‚ Tout complexe λ est valeur propre de D et l’espace propre associe estEλ “ Vectpt ÞÑ eλtq.
‚ Toute sous famille finie de la famille de fonctions exponentielles t ÞÑ eλt avecλ P C est libre.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
EXERCICE 6
Trouver de meme un endomorphisme de C8pI,Rq dont les fonctions cos et sin sontvecteurs propres.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 26/73
3. Propriete de liberte des vecteurs propres
EXERCICE 7
Montrer que les fonctions x ÞÑ 1, x ÞÑ cos x , x ÞÑ cos 2x , . . . , x ÞÑ cos nx ou n P Nsont lineairement independantes.
Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 27/73
Partie 3
Diagonalisation en dimension finie
Reduction des endomorphismes
1. Definition
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73
1. Definition
Definition (Endomorphisme diagonalisable)
On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73
1. Definition
Definition (Endomorphisme diagonalisable)
On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.
§ En notant B “ pe1, . . . , enq,
MBpf q “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚“ D
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73
1. Definition
Definition (Endomorphisme diagonalisable)
On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.
§ En notant B “ pe1, . . . , enq,
MBpf q “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚“ D
‚ On a f pe1q “ λ1e1, . . . , f penq “ λnen,
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73
1. Definition
Definition (Endomorphisme diagonalisable)
On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.
§ En notant B “ pe1, . . . , enq,
MBpf q “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚“ D
‚ On a f pe1q “ λ1e1, . . . , f penq “ λnen,
‚ e1, . . . , en sont vecteurs propres de f associes aux valeurs propres λ1, . . . , λn.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73
1. Definition
Definition (Endomorphisme diagonalisable)
On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.
§ En notant B “ pe1, . . . , enq,
MBpf q “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚“ D
‚ On a f pe1q “ λ1e1, . . . , f penq “ λnen,
‚ e1, . . . , en sont vecteurs propres de f associes aux valeurs propres λ1, . . . , λn.
La base B est constituee de vecteurs propres de fLes coefficients diagonaux de D sont les valeurs propres de f
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73
1. Definition
EXEMPLES
� Une projection ou une symetrie est diagonalisable.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 29/73
1. Definition
EXEMPLES
� Une projection ou une symetrie est diagonalisable.
� Une homothetie est diagonalisable (tous les vecteurs sont propres).
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 29/73
1. Definition
EXEMPLES
� Une projection ou une symetrie est diagonalisable.
� Une homothetie est diagonalisable (tous les vecteurs sont propres).
� Une rotation du plan n’est pas diagonalisable (dans le domaine reel).
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 29/73
2. Les formules de changement de bases
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73
2. Les formules de changement de bases
On note B “`
e1, . . . , en˘
et B1 “`
e11, . . . , e1n
˘
deux bases de E.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73
2. Les formules de changement de bases
On note B “`
e1, . . . , en˘
et B1 “`
e11, . . . , e1n
˘
deux bases de E.
‚ Un meme vecteur x P E a deux systemes de coordonnees.
x
¨
˝
x1...xn
˛
‚
loomoon
X
dans B et x
¨
˚
˝
x 11...x 1n
˛
‹
‚
loomoon
X1
dans B1
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73
2. Les formules de changement de bases
On note B “`
e1, . . . , en˘
et B1 “`
e11, . . . , e1n
˘
deux bases de E.
‚ Un meme vecteur x P E a deux systemes de coordonnees.
x
¨
˝
x1...xn
˛
‚
loomoon
X
dans B et x
¨
˚
˝
x 11...x 1n
˛
‹
‚
loomoon
X1
dans B1
‚ La matrice de passage est
PBÑB1 “
¨
˝
a11 ¨ ¨ ¨ a1n...
...an1 ¨ ¨ ¨ ann
˛
‚
e11 . . . e1n
e1...en
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73
2. Les formules de changement de bases
On note B “`
e1, . . . , en˘
et B1 “`
e11, . . . , e1n
˘
deux bases de E.
‚ Un meme vecteur x P E a deux systemes de coordonnees.
x
¨
˝
x1...xn
˛
‚
loomoon
X
dans B et x
¨
˚
˝
x 11...x 1n
˛
‹
‚
loomoon
X1
dans B1
‚ La matrice de passage est
PBÑB1 “
¨
˝
a11 ¨ ¨ ¨ a1n...
...an1 ¨ ¨ ¨ ann
˛
‚
e11 . . . e1n
e1...en
‚ Elle exprime les vecteurs de la « nouvelle » base B1 en fonction de « l’ancienne » B.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73
2. Les formules de changement de bases
On a la premiere formule de changement de base
X “ PBÑB1X 1
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 31/73
2. Les formules de changement de bases
On a la premiere formule de changement de base
X “ PBÑB1X 1
Les coordonnees sont toujours a cote de leur base
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 31/73
2. Les formules de changement de bases
On a les relations naturelles,
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 32/73
2. Les formules de changement de bases
On a les relations naturelles,
PBÑB “ In ; PBÑB1PB1ÑB2 “ PBÑB2 ; PB1ÑB “ P´1BÑB1
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 32/73
2. Les formules de changement de bases
Effet sur les matrices d’endomorphisme
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73
2. Les formules de changement de bases
Effet sur les matrices d’endomorphisme
On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73
2. Les formules de changement de bases
Effet sur les matrices d’endomorphisme
On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q
‚ Soient x P E, y “ f pxq et
X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y
1 “MB1pyq
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73
2. Les formules de changement de bases
Effet sur les matrices d’endomorphisme
On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q
‚ Soient x P E, y “ f pxq et
X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y
1 “MB1pyq
‚ Par calcul matriciel d’images,
Y “ AX et Y 1 “ A1X 1
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73
2. Les formules de changement de bases
Effet sur les matrices d’endomorphisme
On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q
‚ Soient x P E, y “ f pxq et
X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y
1 “MB1pyq
‚ Par calcul matriciel d’images,
Y “ AX et Y 1 “ A1X 1
‚ Avec la formule de changement de bases pour les vecteurs,
Y 1 “ PB1ÑBY et X 1 “ PB1ÑBX
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73
2. Les formules de changement de bases
Effet sur les matrices d’endomorphisme
On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q
‚ Soient x P E, y “ f pxq et
X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y
1 “MB1pyq
‚ Par calcul matriciel d’images,
Y “ AX et Y 1 “ A1X 1
‚ Avec la formule de changement de bases pour les vecteurs,
Y 1 “ PB1ÑBY et X 1 “ PB1ÑBX
‚ Donc Y “`
PBÑB1A1PB1ÑB˘
X
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73
2. Les formules de changement de bases
Effet sur les matrices d’endomorphisme
On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q
‚ Soient x P E, y “ f pxq et
X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y
1 “MB1pyq
‚ Par calcul matriciel d’images,
Y “ AX et Y 1 “ A1X 1
‚ Avec la formule de changement de bases pour les vecteurs,
Y 1 “ PB1ÑBY et X 1 “ PB1ÑBX
‚ Donc Y “`
PBÑB1A1PB1ÑB˘
X
‚ Ceci a lieu quelque soient X et Y , on peut identifier, A “ PBÑB1A1PB1ÑB.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73
2. Les formules de changement de bases
On a la seconde formule de changement de base
A “ PBÑB1A1PB1ÑB
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 34/73
2. Les formules de changement de bases
On a la seconde formule de changement de base
A “ PBÑB1A1PB1ÑB
Les matrices sont toujours a cote de leur base.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 34/73
2. Les formules de changement de bases
Notons P “ PBÑB1 , alors on a PB1ÑB “ P´1 et donc A “ P A1P´1.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 35/73
2. Les formules de changement de bases
Notons P “ PBÑB1 , alors on a PB1ÑB “ P´1 et donc A “ P A1P´1.
Definition et proposition (Matrices semblables)
On dit que deux matrices carrees A,A1 P MnpKq sont semblables s’il existe unematrice inversible P P GLnpKq telle que A “ P A1P´1.
Deux matrices A et A1 de MnpKq sont semblables si et seulement si ellesrepresentent un meme endomorphisme dans des bases differentes.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 35/73
2. Les formules de changement de bases
Notons P “ PBÑB1 , alors on a PB1ÑB “ P´1 et donc A “ P A1P´1.
Definition et proposition (Matrices semblables)
On dit que deux matrices carrees A,A1 P MnpKq sont semblables s’il existe unematrice inversible P P GLnpKq telle que A “ P A1P´1.
Deux matrices A et A1 de MnpKq sont semblables si et seulement si ellesrepresentent un meme endomorphisme dans des bases differentes.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 35/73
2. Les formules de changement de bases
Notons P “ PBÑB1 , alors on a PB1ÑB “ P´1 et donc A “ P A1P´1.
Definition et proposition (Matrices semblables)
On dit que deux matrices carrees A,A1 P MnpKq sont semblables s’il existe unematrice inversible P P GLnpKq telle que A “ P A1P´1.
Deux matrices A et A1 de MnpKq sont semblables si et seulement si ellesrepresentent un meme endomorphisme dans des bases differentes.
§ Ne pas confondre matrices semblables et equivalentes. Les operations sont differentes.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 35/73
2. Les formules de changement de bases
REMARQUE
D’apres les regles de calcul sur les determinants, on a detA “ detA1. On peut doncposer det f “ detA “ detA1.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 36/73
2. Les formules de changement de bases
REMARQUE
D’apres les regles de calcul sur les determinants, on a detA “ detA1. On peut doncposer det f “ detA “ detA1.
Le determinant d’un endomorphisme est celui de sa matrice dans une base.Il ne depend pas du choix de la base utilisee
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 36/73
2. Les formules de changement de bases
Application a la diagonalisation
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73
2. Les formules de changement de bases
Application a la diagonalisation
‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73
2. Les formules de changement de bases
Application a la diagonalisation
‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .
‚ On a
A1 “MB1pf q “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚“ D
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73
2. Les formules de changement de bases
Application a la diagonalisation
‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .
‚ On a
A1 “MB1pf q “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚“ D
‚ A est semblable a une matrice diagonale D.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73
2. Les formules de changement de bases
Application a la diagonalisation
‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .
‚ On a
A1 “MB1pf q “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚“ D
‚ A est semblable a une matrice diagonale D.
Definition (Matrice diagonalisable)
On dit qu’une matrice A PMnpKq est diagonalisable si l’endomorphisme de Kn quilui est canoniquement associe est diagonalisable, c’est-a-dire si A est semblable aune matrice diagonale D,
DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73
2. Les formules de changement de bases
Application a la diagonalisation
‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .
‚ On a
A1 “MB1pf q “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚“ D
‚ A est semblable a une matrice diagonale D.
Definition (Matrice diagonalisable)
On dit qu’une matrice A PMnpKq est diagonalisable si l’endomorphisme de Kn quilui est canoniquement associe est diagonalisable, c’est-a-dire si A est semblable aune matrice diagonale D,
DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1.
§ Les colonnes de P “ PBcÑB1 correspondent a la base de vecteurs propres de fexprimes dans Bc .
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73
2. Les formules de changement de bases
‚ Les definitions liees aux elements propres de f se transcrivent matriciellementpour A.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 38/73
2. Les formules de changement de bases
‚ Les definitions liees aux elements propres de f se transcrivent matriciellementpour A.
‚ f pxq “ λx pour x P E non nul se traduit matriciellement par
AX “ λX avec X P Kn non nul
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 38/73
2. Les formules de changement de bases
‚ Les definitions liees aux elements propres de f se transcrivent matriciellementpour A.
‚ f pxq “ λx pour x P E non nul se traduit matriciellement par
AX “ λX avec X P Kn non nul
‚ On dit que X est vecteur propre de A associe a la valeur propre λ.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 38/73
2. Les formules de changement de bases
‚ Les definitions liees aux elements propres de f se transcrivent matriciellementpour A.
‚ f pxq “ λx pour x P E non nul se traduit matriciellement par
AX “ λX avec X P Kn non nul
‚ On dit que X est vecteur propre de A associe a la valeur propre λ.
‚ L’espace propre Eλpf q “ Kerpf ´λ idEq “ KerpA´λInq “ EλpAq est appele espacepropre de A associe a λ.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 38/73
3. Le polynome caracteristique
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73
3. Le polynome caracteristique
‚ On revient a la definition d’une valeur propre.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73
3. Le polynome caracteristique
‚ On revient a la definition d’une valeur propre.
λ P sp f ðñ Dx P E, x ‰ 0 tel que f pxq “ λx
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73
3. Le polynome caracteristique
‚ On revient a la definition d’une valeur propre.
λ P sp f ðñ Dx P E, x ‰ 0 tel que f pxq “ λx
‚ En revenant a un noyau,
λ P sp f ðñ Kerpf ´ λ idEq ‰ Vectp0q
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73
3. Le polynome caracteristique
‚ On revient a la definition d’une valeur propre.
λ P sp f ðñ Dx P E, x ‰ 0 tel que f pxq “ λx
‚ En revenant a un noyau,
λ P sp f ðñ Kerpf ´ λ idEq ‰ Vectp0q
‚ Cela caracterise le fait que f ´ λ idE n’est pas bijectif.
λ P sp f ðñ detpf ´ λ idEq “ 0
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73
3. Le polynome caracteristique
‚ On revient a la definition d’une valeur propre.
λ P sp f ðñ Dx P E, x ‰ 0 tel que f pxq “ λx
‚ En revenant a un noyau,
λ P sp f ðñ Kerpf ´ λ idEq ‰ Vectp0q
‚ Cela caracterise le fait que f ´ λ idE n’est pas bijectif.
λ P sp f ðñ detpf ´ λ idEq “ 0
Par convention, on utilisera plutot detpλ idE ´f q “ 0.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73
3. Le polynome caracteristique
‚ On le calcule en utilisant une matrice A de f dans une base B (independant de labase).
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 40/73
3. Le polynome caracteristique
‚ On le calcule en utilisant une matrice A de f dans une base B (independant de labase).
A “MBpf q “
¨
˝
a11 ¨ ¨ ¨ a1n...
...an1 ¨ ¨ ¨ ann
˛
‚PMnpKq
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 40/73
3. Le polynome caracteristique
‚ On le calcule en utilisant une matrice A de f dans une base B (independant de labase).
A “MBpf q “
¨
˝
a11 ¨ ¨ ¨ a1n...
...an1 ¨ ¨ ¨ ann
˛
‚PMnpKq
‚ Alors,
detpλIn ´ Aq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ a11 ´a12 ¨ ¨ ¨ ´a1n
´a21 λ´ a22
......
. . ....
´an1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ λ´ ann
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 40/73
3. Le polynome caracteristique
EXEMPLES
� Pour n “ 2, on a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ a11 ´a12
´a21 λ´ a22
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ2 ´ pa11 ` a22qλ` pa11a22 ´ a12a21q
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 41/73
3. Le polynome caracteristique
EXEMPLES
� Pour n “ 2, on a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ a11 ´a12
´a21 λ´ a22
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ2 ´ pa11 ` a22looomooon
trA
qλ` pa11a22 ´ a12a21loooooooomoooooooon
detA
q
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 41/73
3. Le polynome caracteristique
EXEMPLES
� Pour n “ 2, on a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ a11 ´a12
´a21 λ´ a22
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ2 ´ pa11 ` a22looomooon
trA
qλ` pa11a22 ´ a12a21loooooooomoooooooon
detA
q
� Pour n “ 3, on a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ a11 ´a12 ´a13
´a21 λ´ a22 ´a23
´a31 ´a32 λ´ a33
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ3 ´ pa11 ` a22 ` a33loooooooomoooooooon
trA
qλ2 ` p¨ ¨ ¨ qλ´ p ¨ ¨ ¨loomoon
detA
q
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 41/73
3. Le polynome caracteristique
EXEMPLES
� Pour n “ 2, on a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ a11 ´a12
´a21 λ´ a22
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ2 ´ pa11 ` a22looomooon
trA
qλ` pa11a22 ´ a12a21loooooooomoooooooon
detA
q
� Pour n “ 3, on a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ a11 ´a12 ´a13
´a21 λ´ a22 ´a23
´a31 ´a32 λ´ a33
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ3 ´ pa11 ` a22 ` a33loooooooomoooooooon
trA
qλ2 ` p¨ ¨ ¨ qλ´ p ¨ ¨ ¨loomoon
detA
q
§ Plus generalement, on obtient toujours un polynome unitaire de degre n en λ.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 41/73
3. Le polynome caracteristique
Definition et proposition (Polynome caracteristique)
Le determinant χf pλq “ detpλ idE ´f q “ detpλIn ´ Aq “ χApλq est un polynomeunitaire de degre n en λ. On l’appelle polynome caracteristique de f (et de A). Lesvaleurs propres de f (et de A) sont les racines de χf dans K.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 42/73
3. Le polynome caracteristique
REMARQUES
‚ Deux matrices semblables ont le meme polynome caracteristique.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 43/73
3. Le polynome caracteristique
REMARQUES
‚ Deux matrices semblables ont le meme polynome caracteristique.
‚ Si A est reelle, les racines complexes de χA sont encore appelees valeurs propresde A.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 43/73
3. Le polynome caracteristique
REMARQUES
‚ Deux matrices semblables ont le meme polynome caracteristique.
‚ Si A est reelle, les racines complexes de χA sont encore appelees valeurs propresde A.
§ On notera spRpAq Ă spCpAq les spectres reels et complexes de A.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 43/73
3. Le polynome caracteristique
REMARQUES
‚ Deux matrices semblables ont le meme polynome caracteristique.
‚ Si A est reelle, les racines complexes de χA sont encore appelees valeurs propresde A.
§ On notera spRpAq Ă spCpAq les spectres reels et complexes de A.
‚ Si λ est racine multiple de χA, on dit que c’est une valeur propre multiple de A.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 43/73
3. Le polynome caracteristique
EXERCICE 8
Calculer le polynome caracteristique, puis les valeurs propres de la matrice
A “
¨
˝
2 ´1 23 ´3 12 1 2
˛
‚
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 44/73
4. Critere de diagonalisation
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 45/73
4. Critere de diagonalisation
Proposition (Premier critere de diagonalisation)
L’endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement si la somme desdimensions de ses sous-espaces propres est egale a la dimension de E.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 45/73
4. Critere de diagonalisation
Proposition (Premier critere de diagonalisation)
L’endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement si la somme desdimensions de ses sous-espaces propres est egale a la dimension de E.
§ f est diagonalisable si et seulement si ses sous-espaces propres « remplissent » toutesles dimensions de l’espace E.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 45/73
4. Critere de diagonalisation
Proposition (Dimension des espaces propres)
Soient λ0 P sp f une valeur propre de f , de multiplicite mλ0et Eλ0
“ Kerpf ´λ0 idEql’espace propre qui lui est associe, alors
1 ď dimEλ0ď mλ0
.
En particulier, si λ0 est simple, c’est-a-dire mλ0“ 1, alors Eλ0
est une droite.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 46/73
4. Critere de diagonalisation
Theoreme (Second critere de diagonalisation)
L’endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement si son polynomecaracteristique est scinde sur K et la dimension de chaque sous-espace propre estegale a la multiplicite de la valeur propre correspondante.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 47/73
4. Critere de diagonalisation
Theoreme (Second critere de diagonalisation)
L’endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement si son polynomecaracteristique est scinde sur K et la dimension de chaque sous-espace propre estegale a la multiplicite de la valeur propre correspondante.
§ En particulier, si χf est scinde sur K et n’a que des racines simples, alors f estdiagonalisable.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 47/73
4. Critere de diagonalisation
EXEMPLE
On reprend A “
¨
˝
2 ´1 23 ´3 12 1 2
˛
‚
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73
4. Critere de diagonalisation
EXEMPLE
On reprend A “
¨
˝
2 ´1 23 ´3 12 1 2
˛
‚
‚ On a obtenu χApλq “ pλ´ 4qpλ` 1qpλ` 2q
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73
4. Critere de diagonalisation
EXEMPLE
On reprend A “
¨
˝
2 ´1 23 ´3 12 1 2
˛
‚
‚ On a obtenu χApλq “ pλ´ 4qpλ` 1qpλ` 2q
‚ χA est scinde sur R, a racines simples donc A est diagonalisable.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73
4. Critere de diagonalisation
EXEMPLE
On reprend A “
¨
˝
2 ´1 23 ´3 12 1 2
˛
‚
‚ On a obtenu χApλq “ pλ´ 4qpλ` 1qpλ` 2q
‚ χA est scinde sur R, a racines simples donc A est diagonalisable.
§ Les espaces propres sont necessairement de dimension 1.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73
4. Critere de diagonalisation
EXEMPLE
On reprend A “
¨
˝
2 ´1 23 ´3 12 1 2
˛
‚
‚ On a obtenu χApλq “ pλ´ 4qpλ` 1qpλ` 2q
‚ χA est scinde sur R, a racines simples donc A est diagonalisable.
§ Les espaces propres sont necessairement de dimension 1.
On obtient A “ PDP´1 avec
D “
¨
˝
4 0 00 ´1 00 0 ´2
˛
‚ et P “
¨
˝
13 1 ´18 1 ´2
17 ´1 1
˛
‚
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73
4. Critere de diagonalisation
EXERCICE 9
Montrer que la matrice
A “
¨
˝
3 2 1´8 ´5 ´28 4 1
˛
‚
est diagonalisable.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 49/73
4. Critere de diagonalisation
EXERCICE 9
Montrer que la matrice
A “
¨
˝
3 2 1´8 ´5 ´28 4 1
˛
‚
est diagonalisable.
Preciser une matrice diagonale D semblable a A, puis la relation de passage corre-spondante.
Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 49/73
Partie 4
Trigonalisation
Reduction des endomorphismes
1. Definition
Partie 4 : Trigonalisation 50/73
1. Definition
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur K, f P LpEq un endomorphismede E et A “MBpf q sa matrice dans une base B de E.
Partie 4 : Trigonalisation 50/73
1. Definition
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur K, f P LpEq un endomorphismede E et A “MBpf q sa matrice dans une base B de E.
Definition (Endomorphisme trigonalisable)
On dit que f est trigonalisable s’il existe une base B1 de E dans laquelle sa matriceest triangulaire superieure, c’est-a-dire de la forme
T “MB1pf q “
¨
˝
t11 ‹. . .
0 tnn
˛
‚
ou le symbole ‹ designe ici des coefficients non forcement tous nuls.
Partie 4 : Trigonalisation 50/73
1. Definition
‚ On a une relation de passage entre A et T ,
DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “
¨
˝
t11 ‹. . .
0 tnn
˛
‚
Partie 4 : Trigonalisation 51/73
1. Definition
‚ On a une relation de passage entre A et T ,
DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “
¨
˝
t11 ‹. . .
0 tnn
˛
‚
‚ A est semblable a T . On dit aussi que A est trigonalisable.
Partie 4 : Trigonalisation 51/73
1. Definition
‚ On a une relation de passage entre A et T ,
DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “
¨
˝
t11 ‹. . .
0 tnn
˛
‚
‚ A est semblable a T . On dit aussi que A est trigonalisable.
‚ Le polynome caracteristique χf de f est egal a celui de T .
χf pλq “ detpλIn ´ T q “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ t11 ‹. . .
0 λ´ tnn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ pλ´ t11q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pλ´ tnnq
Partie 4 : Trigonalisation 51/73
1. Definition
‚ On a une relation de passage entre A et T ,
DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “
¨
˝
t11 ‹. . .
0 tnn
˛
‚
‚ A est semblable a T . On dit aussi que A est trigonalisable.
‚ Le polynome caracteristique χf de f est egal a celui de T .
χf pλq “ detpλIn ´ T q “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ t11 ‹. . .
0 λ´ tnn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ pλ´ t11q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pλ´ tnnq
‚ Il est scinde sur K et les valeurs propres de f sont les elements diagonaux de T . Onles notera λ1, . . . , λn.
Partie 4 : Trigonalisation 51/73
1. Definition
‚ On a une relation de passage entre A et T ,
DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “
¨
˝
t11 ‹. . .
0 tnn
˛
‚
‚ A est semblable a T . On dit aussi que A est trigonalisable.
‚ Le polynome caracteristique χf de f est egal a celui de T .
χf pλq “ detpλIn ´ T q “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ´ t11 ‹. . .
0 λ´ tnn
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ pλ´ t11q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pλ´ tnnq
‚ Il est scinde sur K et les valeurs propres de f sont les elements diagonaux de T . Onles notera λ1, . . . , λn.
‚ On admet la reciproque.
Partie 4 : Trigonalisation 51/73
1. Definition
Theoreme (Critere de trigonalisation)
f (ou A) est trigonalisable si et seulement son polynome caracteristique est scindesur K.
Partie 4 : Trigonalisation 52/73
1. Definition
Theoreme (Critere de trigonalisation)
f (ou A) est trigonalisable si et seulement son polynome caracteristique est scindesur K.
§ L’hypothese de ce theoreme est toujours verifiee lorsque K “ C, donc
Partie 4 : Trigonalisation 52/73
1. Definition
Theoreme (Critere de trigonalisation)
f (ou A) est trigonalisable si et seulement son polynome caracteristique est scindesur K.
§ L’hypothese de ce theoreme est toujours verifiee lorsque K “ C, donc
Toute matrice est trigonalisable dans C.
Partie 4 : Trigonalisation 52/73
2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable
Partie 4 : Trigonalisation 53/73
2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable
Definition et proposition (Trace d’une matrice)
La trace d’une matrice A “ pai j qi ,jPv1,nw est la somme de ses elements diagonaux,
trA “nÿ
i“1
ai i P K
L’application tr : MnpKq Ñ K est une application lineaire sur MnpKq a valeursdans K qui verifie @A,B PMnpKq, trpABq “ trpBAq (meme lorsque AB ‰ BA).
Partie 4 : Trigonalisation 53/73
2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable
Definition et proposition (Trace d’un endomorphisme)
La trace de l’endomorphisme f est egale a la trace de sa matrice dans une base deE. Le resultat est independant de la base choisie. On le note tr f .
L’application tr : LpEq Ñ K est une application lineaire sur LpEq a valeurs dans K.
Partie 4 : Trigonalisation 54/73
2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable
Definition et proposition (Trace d’un endomorphisme)
La trace de l’endomorphisme f est egale a la trace de sa matrice dans une base deE. Le resultat est independant de la base choisie. On le note tr f .
L’application tr : LpEq Ñ K est une application lineaire sur LpEq a valeurs dans K.
§ Deux matrices semblables ont la meme trace, le meme determinant et le memepolynome caracteristique.
Partie 4 : Trigonalisation 54/73
2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable
EXEMPLE
La trace d’un projecteur est egale a son rang. On la calcule dans une base adaptee.
Partie 4 : Trigonalisation 55/73
2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable
Lien avec les valeurs propres
Partie 4 : Trigonalisation 56/73
2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable
Lien avec les valeurs propres
Proposition
Si f est trigonalisable de valeurs propres λ1, . . . , λn comptees avec multiplicite,alors :
tr f “ λ1 ` ¨ ¨ ¨ ` λn (somme des valeurs propres)
det f “ λ1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ λn (produit des valeurs propres)
Partie 4 : Trigonalisation 56/73
2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable
Lien avec les valeurs propres
Proposition
Si f est trigonalisable de valeurs propres λ1, . . . , λn comptees avec multiplicite,alors :
tr f “ λ1 ` ¨ ¨ ¨ ` λn (somme des valeurs propres)
det f “ λ1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ λn (produit des valeurs propres)
§ Quitte a passer en complexes, on peut toujours appliquer cette proposition.
Partie 4 : Trigonalisation 56/73
2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable
EXERCICE 10
Utiliser les resultats qui precedent pour determiner presque sans calculs les valeurspropres des matrices suivantes.
A “
¨
˝
1 ¨ ¨ ¨ 1...
...1 ¨ ¨ ¨ 1
˛
‚ et B “
¨
˝
0 ¨ ¨ ¨ 1...
. . ....
1 ¨ ¨ ¨ 0
˛
‚.
ou dans la matrice B, tous les coefficients valent 1, sauf ceux de la diagonale.
Partie 4 : Trigonalisation 57/73
3. Obtention de la matrice de passage
Partie 4 : Trigonalisation 58/73
3. Obtention de la matrice de passage
‚ On veut determiner les matrices P de passage et T triangulaire semblable a A.
Partie 4 : Trigonalisation 58/73
3. Obtention de la matrice de passage
‚ On veut determiner les matrices P de passage et T triangulaire semblable a A.
‚ On se place dans le cas ou la matrice T est connue.
Partie 4 : Trigonalisation 58/73
3. Obtention de la matrice de passage
EXEMPLE
Montrer que les matrices suivantes sont semblables.
A “
¨
˝
0 0 22 3 ´412 1 0
˛
‚ et T “
¨
˝
1 1 00 1 10 0 1
˛
‚
Partie 4 : Trigonalisation 59/73
3. Obtention de la matrice de passage
EXEMPLE
Montrer que les matrices suivantes sont semblables.
A “
¨
˝
0 0 22 3 ´412 1 0
˛
‚ et T “
¨
˝
1 1 00 1 10 0 1
˛
‚
§ Cela revient a dire que A et T representent le meme endomorphisme f dans desbases differentes.
Partie 4 : Trigonalisation 59/73
3. Obtention de la matrice de passage
Methode
Partie 4 : Trigonalisation 60/73
3. Obtention de la matrice de passage
Methode
‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.
Partie 4 : Trigonalisation 60/73
3. Obtention de la matrice de passage
Methode
‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.
‚ On note Bc “ pe1, e2, e3q la base canonique et B1 “ pe11, e12, e
13q la base inconnue
dans laquelle la matrice de f est T .
Partie 4 : Trigonalisation 60/73
3. Obtention de la matrice de passage
Methode
‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.
‚ On note Bc “ pe1, e2, e3q la base canonique et B1 “ pe11, e12, e
13q la base inconnue
dans laquelle la matrice de f est T .
‚ On a les relations$
&
%
f pe11q “ e11 p1q
f pe12q “ e11 ` e
12 p2q
f pe13q “ e12 ` e
13 p3q
Partie 4 : Trigonalisation 60/73
3. Obtention de la matrice de passage
Methode
‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.
‚ On note Bc “ pe1, e2, e3q la base canonique et B1 “ pe11, e12, e
13q la base inconnue
dans laquelle la matrice de f est T .
‚ On a les relations$
&
%
f pe11q “ e11 p1q
f pe12q “ e11 ` e
12 p2q
f pe13q “ e12 ` e
13 p3q
‚ Chaque ligne est un systeme qui donne une colonne de P .
Partie 4 : Trigonalisation 60/73
3. Obtention de la matrice de passage
Methode
‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.
‚ On note Bc “ pe1, e2, e3q la base canonique et B1 “ pe11, e12, e
13q la base inconnue
dans laquelle la matrice de f est T .
‚ On a les relations$
&
%
f pe11q “ e11 p1q
f pe12q “ e11 ` e
12 p2q
f pe13q “ e12 ` e
13 p3q
‚ Chaque ligne est un systeme qui donne une colonne de P .
§ Les solutions ne sont pas uniques. On fait des choix simples des parametres.
Partie 4 : Trigonalisation 60/73
Partie 5
Applications de la reduction
Reduction des endomorphismes
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Partie 5 : Applications de la reduction 61/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ Soit A PMnpKq une matrice et k P N.
Partie 5 : Applications de la reduction 61/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ Soit A PMnpKq une matrice et k P N.
‚ On suppose que A est diagonalisable,
DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1
ou D “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚, λ1, . . . , λn etant les valeurs propres de A.
Partie 5 : Applications de la reduction 61/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ Soit A PMnpKq une matrice et k P N.
‚ On suppose que A est diagonalisable,
DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1
ou D “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚, λ1, . . . , λn etant les valeurs propres de A.
‚ On a par associativite,
Ak “ pPDP´1qpPDP´1q ¨ ¨ ¨ pPDP´1q “ PDpP´1P qDpP´1P q ¨ ¨ ¨ pP´1P qDP´1
Partie 5 : Applications de la reduction 61/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ Soit A PMnpKq une matrice et k P N.
‚ On suppose que A est diagonalisable,
DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1
ou D “
¨
˝
λ1 0. . .
0 λn
˛
‚, λ1, . . . , λn etant les valeurs propres de A.
‚ On a par associativite,
Ak “ pPDP´1qpPDP´1q ¨ ¨ ¨ pPDP´1q “ PDpP´1P qDpP´1P q ¨ ¨ ¨ pP´1P qDP´1
‚ Il y a telescopage des produits P´1P , donc finalement
Ak “ PDkP´1
Partie 5 : Applications de la reduction 61/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ Dk se calcule facilement,
Dk “
¨
˚
˝
λk1 0. . .
0 λkn
˛
‹
‚
Partie 5 : Applications de la reduction 62/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ Dk se calcule facilement,
Dk “
¨
˚
˝
λk1 0. . .
0 λkn
˛
‹
‚
‚ Ce calcul reste valable pour k ă 0 a condition que A soit inversible.
Partie 5 : Applications de la reduction 62/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ Dk se calcule facilement,
Dk “
¨
˚
˝
λk1 0. . .
0 λkn
˛
‹
‚
‚ Ce calcul reste valable pour k ă 0 a condition que A soit inversible.
Par convention A0 “ In, la matrice identite.
Partie 5 : Applications de la reduction 62/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
EXEMPLE
� Calculer An pour n P N lorsque A “1
2
¨
˝
3 2 1´8 ´5 ´28 4 1
˛
‚.
Partie 5 : Applications de la reduction 63/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
EXEMPLE
� Calculer An pour n P N lorsque A “1
2
¨
˝
3 2 1´8 ´5 ´28 4 1
˛
‚.
On a la relation de diagonalisation A “ PDP´1, avec
D “1
2
¨
˝
1 0 00 ´1 00 0 ´1
˛
‚ et P “
¨
˝
1 1 0´2 0 12 ´4 ´2
˛
‚, P´1 “
¨
˝
2 1 12
´1 ´1 ´ 12
4 3 1
˛
‚
Partie 5 : Applications de la reduction 63/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
EXEMPLE
� Calculer An pour n P N lorsque A “1
2
¨
˝
3 2 1´8 ´5 ´28 4 1
˛
‚.
On a la relation de diagonalisation A “ PDP´1, avec
D “1
2
¨
˝
1 0 00 ´1 00 0 ´1
˛
‚ et P “
¨
˝
1 1 0´2 0 12 ´4 ´2
˛
‚, P´1 “
¨
˝
2 1 12
´1 ´1 ´ 12
4 3 1
˛
‚
d’ou
An “ PDnP´1 “1
2n
¨
˝
2´ p´1qn 1´ p´1qn1´p´1qn
2
´4` 4p´1qn ´2` 3p´1qn ´1` p´1qn
4´ 4p´1qn 2´ 2p´1qn 1
˛
‚
Partie 5 : Applications de la reduction 63/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
� Application : Expliciter le terme general puis les limites des suites definies par lesrelations de recurrence,
$
&
%
xn`1 “ 32xn ` yn `
12zn
yn`1 “ ´4xn ´52yn ´ zn
zn`1 “ 4xn ` 2yn `12zn
avec
¨
˝
x0
y0
z0
˛
‚“
¨
˝
101
˛
‚
Partie 5 : Applications de la reduction 64/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Application aux suites a recurrence lineaire
Partie 5 : Applications de la reduction 65/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Application aux suites a recurrence lineaire
‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun
Partie 5 : Applications de la reduction 65/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Application aux suites a recurrence lineaire
‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun
‚ On peut ecrire cette relation matriciellement. On pose vn “ un`1, alors
"
un`1 “ vn
vn`1 “ avn ` bun
Partie 5 : Applications de la reduction 65/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Application aux suites a recurrence lineaire
‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun
‚ On peut ecrire cette relation matriciellement. On pose vn “ un`1, alors
"
un`1 “ vn
vn`1 “ avn ` bun
‚ Soit Xn “
ˆ
unvn
˙
et A “
ˆ
0 1b a
˙
alors Xn`1 “ AXn
Partie 5 : Applications de la reduction 65/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Application aux suites a recurrence lineaire
‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun
‚ On peut ecrire cette relation matriciellement. On pose vn “ un`1, alors
"
un`1 “ vn
vn`1 “ avn ` bun
‚ Soit Xn “
ˆ
unvn
˙
et A “
ˆ
0 1b a
˙
alors Xn`1 “ AXn
‚ On a donc Xn “ AnX0 avec X0 “
ˆ
u0
u1
˙
.
Partie 5 : Applications de la reduction 65/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Application aux suites a recurrence lineaire
‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun
‚ On peut ecrire cette relation matriciellement. On pose vn “ un`1, alors
"
un`1 “ vn
vn`1 “ avn ` bun
‚ Soit Xn “
ˆ
unvn
˙
et A “
ˆ
0 1b a
˙
alors Xn`1 “ AXn
‚ On a donc Xn “ AnX0 avec X0 “
ˆ
u0
u1
˙
.
‚ On peut calculer An par reduction.
Partie 5 : Applications de la reduction 65/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ On a le polynome caracteristique de A,
χApλq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ ´1´b λ´ a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ2 ´ aλ´ b
Partie 5 : Applications de la reduction 66/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ On a le polynome caracteristique de A,
χApλq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ ´1´b λ´ a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ2 ´ aλ´ b
‚ L’equation λ2 ´ aλ ´ b “ 0 est appelee equation caracteristique de la recurrencelineaire.
Partie 5 : Applications de la reduction 66/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ On a le polynome caracteristique de A,
χApλq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ ´1´b λ´ a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ2 ´ aλ´ b
‚ L’equation λ2 ´ aλ ´ b “ 0 est appelee equation caracteristique de la recurrencelineaire.
‚ Si ∆ ‰ 0, alors l’equation caracteristique a deux racines distinctes λ1 et λ2.
Partie 5 : Applications de la reduction 66/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ On a le polynome caracteristique de A,
χApλq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ ´1´b λ´ a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ2 ´ aλ´ b
‚ L’equation λ2 ´ aλ ´ b “ 0 est appelee equation caracteristique de la recurrencelineaire.
‚ Si ∆ ‰ 0, alors l’equation caracteristique a deux racines distinctes λ1 et λ2.
‚ A est diagonalisable,
A “ PDP´1 ou D “
ˆ
λ1 00 λ2
˙
et P P GL2pKq
Partie 5 : Applications de la reduction 66/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ On a le polynome caracteristique de A,
χApλq “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
λ ´1´b λ´ a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ λ2 ´ aλ´ b
‚ L’equation λ2 ´ aλ ´ b “ 0 est appelee equation caracteristique de la recurrencelineaire.
‚ Si ∆ ‰ 0, alors l’equation caracteristique a deux racines distinctes λ1 et λ2.
‚ A est diagonalisable,
A “ PDP´1 ou D “
ˆ
λ1 00 λ2
˙
et P P GL2pKq
‚ On a donc An “ PDnP´1, et
ˆ
unvn
˙
“ P
ˆ
λn1 00 λn2
˙
P´1
ˆ
u0
u1
˙
Partie 5 : Applications de la reduction 66/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ un est de la formeun “ αλ
n1 ` βλ
n2
ou α et β P K (dependent de P et P´1).
Partie 5 : Applications de la reduction 67/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ un est de la formeun “ αλ
n1 ` βλ
n2
ou α et β P K (dependent de P et P´1).
‚ Le calcul de P et P´1 n’est pas necessaire. On trouve α, β a l’aide de u0, u1.
Partie 5 : Applications de la reduction 67/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
EXEMPLE
Expliciter le terme general de la suite punqnPN definie par u0 “ 1, u1 “ 1 et la relationde recurrence
@n P N, un`2 “ ´un`1 ` 6un
Partie 5 : Applications de la reduction 68/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
REMARQUE
Cela se generalise a des suites recurrentes d’ordre superieur a deux.
Partie 5 : Applications de la reduction 69/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
EXEMPLE
Donner le forme du terme general des suites verifiant la relation de recurrence
@n P N, un`3 “ 2un`2 ` un`1 ´ 2un
Partie 5 : Applications de la reduction 70/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Cas d’un discriminant nul
Partie 5 : Applications de la reduction 72/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Cas d’un discriminant nul
On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “
ˆ
unvn
˙
, A “
ˆ
0 1b a
˙
Partie 5 : Applications de la reduction 72/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Cas d’un discriminant nul
On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “
ˆ
unvn
˙
, A “
ˆ
0 1b a
˙
‚ Si ∆ “ 0, alors l’equation caracteristique admet une racine double λ1 “ λ2 “ λ.
Partie 5 : Applications de la reduction 72/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Cas d’un discriminant nul
On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “
ˆ
unvn
˙
, A “
ˆ
0 1b a
˙
‚ Si ∆ “ 0, alors l’equation caracteristique admet une racine double λ1 “ λ2 “ λ.
‚ A est trigonalisable,
A “ PTP´1 avec T “
ˆ
λ µ0 λ
˙
et P P GLnpKq
Partie 5 : Applications de la reduction 72/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Cas d’un discriminant nul
On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “
ˆ
unvn
˙
, A “
ˆ
0 1b a
˙
‚ Si ∆ “ 0, alors l’equation caracteristique admet une racine double λ1 “ λ2 “ λ.
‚ A est trigonalisable,
A “ PTP´1 avec T “
ˆ
λ µ0 λ
˙
et P P GLnpKq
µ est eventuellement nul (si A est diagonalisable).
Partie 5 : Applications de la reduction 72/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
Cas d’un discriminant nul
On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.
@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “
ˆ
unvn
˙
, A “
ˆ
0 1b a
˙
‚ Si ∆ “ 0, alors l’equation caracteristique admet une racine double λ1 “ λ2 “ λ.
‚ A est trigonalisable,
A “ PTP´1 avec T “
ˆ
λ µ0 λ
˙
et P P GLnpKq
µ est eventuellement nul (si A est diagonalisable).
‚ On calcule T n par la formule du binome.
T “ λI2 ` N avec N “
ˆ
0 µ0 0
˙
Partie 5 : Applications de la reduction 72/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ On a N2 “ 0 et I2 et N commutent, donc
T n “ λnI2 ` nλn´1N ` 0 “
ˆ
λn nλn´1µ0 λn
˙
Partie 5 : Applications de la reduction 72/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ On a N2 “ 0 et I2 et N commutent, donc
T n “ λnI2 ` nλn´1N ` 0 “
ˆ
λn nλn´1µ0 λn
˙
‚ On en deduit que
ˆ
unvn
˙
“ P
ˆ
λn nλn´1µ0 λn
˙
P´1
ˆ
u0
u1
˙
Partie 5 : Applications de la reduction 72/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
‚ On a N2 “ 0 et I2 et N commutent, donc
T n “ λnI2 ` nλn´1N ` 0 “
ˆ
λn nλn´1µ0 λn
˙
‚ On en deduit que
ˆ
unvn
˙
“ P
ˆ
λn nλn´1µ0 λn
˙
P´1
ˆ
u0
u1
˙
‚ En isolant la premiere composante,
un “ pα` nβqλn
avec α et β des constantes
Partie 5 : Applications de la reduction 72/73
1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable
EXEMPLE
Expliciter le terme general de la suite punqnPN definie par u0 “ 1, u1 “ 0 et la relationde recurrence
@n P N, un`2 “ 4un`1 ´ 4un
Partie 5 : Applications de la reduction 73/73