Quille pendulaire - Sherpas
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A 2014 SI-PSI ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES,
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DES TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2014
ĂPREUVE DE SCIENCES INDUSTRIELLES
FiliĂšre : PSI
SUJET MIS A LA DISPOSITION DES CONCOURS : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM,
INT, TPE-EIVP
Durée de l'épreuve : 4 heures
Lâusage de la calculatrice est autorisĂ©
Cet Ă©noncĂ© comporte 12 pages numĂ©rotĂ©es de 1 Ă 12 et un document annexe de 5 pages. Le travail doit ĂȘtre reportĂ© sur un
document-réponse de 4 copies (16 pages) distribuées avec le sujet. Un seul document-réponse est fourni au candidat. Le
renouvellement de ce document en cours dâĂ©preuve est interdit. Pour valider ce document-rĂ©ponse, chaque candidat doit
obligatoirement y inscrire à l'encre, à l'intérieur du rectangle d'anonymat situé en haut de chaque copie, ses nom, prénoms (souligner
le prĂ©nom usuel), numĂ©ro d'inscription et signature, avant mĂȘme d'avoir commencĂ© l'Ă©preuve. Il est conseillĂ© de lire la totalitĂ© de
l'énoncé avant de commencer l'épreuve.
Les questions sont organisées au sein d'une progression logique caractéristique de la discipline, certaines questions étant
partiellement dépendantes : il est donc souhaitable de les traiter dans l'ordre. La rédaction des réponses sera la plus concise possible :
on évitera de trop longs développements de calculs en laissant subsister les articulations du raisonnement.
Si, au cours de lâĂ©preuve, un candidat repĂšre ce qui lui semble ĂȘtre une erreur dâĂ©noncĂ©, il le signale sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives quâil est amenĂ© Ă prendre.
Quille pendulaire La conception des voiliers de course, dans un contexte de forte compétitivité sportive et technique, utilise
toutes les Ă©volutions rĂ©centes afin dâamĂ©liorer performances et sĂ©curitĂ©. DĂšs les premiers stades de la
conception du navire, lâarchitecte naval intĂšgre les exigences des diffĂ©rents spĂ©cialistes qui collaborent au
projet. A ce titre la conception dâun voilier de course ocĂ©anique est analogue Ă la conduite dâun projet industriel classique oĂč les intervenants sâinscrivent dans une dĂ©marche collaborative pilotĂ©e par un
coordonnateur du projet.
LâĂ©tude proposĂ©e sâintĂ©resse Ă quelques aspects de la conception dâune quille pendulaire Ă©quipant un monocoque 60â IMOCA.
1- ANALYSE FONCTIONNELLE ET STRUCTURELLE
1.1 Fonction de la quille dans la dynamique dâun voilier Le comportement dynamique dâun voilier est conditionnĂ© par ses interactions avec les deux fluides avec lesquels il
entre en contact : lâair et lâeau. Il reçoit de lâĂ©nergie sous la forme des actions aĂ©rodynamiques dues au mouvement
relatif air/voiles. Ces actions mécaniques le font avancer et
provoquent son inclinaison autour de son axe longitudinal
(axe de direction Nz sur la figure 1). Câest le phĂ©nomĂšne de
gĂźte. Pour contrebalancer ce mouvement et Ă©viter que le
voilier ne se couche sur lâeau, la quille joue le rĂŽle de contrepoids. Cette quille est gĂ©nĂ©ralement constituĂ©e dâun voile immergĂ© dans lâeau Ă lâextrĂ©mitĂ© duquel se trouve un lest profilĂ©. LâefficacitĂ© de la quille dĂ©pend de la masse du lest et de la longueur du voile. Ces deux paramĂštres
prĂ©sentent des limitations : le lest ne peut ĂȘtre trop important sous peine de solliciter dangereusement le
Voile de
quille
Lest
Figure 1 : Voilier 60â IMOCA â Image Cabinet Finot-Conq
Ny
Nx Nz
PSI 2
voile de quille et la longueur de quille est limitĂ©e par le tirant dâeau maximal admissible (il faut permettre
lâentrĂ©e dans les ports sans toucher le fond !).
1.2 Etude de la stabilitĂ© « de formes » dâun voilier dotĂ© dâune quille non pendulaire (voir figures 2a et
2b).
On considĂšre le navire Ă lâarrĂȘt et en Ă©quilibre sur un
plan dâeau au repos (figure 2a). Il est soumis :
Aux effets de pesanteur représentés par le
torseur
G
M.g.y
0
. G désigne le centre de
gravitĂ© du navire, M sa masse, g lâaccĂ©lĂ©ration de pesanteur et y oriente la verticale
ascendante du lieu.
Aux actions de lâeau sur la coque ou « PoussĂ©e
dâArchimĂšde » reprĂ©sentĂ©es par le torseur :
D
C
R .y
0
. C désigne le centre de carÚne et RD,
exprimĂ©e en N, lâintensitĂ© de la rĂ©sultante des actions de lâeau sur la coque, quâen construction navale on nomme « dĂ©placement ». A lâĂ©quilibre : RD = Mg.
Une cause extĂ©rieure reprĂ©sentĂ©e par le torseur ext nav , comme lâeffet du vent sur les voiles ou des vagues sur la coque, provoque la gĂźte du navire caractĂ©risĂ©e par lâangle de gĂźte N(y ,y ) (figure 2b).
Un nouvel Ă©quilibre est alors obtenu sous lâeffet des deux actions mĂ©caniques prĂ©cĂ©dentes, le poids et la
poussĂ©e dâArchimĂšde, ainsi que lâaction mĂ©canique extĂ©rieure cause de gĂźte.
LâĂ©quation de moment en G selon z se traduit par : DM(G,ext nav).z R .Gx 0
Gx désigne la longueur mesurée algébriquement selon x entre le centre de gravité et le centre de carÚne.
La quantité RD.Gx est appelée :
« Moment de redressement » si RD.Gx > 0 et > 0 ou RD.Gx < 0 et < 0.
« Moment de chavirage» si RD.Gx < 0 et > 0 ou RD.Gx > 0 et < 0.
Dans son avant-projet, lâarchitecte naval Ă©tudie cette stabilitĂ© du
navire Ă lâaide dâoutils de simulation numĂ©rique. A partir du modĂšle numĂ©rique des formes de la coque (exemple figure 3) et dâune rĂ©partition des masses aussi proche que possible de la rĂ©partition
finale, les diffĂ©rentes positions dâĂ©quilibre du navire sont recherchĂ©es
en fonction de lâangle de gĂźte. Cette Ă©tude fournit une courbe de
stabilitĂ© thĂ©orique oĂč apparaĂźt en abscisse lâangle de gĂźte et en
ordonnée le paramÚtre Gx (voir courbe de la figure R1 sur la copie ou la
figure 5).
Question 1
La figure R1 donne la courbe de stabilitĂ© thĂ©orique dâun voilier Ă quille non pendulaire (quille fixe par rapport
Ă la coque).
a- Expliquer pourquoi Gx suffit à caractériser le moment de redressement ou de chavirage.
b- Pour chaque point dâĂ©quilibre repĂ©rĂ© sur la courbe par A, B, C, D, E et F, donner dans la case prĂ©vue sur
la copie le numĂ©ro de la figure reprĂ©sentant la position dâĂ©quilibre correspondant.
Gx
Gx=0
G
C
Figure 2a Figure 2b
G
C
Nyy Ny y
x Nx x
Nz
ext nav
Figure 3 : ModĂšle numĂ©rique dâune coque de 60â IMOCA
Ny
Nx
Nz
z
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Question 2
En utilisant la modĂ©lisation de la figure 4 oĂč on admettra (hypothĂšse
simplificatrice) que le mouvement du navire par rapport au repÚre galiléen
(H ; x , y , z ) est une rotation dâaxe (H, z ), H tel que NGH L.y et L constante
positive) :
a- Exprimer la puissance galiléenne des actions de pesanteur
dĂ©veloppĂ©es par le mouvement du navire (rotation dâaxe (H, z )) en
fonction de , d
dt
, g, M et autres paramÚtres géométriques utiles.
b- Montrer alors que le travail de ces actions de pesanteur est
proportionnel Ă Sij tel que
j
i
Sij Gx( ).d
, lorsque lâangle de gĂźte
passe de la valeur i Ă la valeur j.
La figure 5 reprĂ©sente lâĂ©volution, pour un navire 60â IMOCA Ă quille fixe, de Gx en fonction de lâangle de gĂźte , pour variant de 0 Ă 180°. Sur cette courbe, les quantitĂ©s
1 2
01 12
0 1
S Gx( ).d et S Gx( ).d
sont
représentées par les « aires » comprises entre la
courbe et lâaxe des abscisses.
La rĂ©glementation impose Ă lâarchitecte naval de crĂ©er
des formes de coque pour lesquelles :
Lâangle de gĂźte provoquant la mise en situation
de chavirage du voilier (changement de signe
de Gx) soit au minimum de 120°.
Le rapport des « aires » soit tel que : 01
12
S 5
S 1.
Question 3
Quel est le sens donné à chacune de ces deux
clauses du cahier des charges imposées par le
législateur?
1 .3 IntĂ©rĂȘt dâune quille pendulaire
Une Ă©volution rĂ©cente des voiliers de course ocĂ©anique a Ă©tĂ© de les doter dâune quille pendulaire (figures 6
et 7). Cette quille est en liaison pivot dâaxe (O ; Nz ) avec la coque du navire et peut ĂȘtre orientĂ©e dâun cĂŽtĂ©
ou de lâautre du navire. Une fois lâorientation dĂ©sirĂ©e obtenue, tout mouvement dans la liaison pivot est
supprimé par le blocage en rotation de celle-ci. La mise en mouvement et le blocage en position de la quille
sont rĂ©alisĂ©s par des chaĂźnes dâĂ©nergie et dâinformation Ă©tudiĂ©es dans la suite du sujet.
La figure R3 de la copie donne les courbes de stabilitĂ© thĂ©orique dâun voilier dont la quille pendulaire est
inclinée :
Au maximum sur « tribord» (à droite dans le sens de la marche) (courbe 1).
Dâun angle nul (courbe 2).
Figure 6 : Voilier avec sa quille pendulaire écartée au maximum sur « bùbord »
Gx
Figure 4 : modélisation
du voilier Ă la gĂźte
G
C
H
NGH L.y
z
Nz
Nx
x
Nyy
ext nav
O
Figure 7 : ModÚle cinématique élémentaire de la
quille pendulaire
Nx
Ny
z
Nz
Coté « Tribord » Coté « Bùbord »
° 20° 40° 60° 80° 100° 120° 140° 160° 180°
Figure 5: Courbe de stabilité théorique : définition des « aires » S01 et S12
S01
S12 (°)
Gx(m)
1 2 0
Nz
PSI 4
Question 4 :
a- Au vu de ces courbes, quels avantages procure la quille pendulaire au comportement du navire
lorsquâil gĂźte avec un angle positif?
b- Pour un angle de gĂźte nĂ©gatif, quel est lâapport de la quille pendulaire ?
c- Dans la situation de navigation oĂč le vent vient de tribord et oĂč la gĂźte ne doit pas ĂȘtre trop
importante malgrĂ© la grande surface de voile dĂ©ployĂ©e, quelle doit ĂȘtre la configuration de
navigation Ă adopter ?
RĂ©pondre par un dessin reproduisant la figure 7 et justifier votre choix.
d- Lorsque le navire (quille Ă tribord) est dans la position inappropriĂ©e oĂč ||= 180° indiquer son
comportement si une cause extĂ©rieure tend Ă lâĂ©carter de cette position pour lâamener Ă une position dĂ©finie par (envisager les deux possibilitĂ©s : < 180° et > -180°).
La quille pendulaire constitue un systÚme dont la fonction principale est FP1 : « Orienter la quille ». La
composition de cette fonction peut ĂȘtre illustrĂ©e par le diagramme F.A.S.T. reprĂ©sentĂ© ci-dessous figure 8.
Parmi les moyens mis en Ćuvre, la chaĂźne de solides qui termine la chaĂźne dâĂ©nergie est reprĂ©sentĂ©e et modĂ©lisĂ©e sur le document « Annexe 1 ».
Cette chaßne est composée :
Du berceau N encastré sur la coque du navire et dont le repÚre associé est RN : (O ; Nx , Ny , Nz ).
de la quille 1 constituĂ©e du voile et du lest dâextrĂ©mitĂ© et dont le repĂšre associĂ© est R1 : (O ; 1x , 1y ,
Nz ).
Du vérin 2-4 constitué du piston 2 et du cylindre 4 et dont les repÚres associés sont respectivement
R2 : (A2 ; 2x , 2y , 2z ) et R4 : (C ; 2x , 2y , 2z ) (la rotation relative 2-4 ne sera pas prise en compte dans
lâĂ©tude et donc les bases de R2 et R4 seront confondues).
Du vérin 3-5 constitué du piston 3 et du cylindre 5 et dont les repÚres associés sont respectivement
R3 : (A3 ; 3x , 3y , 3z ) et R5 : (B ; 3x , 3y , 3z ) (la rotation relative 3-5 ne sera pas prise en compte dans
lâĂ©tude et donc les bases de R3 et R5 seront confondues).
Le paramĂ©trage complet et la dĂ©finition des liaisons entre ces solides figurent dans lâ « Annexe 1 ».
FP1 ORIENTER
la quille Moyens mis en Ćuvre
Pupitre de commande et
capteurs
Automate
Interfaces de communication
Bloqueurs hydrauliques Ă
pilotage Ă©lectrique
FT1.1.2 TRAITER Lâinformation
FT1.1.3 COMMUNIQUER
Les ordres et les informations
Centrale hydraulique
Servovalve
VĂ©rins hydrauliques
FT1.1
COMMANDER
FT1.1.1 ACQUERIR Les consignes et les grandeurs
physiques utiles
FT1.2.3 CONVERTIR LâĂ©nergie hydraulique en Ă©nergie mĂ©canique
FT1.2.1 ALIMENTER En Ă©nergie hydraulique
FT1.2.2 DISTRIBUER LâĂ©nergie hydraulique
FT1.2.4 TRANSMETTRE
LâĂ©nergie mĂ©canique
ChaĂźne de solides
FT1.2.5 BLOQUER / DEBLOQUER La position des vérins
FT1.2 DEPLACER
La quille
Figure 8 : F.A.S.T.
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2- FONCTION FT1.2 : « DEPLACER LA QUILLE ». FONCTION COMPOSANTE FT1.2.1 : « ALIMENTER :
DEVELOPPER UNE PUISSANCE MOTRICE SUFFISANTE »
Lâobjectif est de dĂ©terminer la puissance utile au dĂ©placement de la quille et de la comparer Ă celle installĂ©e
par le constructeur.
Dans cette partie, le modĂšle de calcul est celui fourni par lâ « Annexe 1 ». Le modĂšle utilisĂ© est le modĂšle
« plan », représenté Figure A2.
Le bateau est Ă lâarrĂȘt et son repĂšre RN est galilĂ©en.
Lors de la commande de basculement de la quille, les vérins sont alimentés de telle sorte que : 2 0hF et
3 0hF (voir lâ « Annexe 1 » page 3). Le vĂ©rin 2-4 est alors moteur et le vĂ©rin 3-5 est libre.
Les liaisons sont parfaites. Le mouvement du fluide dans les diverses canalisations sâaccompagne dâun phĂ©nomĂšne de frottement visqueux dĂ©fini en « annexe 1 ». Lâeau exerce sur le voile de quille une action hydrodynamique dĂ©finie en « annexe 1 ».
VALIDATION DE LA PUISSANCE INSTALLEE.
Liminaire :
Question 5
Exprimer les vitesses suivantes :
a- 1 1V(G , / N) en fonction de 1(d / dt) et des paramÚtres géométriques utiles.
b- 2 2V(G , / N) en fonction de 2(d / dt) , 24(dx / dt) , 24x et des paramÚtres géométriques utiles.
c- 3 3V(G , / N) en fonction de 3(d / dt) , 35(dx / dt) , 35x et des paramÚtres géométriques utiles.
d- 2 4V( A, / ) en fonction de 24(dx / dt) .
Soit E lâensemble constituĂ© des solides 1, 2, 3, 4 et 5.
Expression des énergies cinétiques galiléennes (le repÚre RN est galiléen) des solides de E en mouvement.
Question 6
Parmi celles développées par les solides de E, exprimer uniquement les suivantes:
a- Energie cinétique galiléenne du solide 1 dans son mouvement par rapport à N, T(1/N), en fonction de
1(d / dt) et des paramÚtres inertiels et géométriques utiles.
b- Energie cinétique galiléenne du solide 2 dans son mouvement par rapport à N, T(2/N), en fonction de
2(d / dt) , 24(dx / dt) , 24x et des paramÚtres inertiels et géométriques utiles.
c- Energie cinétique galiléenne du solide 4 dans son mouvement par rapport à N, T(4/N), en fonction de
2(d / dt) et des paramÚtres inertiels et géométriques utiles.
Evaluation des puissances développées par les actions mécaniques intérieures à E.
Question 7
Recenser (notation P(i j/k)), puis exprimer les puissances non nulles développées par les actions
mécaniques intérieures à E en fonction du (ou des) paramÚtre(s) propre(s) à la liaison ou au
mouvement concerné.
Evaluation des puissances développées par les actions mécaniques extérieures à E.
Question 8
Recenser (notation P(i j/N), puis exprimer les puissances galiléennes non nulles développées par
les actions mĂ©caniques extĂ©rieures Ă E. Chaque puissance sera exprimĂ©e Ă lâaide du (ou des)
paramÚtre(s) propre(s) à la liaison ou au mouvement concerné. Les notations utilisées sont celles
des tableaux de lâ « Annexe 1 ».
PSI 6
Question 9
Appliquer le thĂ©orĂšme de lâĂ©nergie-puissance Ă E dans son mouvement par rapport Ă N. Ecrire ce
théorÚme de façon globale en utilisant uniquement les notations précédentes, sans leur
développement. Exprimer dans ces conditions la puissance motrice que fournit le vérin moteur en
fonction du reste : Ă©quation (1).
On se place dans le cas oĂč une commande en vitesse est gĂ©nĂ©rĂ©e Ă destination du vĂ©rin [2, 4]. Le vĂ©rin [3, 5]
est libre. Cette commande « en trapĂšze de vitesse» (voir figure A de lâ « Annexe 2 ») provoque le
déplacement de la quille de la position 1 = 0 à la position 1 = 45° en 4 secondes, le maintien de la quille dans
cette position pendant 1 seconde puis le retour Ă la position 1 = 0 en 4 secondes. Les phases dâaccĂ©lĂ©ration et de dĂ©cĂ©lĂ©ration (rampes) durent 1 seconde.
Un logiciel de calcul permet de tracer lâĂ©volution temporelle des puissances mises en jeu. Ces puissances sont
représentées sur le document « Annexe 2 ».
Question 10
a- Dans le but de chiffrer la valeur maximale de la puissance que doit fournir lâactionneur pour rĂ©aliser le mouvement prĂ©vu, tracer, Ă lâaide de lâ« Annexe 2 », sur la figure R4 de la copie, lâallure de lâĂ©volution temporelle de cette puissance. Pour cela, Ă©valuer les valeurs aux instants t = 0s, t = 1s,
t= 3s et t = 4s.
Sur cet intervalle [0,4s], Ă©valuer, en kW, la valeur maximale de la puissance que doit fournir
lâactionneur. Expliquer pourquoi le maximum de puissance est situĂ© sur cet intervalle.
Le constructeur indique une puissance motrice installée sur son bateau de 30 kW.
b- Dans les hypothÚses utilisées pour constituer le modÚle de calcul, indiquer ce qui peut expliquer la
différence entre la valeur calculée et la valeur installée.
3- FONCTION FT1.2.4 : « TRANSMETTRE LâENERGIE MECANIQUE ». FONCTION COMPOSANTE
FT1.2.4.1 : « GUIDER LA QUILLE PAR RAPPORT A LA COQUE EN MAINTENANT LE CONTACT »
Lâobjectif de cette partie est de valider la solution technologique de rĂ©alisation de la liaison pivot entre la
quille et la coque.
Le modÚle de calcul pour cette partie est celui du document « Annexe 1 », version à 3 dimensions de la figure
A1 (voir aussi la copie).
HypothĂšses :
- Les liaisons sont toutes parfaites.
- Seul le vĂ©rin 2-4 est moteur (Fh3=0): lâaction mĂ©canique motrice est donnĂ©e par h2 2
C
F .xph 2
0
.
- Les actions mécaniques de frottement visqueux provenant du déplacement du fluide dans les
canalisations sont toutes négligées (k=0).
- Les actions hydrodynamiques sur le voile et le lest de quille sont également négligées. - Les poids des éléments constitutifs des deux vérins sont négligés.
- La variation de 2 pour toute lâamplitude du mouvement de relevage de la quille est faible ; 2 sera pris
Ă©gal Ă 0 : les bases B2, B4 et BN sont donc confondues. Cependant lâangle 1 est diffĂ©rent de zĂ©ro.
- Les conditions de déplacement rendent négligeables les effets dynamiques. Les théorÚmes de la
statique seront donc utilisés dans la suite.
Question 11
En isolant le bon systĂšme, montrer que lâaction de 2 sur 1 en A2 est reprĂ©sentable par le glisseur dont
la forme sera notée :21 2
A2
F .x
0
ou 21 N
A2
F .x
0
puisque BN = B2.
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Question 12
En isolant le bon systĂšme, exprimer, en fonction de d, g,
M1, et 21F , par ses éléments de réduction en O, dans la
base ( Nx , Ny , Nz ), le torseur dâaction mĂ©canique de N sur 1, {N1} pivot.
La liaison pivot de N sur 1 est composée de deux paliers
modélisés par une liaison sphÚre-cylindre et une liaison
sphérique placées en parallÚle (voir figure 9). La
gĂ©omĂ©trie de lâassemblage est telle que :
2 N 1 NOO e.z ; OO e.z avec e 350 mm .
Question 13
Ecrire la relation liant les torseurs dâaction mĂ©canique {N1}sphĂšre-cylindre, {N1}sphĂ©rique et {N1} pivot.
En déduire, par ses éléments de réduction en O1, dans la
base BN : ( Nx , Ny , Nz ), en fonction de d, g, M1, et 21F ,
le torseur dâaction mĂ©canique de N sur 1 en O1,
{N1}sphĂšre-cylindre.
On se place dans les conditions suivantes :
- La valeur maximale de lâaction 21F a Ă©tĂ© estimĂ©e dans lâĂ©tude prĂ©cĂ©dente : F21Maxi = 2.105 N. De
plus : M1.g = 4,1.104 N, e = 350 mm et d = 200 mm.
- Les « paliers » sont constitués cÎté quille de contacts cylindriques de diamÚtre dc = 80 mm et de
longueur Lc = 50 mm, O1 étant dans le plan médian du cylindre de contact. Un coussinet de nylon
sert dâinterface entre la quille et le navire. Ce coussinet est caractĂ©risĂ© par sa pression de contact
maximale admissible : padm = 50 N/mmÂČ.
Question 14
Dans ces conditions, calculer la valeur de lâeffort radial (perpendiculaire Ă lâaxe gĂ©omĂ©trique du coussinet) qui sollicite ce coussinet en O1.
Valider ensuite lâusage de ce coussinet de nylon Ă lâaide de lâ « Annexe 3 ».
4- FONCTION FT1.1.2 : « TRAITER LâINFORMATION ». FONCTION COMPOSANTE FT1.1.2.1 :
« GERER LES CYCLES PREPROGRAMMES»
Lâautomate, qui
réalise la fonction
TRAITER lâinformation,
a son activité
décomposée en deux
tĂąches selon le
diagramme FAST de la
Figure 10.
N
O O2
Nz
Berceau N
O
Quille 1
O1 e
e
Figure 9 : composition de la liaison pivot 1/N.
N
NyNx
Moyens mis en oeuvre
Commande séquentielle
Commande asservie FT1.1.2.2 RESPECTER
La consigne angulaire de position
FT1.1.2 TRAITER Lâinformation
FT1.1.2.1 GERER
Les cycles préprogrammés
Figure 10 : F.A.S.T. partiel.
PSI 8
La commande des manĆuvres de la quille sâeffectue via un pupitre (voir
figure 11) placé à proximité du poste
de barre Ă partir duquel le
navigateur peut demander Ă
lâautomate de rĂ©aliser : Le dĂ©placement de la quille
dâun bord ou de lâautre selon une valeur de
consigne.
Des cycles préprogrammés
comme celui de « virement
de bord » et celui de
« Relùcher ». Le cycle de
virement de bord permet de
placer la quille de façon
symétrique à la position
quâelle occupait prĂ©cĂ©demment. Ce cycle est
utilisé lorsque le navigateur
change lâorientation du navire par rapport au vent lors dâun virement de bord. Lâautomate prend alors en charge intĂ©gralement la sĂ©quence de manĆuvres de la quille, laissant le navigateur disponible pour les autres tĂąches.
Le cycle « Relùcher » permet de déplacer la quille sous le seul effet de la pesanteur. La quille est ainsi
manĆuvrĂ©e sans utiliser lâĂ©nergie de la centrale hydraulique. Lâautomate est Ă©galement interfacĂ© via le rĂ©seau du navire Ă une base de donnĂ©es oĂč sont stockĂ©s les paramĂštres des navigations prĂ©cĂ©dentes (conditions mĂ©tĂ©orologiques, performances du navire et angle de
quille). Le navigateur peut ainsi intĂ©grer les paramĂštres de la quille Ă lâensemble des paramĂštres dĂ©cisionnels qui lui permettent dâĂ©laborer sa stratĂ©gie de navigation. Lâautomate gĂšre Ă©galement la centrale hydraulique qui met en pression lâhuile utilisĂ©e dans les vĂ©rins de manĆuvre de la quille.
Deux capteurs renseignent lâautomate :
Un inclinomĂštre mesure lâangle de gĂźte du navire, information notĂ©e .
Le capteur de position angulaire mesure lâangle dâinclinaison de la quille, grandeur notĂ©e mes().
Le pupitre de commande est doté de quatre boutons poussoirs :
tr : Demande dâinclinaison sur tribord. b : Demande dâinclinaison sur bĂąbord.
Un appui « bref » sur lâun ou lâautre de ces boutons provoque une Ă©volution de lâangle de consigne de 1°, un
appui « long » une évolution de 10°.
vir : Demande du cycle « virement de bord ».
rel : Demande du cycle « Relùcher ».
Il comporte Ă©galement un afficheur numĂ©rique permettant de visualiser soit lâangle dâinclinaison de la quille, soit la valeur de consigne lorsque le barreur agit sur « bĂąbord » ou « tribord » (variables b ou tr).
Le modĂšle de commande implantĂ© dans lâautomate est dĂ©fini par les grafcets G1, G2, G3 et G4 de la copie.
Question 15
A lâinstant t0, la situation du graphe de commande est {0, 30} et la quille est alors inclinĂ©e de +20°. Le
navigateur donne une sĂ©rie dâimpulsions sur b et tr conformĂ©ment au chronogramme donnĂ© sur le document
réponse R5 de la copie.
En analysant le modÚle de commande, compléter le graphe des évolutions temporelles de la
consigne angulaire c donnĂ© sur le document rĂ©ponse R5 jusquâĂ lâinstant t3 et donner la valeur
obtenue pour c, et ce, sans se préoccuper de la façon dont la partie opérative réagit à cette
consigne.
B 30 °
BĂąbord Tribord
Angle de
quille
Virement
RelĂącher
Pupitre de commande
tr
b
vir
rel
mes()
InclinomĂštre
Capteur de position angulaire
de la quille
Automate de
contrĂŽle de la quille
Commandes des servovalves hydrauliques
Affichage de lâangle de quille
Figure 11 : Structure de la commande. Groupe hydraulique
Base de données
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Question 16
La situation de départ est {0, 30} et la quille est alors inclinée de +40°. Le navigateur donne la consigne de
virement de bord, vir.
a- Donner la liste des situations prĂ©sentĂ©es par le modĂšle de commande jusquâau retour dans la situation identique Ă celle de dĂ©part.
b- En considérant que la chaßne de commande de la quille est précise, donner la valeur angulaire que
représente mes() en fin de ce cycle.
5- FONCTION FT1.1.2 : « TRAITER LâINFORMATION ». FONCTION COMPOSANTE FT1.1.2.2 :
« RESPECTER LA CONSIGNE ANGULAIRE DE POSITION»
VALIDATION DU CAHIER DES CHARGES
Afin de garantir sa rĂ©pĂ©tabilitĂ©, la mise en position angulaire de la quille fait lâobjet dâun contrĂŽle par une boucle dâasservissement, dont le cahier des charges est donnĂ© ci-dessous.
Cahier des charges :
CritĂšres niveau
Stabilité C11 Marge de gain 10dB
C12 DĂ©passement vis-Ă -vis dâune entrĂ©e en Ă©chelon Aucun
Rapidité C21 Temps de réponse à 5%
C22 Vitesse angulaire de rotation de la quille
4s maxi
8°/s maxi
PrĂ©cision C3 Erreur statique vis-Ă -vis dâune entrĂ©e en Ă©chelon nulle
La quille est manĆuvrĂ©e par deux vĂ©rins hydrauliques. Chacun dâeux est pilotĂ© par une servovalve de dĂ©bit.
Ce composant dĂ©livre un dĂ©bit q(t) proportionnel Ă sa tension de commande v(t). Lors dâune manĆuvre de quille un seul de ces vĂ©rins est moteur et alimentĂ© en pression via sa servovalve. Lâautre est laissĂ© dans une configuration oĂč sa tige est libre de tout mouvement. Le dĂ©placement terminĂ©, la quille est verrouillĂ©e en
position par un systÚme de blocage non étudié dans ce sujet qui interdit toute circulation de fluide entre
vĂ©rins et servovalves. Lâangle de rotation de la quille par rapport au bĂąti est mesurĂ© par un capteur
potentiométrique.
5.1 Modélisation du vérin.
Lors dâun dĂ©placement de la quille, les mouvements dâoscillation du cylindre de vĂ©rin par rapport Ă la coque
Ă©tant de faible amplitude et sâeffectuant Ă de faibles vitesses, on se place dans une situation oĂč le corps de
vérin est considéré comme fixe. La tige est alors considérée en mouvement de translation galiléen.
On considĂšre Ă©galement que les mouvements Ă©tudiĂ©s sont de petits mouvements autour dâune position moyenne et que lâhypothĂšse des conditions initiales nulles est valide. Dans ces conditions, le comportement
du vérin est défini par le modÚle continu ci-dessous figure 12.
Figure 12 : Schéma-blocs du vérin.
+ +
- A1
Q(p) (p)
FR(p)
X(p)
A2 A3 A4
-
PSI 10
Question 17
Donner les expressions des fonctions de transfert A1, A2, A3 et A4 en fonction de la variable
complexe p et des constantes.
Question 18
Le schéma-bloc de la figure 12 peut se mettre sous la forme
de la figure 13.
Donner les expressions des fonctions de transfert H1
et H2 en fonction de A1, A2, A3 et A4, puis de la variable p et
des constantes.
Question 19
Pour ce vérin non perturbé (FR=0), donner sa fonction de transfert X(p)/Q(p) en fonction de la
variable p et des constantes.
Le schĂ©ma dâasservissement de la position angulaire de la quille reprĂ©sentĂ© figure 14 ci-dessous sera utilisĂ©
pour la suite des questions. La perturbation représentée par FR(p) ne sera pas prise en compte.
dx(t ) V d (t )
(a) q(t ) S. .dt 2.B dt
R
dÂČx(t ) dx(t )(b) M. S. (t ) k.x(t ) . f (t )
dtÂČ dt
1 : Variable temporelle ; 2 : Transformée de Laplace correspondante.
1 Définition (unité) 2 1 Définition (unité) 2
q(t) DĂ©bit dâalimentation du vĂ©rin (m3.s-1) Q(p) fR(t) Composante selon lâaxe de la tige de vĂ©rin de la rĂ©sultante
du torseur dâinter-effort de
la liaison pivot entre tige et
quille. (N)
FR(p)
(t) Différence de pression entre les deux
chambres du vérin (Pa)
(p)
x(t) Position de la tige du vérin (m) X(p)
Constantes : Définitions et unités ( N.B. : toutes ces constantes sont positives)
S Section du vĂ©rin (m2) M Masse Ă©quivalente Ă lâensemble des Ă©lĂ©ments mobiles ramenĂ©e sur la tige
de vérin (kg)
k Raideur mécanique du vérin (N.m-1)
V Volume dâhuile de rĂ©fĂ©rence (m3) Coefficient de frottements visqueux
(N.m-1.s) B Coefficient de compressibilitĂ© de lâhuile (N.m-2)
Variable temporelle Définition (unité) Transformée de Laplace
c(t) Consigne de position angulaire (°) c(p)
(t) Position angulaire de la quille (°) (p)
v(t) Tension de commande de la servovalve (V) V(p)
vc(t) Tension image de la consigne (V) Vc(p)
vm(t) Tension image de la position. (V) Vm(p)
-
H2 H1 Q(p)
FR(p)
X(p)
+
Figure 13 : Schéma-blocs réduit du vérin.
Figure 14: Schéma-blocs de la commande complÚte.
FR(p)
V(p) Q(p) X(p) (p)
Vc(p)
Vm(p)
c(p) - H2
2 HCIN
+
-
+
Kc
Kâc C(p) HSV H1
PSI 11 Tournez la page S.V.P.
5.2 Modélisation de la servovalve : comportement pour une commande de grande amplitude.
La servovalve présente un fonctionnement non-linéaire provenant
dâun phĂ©nomĂšne de saturation qui est dĂ©fini par la courbe de la
figure 15 donnant les évolutions du débit q(t) fourni par la
servovalve en fonction de sa tension de commande v(t).
Ainsi :
Pour v(t) > -vmax et v(t) < vmax : Hsv = Ksv ( m3.s-1.V-1)
Pour v(t) < -vmax: q(t) = -qmax
Pour v(t) > vmax : q(t) = +qmax , vmax = 10V.
Le systĂšme nâest pas encore corrigĂ©, C(p) =1 et on souhaite simuler
le fonctionnement oĂč le navigateur veut dĂ©placer la quille avec une
consigne angulaire de position de 45°. Cette demande est modélisée
par une consigne c(t) en échelon, soit : c(t)=0.u(t) avec 0= 45° et
u(t) = 0 pour t < 0 et u(t) = 1 pour t > 0. La figure R6 du document réponse présente dans ces conditions les
Ă©volutions temporelles de deux grandeurs de la boucle dâasservissement, le dĂ©bit sortant de la servovalve
q(t) et la position angulaire de la quille (t).
Question 20
Sur cette figure R6, la courbe reprĂ©sentative de q(t) prĂ©sente un palier oĂč q(t) garde une valeur constante.
A lâaide de la caractĂ©ristique de la servovalve :
a- Justifier ce palier et donner la valeur numérique de KSV.
b- Indiquer sur la figure R6 lâintervalle de temps oĂč le retour dâinformation a une influence sur la commande du vĂ©rin et celui oĂč il nâen a pas. Associer Ă chacun de ces intervalles le modĂšle utile :
modÚle en « boucle fermée » ou en « boucle ouverte ».
Question 21
Montrer, en prĂ©cisant le ou les critĂšres mis en dĂ©faut, que le cahier des charges nâest pas respectĂ© au niveau des critĂšres « vĂ©rifiables ».
5.3 Comportement pour une commande de faible amplitude
On Ă©tudie la rĂ©ponse du systĂšme non corrigĂ© (C(p) = 1) Ă une entrĂ©e Ă©chelon de 5° dâamplitude avec FR = 0.
Le modĂšle de travail qui a permis de tracer les courbes de la figure R6 est :
BO sv 1 2 cH (p) K .H .H .K .K
BO
2
2,2H (p)
p. 1 0,12.p 0,04.p
Question 22
a- Pour lâentrĂ©e dĂ©finie ci-dessus, dĂ©terminer la valeur de la tension v(t) Ă lâinstant initial t=0+, v(0+).
b- Montrer que tout au long de ce fonctionnement, la servovalve fonctionnera sans saturer.
c- De quelle hypothĂšse gĂ©nĂ©rale dâĂ©tude des systĂšmes asservis ce constat participe-t-il ?
Fonctions de transfert : définitions (unité)
Kc Gain du capteur angulaire potentiométrique (V/°)
Kâc Gain du bloc dâadaptation rĂ©glĂ© tel que Kâc = Kc = 1,1 V/°
C(p) Correcteur de position
HCIN Fonction de transfert de la chaine de transformation de mouvement dont la loi
dâentrĂ©e/sortie est supposĂ©e linĂ©aire dans le domaine dâutilisation. HCIN = Km
Hsv Fonction de transfert de la servovalve
+qmax
v(t)
+vmax
-vmax
-qmax
Figure 15 : Fonctionnement de la servovalve.
q(t)
PSI 12
Une simulation de la rĂ©ponse indicielle Ă cet Ă©chelon de 5° dâamplitude a permis de tracer les courbes de la
figure 16, obtenues pour deux valeurs du correcteur proportionnel :
C(p) = 1 : la courbe prĂ©sente des dĂ©passements, le critĂšre C12 nâest pas validĂ©. C(p) = 0,44 : tous les critĂšres du domaine temporel sont vĂ©rifiĂ©s (C12, C21, C22, C3).
A lâutilisation, le correcteur proportionnel rĂ©glĂ© Ă 0,44 nâa pas donnĂ© satisfaction car le mouvement saccadĂ© de la quille dĂ» aux fluctuations de sa vitesse de rotation gĂ©nĂ©rait dans certaines conditions de navigation des
perturbations compromettant la stabilitĂ© de route du navire. Lâexamen attentif de cette rĂ©ponse indicielle fait apparaĂźtre la persistance dâun phĂ©nomĂšne oscillatoire dont lâorigine supposĂ©e se trouve dans le
caractÚre résonant du vérin.
Question 23
a- Tracer sur les figures R7 et R7âde la
copie, les diagrammes
dâamplitude asymptotiques de Bode de HBO(p) en indiquant les
valeurs numériques associées aux
points particuliers et la valeur des
pentes.
b- DĂ©terminer par calcul la pulsation
de résonance r de cette fonction
de transfert.
c- Evaluer littéralement puis
numériquement à cette pulsation
r la différence, notée K et
exprimĂ©e en dB, entre lâamplitude de rĂ©sonance et lâamplitude Ă©valuĂ©e par le diagramme
asymptotique.
Pour Ă©liminer le phĂ©nomĂšne de rĂ©sonance, on recherche lâexpression de C(p) permettant dâabaisser lâamplitude de K Ă la pulsation r. Le concepteur a choisi un correcteur Ă retard de phase de fonction de
transfert COR1 T.p
C(p) K avec b 11 b.T.p
. Ce correcteur présente un extremum de la courbe de phase à la
pulsation * tel que : 1 b 1sin ( *) et *
1 b T b
.
LâĂ©tude consiste Ă dĂ©terminer les valeurs de T et b.
Question 24
a- Tracer sur la figure R8 de la copie, les diagrammes dâamplitude et de phase (asymptotiques et allure de la courbe rĂ©elle) de Bode de ce correcteur pour KCOR =1. PrĂ©ciser les expressions littĂ©rales des
pulsations caractéristiques.
b- DĂ©terminer alors en fonction de b, lâamplitude dB
C( j. *) à la pulsation notée * .
Question 25
Pour KCOR =1, en faisant correspondre la pulsation de résonance r de HBO à * :
a- Calculer b pour que « lâexcĂšs » de gain K soit compensĂ© par le correcteur et calculer la valeur de T.
b- Calculer le supplément de déphasage introduit par le correcteur à la pulsation * .
La rĂ©ponse indicielle correspondant Ă ce rĂ©glage (entrĂ©e Ă©chelon de 5° dâamplitude) est donnĂ©e sur le document rĂ©ponse figure R9. Le gain KCOR a Ă©tĂ© dĂ©terminĂ© de façon Ă satisfaire les critĂšres C11 et C12.
Question 26
a- Déterminer la vitesse de rotation angulaire maximale de la quille obtenue avec ce réglage du
correcteur.
b- Validez les critĂšres C21 et C22 en laissant vos constructions apparentes.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Figure 16 : Réponse indicielle à un échelon de 5°.
(°)
t (s)
C(p)=1
C(p)=0,44
- Fin de lâĂ©noncĂ© -