1

• Todos hemos visto ondas que empiecen cuando se lanza una piedra al agua– Hay que diferenciar entre

• Velocidad de la onda

• Velocidad del agua

• Onda: un concepto abstracto– La onda no transporta agua

– Transporta energía

• Movimiento ondulatorio: transporte de energía y momento lineal desde un punto del espacio a otro sin transporte de masa

• Muchos tipos de ondas– Este Tema: Ondas mecánicas

¿Qué es una onda?

Hincapié

• Diferenciar entre dos velocidades– La velocidad (de fase) de la onda

– La velocidad de cada partícula

2

Características de las ondas

• Todas las ondas mecánicas necesitan– 1. Alguna fuente de perturbación

– 2. Un medio, a través del cual se propaga

– 3. Un mecanismo (físico) - relaciona los elementos del medio

• Ejemplos– Pulso/cuerda (1. Mano; 2. Cuerda; 3. Contacto)

– Gente (1. 1ª Persona; 2. La Gente; 3. Psicología)

– Un fluido (ondas armónicas)• Olas en agua (1. Viento; 2. Agua; 3. Fricción)

• Sonido (1. Ruido; 2. Agua/aire; 3. Compresión)

Transversal

Longitudinal

Ondas transversales y longitudinales• Ondas transversales: las partículas oscilan

perpendicularmente a la dirección de propagación de las ondas

• Ondas longitudinales: las partículas oscilan paralelamente a la dirección de propagación.

3

Pulsos• Son ondas de extensión pequeña.

Sea v la velocidad de un pulso que se propaga de izquierda a derecha.La forma del pulso (por ejemplo sobre una cuerda) es f(x)=y. Después de un tiempo t, el pulso ha avanzado hacia la derecha una distancia vt. La función f(x-a) tiene la misma forma que f(x), salvo que está desplazada, centrada en el punto a. Si suponemos que el pulso mantiene su forma mientras se propaga, podemos extraer la forma del pulso en cualquier instante t

y(x, b) = f(x-vt)Si el pulso se mueve hacia la izquierda, la expresión del pulso es

y(x, b) = f(x+vt)

Consideraremos que la velocidad del pulso es constante y que no se deforman con el transcurso del tiempo (no hay dispersión en el medio, aunque en la realidad siempre hay dispersión).

• Ejemplo: Consideremos el pulso dado por la siguiente función de onda

donde y0=10.0 mm, x0=1.00 m y v=2.00 m/s. Dibujar la gráfica del pulso en los tiempos t=0. s y en t=2.50 s • en t=0

• en t=2.50 s

1)/)((),(

20

0

+−=

xvtx

ytxy

1)00.1/(

0.10)0,(

2 +=

mx

mmxy

1)0.1/)5((

0.10)5.2,(

2 +−=

mmx

mmsegxy

0

2

4

6

8

10

12

-5 0 5 10

x (m)

y (m)

vt

t=0 t=2.5 s

ˆ(2.00 / )v m s i= �

4

Función de onda

• Se denomina función de onda a la funcióny(x, b) = f(x-vt)

que sirve para describir una onda.

Para el caso de una onda en una cuerda, la función deonda representa la coordenada y de un elemento de lacuerda. La función de onda da el desplazamiento y dedicho elemento respecto a su posición de equilibrio y = 0,como una función que depende de x y t. Por tanto, el desplazamiento de un elemento de la cuerda

depende de:i) la coordenada x del elemento;ii) ii) el tiempo t de la observación.

Interferencia de ondas• Cuando dos o más ondas coinciden en una región, decimos que interfieren. • Cuando dos pulsos se encuentran en la misma región, decimos que están

superpuestos. • El desplazamiento máximo debido a los dos pulsos es la suma de los

desplazamientos máximos de cada pulso. • Supongamos que un pulso viene dado por f1 (x-vy) y el otro por f2 (x+vy) (el

primero viaja hacia la derecha y el segundo hacia la izquierda). El pulso resultante es

• y (x, t) = f1 (x-vt) +f2 (x+vt)

Principio de superposición: la función de onda resultante debida a dos o más funciones de ondas individuales es la suma de las funciones de ondas individuales.Cada pulso actúa independientemente del otro. Posteriormente a un encuentro, el tamaño, forma o velocidad de cada pulso es el mismo que tendría si no se hubieran encontrado.

5

Reflexión y transmisión

• Las ondas pueden reflejarse en fronteras y transmitirse de un medio a otro. Cuando un pulso se aproxima a una frontera nos referimos a él como pulso incidente. El pulso se refleja en la frontera y el pulso reflejado se invierte en relación al punto incidente.

• Un pulso puede pasar de un medio a otro, hablándose entonces de pulso transmitido. El pulso transmitido no se invierte en relación al pulso incidente, aunque su velocidad si cambia, ya que la velocidad de una onda depende del medio es el que se propaga.

Ondas armónicas• El tratamiento matemático de las ondas está basado

principalmente en la función de onda para una onda armónica. • Para una onda armónica en una cuerda, la cuerda adopta la forma

de una función seno en cualquier instante. • En t=0

• Para una onda que se mueve hacia la derecha con velocidad v, su dependencia temporal puede obtenerse reemplazando x por x-vt. Así pues, la función de onda para una onda armónica es

)2

( xAsenyλπ=

))(2

(),( vtxAsentxy −=λπ

6

La amplitud A es el desplazamiento máximo de cualquier elemento de cuerda desde su posición de equilibrio y=0

La longitud de onda λ es la distancia a la que se vuelve a repetir la onda (o la distancia entre dos crestas sucesivas o dos valles sucesivos).

Al argumento de la función seno se le llama fase, . )(2

vtx −λπ

Periodo T

• Consideremos ahora x=0.

• Un movimiento armónico simple (MAS) viene descrito por

por tanto, el elemento realiza un MAS con periodo T = λ/v. Cada elemento de la cuerda realiza un MAS con este mismo periodo.

La relación anterior entre T, λ y v puede obtenerse de otra manera. El periodo T es el tiempo necesario para que un desplazamiento particular de la onda (por ejemplo una cresta) se desplace una distancia igual a λ en un tiempo T, de modo que su velocidad es

v = λ/T

)2

()(2

λπ

λπ vt

AsenvtAseny −=−=

tT

vtseny )

2(

π∝

7

Propagación de las ondas

• El periodo (T) tiene dos definiciones (equivalentes):– Como en el caso de MAS

• El tiempo para un MAS complete en un punto fijo (x=cte)

– Algo nuevo (propagación espacial)• El tiempo para que la onda se mueve una

distancia de λ

• Velocidad de la onda

DM

x

λ

Tv

λ= fλ=t

• Tradicionalmente se describen las ondas haciendo uso de otros parámetros.

• υ = 1/T frecuencia• ω= 2π/T = 2πυ frecuencia angular• k = 2π/λ nº de ondas ( a veces k = 1/λ)• Entonces la ecuación de ondas se puede escribir como• y (x, t) = A sen (kx-ωt) y v=λυ

v=ω/k• Las funciones de onda usadas hasta ahora no son

completamente generales, pues requieren que y = 0 cuando x = 0 y t = 0. La expresión más general incluye una constante de fase Φ

• y = A sen (kx – ωt + Φ)• Normalmente se forma y = 0 cuando x = t = 0 para que

Φ = 0.

8

Tren de ondas

• Una onda real no puede ser perfectamente armónica, puesto que odas armónicas se extienden desde el infinito en ambos sentidos, no tienen principio ni fin en el tiempo.

• Las ondas existentes en la naturaleza como el sonido o la luz, tienen extensiones en el espacio y en el tiempo mucho mayores que sus longitudes de onda y periodos, por lo cual pueden tratarse como ondas armónicas. U

• na onda de este tipo se llama tren de ondas, asíque una onda armónica es un caso ideal de tren de ondas.

Propagación de las ondas Velocidad

• La velocidad de una onda depende de las propiedades del medio

• Ejm.: para un pulso en una cuerda,– FT : la fuerza de tensión– µ : masa / longitud

• Solo lo examinamos cualitativamente:– Más tensión

• Mejor contacto entre vecinos en la cuerda• Más velocidad

– Más masa• Más inercia• Menos velocidad

µTF

v =

9

Ecuación de Ondas

• El desplazamiento de una onda se deriva de la ecuación de ondas

• Nos enfocamos solo en su solución; foto (en t=0):

• Después de un tiempo t, toda la onda habrá movido a la derecha una distancia vt, entonces:

• Visto de otra manera, un surfero observaría un valor cte. de la fase: x-vt (v = la velocidad de fase)

• Dado que , podemos escribir

2

22

2

2

x

Dv

t

D

∂∂=

∂∂

= xDD M λπ2

sin

DM

x

λ

v

( )

−= vtxDD M λπ2

sin

λ=vT

−=T

txDD M

πλπ 22

sin

Ecuación de ondas• Consideremos una onda armónica. La derivada de y con respecto a t,

manteniendo x constante da la componente y de la velocidad de un elemento. Utilizando y(x,t)=Asen(kx-wt) se tiene

)cos())(( wtkxwAwtkxAsentt

y −−=−∂∂=

∂∂

La 2ª derivada de y respecto a t con x constante, da la aceleración del elemento

)(22

2

wtkxAsenwt

y −−=∂∂

Teniendo en cuenta v = w/k, w2 = v2 k2 )(222

2

wtkxAsenkvt

y −−=∂∂

Como y(x,t)=Asen(kx-wt) ),(222

2

txykvt

y −=∂∂

10

• Consideremos ahora la derivada de y respecto a x, con t constante,

)cos( wtkxkAx

y −=∂∂

Esta derivada da la pendiente de la cuerda en el punto x y el tiempo t. La 2ª derivada , da la variación de la pendiente con x

Esta cantidad da una medida de lo que se curva la cuerda.

A mayor valor de mayor grado de curvatura de la cuerda. Si > 0, la pendiente de la cuerda aumenta con x, la cuerda se curva hacia arriba. Si < 0, la pendiente de la cuerda disminuye al aumentar x, la cuerda se curva hacia abajo.

)(2

2

wtkxkAsenx

y −−=∂∂

Ecuación de Ondas

• Para simplificar la forma, podemos definir:

• Sin suponer que D=0 cuando x=0 y t=0,

DM

x

λ

v

−=T

txDD M

πλπ 22

sin

( )tkxDD M ω−= sin

λπ2=k

T

πω 2=

“número de onda”

“frecuencia angular”

( )φω +−= tkxDD M sin

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Energía/Potencia de una Onda

• Para entender el concepto, vamos a considerar una onda transversal (sinusoidal) en una cuerda– Para un elemento de longitud ∆x con masa ∆ m – Tiene una velocidad transversal de vy

• Su energía cinética es

• Recuerdo: µ = masa / longitud � ∆ m = µ ∆x • Pasando a un elemento infinitésimo• Ahora, para un MAS=f(x), podemos escribir

2

21

yvmK ∆=∆

( ) 2

21

yvdxdK µ=

( )[ ] dxtkxAdK 2cos21 ωωµ −=

( )dxtkxAdK ωµω −= 222 cos21

AmplitudDesplazamiento

A=DM

Energía/Potencia de una Onda

• Energía cinética de un segmento infinitésimo de la cuerda:

– Sacamos una foto instantánea en el momento (t=0)

– Hacemos la integración de todos los elementos de la cuerda contenidos en una longitud de onda (λ)

( )dxtkxAdK ωµω −= 222 cos21

( )dxkxAdK 222 cos21 µω=

( )∫∫ == dxkxAdKK 222 cos21 µω

( )λ

µω0

22 2sin41

21

21

+= kxk

xA λµω 22

41

A=

¿Otro tipo de energía?

12

Energía/Potencia de una Onda

• Energía cinética de una longitud de onda de la cuerda:

• La onda también contiene energía potencial– Para acelerar los elementos con vy=0 (ubicados en D = DM)

– Debido al desplazamiento del equilibrio (fuerzas de sus vecinos)

– Pasamos de un análisis muy similar para concluir:

• Energía potencial de una longitud de onda de la cuerda:

• Energía total de una longitud de onda:

• Tal energía (Eλ) pasa un punto dado en un periodo (T) de onda, y así define la potencia (P) de la onda

λµωλ22

41

AK =

λµωλ22

41

AU =

λλλ UKE += λµω 22

21

A=

T

EP λ= vA22

21 µω=

=T

Aλµω 22

21

Energía/Potencia de una Onda

• La potencia (P) de una onda transversal en una cuerda es proporcional:– al cuadrado de la frecuencia (angular)

– al cuadrado de la amplitud

– a la velocidad

• La transferencia de energía para cualquiera onda de forma sinusoidal es proporcional:– al cuadrado de la frecuencia

– al cuadrado de la amplitud

vAP 22

21 µω=

13

Intensidad de una Onda

• Potencia (P) de la onda transversal

• Definimos la intensidad (I) de la onda – La potencia (transporte de energía por unidad de tiempo) por unidad

de superficie (S)

• Emisión de sonido desde un punto (todas direcciones)– Onda esférica

– Ley del cuadrado inverso

vAP 22

21 µω=

S

PI =

24 r

PI

π=

Programa

• VI. ONDAS. (2h)

• Introducción. Características de las ondas. Pulsos. Ondas armónicas. Ecuación de ondas. Potencia de una onda. Interferencia de ondas armónicas. Ondas sonoras. Audición. Análisis de Fourier de ondas periódicas. Fuentes de sonido.Interferencia de ondas sonoras y pulsaciones. Efecto Dopplerpara el sonido.

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Interferencia de Ondas

• “El principio de superposición”:

• Cuando dos ondas coinciden espacialmente, el desplazamiento de una partícula es la suma (vectorial, algebraico) de los desplazamientos individuos

• Válido para

– Ondas mecánicas • Desplazamiento no “demasiado grande”

• Relación lineal entre la fuerza de restauración y el desplazamiento (MAS)

– Ondas electromagnéticas (vacío)

• Trigonometría

Análisis Fourier

• Muy brevemente: Si se supone una periodicidad de cualquier señal, se puede reproducir por una suma de ondas sinusoidales:– Ejemplos más difíciles

a creer:

Impulso

Serrado

Cuadrado

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Ondas SonorasPreludio: Compresión de Materias• La compresión: propiedad de una materia

• Materia se reduce (relativamente) en volumen frente a un aumento de presión (ΔP):

• B = módulo de compresión (“bulk modulus”)

• Rigidez/(no elasticidad de la materia)dV

dPVB −≡

PV

VB ∆=∆−

< 0.0002Aire

2Agua

70Mármol

140Acero

B (109 N m-2)Materia

(STP)

Ondas SonorasVelocidad

• Acordarse: velocidad de onda transversal en una cuerda– FT es la tensión (una propiedad elástica)

– µ (masa/longitud) es una “densidad” longitudinal

• Analógicamente: la velocidad de onda de sonido es– B es el módulo de compresión (propiedad elástica)

– ρ es la densidad

• Consecuencias– El sonido propaga más rápido

• en el acero - 5100 m/s

• que en el agua - 1500 m/s, con T = 25 °C

• que en el aire - 346 m/s con T = 25 °C

µTF

v =

ρB

v =

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Ondas SonorasFrecuencias audibles

• Con respeto al oído humano

• Frecuencias< 20 Hz : Ondas infrasónicas

20 – 20,000 Hz : Ondas sonoras

> 20,000 Hz : Ondas ultrasónicas

• Intensidades: (para 1000 Hz)10-12 W m-2 : Umbral de audición

1 W m-2 : Umbral de dolor

¡Qué rangos!

Audición: Intensidad del sonido en decibelios (dB)

• Intensidad sonora > 10 ordenes de magnitud– Es lógico trabajar con escala logarítmica

– Basada en el umbral de audición, I0 = 10-12 W m-2

• Entonces, definimos el nivel sonoro como

=

0

log10I

Iβ

0Umbral de audición

10Hojas en el viento

40Mosquito

50Conversación normal

70Aspiradora

80Tráfico (circunvalación)

120Concierto de rock

130Metralleta

150Avión cercano

β(dB)Fuente del sonido

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Ondas SonorasDesplazamiento y presión

• Para una partícula elegida, podemos observar (con cuidado) un desfase entre el desplazamiento (D) y la presión (p):– Para los momentos de D=0, hay dos posibilidades

• Zona de compresión (presión máxima)• Zonas de rarefacción (presión mínima)

– Para los extremos de D (D=±DM), hay dos posibilidades• Pasando de compresión a rarefacción (p=promedio)• Pasando de rarefacción a compresión (p=promedio)

Ondas Sonoras; Desplazamiento y Perturbación de presión

• El desplazamiento:

• Perturbación de presión:

( )tkxDtxD ω−= cos),( max

( )tkxptxp ω−∆=∆ sin),( max

maxmax Dvp ωρ=∆

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AudiciónLímites de detección

• Potencia de una onda sónica (no derivada aquí)

• De la diapositiva anterior:

• Podemos calcular la Intensidad:

• Presión

( )2max2

1DAvP ωρ=

Superficie

v

pI

ρ2

2max∆=

maxmax Dvp ωρ=∆

Ivp ρ2max =∆

( ) ( ) ( )2123max /10/343/20.12 mWsmmkgp −=∆

25max 1087.2 −−×=∆ mNp

mbp 7max 1087.2 −×=∆

Mínima

El oído humano: un instrumento super-sensible

ωρ v

pD max

max

∆=

Desplazamiento

mD 11max 1011.1 −×=

2π(1000Hz)

(Cálculos parecidos)

Inferior del tamaño de un átomo

Programa

• VI. ONDAS. (2h)

• Introducción. Características de las ondas. Pulsos. Ondas armónicas. Ecuación de ondas. Potencia de una onda. Interferencia de ondas armónicas. Ondas sonoras. Audición. Análisis de Fourier de ondas periódicas. Fuentes de sonido. Interferencia de ondas sonoras y pulsaciones. Efecto Dopplerpara el sonido.

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Efecto Doppler

• Consideramos un generador (estacionario) de ondas– Longitud de onda constante– Cte: frecuencia, periodo, velocidad de fase (vf)

• Ahora, ¿qué pasa si el generador tiene velocidad (vg)?– La posición de generación de la onda cambia– Si vg no es muy pequeño comparado con la velocidad de

fase (vf), las ondas generadas serán así

• Una apreciación visual del Efecto Doppler– Las ondas llegan a la izquierda (dirección de movimiento

del generador) con más frecuencia – Por esto, se oye un cambio de frecuencia cuando pasa

una moto a alta velocidad

Efecto Doppler

• Recuerdo: la velocidad de fase (vf) es una propiedad del medio de propagación

• Entonces, da igual quién se mueva (observador, o generador)

• ¿Si la velocidad de fase (vf) es mucho más grande que la velocidad del generador(vg)?– El efecto Doppler es despreciable

– No observamos cambios de color, excepto en velocidades acercándose a la de la luz

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Efecto Doppler• ¿Qué pasa si la velocidad del generador (vg) iguala la

velocidad de fase (vf)?

• La posición de generación de la onda coincide con las mismas ondas– El principio de superposición: cada nueva onda se añade

a las previas

– Creación de un frente de presión• Una onda de choque

• Un avión que quiere superar la velocidad del sonido tiene que superar una barrera

• Creación de un retumbo ultrasónico (“sonic boom”)

• ¿Si vg supera la velocidad de fase (vf)?– Ondas en forma de “V” (como detrás de un barco)

Cambio de FrecuenciasMatemáticamente

• Consideramos en el momento t=0 un generador con velocidad vg, y unas ondas de

– Periodo, T; velocidad de fase, vf

– Longitud,

– Crestas con números

• Después de un tiempo T– Las ondas originales se habrán movido

– El generador avanza un distancia dg

• Ahora, la distancia entre ondas es

• La velocidad de fase no cambia (vf )

– Depende del medio, y de la oscilación original

– Cambian tanto el periodo T’, como la frecuencia f’

Tv f=λ t=0

λ

1

2

dg

2

3

gd−= λλ ' λ’

t=T

‘ = observados

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Conceptos/Ecuaciones a Dominar

• Velocidad de Partícula ≠ Velocidad (de fase) – Onda transversal, onda longitudinal

• Ecuación de ondas

– Número de onda

– Frecuencia angular

• Potencia de una onda:

• Intensidad sonora / Nivel Sonoro / Decibelios• Efecto Doppler

fT

v λλ ==

λπ2=k

Tπω 2=

( )φω +−= tkxDD M sin

vAP 22

21 µω=