1

熱流体解析の基礎

新谷隆二

熱流体解析の基礎

1. 熱流体基礎方程式の基礎方程式

2. 数値解析手法の概要と格子

3. 偏微分方程式の解法

4. 熱流体基礎方程式の解法

5. ＦＯＲＴＲＡＮの基礎とプログラム例

6. 一般座標の取り扱い

7. 乱流解析の概要

2

１ 熱流体の基礎方程式

連続の式（質量保存）

運動方程式（運動量保存）

エネルギー方程式（エネルギー保存）

0V

dVt

積分型

微分型

t

uE

uuu

Eu u q

0F

u F

連続の式（質量保存則） １

x y z

| | |x y zu y z v z x w x y t

x + Δx

Δz

y + Δy

x

( u) | x( u) | x + Δx

質量 m ＝ 密度 × 体積 Ｖ

質量 m ＝ × 流速 u × 面積 A × 時間

Δt 時間の間での質量の収支を考えると（湧き出しなし）

蓄積量 ＝ 流入量 － 流出量

蓄積量

流入量

流出量 | | |x x y y z zu y z v z x w x y t

3

連続の式（質量保存則） ２

0

0

u v wt x y z

u v wt x y z

0u v wx y z

密度一定とすると

ちなみに積分型での連続の式は

0dVt

u

連続の式（質量保存則）まとめ

0t

u

0u v wx y z

0u

非定常流れ

圧縮性流れ 非圧縮性流れ

定常流れ

圧縮性流れ 非圧縮性流れ

0u v w

t x y z

0u v wx y z

0u0u

0u v w

x y z

4

運動方程式（運動量保存則） １

運動の第2法則（Ｆ＝ｍα）である力の釣合いを考えることで運動方程式を作る。また、運

動量（ｍｕ）の保存則（その系の運動量の総和は不変である）からも導くことができる。

慣性力 ＝ 外力の総和

・慣性力

質量×加速度

・外力

（１）場の力 → 重力

（２）法線力 → 圧力

（３）せん断力 → 変形する時の抵抗により生じる力

運動方程式（運動量保存則） ２

x + Δx

Δz

y + Δy

x

( uu) | x ( uu) | x + Δx

( xx) | x ( xx) | x + Δx

( vu) | y + Δy

( wu) | z + Δz

( yx) | y + Δy

( zx) | z + Δz

Ｘ方向の運動量

単位時間当たりの蓄積された運動量

場の力による単位時間当たりの蓄積される運動量

慣性力による単位時間当たりの蓄積される運動量

応力による単位時間当たりの蓄積される運動量

ux y z

t

uu y z vu z x wu x y

xg x y z

xx yx zxy z z x x y

5

運動方程式（運動量保存則） ３

運動量の収支を考え、極限をとると

連続の式及びτ＝－σの関係を用いると

ここで、応力は圧力及び変形の関係から

yxxx zxx

u uu vu wug

t x y z x y z

yxxx zxx

u u u uu v w gt x y z x y z

2xx

yx xy

zx xz

u u v wpx x y z

v ux yu wz x

ニュートン流体の運動方程式

１．一般式

２．密度一定

３．粘度、密度一定（Navier-Stokesの方程式）

４．粘度ゼロ（Euler方程式）

1D D x y zDt Dt t x t y t z t

u σ g

21 13

D pDt

u u u g

21D pDt

u u g

1D pDt

u g

6

エネルギー方程式 １

熱力学第１法則である熱と仕事の釣合いを考えることでエネルギー方程式を作る。

考慮するエネルギーは、

（１）内部エネルギー：e（∝cvT）

（２）運動エネルギー：k（∝¦u¦2/2)

（３）位置エネルギーあるいは重力による仕事

（４）熱伝導による熱移動

（５）化学反応および電流によって生じる熱

（６）応力による仕事（圧力－体積仕事、粘性により散逸される熱）

系のエネルギー増加量（１＋２）＝流れからのエネルギー＋熱（４，５）＋仕事（６）

エネルギー方程式 ２

e KG x y z

t t

1

u e v e w e u K v K w KQ x y z

x y z x y z

2yx z

qq qQ x y z q x y z

x y z

Ｘ方向のエネルギー

単位時間当たりの蓄積されたエネルギー

系が得るエネルギー

系が得る熱量

系になされる仕事

Δz

y + Δy

x

( ,u,qx,e,K) | x ( ,u,qx,e,K) | x + Δx

( xx) | x ( xx) | x + Δx

( xz) | x

( xy) | x

( xz) | x + Δx

( xy) | x + Δx

,xi xj ix y z

i

uW x y z ug vg wg x y z

x

7

エネルギー方程式 ３

1 2

,xi xj ii i ii i

i i i i

G Q Q Wue K u e u K q

q u gt t x x x x

D e Kq

Dtq σ u u g

極限を考え、微分定義を用いると

また、運動方程式を用いると

yx zxx xy xz

yx yy yz zx zy zz

qq qDe u v wDt x y z x x x

u v w u v w qy y y z z z

ニュートン流体のエネルギー式

2 2 2

2 2 2pT T T T T T TC u v wt x y z x y z

１．熱力学の第1法則、フーリエの熱伝導の法則を用いると

２．固体であればu, v, w = 0として

ここで、Ｃｐ は定圧比熱、κ は熱伝導率

2 2 2

2 2 2pT T T TCt x y z

8

熱流体の基礎方程式まとめ

ji j ij i

j

uu u g

t x

0j

j

ut x

iji ij i

j j

u uu g

t x x

連続の式

運動方程式

エネルギー式

発散型（保存型）

勾配型（非保存型）

j ij i j i ij

eeu u q u g

t x j ij i j i ij j

e eu u q u gt x x

1 123 2

jk iij ij ij ij ij

k j i

uu up D D

x x x

jj

Tqx

ニュートン流体の速度勾配と応力の関係１

vy

1 1 1 xx yyu v u v e ex y x y

ux

y

exx>0、eyy>0(a) 膨張・圧縮

exx>0、eyy<0(b) ずれ変形

exy=eyx>0(c) ずれ変形（純粋ずれ）

exy>0(d) 単純ずれ

x

y

0 1

1

応力をひずみ速度の1次式として表す

x

y

0

yydv e dy

xxdu e dx

x0

yydv e dy

xxdu e dx

x

y

0

xydu e dy

yxdv e dx

x

y

0

0dv

xydu e dy

yyv ey

xxu ex

u vx y

9

ニュートン流体の速度勾配と応力の関係２

u u udu dx dy dzx y zv v vdv dx dy dzx y zw w wdw dx dy dzx y z

3

1

1 1 12 2 2

1 1 12 2 2

xx yy zz

xy xz yz

x y z

ij ij kk ij ij jik

u v we e ex y z

v u w u w ve e ex y x z y z

w v u w v uy z z x x y

p e e e

P (x,y,z)

x

Q (x+dx,y+dy,z+dz)

y

z

2

2

2

222

xx xx xx yy zz

yy yy xx yy zz

zz zz xx yy zz

xy yx xy

xz zx xz

yz yz yz

p e e e e

p e e e e

p e e e e

eee

積分表示と微分表示の比較

積分表示の数値解 微分表示の数値解

物理量の保存が完全物理量は体積平均値

輸送量Qsの算出が難しい面積Sの表現が面倒

物理量の保存が近似的物理量は局所値

輸送量qsの算出は容易微分の離散化が面倒

物理量の時間的変化＝境界面を通しての物理量の出入りQs＋物理量の生成Q+

対流型（非保存系） 拡散型（保存系）

物理量が局所的に保存されない物理量は局所的な値である

対流（移流）項の精度が問題である対流項が解の安定性を支配する

一般的な物理量：ｖ、ｈ、ｃ

物理量は局所的に保存される物理量は体積平均的な値である流れによる輸送量の算出が問題

流れが解の安定性を直接支配しない一般的な物理量：ρ、ρｖ、ρｈ、ρｃ

2つの微分表示の比較

ρ：密度、ｖ：速度、ｈ：エンタルピー、ｃ：濃度

10

２ 数値解析手法の概要

オイラー的解法有限差分法・・・・・・・・・・直感的に分かりやすい

有限体積法・・・・・・・・・・市販ソフトの主流

有限要素法・・・・・・・・・・複雑形状に対応

境界要素法・・・・・・・・・・特別な場合のみ

ラグランジェ的解法渦法・・・・・・・・・・・・・・・・圧力は解かない

粒子法・・・・・・・・・・・・・・流体粒子の運動に注目

セルオートマトン解法格子ボルツマン法・・・・・ボルツマン方程式ではない

主な数値解析法の概念 １

有限差分法（Finite Difference Method） 差分法

微分型の流れの方程式を基礎とし、格子点上でのその解を求めようとする。点と点の間については何も考えないのが基本である。基礎方程式の中の微係数、つまり速度や圧力の勾配は差分商によって近似される。

i ,ji -1,j

i ,j +1

i ,j -1

i +1,j +1

11

主な数値解析法の概念 ２

有限体積法（Finite Volume Method）

積分型の流れの方程式を基礎とする。変数を検査体積（セル）の代表値としてその解を求めようとする。保存則をセルの境界からの流入・流出と内部での発生・消滅によって表す。

i ,ji -1/2,j

i ,j +1/2

i ,j -1/2

i +1/2,j

主な数値解析法の概念 ３

有限要素法（Finite Element Method）

基礎方程式としては、微分型ではなく、基底関数を乗じて積分した弱形式を用いる。セル内部の分布状態はセル頂点上の変数値と補間関数によって与えられる。

u (x ,y ) = f (u1,u2,u3,u4 )

u1

u4

u2

u3

12

構造格子

数値計算のための格子

直交格子 境界適合格子（BFC)

非構造格子

任意形状に対して自動形成可解適合格子が容易物体境界の精度を上げるためにカットセルや層状格子を組み合わせるなどの方法が用いられる

簡単な形状は成形容易３次元複雑形状には単一格子の形成が困難、マルチブロック法や重なり格子法などが用いられる

任意形状に対して自動形成可解適合格子が容易高レイノルズ数流れでは壁近傍に層状の格子を組み合わせるなどの方法が用いられる

構造格子と非構造格子の比較

一般的な計算法

複雑形状適合性

総格子点数

１格子あたりの精度

１格子あたりの計算量

分解能向上の方法

構造格子

有限差分法・有限体積法

小さい

ムダあり

高い

少ない

格子を集中させる

非構造格子

有限体積法・有限要素法

大きい

節約可

低い

多い

格子を追加する

構造格子 → 乱流現象の解明など高品位な計算向き非構造格子 → 複雑な形状の流れ場における実用計算向き

13

線形２階偏微分方程式の性質

B２－４AC ＞ ０ ・・・・・・・・・ 双曲型（-a2y2+b2x2=a2b2 B=0、A=-a2、C=0）

B２－４AC ＝ ０ ・・・・・・・・・ 放物型（y2-4px=0 B=0、A=1、E=-4p）

B２－４AC ＜ ０ ・・・・・・・・・ 楕円型（a2y2+b2x2=a2b2 B=0、A=a2、C=0）

代表例双曲型（波動方程式） 放物型（拡散方程式） 楕円型（ポアソン方程式）

３ 偏微分方程式の解法

2 2 2

2 2

u u u u uA B C D E Fu Gx y x yx y

2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 20 0 ,u u u u u uc a q x ytx t x x y

１次元波動方程式（双曲型）

この方程式の一般解は、

図で表すと、形を変えずにｃの速度で平行移動する。

偏微分方程式の性質

2 22

2 2 0

0

u uct x

u uc ct x t x

22

2 0u uat x

u f x ct g x ct

c c

t =0 t =1 t =2

１次元拡散方程式（放物型）

この方程式の特解を

とし、初期条件の下で解を求めると、

図で表すと

t =1

t =2

t =3

1, xu t x g t e

2 24

2

1,2

x a tu x t ea t

14

偏微分方程式の型と初期・境界条件

問題 初期基礎曲線 双曲型 放物型 楕円型

コーシー（Cauchy）( u , un )

開曲線 一意安定（不） 条件過剰 不安定

閉曲線 条件過剰 条件過剰 条件過剰

ディリクレ（Dirichlet）（ u ）

ノイマン（Neumann）（ un ）

開曲線 条件不足 一意安定（解） 条件不足

閉曲線 一意でない 条件過剰 一意安定（解）

（不）：不連続解でもよい（解）：解析的な解添え字ｎは法線方向微分コーシーの初期条件：u および un を指定第１種境界（ディリクレ）条件：u だけを指定第２種境界（ノイマン）条件： un だけを指定第３種境界（ロバン）条件：第１、第２が混ざったもの

テーラー展開 [a, a+h ] において、ｎ回の微分が存在すれば、

となる。2階微分の値をx –k 、x +h におけるｆ で近似することを考える。

テーラー展開を考え合わせると

差分の基礎１

2 11' "

1! 2! 1 !

nn

nh h hf a h f a f a f a f a R

n・・・

2

2

f af x k bf x cf x hx～

2 2 2

22 2

af x k bf x cf x h

df k h d fa b c f x ka hc a cdx dx

・・・

2 2 2, ,a b ck k h kh h k h

15

３点を用いた２階微分の近似式は、

また、h = k とすると、

同様にして、１階微分は、２階微分の係数が０になる付帯条件を使用して、

差分の基礎２

2

2 2

2f x h f x f x hd fdx h

2

2

2 2 2d f f x k f x f x hk k h kh h k hdx

2

df h h k kf x k f x f x hdx k k h kh h k h

f x h f x hdfdx h

連立２元常微分方程式の例

を簡単な差分で解くとする。

を利用して、

Δx=0.1とすれば、

常微分方程式の初期値問題１

, 2 , 0 0, 0 1du dvv u v x u vdx dx

,f x x f xdf dff x x f x x

dx x dx

1 1 0 0, 2 , 0, 1n n n n n n nu u xv v v x u v n x u v

1 0 0 1 0 0 0

2 1 1 2 1 1 1

3 2 2 3 2 2 2

0.1 0.1, 0.1 2 0 0.1 0.9

0.1 0.19, 0.1 2 1 0.1 0.81

0.1 0.271, 0.1 2 2 0.1 0.711

u u v v v u v

u u v v v u v

u u v v v u v

16

２階微分方程式の例

を２元の連立方程式に書き換えると、

となる。

一般にｎ階微分方程式の初期値問題は同様の置き換えによってｎ元の１階微分方程式の初期値問題に置き換えることができる。

１次精度では誤差が大きい

常微分方程式の初期値問題２

2

2 , , , 0 , 0d u du dug x u u a bdx dxdx

, , , , 0 , 0du dvv g x u v u a v bdx dx

精度を上げる方法

シンプソン法

常微分方程式の初期値問題３

1

2 1

1 1 2

,

,

2

n n

n n

n n

s f x u

s f x x u s xxu u s s

1 1 13 , ,2n n n n n nxu u f x u f x u

*1

*1 1 1 1 1

2 ,

, 4 , ,3

n n n

n n n n n n n

u u xf x uxu u f x u f x u f x u

２次のルンゲ・クッタ法（２次精度） ４次のルンゲ・クッタ法（４次精度）

アダムス・バッシュフォース法（２次精度）

アダムス・バッシュフォース法、シンプソン法では、n=0において工夫が必要。

1

12

23

4 3

1 1 2 3 4

,

,2 2

,2 2

,

2 26

n n

n n

n n

n n

n n

s f x u

s xxs f x u

s xxs f x u

s f x x u s xxu u s s s s

17

２階微分方程式の例

区間［0,1］で考えると区間の端（境界）で条件を課していることになる。今、区間をＮ等分すると

２階微分の差分式を利用して、

N+1の仮想点を考えＮでの境界条件から、

n=1からＮまでについての連立方程式を解けば良い。

常微分方程式の境界値問題１

2

2 , 0 0, 1 2d u duu x udxdx

2 31 1-1 12

22n n n

n n n nu u u

u n x u x u u n xx

⇒

x0 x1 x2 xN xN+1

Δxxn xN-1

2 31 1 14 2 2 4N N Nu u x u x N x x⇒

Ｎ＝３とすると、⊿x =1/3であるので、

この３元連立１次方程式を解くと、

となる。厳密解は、

となり、誤差は約1.3%程度である

常微分方程式の境界値問題２

2 3

12 3

22 3

3

2 1 0

1 2 1 2

0 2 2 3 4

x xux u x

ux x x

1 2 30.9548, 1.840, 2.595u u u

（１）領域を格子分割する。（２）格子点で成り立つ差分方程式をつくる。（３）境界条件を考慮して連立方程式を解く。 トーマス法が有名

sin , 0.333 0.9389, 0.666 1.811, 1 2.577cos1

xu x u u u

18

熱流体の基礎方程式を解くには、各物理量との対応付けで考える。すなわち

連続の式 ： 密度 ρ

運動方程式 ： 速度 ｖ

エネルギー式 ： 温度 Ｔ

状態方程式 ： 圧力 Ｐ

利点①境界条件が速度・圧力で与えられる場合が多く、対応しやすい。②速度・圧力の量が直感的に分かりやすい。

欠点①結果の表現が流線などと比較すると難しい。②圧力による誤差が大きい。

このほか、基礎式を渦度方程式やポテンシャル方程式として解く方法がある。

４ 熱流体基礎方程式の解法

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

v

T

P

f T Pt

f T PtT f T Pt

P f T P

v

v v

v

v

時間については速度、温度、密度ともに1階微分 → 初期条件のみで十分空間については速度、温度は2階微分、密度（圧力）は1階微分 → 対応した境界条件が必要

○１次元での境界条件は、速度と温度は上流と下流で、圧力は上流または下流で値を与える。

下の表は境界条件の数を表しているが、例えば１次元の場合、速度に５個の境界条件を与えると温度と圧力で境界条件を与えることができず、解の結果として温度、圧力が決まることとなる。

非圧縮性などで密度一定として考える場合、状態方程式は考慮しないため少々面倒である。

非圧縮性流体の場合

境界条件の数

27145合 計

642温 度 場

21103速 度 場

３次元２次元１次元

24124合 計

642温 度 場

1882速 度 場

３次元２次元１次元

19

２次元流れの境界条件の例

u =0,v =0

u =0,v =0

u1

v1

p1

u2

v2

p2

u1

v1

p1

u2

v2

p2u =0,v =0

u∞,p∞

上下壁を持つ場合

壁面では、u = v = 0と４個残りの境界条件は４個となる。

入口、出口で v1とv2を与えると残りは２個となり

(u1, u2)または(p1, p2)または u と p の組合せで条件を

与える必要があり、これ以上は×

壁面上自由流れの場合

壁面では、u = v = 0と２個自由流はu∞を持つとし、v∞は一般には定義できないが、圧力p∞は定義できる。

残りの境界条件は４個となり、入口出口での境界条件は、上下壁を持つ場合と同様となる。

２次元の非圧縮性流れの基礎方程式

圧力の時間変化を求めることができない。運動方程式と連続の式を満足するように、圧力が決められることになる。

２次元非圧縮性流れの計算方法１

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0

1

1y

p

u vx y

u u u p u uu vt x y x x y

v v v p v vu v gt x y y x y

T T T T Tu vt x y C x y

20

Ｘ方向の運動方程式について、簡単な時間進行差分を考えてみよう。

ただし、ｎはｎΔｔでの値、Δｔは時間刻み、P =p /ρである。また、Ａは非線形項（移流）、Ｂは粘性項（拡散）を表す。

このままでは、離散化誤差、丸め誤差によりn+1での連続の式を満足することができず、数値的な発散に至る。そこで、n+1で連続の式を満足するような圧力を求める。

両辺の∇を内積し、n+1での連続の式を考慮すれば、

以上が非定常の非圧縮流れ場を求める基本である。→時間変化が無くなれば定常解となる。

２次元非圧縮性流れの計算方法２

2 2

2 2

1

1

n n n n n

u t t u t u u p u uu vt x y x x y

u u t A P B

1 1n n n n nu u t A P B

2 1n

n n nuP A Bt

１ 部分段階法（fractional step method）

２ ＳＭＡＣ法（simplified MAC method）

○u F は圧力勾配を欠いているので速度の予測となっていない。○u P は速度の予測となっており、φはこれを修正する形式をとる。

ＳＭＡＣ法は、第１段階で速度場を予測することにより、境界条件を取り入れやすい

ＭＡＣ（marker and cell）系解法の概要１

1 1

2 1

F n n n

n F n

Fn

u u t A B

u u t PuPt

1

2 11

P n n n n

n P

P n n

u u t A P B

u u t

u P Pt

⇒

21

３ ＨＳＭＡＣ法（highly simplified MAC method）：速度と圧力の同時緩和法

mは反復回数、ωは1.7程度の加速係数、∇・u(m)が十分小ならばun+1=u(m), Pn+1=P(m)とする。

ＨＳＭＡＣ法は、連続の式の誤差を収束判定条件として使用できる

速度と圧力を同時に反復計算する方法としてＳＩＭＰＬＥ法もある。ＭＡＣ法と区別される場合もあるが、スタガード格子を使用する点では、共通している。ＳＩＭＰＬＥ法は、対流項と拡散項に陰解法を適用する。

ＭＡＣ（marker and cell）系解法の概要２

0 0

2 2

1 1

,

2 1 1

,

P n n n n

P n

m

m m m m

u u t A P B

u u P P

u

t x y

u u t P P

スタガード格子と変数の定義

U (i,j)

U (i,j+1)

U (i-1,j)

U (i-1,j+1)

P,T (i,j)

P,T (i,j+1)

V (i,j)

V (i,j-1) V (i+1,j-1)

V (i+1,j)

境界

仮想セル

22

SMAC法の具体的計算法１

連立１次方程式を解きδＰを求める

（１）から（６）を繰り返す必要であれば、温度場を計算する

1, ,*, , , ,

, 1 ,*, , , , ,

1, , 1, , 1 , , 12 2

*,

(1)

(2)

2 2

n ni j i jn n n

i j i j i j i j

n ni j i jn n n n

i j i j i j i j i j

i j i j i j i j i j i j

i j i

P PU U t CNVU DIFU

x

P PV V t CNVV DIFV BUOV

y

P P P P P Pt t

x y

U U

・・・・・

・・

* * *1, , , 1 *

,

, , 1, 1, 1, ,

, , , 1 , 1 , 1 ,

1 * 1 *, , , , , ,

(3)

, (4)

, (5)

, ,

j i j i ji j

i j i j i j i j i j i j

i j i j i j i j i j i j

n ni j i j i j i j i j i j

V VDIV

x y

t tU P P U P Px xt tV P P V P Py y

U U U V V V P

・・・・・・・

・・・

・・・

1, , ,

1, , , ,

(6)

(7)

n ni j i j i j

n n n ni j i j i j i j

P P

T T t CNVT DIFT

・・

・・・・・・・・・・・・

SMAC法の具体的計算法２

Ｖ及びＴの移流項、拡散項についても同様に離散化される

1, 1, , 1, , 1,, , 2

, 1 , 1 , 1 , , 12

, 1 , 1, 1 1,

1, , 1, , 1 ,, 2

| | 22 2

2| |2 2

42 2

ni j i j i j i j i j i jn

i j i j

ni j i j i j i j i j

i j i j i j i j

i j i j i j i j i j ini j

U U U x U U UCNVU U

x x

U U U U UV yVy y

V V V VV

U U U U U UDIFU

x, 1

2

nj

y

23

ＨＳMAC法の具体的計算法

（１）から（5）を繰り返す必要であれば、温度場を計算する

収束判定条件以下であれば、n+1の値とし、n+2のステップ

ニュートン法によりPn+1を求める

1 1 1 11, ,1 1

, , , ,

1 1, 1 ,1 1

, , , , ,

1 1 1 1, 1, , , 11

,

(1)

(2)

n ni j i jn n n n

i j i j i j i j

n ni j i jn n n n n

i j i j i j i j i j

m n m n m n m ni j i j i j i jm n

i j

P PU U t CNVU DIFU

x

P PV V t CNVV DIFV BUOV

y

U U V VDIV

x y

・・・・・

・・

1,1

, 2 2

1 1 1 1, , ,

1 1 1 1 1 1 1 1, , , 1, 1, ,

1,

(3)

*(4)

2 1 1

(5)

,

m ni jm n

i j

m n m n m ni j i j i j

m n m n m n m n m n m ni j i j i j i j i j i j

mi j

OMG DIVDELP

t x y

P P DELPt tU U DELP U U DELPx x

V

・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・・・・・・

1 1 1 1 1 1 1, , , 1 , 1 ,

1, , , ,

,

(6)

n m n m n m n m n m ni j i j i j i j i j

n n n ni j i j i j i j

t tV DELP V V DELPy y

T T t CNVT DIFT ・・・・・・・・・・・・

ＳＩＭＰＬＥ法の具体的計算法

（１）から（６）を繰り返す必要であれば、温度場を計算する

1, ,* *1/ 2, 1/ 2,1/ 2,

1/ 21/ 2,

, 1 ,* *, 1/ 2 , 1/ 2, 1/ 2

1/ 2, 1/ 2

1, ,

1/ 2,

• (1)

(2)

1 1

n ni j i ju u u

P i j nb nb i ji jnb ii j

n ni j i jv v v

P i j nb nb i ji jnb ji j

i j i j

ui P i j

p pa u a u b

x

p pa v a v b

y

p px xa

・・・・・・

・・・・・・

, 1,

1/ 2 1/ 21/ 2,

, 1 , , , 1

1/ 2 1/ 2, 1/ 2 , 1/ 2

* * * *1/ 2, 1/ 2, , 1/ 2 , 1 / 2

1, ,

1

1 1 1

(3)

i j i j

ui iP i j

i j i j i j i j

v vj j jP Pi j i j

i j i j i j i j

i in ni j i j

p pxa

p p p py y ya a

u u v vx y

p p

・・・・・・・・・・・・・・・・

,

1, , , 1 ,1 / 2, , 1/ 2

1 / 2 1 / 21/ 2, , 1/ 2

1 * 1 *1 / 2, , 1/ 2, , 1 / 2 , , 1 / 2

(4)

1 1, (5)

, (6)

p i j

i j i j i j i ji j i ju v

i jP Pi j i j

n ni j i j i j i j i j i j

p

p p p pu v

x ya a

u u u v v v

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

24

科学技術計算にはＦＯＲＴＲＡＮ言語が利用されている。これまでの資産も多く利用が可能である。

しかし、ＦＯＲＴＲＡＮのバージョンも上がり、昔とは仕様が若干異なっている。

ＦＯＲＴＲＡＮ７７との相違点（ＦＯＲＴＲＡＮ９０ または ＦＯＲＴＲＡＮ９５）

①自由形式となり、７カラム目から書く必要は無い。

②コメントは、エクスクラメーションマーク(!)以降となる。

③１行に７２カラム以上書くことができる。

④継続行には＆を使用する。

⑤全ての使用する変数を宣言する。（必須ではないが癖にすると良い）

⑥型宣言の方法が変更されている。

⑦ GO TO文の使用禁止

⑧ＣＯＭＭＯＮ文の使用禁止（共通変数は、モジュール定義する）

⑨論理表現（.ＧＥ. .ＥＱ.等）の関係子化（>= ==）

⑩ＤＯ ＷＨＩＬＥ文、ブロックＩＦ文、ＣＡＳＥ文が使用可能

⑪配列の拡張表現が可能→プログラムの簡略化

５ ＦＯＲＴＲＡＮの基礎とプログラム例

Program HMotionReal xn, vn, xnp, vnp, xtheoReal t, dt, akm, sakmInteger nlast, nprint, ivn= 0.0xn= 1.0t = 0.0!akm= 1.0dt = 0.1sakm= Sqrt(akm)nlast= 300nprint= 10!Do i = 1, nlastt = t + dtvnp= vn-akm* xn* dtxnp= xn+ vn* dtxtheo= Cos(t* sakm)If ( i/nprint*nprint== i ) thenPrint *, t, xnp, xtheoEnd Ifxn= xnpvn= vnpEnd doEnd Program HMotion

単振動のプログラム例１

x

オイラー陽解法

をオイラー陰解法にすると

Do i = 1, nlastt = t + dtvnp= (vn-akm*xn*dt)/(1.0+akm*dt*dt)xnp= (xn+dt*vn)/(1.0+akm*dt*dt)xn= xnpvn= vnpEnd do

予測子・修正子にすると

Do i = 1, nlastt = t + dtvt= vn-akm* xn* dtxt= xn+ vn* dtvnp= vn-0.5 * akm* (xt+ xn) * dtxnp= xn+ 0.5 * (vt+ vn) * dtxn= xnpvn= vnpEnd do

Excelでも計算可能

2

2

0

1, 0

d x k xmdt

tdxxdt

25

単振動のプログラム例２

xnm= 1.0vnm= 0.0Do i = 1, nlastt = t + dtvnp= vn-0.5 * akm* (3.0 * xn-xnm) * dtxnp= xn+ 0.5 * (3.0 * vn-vnm) * dtxnm= xnvnm= vnxn= xnpvn= vnpEnd Do

アダムス・バッシュフォース法では

Do i = 1, nlastvnh = vn -0.5 * akm * xn * dtxnh = xn + 0.5 * vn * dtt = t + dtvnp = vn -akm * xnh * dtxnp = xn + vnh * dtxn = xnpvn = vnpEnd Do

２次のルンゲ・クッタ法では

Do i = 1, nlastt = t + dtxnp = (4.0*dt/(4.0+akm*dt*dt))*(vn+(4.0-akm*dt*dt)*xn/(4.0*dt))vnp = ((4.0-akm*dt*dt)*xnp-(4.0+akm*dt*dt)*xn)/(4.0*dt)xn = xnpvn = vnpEnd do

クランク・ニコルソン法では

! Euler explicite:firstoder!Module Burgers_varInteger, Parameter :: mimax= 301Real(8) u(mimax), un(mimax)End Module Burgers_var!!*************************************Program BurgersUse Burgers_varImplicit NoneInteger imax, i1, i2, iInteger n, nlast, nprintReal(8) dx, crno, dt, al, timeReal(8) Re!---------------------------------! 初期条件等の設定dx = 0.01crno= 0.1dt = crno* dxal = dx* Real(mimax-1)Re = 100.0imax= mimaxnlast= 3000nprint= 1000time = 0.0i1 = Int(1.0 / dx)

１次元バーガース方程式プログラム例１

x=1 x=2

u=1

i2 = Int(2.0 / dx)u(1:i1) = 1.0Do i = i1+1, i2u(i) = 1.0 -Real(i-i1)/Real(i2 -i1)End Dou(i2+1:imax) = 0.0!------------------------------------! 計算開始Do n = 1, nlasttime = Real(n) * dtDo i = 2, imax-1un(i) = u(i) + dt*(-u(i)*(-u(i) &

& *(u(i+1)-u(i-1))/(2.0*dx) && +(u(i+1)-2.0*u(i)+u(i-1)) && /(Re*dx*dx))

End Do! 境界条件の処理un(1) = un(2)un(imax) = un(imax-1)

! 値の置換u = unIf(n== n/nprint*nprint) ThenPrint *, (u(i), i=1,imax)End IfEnd Do

End Program Burgers

時間：オイラー陽解法空間：中心差分

2

2

1Re

0

1 11 1 20 2

u u uut x x

t

xu x x

x

26

nlast= 3000nprint= 1000time = 0.0i1 = Int(1.0 / dx)i2 = Int(2.0 / dx)u(1:i1) = 1.0Do i = i1+1, i2u(i) = 1.0 -Real(i-i1)/Real(i2-i1)End Dou(i2+1:imax) = 0.0Redx2 = Re * dx* dxccc = 1.0 / (Redx2 + 2.0 * dt)!------------------------------------! 計算開始Do n = 1, nlasttime = Real(n) * dt

! 行列の設定a(2:imax-1,1)= -(Re*dx*u(2:imax-1) &

& + 2.0)*0.5*dt*ccca(2:imax-1,2)= (Re*dx*u(2:imax-1) &

& -2.0)*0.5*dt*cccb(i) = Redx2 * u * ccc

! 境界条件a(1,1) = 0.0a(1,2) = 0.0b(1) = 1.0

!

１次元バーガース方程式プログラム例２

a(imax,1) = -1.0a(imax,2) = 0.0b(imax) = 0.0

! 三項方程式の解法Call Trdiag(imax, a, b, un)

!u = unIf(n== n/nprint*nprint) ThenPrint *, (u(i), i=1,imax)End IfEnd DoEnd Program BurgersIm

時間：オイラー陰解法空間：中心差分

! Euler implicit:firstoder!Module BurgersIm_varInteger, Parameter :: mimax= 301Real(8) u(mimax), un(mimax)Real(8) a(mimax,2), b(mimax)End Module BurgersIm_var!***********************************Program BurgersImUse Burgers_varImplicit NoneInteger imax, i1, i2, iInteger n, nlast, nprintReal(8) dx, crno, dt, al, timeReal(8) Re, Redx2, ccc!---------------------------------! 初期条件等の設定dx = 0.01crno= 0.1dt = crno* dxal = dx* Real(mimax-1)Re = 100.0imax= mimax

実用問題 → 複雑な境界を持つ → 矩形格子では分割しにくい。

座標変換を考える。

例えば、ξ＝√x を考えると 等間隔のξに対して、x=0の付近で間隔が狭まる不等間隔に変換できる。

微分係数がどのように変換されるかを考えると、チェインルールにより、

2次元では、

６ 一般座標系の扱い

u ux x

x x x⇔

x

ξ

u u ux x xu u uy y y

27

変換のヤコビアンＪを用いて、

ここで、係数部分に中心差分を用いれば、

一般座標系の扱い２

, , , ,,

2 2, , , ,

,2 2

y y y yy y

x x x xx x

1

1

u u y u yx J

u u x u xy J

1, 1, , 1 , 1 , 1 , 1 1, 1,

4i j i j i j i j i j i j i j i jx x y y x x y yx y x yJ

2階微分について考えると、

一般座標系の扱い３

2

2

2 22 2 2

2 2 2

2 2 2

3 2

1 2

1 2

u u u ux x x x xx

u u u ux x x x x x

y u y y u y uJ

y y y yJ

2 2

2

2 22 2 2

3 2 2

1 2

y y y x u x u

y x y y x y x y u y uJ

28

３次元の場合

一般座標系の扱い４

x x x x

y y y y

z z z z

u u u uu u u uu u u u

, ,

, ,

, ,

x x x

y y y

z z z

y z y z y z y z y z y zJ J J

x z x z x z x z x z x zJ J J

x y x y x y x y x y x yJ J J

J x y z x y z x y z x y z x y z x y z

３次元の場合の2階微分

ここで、

さらに式を展開すれば良いが、式が非常に長くなる。そこで、次のように１階微分を差分近似し求める。ここで、A＝ξxである。

一般座標系の扱い５

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

xx x x x x x x x x x xx xx xx

yy y y y y y y y y y yy yy yy

zz z z z z z z z z z zz zz zz

u u u u u u u u u u

u u u u u u u u u u

u u u u u u u u u u

x x xxx x x x

1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1

1, , 1, , , 1, , 1, , , 1 , , 1

1, , 1, , , 1,

2 2 2

2 2 2

2

i j k i j k i j k i j k i j k i j kxx ijk ijk ijk

i j k i j k i j k i j k i j k i j kxx ijk ijk ijk

i j k i j k i j k ixx ijk ijk

A A A A A AA B C

B B B B B BA B C

C C C CA B

～

～

～, 1, , , 1 , , 1

2 2j k i j k i j k

ijk

C CC

29

無次元化された二次元非圧縮性ナビエストークスの式に座標変換を適用すると

2次元非圧縮性基礎式への適用

2

2

1 0

1 1Re

1 1Re

1 1,

y u y u x v x vJ

u u u y p y pU V ut J

v v v x p x pU V vt J

y x x yU u v V v uJ J

22

3 3

2 2 2 2

1 2

1 12 2

, ,

u u u uJ

x x x y u y u y y y x u x uJ J

x y x x y y x y

2次元の場合において、具体的な計算式を誘導する。

境界（端）においては、

参考１ 数値計算のための変換式

1, 1, , 1 , 1

1, 1, , 1 , 1

,2 2

,2 2

i j i j i j i j

i j i j i j i j

x x x xx xx x

y y y yy yy y

1, 2, 3, max 2, max 1, max,1, max,

, max 2 , max 1 , max,1 ,2 ,3, 1 , max

3 4 4,

2 243 4

,2 2

j j j i j i j i ji j i i j

i j i j i ji i ii j i j j

x x x x x xx x

x x xx x xx x

1 1 1 1, , ,

J x y y x

y y x xx J x J y J y J

30

2階微分は、

速度の微分を考えると

速度の2階微分は、

参考２ 数値計算のための変換式

21, 1, , 1 , 1

, ,2

21, 1, , 1 , 1

, ,2

2 2

2 2

x i j x i j x i j x i jx xx x i j x i j

y i j y i j y i j y i jy i j y i j

x x xx

y

1, 1, , 1 , 1

2 2i j i j i j i j

x x

u u u uu u ux x x

2

2

2 2 2 2

2 2

2 22

x xx x

x x x x xx xx

u u ux x xx

u u u u u ux x x x x x

u u u u u

変換後の2階微分は、

ここで、Δξ、Δηは任意に取れるので、１と置くと座標値だけで各係数が計算できることになる。また、ラプラシアンは次のようになる。

uのラプラシアンを示したが、PやδPのラプラシアンも同様の式となる。

参考３ 数値計算のための変換式

1, , 1, , 1 , , 12 2

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

2 2,

4

i j i j i j i j i j i j

i j i j i j i j

u u u u u uu u

u u u uu

2 2 2 22 22 2 2x y x x y y x y

xx yy xx yy

u v u u ux y

u u

31

次のような連立方程式を考える。

これをベクトルで表すと、

ここで、Ａはｎ×ｎの正方行列で正則であるとする。（逆行列が存在する）ｘを求める方法としては、直接法と間接法（反復法）に大別できる。

補足 連立方程式の解法１

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x a x ba x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

・・・

・・・

・・・

・・・・・・・・・

・・・

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

n n nn n n

Aa a a x ba a a x b

a a a x b

x b・

・

・ ・ ・

解法の分類

１ 直接法（丸め誤差がなければ真値を与える）（１）逆行列を求める方法（２）ＬＵ分解法（３）消去法（ガウスの消去法、ガウス－ジョルダン法）

２ 間接法（反復法 近似値を求める）（１）定常的反復法（ヤコビ法、ガウス－ザイデル法、ＳＯＲ法等）（２）非定常的反復法（残差法、勾配法）

（ａ）勾配法（ＣＧ、ＩＣＣＧ、ＢｉＣＧ、ＢｉＣＧＳＴＡＢ、ＣＧＳ） → 対称行列の場合（ｂ）残差法（ＣＲ、ＧＭＲＥＳ、ＱＭＲ） → 非対称行列の場合

一般的に、反復法は直接法に比べて計算時間と計算容量の面で有利であり、解析にはほとんど反復法が用いられる。

定常的反復法は、残差は非常にゆっくりと単調減少する。反復計算１回に要する演算量は少ない。非定常的反復法は、収束は定常的より早いが、反復計算１回に要する演算量は多い。

以下 直接法と反復法の代表的な解法について記す。

補足 連立方程式の解法２

32

前進消去で、下三角行列を０とする。次に後退代入によりｘが求まることになる。つまり、

これより、

各対角成分をピボットと言うが、この値が非常に小さいとこれを用いた除算で桁落ちを生じてしまう。通常、これを避けるため最も大きなピボットで除算するように式の順番を入れ替えて計算を行う。

補足 直接法（ガウスの消去法）

(1) (1) (1) (1) (1)11 1 12 2 13 3 1 1

(2) (2) (2) (2)22 2 23 3 2 2

( ) ( )

n n

n n

n nnn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x b

・・・

・・・

・・・

AGA U G

x bx x b

( )( 1) ( 1)

1 1 1,( ) ( 1)1, 1

1,n

n nnn n n n n nn n

nn n n

bx x b a x

a a

３重対角行列の解法

（１）Ａｘ＝ＬＵｘ＝ｂでＵｘ=ｙと置き、Ｌｙ＝ｂを解く

（２）Ｕｘ＝ｙを解く

補足 直接法（トーマス法）

1 12 12 11 1 1 1 1 11 1 1

, 1 1

1

1

,2 1

2

i i i i i i i

i i ii

i i i

U u a a C B y b a D BU u C B AU i n

D A yy i n

B AU

11 12

21 22 23

32 33 34

1, 2 1, 1 1,

, 1 ,

0

0 n n n n n n

n n n n

a aa a a

a a aA

a a aa a

・ ・ ・

1 , 1 1,n n n i i i ix y x y u x

33

（１）初期値の設定（２）反復公式（３）収束判定を行い目的の精度が得られるまで（２）を繰り返す。今、行列Ａを次のように分解する。

補足 反復法

11

2122

1 , 1

12 1

1,

0 000

,

00

00

0 0

n n nnn

n

n n

A D E Fa

aaD E

a aa

a a

Fa

・ ・・

・

・

・

・

1n n nD E F T Cx x b x x x b

成分であらわせば、

この方法は、計算時間を要するが、並列計算に向いている。

補足 反復法（ヤコビ法）

11 1 12 2 13 3 1

11

12 2 21 1 23 3 2

22

11 1 2 2 , 1 1

1

1

1

k k k kn n

k k k kn n

k k k kn n n n n n n

nn

x b a x a x a xa

x b a x a x a xa

x b a x a x a xa

・・・

・・・

・・・

・・・

1 1k kD E Fx b x

34

ヤコビ法でｘ１から求めるとし、最新のｘを用いて計算するとすれば、

成分であらわせば、

補足 反復法（ガウスザイデル法）

11 1 12 2 13 3 1

11

1 12 2 21 1 23 3 2

22

1 1 1 11 1 2 2 , 1 1

1

1

1

k k k kn n

k k k kn n

k k k kn n n n n n n

nn

x b a x a x a xa

x b a x a x a xa

x b a x a x a xa

・・・

・・・

・・・

・・・

1 11k k kD E Fx b x x

ガウスザイデル法は、ｋ段階の反復で得られた値にδ＝ｘK+1－ｘkを加えたものと解釈できる。そこで、この修正値にω（緩和係数）を乗じて加えることにする。１<ωの時をSOR法、0<ω<1の時をSUR法という。

成分であらわせば、

ここで、ω＝１の場合は、ガウスザイデル法と一致する。

係数行列AをD-E-Fと分離した時、D、E、Fの全ての要素を正とできる場合、０<ω<１で収束することとなる。

補足 反復法（ＳＯＲ法）

1 1 1 11 1 2 2 , 1 1 , 1 1

1 1

1k k k k k ki i i i i i i i i i in n

ii

k k k ki i i i

b a x a x a x a x a xa

x x x

・・・ ・・・

1 11 1 1 11k kD E D F D Ex x b

35

クリロフ部分空間法の中で、対称行列を対象とした解法は勾配法（gradient method）という。残差と係数行列の逆行列との内積からなる汎関数を最小にすることで未知数を求める。

汎関数Gを最小にすればよい。実際の解法は、適当な初期値から順次修正を加えていく。

ここで、αは修正の大きさ、ｐは修正の方向である。したがって、

修正ベクトルとして係数行列Aに共役な関係を満たすように決定する場合を共役勾配法（conjugate gradient method）という。つまり、

共役方向を探索することにより、ｎ回で解を得ることができる。収束途中で計算を打ち切った場合は、真の値の近似値になっているとは限らない。また、一般に丸め誤差の影響を受けやすい。

補足 反復法（CG法）

1k k k kx x p

0k k k

k

G x p

2G Ax x x x b

11 1 , k k

k k k k kk k

AA

r pp r p

p p

勾配法は対称行列を対象としているが、これを非対称行列へ適用できるように改良したものが、安定化双共役勾配法（Bi-CGSTAB）という。計算手順（１）初期ベクトルを設定し、

（２）k=1,2,・・・・・について以下の手順を繰り返す。

収束条件を満たさない場合次の式にしたがってβとｐを求めて繰り返す。

補足 反復法（Bi-CGSTAB法）

1 1

, - ,

, -

k k kk k k k k k

k k k

k k k k k k k k k k

AA

s Ap A AA

s r t tt r p

t tx x p t r t t

1

1 1

k kk

k k

k k k k k kA

s rs r

p r p p

0 0 0 0

0

,0Ar b x p r

s r s s rとなるを選ぶ。ここでは

36

クリロフ部分空間法で非対称行列など一般的な係数行列を対象とした解法が、残差法（residual method）である。勾配法と同様に汎関数を最小にすることを考える。

また、勾配法と同様に修正方向に共役方向を選ぶ場合を共役残差法（conjugate residual method）という。

補足 反復法（CR法1）

1 1

1

0Tk k k k k k k

k kk

k k

A A A A A A

A AA A

p p r p p p

r pp p

1 1 1

2 2k k k k k k k k k

k k k k k k k k

k kk

k k

G A A

A A A

AA A

x r r r p r p

p p r p r rr pp p

共役残差法の計算手順（１）初期ベクトルを設定し、

（２）k=0,1,2,・・・・・について以下を繰り返す。

補足 反復法（CR法２）

1

1

1

1 1

k kk

k k

k k k k

k k k k

k kk

k k

k k k k

AA A

AA AA A

r pp p

x x pr r p

r pp p

p r p

0 0 0 0,Ar b x p r

37

乱流は、平均流れと乱れとして方程式を解くことになる。乱れの効果は乱流応力（turbulence stress）という形で平均流れの方程式に現れる。この応力を何らかの形で近似することを乱流モデルという。

乱流は大小様々な渦からできている。現状では、コンピュータの性能、メモリ容量の制約から、全ての渦を計算することは特別な場合のほかは不可能である。

しかし、現実に必要なものは、全ての乱流運動のデータではなく、大まかな流れの状況であることがほとんどである。

完全なシミュレーション → FTS直接シミュレーション → DNS大規模渦シミュレーション → LES平均流れのシミュレーション→ RANS

７ 乱流解析の概要

大きな渦 流れの境界形状の影響強い

小さな渦 普遍的・等方的・散逸的

エネルギースペクトル

波数

最大規模の変動

エネルギ保有域

普遍平衡域

RANS

LES

DNS

慣性小領域

ε2/3ｋ-5/3

渦粘性モデルは、レイノルズ応力の非等方部分を平均流れのひずみと比例関係においたもので、レイノルズ平均された運動方程式は、

ナビエ・ストークスの式と比較すれば、動粘性係数に渦動粘性係数が加わり、圧力項には

レイノルズ応力の等方成分が加わったものとなる。渦動粘性係数のモデル化の代表的なものとして次のモデルが考えられている。

（１）０方程式モデル（レイノルズ平均流れ場の情報だけで渦動粘性係数を決定する）（２）２方程式モデル（渦動粘性係数を長さ、時間、速度のうち二つのパラメータで決定する）（３）ｋ－εモデル（２方程式モデルの一つで、乱れエネルギｋと散逸率εで決定する）

ｋ－εモデルは、工学的・工業的な応用分野において最も多く用いられている。

渦粘性モデル（１）・・・RANS

1i j ji iT

i i i j i

u u uu uPt x x x x x

2 , ' ' / 23 i iP p k k u u

38

０方程式モデル

プラントルの混合長モデル（mixing length model）から

乱流境界層では、lm=ky によって、対数速度分布が得られる。

乱流場に拡張し、速度勾配の大きさとしては、ひずみ速度テンソルか渦度の大きさを採用すると、

いずれにしても、lmを与えることによって、渦動粘性係数を求めることができれば、平均流れが求まる。しかし、 lmには何らかの経験的要素が導入されるため、普遍的なモデルにはなりにくい。

渦粘性モデル（２）・・・RANS

1/ 22 2T m ij ijl D D

2 | |T muly

1/ 22 , iT m i i i ijk

i

ul ex

標準ｋ－εモデル（高レイノルズ数型）2方程式モデルの代表的なものである

渦粘性モデル（３）・・・RANS

2

1 2

0

1 2

i

i

i jiT ij

j i j

T

Tj k

j j k j

Tj k

j j j

ux

u uu P Dt x x x

kC

k k ku Pt x x x

u C P Ct x k x x

1 20.09, 1.0, 1.3, 1.44, 1.92kC C C

39

低レイノルズ数型ｋ－εモデル壁近傍まで取り扱えるように修正されたもの

渦粘性モデル（４）・・・RANS

2

1 1 2 2

T

Tj k

j j k j

Tj k

j j j

kC f

k k ku P Dt x x x

u C f P C f Et x k x x

1 2

2 23 / 4

2 22

1

0.09, 1.4, 1.4, 1.5, 1.9

1 exp * /14 1 5 / exp / 200

1 exp * / 3.1 1 0.3exp / 6.5

0, 1

kC C C

f y Rt Rt

f y Rt

D E f

ｋ－εモデルの特徴と展開

利点１．経験的に与えるパラメータが少なく、定数群の推奨値が定着している。２．壁法則により壁付近の格子点数を節約する方法が提案されており、実用計算向きである。３．渦粘性が常に正の値で、数値計算の安定性が比較的良好である。

使用にあたって問題となる場合１．渦粘性近似が成立しない場合２．垂直応力成分の非等方成分が顕著になる場合３．局所平衡（Pk≒ε）から逸脱した流れ４．時間スケールｋ／ε、長さのスケールｋ3/2／εが不適切な場合

標準的なｋ－εで表現できないような流れでは、大規模な非定常渦が支配的な場合が多く、高次の展開の収束は期待できない。 → ＬＥＳの方が良い

ｋ－εモデルは、商用コードに使用され、他のモデルより多く使われるようになった。

渦粘性モデル（５）・・・RANS

40

応力方程式モデルは、変動速度について運動方程式をレイノルズ平均することのより得ることができる。英語の慣用表現として次のようなものがあるが応力方程式モデルを表すものである。

（１）Reynolds Stress Equation Model： ＲＳＭ または ＲＳＥ（２）Differential Second-moment Closure Model： ＤＳＭ（３）Second-moment Closure Model： ＳＭＣ

レイノルズ応力テンソルτijに対する支配方程式は

右辺第1項は生成項、第2項は圧力－ひずみ相関、第3項は散逸、第4項は拡散である。ここで、圧力－ひずみ相関Π、散逸項εと乱流拡散J(T)+J(P)にモデルが必要となる。

応力方程式モデル（１）・・・RANS

j iij ik jk

k k

u uPx x

''' ji

ijj i

uup

x x''

2 jiij

k k

uux x

ij ijk ij ij ij T ijk P ijk V ijk

k k

u P J J Jt x x

' ' ' ' ' ' ' iji j k i jk j ikT ijk P ijk V ijk

k

J u u u J p u p u Jx

圧力－ひずみ相関のモデル圧力変動p’のポアソン式の解考えると

ここで、第1項はスロー項と呼ばれ、変動成分を介して変化する部分、第2項はラピッド項と呼ばれ、平均流れ場の変化に直ちに対応する部分、第3項は壁反射項と呼ばれ、壁が圧力変動を反射する効果である。

スロー項に対するＲｏｔｔａモデル（乱れを等方化）

ラピッド項に対するＩＰＭモデル（生成項の等方化）

壁反射項に対するShirおよびGibson and Launderモデル

応力方程式モデル（２）・・・RANS

2 222 0.63ij ij kij C P P C

1 112 1.83ij ijij C k C

k

1 2 3ij ij ij ij

0

0

3 / 2

1 111

3 / 2

2 22 2 2 21

3 3' ' 0.5, 2.52 2

3 3' ' 0.32 2

ww w w w w ww

k m k m ij k i k j k j k i lij ww l n

ww w w w w ww

k m ij k j k iij km ki kj ww l n

kC u u n n u u n n u u n n C Ck C h

kC n n n n n n CC h

41

散逸項εのモデル乱れのレイノルズ数が十分に大きいときには、レイノルズ応力の散逸は、乱れエネルギーの散逸と

同様に小さな渦だけで担われると考えると

ここで、εの輸送方程式は

これは、基本的には拡散項を除いてｋ－εモデルと同じ形式だが、τに渦粘性仮定でないレイノルズ応力成分が用いられる点が異なっている。

応力方程式モデル（３）・・・RANS

2

1 2i

j ij ijj j i j

u ku C C Ct x k x k x x

23ij ij

1 2

1 20.16 1.44 1.92

i j ki j

D kC u u C P CDt x x k

C C C

乱流拡散項のモデル化Ｄａｌｙ－Ｈａｒｌｏｗのモデル：勾配拡散仮定に基づいたモデルで流れ場の非等方性を考慮

比較的簡単な流れ場における予測精度が良い、計算も簡便 → 多く使用

Ｈａｎｊａｌｉｃ－Ｌａｕｎｄｅｒのモデル：対称性を満足するモデル

応力方程式モデルには、ｋ－εモデルのような標準形は確立されていない。

応力方程式モデル（４）・・・RANS

' ' ' ' ij jk kii j k s kl il jl

l l l

ku u u Cx x x

' ' ' 0.22iji j k s kl s

l

ku u u C Cx

42

応力方程式モデルの特徴

応力方程式モデルは、旋回流、流線曲率のある流れ、比較的ゆったりとした非定常流など多くの流れに対して、ｋ－εより優位であることが示されている。

ｂｕｔ → 汎用ソフトにはあまり使われていない。

Ｗｈｙ１ モデルが複雑、方程式が増える → 計算時間の増加（ｋ－εと比較して）

２ モデルの各部分の検証が不十分

３ 全ての項に対して初期条件や境界条件を与えることが煩雑

４ 数値的不安定になりやすい。

応力方程式モデル（５）・・・RANS

ラージエディシミュレーション（large-eddy simulation）（大規模渦シミュレーション）は、直接数値計算（ＤＮＳ）より粗い格子で、計算格子の幅より大きいスケール（低波数成分）の運動を直接計算し、計算格子幅より小さいスケール（高波数成分）をモデル化して計算する方法である。

コルモゴルフ則（１）エネルギー保有領域：最も大きいスケールの渦は平均速度分布により直接励起される領域（２）エネルギーカスケイド：渦のエネルギーは大きな渦から小さな渦へ移っていく（３）平衡領域（第1相似則）：小さな渦の運動の統計的性質がεとνのみによって決定される（４）粘性散逸領域：分子粘性による散逸効果が顕著に現れる領域（５）慣性小領域（第2相似則）：－５／３乗スペクトルが成り立つ領域

粗視化：ナビエ・ストークスの式に空間平均（フィルター）をかけるフィルターの幅は通常格子幅程度とされ、この成分をＧＳ成分格子幅以下の成分をＳＧＳ（subgrid scale）成分という。

ラージエディシミュレーション（１）・・・LES

43

フィルターをかけた非圧縮性流れの連続の式と運動方程式

運動方程式をＧＳ流れ場のナビエ・ストークスの式に書き直すと

ここで、Ｌはレナード項、Ｃはクロス項、ＲはＳＧＳレイノルズ応力である

ラージエディシミュレーション（２）・・・LES

12

jiij

j i

uuD

x x

1 2i ij ij ij

i i i

u u pu Dt x x x

ij ij ij ijL C R

0

1 2

i

i

ii j ij

i i i

uxu pu u Dt x x x

Smagorinsky（スマゴリンスキー）モデルＳＧＳ渦粘性モデル

ＧＳの運動エネルギーｋGSの保存式

ここで、τDがＳＧＳへの輸送率となるので

Smagorinskyモデル

ラージエディシミュレーション（３）・・・LES

12

SGS SGSj ij ij SGS

j

SGSi ij i i j j i i j j

j j

k ku D

t x

ku u u u u u u pu pu

x x

/ 3 2SGS ij ij ij ij kk e ijD D

2 3 0.173SGS s sC D C

GS GS GSj ij ij GS i ij j

j j j

k k ku D u pu

t x x x

44

Smagorinsky（スマゴリンスキー）モデルの特徴

○スマゴリンスキー定数ＣSが妥当であれば、エネルギー散逸の総量には良いモデル○局所的なＳＧＳ乱れの再現精度は低い

○一様等方乱流ではCS=0.173で実験結果とよく一致するが、せん断乱流に対しては低い値（0.15～0.10程度）に修正する必要がある → 普遍定数にならない

○遷移問題（層流～乱流など）を扱う場合においては、スイッチングによって層流場と乱流場を区別する必要がある

数値計算の安定性がある ← 実用計算向き

ラージエディシミュレーション（４）・・・LES

その他のモデル

（１）Bardinaモデル（スケール相似則モデル）クロス項とＳＧＳレイノルズ応力をモデル化

（２）混合モデルスケール相似則とスマゴリンスキモデルの和

（３）ダイナミック渦粘性モデルスマゴリンスキモデルにおけるCSをＧＳ流れ場uから求める方法→ スマゴリンスキモデルの欠点である遷移問題での切り替えが不要

（４）構造関数モデルＳＧＳ渦粘性係数を構造関数を用いて与えるモデル

ラージエディシミュレーション（５）・・・LES

' ' ' 'ij ij i j i j i j i j i jC R u u u u u u u u u u

2 2a maij ij s kl kl ijL C D D D

45

計算方法基本的には、ナビエ・ストークスの非定常計算をそのまま応用する。

（１）ＳＧＳ渦粘性の計算におけるフィルター代表長さとひずみ速度テンソルの大きさ

（２）フィルターのかけ方（2次までを3点中心差分を用いれば）

ラージエディシミュレーション（６）・・・LES

3

3

x y z

i

j

xJ J

2 2 2 2 2 2 211 22 33 12 23 312 2 4

12

ij ij

ij xj i xi j

D D D D D D D D D

D u u

21 1

2

224

j j jj j

u u uu u

x

コルバーンの相似則・・・・・・・・乱流熱伝達の概略を知る有用な関係式

ここで、Ｃｆは壁面摩擦係数、Ｓｔはスタントン数、Ｐｒはプラントル数である。求めたいものは壁面熱流速ｑｗであるが、流れにより定まる壁面せん断応力から求める。最近では、

が普遍性のある相似側として使われている。円管内乱流ではκ=0.4、A=5.5、それ以外では、κ=0.41、A=5.0

熱移動を伴う乱流解析１

2 / 3

2

St Pr2

, St2

f

w wf

p r w rr

C

qC

c U T TU

1 ln , , ,

Prln , ,

w

t w w

p

u yUU y A U y uuT T qT y B T T

T c u

21/ 3Pr 0.85 3.85Pr 1.3 2.12 ln Prt B

46

支配方程式

標準的な渦粘性モデルの適用

渦粘性係数と渦拡散係数を求める必要がある（乱流モデルｋ－εの適用）

熱移動を伴う乱流解析２

0

1

i

i

i i ij i j i r

j i j j

j ij i i

Ux

U U UPU u u g T Tx x x x

T T TU u tx x x

23

jii j t ij

j i

i ti

UUu u kx x

Tu tx

低レイノルズ数域を考慮したｋ－εモデル

ここで、

浮力の影響が無視できる場合はＧｋ＝０と置く。また、壁面近傍等の妥当性を考えると、最近は、Nagano-TagawaモデルかMyong-Kasagiモデルがよく使われるようである。

熱移動を伴う乱流解析３

2

1 1 2 2 3 3

t

j k kj

j k kj

kC f

k kU DIFF k P G Dx

U DIFF C f P C f C f G Ex k

,

,

t t

j k j j j

ik i j k i i

j

kDIFF k DIFFx x x x

UP u u G g u tx

47

ｋ－εモデルの定数と関数

Nagano-Tagawa(1990)モデル

Myong-Kasagi(1990)モデル

浮力項については、通常Ｃε3＝Ｃε1、f3=f1 と置かれる

熱移動を伴う乱流解析４

1 2

2 3 4

221 2

0.09, 1.45, 1.9, 1.4, 1.3

1 exp 26 1 4.1

1.0, 1 0.3exp 6.5 1 exp 6

kC C C

f y Rt

f f Rt y

1 2

1 2

221 2

0.09, 1.4, 1.8, 1.4, 1.3

1 exp 70 1 3.45

1.0, 1 2 9 exp 6 1 exp 5

kC C C

f y Rt

f f Rt y

温度場２方程式モデル

ここで、t2は温度乱れ強度、εtは温度乱れ強度の散逸である。モデル化されたこれらの輸送方程式は、

熱移動を伴う乱流解析５

2 2

2

2

21,

mlm

tt

t t

k t kC f k C f R

tl m R

k

2 22

1 1 1 1 2 2 2 22

22

2

2

,

2 ,

j t t tj

t t t t tj t P P D D t P P k D D t

j

t t tt

j h j j j

t j kj

t tU DIFF t P Dx

PU DIFF C f C f C f P C f E

x kt

tDIFF t DIFFx x x x

TP u t P ux

ii j

j

Uu

x

48

温度場２方程式モデルの定数と関数Nagano-Kim(1988)モデル

Naganoら(1991)モデル

熱移動を伴う乱流解析６

1 2 1 2

2

1 2

2 22 2

1 2 2

0.11, 1.80, 0.72, 2.2, 0.8 1.0, 1.0

1 exp Pr 30.5 2 St , 1.0, 1.0

1.0, 1.0, 2 , 1

P P D D h

f P P

D D t t t

C C C C C

f C y f f

t Tf f D E fy y

1 2 1 2

23 4

1 2

2 2

1 2 2 22

0.10, 1.70, 0.64, 2.0, 0.9 1.0, 1.0

1 exp Pr 26 1 3.4 , 1.0, 1.0

11 exp 5.8 , 1 1 exp 6 , 0, 0

P P D D h

h P P

D D t tD

C C C C C

f y R f f

f y f C f y D EC

モデルの改良速度場のモデル

Ｎａｇａｎｏ－Ｔａｇａｗａモデル、Ｍｙｏｎｇ－Ｋａｓａｇｉモデル → 正しい壁面漸近解Ｎａｇａｎｏ－Ｈｉｓｈｉｄａモデル → 数値計算上の安定性、収束性に優れる

温度場のモデルＮａｇａｎｏ－Ｔａｇａｗａ－Ｔｓｕｊｉモデル → 乱流熱流速の正しい壁面漸近挙動を再現Ｎａｇａｎｏ－Ｋｉｍモデル → 数値計算上の困難さなし

速度場：Ｎａｇａｎｏ－Ｈｉｓｈｉｄａモデルを基本として、ＮＴモデル、ＭＫモデルと同様の解温度場：Ｎａｇａｎｏ－Ｋｉｍモデルを基本として、ＮＴＴモデルと同様の解

速度場に関して、

熱移動を伴う乱流解析７

2

2

ˆ 2

ˆt

kDy

kC f

49

Ｎａｇａｎｏ－Ｔａｇａｗａモデルと同様なｆμが使用可能である

これで、安定で壁面での正しい漸近解を与えることができる。モデル定数をまとめると、

壁面境界条件は、Ｕ＝ｋ＝０、ε＝０である。

熱移動を伴う乱流解析８

2 23 4

3

1 exp 1 20 exp 120

30 ,1 11.8

f y A Rt Rt

A P dP dx uP

1 2

2 23 4

21 2

2 22

1 2

2

1

0.09, 1.45, 1.9, 1.4, 1.3

1 exp 1 20 exp 120

1.0, 1 0.3exp

2 , 1

301 exp 30 ,1 11.8

k

t w

w

C C C

f y A Rt Rt

f f Rt

k UD E fy y

f y AP

温度場２方程式モデルの改良、速度場と同様に、

ここで、モデル関数は、

一般に、壁面近傍の粘性底層の厚さに対する熱伝導の支配的な伝導底層の厚さの比は、プラントル数によって変化する。そこで、

熱移動を伴う乱流解析９

22

2 2 2

2 21 2

ˆ ,

2ˆ ˆ ˆ

t t w

tt

t t t ty

k t kC f C f R

2

3 41 exp 1 exp 1 exp120

t

t

B Ry yfA A R

1 3PrA A

50

これで、Ｎａｇａｎｏ－Ｋｉｍモデルの長所を保持し、Ｎａｇａｎｏ－Ｔａｇａｗａ－Ｔｓｕｊｉモデルと同様の解を与えるモデルとなる。得られたモデル定数とモデル関数をまとめると

熱移動を伴う乱流解析１０

1 2 1 2

23 4

1 2 1 2 2 22

222 2

2 2

21 3

2

0.1, 1.7, 0.64, 2.0, 0.91.0

1 exp 1 exp

1 exp 120

11.0, 1.0, 1.0, 1

2 , 1

1 exp 30 Pr ,

P P D D

h

P P D DD

t t t w

w

C C C C C

f y A y A

B Rt Rt

f f f f C fC

t TD E fy y

f y A 1 3 , 7.9PrA B

参考図書

有限要素法流体解析，日科技連，川原睦人，１９８５パソコンで解く熱と流れ，丸善，小竹進・土方邦夫，１９８８数値流体工学，東京大学出版会，荒川忠一，１９９４非圧縮性流体解析，東京大学出版会，数値流体力学編集委員会編，１９９５乱流解析，東京大学出版会，数値流体力学編集委員会編，１９９５熱流体力学，共立出版，中山顕・桑原不二朗・許国良，２００２数値流体力学ハンドブック，丸善，編集委員長小林敏雄，２００３流れの数値計算と可視化第２版，丸善，平野博之，２００４流体計算と差分法，朝倉書店，桑原邦郎・河村哲也，２００５計算力学ハンドブック（Ⅱ差分法・有限体積法 熱流体編），丸善，日本機械学会，２００６

パソコンで学ぶ流体力学，森北出版，石綿良三，１９９３Ｅｘｃｅｌで学ぶ流体力学，丸善，森下悦生，２０００パソコンで見る流れの科学，講談社，矢川元基，２００１