Puteri-Si-Radicali
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Clasa a 9-a - 1 - Puteri si Radicali
Puteri .
Puteri :
- Fie a , b ∈ R si n ∈ R exponent real .
- Avem urmatoarele formule :
ori
....... n
n aaaaa ⋅⋅⋅⋅=
1 0 =a
aa 1 =
a
a nn 1
=−
00 =n
( ) aanmnm ⋅=
aaa mnmn +=⋅
aaa mnmn - : =
aaa mnm
n - =
( ) baba nnn ⋅=⋅
ba
b
an
nn
=
Identitati importante :
( ) bababa 222 2 ++=+
( ) bababa 222 2 +−=−
( ) ( )bababa +−= - 22
( ) abbaba 2 - 222 +=+
( ) babbaaba 32233 33 +++=+
( ) babbaaba 32233 33 −+−=−
( ) ( )babababa 2233 - +=+ +
( ) ( )babababa 2233 ++=− −
( ) ( )bcacabcbacba 22222 +++++=++
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 2 - Puteri si Radicali
Media aritmetica , geometrica , armonica :
- Pentru orice doua numere reale strict positive x , y se definesc mediile :
Media aritmetica :
2
yxma
+=
Media geometrica :
yxmg ⋅=
Media armonica :
yx
xy
yx
mh
2
1
1 2
+
=+
=
Inegalitatea mediilor :
mmm agh ≤≤
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 3 - Puteri si Radicali
Radicali .
Definitia radicalului :
- Daca a ∈ R , a > 0 , n ≥ 2 , se numeste radical de ordin n din a , numarul
pozitiv a carui putere a n –a este numarul a .
0 si >=⇔= xxa axnn
Observatii :
- daca ordinul radicalului este un numar par , adica n = 2k , este necesar ca expresia
de sub radical sa fie ≥ 0 , pentru ca radicalul sa existe !!!
( deoarece nu exista radical de ordin par dintr-un numar negativ )
- daca ordinul radicalului este impar , adica n = 2k + 1 , nu este necesara nici o
conditie de existenta a radicalului !!!
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 4 - Puteri si Radicali
Proprietatile radicalilor :
- Pentru ( ∀ ) a , b ∈ [ 0 , + ∞ ) , ( ∀ ) m , n , k ∈ N , m ≥ 2 , n ≥ 2 , k ≥ 2 avem :
1). nnn baba ⋅=⋅
2). n
nn
b
a
b
a =
3). aa n
mn m =
4). aa mn mn =⋅
5). ( ) n mmaan =
6). kn kmn m aa ⋅ ⋅=
7). nmm n aa ⋅=
8). R , 2 ∈= aaa .
Formule utile :
1). ( ) ( ) bababa - - =+⋅
2). ( ) ( ) bababa ba - 3 233 233 −=+⋅+⋅
3). ( ) ( ) bababa ba 3 233 233 +=+⋅−⋅+
Formulele radicalilor compusi : Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 5 - Puteri si Radicali
2
- -
2
-
22 baba aaba +
+=+
2
- -
2
-
22 baba aaba −
+=−
Exercitii :
- Sa se gaseasca valorile lui x , pentru care sunt definite expresiile :
1). 2 )( −= xxf
2). 5 2 )( −= xxf
3). 4 2 253 - )( xxxf +=
4). 43 55 -3 )( −+= xxxf
5). 6 2 1 - )( += xxxf
Exercitii :
Sa se calculeze :
1). ? 128 2 85 - 50 =++
2). ? 16 - 686 - 250 2 3333 =+
3). ( ) ( ) ? 32 - 2 - 6 6 23 - 32 =⋅+
4). ( ) ( ) ? 0,43 1,6 2 10 23 - 8 =++⋅+
Exercitii :
Sa se rationalizeze numitorii fractiilor :
1). ; 2
1 2). ;
3
23 3). ;
5
5
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 6 - Puteri si Radicali
4). ; 2 1
2 - 1
+
5). ; 24 - 25
133
6). ; 5 - 2 3
12
+
7). ; 7 3
1533 +
8). ; 6 - 2 2
31
+
9).
; 6 - 3 2 - 2
1
+
10). ;
-
ba
ba
+
Exercitii :
Rezolvati ecuatiile :
1). 14 10 −=− xx
2). xx 41 10 −=−
3). 21 2 −=+− xxx
4). xx −=− 5 7
5). xx 28 4 −=−
6). 2267 2 −=+− xxx
7). 421111 22 =+++ xx
8).
4452153 22 =++++ xxxx
9). xx −=+ 6 6
10). 13 1 =−+ xx
11). xx -22 211 =+
12). 0 1 1183 =++− xx
13). 4 1 24 ++=+ xx
14). 4232 2 −=+− xxx
15). ( )( ) 1 1312 +=+− xxx
16). 12232 2 +=+− xxx
17). 262 2 +=−+ xxx
18). xxx 244 24 =+−
Exercitii :
Rezolvati ecuatiile :
1). 2220 22 =++ xx
2). 6565 22 +−=+− xxxx
3).
xxxx 254235 22 =+−−+
4). 3414 22 +−=+− xxxx
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 7 - Puteri si Radicali
5). 22623 22 −−=+− xxxx
Exercitii :
Rezolvati ecuatiile :
1). 2 - 205 - 8 =++ xx 2). 3 5 4 =++− xx
3). 47x 1 6 +=+++ xx
4). xxxxx 3532532 22 =+−+++
5). 112594 222 - −=−+++ xxxxx
6). 1153853 22 =++−++ xxxx
7). 1622 2 12 4 4 −+=+−++ xxxx
Exercitii :
Rezolvati ecuatiile irationale :
1). 6 2 10 =−++ xx
2). 5 1 32 =+++ xx
3). 2 1 - 73 =++ xx
4). 1 -1 - 1 =+ xx
5). 4 7 - 3 =−− xx
Exercitii :
Rezolvati ecuatiile irationale :
1). 122 29 - 1 −=−+ xxx
2). xxx 5 12 12 =++−
3). xxx +=−− 52 39 - 341
4). 74 32 - 2 −=−+ xxx
5). 7 2 4 3 +++=+++ xxxx
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 8 - Puteri si Radicali
Exercitii :
Rezolvati ecuatiile irationale :
1). 22233 22 =+−+−+ xxxx
2). 34412 22 =+−−++ xxxx
3). ( )( ) ( )( ) 2 43 21 =−−+−− xxxx
4). 415373 22 =−−−−+ xxxx
Exercitii :
Rezolvati ecuatiile irationale :
1). xxxxxx −=−+++− − 222 2334
2). 87232232 222 +=+−+++ xxxxx
Exercitii :
Rezolvati ecuatiile irationale :
1). 295 - 2 22 =++ xx
2). 162132 - 22 =++++ xxxx
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 9 - Puteri si Radicali
3). 36333 22 =+−++− xxxx
4). 78231523 22 =+−++− xxxx
5). ( )( ) xxxxx 24 312 3 10 −=+−+++−
6). ( )( ) xxxxx 24 312 3 1 −=+−+++−
Exercitii :
Rezolvati ecuatiile irationale :
1). 12 1 - 6
1 6 −=+++++
xxx
xx
2). 122
-
1 -
- -
122
=+ xxxx
3). xxx
xx
2 - 5
1
2 - 3
2 3 =−−−+−
4). 0 , -
>=−+−++
ax
a
xaxa
xaxa
5). 12 - 1
2 - 12
12 1
2 12
−+=
−+++
x
xx
x
xx
6). 0 , 5
- - 2
- 2
4
422
22
>=+
++a
a
x
xa
xa
xa
xa
7). 3 -
1 -
- -
122
=+ xxxx xx
8). xxx xxxx
3
1 -
422
=+−++
9). 22 2 - 2
- 2
2 2
2 =+
+++
+x
x
x
x
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 10 - Puteri si Radicali
Alte tipuri de ecuatii care se rezolva prin intoducerea unei necunoscute
auxiliare
Exercitii :
1). xx 3 2 54 =+
2). 03233 - 25 =+xxx
3). ( ) ( ) 0 , 3 223 23 254 >−=+ ++ axaxaxa
4). ( )( )633 325 3 36 −−=−+− xxxx
Exercitii :
1). 0352 - - 33 2 =⋅⋅ xx
2). 0 8 - 2 =⋅+ xx
3). 023 - 3 =+⋅ xxx
4). 0 12 - 5 5 4 =+++ xx
5). 0 2 - - 63 =xx
6). 2 - 4 22 1515 =++ xx xx
7). 0 1 - 3 - 4 3 =xx
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 11 - Puteri si Radicali
Exercitii :
1). 0 2 - 1
- 1 =++
x
x
x
x
2). 3 1
2 - 1
=++ x
x
x
x
3). 2
5
45
1
1
4533 =
+−+
−+
x
x
x
x
4). 4 9
4 9 =
+++
x
x
x
x
Exercitii :
1). ( ) ( ) ( )( )33 23 232
2
5 22 −−=+ −− xxxx
2). ( ) ( ) ( ) ( )33 23 2 5-8 58 +=+ +− xxxx
3). ( ) ( ) 3 23 23 2422 4 4 −=+ −+ xxx
Exercitii :
1). 1 1610 145 =+−+++−+ xxxx
2). 4 11 - 11 =++++ xxxx
3). 27 5232 522 =−+++−+− xxxx
4). 1 168 143 =+−+++−+ xxxx
5). 1 122 145 =+−++−−+ xxxx
6). 1 12 12 −=−−+−+ xxxxx
7). 4 71 728 =+−+++++ xxxx
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 12 - Puteri si Radicali
8). 14 4914 4914 =−−+−+ xxxx
9). 2 2 - 2 =−+−− xxxx
Ecuatii de tipul :
{ } 4 , 3 unde , )( )( )( ∈=± nxhxgxf nnn
Ecuatiile de acest tip se rezolva prin ridicare la putere sau prin introducerea unor necunoscute auxiliare .
Exercitiul 1 :
Rezolvati ecuatiile :
1). 1 1 12 33 =−+− xx
2). ( )333 112 32 −=−+ xxx
3). ( ) ( ) ( ) ( ) 37272 - 33 23 2 =+ +−+− xxxx
4). 2 -7 1 33 =++ xx
5). 5 22 13 33 =++− xx
6). 1 3- 34 33 =−+ xx
7). 2 31-2 132 33 =−+ xx
8). 333 babxax −=+−+
9). ( ) ( ) axaxxax 3 23 2 =+ −−
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 13 - Puteri si Radicali
Exercitiul 2 :
Rezolvati ecuatiile :
1). 333 5 1 1 xxx =−++
2). 333 32 2 1 −=−+− xxx
3). 0 3 2 1 333 =+++++ xxx
4). 333 1 13 1 −=+++ xxx
5). 3333 24 8 33 72 −+−=−+− xxxx
6). ( ) ( ) ( )( ) 7278278 33 23 2 +=+ +−+− xxxx
Exercitiul 2 :
Rezolvati ecuatiile :
1). 2 15 1 44 =++− xx
2). 2 1 15 44 =−−+ xx
3). 5 97 44 =+− xx
4). 2 4 2 44 =−+− xx
5). 4 15 97 44 =−+− xx
6). 1 3 2 44 =−+− xx
7). 2 2 18 44 =+−+ xx
8). ( )( ) 2 262 2 6 4 =−−+−+− xxxx
Exercitiul 2 :
Rezolvati ecuatiile :
1). 6 12 243 =−++ xx 2). 3 1 23 =++− xx
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 14 - Puteri si Radicali
3). 1 1 23 =−+− xx
4). 2 5 33 =−+− xx
5). 7 11 3 =−+ xx
6). 2121 3 2 =++++ xxx
Ecuatii irationale cu parametru .
Exercitiu :
Rezolvati urmatoarele ecuatii in necunoscuta x , unde m este parametru real :
1). mxx −=− 12
2). 1 2 - 2 =+−+ mxx
3). mxx 3 7 =−+−
4). xxmxm 2 44 =++−
5). 12 2 +=−+ xmmxx
6). 1 2 −− = xxm
7). xxmxxmx 11 22 =−++ ++
8). mmxx =−−
Exercitiu :
Rezolvati urmatoarele ecuatii in necunoscuta x , unde m este parametru real :
1). mxx −=+ 1
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 15 - Puteri si Radicali
2). ( )44
1 1 −=+ mxx
3). mxx −=+ 12
4). mxx +=− 12
5). mxxx −=+− 12
6). mxxx +=++ 122
7). mxmxx +=− 2
8). 444 1 1 xxx
mxm =+++
Exercitiu :
Rezolvati urmatoarele ecuatii in necunoscuta x , unde m este parametru real :
1). 1 2 - =++ xmx
2). ( ) ( ) xxmxxmx 2 =−+−
3). xmmxm x −=+− 222
4). ) 0 ( - 2222 22 >=−−−+ mmmmxxmmxx
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 16 - Puteri si Radicali
Inecuatii irationale .
Exercitii :
Rezolvati inecuatiile :
1). 1- 2 ≥−x
2). 0 4 ≥+−x
3). 2- 3 ≤+x
4). 6 42 ≥+x
5). 4 2 −≥− xx
6). 2 8 +≤+ xx
7). 2
1
4
1 +≥− xx
8). 7353 22 +≤++− xxxx
Exercitii :
Rezolvati inecuatiile :
1). 0 7
12194 2<
+−
−
xx
x
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 17 - Puteri si Radicali
2). 0 10
17152 2
≥−
−+xxx
3). ( ) 0 21 2 ≥−−− xxx
Exercitii :
Rezolvati inecuatiile :
1). 3- 3 ≥−x
2). 4 3 ≥−x
3). 1- 42 ≤+x
4). 8 2 ≤−x
5). R unde , 12 4 ∈−≥+− mmx
6). R unde , 3 2 ∈−≥− mmx
Exercitii :
Rezolvati inecuatiile :
1). 1- 21
2 >−−x
x
2). 1 2
13 >−−x
x
3). 132 2 <−+ xx
4). xx −>− 6 103
Exercitii :
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 18 - Puteri si Radicali
Rezolvati inecuatiile :
1). 2 12 −<− xx
2). 3 142 +>+ xx
3). xxx −<−+ 2652 2
4). 243 2 −>−− xxx
5). xxx −>+− 112 24
Exercitii :
Rezolvati inecuatiile :
1). 1 1 91 2
<−−xx
2). 5 42x 9 >+++x
3). 6 15 3 <+++ xx
4). 1253753 - 22 >++++ xxxx
5). 1 2 - 1 ≤−+ xx
6). 2 4 - 3 ≥−+ xx
7). 5 5 ≤+− xx
8). 54 4-x 13 +<++ xx
Exercitii :
Rezolvati inecuatiile :
Puteri si Radicali
Clasa a 9-a - 19 - Puteri si Radicali
1). 3111 22 <++ xx 5). 341
1 2
<− −xx
2). ( )( ) ( ) 0 33 25 >++−+ xxxx 6). 1224
2
<−−x
xx
3). ( )( ) 9137232 2 +−− <− xxxx 7). 2 3 - 4 2 ≥+−
x
xx
4). 1 1
5 <−+x
x
Puteri si Radicali