SH.M.K “DRITA”

Kërçovë

Kongruencat

Detyrë projektuse nga lënda e matematikës

Kandidati: Mentor: B. Xh. Mars,2013

K.U.

Kongruencat

~ 1 ~

Përmbajtja:

Hyrje ..................................................................................................................................................................... 2

Teoria e numrave ............................................................................................................................................ 3

Kongruencat ...................................................................................................................................................... 5

Kongruencat lineare.................................................................................................................................... 10

Kongruencat lineare të formës a1x1 + a2x2 + ⋯ + amxm ≡ b(mod n) ................................ 12

Sistemet e kongruencave lineare ........................................................................................................... 14

Teorema kineze e mbetjeve ..................................................................................................................... 14

Zgjidhja e sistemeve kongruente lineare ............................................................................................ 16

Detyra dhe zgjidhje...................................................................................................................................... 17

Përfundim ....................................................................................................................................................... 18

Literatura e përdorur ................................................................................................................................. 19

Kongruencat

~ 2 ~

Hyrje

Me zhvillimen e matematikës vazhdimisht paraqiten probleme të reja të cilave

matematikanët tentonin tu japin zgjidhje sa më të sakta dhe sqarime të thjeshta. Çdo

degë e matematikës ka objektin e vet të studimit.Teoria e Numrave (degë e

matematikës) si objekt kryesor studimi ka,të paktën në trajtëe e saj elemementa-

re:numrat e plotë,në vecanti numrat natyrorë,vetit e tyre dhe mardhëniet që i

rregullojnë ato.Ndër trajtat tjera të numrave të plotë të cilat i studion teoria e numrave

jane:pjestueshmëria e numrave,sistemet e mbetjeve,kongruencat e numrave,mbetjet

kuadratike,format kuadratike,ligji i reciprocitetit kuadratik etj.

Me ndihmën e kongruencave mundemi që pohimet mbi plotpejstëshmërinë më lehtë

ti formulojmë dhe ti vërtetojmë,gjithashtu përfitojmë edhe diferencimin e numrave të

cilat nuk janë te plotpestueshëm me një numër të caktuar.

Në fillim të këti punimi është dhënë një qasje e shkurtër mbi teorinë e numrave

dhe pastaj janë dhënë disa pohime mbi kongruencat,barazimet kongruente dhe sistemet

e barazimeve kongruente gjithashtu janë dhënë edhe shembuj dhe detyra për ta

qartësuar sa më mirë pjesën teorike.

Kongruencat

~ 3 ~

Teoria e numrave

Teoria e numrave është degë e matematikës e cila merret me studimin e vetive

të numrave në përgjithësi, e posaçërisht atyre të plotë si dhe me një klasë më të gjërë

problemesh. Ndër problemet elementare që studiohen janë: plotpjestueshmëria e

numrave, kriteret për gjetjen e numrave të cilat

plotësojnë ndonjë kusht të caktuar, shpërndarja

e numrave të thjeshtë, gjetja e numrit të particioneve të

një numri natyror etj. Bëhet fjalë për një nga zonat më

të rëndësishme dhe më interesante të algjbrës në

vecanti dhe të mëtematikës në pergjithësi ose sic e

quajti Gausi:’’mbretëreshën e matematikës”.Është një

nga degët më të vjetra. Disa nga rezultatet e saja ishin të

njohura qysh nga grekët e vjetër të periudhës Klasike

(800 p.e.s-1500 p.e.s),p.sh. Pitagora,Euklidi,Eratosteni

dhe Diofani.

Periudha modern e teorisë së numrave fillon formalisht në vitin 1500 me Klaud

Baher(1581-1638) dhe vazhdon me kërkimet e Pier Fermat(1601-1665) dhe Leonard

Euler(1707-1855).Por në të vërtetë fillon me botimin e librit të famshëm “Disquisitiones

arithmeticae”1 të matematikanit Gauss 2(1777-1855) në vitin 1801.Gausi i sistemoi të

gjitha njohuritë e deriatëhershme mbi teorinë e numrave duke paraqitur dhe mjaft ide

të reja të tij.Nga viti 1800 dhe më vonë shumë nga problemet klasike të teorisë së

numrave u zgjodhën ,por më e rëndësishmja është se studimi i tyre çoi në krijimin e

teorive të reja të cilat gjetën zbatim në degët tjera të matematikës.

Ne shekullin e XIX teoria e numrave përjetoi një lulëzim. Me kontributin e

matematikanëve: Niels Abel,Carl Jacobi dhe Peter Gustav Dirichlet u zhvillua teoria e

funksioneve eliptike.Dirihleu futi termin e ri rendi-L dhe vëretoi teorinë e progresioneve

aritmetike të numrave priamrë. Bernhard Riemann zbuloi dhe vërtetoi barazimet

funksionale të funksionit zeta. Kontribut të rëndsishëm dhanë edhe Ernst

1 Disquisitiones arithmeticae(lat:Hulumtime Aritmetike) vepra e Gausit mbi teorinë e numrave e botuar ne Lajpcig të Gjermanisë më 29 shtator 1801 2 Carl Friedrich Gauss,matematikan gjerman I cili punoi edhe në shkenca tjera si gjeodezi,astronomi dhe fizikë

Kongruencat

~ 4 ~

Kummer,Leopold Kronecker dhe Richard Dedekind. Keto së bashku themeluan teorinë e

grupeve,unazave dhe idealeve.

Në shkullin XX duke u bazuar në punën e Kumerit u zhvillua teoria e klasave të

trupave ku u dalluan:David Hlbert,Helmut Hasse,Philip Fyrtwangler etj. U vëretua edhe

teoria e egzistencës nga e cila Emil Artin themeloi ligjin e reciprocitetit.

Në gjysmen e dytë të shekullit XX u be nje hap i madh me hulumtimet e Bryan Birch

dhe Peter Swinnerton-Dyer.Këto supozuan se nje kurbë eliptike ka pakufi shumë

zgjidhje racionale atëher kur L-Rendi ne pikën 𝓈 = 1 ka vlerë zero edhepse kjo tezë

principisht nuk është e vërtetuar ka argumente të forta teorike dhe numerike që

dëshmojnë mbi vërtetësinë e saj.

Ndër matematikanët tjerë që bënë hulumtime të rëndësishme në teorinë e numrave

janë: Alan Baker,Gotthold Eisenstein Gerhard Frey,Sophie Germain,Don Zaiger etj.

Sot teoria e numrave është një shkencë e zgjeruar dhe ndahet në tre drejtime,që

emërtohen sipas mjeteve matematikore që përdorin:

1. Teoria elementare e numrave,që përdor metoda të pastra teorike numerike.

2. Teoria algjebrike e numrave,që përdor metoda algjebrike dhe në vecanti teorinë e

idealeve dhe fushave algjebrike.

3.Teoria analitike e numrave që përdor metodat bazë të analizës dhe në vecanti të

funksioneve komplekse.

Rëndësia e saj e madhe ne boten e matematikes qëndron në shumëllojshmërinë e

metodave që përdor, problemet të hapura që përmban si dhe në zbatimin që gjen në

shkenca modern si :kriptografia,teoria e kodimit,teoria e automateve etj.

Kongruencat

~ 5 ~

Kongruencat

Le të jenë 𝒶 dhe 𝒷 dy numra të plotë dhe 𝓃 një numër natyror.

PERKUFIZIMI 1:Numri i plotë 𝒶 quhet kongruent3 me numrin e plotë 𝒷 modulo 𝓃 (sipas

modulit 𝓃) vetëm atëher kur 𝑛|𝒶 − 𝒷 .

Mënyra e shënimit: 𝒶 ≡ 𝒷(𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Numri natyror 𝓃 quhet masë e kongruencës.Ne qoftë se 𝑛 ∤ 𝒶 − 𝒷 atëherë 𝒶 quhet

jokongruent me 𝒷 sipas modulit 𝓃 .

Mënyra e shenimit 𝒶 ≢ 𝒷(𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Shembull: 17 ≡ −7(𝑚𝑜𝑑8), 5 ≡ 15(𝑚𝑜𝑑5), 27 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑4), 6 ≢ 11(𝑚𝑜𝑑3), 25 ≢

12(𝑚𝑜𝑑7) sepse perkatësisht 8 ∣ 17 − (−7); 15|5 − 15; 4⌋27 − 7; 3 ∤ 6 − 11;

Termi kongruencë për her të parë është përdorur nga Christian Goldbach në vitin

1730 nëpër letrat që ia dërgonte Leonard Eulerit.Për dallim nga Gausi Goldbachu

përdorte simbolin e jo ≡ .

Nga përkufizimi 1 rrjedhin vetit e mëposhtme :

Nurmri i plotë 𝑎 është çift vetëm atëher kur 𝑎 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑2)

Numri i plotë 𝑎 është tek vetëm atehëher kur 𝑎 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑2)

Në qoftë se 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) dhe 𝑚|𝑛, atëherë 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Per çdo çift numrash të plotë 𝑎, 𝑏 ka vend 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 1)

POHIMI 1 :Dy numra të plotë çfarëdo 𝒶 dhe 𝒷 janë kongruent sipas modulin 𝓃,vetëm

atëher kur lënë të njëjtën mbetje gjatë pjestimit të tyre me 𝓃.

Vërtetim: E zëmë se 𝒶 ≡ 𝒷(𝑚𝑜𝑑 𝑛). Atëher nga përkufizimi 1 kemi që 𝓃|𝒶 − 𝒷

domethënë 𝑎 − 𝒷 = 𝑛 ∗ 𝑞, 𝑞 𝜖 Ζ si rrjedhim:

𝑎 = 𝑏 + 𝑛𝑞 (1)

Duke pjestuar 𝒷 me 𝑛 fitojmë:

𝑏 = 𝑛𝑘 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < 𝑛 (2)

Si rrjedhim i barazimit (1) shkruhet:

𝑎 = 𝑘𝑛 + 𝑛𝑞 + 𝑟 = (𝑘 = 𝑞)𝑛 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < 𝑛 (3)

Relacionet (2) dhe (3) japin rezultatin e dëshiruar.4

3Kongruent- congruuentia (lat. njëvlershëm)

Kongruencat

~ 6 ~

Vërejmë se kongruenca 𝑚𝑜𝑑 𝑛 cakton nje relacion " ≡ " në bashkësinë ℤ

(domethënë një nënbashkësi ≡ të ℤ × ℤ )si më poshtë :

(𝒶, 𝑏) ∈ ≡ ⟺ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

POHIMI 2 :Relacioni " ≡ (𝑚𝑜𝑑 𝑛)" është relacion ekuivalencene në bashkësinë e numrave

të plotë ℤ,domethënë është :

i. refleksiv është atëher kur: 𝑎 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛) për çdo 𝑎 ∈ ℤ.Kjo është e sakt

pasi: 𝑛|(𝒶 − 𝑎), 𝑎 𝜖 ℤ pra 𝑛|0

ii. simetrik është atëher kur: 𝑎𝑎 ≡ 𝑏𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑎𝑎𝑎 𝑎) ⟹ 𝑎𝑏 ≡

𝑎𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑎𝑎𝑎 𝑎).Ky pohim vlen sepse për çdo 𝑎,𝑎𝑎, 𝑏 ∈ ℤ raporti n|(a−b)

eshtë ekuivalent me 𝑛𝑎|(𝑏𝑎 − 𝑎𝑎).

iii. transitiv është atëher kur: 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑ℎ𝑒 𝑏 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑣𝑙𝑒𝑛:

𝑎 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛).Nga raportet n|(a−b) dhe 𝑛|(𝑏 − 𝑎) rrjedh se :

𝑛|(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐), domethënë n|(a−c) që do të thotë se : 𝑎 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛).

POHIMI 3: Nëse n ∈ ℕ ∧ 𝑛 > 0 dhe numrat e plotë 𝑎, 𝑎′, 𝑏, 𝑏′ ∈ ℤ dhe relacionet:

𝑎 ≡ 𝑎′(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑ℎ𝑒 𝑏 ≡ 𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Atëher vlen edhe:

𝑎 + 𝑏 ≡ 𝑎′ + 𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

𝑎 ∗ 𝑏 ≡ 𝑎′ ∗ 𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

VËRTETIM: Egzistojnë numra të plotë 𝑘, 𝑙 ashtu që 𝑎 = 𝑎′ + 𝑘 ∗ 𝑛 dhe 𝑏 = 𝑏′ + 𝑙 ∗

𝑛 dhe me këtë llogarisim se :

𝑎 + 𝑏 = 𝑎′ + 𝑘 ∗ 𝑛 + 𝑏′ + 𝑙 ∗ 𝑛 = (𝑎′ + 𝑏′) + 𝑘 ∗ 𝑛 + 𝑙 ∗ 𝑛 = (𝑎′ + 𝑏′) + (𝑘 + 𝑙) ∗ 𝑛.

Pasi që 𝑛 e e pjeston ndryshimin (𝑎 + 𝑏) − (𝑎′ + 𝑏′) = (𝑘 + 𝑙) ∗ 𝑛 ashtu që:

𝑎 + 𝑏 ≡ 𝑎′ + 𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Mëtutje gjejme se : 𝑎 ∗ 𝑏 = (𝑎′ + 𝑘 ∗ 𝑛) ∗ (𝑏′ + 𝑙 ∗ 𝑛)

= 𝑎′ ∗ 𝑏′ + 𝑎′ ∗ 𝑙 ∗ 𝑛 + 𝑏′ ∗ 𝑘 ∗ 𝑙 ∗ 𝑛2

= 𝑎′ ∗ 𝑏′ + (𝑎′ ∗ 𝑙 + 𝑏′ ∗ 𝑘 + 𝑘 ∗ 𝑙 ∗ 𝑛) ∗ 𝑛.

Barzimi 𝑎 ∗ 𝑏 − 𝑎′ ∗ 𝑏′ = (𝑎′ ∗ 𝑙 + 𝑏′ ∗ 𝑘 + 𝑘 ∗ 𝑙 ∗ 𝑛) ∗ 𝑛 pjestohet me 𝑛 dhe perfundojmë

se: 𝑎 ∗ 𝑏 ≡ 𝑎′ ∗ 𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛). 5

4 Kostaq Hila,Jani Dine,Teoria e numrave,Universiteti “Eqrem Cabej”,Fakulteti i shkencave të natyrës departamenti i matmatikës-Tiranë,2002 faqe .v, 112-113 5 Alexander Schmitt,Skript zur Vorlesung “Algebra und Zahlentheorie”,Berlin,Wintersemester2011/2012

Seite 15-16

Kongruencat

~ 7 ~

POHIMI 4. Nëse 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚)𝑑ℎ𝑒 𝑐 ≡ 𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑚) atëherë:

a) 𝑎 ± 𝑐 ≡ (𝑏 ± 𝑑)(𝑚𝑜𝑑 𝑚)

b) 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)

c) 𝑎𝑛 ≡ 𝑏𝑛 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) për cdo 𝑛 ≥ 1.

d) 𝑓(𝑎) ≡ 𝑓(𝑏)(𝑚𝑜𝑑 𝑛) per cdo 𝑓(𝑥) me koeficientë numra të plotë.

VËRTETIM:

a) Meqë 𝑎 − 𝑐 = 𝑎 + (−𝑐) mjafton të vërtetojmë vetëm rastin

𝑎 + 𝑐 ≡ (𝑏 + 𝑑) (𝑚𝑜𝑑 𝑚).

Nga 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) kemi : 𝑎 = 𝑚𝑘 + 𝑏, 𝑘 ∈ ℤ (1)

Ngjashëm nga 𝑐 ≡ 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)𝑘𝑒𝑚𝑖: 𝑐 = 𝑚𝑘1 + 𝑏, 𝑘1 ∈ ℤ (2)

Duke mbledhur anë për anë (1) dhe (2) merret:

𝑎 + 𝑐 = 𝑚𝑘 + 𝑚𝑘1 + 𝑏 + 𝑑

𝑎 + 𝑐 = 𝑚𝑘2 + (𝑏 + 𝑑), 𝑘2 = 𝑘 + 𝑘1

Pra 𝑎 + 𝑏 ≡ (𝑏 − 𝑑) (𝑚𝑜𝑑 𝑚).

b) Duke shumëzuar anë për anë (1) dhe (2) kemi:

𝑎𝑐 = (𝑚𝑘 + 𝑏)(𝑚𝑘1 + 𝑑)

= 𝑚𝑘𝑚𝑘1 + 𝑚𝑘𝑑 + 𝑚𝑘1𝑏 + 𝑏𝑑

= 𝑚(𝑘𝑚𝑘1 + 𝑘𝑑 + 𝑘1 𝑏) + 𝑏𝑑

= 𝑚𝑘3 + 𝑏𝑑; 𝑘3 = 𝑘𝑚𝑘1 + 𝑘𝑑 + 𝑘1𝑏

Pra 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚).

c) Vërtetimi do ta bëjmë me induksionin matematik:

Për 𝑛 = 1 pohimi është i sakt sipas supozimit.

Supozojmë se pohimi është i sakt për 𝑛 = 𝑘

Pra 𝑎𝑘 ≡ 𝑏𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑚)

Duke zbatuar supozimin 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) si dhe rastin b) kemi:

𝑎𝑘 ∗ 𝑎 ≡ 𝑏𝑘 ∗ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚)

Pra 𝑎𝑘+1 ≡ 𝑏𝑘+1(𝑚𝑜𝑑 𝑚)

d.m.th 𝑎𝑛 ≡ 𝑏𝑛(𝑚𝑜𝑑 𝑚), ∀ 𝑛 ≥ 1

d) Le të jetë 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑛𝑥𝑛+. . +𝑐1𝑥 + 𝑐0

Edhe këtë her do të zbatojme induksionin matematik.

Pra do të tregojmë se nëse 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) atëher:

𝑐𝑛𝑎𝑛+. . +𝑐1𝑎 + 𝑐0 ≡ (𝑐𝑛𝑏𝑛+. . +𝑐1 + 𝑐0 )(𝑚𝑜𝑑 𝑚)

Kongruencat

~ 8 ~

Nëse 𝑛 = 0 kemi 𝑐0 ≡ 𝑐0(𝑚𝑜𝑑 𝑛) gjë që është e saktë në bazë të pohimit 2,rasti 1.

Supozojme se është i sakt për 𝑛 = 𝑘. Atëher kemi :

𝑐𝑘𝑎𝑘 +…+𝑐1𝑎 + 𝑐0 ≡ (𝑐𝑘𝑏𝑘 +…+𝑐1𝑏 + 𝑐0)(𝑚𝑜𝑑 𝑚)

Në rastin c) treguam:

𝑎𝑘+1 ≡ 𝑏𝑘+1(𝑚𝑜𝑑 𝑚)

Meqë 𝑐𝑘+1 ≡ 𝑐𝑘+1(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ateher në bazë të rastit b) kemi:

𝑐𝑘+1𝑎𝑘+1 ≡ 𝑐𝑘+1𝑏𝑘+1

Nga relacioni i fundit,hipoteza induktive si dhe rasti a) kemi:

𝑐𝑘+1𝑎𝑘+1 + 𝑐𝑘𝑎𝑘 + …+𝑐1𝑎 ≡ 𝑐𝑘+1𝑏𝑘+1 + 𝑐𝑘𝑏𝑘 +…+𝑐1𝑏 + 𝑐0(𝑚𝑜𝑑 𝑚)

gjë që duhej treguar.

POHIMI 5 : Në qoftë se 𝑐 ∈ ℤ, 𝑐 ≠ 0,atëher:

𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⟺ 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑐)

Vërtetim: Vërejmë se 𝑛|𝑎 − 𝑏 vetëm atëher kur 𝑛𝑐|𝑐(𝑎 − 𝑏),domethënë 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

vetëm atëher kur 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑐).

POHIMI 6:Në qoftë se 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ,ku 𝑐 ≠ 0 dhe 𝑑 = (𝑛, 𝑐) atëher:

𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⟺ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑑⁄ )

Vërtetim: Në qoftë se 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑑⁄ ) atëher meqë 𝑑 ≠ 0 nga pohimi 5 kemi që 𝑑𝑎 ≡

𝑑𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛).Por 𝑑|𝑐 si rrjedhim 𝑐 = 𝑑𝑐1.Në këtë menyrë kemi:

𝑐1𝑑𝑎 ≡ 𝑐1𝑑𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑𝑚𝑡ℎ 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

RRJEDHIMI 1: Në qoftë se 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) dhe PMP (𝑐, 𝑛) = 1 atëher:

𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛).

RRJEDHIMI 2:Në qoftë se 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑝) ku 𝑝 është numër i thjeshtë i tillë që 𝑝 ∤ 𝑐

atëher: 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑝).

POHIMI 7: Në qoftë se 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ 𝑑ℎ𝑒 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛), 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) atëher:

𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 [𝑚, 𝑛]) ku [m,n] është SHVP i 𝑚, 𝑛.

Vërtetim: E zëmë se 𝑝 është pjestues i thjeshtë i [m,n].Në qoftë se 𝑝 është fuqi më e

madhe që plotpjeston [m,n] atëher 𝑝 plotpjeston 𝑚 𝑜𝑠𝑒 𝑛 pra 𝑝|𝑎 − 𝑏 dhe si rrjedhim

[𝑚, 𝑛]|𝑎 − 𝑏 domethënë 𝑎 ≡ 𝑏[𝑚𝑜𝑑 (𝑚, 𝑛)]

RRJEDHIM: Në qoftë se 𝑎 ≡ 𝑏( 𝑚𝑜𝑑 𝑛)𝑑ℎ𝑒 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ku numrat 𝑚 𝑑ℎ𝑒 𝑛 janë të

thjeshtë midis tyre,atëher :

𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑛) 6

6 Kostaq Hila,Jani Dine,Teoria e numrave,Universiteti “Eqrem Cabej”,Fakulteti i shkencave të natyrës departamenti i matmatikës-Tiranë,2002 faqe 115-116

Kongruencat

~ 9 ~

POHIMI 8:Nëse 𝑎𝑖 ≡ 𝑏𝑖(𝑚𝑜𝑑 𝑛) për 𝑖 = 1,2,3 … 𝑛 atëher:

∑ 𝑎𝑖

𝑛

𝑖=1

≡ ∑ 𝑏𝑖

𝑛

𝑖=1

(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑ℎ𝑒

∏ 𝑎𝑖 ≡ ∏ 𝑏𝑖 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

7

Detyra dhe zgjidhje

1.Të caktohet mbetja gjatë pjestimit në 520me 26 ?

Zgjidhje: Meqë 52 = 25 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 26) atëher sipas Pohimit 4 vlen :

520 ≡ (−1)10(𝑚𝑜𝑑 26) pra mbetja është 1 ose 520 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 26).

2.Trego se per gjdo 𝑛 ∈ ℕ, 37𝑛+2 + 16𝑛+1 + 23 është i plotpjestueshëm me 7.

Zgjidhje: Nga 37 ≡ 16 ≡ 23 ≡ 2 (𝑚𝑜𝑑 7) kemi që :37𝑛+2 + 16𝑛+1 + 23𝑛 ≡ 2𝑛+2 +

2𝑛+1 + 2𝑛 = 2𝑛(4 + 2 + 1) = 2𝑛 ∗ 7 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 7) 8

7 James J.Tattersall, Elementary number theory in nine capters,Cambrige University Press 1999.page 152-153 8 Jiri Herman,Radan Kucera,jaromir Simsa,Equations and inequalities in Algebra and Number Theory,Department of Methematics and Statistics,Halifax.Canada,July 1999,page 192

Kongruencat

~ 10 ~

Kongruencat lineare

PERKUFIZIM :Kongruencë lineare ose kongruencë e shkallës së parë quhet çdo

kongruencë e formës:

𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ku 𝑛 ∈ ℕ(𝑛 > 1)𝑑ℎ𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ.

Numri i plotë x0vërteton ose plotëson kongruencën lineare në qoftë se :

𝑎𝑥0 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛). (1)

Për çdo 𝑦 ∈ ℤ kemi 𝑎𝑦 ≢ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) themi se kongruenca lineare nuk ka zgjidhje.

P.sh. 6𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 8) nuk ka zgjidhje sepse nëse egziston 𝑥0 ∈ ℤ.

6𝑥0 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑8) atëher 8|6𝑥0 − 1dhe numri 6𝑥0 − 1 është tek ?! asnjë numër tek nuk

është i plotpjestueshëm me një numër çift,pra barazimi nuk ka zgjidhje.Nëse 𝑥 është

zgjidhje e barazimit dhe 𝑥′ ≡ 𝑥 ateher 𝑎𝑥′ ≡ 𝑎𝑥 ≡ 𝑏.Nga kjo rrjedh se edhe 𝑥′ do të jetë

zgjidhje e barazimit.Barazimi 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka zgjidhje nëse dhe vetëm nëse egziston

një numër 𝑦 i cili me numrin 𝑥 e kënaq ekuacionin e Diofantit 𝑎𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑏.

POHIMI 1: Nëse 𝑑 = 𝑃𝑀𝑃(𝑎. 𝑛) atëher kongruenca lineare 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka zgjidhje

nëse dhe vetëm nëse 𝑑 plotpjeston 𝑏.Ne qoftë se numri i plotë 𝑥0 vërteton kongruencën

atëher egzistojnë 𝑑 zgjidhje.

𝑥 = 𝑥0; 𝑥0 +𝑛

𝑑; 𝑥0 +

2𝑛

𝑑; … 𝑥0 +

(𝑑−1)𝑛

𝑑. (2)

Nëse 𝑥0 është një zgjidhje e mundshme atëher zgjidhet tjera caktohen me anë të

formulës:

𝑥 = 𝑥0 +𝑛𝑡

𝑑 ; 𝑡 ∈ ℤ.

Vërtetim: Në qoftë se 𝑥 ≡ 𝑥0 është zgjidhje e barazimit atëher 𝑎𝑥0 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) si

rrjedhim 𝑛|𝑎𝑥0 − 𝑏.Por nga 𝑑|𝑛 𝑑ℎ𝑒 𝑑|𝑎 rrjedh se 𝑑|𝑏.Anasjelltas e zëmë se 𝑑|𝑏 atëher

𝑏 = 𝑑𝑏′.Meqë 𝑑 = (𝑎, 𝑛) kemi që 𝑎 = 𝑑𝑎′𝑑ℎ𝑒 𝑛 = 𝑑𝑛′𝑘𝑢 (𝑎′, 𝑛′) = 1.Nga ekuacioni i

Diofanit rrjedh se : 1 = 𝑎′𝑥0 + 𝑛′𝑦0 prej nga marrim:

𝑏 = 𝑎′𝑥0𝑏 + 𝑛′𝑦0𝑏 = 𝑎′𝑥0𝑑𝑏′ + 𝑛′𝑦0𝑑𝑏′ = 𝑎(𝑥0𝑏′) + 𝑛(𝑦0𝑏′)9

Domethënë: 𝑎(𝑥0𝑏′) ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛),si rrjedhim barazimi 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka zgjidhje

𝑥 ≡ 𝑥0𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛).

9 Gareth Jones snd Mary Jones, Elementary number theory, Springer,London 2005,p 47

Kongruencat

~ 11 ~

Vërtetojmë tani se numrat (2) vërtetojnë (1).Vërtet për cdo:

𝑡 ∈ ℤ, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑑 − 1 kemi:

𝑎 (𝑥0 + 𝑡𝑛

𝑑) = 𝑎𝑥0 +

𝑎𝑡𝑛

𝑑= 𝑎𝑥0 +

𝑎′𝑑𝑛

𝑑= 𝑎𝑥0 + (𝑎′𝑡)𝑛 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Gjithashtu numrat(2) janë dy e nga dy jokongruent(mod n).

Në qoftë se 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑑 − 1 dhe 𝑘 ≠ 1 atëher :

|𝑡𝑥0 + 𝑘

𝑛

𝑑) − (𝑥0 + 𝑡

𝑛

𝑑)| = |𝑘 − 𝑡|

𝑛

𝑑< 𝑛 ( 𝑠𝑒𝑝𝑠𝑒 |𝑘 − 𝑡| < 𝑛)

Si rrjedhim:

𝑛 ∤ |(𝑥0 + 𝑘𝑛

𝑑) − (𝑥0 + 𝑡

𝑛

𝑑)| prej nga:

𝑥0 + 𝑘𝑛

𝑑≢ 𝑥0 + 𝑡

𝑛

𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Mbetet të tregojmë se çdo zgjidhje 𝑥 ≡ 𝑥1(𝑚𝑜𝑑 𝑛) e barazimit (1) përputhet me

një nga zgjidhjet e barazimit (2).

Kemi 𝑎𝑥1 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑ℎ𝑒 𝑎𝑥0 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) si rrjedhim:

𝑎𝑥1 ≡ 𝑎𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛) domethënë 𝑛|𝑎(𝑥1 − 𝑥0)

Pra:

𝑛′𝑑|𝑎′𝑑(𝑥1 − 𝑥0) si rrjedhim 𝑛′|𝑎′(𝑥1 − 𝑥0) dhe meqë:

(𝑛′, 𝑎′) = 1 do të kemi 𝑛′|𝑥1 − 𝑥0) domethënë :

𝑥1 − 𝑥0 = 𝑘𝑛′, 𝑘 ∈ ℤ (3)

Duke pjestuar 𝑘 𝑚𝑒 𝑑 kemi :

𝑘 = 𝑑𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑑 − 1

Dhe nga barazimi (3) marrim :

𝑥1 − 𝑥0 = (𝑑𝑞 + 𝑟)𝑛′ = 𝑑𝑛′𝑞 + 𝑟𝑛′ = 𝑛𝑞 + 𝑟𝑛′ ≡ 𝑟𝑛′(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Domethënë 𝑥1 ≡ 𝑥0 + 𝑟𝑛

𝑑, 𝑘𝑢 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑑 − 1. 10

RRJEDHIMI 1:Nëse PMP(a,n)=1 atëher kongruenca lineare 𝑎𝑥 ≡ 𝑏( 𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka vetëm një

zgjidhje.

RRJEDHIMI 2: Kongruenca 𝑎𝑥 ≡ 𝑏( 𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka zgjidhje vetëm kur PMP(a,n)=1

10 Kostaq Hila,Jani Dine,Teoria e numrave,Universiteti “Eqrem Cabej”,Fakulteti i shkencave të natyrës departamenti i matmatikës-Tiranë,2002 faqe 133-134

Kongruencat

~ 12 ~

Kongruencat lineare të formës

𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒙𝒎 ≡ 𝒃(𝒎𝒐𝒅 𝒏)

POHIMI 1: Kongruenca 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑥𝑚 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

ka zgjidhje vetëm kur 𝑑 = (𝑎1, 𝑎2 … 𝑎𝑚, 𝑛) ∣ 𝑏.

Vërtetim: E zëmë se (𝑐1 … . 𝑐𝑚) është zgjidhje e barazimit.Nga relacioni

𝑎1𝑐1 + 𝑎2𝑐2 + ⋯ 𝑎𝑚𝑐𝑚 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Rrjedh që 𝑎1𝑐1 + 𝑎2𝑐2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑐𝑚 = 𝑏 + 𝑡𝑚, 𝑡 ∈ ℤ prej nga del që 𝑑|𝑏.

Anasjelltas e zëmë se 𝑑|𝑏 atëher 𝑑 = 𝑘1𝑎1 + 𝑘2𝑎2 + ⋯ + 𝑘𝑚𝑎𝑚 + 𝑘𝑛

Prej nga marrim:

𝑎1 (𝑘1

𝑏

𝑑) + 𝑎2 (𝑘2

𝑏

𝑑) + ⋯ + 𝑎𝑚 (𝑘𝑚

𝑏

𝑑) = 𝑏 − (𝑘

𝑏

𝑑) 𝑛

Domethënë:

𝑎1 (𝑘1

𝑏

𝑑) + 𝑎2 (𝑘2

𝑏

𝑑) + ⋯ + 𝑎𝑚 (𝑘𝑚

𝑏

𝑑) ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Teorema u vërtetua.

POHIMI 2 : Numri i zgjidhjeve të kongruencës

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑥𝑚 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Kur egziston (dmth 𝑑|𝑏) është 𝑑𝑛𝑚−1.

Detyra dhe zgjidhje

1).Shqyrto kongruencën lineare :18𝑥 ≡ 30(𝑚𝑜𝑑 42).

Meqë PMP (18,42)=6 nga pohimi i kongruencës ka 6 zgjidhje të cilat janë

kongruente mod. 42.Një zgjedhje është 𝑥 = 4 .Zgjedhjet tjera janë :

𝑥 ≡ 4 + (42

6) 𝑡 ≡ 4 + 7𝑡(𝑚𝑜𝑑 42), 𝑡 = 0,1,2,3,4,5

Pra 𝑥 ≡ 4,11,18,25,32,39(𝑚𝑜𝑑 42).

2).Të zgjidhet kongruenca lineare :51𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 38).

Zgjidhje: Meqë kemi 51 = 3 ∗ 17 𝑑ℎ𝑒 38 = 2 ∗ 19

Rrjedh që PMP(51,38)=1.Pra kongruenca ka vetëm një zgjidhje mod 38.Nga algoritmi i

Euklidit kemi:

Kongruencat

~ 13 ~

51 = 1 ∗ 38 + 13

38 = 2 ∗ 13 + 12

13 = 1 ∗ 21 + 1

Marrim 1 = 3 ∗ 51 − 4 ∗ 38 dhe si rrjedhim 2 = 6 ∗ 51 − 3 ∗ 38 që do të thotë se 51 ∗

6 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 38).Pra zgjidhja e vetme është 𝑥 = 6(𝑚𝑜𝑑 33).

3).Të zgjidhet barazimi: 2𝑥1 + 5𝑥2 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 6).

Zgjidhje:Meqë 𝑃𝑀𝑃(2,5,6) = 1; 𝑑 = 1; 𝑛 = 6; 𝑚 = 2; barazimi ka 6 zgjidhje sepse

𝑑𝑛𝑚−1 = 62−1 = 6 Meqë 𝑃𝑀𝑃(2,6) = 2 duhet të kemi :

5𝑥2 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 2)

Kjo kongruencë ka zgjidhje 1(𝑚𝑜𝑑 2) dhe si rrjedhim 3 zgjidhje mod6

𝑥2 ≡ 1,3,5(𝑚𝑜𝑑 6).

Duke kombinuar këto zgjidhje me kongruencat fillestare marrim kongruencat:

Për 𝑥2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 6) kemi 2𝑥1 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 6) ⟹ 𝑥1 ≡ 2; 5(𝑚𝑜𝑑 6)

Për 𝑥2 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 6) 𝑘𝑒𝑚𝑖 2𝑥1 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 6) ⟹ 𝑥1 ≡ 0; 3(𝑚𝑜𝑑 6)

Për 𝑥2 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 6)𝑘𝑒𝑚𝑖 2𝑥1 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 6) ⟹ 𝑥1 ≡ 1; 4(𝑚𝑜𝑑 6)

Si rrjedhim zgjidhjet e barazimit janë:

(2 𝑚𝑜𝑑6; 1 𝑚𝑜𝑑6), (5 𝑚𝑜𝑑6; 1 𝑚𝑜𝑑6), (0 𝑚𝑜𝑑6; 3 𝑚𝑜𝑑6)

(3 𝑚𝑜𝑑6; 3 𝑚𝑜𝑑6), (1 𝑚𝑜𝑑6; 5 𝑚𝑜𝑑6), (4 𝑚𝑜𝑑6; 5 𝑚𝑜𝑑6)

4).Vërteto se sistemi {5𝑥 + 𝑦 = 3(𝑚𝑜𝑑 33)𝑥 + 2𝑦 = 1(𝑚𝑜𝑑 21)

nuk ka zgjidhje.

Zgjidhje: 𝑆𝐻𝑉𝑃(33,21) = 231.Prej barazimit të parë kongruent kemi :

𝑦 = 3 − 5𝑥 + 33𝑖(𝑚𝑜𝑑 231), 𝑖 = 0,1,2 … 6

Zëvendësojmë te kongruenca e dytë dhe kemi:

9𝑥 = 5 + 66𝑖(𝑚𝑜𝑑 21)

Që nuk është e mundshme pasi 5 + 66𝑖 ≢ 0(𝑚𝑜𝑑 3) për çdo 𝑖 ∈ ℕ.

Kongruencat

~ 14 ~

Sistemet e kongruencave lineare

Sistemi i formës {

𝑎1𝑥 ≡ 𝑏1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1)

𝑎2𝑥 ≡ 𝑏2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2)… … … … … … … … .

𝑎𝑘𝑥 ≡ 𝑏𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑘)

(1) paraqet sistem të kongruencave

lineare.Zgjidhje ose zgjidhje e përbashkët e sistemit (1) quhet numri i plotë 𝑥0 i cili

vërteton çdonjërën prej kongruencave lineare të sistemit.

Dy sisteme quhen kongruente ne qoftë se kanë të njejtë bashkësi zgjidhjesh.Kur

të paktën njëra nga kongruencat lineare të sistemit (1) nuk ka zgjidhje atëher edhe

sisemi (1) nuk ka zgjidhje. Por mund të ndodhë që një sistem të mos ketë zgjidhje edhe

në rastin kur secila nga kongruencat ka zgjidhje.P.sh.Nëse 𝑥 është një numër i plotë i

tillë që 𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 6) dhe 𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) atëher 𝑥 është njëkohësisht çift edhe

tek.Absurditet,dmth sistemi nuk ka zgjidhje edhepse çdonjëra nga kongruencate dhëna

ka zgjidhje të mundshme.

Problemi i gjetjes së një numri të plotë i cili na jep disa mbetje të caktuara kur

pjestohet nga numra të plotë të dhënë u has për her të parë te kinezët e vjetër kur

Sun-Tsu shtroi pyetjen:Gjeni cili numër lë mbetje 2,3,2 kur pjestohet me 3,5,7 pra i

përgjigjet sistemit:{

𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 3)𝑥 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 5)𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 7)

Teorema e njohur si “Teorema kineze e mbetjeve” i jep zgjidhje këti problem.

Teorema kineze e mbetjeve

TEOREMË: (Teorema kineze e mbetjeve) Nëse numrat natyrorë 𝑛1, 𝑛2. . 𝑛𝑘 janë të

thjeshtë midis veti domethënë 𝑃𝑀𝑃( 𝑛𝑖 , 𝑛𝑗) = 1, 𝑖 ≠ 𝑗 atëher sistemi i kongruencave:

{

𝑥 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1)

𝑥 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2)… … … … … … … .𝑥 ≡ 𝑎𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑘)

(2)

Ka një zgjidhje të vetme mod 𝑛1, 𝑛2. . 𝑛𝑘 .

Vërtetim: Le të jetë 𝑀 = 𝑛1, 𝑛2. . 𝑛𝑘.Shqyrtojmë numrat natyrorë të mëposhtëm:

Kongruencat

~ 15 ~

𝑀𝑖 =𝑀

𝑛1, 𝑖 = 1,2,3 … 𝑘

Për të cilat nga supozimi kemi që 𝑃𝑀𝑃(𝑀𝑖𝑛𝑖) = 1, 𝑖 = 1,2,3 … 𝑘.

Ka një zgjidhje të vetme .E zëmë 𝑀𝑖(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖) domethënë :

𝑀𝑖𝑀𝑖 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1) (1)

Shqyrtojmë numrin e plotë:

𝑥0 = ∑ 𝑀𝑖𝑀𝑖 𝑎𝑖

𝑘

𝑖=1

= 𝑀𝑖𝑀𝑖 𝑎𝑖 + ⋯ 𝑀𝑘𝑀𝑘

𝑎𝑘 (2)

Dhe do të tregojmë se është një zgjidhje e sistemit (2).

Vërtet për 𝑗 ≠ 𝑖, 𝑛𝑗 ∣ 𝑀𝑖 domethënë 𝑀𝑖 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑗) dhe si rredhim kemi :

𝑀𝑖𝑀𝑖 𝑎1 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑗)

Pra: 𝑥0 = 𝑥0 = ∑ 𝑀𝑖𝑀𝑖 𝑎𝑖

𝑘𝑖=1 = 𝑀𝑗𝑀𝑗

𝑎𝑗 ≡ 𝑎𝑗(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑗) domethënë 𝑥0 është zgjidhje e

secilës prej kongruencave të sistemit (2) që do të thotë se 𝑥0 është një zgjidhje e

sistemit (2).

E zëmë se 𝑥1 ≡ 𝑎𝑖(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖), 𝑖 = 1,2 … 𝑘

Atëher: 𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖) 𝑖 = 1,2 … 𝑘

Si rrjedhim kemi: 𝑛1 ∣ 𝑥1 − 𝑥0, 𝑖 = 1,2 … 𝑘

Dhe meqë: 𝑃𝑀𝑃(𝑛𝑖, 𝑛𝑗) = 1 për 𝑖 ≠ 𝑗 kemi:

𝑛1𝑛2 … 𝑛𝑘 ∣ 𝑥1 − 𝑥0

Prej nga marrim: 𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛1, 𝑛2 … 𝑛𝑘)

Anasjelltas: për çdo numër të plotë 𝑥 të tillë që:

𝑥 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛1, 𝑛2 … 𝑛𝑘)

Kemi 𝑥 ≡ 𝑥0.(𝑚𝑜𝑑 𝑛), 𝑖 = 1,2. . 𝑘 dhe meqenëse 𝑥0 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑘) marrim

𝑥 ≡ 𝑎𝑖(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖) dmth 𝑥 është zgjidhje e sistemit (2).

Pra zgjedhja e vetmë e sistemit (2) është:

𝑥 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛1, 𝑛2 … 𝑛𝑘)

Teorema u vërtetua.

Kongruencat

~ 16 ~

Zgjedhja e sistemeve kongruente lineare

TEOREMA 1: Sistemi i kongruencave lineare

{𝑥 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1)𝑥 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) (3)

Ka zgjidhje vetëm atëher kur 𝑑 ∣ 𝑎1 − 𝑎2 𝑘𝑢 𝑑 = (𝑛1, 𝑛2).Në qoftë se 𝑥0është një zgjidhje e

sistemit (3) atëher bashkësia e zgjidhjeve të sistemit (3) është klasa

𝑥 ≡ 𝑥0[𝑚𝑜𝑑(𝑛1, 𝑛2)].

Vërtetim: E zëmë se 𝑥0 është zgjidhja e sistemit (3).Atëher:

𝑥0 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1) ⟹ 𝑛1 ∣ 𝑥0 − 𝑎1 ⇒ 𝑑 ∣ 𝑥0 − 𝑎1

𝑥0 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) ⟹ 𝑛2 ∣ 𝑥0 − 𝑎2 ⇒ 𝑑 ∣ 𝑥0 − 𝑎 2

Nga këto rrjedh se 𝑑 ∣ 𝑎1 − 𝑎2.

Anasjelltas e zëmë se 𝑑 ∣ 𝑎1 − 𝑎2.Do të tregojmë se egziston një zgjidhje e

sistemit.Numrat e plotë që plotësojnë kongruencën janë të trajtës:

𝑎1 + 𝑛1𝑦 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) ose njelloj:

𝑛1𝑦 ≡ 𝑎2 − 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) (3)

Meqë 𝑑 ∣ 𝑎1 − 𝑎2 kongruenca lineare (3) ka zgjidhje dhe si rrjedhim egziston një

numër i plotë 𝑦0 që e plotëson.Pra numri i plotë 𝑥0 = 𝑎1 + 𝑛1𝑦0 është një zgjidhje e

sistemit .Le të jetë 𝑥0 një zgjidhje e sistemit.Në qoftë se 𝑥1 është një gjedhje tjetër e

sistemit atëherë:

𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛1) ⟹ 𝑛1 ∣ 𝑥1 − 𝑥0

𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) ⟹ 𝑛2 ∣ 𝑥1 − 𝑥0

Pra [𝑛1, 𝑛2]∣ 𝑥1 − 𝑥0 domethënë 𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 (𝑛1, 𝑛2)).

Teorema u vërtetua.

TEOREMA 2: Sistemi i kongruencave lineare (𝑘 ≥ 2).

{

𝑥 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1)

𝑥 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2)… … … … … … … . .𝑥 ≡ 𝑎𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑘)

(4)

Kongruencat

~ 17 ~

Ka zgjidhje vetëm atëher kur 𝑑 ∣ 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 . ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ {1 … 𝑘} ku 𝑖 ≠ 𝑗 𝑑ℎ𝑒 𝑑 = (𝑛𝑖, 𝑛𝑗).Në qoftë

se 𝑥0 është nje zgjidhje e sistemit (4) atëherë bashkësia e zgjidhjeve të sistemit (4) është

klasa 𝑥 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑[𝑛𝑖 … . 𝑛𝑘]).

Detyra dhe zgjidhje

1.Të zgjidhet sistemi:{𝑥 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 8)

𝑥 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 12)

Zgjidhje: Kemi 𝑃𝑀𝑃(8,12) = 4 𝑑ℎ𝑒 𝑆𝐻𝑉𝑃(8,12) = 24.Meqë 4 ∣ 7 − 3 egziston një

zgjidhje e sistemit.Zëvendësojme te kongruenca e dytë 𝑥 = 3 + 8𝑦 dhe marrim 3 + 8𝑦 ≡

7(𝑚𝑜𝑑 12) ose 8𝑦 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 12) e cila është kongruente me 2𝑦 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3).Kjo ka një

zgjidhje të vetme 𝑦 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 3).pra numri i plotë 𝑥0 = 3 + 8 ∗ 2 =

19.Pra 𝑥 ≡ 19(𝑚𝑜𝑑 24)

2.Të zgjidhet sistemi i kongruencave lineare:{𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 15)𝑥 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 18)

Zgjidhje: Kemi 𝑃𝑀𝑃(15,18) = 3 𝑑ℎ𝑒 𝑆𝐻𝑉𝑃(15,18) = 90. Pra sistemi ka zgjidhje të

vetme (mod 90).Mjafton të përcaktojmë tani një zgjidhje të tij që të marrim të gjithë

bashkësinë e zgjidhjeve.

Zëvendësojmë te kongruenca e dytë 𝑥 = 1 + 15𝑦 dhe marrim 1 + 15𝑦 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 18). Si

rrjedhim 15𝑦 ≡ 6(𝑚𝑜𝑑 18) prej nga kemi 5𝑦 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 6) dhe zgjidhja e vetme e

sistemit do të jetë : 𝑥 = 1 + 15 ∗ 4 ≡ 61(𝑚𝑜𝑑 90)

3.Të zgjidhet sistemi:{

𝑥 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 18) 𝑥 ≡ 10(𝑚𝑜𝑑 15)𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 14)

.

Zgjidhje: Kemi 𝑑1 = 𝑃𝑀𝑃(18,15) = 3; 𝑑2 = 𝑃𝑀𝑃(18,24) = 2; 𝑑3 = 1𝑃𝑀𝑃(15,14) =.

Meqë 𝑑1 ∣ 7 − 10; 𝑑2 ∣ 7 − 1; 𝑑3 ∣ 10 − 1 sistemi ka zgjidhje të vetme 𝑚𝑜𝑑630

Ku 630 = [18,15,14] të cilën e gjejmë si më poshtë:

Marrim sistemin e kongruencave të para :

(i) {𝑥 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 18)

𝑥 ≡ 10(𝑚𝑜𝑑 15) dhe gjejmë zgjidhjet e këti sistemi 𝑚𝑜𝑑90 ku 90 = [18,15] e cila

është 𝑥 ≡ 25(𝑚𝑜𝑑 90).Në vazhdim marrim sistemin {𝑥 ≡ 25(𝑚𝑜𝑑 90)

𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 14) dhe gjejmë së

𝑥 ≡ 295(𝑚𝑜𝑑 630) eshtë zgjidhja e vetme ku 630 = [90,14] = [18,15,14].

Kongruencat

~ 18 ~

Zgjidhje e sistemit është 𝑥 ≡ 295(𝑚𝑜𝑑 630)11

Përfundim

Matematika si lëndë elemantare na përcjell që nga shkolla fillore dhe me kalimin

e kohes kemi krijuar njëfar lidhje,kështu që mënyra më e mirë për ta hulumtuar më tej

është studimi i teorisë së numrave.Problemet që i parashtron teoria e numrave në të

shumtën e rasteve jane të vështira por megjithatë ka disa arsye përse ta studijojmë këtë

degë të matematikës si historia e gjatë dhe interesante e saj si dhe problemet të cilat i

kanë inspiruar matematikanët.

Qëllimi i këti punimi është dhënia e njohurive themelore mbi kongruencat

të cilat mund të lexohen dhe të kuptohen sa më lehtë nga lexuesi pa ndonjë ndihmë

shtesë.

11 Kostaq Hila,Jani Dine,Teoria e numrave,Universiteti “Eqrem Cabej”,Fakulteti i shkencave të natyrës departamenti i matmatikës-Tiranë,2002 faqe 140-141-143-144-147

Kongruencat

~ 19 ~

Literatura e përdorur

Kostaq Hila, Jani Dine, Teoria e numrave, Universiteti “Eqrem Cabej”, Fakulteti i

shkencave të natyrës departamenti i matmatikës, Tiranë, 2002

Alexander Schmitt, Skript zur Vorlesung “Algebra und Zahlentheorie”, Berlin,

Wintersemester 2011/2012 James J.Tattersall, Elementary number theory in nine capters, Cambrige

University Press, 1999 Jiri Herman, Radan Kucera ,jaromir Simsa, Equations and inequalities in Algebra

and Number Theory, Department of Methematics and Statistics, Halifax. Canada Gareth Jones and Mary Jones, Elementary numbertheory, Springer,London 2005 Interneti

http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlentheorie#Historische_Entwicklung

http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)

http://armendshabani.dmon.com/UBT/Discrete1/Teoriaenumrave.pdf