2013-Pumping Nylon the-Classical Guitarist's Technical Handbook
Pumping
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Lema del BombeoPrefijos
Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Lenguajes No RegularesProblemas que los Autómatas No Resuelven.
Universidad de Cantabria
Autómatas Finitos
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Lema del BombeoPrefijos
Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Esquema
1 Lema del Bombeo
2 Prefijos
3 Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Autómatas Finitos
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Lema del BombeoPrefijos
Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Introducción
Todos los lenguajes no son regulares, simplemente hay quetener en cuenta que los lenguajes regulares son definidos poruna expresión, cuando la intuición nos dice que se puedendefinir lenguajes de una forma más compleja.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Lenguajes que no son Regulares
No hay ningún método que nos permita decidir si un lenguajees regular o no, ya que depende de la descripción del lenguaje.Aunque si que tenemos diferentes herramientas que permitenprobar que lenguajes específicos no son regulares.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Lenguajes que no son Regulares
Recordad que, usando las propiedades de las expresionesregulares, toda expresión regular se puede poner en formadisyuntiva normal y esto nos da una idea de como se puedegenerar palabras a partir de unas conocidas.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Lenguajes que no son Regulares
Recordad que en las expresiones regulares que generanlenguajes con infinitas palabras incluyen el operador estrella.Por lo que si tenemos una palabra, hay formas de generarinfinitas nuevas.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Lenguajes que no son Regulares
Teorema (Pumping Lemma)
Sea L un lenguaje regular. Entonces, existe un número enteropositivo p ∈ N tal que para cada palabra ω ∈ L, con |ω| ≥ pexisten x , y , z ∈ Σ∗ verificando los siguientes propiedades:
y 6= λ,ω = xyzPara todo ` ∈ N, las palabras xy `z ∈ L
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Lenguajes que no son Regulares
Teorema (Stronger Pumping Lemma)
Sea L un lenguaje regular. Entonces, existe un número enteropositivo p ∈ N tal que para cada palabra ω ∈ L, con |ω| ≥ p ycualesquiera x , y , z ∈ Σ∗ verificando los siguientespropiedades:
|y | ≥ p,ω = xyz.
Se puede dividir y en u, v ,w ∈ Σ∗ verificando las siguientespropiedades:
v 6= λ,y = uvwPara todo ` ∈ N, las palabras xuv `wz ∈ L
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Lenguajes que no son Regulares
Probar que el siguiente lenguaje no es regular
L = {0n1n|n ∈ N}.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Idea del Método
Asumir que es un lenguaje aceptado por un autómata.Tomar una palabra suficientemente larga α.Dividirla en tres partes x , y , z.Demostrar que cualquier división de la palabra y en trespartes no se puede bombear la parte del medio.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Prefijos
Definición (Prefijos)Sea Σ un alfabeto finito y sea L ⊆ Σ∗ un lenguaje cualquiera.Definimos la siguiente relación de equivalencia sobre Σ∗:dados x , y ∈ Σ∗, x ∼L y si y solamente si:
∀w ∈ Σ∗, xw ∈ L⇔ yw ∈ L.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Myhill–Nerode
Teorema (Myhill–Nerode)Si L ⊆ Σ∗ es un lenguaje aceptado por un autómata, entoncesexisten x1, . . . , xs ∈ Σ∗ tal que cualquier otra palabra ω ∈ Σ∗ esequivalente a alguna de las otras. El recíproco también escierto.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Idea del Teorema
Estas palabras representaran los estados de un autómata muyespecial que acepta el lenguaje. Las transiciones las definirácon que palabras sean equivalentes ax1, . . . ,axs para cadaa ∈ Σ.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
El Palíndromo
Los autómatas podrían haber sido buenos candidatos aprocesos algorítmicos y uno estaría tentado a definir losproblemas decisionales resolubles por un algoritmo comoaquellos problemas que son funciones características de unlenguaje regular.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
El Palíndromo
Un sencillo problema decisional el Palíndromo o, en buencatalán, el problema de la detección de los “cap–i–cua”, noserá un lenguaje regular, como consecuencia del resultado deMyhill y Nerode anterior.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
El Palíndromo
Dado un alfabeto finito Σ, y una palabra ω = x1 · · · xn ∈ Σ∗,denominamos el reverso de ω, ωR a la palabra: ωR = xn · · · x1.El lenguaje del Palíndromo es dado por
P := {x ∈ Σ∗ : xR = x}.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Imposibilidad de Regularidad
Dada cualquier palabra ω ∈ Σ∗ se tiene que ωωR ∈ P.Claramente, pues
(ωωR)R = (ωR)RωR = ωωR
Supongamos, entonces que P fuera un lenguaje regular y seaS un conjunto finito tal que Σ∗/ ∼P= {[y ] : y ∈ S}.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Imposibilidad de Regularidad
Sea m := max{| y | : y ∈ S}+ 1, que existe por ser S unconjunto finito. Consideremos la palabra x = 0[m]1 donde 0[m]
representa una lista de m 0’s y los símbolos {0,1} se suponendentro del alfabeto Σ. Ha de existir y = y1 · · · yr ∈ S tal quepara todo ω ∈ Σ∗
xω ∈ P ⇔ yω ∈ P
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Imposibilidad de Regularidad
Ahora bien, tomando x = 0[m]1, xxR ∈ P, luego yxR ∈ P. Peroesto implica
yxR = (yxR)R = xyR
Reescribamos esta identidad:
yxR = y1 · · · yr 10[m] = 0[m]1yr · · · y1 = xyR
Deducimos (dado que r ≤ m que y1 = · · · = yr = 0) quem + 1 = r + 1, ya que la palabra solo tiene un 1.Esto es una contradicción.
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Un Ejemplo Clave: El Palíndromo
Otros ejemplos
Ejemplo
Los siguientes son también ejemplos de lenguajes noregulares:
Σ = {0,1} y el lenguaje L dado por la condición el númerode 1’s es mayor que el número de 0’s.Para el mismo alfabeto el lenguaje:
L := {0[m]1[m] : m ∈ N}
Para el alfabeto Σ = {0,1, . . . ,9} sea π ⊆ Σ∗ el lenguajeformado por las palabras que son prefijos de la expansióndecimal de π ∈ R, es decir:
L := {3,31,314,3141,31415, . . .}Autómatas Finitos