Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen...
Transcript of Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen...
![Page 1: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/1.jpg)
Nauka otwiera drzwi Psychologia poznawcza wobec matematyki
Edward Nęcka Instytut Psychologii UJ
![Page 2: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/2.jpg)
Psychologia poznawcza Jak działa umysł?
Jako całość Jako wyspecjalizowane moduły (pamięć, uwaga)
Naturalne ograniczenia umysłu
(De)koncentracja uwagi Pojemność pamięci operacyjnej) roboczej Ograniczona racjonalność
Umysł a codzienne czynności poznawcze
Czytanie, pisanie, mówienie, słuchanie Planowanie Decydowanie Liczenie
![Page 3: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/3.jpg)
Skąd umysł? Ewolucyjne pochodzenie umysłu
Nie rozwinął się do uprawiania matematyki (filozofii itd.) Ale rozwinął się do „użytecznych” czynności, takich jak
Kategoryzowanie Liczenie …
Gdy już się rozwinął, okazał się niezwykle sprawny w czynnościach wymagających abstrakcji Dlaczego? Maszyna ogólnego zastosowania czy wyspecjalizowane moduły?
Umysły „innych zwierząt” Umysły dzieci
![Page 4: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/4.jpg)
Protomatematyka
„Jako istoty ludzkie rodzimy się wyposażeni w liczne intuicje dotyczące liczb, zbiorów, wielkości ciągłych, iteracji, logiki czy też geometrii przestrzeni”. „Ponieważ ludzki genom rozwinął się w trakcie milionów lat ewolucji, prawdopodobnie dzielimy te wrodzone zdolności protomatematyczne z innymi gatunkami zwierzęcymi”.
Stanislas Dehaene (1997)
![Page 5: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/5.jpg)
Czy zwierzęta liczą?
Samotna lwica słyszy (nagrany) ryk trzech innych lwic
1:3
Ta sama lwica w towarzystwie trzech sióstr słyszy ten sam nagrany ryk trzech lwic
4:3
![Page 6: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/6.jpg)
Czy zwierzęta liczą?
Samotna lwica słyszy (nagrany) ryk trzech innych lwic
1:3 Wycofuje się
Ta sama lwica w towarzystwie trzech sióstr słyszy ten sam nagrany ryk trzech lwic
4:3 Eksploruje
![Page 7: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/7.jpg)
Szybkie szacowanie (subitizing)
Kiedy drapieżny ptak atakuje stado mniejszych ptaków?
![Page 8: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/8.jpg)
Szybkie szacowanie (subitizing) Kiedy drapieżny ptak atakuje stado mniejszych ptaków? n ≈ 4 Ludzie też szybko szacują (bez liczenia) wartości w przedziale
1 ≤ n ≤ 4 Dlaczego?
Jeden wiadomo Dwa tworzą odcinek Trzy tworzą odcinek lub trójkąt Cztery tworzą odcinek, trójkąt lub czworokąt
![Page 9: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/9.jpg)
Szybkie szacowanie u dzieci
Lalki wchodzą za parawan 1 lub 2
Parawan się unosi: Lalek jest tyle, ile powinno Lalek jest o jedną więcej lub mniej
Obserwujemy czas koncentracji wzroku Dzieci dłużej wpatrują się w coś, co nie ma prawa się zdarzyć
Niewłaściwa liczba lalek po odsłonięciu parawanu
(Wynn, 1992)
![Page 10: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/10.jpg)
Gdzie jest więcej kamieni?
![Page 11: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/11.jpg)
Gdzie jest więcej kamieni?
SZYBKIE SZACOWANIE WARTOŚCI ZNACZNIE PRZEKRACZAJĄCYCH 4
![Page 12: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/12.jpg)
Porównywanie zbiorów przez gołębie Gołębie uczono dziobać większy zbiór kropek (dostawały wtedy pokarm) Porównania parami 1:2, 2:3, 3:4, 4:5, 5:6, 6:7, 7:8 Kontrolowano poziom jasności bodźców
![Page 13: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/13.jpg)
Szacowanie powyżej poziomu przypadku aż do 6:7
![Page 14: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/14.jpg)
Pierwotne intuicje matematyczne
Poczucie liczby Poczucie relacji
Proporcja Większy/mniejszy
Ucieleśnienie (embodiment)
Ciało jako wehikuł poznania abstrakcyjnego
![Page 15: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/15.jpg)
Przykłady ucieleśnienia poznania matematycznego
Przestrzenne kodowanie wielkości (SNARC) Małe: lewa strona (lub dół) Duże: prawa strona (lub góra)
Przestrzenne kodowanie czasu (STARC)
Wcześniej lub krótkie: lewa strona lub tył Później lub długie: prawa strona lub przód
![Page 16: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/16.jpg)
(Cipora et al., 2015)
SNARC
Operacje na liczbach – np. czy jest parzysta – zbiór 1-4 versus 6-9
Operacje na zbiorach • np. który jest większy • Liczba Webera
![Page 17: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/17.jpg)
Czym jest matematyka?
Matematyka to umiejętność (sztuka) liczenia? Liczą już zwierzęta (subitizing) Zawodowi matematycy nie zawsze dobrze liczą!
Matematyka to uniwersalny język Abstrakcja
Symbole Zbiory
Reguły Heurystyki (np. operowanie analogią) Operowanie przestrzenią
![Page 18: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/18.jpg)
Matematyka to ABSTRAKCJA
![Page 19: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/19.jpg)
Matematyk, który umie tylko uogólniać, jest jak małpa, która potrafi tylko wspinać się w górę
George Polya
TWORZENIE ZBIORÓW ABSTRAHOWANIE vs USZCZEGÓŁOWIANIE
![Page 20: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/20.jpg)
Kategorie konkretne a kategorie abstrakcyjne
Czerwone jabłko Jabłko owoc coś żywego Coś czerwonego Z innej beczki: punkt, linia, płaszczyzna prostokąt, kula, sfera dziedzina funkcji
![Page 21: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/21.jpg)
Typowe błędy
Błąd inkluzji zbiorów Podzbiory są traktowane jak zbiory odrębne
„Moglibyśmy mieszkać jak ludzie” „Bądź człowiekiem”
Błąd rzekomej tożsamości zbiorów
Relacja zbiór-podzbiór jest traktowana jak relacja tożsamości
Wszystkie psy mają cztery łapy Mam cztery łapy (myśli kot) Więc jestem psem!
![Page 22: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/22.jpg)
Inkluzja klas
B B B B B C C C Czy więcej jest: Krów białych czy krów czarnych? Krów białych czy krów? Białych krów, które się pasą, czy krów, które się
pasą?
Jean Piaget
![Page 23: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/23.jpg)
Zachowanie stałości Stałość liczby (6-7) Stałość długości (6-7)
Stałość objętości (7-8) Stałość masy (8-9)
![Page 24: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/24.jpg)
Wniosek
Umysł ludzki nie najlepiej radzi sobie z abstrakcją Do 6-7 roku życia mamy problem z elementarną logiką Miedzy 7 a 12 rokiem życia mamy problem z abstrahowaniem Trudności w abstrakcyjnym myśleniu występują u większości ludzi przez całe życie
Jak to pogodzić z koniecznością
Uprawiania matematyki? Nauczania matematyki?
ABSTRAHOWANIE vs USZCZEGÓŁOWIANIE
![Page 25: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/25.jpg)
Matematyka to REGUŁY
![Page 26: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/26.jpg)
Reguły logiczne (potrzebne w dowodzeniu twierdzeń)
Jeśli p to q p więc q Jeśli p to q nieprawda, że q więc nieprawda, że p
![Page 27: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/27.jpg)
Jak to jest w nauce?
Jeśli TEORIA to FAKT TEORIA Więc FAKT (bez sensu, tego nie
potrzebujemy) Jeśli TEORIA to FAKT FAKT Więc TEORIA (bez sensu, to rozumowanie jest
błędne)
![Page 28: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/28.jpg)
Weryfikacja hipotez naukowych
Jeśli TEORIA to FAKT Nie FAKT Więc NIE TEORIA (falsyfikacja, wiedza
negatywna)
![Page 29: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/29.jpg)
Jak uzyskać wiedzę pozytywną?
Jeśli TEORIA to FAKT Jeśli NIE TEORIA, to FAKT ALTERNATYWNY NIE TEORIA = hipoteza zerowa Nieprawda, że FAKT ALTERNATYWNY Nieprawda, że NIE TEORIA (Odrzucamy hipotezę zerową jako mało
prawdopodobną, p<0,05) Więc TEORIA (dowód nie wprost)
![Page 30: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/30.jpg)
Weryfikacja hipotez poza nauką
Jeśli kocha, to nie zapomni o rocznicy Nie zapomniał(a) Więc kocha
BŁĄD W ROZUMOWANIU!
Jeśli kocha to nie zapomni o rocznicy Zapomniał(a) Więc nie kocha
ROZUMOWANIE POPRAWNE!
![Page 31: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/31.jpg)
Błędy w rozumowaniu
• Skąd wynikają?
• Brak kompetencji • Tendencyjność • Wpływ treści i kontekstu
![Page 32: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/32.jpg)
Tendencyjność w rozumowaniu
Systematyczne błędy
Uniwersalne Typowe dla wiekszości ludzi Pojawiają się w charakterystycznych momentach
procesu myślenia
![Page 33: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/33.jpg)
Przykłady tendencyjności
Efekt konwersji przesłanek • Wszystkie A są B • Więc wszystkie B są A
• Wszystkie psy są kudłate • Wszystkie kudłacze są
psami?
Efekt atmosfery • Wszystkie A są B • Wszystkie C są B • Więc wszystkie A są C
• Wszystkie wróble są
ptakami • Wszystkie sikorki są ptakami
• Więc wszystkie wróble są
sikorkami
![Page 34: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/34.jpg)
Dlaczego tak łatwo się pomylić?
• Wszyscy uczeni są dobrze wykształceni • Wszyscy eksperci są dobrze wykształceni • Więc wszyscy uczeni są ekspertami
• Wniosek prawdziwy „sam w sobie” sprawia wrażenie, jak gdyby był poprawny logicznie
![Page 35: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/35.jpg)
Wason: zadanie selekcyjne
![Page 36: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/36.jpg)
Typowe wyniki badań
Jeśli G, to liczba nieparzysta G 89% (dobrze) 9 62% (źle) 6 25% (dobrze) A 16% (źle) Jeśli H0, to wynik X. Stwierdzam nie X. Zatem nie
H0
![Page 37: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/37.jpg)
Wersja realistyczna
Wyobraź sobie, że jesteś policjantem na służbie. Twoja praca polega na kontroli respektowania obowiązujących norm. Karty leżące przed tobą zawierają informacje o czterech osobach siedzących przy stole. Na jednej stronie karty podany jest wiek osoby, a na drugiej stronie – co dana osoba pije. Obowiązuje następująca reguła: Jeżeli ktoś pije piwo, to musi mieć ukończone 18 lat. Wskaż kartę albo karty, które koniecznie musisz odwrócić, aby ustalić, czy reguła została naruszona.
![Page 38: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/38.jpg)
Wyniki w wersji realistycznej
73% podaje poprawne odpowiedzi Nikt nie podał poprawnego rozwiązania w wersji
abstrakcyjnej Efekt materiału tematycznego
![Page 39: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/39.jpg)
Wniosek
Ludzie mają poważne problemy z regułami logicznymi Problemy te maleją, gdy materiał jest konkretny Problemy te mogą zniknąć, gdy zaangażowany jest interes osobisty
Będziesz mógł pograć, jak posprzątasz pokój
![Page 40: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/40.jpg)
Matematyka to HEURYSTYKI
![Page 41: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/41.jpg)
Matematykiem jest, kto umie znajdować analogie między twierdzeniami, lepszym - kto widzi analogie między dowodami, jeszcze lepszym - kto dostrzega analogie miedzy teoriami, a można wyobrazić sobie i takiego, co widzi analogie między analogiami
Stefan Banach
![Page 42: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/42.jpg)
Dlaczego nie można dzielić przez zero?
Bo nie! (taka jest zasada) Nawet kalkulator tego nie potrafi Właściwie nie wiadomo
(Tym bardziej, że można mnożyć przez zero)
![Page 43: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/43.jpg)
Dwa modele umysłowe dzielenia
Sprawiedliwy podział Jak podzielić osiem jabłek na cztery osoby? Jak podzielić osiem jabłek na zero osób?
Nie wiadomo Problem pozostaje umysłowo nieuchwytny
Wypełnianie dużej rzeczy małymi rzeczami Ile jabłek można włożyć do wydrążonej dyni? Ile niczego można włożyć do wydrążonej dyni?
Nieskończenie wiele, albo ile chcesz Od razu widać nonsens
(Sarina & Namukasa, 2010)
![Page 44: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/44.jpg)
Użyteczne analogie
Równanie jest jak dwie szalki wagi 53 = 5 × 5 × 5 53 ≠ 35
![Page 45: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/45.jpg)
Matematyka to OPEROWANIE PRZESTRZENIĄ
![Page 46: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/46.jpg)
Badania: rotacje mentalne
![Page 47: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/47.jpg)
analiza sensoryczna
a
s
o
c
j
a
c
j
e
imagen kot
imagen pies
imageny bez nazwy
logogen kot
logogen pies
logogeny słów abstrakcyjnych
kot i pies? logogen zwierzę
relacja referencyjna
Relacja referencyjna
a
s
o
c
j
a
c
j
e
wyjście systemu obrazowego wyjście systemu
werbalnego
![Page 48: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/48.jpg)
a
b
PROBLEM RÓWNOLEGŁOBOKU
![Page 49: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/49.jpg)
a
b
![Page 50: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/50.jpg)
a
b
Pole = Podstawa × Wysokość Podstawa = ? Wysokość = ?
![Page 51: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/51.jpg)
a
b
Pole = Podstawa × Wysokość Podstawa = b-a Wysokość = a P = (b-a)×a = a×b – a2
Suma pól = a2 + a×b – a2 = a×b
![Page 52: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/52.jpg)
a
b Suma pól = Pole dwóch trójkątów
![Page 53: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/53.jpg)
a
b
![Page 54: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/54.jpg)
Pytania
Który sposób lepiej uczy matematyki? Który sposób lepiej rozwija umysł?
![Page 55: Psychologia poznawcza wobec matematyki...analiza sensoryczna a s o c j a c j e imagen kot imagen pies imageny bez nazwy logoge n kot logoge n pies logogeny słów abstrakcyjnych kot](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051811/602101a2d128f44817718327/html5/thumbnails/55.jpg)
Wnioski ogólne
Wiedza o umyśle może pomóc w zrozumieniu Jak ludzie uprawiają matematykę Jak się jej uczą Dlaczego czasami mają z tym problem
Umysł nie rozwinął się jako „maszyna ogólnego zastosowania”, lecz jako zbiór modułów Przy tym jest wyposażony w zdolności i intuicje protomatematyczne Wykorzystujmy je w dydaktyce matematyki!