PSI Les Ulis Cours REVISIONS MECANIQUE PCSI...

PSI Les Ulis Cours REVISIONS MECANIQUE PCSI (CI3-CI4-CI5)

Sciences Industrielles de l’Ingénieur - -

Synthèse de la mécanique vue en sup (A maîtriser parfaitement, c’est le minimum vital requis)

Objectifs :

• Restructurer les connaissances de première année en mécanique, • Dégager les différentes approches de résolution d’un problème, • Etre apte à résoudre tout exercice de cinématique ou statique

Recommandations : Ce document ne peut se substituer au cours de première année. Par sa concision, il met simplement en évidence les points clefs qu’il s’agira d’aller rechercher et travailler dans votre cours de première année, si vous en sentez le besoin. I Modélisation mécanique d’un système .............................................................................. 2 II La cinématique ................................................................................................................... 5

II.1 Les relations cinématiques ......................................................................................... 5 II.2 Les relations de fermeture .......................................................................................... 6 II.3 Les mouvements plans, la cinématique graphique ..................................................... 7

III La statique ...................................................................................................................... 9 III.1 Notion d’isolement ..................................................................................................... 9 III.2 La modélisation des actions mécaniques (AMs) ........................................................ 9

III.2.1 Modélisation locale-globale des AMs ................................................................ 9 III.2.2 Modèle de coulomb .......................................................................................... 10 III.2.3 Torseur des actions mécaniques : cas des liaisons parfaites ............................ 10

III.3 Principe fondamental de la statique ......................................................................... 10 III.4 Principe des actions réciproques .............................................................................. 10 III.5 Méthodologie de résolution d’un problème de statique (conseils) .......................... 11 III.6 Les problèmes statiquement plans, la statique graphique ........................................ 12

III.6.1 Système soumis à l’action de 2 glisseurs (forces) ............................................ 12 III.6.2 Système soumis à l’action de 3 glisseurs (forces) ............................................ 12

III.6.2.a Les forces ne sont pas parallèles .............................................................. 13 III.6.2.b Deux forces sont parallèles ...................................................................... 13 III.6.2.c Bilan ......................................................................................................... 14

IV Rappels sur les torseurs ................................................................................................ 15 IV.1 Définition d’un torseur ............................................................................................. 15 IV.2 Opération sur les torseurs ......................................................................................... 15

IV.2.1 Addition ............................................................................................................ 15 IV.2.2 Multiplication par un scalaire ........................................................................... 15 IV.2.3 Comoment de deux torseurs ............................................................................. 16 IV.2.4 Automoment d’un torseur ................................................................................ 16

IV.3 Axe central d’un torseur ........................................................................................... 16 IV.4 Torseurs particuliers ................................................................................................. 16

IV.4.1 Torseur couple .................................................................................................. 16 IV.4.2 Torseur glisseur ................................................................................................ 16 IV.4.3 Décomposition d’un torseur ............................................................................. 17

V Tableau des liaisons normalisées ..................................................................................... 18



I MODELISATION MECANIQUE D’UN SYSTEME Système(s) de référence Afin d’étudier le mouvement d’un système de solides, il est nécessaire de mettre en place un (ou des) système(s) de référence (encore appelé « référentiel(s) »). Il représente en quelque sorte la position d’observation des phénomènes. Il est composé d’une description de l’espace et d’une description du temps (associée au choix d’une origine des temps). La description de l’espace est réalisée par la mise en place de repères.

Un repère ( )0R O,x,y,zr r r

est composé de:

• une base généralement orthonormée directe : ( ), ,x y zr ur r

• un point origine : O

Dans nos applications, la description des temps est unique pour un problème donné (même origine quelque soit le référentiel). Ainsi, un changement de système de référence sera associé à un changement de repère Solide : (= solide indéformable en prépa) En classes préparatoires, les systèmes sont composés de solides réputés indéformables. Un solide S est dit indéformable si quelque soit le couple de points (A,B) appartenant à S, la distance AB reste constante au cours du temps.

( ) ( ), , distance AB =constanteA B S∀ ∈

Paramétrage d’un solide : A chaque solide S, on peut associer un repère (R2) qui lui est attaché tel que tout point de S soit fixe dans R2 au cours du temps. Paramétrer la position de S par rapport à R1 revient à paramétrer la position du repère R2 (lié à S) par rapport au repère R1. Pour cela, il faut définir 6 paramètres indépendants :

• 3 paramètres de position : vecteur 1 2O Ouuuuur

(3 paramètres

dimensionnels) • 3 paramètres d’orientation de la base liée à R2 par rapport à la base liée à R1. (3

paramètres angulaires)

+A

+B

Solide S

Solide S

y1

x1

z1

o1

o2

y2

x2

z2y1

x1

z1



Les angles d’Euler représentent une possibilité (à connaître) pour définir l’orientation d’un solide dans l’espace à l’aide de 3 paramètres angulaires. Les 3 rotations s’effectuent autour de 3 vecteurs indépendants. Le choix des vecteurs de rotation effectué dans Euler est le suivant :

• La première rotation s’effectue autour de 1zur

• la dernière rotation s’effectue autour de 2zuur

.

• La rotation intermédiaire s’effectue autour d’un vecteur

perpendiculaire à 1zur

et à 2zuur

.

1 2

1 2

z zn

z z

∧=∧

ur uurr

ur uur

ψ angle de précession ; θ angle de nutation ; ϕ angle de rotation propre

Vecteur taux de rotation de R2/R1 : 2 1/ 1 2R R z n zφ θ ϕΩ = + +

uuuuuur ur r uur& & &

Graphe de structure : Un graphe de structure ou graphe des liaisons est une vue épurée du système

• Les solides (ou ensembles de solides cinématiquement équivalents) sont représentés dans des ellipses.

• Les arcs représentent les liaisons entre solides.

• Les efforts extérieurs au système peuvent être ajoutés en vue d’une étude de statique.

La caractérisation géométrique des liaisons entre solides est primordiale. Dans le cadre du paramétrage des mouvements relatifs entre solides, donc du paramétrage des différents repères, les éléments géométriques de référence associés aux liaisons permettent de mettre en place les paramètres juste nécessaires au passage d’un solide à un autre. Exemple : liaison pivot

Elément géométrique de référence : l’axe )x(O,

En disposant les repères associés aux deux solides avec une direction x commune, un seul paramètre angulaire est nécessaire pour effectuer le changement de base (de repère).

Schéma cinématique et paramétrage : Le schéma cinématique donne une représentation plus descriptive et complète du fonctionnement du mécanisme. Cette représentation peut être spatiale ou plane, elle doit respecter les caractéristiques géométriques du mécanisme (parallélisme, orthogonalité, coaxialité...) (cf exemple page suivante).

x1

n

y1v

z1ψ

v

j

z1z2

nθ

n

x2

jy2

z2ϕ

x1 y1 z1

n v z1

n j z2

x2 y2 z2

ψ

θ

ϕ

Solide 1

Solide2

Solide 3

Solide 4

Pivot )x(O,



Dans ce schéma : • les liaisons entre les pièces sont représentées par les symboles normalisés (plans ou

spatiaux) des liaisons. Leur orientation et leur position sont respectées. • les pièces (classes d'équivalence) sont représentées par un trait ;

Exemple : borne réglable

1 3

46

L1/3

L3/4

L4/6

L1/6L1/4

L1/3 : Pivot glissant d’axe ( y ,A r

) L1/4 : Glissière de direction (x

r)

L3/4 : Appui plan de normale (nr

) L4/6 : Hélicoïdale ( x ,A

r)

L1/6 : Appui plan de normale (xr

)

3 14 6

A

x

y

Paramétrage

• Faire apparaître sur le schéma cinématique les caractéristiques géométriques des liaisons (exemple : 1 liaison pivot impose un axe (direction + position d’un point de l’axe)

• Mettre en place les paramètres cinématiques associées aux liaisons. Remarque, dans le cas d’une étude plane ne faire intervenir que les paramètres plans.

• Indiquer juste le paramétrage strictement nécessaire à l’étude envisagée. Les changements de base : Les figures de changement de base sont fondamentales. Elles doivent être utilisées obligatoirement pour réaliser les calculs. Ainsi, évite-on toute discussion sur le signe des angles et donc des erreurs dans les résultats finaux. Quelques conseils :

• Les figures de changement de base ont toujours la même forme, quel que soit l’angle réel entre les deux bases, qu’il soit positif ou négatif.

• L’orientation des bases est directe et il est fortement recommandé de travailler avec un vecteur hors plan pointant vers l’extérieur de la feuille.

• L’angle représenté est de l’ordre de 20° afin d’avoir une lecture immédiate des produits scalaires et vectoriels.

• Lorsque plusieurs rotations s’effectuent autour d’un vecteur commun (exemple, liaisons pivot d’axes parallèles), les figures de changement de bases sont superposées.

x1

x2

y1y2

z =1 z2

θ



II LA CINEMATIQUE II.1 Les relations cinématiques

La détermination des vitesses et accélérations en un point d’un solide par rapport à un référentiel peut s’effectuer en utilisant :

• les relations de cinématique du point • les propriétés et les relations cinématiques associées aux solides rigides

Les relations de cinématique du point

Considérons le référentiel ( )0R O,x,y,zr r r

Un vecteur position du point géométrique M

par rapport à R: OMuuuur

Vecteur vitesse du point géométrique M par

rapport à R0: 0

0

/M R

R

dOMV

dt

=

uuuuruuuuur

Vecteur accélération du point géométrique M par rapport à R:

0

0 0

0

/

/ /

M R

M R M R

R

dVa

dt

Γ = =

uuuuuruuuuuur uuuuur

La dérivation d’un vecteur nécessite l’utilisation de la relation de changement de base dans la dérivation :

1 0

0 1

/

( ) ( )( ) ( )R R

R R

du t du tt u t

dt dt

= + Ω ∧

r ruuuuuur r

L’utilisation de cette dernière relation conduit à des résultats les plus concis possible. Sauf indication contraire, les résultats doivent être laissés sous cette forme, sans projection dans une base.

Les relations de cinématique des solides Le torseur cinématique caractérise la cinématique du mouvement d’un solide S2 par rapport à un solide S1.

Ω

=12

12

12

/,

//

SSA

SS

A

SSV

V

Comme pour tout torseur, la formule de changement de point permet de donner la vitesse en tout point d’un solide à partir de la connaissance du torseur en un point

ABVV SSSSASSB ∧Ω+=121212 //,/,

La composition des mouvements s’effectue en additionnant les torseurs en un même point.

4444 34444 21

pointmêmeunenexprimés

/// 011202 SSSSSS VVV +=

Soit :

011202

011202

/,/,/,

///

SSASSASSA

SSSSSS

VVV +=Ω+Ω=Ω

Pour les accélérations, Ils existent deux relations compliquées :

• Une de changement de point :

( )ABABdt

dSSSS

R

SSSSASSB ∧Ω∧Ω+∧

Ω+Γ=Γ

1212

1

12

1212 ///

/,/,

• Une de composition des accélérations :

( )444 3444 21321

Coriolisdeterme

SSASS

ntentrainemedterme

SSASSASSA V1212011202 /,/

'

/,/,/, 2 ∧Ω+Γ+Γ=Γ

Quelle méthode utiliser ?? Si on recherche le mouvement d’un point M appartenant « physiquement » à un solide S en mouvement par rapport à un repère R, alors les deux méthodes peuvent être utilisées. Pour les vitesses, le choix de la méthode dépend des données de départ. Si on ne connaît aucune vitesse au préalable, alors la dérivée d’un vecteur position (proche de la physique) est à mon goût très efficace. Si une vitesse est connue au

Position

Vitesse

Accélération

Vecteur position+ dérivation

Torseur cinématique+ composition de

mouvement

Dérivation Compositiondes accélérations



préalable, il est préférable d’utiliser les relations associées aux solides. Pour les accélérations, la dérivée du vecteur vitesse est très simple et donc à privilégier. Mais attention, dès que l’on recherche le mouvement d’un point M appartenant « cinématiquement » mais pas « physiquement » à un solide S’ en mouvement par rapport à un repère R, alors seules les relations de cinématique des solides sont utilisables pour les vitesses et accélérations. On parle de point coïncidant. A l’instant t, le point 'SM ∈ (appartenant cinématiquement) coïncide avec le point géométrique M. A l’instant t + dt, le point 'SM ∈ suit le mouvement de S’ qui est différent de celui du point géométrique M.

II.2 Les relations de fermeture L'analyse du graphe de structure permet de mettre en évidence le type de problèmes à traiter. Deux possibilités peuvent apparaître :

• Soit le système est composé d'une chaîne ouverte de solide (exemple des bras de robots)

• Soit le système est composé d'une chaîne fermée de solide (cycle) Le premier cas ne pose pas de problèmes particuliers, les deux approches citées ci-dessus conviennent. Dans le deuxième cas, il s'agit de trouver les relations entre les différents paramètres correspondant aux fermetures de chaîne. Notion de fermeture Une fermeture est une équation représentant les contraintes de bouclage dans les chaînes de solides :

• Une fermeture géométrique est une relation de Chasles sur les vecteurs position où chaque vecteur est soit fixe par rapport à un solide, soit défini par un paramètre de translation, pour former une des boucles du graphe de structure.

• Une fermeture angulaire est une somme nulle d'angle d'un même plan formant une des boucles du graphe de structure.

• Une fermeture cinématique est une somme nulle de torseurs exprimés au même point. En projetant dans une base, six équations scalaires au maximum sont obtenues à partir de la fermeture cinématique. Des projections habilement choisies permettront de réduire les calculs, d’éliminer les inconnues indésirables et d’obtenir les relations recherchées. Les équations obtenues par fermeture cinématique peuvent se retrouver par dérivation des équations géométriques et angulaires. Il s’agira de choisir donc entre les méthodes géométriques et cinématiques.



II.3 Les mouvements plans, la cinématique graphique

Un solide S2 est en mouvement plan de normale 1z par rapport à S1 si le torseur cinématique de S2/S1 s’écrit :

+==Ω

=∈∀ 11/,

1//

12

12

2

12 yvxuV

zV

SSA

SS

SM

SS

ω

Un mécanisme est cinématiquement plan si tous les solides étudiés sont en mouvement plan

de même normale 1z entre eux Conséquences :

• Toutes les vitesses sont contenues dans des plans de normale 1z ,

• Les vitesses de rotation sont normales au plan (suivant 1z ),

• Un mécanisme comportant une liaison hélicoïdale n’est pas plan. • Le torseur cinématique d’un mouvement plan présente dans le cas général 3 inconnues

cinématiques au maximum contre 6 pour un mouvement quelconque. • Chaque fermeture cinématique apporte 3 équations scalaires :

o Fermeture sur les vitesses de rotation en projection suivant 1z

o Fermeture sur les vitesses en un point en projection suivant 1x et 1y

• Une résolution graphique peut être mise en place.

Le torseur d’un mouvement plan est un glisseur car 0 V . 1212 /SSM,/SS =Ω∀M (automoment nul)

Un torseur glisseur possède un axe central Ω// où les vitesses sont nulles. On parle d’axe instantané de rotation.

∈∀ I axe central, on a :

=0

z. 1/SS

I

1212r

rωV

A tout instant, le mouvement plan est un mouvement de rotation d’axe )z(I, 1 Centre instantané de rotation La trace de cet axe dans le plan d’étude est un point appelé centre instantané de rotation (C.I.R.). On le note I12 ou I21.

∈∀M au plan : IM V1/SS/SSM, 212ΛΩ= . le vecteur IM est perpendiculaire à

12/SSM,V .

Le C.I.R. de (S2) par rapport à (S1) est donc déterminé par l'intersection des normales aux vecteurs vitesse de deux points quelconques de (S2) par rapport à (S1).

Les vitesses sont proportionnelles au rayon.



Application double équiprojectivité Objectif : Trouver 0/2,CV

Première équiprojectivité : BCVBCV CB .. 0/2,0/2, =

Deuxième équiprojectivité : DCVDCV DD .. 0/3,0/3, =

Le sommet de 0/2,CV est obtenu par l’intersection des deux droites issues de l’application des

équiprojectivités. Théorème des 3 C.I.R Soit trois solides (1), (2) et (3). Il est possible de définir trois C.I.R. entre ces solides : CIR1/2, CIR1/3 et CIR 2/3. Ces trois C.I.R. (s’ils existent) sont alignés.

Equiprojectivité

V A 1/0

A

V B 1/0

B

ABVABV BA •=• 0/1,0/1,

Composition des vitesses

VB

2/0

V B

1/0

V B

2/1

0/1,1/2,0/2, BBB VVV +=

C

A

B

C

D

E 1

2 3

4 A

B D

E 1

2 3

4

0/3,0/2, CC VV =

0/2,BV0/3,DV



III LA STATIQUE Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) vu en 2ème année. Pour le PFS, la variation de vitesse d’un solide dans un référentiel galiléen est nulle. Pour le PFD, cette variation de vitesse n’est pas nulle … Les démarches de modélisation des actions mécaniques et d’ordonnancement des isolements effectuées seront identiques en statique et en dynamique.

III.1 Notion d’isolement Isoler un système de solide, c’est définir une frontière séparant ce qui est intérieur au système de ce qui est considéré comme extérieur en vu de faire le bilan des actions mécaniques extérieures agissant sur le système. Remarque : Un graphe de structure préalablement réalisé, peut ici vous aider à faire l’isolement et donc à définir la frontière et les solides en liaison.

III.2 La modélisation des actions mécaniques (AMs) On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un solide au repos, de créer un mouvement ou de déformer un solide (solide ou ensemble de solides).

III.2.1 Modélisation locale-globale des AMs

Localement, une action mécanique agit en tout point du système considéré (action volumique, à distance) ou en tout point d’une surface (action surfacique, de contact). Une première modélisation consiste donc à introduire un vecteur densité de forces défini sur une surface ou un volume suivant le type d’action mécanique. Par intégration, il est possible de modéliser une action mécanique par un torseur des actions mécaniques (modélisation globale). Modèle local Ex : Action mécanique de contact

,1 2Mf →

uuuuuuuur densité de force en M de S1

sur S2 (dirigé vers 2)

,1 2 ,1 2.M Md f f dS→ →=uuuuuuuur uuuuuuuur

Modèle global

1 2 ,1 2

1 2, 1 2 ,1 2^

S S MM SS S

A S S MM S A

R d f

M AM d fτ

→ →∈→

→ →∈

= =

=

∫

∫

uuuuuuuur uuuuuuuur

uuuuuuuuuuur uuuur uuuuuuuur

1 2S SR →uuuuuuuur

résultante des AMs de S1 sur S2

, 1 2A S SM →uuuuuuuuuuur

moment en A des AMs de

1 2 , 1 2

12 12

1 2 12 12

12 12

, , ,S S A S Si i i

S S

R MA x y z

X L

Y M

Z N

τ

→ →

→

= uuuuuuur uuuuuuuuuur

ur uur ur

,1 2Md f →uuuuuuuur



III.2.2 Modèle de coulomb

La loi de frottement de Coulomb relie localement les composantes normales et tangentielles de vecteurs densité de force soit ,1 2 ( ) ( )M N Tf F M z F M→ = +

uuuuuuuur r uuuuuuur

Deux cas sont à envisager :

• Si adhérence

≤

=

NT

SSM

FfF

V 012 /,

• Si glissement

= NT

SSMT

FfF

VF12 /, quedirection même deet opposé

Avec f coefficient de frottement dont la valeur dépend des caractéristiques de contact (couple de matériaux, lubrifiant, état de surface) ; valeurs communément comprises entre 0,1 et 0,6 Le vecteur densité de force ne peut pas sortir d’un cône de demi angle au sommet ϕ tel que

ϕtan=f Pour un contact ponctuel en M, le torseur des actions mécaniques s’écrit :

1 20

N TS S

M

F z FT →

+ =

r uur

r

III.2.3 Torseur des actions mécaniques : cas des li aisons parfaites

Tout contact entre solides se fait avec frottement. Cependant dans une première approche on peut négliger l’influence du frottement et donc supposer qu’en tout point du contact entre les surfaces de liaison, les actions mécaniques élémentaires sont dirigées suivant les normales aux surfaces de contact Quelles sont les conséquences de cette hypothèse sur les liaisons normalisées ? La liaison ne dissipe alors pas d’énergie. Le torseur des actions mécaniques est obtenu par dualité avec le torseur cinématique. Exemple : Liaison pivot

x

z

y

O

1

2

R

x

O00

00

0

1/2

Ω=V

R2121

2121

21

ONZ

MY

0X

21

=→

→→

→→

→

F

III.3 Principe fondamental de la statique Si S est un système de solides à l’équilibre dans un référentiel galiléen, alors :

0=∑ →SextT

III.4 Principe des actions réciproques

Si un solide S1 exerce sur un solide S2 une action mécanique 21 SST → , alors S2 exerce l’action

mécanique exactement opposée sur S1. 21 12 SSSS TT →→ −=

,1 2Mf →uuuuuuuur

( )NF M zr

( )TF Muuuuuuuur



III.5 Méthodologie de résolution d’un problème de s tatique (conseils)

A partir du graphe de structure (issu de la cinématique), le compléter en rajoutant les efforts extérieurs et associer mentalement le torseur des actions mécaniques à chaque liaison du mécanisme. Suivant les indications du sujet, les liaisons peuvent être modélisées parfaites ou avec frottement. Certaines actions mécaniques peuvent être négligées (poids de certaines pièces, action d’un ressort,…) Repérer l’objectif à atteindre, 2 possibilités en général :

Déterminer toutes les actions mécaniques de liaison afin de les dimensionner. Rechercher un effort (dans une unique liaison, un effort moteur,…)

Enumérer les efforts connus (poids, effort extérieur résistant,…) et les efforts recherchés. Les autres actions mécaniques sont donc placées automatiquement dans la catégorie : « non recherchées ». Objectif : trouver toutes les actions mécaniques Vérifier que le système puisse être résolu. Il s’agit d’isoler l’ensemble des solides. Le bâti ne peut pas être isolé (des actions mécaniques indéterminables s’y appliquent) En appliquant le principe fondamental de la statique à chacun des solides, on obtient un système d’équations comportant 6 (p-1) équations avec p le nombre de solides qu’il s’agit de résoudre.

Objectif : rechercher une action mécanique particulière. il n’est pas forcément nécessaire d’écrire les 6 équations par solide issues de l’application du PFS. Un isolement judicieux, le choix d’écrire une résultante ou un moment, ainsi qu’une projection adéquate permet d’aboutir au résultat rapidement. Les aptitudes nécessaires à ce travail s’acquièrent par la pratique. Voici quelques conseils : L’idée maîtresse est de ne pas faire intervenir les inconnues d’actions mécaniques de liaisons « non recherchées » en rendant ces actions mécaniques internes à l’isolement ou en écrivant une projection suivant une direction où les liaisons présentent des composantes nulles en effort Si on recherche une résultante motrice permettant à un ensemble de solide de se déplacer en translation, Il s’agira d’écrire une équation de résultante en projection suivant la direction de déplacement. Pour la recherche d’un couple moteur s’exerçant sur un ensemble de solide en rotation autour d’un axe fixe, Il s’agira d’écrire une équation de moment en un point de l’axe de rotation en projection sur la direction de l’axe. Dans ce cas, précisez : Théorème de la résultante sur l’axe …. ou théorème du moment sur l’axe ….au point….

Pour chaque isolement : • Choisir un repère galiléen et supposer que l’isolement est en équilibre statique dans ce

repère (ou se déplace en translation à une vitesse uniforme par rapport à ce référentiel) • Effectuer le bilan des actions mécaniques • Ecrire le PFS sous forme torsorielle et/ou vectorielle et/ou scalaire • Résoudre et calculer les inconnues recherchées



III.6 Les problèmes statiquement plans, la statique graphique Lorsque dans un système mécanique les actions mécaniques sont toutes modélisées par des glisseurs coplanaires, on peut utiliser une méthode graphique pour résoudre le principe fondamental de la statique. Les torseurs des actions mécaniques ont alors la forme simplifiée suivante:

T(S1→S2) =

RON

Y

X

−−−

Les torseurs statiques des liaisons planes ont alors les formes suivantes:

- articulation = liaison pivot ou pivot glissant d'axe (A,zr

): T(S1→S2) =

RA0

Y

X

−−−

L'action de S1 sur S2 est donc modélisable par un glisseur passant par A.

III.6.1 Système soumis à l’action de 2 glisseurs (f orces)

Le système (S) est soumis à deux forces : AFr

appliquée en (A)

et BFr

appliquée en (B). Le principe fondamental de la statique nous permet d'écrire :

00

F

0

F B

B

A

A

=

+

r

r

r

r

<=> 0F AB

F

0

F

B

B

A

A

A

=

Λ+

→ r

r

r

r

<=>

=Λ

=+→

0F AB

0FF

B

BArr

rrr

<=>

=

−=→

B

BA

F. AB

FFr

rr

λ

Lorsqu'un système en équilibre est soumis à deux forces, ces deux forces sont colinéaires, égales et opposées.

III.6.2 Système soumis à l’action de 3 glisseurs (f orces)

Le système (S) est soumis à trois forces AFr

, BFr

, CFr

appliquées en (A), (B) et (C). Soit :

• aucune des forces n'est parallèle à une des deux autres forces,

• deux forces sont parallèles.

Les valeurs représentées par - ne sont pas nécessairement nulles mais on n'en tient pas compte dans le problème étudié.

A A

A B

FA

FB

A B

FA FB

A B

FA

FB



III.6.2.a Les forces ne sont pas parallèles

0FAC

F

FAB

F

0

F

0

F

0

F

0

F

C

C

AB

B

A

A

A

C

C

B

B

A

A

=

Λ+

Λ+

=

+

+

→→ r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

<=>

=Λ+Λ

=++→→

0F ACF AB

0FFF

CB

CBArrr

rrrr

Pour vérifier la deuxième équation, il faut que les deux vecteurs BF ABr

Λ→

et CF ACr

Λ→

soient

parallèles. Or BF ABr

Λ→

est perpendiculaire au plan (P1)=(A, B, BFr

) et CF ACr

Λ→

est

perpendiculaire au plan (P2)=(A, C, CFr

). Ces deux plans doivent donc être parallèles. (A)

appartient aux deux plans (P1) et (P2), ces deux plans sont donc confondus. (A), (B), (C), CFr

et BFr

sont dans un même plan.

CFr

et BFr

sont coplanaires mais non parallèles, ils se coupent donc en un point (I).

0FIC

F

FIB

F

FIA

F

C

C

IB

B

IA

A

I

=

Λ+

Λ+

Λ→→→ r

r

r

r

r

r

<=>

=Λ

=++→

0F IA

0FFF

A

CBArr

rrrr

Pour vérifier l'équation de moment, il faut que →

= IA . FA λr

Pour qu'un solide (S) soumis à trois forces non parallèles soit en équilibre, il faut que ces trois forces soient coplanaires, concourantes et de somme nulle

III.6.2.b Deux forces sont parallèles

BFr

et CFr

sont parallèles. (B), (C), BFr

et CFr

sont donc coplanaires.

0FAC

F

FAB

F

0

F

0

F

0

F

0

F

C

C

AB

B

A

A

A

C

C

B

B

A

A

=

Λ+

Λ+

=

+

+

→→ r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

0FAC

F

FAB

F

0

F

0

F

0

F

0

F

C

C

AB

B

A

A

A

C

C

B

B

A

A

=

Λ+

Λ+

=

+

+

→→ r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

<=>

=Λ+Λ

=++→→

0F ACF AB

0FFF

CB

CBArrr

rrrr

A B

FAFB

C

FC

A BFA FB

C

FC

I

A B

FB

C

I

FA

FC

A B

FAFB

C

FC



Pour vérifier l'équation de la résultante, il faut que AFr

soit aussi parallèle à BFr

et CFr

.

Pour vérifier l'équation du moment, il faut que (A) appartienne au plan (B), (C), BFr

et CFr

. Lorsqu'un solide (S) en équilibre est soumis à trois forces dont deux d'entre elles sont parallèles, il faut que la troisième soit coplanaire et parallèle et que la somme des trois forces soit nulle ainsi que le moment de ces trois forces.

A B

FB

FA

C

FC

-

III.6.2.c Bilan

Pour qu'un solide soumis à trois forces soit en équilibre par rapport à un repère galiléen, il faut et il suffit que ces forces soient :

• coplanaires, • parallèles ou concourantes, • à somme nulle et a somme des moments nulle.



IV RAPPELS SUR LES TORSEURS IV.1 Définition d’un torseur

Un torseur T est l'association de :

• Un vecteur résultant Rur

(identique en tout point de l'espace) ; • Un champ de moment M

uur (dépendant du point où on le calcule)

Il vérifie l’équation ( )( )( ) ( )M NM M MN R M et N ε= + ∧ ∀ ∈uuuuur uuuuur uuuur ur

.

Remarque : (théorème de Delassus) Un champ de moment est un champ de vecteur pour lequel il est possible de vérifier la

relation suivante: (M) (N) (N)V = V + MN U V + U NM∧ = ∧uuuur uuur uuuur ur uuur ur uuuur

.

Un champ de vecteur est équiprojectif ssi ,M N∀ appartenant à l'espace affine (ε), la relation

suivante est vérifiée: (M) (N)V . MN = V . MNuuuur uuuur uuur uuuur

Il est possible de démontrer :

Champ équiprojectif ⇔ Champ de moment

IV.2 Opération sur les torseurs IV.2.1 Addition

Soient deux torseurs 1T et 2T tels que :

1

( ) 1AA

R

M

=

uur

uuuuur1T et 2

( ) 2AA

R

M

=

uur

uuuuuur2T

Soit ST la somme des deux torseurs. Alors la résultante SRuur

est égale à la somme des

résultantes 1Ruur

et 2Ruur

et le moment ( )A SMuuuuuur

exprimé en A est égal à la somme des moments

( ) 1AMuuuuur

et ( ) 2AMuuuuuur

exprimés en A.

1 2

( ) ( ) 1 ( ) 2¨

S

A S A A

R R R

M M M

= +

= +

uur uur uur

uuuuuur uuuuur uuuuuur

Attention ! Ajouter deux torseurs dont les éléments de réduction sont exprimés en des points différents n’a aucun sens.

IV.2.2 Multiplication par un scalaire

Soit 1T un torseur et λ un réel, alors :

1

( ) 1

..

. AA

R

M

λλ

λ

= =

uur

uuuuur2 1T T



IV.2.3 Comoment de deux torseurs

On appelle comoment de deux torseurs et 1T et 2T , la quantité scalaire :

1 ( ) 2 2 ( ) 1. .A AR M R M⊗ = +uur uuuuuur uur uuuuuur

1 2T T

Comme pour la somme, les moments doivent être exprimés au même point. Remarque : Le résultat ne dépend pas du point A choisi. C’est un invariant.

( ) ( )( ) ( )

1 ( ) 2 2 ( ) 1 1 ( ) 2 2 2 ( ) 1 1

1 ( ) 2 2 ( ) 1 1 2 2 1

1 ( ) 2

. . . .

. . . .

.

A A B B

B B

A

R M R M R M AB R R M AB R

R M R M R AB R R AB R

R M

⊗ = + = + ∧ + + ∧

= + + ∧ + ∧

⊗ =

uur uuuuuur uur uuuuuur uur uuuuuur uuur uur uur uuuuuur uur

uur uuuuuur uur uuuuuur uur uuur uur uur uuur uur

uur uuu r

1 2

1 2

T T

T T 2 ( ) 1 1 ( ) 2 2 ( ) 1. . .A B BR M R M R M+ = +uuu uur uuuuuur uur uuuuuur uur uuuuuur

IV.2.4 Automoment d’un torseur

On appelle automoment ( )A T du torseur T la moitié du comoment de ce torseur par lui-

même.

( ) ( )

1. .

2 AA R M= ⊗ =ur uuuuur

T T T

IV.3 Axe central d’un torseur

On appelle axe central d’un torseur T l’ensemble des points I pour lesquels le champ

Muur

est colinéaire à Rur

. Soit ( ) . ,IM Rλ λ= ∈uuuur ur

.

L’axe central est toujours une droite parallèle à Rur

. Le moment d’un torseur est minimum pour tous les points de l’axe central.

IV.4 Torseurs particuliers

IV.4.1 Torseur couple

Un torseur couple est un torseur dont la résultante est nulle :

( )

0

AAM

=

r

uuuurC

Remarque : Le moment d’un torseur couple est le même en tout point de l’espace et il n’y a pas d’axe central pour ce torseur.

IV.4.2 Torseur glisseur

Un torseur glisseur est un torseur dont l’automoment est nul avec 0R ≠ur

. Remarque : Le moment est donc toujours perpendiculaire à la résultante et il est nul sur l’axe central.



IV.4.3 Décomposition d’un torseur

Tout torseur T peut se décomposer en la somme d’un torseur glisseur G et d’un torseur

couple C .

= +T G C soit ( ) ( ),

0

A A Glisseur AA A

R R

M M C

= +

ur ur r

uuuur uuuuuuuuuur ur

Remarque : Cette décomposition n’est pas unique. Elle l’est si on impose la condition

supplémentaire Cur

colinéaire à Rur

. On parle alors de « décomposition canonique ». Dans ce cas, L’axe central du torseur est le même que l’axe central du glisseur issu de la décomposition. Le moment du glisseur est bien-sûr nul sur l’axe central. Le moment du

torseur sur l’axe central, colinéaire à la résultante, est égal au moment Cur

du couple issu de la décomposition.

Cur

Cur

Cur

Cur



V TABLEAU DES LIAISONS NORMALISEES

Nature liaison

et repère associé

Schématisation plane Schématisation spatiale

Torseur cinématique

Torseur statique

Forme canonique conservée

encastrement

ou

0 0

0 0

0 0P

P

X L

Y M

Z N

P∀

liaison pivot d'axe ( )0,x

r

* ou

0

0 0

0 0

x

P

ω

0

P

X

Y M

Z N

( )0,P x∀ ∈ r

liaison glissière

de direction xr

0

0 0

0 0

X

P

V

0

P

L

Y M

Z N

P∀

liaison hélicoïdale d'axe ( )0,x

r

ou

20 0

0 0

x x

P

p ω ω π

2

P

pX X

Y M

Z N

− π

( )0,P x∀ ∈ r

liaison pivot glissant d'axe ( )0,x

r

* ou

0 0

0 0

x x

P

Vω

0 0

P

Y M

Z N

( )0,P x∀ ∈ r

liaison appui plan (ou plane)

de normale zr

0

0

0

X

y

z P

V

V

ω

0

0

0P

L

M

Z

P∀

liaison sphérique ou rotule

de centre O

0

0

0

0

x

y

z

ω ω ω

0

0

0

0

X

Y

Z

En O, centre de la

sphère

liaison sphérique à doigt de centre O, de plan de rainure

, ,O y zur r

, de doigt Ozr

0

0

0 0

0

x

z

ω ω

0

0

0

X

Y M

Z

En O, centre de la

sphère

liaison linéaire rectiligne (ou arête-

plan) de droite de

contactOxr

, de

normale zr

0

0

x x

y

z P

V

V

ω ω

0 0

0

0P

M

Z

( , , )P x O z∀ ∈r r

liaison linéaire annulaire (ou sphère-cylindre) de centre O

et d'axe ( )0,x

r

0

0

0

x x

y

z

Vω ω ω

0

0 0

0

0

Y

Z

En O, centre de la

sphère

liaison ponctuelle (ou sphère–plan) en O

de normale xr

* ou

*

ou

0x

y y

z z P

V

V

ω ω ω

0

0 0

0 0P

X

( )0,P x∀ ∈ r

O

zr

yur

A droite

xr

O

zr

yur

A gauche

Ou *

xr

O

zr

yur

xr

O

zr

yur

xr

O

zr

yur

xr

O

zr

yur

xr

O

zr

yur

xr

zr

yur

xr

zr

yur

xr

O xr

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